TD Mécanique 1: Statique - Exercices et Vecteurs

TD Mécanique 1: statique
«If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough. »
Albert Einstein
«No man should escape our universities without knowing how little he knows. »
J. Robert Oppenheimer
Exercice 1
Les Vecteurs
Soit un repère (0xyz) auquel on associe la base cartésienne orthonormée #» ex,#» ey,#» ez. On
note Mun point M, de coordonnées (3,1,0) et 3 vecteurs #» F1,#» F2et #» F3.
q
#»
F1a pour composante 3 unités selon #» exet fait un angle β= +60◦avec l’axe Ox
q
#»
F2a pour norme 4 unités et fait un angle α= +30◦avec l’axe Oy
q
#»
F3a une composante nulle selon #» exet a une composante de yunité(s) (avec y<0)
selon #» ey
On prend comme unité le cm
1. Placez le point Met tracez les vecteurs #» F1,#» F2et #» F3en plaçant leurs origines en
M
2. Déterminez par le calcul les composantes de #» F1et #» F2dans la base #» ex,#» ey,#» ez.
3. Déterminez par le calcul les normes de #» F1et #» F2.
4. Calculez la résultante (le vecteur somme) #» Sdes vecteurs #» F1,#» F2et #» F3
5. Déduisez en la norme de #» S
6. Existe-t-il une valeur de ypour laquelle la résultante #» Sest nulle, confirmez votre
résultat avec un dessin.
7. Comparez la norme de #» Sà la somme des normes de #» F1,#» F2et #» F3
8. L’inégalité trouvée précédemment dépend-elle des composantes des vecteurs?
Justifiez votre réponse.
Exercice 2
Vecteur ou scalaire ?
Repérez les erreurs dans les expressions ci-dessous (s’il y en a!). Les vecteurs en lettres
capitales sont tous des vecteurs forces et les vecteurs#» ex,#» ey,#» ezsont les vecteurs unitaires
de la base cartésienne.
Universit´ e de Haute Alsace
L1S1
1/16

TD Mécanique 1: statique
1. #»
P=km#» gk
2. #»
F=
#»
F.#» ex
3. #»
F=(#» T.#» ex).#» ey
4. #»
F=(#» F+1).#» ex
5. #»
P=(mg cos α+mg sin α).#» ex−(m#» gsin α)#» ey
6.
#»
F
=mg.#»
ey
7.
#»
ex+#» ey
=2
Exercice 3
Projection pour d´ ebuter
1. Exprimez les forces #» F,#» T,#» Pen fonction des normes des vecteurs forces et des
vecteurs de la base cartésienne (#» ex,#» ey,#» ez).
2. Si aucune des forces n’a son intensité nulle, peut on avoir #» F+
#»
T+
#»
P=
#»
0 ?
Justifiez.
Figure 1– Les forces sont alignées avec l’horizontale (axe x) ou la verticale (axe y)
Exercice 4
Universit´ e de Haute Alsace
L1S1
2/16

TD Mécanique 1: statique
Projection d’une force dans 2bases
1. Exprimez le vecteur force #» Pen fonction de sa norme et des vecteurs de la base
cartésienne (#» ex,#» ey,#» ez).
2. Exprimez les vecteurs de la base (#» ex1,#» ey1,#» ez1) en fonction de ceux de la base
(#» ex,#» ey,#» ez)
3. Exprimez les vecteurs de la base (#» ex,#» ey,#» ez) en fonction de ceux de la base
(#» ex1,#» ey1,#» ez1)
4. Exprimez ensuite #» Pdans la base cartésienne (#» ex1,#» ey1,#» ez1).
5. Calculez la norme de #» Pà partir de son expression obtenue dans la question 1 puis
faites de même à partir de son expression obtenues dans la question 4
Figure 2– La force est alignée la verticale (axe y)
Exercice 5
Projection d’un vecteur force
Les vecteurs seront exprimés dans la base cartésienne (#» ex,#» ey,#» ez).
1. Exprimez les composantes de la force #» Fen fonction de la norme du vecteur et de
l’angle θ
2. Exprimez les composantes de la force #» Ten fonction de la norme du vecteur et de
l’angle α
3. Représentez graphiquement le vecteur #» Fa=
#»
F+
#»
Tet le vecteur #» Fs=
#»
F−
#»
T
4. Donnez les expressions des vecteurs #» Faet #» Fsdans la base #» ex,#» ey,#» ez.
5. Effectuez les produit scalaires #» Fa.#» exet #» Fs.#» ey. Que représentent ces produits sca-
laires?
6. Calculer les normes des vecteurs #» Faet #» Fs
Universit´ e de Haute Alsace
L1S1
3/16

TD Mécanique 1: statique
Figure 3– Les lignes en pointillés sont des horizontales ou des verticales
Exercice 6
Un pendule en ´ equilibre
L’étude est faite dans le référentiel RTsupposé galiléen. Le pendule Mde masse mest
accroché à deux fils 1 et 2
Figure 4– Le fil 2 est supposé incassable. La verticale est selon l’axe y
1. Précisez le système mécanique étudié.
2. Faites un inventaire des forces appliquées au pendule (forces à distance et de
contacts)
3. Donnez l’expression de ces forces dans la base (#» ex,#» ey,#» ez)
4. Si le pendule est à l’équilibre, exprimez #» T1tension du fil 1 appliquée à M en
fonction des autres forces. Déduisez-en le système d’équation scalaire reliant les
composantes de ces forces.
Universit´ e de Haute Alsace
L1S1
4/16

TD Mécanique 1: statique
5. Le fil 1 casse si la norme de sa tension est supérieure à 5N. A.N m=1kg,θ=30◦,
g=10m.s−2.
Le fil casse-t-il?
Exercice 7
Un palet en ´ equilibre
L’étude est faite dans le référentiel RTsupposé galiléen. Un palet M de masse mest posé
sur un plan incliné. Il peut glisser sans frottement sur le plan incliné et il est retenu par un
fil parallèle au plan incliné.
Figure 5– Équilibre sur plan incliné
1. Précisez le système mécanique étudié.
2. Faites un inventaire des forces appliquées au palet (forces à distance et de contacts).
Représentez les forces sur un schéma.
3. Donnez l’expression des forces dans la base (#» ex1,#» ey1,#» ez1)
4. Donnez l’expression des forces dans la base (#» ex,#» ey,#» ez)
5. Le palet étant à l’équilibre : exprimez la relation vectorielle existant entre les
forces. Déduisez-en le système d’équation scalaire reliant les composantes de ces
forces.
6. A.N : Donnez les normes de toutes les forces s’exerçant sur le palet. m=1kg,
α=30◦,g=10m.s−2.
Exercice 8
Choisir le bon syst` eme
Universit´ e de Haute Alsace
L1S1
5/16