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2.6 TD MECA

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TD Mécanique 1: statique
« If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough. »
Albert Einstein
« No man should escape our universities without knowing how little he knows. »
J. Robert Oppenheimer
Exercice 1
Les Vecteurs
Soit un repère (0xyz) auquel on associe la base cartésienne orthonormée #»
e x , #»
e y , #»
e z . On
#» #»
#»
note M un point M, de coordonnées (3, 1, 0) et 3 vecteurs F 1 , F 2 et F 3 .
#»
q F 1 a pour composante 3 unités selon #»
e x et fait un angle β = +60◦ avec l’axe Ox
#»
q F 2 a pour norme 4 unités et fait un angle α = +30◦ avec l’axe Oy
#»
q F 3 a une composante nulle selon #»
e x et a une composante de y unité(s) (avec y < 0)
#»
selon e
y
On prend comme unité le cm
#» #»
#»
1. Placez le point M et tracez les vecteurs F 1 , F 2 et F 3 en plaçant leurs origines en
M
#»
#»
2. Déterminez par le calcul les composantes de F 1 et F 2 dans la base #»
e x , #»
e y , #»
e z.
#»
#»
3. Déterminez par le calcul les normes de F 1 et F 2 .
#»
#» #»
#»
4. Calculez la résultante (le vecteur somme) S des vecteurs F 1 , F 2 et F 3
#»
5. Déduisez en la norme de S
#»
6. Existe-t-il une valeur de y pour laquelle la résultante S est nulle, confirmez votre
résultat avec un dessin.
#»
#» #»
#»
7. Comparez la norme de S à la somme des normes de F 1 , F 2 et F 3
8. L’inégalité trouvée précédemment dépend-elle des composantes des vecteurs ?
Justifiez votre réponse.
Exercice 2
Vecteur ou scalaire ?
Repérez les erreurs dans les expressions ci-dessous (s’il y en a !). Les vecteurs en lettres
capitales sont tous des vecteurs forces et les vecteurs #»
e x , #»
e y , #»
e z sont les vecteurs unitaires
de la base cartésienne.
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TD Mécanique 1: statique
1.
#»
P = km #»
gk
2.
#» #»
F = F . #»
ex
3.
#»
#»
F = ( T . #»
e x ). #»
ey
4.
#»
#»
F = ( F + 1). #»
ex
5.
#»
P = (mg cos α + mg sin α). #»
e x − (m #»
g sin α) #»
ey
6.
#»
ey
F = mg. #»
7.
#»
e x + #»
ey = 2
Exercice 3
Projection pour débuter
#» #» #»
1. Exprimez les forces F , T , P en fonction des normes des vecteurs forces et des
vecteurs de la base cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ).
#»
#» #» #»
2. Si aucune des forces n’a son intensité nulle, peut on avoir F + T + P = 0 ?
Justifiez.
Figure 1 – Les forces sont alignées avec l’horizontale (axe x) ou la verticale (axe y)
Exercice 4
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Projection d’une force dans 2 bases
#»
1. Exprimez le vecteur force P en fonction de sa norme et des vecteurs de la base
cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ).
2. Exprimez les vecteurs de la base ( #»
e x1 , #»
e y1 , #»
e z1 ) en fonction de ceux de la base
#»
#»
#»
(e , e , e )
x
y
z
3. Exprimez les vecteurs de la base ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ) en fonction de ceux de la base
( #»
e x1 , #»
e y1 , #»
e z1 )
#»
4. Exprimez ensuite P dans la base cartésienne ( #»
e x1 , #»
e y1 , #»
e z1 ).
#»
5. Calculez la norme de P à partir de son expression obtenue dans la question 1 puis
faites de même à partir de son expression obtenues dans la question 4
Figure 2 – La force est alignée la verticale (axe y)
Exercice 5
Projection d’un vecteur force
Les vecteurs seront exprimés dans la base cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ).
