b1280

Optimisation des processus
énergétiques : concepts
par
Jean-Claude DUCROCQ
Ingénieur Civil des Mines
Ingénieur-Chercheur à la Direction des Études et Recherches
de Électricité de France (EDF)
Dominique SAUMON
et
Chef du Département PROVAL (Prospectives, évaluation et valorisation)
du Service Information, prospectives et normalisation de Électricité de France (EDF)
1.
1.1
1.2
1.3
Nécessité de l’optimisation technico-économique ........................
Illustration sur un cas particulier................................................................
Variations des prix relatifs des énergies
et indisponibilités des équipements ..........................................................
Substitution possible des différentes sources d’énergie .........................
2.
2.1
2.2
2.3
3.
3.1
3.2
—
—
2
2
Différents niveaux de l’optimisation..................................................
Choix des solutions .....................................................................................
Dimensionnement de la solution retenue .................................................
Exploitation optimale des équipements ....................................................
—
—
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—
4
4
4
5
Formalisation générale des problèmes d’optimisation.................
Variables et relations entre elles ................................................................
Principales questions ..................................................................................
3.2.1 Déterminer le coût d’exploitation......................................................
3.2.2 Décider un investissement.................................................................
3.2.3 Concevoir les appareils ......................................................................
3.2.4 Définir un programme d’investissements ........................................
Traitement pratique de ces questions........................................................
—
—
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5
5
5
5
6
6
6
7
4.3
Outils mathématiques disponibles .....................................................
Programmation linéaire ou mixte (optimisation linéaire)........................
Simulation et optimisation non linéaires ..................................................
4.2.1 Simulation non linéaire......................................................................
4.2.2 Optimisation non linéaire ..................................................................
Rapide panorama des autres outils mathématiques disponibles ...........
—
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—
7
7
7
7
8
8
5.
Conclusion .................................................................................................
—
8
Références bibliographiques .........................................................................
—
9
3.3
11 - 1988
4.
4.1
4.2
B 1 280
B 1 280 - 2
—
2
’article « Optimisation des processus énergétiques » se compose de trois
articles :
— Concepts [B 1 280] ;
— Applications [B 1 281] ;
— Gestion optimale [B 1 282].
L
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B 1 280 − 1
OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS __________________________________________________________________________________
1. Nécessité de l’optimisation
technico-économique
1.2 Variations des prix relatifs
des énergies et indisponibilités
des équipements
1.1 Illustration sur un cas particulier
Les prix relatifs des différentes énergies varient de façon souvent
importante et rapide au cours du temps (par exemple, le cours du
fuel lourd). Donc, aussi bien l’industriel utilisateur que les producteurs-distributeurs doivent tenir compte de ces possibilités de variation, quand ils s’équipent ou quand ils établissent leur programme
d’exploitation et décident leur approvisionnement.
Un autre élément peut avoir une assez grande importance en
pratique : le risque d’indisponibilité des équipements. Même si
celui-ci est faible pour chaque appareil constituant l’équipement, il
faut en général en tenir compte explicitement. En effet, la plupart
des systèmes doivent être conçus de façon à ce que le risque de
ne pas fournir le service demandé soit réduit au maximum : l’interruption de la fourniture d’énergie cause trop de nuisances aux
activités desservies.
Le choix, la conception et l’exploitation d’équipements ou de
systèmes d’équipements énergétiques se présentent rarement sous
l’angle d’une solution unique. En d’autres termes, les décisions
d’investissement, le dimensionnement des appareils et leur utilisation se posent en terme de recherche d’une solution optimale
vis-à-vis de critères choisis par l’ingénieur ayant en charge ces
problèmes.
Cette idée générale est illustrée par l’exemple du dimensionnement optimal d’un système pompe à chaleur-compression
mécanique de vapeur d’eau (figure 1).
Considérons, en effet, le cas d’une machine à papier dans une
papeterie. Les cylindres de ce séchoir – une machine à papier est
en effet un séchoir multicylindrique – sont alimentés en vapeur à
différents niveaux thermiques ; on retient les valeurs suivantes :
pression de 2 bar et température de 120 oC. Les buées provenant
du séchage de la feuille de papier constituent un effluent à bas
niveau thermique (65 oC) non valorisé. On envisage donc de
récupérer la chaleur de ces buées à l’évaporateur d’une pompe à
chaleur (PAC) pour vaporiser l’eau condensée sortant des cylindres
sécheurs. La vapeur ainsi produite (1 bar-100 oC) ne présentant pas
le niveau thermique requis pour son utilisation dans les cylindres,
une compression de la vapeur (CMV) est donc nécessaire.
