Telechargé par Mohamed DOUMA

Corrigé TD - Liaison de roue de réducteur-vis final

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CORRECTION TD : LIAISON DE RÉDUCTEUR
A - ANALYSE GROSSIERE (METHODE A)
 Vérification que la gamme de vis proposée est suffisante :
𝜋𝐷𝑣
𝜋.190
𝑍 = 20 𝑣𝑖𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑐 ? 𝑍 ≥ 𝐷
soit 𝑍 ≥ 19+20 ≈ 15,3 donc la gamme de 20 vis
𝑒 +𝐿𝑘
proposée est suffisante
 Le couple de serrage nécessaire Cs et l’effort de précontrainte (F0 min et F0 max) :
 Effort requis sur chaque boulon pour le passage du couple approximativement :
5500
𝑇𝐸 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝 = (95.10−3 )/20 ≈ 2894,74 𝑁 𝑝𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑜𝑛
 Effort axial sur chaque boulon :
𝐹𝐸 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝 =
5978
20
≈ 299 𝑁 𝑝𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑢𝑙𝑜𝑛
 Précharge :
𝐹0 > 𝐹𝐸 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝 +
𝑇𝐸 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝
= 299 +
𝑓
2894,74
0.15
≈ 19598 𝑁
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐹0 = 19598 𝑁 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚
 A partir du tableau (p : 16) : Classe 8.8 ; M12 (pas de 1.75) ; Serrage de type
C (p : 18 à la clé dynamométrique à déclenchement simple) ; tan(μ) = 0.2 (p : 5
montage à sec des boulons revêtus).
 𝐶𝑠 = 81 𝑁𝑚 ;
 𝐹0 𝑚𝑖𝑛 = 21 240 𝑁 qui est supérieure à 𝐹0 calculée ;
 𝐹0 𝑚𝑎𝑥 = 31 860 𝑁
 Vérification de la tenue mécanique (critère de VON MISES) : ? (σéq)
𝛔é𝐪 = √𝛔𝟐 + 𝟑𝜻𝟐 ; 𝛔 =
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙
𝑨𝒔
; 𝜻=
avec 𝑪𝒇 (𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑡ê𝑡𝑒)
et
𝟏𝟔 𝑪′
𝝅𝒅𝒆𝒒 𝟑
˂ 0,9*Re min
et 𝑪′ = 𝑪𝒔 − 𝑪𝒇
= 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 × 𝒓𝒎𝒐𝒚 × 𝒕𝒂𝒏(𝝁)
𝑪𝒔 = 𝟖𝟏 𝑵𝒎
𝐅𝟎 𝐦𝐨𝐲 =
et 𝒅𝒆𝒒
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 +𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏
𝟐
=
𝟑𝟏 𝟖𝟔𝟎+𝟐𝟏 𝟐𝟒𝟎
𝟐
= 𝟐𝟔 𝟓𝟓𝟎 𝑵 ; 𝒓𝒎𝒐𝒚 = 𝟕, 𝟓𝐦𝐦 (Tableau p : 5)
= 𝟏𝟎, 𝟑𝟓𝟖 𝒎𝒎 (Tableau p : 2)
𝑪𝒇 = 𝟐𝟔 𝟓𝟓𝟎 × 𝟕, 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 × 𝟎, 𝟐 = 𝟑𝟗, 𝟖 𝑵𝒎
d’où 𝑪′ = 𝟖𝟏 − 𝟑𝟗, 𝟖 = 𝟒𝟏, 𝟐 𝑵𝒎
𝛔=
𝟑𝟏 𝟖𝟔𝟎
𝟖𝟒,𝟑
𝟐
≈ 𝟑𝟕𝟖 𝑵/𝒎𝒎 et 𝜻 =
𝟏𝟔×𝟒𝟏,𝟐.𝟏𝟎𝟑
𝝅×𝟏𝟎,𝟑𝟓𝟖𝟑
≈ 𝟏𝟖𝟗 𝑵/𝒎𝒎𝟐
1
σéq = √𝟑𝟕𝟖𝟐 + 𝟑 × 𝟏𝟖𝟗𝟐 ≈ 𝟓𝟎𝟎 𝑵/𝒎𝒎𝟐
On a qualité des vis 8.8, donc leur résistance 𝑹𝒆 𝒎𝒊𝒏
Et
𝟎, 𝟗 × 𝟔𝟒𝟎 = 𝟓𝟕𝟔 𝑵/𝒎𝒎𝟐 >
𝝈é𝒒
= 𝟔𝟒𝟎 𝑵/𝒎𝒎𝟐
OK critère de VON MISES vérifié
 Vérification de la tenue au matage : Critère : P ˂ Padm ?
𝒑 =
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙
𝑨𝒎
Donc 𝒑 =
et
𝑨𝒎 =
𝟑𝟏 𝟖𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟗,𝟔
𝝅(𝑫𝟐𝒆 −𝑫𝟐𝒃 )
𝟒
=
𝝅(𝟏𝟗𝟐 −𝟏𝟒𝟐 )
𝟒
≈ 𝟏𝟐𝟗, 𝟔 𝒎𝒎𝟐
= 𝟐𝟒𝟓, 𝟗 𝑴𝑷𝒂 alors que 𝑷𝒂𝒅𝒎 = 𝟏𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂 pour la roue en
bronze donc critère non vérifié il faut ajouter une rondelle.
B – ANALYSE FINE (Méthode B)
 Les caractéristiques nécessaires au calcul :
𝑨𝒔 = 𝟖𝟒, 𝟑 𝒎𝒎𝟐 ; 𝑨𝒎 =