#»
1. Exprimez les composantes de la force F en fonction de la norme du vecteur et de
l’angle θ
#»
2. Exprimez les composantes de la force T en fonction de la norme du vecteur et de
l’angle α
#»
#» #»
#»
#» #»
3. Représentez graphiquement le vecteur F a = F + T et le vecteur F s = F − T
#»
#»
4. Donnez les expressions des vecteurs F a et F s dans la base #»
e x , #»
e y , #»
e z.
#»
#»
5. Effectuez les produit scalaires F a . #»
e x et F s . #»
e y . Que représentent ces produits scalaires ?
#»
#»
6. Calculer les normes des vecteurs F a et F s
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Figure 3 – Les lignes en pointillés sont des horizontales ou des verticales
Exercice 6
Un pendule en équilibre
L’étude est faite dans le référentiel RT supposé galiléen. Le pendule M de masse m est
accroché à deux fils 1 et 2
Figure 4 – Le fil 2 est supposé incassable. La verticale est selon l’axe y
1. Précisez le système mécanique étudié.
2. Faites un inventaire des forces appliquées au pendule (forces à distance et de
contacts)
3. Donnez l’expression de ces forces dans la base ( #»
e x , #»
e y , #»
ez )
#»
4. Si le pendule est à l’équilibre, exprimez T 1 tension du fil 1 appliquée à M en
fonction des autres forces. Déduisez-en le système d’équation scalaire reliant les
composantes de ces forces.
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5. Le fil 1 casse si la norme de sa tension est supérieure à 5N. A.N m = 1kg, θ = 30◦ ,
g = 10m.s−2 .
Le fil casse-t-il ?
Exercice 7
Un palet en équilibre
L’étude est faite dans le référentiel RT supposé galiléen. Un palet M de masse m est posé
sur un plan incliné. Il peut glisser sans frottement sur le plan incliné et il est retenu par un
fil parallèle au plan incliné.
Figure 5 – Équilibre sur plan incliné
1. Précisez le système mécanique étudié.
2. Faites un inventaire des forces appliquées au palet (forces à distance et de contacts).
Représentez les forces sur un schéma.
3. Donnez l’expression des forces dans la base ( #»
e , #»
e , #»
e )
x1
y1
4. Donnez l’expression des forces dans la base ( #»
e x , #»
e y , #»
e z)
z1
5. Le palet étant à l’équilibre : exprimez la relation vectorielle existant entre les
forces. Déduisez-en le système d’équation scalaire reliant les composantes de ces
forces.
6. A.N : Donnez les normes de toutes les forces s’exerçant sur le palet. m = 1kg,
α = 30◦ , g = 10m.s−2 .
Exercice 8
Choisir le bon système
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3 cubes, chacun étant assimilé à un point matériel, sont empilés sur une table. Ils sont
en équilibre dans le référentiel RT supposé galiléen. On note les actions entre les cubes
#»
#»
R A→B , R C→B , etc.
Figure 6 – Les cubes A, B et C ont pour masse mA , mB et mC
1. Effectuez l’inventaire des forces (forces à distance et de contacts) qui s’exercent
sur le cube B. Pourquoi ne peut-on pas dire que le poids de A est une force qui
s’applique sur B ?
2. Effectuez l’inventaire des forces (forces à distance et de contacts) qui s’exerce sur
le palet A et C.
#»
3. Déterminez l’expression de R B→A en fonction mA et g et d’un vecteur de la base
#»
cartésienne. Déduisez l’expression de R A→B
#»
#»
4. De même déduisez-en R B→C et R C→B .
#»
5. Finalement exprimez R S ol→C
Exercice 9
En route vers la notation algébrique
En mécanique il est courant que le sens de certaines forces soit inconnues. Il est alors
beaucoup plus simple d’utiliser les composantes du vecteur avec une notation algébrique.
#»
#»
Exemple si la direction de F est celle de l’axe des x mais que le sens de F n’est pas connu
alors :
#»
Si F est dans le sens de l’axe des x :
#»
#»
F . #»
ex = F
#»
Si F est dans le sens opposé à l’axe des x :
#»
#»
F . #»
ex =− F
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#»
Cette double notation n’est pas pratique. On impose un sens arbitraire à F et on notera
simplement la valeur algébrique de la composante :
#»
F . #»
e x = Fx
avec F x qui peut être positif ou négatif.