Si l’on se fixe les températures d’évaporation et de condensation
de la PAC ainsi que les différents pincements au niveau des échangeurs, il n’y a qu’un seul dimensionnement possible. La solution est
techniquement faisable, mais il est probable que d’autres valeurs
de ces températures et pincements pourraient conduire à une
meilleure solution au regard d’un critère donné (consommation électrique du système par tonne de vapeur produite, coût d’exploitation
annuel, ce dernier pouvant incorporer les charges d’investissement,
etc.). Ainsi, l’élévation de la température de condensation conduit
à augmenter la puissance de la PAC et à diminuer celle de la CMV.
La diminution des pincements permet une meilleure récupération
énergétique, mais pénalise les surfaces des échangeurs, et par là
même le coût d’investissement du projet.
En résumé, plusieurs solutions sont possibles, et accroître le
rendement énergétique global d’une installation ne conduit pas
nécessairement à la solution optimale sur le plan économique.
Cet exemple permet de montrer :
— la nécessité de poser le problème de dimensionnement en
terme d’optimisation ;
— la nécessité de choisir un critère d’optimisation au regard de
l’objectif poursuivi ; ce critère sera généralement de nature économique, incluant les charges d’investissement et l’ensemble des coûts
d’exploitation.
L’optimisation de la conception ou de l’exploitation d’un système
énergétique n’est cependant pas régie seulement par des paramètres
techniques comme dans l’exemple précédent. Les variations des prix
relatifs des énergies, les indisponibilités des équipements ou la substitution possible des sources d’énergie conduisent eux aussi à des
optimisations.
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1.3 Substitution possible
des différentes sources d’énergie
La substitution possible des différentes énergies constitue un
degré de liberté important dans la conception et l’exploitation des
installations énergétiques. Non seulement la vapeur et l’air chaud
peuvent être produits à partir du fuel, du gaz, du charbon, de l’électricité, mais les vecteurs énergétiques eux-mêmes peuvent souvent
être l’objet d’un choix. L’opération de concentration peut ainsi,
suivant les cas, être réalisée à l’aide de la vapeur (concentrateur
multiples effets), de rayonnement (séchage par micro-ondes sous
vide) ou par l’effet de la pression (procédés de séparation par osmose
inverse).
Cet exemple de substitution des énergies, relatif au choix de la
technique à utiliser, trouve son équivalent dans le domaine de
l’exploitation des énergies substituables. Ainsi, dans le cas du
système chaleur-force de la figure 2, l’exploitant aura intérêt, en
fonction des prix relatifs de l’électricité et du combustible sous
chaudière, à autoproduire thermiquement l’énergie électrique ou, au
contraire, à l’acheter au réseau et à détendre statiquement la vapeur.
La substituabilité des énergies concerne donc tout autant le choix
optimal des investissements que l’optimisation de leur gestion.
La complexité de la gestion d’un système tel que celui de la
figure 2, ou le dimensionnement optimal des équipements de la
figure 1, nécessitent des outils d’étude appropriés à ces différents
problèmes [1]. Cet article est donc articulé autour des thèmes
suivants :
— les différents niveaux et problèmes d’optimisation ;
— la formalisation générale des problèmes d’optimisation et les
critères utilisés ;
— les outils mathématiques disponibles.
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__________________________________________________________________________________ OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS
Figure 1 – Système pompe à chaleur (PAC) – compression mécanique de vapeur (CMV) en récupération
sur les buées sortant d’un cylindre sécheur d’une machine à papier (les paramètres , , b et X sont définis au paragraphe 3.1)
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OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS __________________________________________________________________________________
Figure 2 – Exemple de système chaleur-force complexe
2. Différents niveaux
de l’optimisation
L’optimisation des processus énergétiques peut être envisagée à
trois niveaux différents :
— le choix des solutions ;
— le dimensionnement (la conception) de la solution retenue ;
— l’exploitation des équipements.
2.1 Choix des solutions
Le choix de la meilleure solution se pose en des termes légèrement
différents suivant la nature de l’entreprise concernée.
Pour les producteurs-distributeurs d’énergie, il s’agit de minimiser
un coût constitué en grandes parties par l’achat des matières
premières et l’amortissement des équipements. Pour le producteur
d’électricité, il s’agira ainsi de déterminer la meilleure répartition
entre les différentes filières de production (nucléaire, thermique
charbon ou fuel, hydraulique), ainsi que le meilleur tracé des différents réseaux de distribution (haute, moyenne et basse tension).
