2 RELATIONS BINAIRES.
– Dans N, avec n∈N∗fix´e, on pose : a<bsi et seulement si :ndivise a−b.
On dit alors que aest congru `a bmodulo net on ´ecrit : a≡b[n].
– Dans 2, on pose −→
u<−→
vsi et seulement si :∃λ > 0 tel que : −→
u=λ−→
v.
Relation d’ordre.Rest une relation d’ordre si et seulement si : elle est
`a la fois r´eflexive, antisymetrique et transitive.
Exemples.
1) Dans N, on pose : aRbsi et seulement si :a≤b. Ordre usuel.
2) Dans N∗, on pose : aRbsi et seulement si :adivise b.
3) Dans N2, on pose : (a, b)R(c, d)si et seulement si :a≤cet b≤d.
4) Dans N2, on pose : (a, b)R(c, d)si et seulement si : (a<c) ou (a=cet
b≤d). Ordre lexicographique.
5) Dans P(E), on pose : ARBsi et seulement si :A⊂B.
Ordre total ou partiel : Une relation d’ordre Rsur un ensemble est dite
totale si et seulement si : Tous les ´el´ements de Esont comparable entre eux,
c’est `a dire que : ∀(x, y)∈E2on a : xRyou yRx. Dans le cas contraire c’est
`a dire quand : ∃(x, y)∈E2tel que : xRyfausse et yRxfausse, dans ce cas on
dit que Rest une relation d’ordre partielle.
Majorant. Soit Rune relation d’ordre sur un ensemble Eet aet bdeux
´el´ements de E, on dit que best un majorant de aquand aRb, et on dit que
best un majorant d’une partie Ade Equand best un majorant de tous les
´el´ements de A. On dit que la partie Aadmet un plus grand ´el´ement s’il existe
un ´el´ement de Aqui majore tous les autres ´el´ement, dans ce cas il est unique
et on le note max A.
Minorant. Soit Rune relation d’ordre sur un ensemble Eet aet bdeux
´el´ements de E, on dit que best un minorant de aquand b<a, et on dit que
best un minorant d’une partie Ade Equand best un minorant de tous les
´el´ements de A. On dit que la partie Aadmet un plus petit ´el´ement s’il existe
un ´el´ement de Aqui minore tous les autres ´el´ement, dans ce cas il est unique
et on le note min A.
Fin.
MPSI-Maths
Mr Mamouni
R´esum´e de cours : Th´eorie des ensembles
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