~ ont un sens et une direction fixe comme indiqué sur la schéma.
Figure 7 – Les forces T~1 , T~2 et P
#»
q Un point matériel est soumis initialement à 3 forces. On rajoute une force F qui a
pour direction l’axe des x de sorte que le point soit en équilibre
.
1. Donnez l’équation vectorielle correspondant à la condition d’équilibre notée équation A.
2. Donnez l’équation scalaire vérifiée par F issue de la projection de A sur #»
e
x
x
3. Donnez l’équation scalaire vérifiée par P, T 1 et T 2 , issue de la projection de A sur
#»
ey
#»
#»
4. Si on fixe l’intensité de T 1 pour quelles valeurs de l’intensité de T 2 a-ton F x < 0 ?
A quoi correspond ce cas F x < 0 ? Faire un schéma qui traduit cette situation.
Exercice 10
Ressort à l’horizontal
Un palet M de masse m glisse sans frottement. Il est accroché à un ressort puis est tiré
#»
par un opérateur (force F ). On étudie son équilibre dans le référentiel terrestre supposé
galiléen.
1. Effectuer l’inventaire des forces (forces à distance et de contacts) qui s’exercent
sur le palet.
#»
2. Exprimez la force de rappel du ressort T en fonction de la constante de raideur k,
de la longueur à l’équilibre Leq , de la longueur à vide L0 et d’un vecteur de la base
cartésienne.
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~ de sorte
Figure 8 – Un ressort est acroché au palet, celui-ci est tiré par un opérateur (force F)
qu’un équilibre soit atteint.
3. Exprimer Leq en fonction de l’abscisse xeq du point matériel M à l’équilibre et de
la longueur à vide L0 .
#»
4. Déduisez-en l’expression la force de rappel du ressort T en fonction de la constante
de raideur k et de l’abscisse xeq du point matériel M et d’un vecteur de la base cartésienne.
#»
5. Donner l’expression de F en fonction de la constante de raideur k et de la coordonnée xeq du point matériel M et d’un vecteur de la base cartésienne.
Exercice 11
Ressort sur plan incliné
Un palet M de masse m glisse sans frottement, il est accroché à un ressort de constante de
raideur k. On étudie son équilibre dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Figure 9 – Le palet est à l’équilibre et étire le ressort de constante de raideur k
1. Effectuer l’inventaire des forces (forces à distance et de contacts) qui s’exercent
sur le palet.
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#»
2. Exprimez la force de rappel du ressort T en fonction de la constante de raideur k
et de la longueur à l’équilibre Leq et de la longueur à vide L0 et d’un vecteur de la
base cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ).
3. Exprimez Leq en fonction de l’abscisse xeq du point matériel M à l’équilibre et de
la longueur à vide L0 .
#»
4. Déduisez-en la force de rappel du ressort T en fonction de la constante de raideur
k, de l’abscisse xeq du point matériel M et d’un vecteur de la base cartésienne.
5. Déduisez en l’expression de xeq en fonction de la constante de raideur k, de la
masse m, de l’accélération de la pesanteur g et de l’angle α
Exercice 12
Équilibre de charges électrostatique
On étudie l’équilibre de 3 charges électrostatiques placées sur un axe. Les charges placées
à l’abscisse x0 et 3x0 sont fixes dans le référentiel RT , la charge −e est mobile mais va se
placer à son point d’équilibre entre les 2 charges à l’abscisse xeq . La charge est astreinte
à se déplacer sur l’axe x.
Figure 10 – Situation imaginaire : 3 charges sur un axe...
1. A l’aide de la figure 10, situez approximativement le(s) lieu(x) où un équilibre est
possible pour la charge −e
2. Exprimez les forces électrostatiques qui s’exercent sur la charge −e en fonction de
e, x0 et xeq
3. On admet que la charge −e se place en xeq de manière à réaliser l’équilibre des
forces électrostatiques qui s’exercent sur elle. Donnez une équation permettant de
calculer xeq .