Pour une industrie de process (chimie, raffinage, sidérurgie, etc.),
il s’agit souvent de choisir, entre différents équipements susceptibles
de rendre le même service (thermocompression et compression
mécanique de vapeur, par exemple), celui dont l’insertion au sein
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d’un réseau énergétique conduit au moindre coût. Le choix peut
néanmoins, comme pour les distributeurs d’énergie, se poser en
amont en terme de choix entre plusieurs filières de fabrication. Ce
serait par exemple le choix des séquences de séparation pour un
raffineur : le mélange A + B + C + D doit-il être séparé en A + B et
C + D, puis A, B, C, D, ou au contraire en A et B + C + D, ce dernier
mélange étant ensuite fractionné en B + C et D par exemple ? Ces
différentes solutions conduisent à des coûts énergétiques et d’investissement différents.
2.2 Dimensionnement
de la solution retenue
Une filière de production ou un équipement ayant été choisi lors
de la phase précédente, il convient ensuite d’en assurer la conception
optimale au regard d’un objectif (d’un critère). Ceci a été illustré, dans
le cas d’un équipement isolé, par l’exemple de la figure 1. Une
mention spéciale doit être faite pour les équipements s’insérant dans
un système énergétique complexe.
Pour reprendre l’exemple de la figure 1, si la vapeur consommée
par les cylindres sécheurs est fournie par le système de transformation de l’énergie de la figure 2, il convient de procéder en deux
temps.
■ Il faut étudier l’intéraction du système PAC + CMV avec le système
énergétique de la figure 2 de façon à établir l’intérêt économique du
projet et à confirmer le choix de cette technique. Le système
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__________________________________________________________________________________ OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS
PAC + CMV est alors caractérisé par quelques ratios essentiels
(ordres de grandeur de la consommation électrique, de la production
de vapeur, du coût d’investissement), éventuellement paramétrés
pour tenir compte des degrés de liberté existant dans la conception
optimale du système PAC + CMV qui sera réalisée à l’étape
ultérieure. Cette phase s’apparente au choix de la solution, mais peut
également fournir l’ordre de grandeur de la taille optimale de
l’investissement.
■ L’intérêt économique et la « taille » de la solution ayant été établis
en tenant compte de son intégration dans le système énergétique, il
est alors possible d’en envisager la conception optimale en se focalisant sur le système PAC + CMV.
En d’autres termes, le choix et la conception optimale du projet
sont deux facettes d’un même problème qui ont été découplées
moyennant un transfert d’informations de l’une à l’autre, et
d’éventuelles itérations. Le traitement simultané des deux aspects
du problème est théoriquement possible ; ce sont des considérations
pratiques de limitation des outils informatiques disponibles et de
simplification des analyses qui conduisent à procéder ainsi.
2.3 Exploitation optimale
des équipements
L’exploitation optimale des équipements peut recouvrir deux
aspects différents :
— la gestion prévisionnelle, qui a alors pour objectif de définir le
planning d’exploitation conduisant à la minimisation des coûts
d’exploitation, en particulier énergétiques, sur un laps de temps
pouvant aller de la journée à plusieurs années (cas de la gestion du
parc de centrales nucléaires) ;
— la gestion en temps réel des installations.
3. Formalisation générale
des problèmes
d’optimisation
Les premières sont les relations entre les caractéristiques propres
au matériel et les paramètres descriptifs du processus de transformation. Elles expriment la faisabilité des différentes opérations
élémentaires qui constituent le processus ; elles peuvent être assez
nombreuses et être écrites de façon très générale si l’on fait
abstraction des problèmes particuliers que poseraient des stockages
de produits intermédiaires ou encore une analyse très fine des
régimes transitoires :
G (X, ϕ, θ ) = 0
(1)
Les secondes expriment la conservation de la matière et de
l’énergie. Elles sont linéaires (simples bilans physiques) et peuvent
être aussi écrites de façon très générale :
B·ϕ+e=b
(2)
B est la matrice de l’opérateur qui résume ses bilans physiques
pour le problème d’optimisation technico-économique. Elle reflète
la topologie du système énergétique étudié. La prise en compte des
possibilités d’indisponibilités de certains matériels peut rendre un
peu complexe la formulation des bilans. Il faut alors écrire le bilan
emploi-ressources dans chacune des situations où certains matériels
sont indisponibles et pour lesquelles on exige que tout ou partie des
besoins, représentés par le vecteur b, soient desservis.
■ Le facteur temps : les relations précédentes doivent être vérifiées
à tout instant. Aussi, ϕ, θ et e doivent être considérés comme des
fonctions du temps, comme le sont b et p paramètres du problème.
