Introduction Sous certaines hypothèses, on peut trouver une relation très utile pour résoudre des problèmes d’écoulement. Cette relation est appelée équation de Bernoulli, directement basée sur les principes physiques de conservation de l’énergie et de conservation de la masse. Nous allons études un application de cette théorème, qui perme de s’avoir le phénomène de venturi. Pour simplifie les calcule, on se pose c’est hypothèses : 1. fluide parfait 2. incompressible 3. en écoulement stationnaire 4. dans un champ de pesanteur g constant. Le but : Le but de cette manipulation c’est : 1. la vitrification de théorème de Bernoulli à des sections différentes. 2. Apprendre que le venturi est un appareil de mesure de débit. 3. Apprendre comment on utilise le venturi. 4. En fin le calcule de coefficient C qui caractériser le venturi. I. Théorie : Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible (ρ = const.) dans un convergent et un déverguent d’un conduite. La section d’entrée 1 à une section S1,la section au col 2 à un section S2, Toute section n aura une surface Sn, les tubes piézomètrique placés au niveau des section 1, 2 et n indiquent respectivement les hauteur h1, h2 et hn. Supposons que l’écoulement est parfait (par de perte de charge dans cette conduite) et que les vitesse et les hauteurs piezométriques soient constantes dans chacune des section. 1. Théorème de Bernoulli : En dessous chaque prises de pression, les ligne de courant peuvent être considérées rectilignes et parallèles ; dons la direction perpendiculaire (suivant z) les loi de la statique de fluide s’appliquent à la pression : p1 p A gh1 p2 p B gh2 pn pn ghn On peut appliquer l’équation de Bernoulli et écrire : p1 1 1 1 V12 gz1 p2 V22 gz 2 pn Vn2 gz n 2 2 2 z1 z 2 z n On à : Alors : p1 1 1 1 V12 p2 V22 pn Vn2 2 2 2 Donc : p A gh1 Mais : 1 1 1 V12 p B gh2 V22 pn ghn Vn2 2 2 2 p A p B pn patmo Donc : V2 V12 V2 h1 2 h2 n h1 2g 2g 2g (1) Avec V1 , V2 et Vn les vitesses d’écoulement les sections 1, 2 et n. 2. Expression du débit en fonction de la vitesse v : Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S. Il en résulte la relation importante : qv V S 3. Conservation du débit : Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps Δt, infiniment petit, la masse Δm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse Δm2 ayant traversé la section S2. qm1 qm 2 En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant. Dans le cas d'un écoulement incompressible (ρ = Cte) : qv1 qv 2 En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant Alors l’équation de continuité s’écrire : V1 S1 V2 S 2 Vn S n 4. La vitesse et le débit : On à : V1 S1 V2 S 2 Alors : V1 V2 S2 S1 (2) On prendre l’équation (1) : V22 V2 h2 1 h1 2g 2g En remplacer l’équation (2) dans (1) : 2 V22 V2 S h2 2 2 h1 2g 2 g S1 Où : V22 S 2 1 2 g S1 V2 2 g h1 h2 S 1 2 S1 2 2 h h 2 1 V2 2g S 1 2 S1 Alors : qv S 2 2 g (h1 h2 ) S 1 2 S1 (3) 2 h1 h2 5. Le cœfficient de venturi : En réalité il y a une perte de charge entre les sections 1 et 2 et les vitesses ne sont pas constantes dans les sections droites, pour cela on introduit le cœfficient C pour écrire : C qv q v reel qv réel S2 (4) 2 g h1 h2 S 1 2 S1 2 C est déterminé expérimentalement varie entre 0.92 et 0.99 6. La pression : La répartition idéale des pressions dans le convergent-divergent est donnée par (1) : hn h1 V12 Vn2 2g Pour une éventuelle comparaison des résultats théorique et expérimentaux, il est pratique d’exprimer le rapport de hn h1 et de la charge dynamique au niveau du col : 2 hn h1 V12 Vn2 S 2 S 2 V22 / 2 g V22 S1 S n II-Manipulation : 1. Le schéma de l’installation : 2 (5) L’appareil de Bernoulli Diamètres : 1 : 25,0 2 : 10,0 3 : 13,9 4 : 11,8 5 : 10,7 6 : 25,0 Caractérestiques du venturi 2.Mode opératoire : Pour effectuer la mise à zéro des manomètres il fait chasser les poches d’air de l’appareil en ouvrant la vanne d’alimentation du ban hydraulique et la vanne de réglage de débit placée à la sortie de l’appareil. Au bout de quelques instants, on referme peu à peu la vanne de réglage du débit afin que l’eau pénètre dans les tubes piézométriques et comprime l’air continu dons le collecteur. Quand l’eau atteint le niveau désiré dans les tubes on referme la vanne d’alimentation du banc hydraulique. Les deux vannes étant fermées, le venturi n’est plus soumis qu’à une pression statique modérée. Tous les tubes doivent indiquer la même valeur. Il est maintenant possible de relever les valeurs h1 h2 qui correspondent à différents débits qv . Pour cela on ouvre simultanément et progressivement les vannes du banc et de l’appareil. On peut procéder à une dizaine de mesures de h1 h2 régulièrement espacées entre 0 et 250 mm. II. L’expérience : Qu’on nous change le débit qv , les hauteurs dans les tubes piézométriques sont change, on prendre 5 manipulation, les résulta reprisent dans le tableaux suivant : v (l) temps h1 h2 h3 h4 h5 h6 (s) 6 47 297 137 260 220 167 190 3 17 280 16 215 150 68 107 5 29 272 1 207 138 55 95 5 32 292 65 240 180 110 142 Table 1 : les résulta de l’expérience. 