4. Montrez que l’équation fournit 2 solutions pour xeq . Les deux solutions ont-elles
un sens physique ? Comment trancher ?
Exercice 13
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Équilibre avec des poulies
Figure 11 – Les poulies sont supposées être sans masse !, la poulie P1 est fixe, la poulie P2 est
mobile.
Nous admettrons plusieurs propriétés :
q les poulies sont de masse nulle !
q L’intensité des tensions est conservée au passage d’une poulie et le long d’un fil.
On se place dans le référentiel RT et on étudie 4 système différents, la poulie P1 , la poulie
P2 , le point M1 de masse m1 et le point M2 de masse m2 . On suppose que l’ensemble du
système est à l’équilibre.
#»
1. Étudiez le système M2 . Déduisez-en une relation entre T 2 et km2 #»
gk
#»
#»
2. Étudiez le système poulie P2 . Déduisez-en une relation entre T a et T b , puis
#»
#»
entre T 2 et T a
#»
#»
3. Étudiez le système poulie P1 . Déduisez-en une relation entre T a et T 1
4. Étudiez le système M1 et déduisez-en une relation entre les masses m2 et m1 . Quel
est l’intérêt d’un tel système.
5. Question pour le chapitre Énergie : le système peut-il produire de l’énergie ?
Pourquoi ?
Extraits annales
7 pts
Exercice 14
En escalade, un relais de triangulation consiste en deux points d’ancrage fixes reliés entre
eux par des sangles ou une chaîne. La corde qui assure les grimpeurs est accrochée a ces
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sangles. Le but de l’exercice est d’analyser l’influence des angles du relais de triangulations, et de comprendre pourquoi il est dangereux en escalade d’avoir α + θ > 120◦
Les sangles 1 et 2 ainsi que la corde 3 seront considérées comme inextensibles et sans
Figure 12 – Un relais de triangulation et sa modélisation.
masses. Le point C est constitué d’un mousqueton qui relient cordes et sangles est aussi
sans masse. Le point M est affecté d’une masse m.
#»
La tension du fil 3 s’exerçant sur M est notée T 37→ M , la tension du fil 3 s’exerçant sur C
#»
est notée T 37→C les deux forces ont pour norme T 3 .
On notera T 1 et T 2 les normes des tensions sangles 1, 2.
L’ensemble corde masse sangle est à l’équilibre.
Partie A : Étude du système {M; m} :
0.5 pt
1. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur la masse M. Donnez leurs expressions dans la base #»
e x , #»
ey
0.5 pt
2. Déterminez la relation liant T 3 et mg.
Partie B : Étude du système C
0.5 pt
3. Faites un inventaire des 3 forces s’exerçant sur C. Donnez leurs expressions dans
la base #»
e x , #»
ey
1 pt
4. Déduisez-en une relation entre T 1 , T 2 , θ et α.
1 pt
5. Déduisez-en une relation entre T 1 , T 2 , mg, θ et α.
1 pt
6. Donnez l’expression de T 1 et T 2 en fonction de mg, α et θ.
Partie C : Étude du cas θ = α
1 pt
7. Donnez l’expression de T 1 et T 2 en fonction de mg et θ.
1 pt
8. Montrez que T 1 > mg si θ > θlim . Exprimez θlim en radian.
0.5 pt
9. Si les points d’ancrage sont éloignés et les sangles tendues alors θ est proche de
π
π/2. Par exemple, si θ = 0.99 alors cos θ ≈ 0.01. Quelle est alors la relation entre
2
T 2 et mg ? Est ce une situation souhaitable et pourquoi ?
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8 pts
Exercice 15
Une pieuvre P de masse mP est accrochée à un plafond et soulève un objet M de masse
m. Les tentacules de la pieuvre sont au nombre de 8 mais seuls 3 sont représentés. Pour
simplifier la situation les tentacules sont considérés comme des fils sans masse.
P et M sont à l’équilibre dans le référentiel galiléen du laboratoire.