Bien sûr, si ces paramètres ne sont que peu destinés à varier, on
peut se contenter d’analyser un seul régime de fonctionnement des
appareils.
Mais il faut souvent tenir compte de ce que certaines énergies,
le gaz par exemple et surtout l’électricité, présentent une structure
tarifaire avec prime fixe et coûts de l’énergie pouvant avoir différentes valeurs au cours de l’année. Ces variations relatives des prix
des énergies au cours d’une année d’exploitation peuvent alors
justifier des solutions modulant l’appel à plusieurs énergies. C’est
notamment le cas de la bi-énergie combustible fossile-électricité,
appliquée à la production de vapeur : cette dernière est réalisée à
partir des combustibles fossiles pendant l’hiver tarifaire EDF, et par
utilisation d’une chaudière électrique pendant les périodes ou le
kilowattheure du réseau est compétitif pour cette utilisation (été
tarifaire ). Dans d’autres cas, c’est la modulation des besoins qui
impose sa loi au fonctionnement du système fournisseur d’énergie.
3.1 Variables et relations entre elles
3.2 Principales questions
On comprendra mieux comment se situent les trois niveaux de
décision cités au paragraphe 2 si l’on définit plus précisément les
variables qui interviennent le plus fréquemment dans les optimisations de systèmes énergétiques, ainsi que les principales relations
entre elles.
Si l’on veut caractériser complètement les coûts économiques
d’une configuration d’un système d’équipements définie par un
vecteur X, il faut ensuite se référer à deux éléments :
— un coût fixe d’investissement, que l’on notera A (X ) ;
— un coût variable d’exploitation, qui résulte principalement de
l’achat des énergies fournies au processus et qu’il faut rendre le
plus faible possible :
c (t ) = < e (t ) · p (t ) >
■ Ce qu’il faut déterminer :
X caractéristiques du matériel (surfaces d’échange, diamètres
de tuyauteries, etc.) ;
ϕ flux de matières et transferts d’énergie ;
θ autres paramètres physiques descriptifs du processus (températures, pressions, etc.) ;
e consommations du processus (apports extérieurs d’énergies
primaires).
■ Ce que l’on doit savoir sur l’environnement du système :
b besoins que le processus doit desservir, c’est-à-dire l’énergie
utile demandée (chaleur dans des conditions données, force motrice,
etc.) ;
p prix d’achat des énergies primaires consommées.
■ Ce qui relie ces éléments entre eux : beaucoup de processus
peuvent être pratiquement représentés par deux familles de
relations.
3.2.1 Déterminer le coût d’exploitation
Supposons X connu ; les valeurs qui caractérisent l’exploitation
du processus pourraient être définies en résolvant, pour tout
instant t, le problème :
Mine, ϕ, θ | c (t ) = < e (t ) · p (t ) > |
G (X, ϕ, θ ) = 0
[formule (1)]
B·ϕ+e=b
[formule (2)]
ce qui fournit e* (t), ϕ* (t ) et θ * (t ) qui caractérisent l’exploitation
optimale du processus. Ces résultats, et donc aussi le coût d’exploitation obtenu, sont des fonctions de l’équipement :
< e* (t) · p (t ) > = c* (X, t )
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OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS __________________________________________________________________________________
Un système d’aide à la conduite doit avoir pour but de fournir à
l’opérateur les moyens de résoudre ce problème.
3.2.2 Décider un investissement
Pour apprécier l’intérêt d’un investissement, il faut comparer son
coût fixe A (X ) et celui de son exploitation c (X, t ). Plus précisément,
il faut comparer ces valeurs à celles qui correspondent aux autres
solutions que l’on peut envisager pour assurer la desserte des
besoins que l’on vient de caractériser par b. C’est ici qu’intervient
le critère de choix des investissements ou de rentabilité, qui caractérise les préférences du décideur, les conditions auxquelles il est
soumis, etc.
Le lecteur qui souhaiterait une présentation plus générale du
cadre d’analyse de la rentabilité d’un investissement pourra se
reporter à l’article Choix des investissements [A 4 450] dans le
traité L’entreprise industrielle. On se contentera d’indiquer ici
comment les critères les plus courants s’appliquent.
■ Bilan actualisé : la formulation précédente s’étend sans difficulté au cas d’investissements répartis sur plusieurs périodes.