1. On à : D2 10 10 3 S 2 2 3.14 4 4 2 7.85 10 5 m 2 Et : D12 25 10 3 S1 3.14 4 4 2 0.49 10 3 m 2 On calcule les pressions idéales dans le venturi à l’aide de la formule (5) et on présenter les résultats dons le tableau suivant : d2 dn 2 N° tube Diamètre piézométriques dx [mm] 1 55 0,40 0,026 0 5 11 1 1 - 0,95 3 13,9 0,71 0,26 - 0,23 4 11,8 0,84 0,51 - 0,47 5 10.7 0.93 0.76 -0.73 6 25 0.40 0.026 0 S2 Sn 2 S h n h1 S 2 2 V22 / 2g S1 Sn Table 2 : représentation de la pression idéale 2 2. On calculer les valeur de qv à l’aide de la formule (3) : 2 g (h1 h2 ) S 1 2 S1 qv S 2 Alors : qv S 2 2g S 1 2 S1 h1 h2 Ainsi que : 2g S 1 2 S1 2 2 g const D 1 2 D1 4 2 9.81 10 10 1 3 25 10 3 4 4.487 m 0.5 / s Et alors : qv 7.85 10 5 4.487 h1 h2 3.52 10 4 h1 h2 Et de coefficient C de venturi à l’aide de la formule (4) et on peut dessiner le tableau suivant : h1 - h1 h 2 qv = v/t h1 h2 [m3/s] [mm] [mm] 0,128.10-3 297 137 160 0.4 0,141.10-3 0,91 0,176.10-3 280 16 264 0.514 0,181.10-3 0,97 0,172.10-3 272 1 271 0.521 0,183.10-3 0,94 0,156.10-3 292 65 227 0.476 0,167.10-3 0,93 h2 [mm] 1/2 [m] qvth [m3/s] Table 3 : Le cœfficient de venturi C 3.On calcule les pertes des charges linaire réelle J à l’aide de l’équation suivant : J hn h1 V22 2 g On applique cette équation à 2 valeurs de débit et on représenté les résulta dans le tableau suivant : N°tube qv= 0.176.10-3 m3/s qv = 0.156.10-3 m3/s piézométrique V22/2g = 0.271 m (n) hn (mm) hn h1 (mm) V22/2g = 0.232 m hn h1 V22 / 2 g hn (mm) hn h1 (mm) hn h1 V22 / 2 g 1 280 0 0 292 0 0 2 16 -264 -0.974 65 -227 -0.978 3 215 -65 -0.240 240 -52 -0.224 4 150 -130 -0.480 180 -112 -0.482 5 68 -212 -0.782 110 -182 -0.784 6 107 -173 -0.638 142 -150 -0.646 Table 4 : représentation de la pression réelle 4.à l’aide des table 1 et 4 on peut représenté les perte de charge réel et idéal au niveau de la venturi : Conclusion1 : Lorsque un fluide parfait entre dans un convergent, il perte son pression initial qui transformé en forme de vitesse. Cette diminution de pression est en fonction de la diminution de section. C'est-à-dire lorsque le tube être divergé, la pression va augmenter, et quand la section finale et la section initial sont les même, les pressions aussi les mêmes. Mais lorsque le fluide n’est pas parfait (viscose) les perde des pression et plus grande que les perte d’un fluide parfait dans le convergent. Et lorsque la section et revenu à l’état initiale la pression ne revenu par à la pression initiale. C'est-à-dire le diminution de pression d’un fluide viscose dépend de la forme de la tube. 5.à l’aide de table 2 on peut trouvé la relation entre le cœfficient de venturi et le débit c’est pour ça on trace le graphique de C en fonction de débit q v : C=f(qv) 0,98 0,97 0,96 C 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,9 1,25E-04 1,45E-04 1,65E-04 qv Alors le cœfficient moyen de venturi égal : C 0.91 0.97 0.94 0.93 0.937 4 Conclusion2 : Le cœfficient de venturi ne change pas bouque en fonction de débit, c’est pour ça on prendre la valeur moyen qui toujours caractérisé le venturi. 6.Pour calcule graphiquement le cœfficient C, il fout tracé le graphique de h1 h2 en fonction de débit qv : On noté que le pente de cette droit est , alors on à : h1 h2 tg qv tg h1 h2 qv 3125.00 0.4 0,128.10-3 2920.45 0.514 0,176.10-3 3029.07 0.521 0,172.10-3 3051.28 0.476 0,156.10-3 Alors : tg 3125 2920.45 3029.07 3051.28 3031.45 4 On à : C qvréel qv qv réel S2 2 g h1 h2 S 1 2 S1 2 1 S2 2g S 1 2 S1 2 1 h1 h2 qvréel On ce pose : 1 F S2 2g S 1 2 S1 1 2 7.85 10 2838.8 2 9.81 5 7.85 10 5 1 5 49 10 2 C'est-à-dire : C F 2838.8 0.936 tg 3031.45 Alors c’est le même C qui en trouvé à 5 IV-Conclusion générale: Dans cette expérience on trouvé que l’équation de Bernoulli ne permet par de trouvé les pressions réels et le débit réel. Mais il perme de calcule des valeur plus proche à les résulta réel et avec certain coefficient on peut corriger c’est valeur.