#»
La tension du fil 3 s’exerçant sur M est notée T 37→ M , la tension du fil 3 s’exerçant sur P
#»
est notée T 37→P les deux forces ont pour norme T 3 .
On notera T 1 et T 2 les normes des tensions fils 1, 2.
Figure 13 – Une pieuvre soulève une masse
Partie A : Étude du système {M; m} :
1 pt
1. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur la masse M. Donnez leurs expressions dans la base #»
e x , #»
ey
1 pt
2. Déterminez la relation liant T 3 et mg.
Partie B : Étude du système {P; mP }
1 pt
3. Faites un inventaire des 4 forces s’exerçant sur P. Donnez leurs expressions dans
la base #»
e x , #»
ey
1 pt
4. Déduisez-en une relation entre T 1 , T 2 , θ et α.
1 pt
5. Déduisez-en une relation entre T 1 , T 2 , T 3 , mP g, θ et α.
Partie C : Bilan des parties A et B.
π
π
1. Montrez que si θ = et α = alors on obtient les 2 relations suivantes :
3
6
−T 1 + T 2 = 0
T 1 + T 2 = 2(mP + m)g
2 pt
1 pt
2. Si θ =
π
π
et α = , exprimez T 1 et T 2 en fonction de (mP + m)g.
3
6
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4 pts
Exercice 16
L’étude est faite dans le référentiel RT supposé galiléen. Un araignée commence à construire
sa toile entre 2 murs. Elle a déjà tissé 4 fils et placé un point de glue G.
Figure 14 – La verticale est selon l’axe y, les lignes en pointillés sont des verticales ou des horizontales
1 pts
Exprimer dans la base ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ) le résultat des projections suivantes en fonctions des
normes des forces et des angles :
#»
1. T 1 . #»
ex
#» #»
#»
2. T 2 . e x ainsi que T 3 . #»
ex
#» #»
#» #»
3. ( F + T + T ). e
1 pts
4. En supposant que le point de glue est à l’équilibre et qu’il est de masse nulle.
#»
#»
#»
Exprimer F en fonction des angles α et β et de T 1 et T 2
1 pts
1 pts
8 pts
2
1
y
Exercice 17
Une masse {M2 ; m2 } est suspendue à un câble qui est accroché à une masse {M1 ; m1 } qui
repose sur un plan incliné. Le système est à l’équilibre.
Partie A : Étude du système {M2 ; m2 } :
1 pt
1 pt
1. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur la masse M2 . Donnez leurs expressions dans la base #»
e x2 , #»
e y2
#»
2. Déterminez la relation liant T 2 et m2 g.
Partie B : Étude du système {M1 ; m1 }
Attention le plan incliné n’est pas parfaitement glissant donc la réaction du sol n’est pas
#»
orthogonale au support. R sol7→ M1 = R x #»
e x1 + Ry #»
e y1
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Figure 15 – Une machine d’Attwood en statique
La poulie et le câble sont parfaits : la norme de la tension du câble est identique de part et
#»
#»
d’autre de la poulie donc on a : T 1 = T 2
1 pt
3. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur M1 . Donnez leurs expressions dans
la base #»
e x1 , #»
e y1
#»
4. Donnez la relation liant R x et T 1 , m1 g et α .
1 pt
5. Donnez la relation liant Ry , m1 g et α.
1 pt
6. En déduire alors R x en fonction de m2 g, m1 g et α.
|R x |
7. La masse M1 ne glisse pas tant que
≤ f . Déduisez-en que la masse M1 ne
Ry
glisse pas si
m2
tan α −
≤ f
m1 cos α
où f représente le coefficient de frottement du sol.
1 pt
2pt
9 pts
Exercice 18
Une masse {A; mA } est suspendue à une grue par un cable (1). Un ouvrier {B; mB } tire sur
la masse avec un cable (2) horizontal jusqu’à ce que l’ensemble soit immobile. On note
#»
les tensions T i7→X (fil i sur système X).