Si Ai (X ) représente les coûts des investissements effectués
chaque année i entre 0 et T, et a le taux d’actualisation choisi :
T–1
A i (X )
= ∑ ---------------------+
(
1 + a)i
i=0
T
0
dt
< e ( t ) ⋅ p ( t ) > ----------------------(1 + a) t
représente le coût total actualisé sur la période [0, T ]. Il peut
cependant être nécessaire de tenir compte du renouvellement
des équipements, ou de leur valeur résiduelle à la fin de la
période examinée [13].
Comme il s’agit de trouver la solution assurant les services
demandés au moindre coût, le meilleur investissement est celui
qui conduit au coût total actualisé minimal.
■ Taux interne de rentabilité TIR : il est souvent employé parce
qu’il ne nécessite pas l’épineux choix d’un taux d’actualisation
et il peut permettre un classement des projets (par rentabilité
croissante ou décroissante).
Il s’agit de la valeur du taux d’actualisation pour lequel le bilan
actualisé de l’opération envisagée serait nul. Aucune solution ne
peut assurer les services requis avec un coût nul ; aussi, ce critère
ne peut s’appliquer ici que de façon différentielle (ou comme
critère relatif), par rapport à une solution de référence (que l’on
note ici X 0 ).
Soit X 0 les caractéristiques du projet de référence, alors TIR
est la solution de :
= A ( X ) – A (X 0 ) +
T
0
dt
[ c ( X, t ) – c ( X 0 , t ) ] ------------------------------ = 0
( 1 + TIR ) t
■ Temps de retour d’un investissement TRI : son emploi
fréquent vient sans doute de ce qu’il est très simple à calculer.
TRI est la valeur de T qui réalise l’égalité :
A (X ) – A (X 0 ) = [c (X 0 ) – c (X )] TRI
Remarque générale : ni le TIR ni le TRI ne permettent d’assurer facilement l’homogénéité des critères des différents
problèmes que nous avons distingués ; même le classement des
projets par TIR doit être interprété avec beaucoup de
précautions [2].
Seul le bilan actualisé, additif par rapport aux différents coûts
économiques, est commode de ce point de vue.
En résumé, il suffit de noter qu’il faut choisir un critère qui sera
défini par une fonctionnelle [ A ( X ),c ( X,t ) ] .
Par exemple, l’appréciation de l’intérêt d’un investissement neuf de
caractéristiques X, remplaçant l’appareillage en place dans un site
industriel et dont les caractéristiques actuelles correspondent aux
valeurs X 0 , résultera de la valeur de :
[ A ( X ) – A ( X 0 ), c ( X,t ) – c ( X 0 ,t ) ]
Ce critère peut être le bilan actualisé :
= A ( X ) – A (X 0 ) +
T
0
dt
[ c ( X, t ) – c ( X 0 , t ) ] --------------------------(1 + a) t
Il peut être négatif, et donc être un bénéfice, si le gain :
c (X 0 , t ) – c (X, t )
réalisé du fait du remplacement de l’appareillage actuel est suffisamment important tout au long de la période d’étude.
3.2.3 Concevoir les appareils
Dimensionner l’équipement, c’est déterminer les caractéristiques
(dimensionnelles) des appareils élémentaires qui le constituent,
c’est-à-dire les différentes composantes du vecteur X.
En théorie, cela pourrait être fait directement à partir de la
fonctionnelle représentant le critère de rentabilité. Le problème se
ramènerait à la recherche du maximum (s’il s’agit d’un indice de
rentabilité) ou du minimum (s’il s’agit d’un coût) du critère :
[ A ( X ), < e ( t ), p ( t ) > ]
mais en respectant les conditions (1) et (2) pour toutes les valeurs
de t correspondant à la période de temps pendant laquelle est
envisagée l’exploitation de l’équipement.
En pratique, on ne peut procéder ainsi que si le problème d’optimisation n’est pas trop complexe ; en particulier, quand il n’est pas
nécessaire d’examiner de façon trop détaillée les variations temporelles de ϕ et θ, d’une part, et quand le nombre des caractéristiques
de l’équipement qui doivent être déterminées n’est pas trop important, d’autre part. Si des conditions de ce type permettent une représentation correcte du problème par un modèle mathématique avec
un nombre de variables qui reste raisonnable (quelques dizaines),
la programmation non linéaire (§ 4.2.2) fournit un outil puissant pour
le résoudre. C’est le cas pour le dimensionnement optimal du
système PAC + CMV de la figure 1, avec la signification des variables
et paramètres (ϕ, X, b, θ ) intervenant dans la conceptualisation du
problème. Le tableau joint reproduit la formulation du problème
d’optimisation correspondant.
