cours ensembles

2 RELATIONS BINAIRES.
R´ esum´ e de cours : Ensembles.
Applications.
MPSI-Maths.
Mr Mamouni :[email protected]om
Source disponible sur:
c
http://www.chez.com/myismail
1 Applications et ensembles.
Application. Une application f:E→Fest bien d´efinie si et seulement
si :∀x∈E f(x)∈F
∀(x, x0)∈E2x=x0⇒f(x) = f(x0)
Injection. Une application f:E→Fest injective si et seulement si :
∀(x, x0)∈E2f(x) = f(x0)⇒x=x0.
Surjection. Une application f:E→Fest surjective si et seulement si :
∀y∈F∃x∈Etel que y=f(x).
Bijection. Une application f:E→Fest bijective (injective et surjective)
si et seulement si :
∀y∈F∃x∈Etel que y=f(x).
Image directe d’une partie. Soit f:E→F,Aune partie de Eet
y∈F.
y∈f(A) si et seulement si ∃x∈Atel que y=f(x).
Propri´et´es. Soit f:E→F,Aet Bdeux parties de E. On a les r´esultats
suivants :
f(∅) = ∅f(A∪B) = f(A)∪f(B)
A⊂B⇒f(A)⊂f(B)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)
Image r´eciproque d’une partie. Soit f:E→F,Aune partie de Fet
x∈E.
x∈f−1(A) si et seulement si f(x)∈A.
Propri´et´es. Soit f:E→F,Aet Bdeux parties de F. On a les r´esultats
suivants :
f−1(∅) = ∅f−1(A∪B) = f−1(A)∪f−1(B)
A⊂B⇒f−1(A)⊂f−1(B)f−1(A∩B) = f−1(A)∩f−1(B)
2 Relations binaires.
Dans la suite on suppose <une relation binaire d´efinie sur un ensemble E.
R´eflexivit´e.<est dite r´eflexive si et seulement si :∀x∈Eon a : x<x.
Symetrie.<est dite symetrique si et seulement si :∀(x, y)∈E2on a :
x<y⇒y<x.
Antisymetrie.<est dite antisymetrique si et seulement si :∀(x, y)∈E2
on a :
(x<yet y<x)⇒x=y.
Relation d’´equivalence.<est une relation d’´equivalence si et seulement
si : elle est `a la fois r´eflexive, symetrique et transitive.
Exemples.
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Mr Mamouni
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2 RELATIONS BINAIRES.
– Dans N, avec n∈N∗fix´e, on pose : a<bsi et seulement si :ndivise a−b.
On dit alors que aest congru `a bmodulo net on ´ecrit : a≡b[n].
– Dans 2, on pose −→ u<−→ vsi et seulement si :∃λ > 0 tel que : −→ u=λ−→ v.
Relation d’ordre.Rest une relation d’ordre si et seulement si : elle est
`a la fois r´eflexive, antisymetrique et transitive.
Exemples.
1) Dans N, on pose : aRbsi et seulement si :a≤b. Ordre usuel.
2) Dans N∗, on pose : aRbsi et seulement si :adivise b.
3) Dans N2, on pose : (a, b)R(c, d)si et seulement si :a≤cet b≤d.
4) Dans N2, on pose : (a, b)R(c, d)si et seulement si : (a<c) ou (a=cet
b≤d). Ordre lexicographique.
5) Dans P(E), on pose : ARBsi et seulement si :A⊂B.
Ordre total ou partiel : Une relation d’ordre Rsur un ensemble est dite
totale si et seulement si : Tous les ´el´ements de Esont comparable entre eux,
c’est `a dire que : ∀(x, y)∈E2on a : xRyou yRx. Dans le cas contraire c’est
`a dire quand : ∃(x, y)∈E2tel que : xRyfausse et yRxfausse, dans ce cas on
dit que Rest une relation d’ordre partielle.
Majorant. Soit Rune relation d’ordre sur un ensemble Eet aet bdeux
´el´ements de E, on dit que best un majorant de aquand aRb, et on dit que
best un majorant d’une partie Ade Equand best un majorant de tous les
´el´ements de A. On dit que la partie Aadmet un plus grand ´el´ement s’il existe
un ´el´ement de Aqui majore tous les autres ´el´ement, dans ce cas il est unique
et on le note max A.
Minorant. Soit Rune relation d’ordre sur un ensemble Eet aet bdeux
´el´ements de E, on dit que best un minorant de aquand b<a, et on dit que
best un minorant d’une partie Ade Equand best un minorant de tous les
´el´ements de A. On dit que la partie Aadmet un plus petit ´el´ement s’il existe
un ´el´ement de Aqui minore tous les autres ´el´ement, dans ce cas il est unique
et on le note min A.
Fin.
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