Partie A : Étude du système {A; mA } :
1 pt
1.5 pt
1.5 pt
1. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur la masse A.
#»
2. Déterminez la relation liant T 17→A , mA g et α.
#»
#»
3. Déterminez la relation liant T 17→A , T 27→A et α.
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Figure 16 – La grue et l’ouvrier
1 pt
#»
4. En déduire T 27→A en fonction de mA g et α.
Partie B :Étude du système {B; mB }
Attention le sol n’est pas parfaitement glissant donc la réaction du sol n’est pas orthogo#»
#»
#»
nale au support. R sol7→B = R x #»
e x + R y #»
ey
1 pt
1 pt
1 pt
0.5 pt
5. Faites un inventaire des forces s’exerçant sur l’ouvrier B.
#»
#»
6. Donnez la relation liant R x et T 27→B .
#»
7. Donnez la relation liant R y et mB g.
#»
#»
#»
8. On admet que T 27→A = T 27→B , en déduire alors R x en fonction de mA g et α.
#»
Rx
9. L’ouvrier se met à déraper si #» ≥ f . Déduisez-en que l’ouvrier glisse si
Ry
mA ≥ m B
0.5 pt
10 pts
f
tan α
où f représente le coefficient de frottement du sol.
Exercice 19
L’étude est faite dans le référentiel RT supposé galiléen.
Un ballon sphérique M de volume Vb dont enveloppe est de masse me est rempli d’Hélium
de masse volumique µHe . Le ballon est accroché à un fil de masse nul qui le relie au sol.
En plus des autres forces il est soumis à la poussée d’Archimède de l’atmosphère, on la
#»
#»
note Π et elle a pour expression Π = −µair Vb #»
g , avec µair la masse volumique l’air.
On prend comme système le ballon : enveloppe + Hélium. Le ballon est immobile dans
le référentiel terrestre.
Partie I : étude sans vent
Le fil qui relie le ballon au sol est parfaitement vertical.
0.5 pt
1. Déterminez la masse totale du ballon mb en fonction de me , µHe et Vb
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Figure 17 – Un ballon captif
1 pt
0.5 pt
0.5 pt
2. Faites un inventaire des forces appliquées au ballon.
#»
3. Exprimer, dans la base cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ), la poussée d’Archimède Π en
fonction de g, Vb , µair et des vecteurs de la base de projection.
#»
4. Exprimer dans la base cartésienne ( #»
e x , #»
e y , #»
e z ) la tension T du fil qui s’exerce
#»
sur le ballon en fonction de T et des vecteurs de la base de projection.
#»
5. Exprimer, dans la base cartésienne ( #»
e , #»
e , #»
e ), le poids du solide P en fonction
x
0.5 pts
y
z
de mb g et des vecteurs de la base de projection.
1pt
#» #» #»
6. Donnez la relation vectorielle liant les 3 forces T , Π, P
#»
7. Déduisez-en la relation liant T , mb , µair , g et Vb
1pt
8. A.N : Donnez les normes de toutes les forces s’exerçant sur le ballon. me = 0.3kg,
µair = 1.3kg.m−3 , µHe = 0.18kg.m−3 , Vb = 2m3 , g = 10m.s−2 .
0.5pt
Partie II : étude avec vent
#»
Un vent se lève et exerce une force supplémentaire sur la ballon F vent = k.v0 #»
e x . Avec v0
la vitesse du vent et k une constante. Le fil fait maintenant un angle α avec la verticale.
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1. Quelle est la dimension de k ?
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2. Reprenez l’étude précédente et déduisez-en l’expression du module du vecteur
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tension T en fonction mb , µair , g, Vb et α.
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3. Finalement exprimez v0 la vitesse du vent en fonction k, mb , µair , g, Vb et α.
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4. A.N : Donnez la valeur de v0 la vitesse du vent . me = 0.3kg, µair = 1.3kg.m−3 ,
µHe = 0.18kg.m−3 , Vb = 2.0m3 , g = 10m.s−2 α = 30◦ et k = 1.5S I.
Université de Haute Alsace
L1S1
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