Plus TRI est faible, plus l’investissement est bon.
Ceci présente toutes les limites du TRI (besoin d’une référence dont dépendra le résultat) tout en ayant encore moins de
possibilités d’application aux problèmes de choix un peu
complexes.
Il est, de plus, important de s’interroger sur le réalisme d’un
critère qui ne tient pas compte des coûts et des bénéfices intervenant au-delà d’une durée TRI, qui peut être très rapprochée
par comparaison à la durée de vie des investissements en
cause.
B 1 280 − 6
3.2.4 Définir un programme d’investissements
L’investissement peut lui-même être échelonné dans le temps.
C’est en particulier le cas de l’installation énergétique des très
grandes usines et, surtout, celui des grands systèmes de desserte
en électricité ou en gaz par exemple. L’intérêt d’une décision d’investissement ne peut pas alors être évalué sans que soient aussi
examinées les décisions ultérieures. L’évolution des besoins
implique, en effet, que l’on réalise fréquemment des investissements
et le coût d’exploitation futur de celui qu’on étudie aujourd’hui
dépendra de ceux qui seront décidés et réalisés demain.
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__________________________________________________________________________________ OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS
Ce sont alors des évolutions de parcs d’équipements, définissant
des programmes d’investissements, qu’il faut étudier. Cela ne peut
être fait qu’en simplifiant considérablement la description physique
du processus de transformation, par exemple en supposant connus
les résultats de l’étape de dimensionnement des appareils. On peut
alors linéariser les relations du type (1). Celles-ci, réduites à quelques
coefficients représentant en général les consommations spécifiques,
il devient possible de traiter le problème de recherche du programme
optimal.
3.3 Traitement pratique de ces questions
Intégrer la résolution de ces différentes questions par une optimisation unique mais détaillée serait en général voué à l’échec. Dans
les problèmes les plus simples, on peut quelquefois l’envisager et
s’appuyer sur une formulation semblable à celle indiquée ci-dessus
pour le problème de conception-dimensionnement. Mais, bien
souvent, les quatre catégories de questions qui ont été définies ici
sont à étudier avec une certaine autonomie. Une approche réaliste
de chacune d’entre elles requiert en effet :
— des compétences bien spécifiques, souvent mises en œuvre
par des équipes différentes ;
— des schématisations du processus physique, de l’évolution des
besoins desservis et de celle des prix des énergies consommées,
qui devront aussi différer.
Il faut alors que chaque problème puisse être étudié à la lumière
des résultats des autres. Cela est possible à condition de mettre en
œuvre quelques principes.
■ Traiter chaque question dans un esprit systémique : les réponses
apportées par l’étude d’une d’entre elles, à un moment donné,
résultent de ce qu’on sait de la résolution des autres ; réciproquement, tout résultat de calcul fournira non seulement une réponse
à la question formulée mais, et peut-être surtout, des éléments pour
permettre la résolution des autres.
■ Avoir une organisation rationnelle vis-à-vis du problème traité :
les outils mis en œuvre, les tâches confiées aux différentes équipes,
doivent, autant que faire se peut, coïncider avec un découpage
logique du problème (par exemple, la décomposition en quatre
questions définie ci-dessus, encore qu’elles ne soient pas toutes à
poser explicitement dans chaque problème réel).
■ Assurer l’homogénéité des critères de choix retenus pour
chacune des questions : cette dernière exigence paraît aller de soi.
Son respect exige pourtant certaines précautions et l’expérience
montre qu’elles ne sont pas toujours prises.
4. Outils mathématiques
disponibles
4.1 Programmation linéaire ou mixte
(optimisation linéaire)
Nous avons déjà indiqué que le choix d’un investissement
d’équipements énergétiques est aussi caractérisé par la dépendance
entre ces équipements. En effet, les uns peuvent utiliser les produits
des autres et tous contribuent aux besoins d’ensemble des procédés
de production : le choix d’une pompe à chaleur modifie en général
l’autoproduction d’électricité, car celle-ci est, dans la pratique, liée
aux besoins de vapeur que ce choix permet de réduire. De plus, les
courbes de charge qui résultent des programmes d’exploitation des
unités et la modulation du coût du kilowattheure fourni par le réseau
sont des éléments très importants pour déterminer la puissance
d’une turbine ou la taille d’un générateur de vapeur haute pression.
De ces deux aspects peut résulter le besoin de prendre en compte
un assez grand nombre de variables, ce qui conduit au recours à
la programmation linéaire ou mixte. La formulation d’un problème
de ce type est exposée dans l’article Optimisation des processus
énergétiques : gestion optimale [B 1 282] dans le présent traité.
La modélisation se traduit alors par la minimisation d’une fonction
linéaire sous un ensemble de contraintes elles-mêmes linéaires.
L’algorithme du simplex permet alors de trouver de façon certaine
l’optimum absolu (sauf cas particulier de dégénérescence) en un
nombre fini d’itérations et, cela, quel que soit le nombre de variables.
Cette propriété explique le large emploi qui a été fait de cette
méthode, notamment dans le domaine de la planification du choix
d’équipements énergétiques [12].
4.2 Simulation et optimisation
non linéaires
4.2.1 Simulation non linéaire
La prise en compte de certains phénomènes thermiques, lors de
la modélisation de fours ou de séchoirs par exemple (équation de
la chaleur, phénomènes de convection, etc.), conduit à la résolution
d’équations ou de systèmes d’équations différentielles. Celles-ci se
répartissent en deux groupes principaux : les équations aux dérivées
totales et les équations aux dérivées partielles, pour lesquelles les
méthodes sont de natures différentes :
— les équations aux dérivées totales sont résolues par des
méthodes d’intégration dont les plus connues sont les méthodes
de Runge-Kutta (article Méthodes numériques de base [A 1 220],
dans le traité Sciences fondamentales) ;
— les équations aux dérivées partielles se résolvent par discrétisation par rapport aux variables de dérivation ; la résolution de
l’équation différentielle se ramène alors à la résolution d’un système d’équations linéaires dont la matrice est creuse (article Équations aux dérivées partielles [A 650], dans le traité Sciences
fondamentales).
Le lecteur trouvera dans l’ouvrage de Carnahan [11] des exposés
théoriques de ces différentes méthodes accompagnés de nombreux
exemples pratiques.
Le fonctionnement d’un système tel que celui de la figure 1 peut
être décrit par un jeu d’équations algébriques non linéaires. Celles-ci
décrivent, dans le cas présent, le cycle thermodynamique du Fréon
dans la pompe à chaleur, les relations d’échange dans l’évaporateur
et le condenseur, la compression de la vapeur produite et, enfin,
l’expression des grandeurs thermodynamiques en fonction de la
pression et de la température ; le jeu d’équations est donné, à titre
indicatif, dans le tableau de la figure 1.
Le problème de simulation consiste à se fixer suffisamment de
paramètres pour avoir autant d’équations que d’inconnues. Ces
dernières peuvent alors être obtenues en résolvant le système par
l’une des méthodes suivantes :
— méthode de Newton ;
— méthodes quasi-Newton, notamment les méthodes de
Broyden [3] ;
— méthodes de Brent et de Brown [4] ;
— méthode de Levenberg-Marquardt et méthode hybride de
Powell [5] ;
— méthodes de continuation par chemin homotope [6].
La simulation peut être une phase préliminaire à l’optimisation car
elle permet de lui fournir un ou plusieurs points de départ. De plus,
il est envisageable dans des cas simples de réaliser l’optimisation
technico-économique par simulations successives.
Ainsi, dans le cas du système PAC + CMV de la figure 1, il est
possible d’effectuer une série de simulations en faisant varier le paramètre pression au refoulement du compresseur de la PAC, puis de
tracer la courbe de la grandeur qu’on cherche à minimiser en fonction
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OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS __________________________________________________________________________________
de ce paramètre. Cette démarche peut être renouvelée pour d’autres
paramètres, ce qui conduit à une série d’optimisations monovariables manuelles. Cette façon de procéder révèle cependant deux
inconvénients dans le cadre de l’optimisation du procédé :
— elle est fastidieuse, car une optimisation non linéaire est
remplacée par de nombreuses simulations ;
— l’optimum sur chacun des paramètres que l’on a fait varier peut
ne pas correspondre au véritable optimum global si ces paramètres
sont interdépendants, ce qui est généralement le cas.
— le nombre de relations des types (1) et (2) permet un bon
fonctionnement des algorithmes précédemment cités.
Si tel n’est pas le cas, problème de trop grande taille ou linéarisation des fonctions G admissible, les outils de programmation
linéaire et mixte sont à utiliser (§ 4.1).
4.3 Rapide panorama des autres outils
mathématiques disponibles
4.2.2 Optimisation non linéaire
Les deux remarques précédentes justifient le recours à la
programmation non linéaire quand cela est possible. En reprenant
l’exemple précédent, les problèmes posés par l’optimisation
manuelle par simulations successives peuvent être résolus en
minimisant une fonction objectif (temps de retour de l’investissement dans l’exemple présent) sous les contraintes égalité du
problème de simulation équivalent, et des contraintes inégalité
limitant le champ de recherche des variables (figure 1).
Quatre grands types de méthodes générales sont disponibles :
— les méthodes d’optimisation de fonction non contrainte
(méthodes Davidon-Fletcher-Powell, Broyden-Fletcher-Shanno,
méthode quadratique de Powell), avec prise en compte des
contraintes par pénalisation de la fonction objectif [7] ;
— les méthodes de lagrangien augmenté, qui reprennent le
principe des méthodes de pénalisation avec une expression plus
élaborée de la fonction de pénalisation [7] [8] ;
— les méthodes de gradient réduit généralisé [14] ;
— les méthodes quadratiques séquentielles, dont la plus célèbre
est la méthode de Wilson-Han-Powell [9].
Cette dernière classe correspond aux plus récents développements en matière de programmation non linéaire algébrique. Ce
sont aussi les méthodes statistiquement les plus robustes, suivies
de près par les méthodes de gradient réduit généralisé. Les
méthodes de lagrangien augmenté, quant à elles, peuvent être performantes et sont parmi les plus simples.
Il faut cependant garder à l’esprit que la programmation non
linéaire ne peut être envisagée avec succès que pour des problèmes
de taille modérée, et que leur mise en œuvre demande souvent de
longues adaptations.
Il apparaît donc que les méthodes de simulation et d’optimisation
non linéaires sont (pour des raisons techniques de convergence et
de temps de calcul entre autres) adaptées aux problèmes pour
lesquels on souhaite privilégier la finesse de représentation des fonctions G (X, ϕ, θ ) = 0, et à la condition que celles-ci ne soient pas trop
nombreuses. Cela exclut en particulier une indexation des variables
et des contraintes de type (1) et (2) sur le temps, ce qui aurait pour
effet d’accroître très nettement la taille des problèmes à traiter.
Il en résulte donc que la simulation et l’optimisation non linéaire
ne sont parfaitement adaptées au problème de choix et de dimensionnement d’un équipement que si :
— l’impact de la finesse de représentation des fonctions G sur le
résultat est plus important que l’effet des variations en cours du
temps des paramètres ϕ, θ, e, b et p ;
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Parmi les autres outils mathématiques disponibles, on peut citer
notamment :
— la programmation dynamique et la commande optimale ; ces
méthodes permettent de déterminer l’évolution optimale d’un
système au cours du temps de façon à minimiser un critère ; elles
ne s’avèrent applicables en pratique que si le système étudié est
décrit par un petit nombre de variables d’état (contrairement à la
programmation linéaire par exemple), le nombre de pas de temps
pouvant être élevé. Le fonctionnement optimal d’une ligne de
réacteurs chimiques discontinus peut être obtenu à l’aide de ces
méthodes (programmation dynamique dans ce cas) ;
— la commande adaptative multivariable et, d’une façon plus
générale, les méthodes de l’automatique [10] ; ces méthodes
permettent d’élaborer des lois de commande de certains paramètres
d’un équipement de façon à respecter des valeurs de consigne sur
d’autres paramètres. Elles sont appliquées, par exemple, pour
obtenir en fonction du temps la commande de puissance d’un four
électrique qui permet d’atteindre la température de consigne en un
temps minimal et sans dépassement de celle-ci (article Chauffage
et rafraîchissement des bâtiments par l’électricité. Chauffage électrique par effet Joule [B 2 156], dans le traité Génie énergétique).
Ces deux classes de méthodes sont donc plus spécifiquement
destinées à la gestion optimale d’un équipement en temps réel
(article spécialisé Optimisation des processus énergétiques : gestion
optimale [B 1 282], dans le présent traité) et se placent donc en aval
des méthodes préalablement citées (choix et dimensionnement d’un
équipement, gestion globale sur une année d’un système décrit par
de nombreuses variables d’état).
5. Conclusion
Le but de cet article est de positionner les différents problèmes
les uns par rapport aux autres, ainsi que les méthodes permettant
de les résoudre. Ces méthodes de résolution progressent
rapidement : elles sont souvent performantes et fiables. Elles
deviennent aussi de plus en plus accessibles à l’ingénieur car un
nombre croissant de logiciels permet de les mettre en œuvre.
Le lecteur trouvera dans les références bibliographiques les informations nécessaires à la mise en pratique de ces méthodes et outils.
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__________________________________________________________________________________ OPTIMISATION DES PROCESSUS ÉNERGÉTIQUES : CONCEPTS
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