𝝅(𝑫𝟐𝒆 −𝑫𝟐𝒃 )
𝟒
= 𝟏𝟐𝟗, 𝟔 𝒎𝒎𝟐 𝒆𝒕 𝑨 =
Détermination du rapport de rigidité  de l’assemblage
𝝅𝒅𝟐
𝟒
=
𝝅𝟏𝟐𝟐
𝟒
= 𝟏𝟏𝟑 𝒎𝒎𝟐
a) Rigidité de la vis :
1/KB = 1/EB [(l0+0.4d )/As+(l1+0.4d )/A]
1/KB = 1/210000 [(2O+0.4*12)/84,3+(45+0.4*12)/113] = 3.5 10-6 mm/N
KB = 2,85 105 N/mm
b) Rigidité des pièces assemblées :
1/KA = 1/Sm[(Lk roue/Eroue)+( Lk moyeu/Emoyeu)]
Calcul de la surface de reprise des efforts Sm (surface équivalente) :
2
On se trouve dans le cas où la surface de reprise des efforts est tronquée.
On prend donc la valeur de Sm correspondant au cas n° 2 du tableau
𝑥+𝑦
avec :𝐷𝑎 = 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑦 = 28,5 𝑚𝑚 𝑒𝑡 𝑥 = inf(3𝐷𝑒 ; 𝑊) = inf(3 ∗ 19; 39) = 39
Donc 𝐷𝑎 =
39+28,5
2
= 33,75 𝑚𝑚
𝜋
𝜋
Expression de 𝑆𝑚 = 4 (𝐷𝑒2 − 𝐷𝑏2 ) + 8 𝐷𝑒 (𝐷𝑎 − 𝐷𝑒 )𝑥(𝑥 + 2)
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 = (
𝜋

𝐿𝑘 𝐷𝑒 1
𝐷𝑎2
65∗19 1
)3 = (33,752 )3 = 1,03
𝜋
𝑆𝑚 = 4 (192 − 142 ) + 8 19(33,75 − 19)1,03(1,03 + 2) = 473 𝑚𝑚2
Donc 1/KA = 1/473[(20/100 000)+( 45/170 000)]= 9,82.10-7 mm/N
Alors KA = 10,2.105 N/mm
c) Rapport de rigidité en négligeant l’excentration de l’effort extérieur FE
 = α(KB/(KB+KA) = ½ (2,85/(2,85+10,2)) = 0,11 assemblage classique
α=1/2.
Les efforts de précontrainte F0 mini et F0 maxi nécessaires :
𝑻
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 = 𝑻𝒓 𝒆𝒕 𝑻𝒓 = 𝒕𝒂𝒏𝑬𝝋 + (𝟏 − 𝝀)𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝑨𝒔
le 3ème terme n’est pas nul puisque il y a risque de fluage (bronze/fonte et élévation
de température), donc :
𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏 =
𝟐𝟖𝟗𝟒,𝟕𝟑
𝟎,𝟏𝟓
+ (𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟏)𝟐𝟗𝟗 + (𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟒, 𝟑) = 𝟐𝟕 𝟗𝟗𝟒 𝑵
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝜸𝑻𝒓 𝒆𝒕 𝜸 = 𝟏, 𝟓 𝒔𝒆𝒓𝒓𝒂𝒈𝒆 à 𝒍𝒂 𝒄𝒍é 𝒅𝒚𝒏𝒂𝒎𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟐𝟕 𝟗𝟗𝟒 = 𝟒𝟏 𝟗𝟗𝟏 𝑵
Et par la suite 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 = 𝑭𝟎 𝒎𝒊𝒏

(𝟏+𝜸)
𝟐
= 𝟐𝟕 𝟗𝟗𝟒
(𝟏+𝟏,𝟓)
𝟐
= 𝟑𝟒 𝟗𝟗𝟑 𝑵
Calcul du couple de serrage au montage des boulons :
𝑪𝒔 = 𝑭𝟎 𝒎𝒐𝒚 (𝟎, 𝟏𝟔𝑷 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐 𝒕𝒂𝒏𝝁𝒇 + 𝒓𝒎 𝒕𝒂𝒏𝝁𝒕 )
Le couple vis/écrou non huilé et la vis
revêtue
= 𝟑𝟒 𝟗𝟗𝟑(𝟎, 𝟏𝟔 × 𝟏, 𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑 × 𝟏𝟎, 𝟖𝟔𝟑 × 𝟎, 𝟐 + 𝟕, 𝟓 × 𝟎, 𝟐) = 𝟏𝟎𝟔, 𝟔𝟏 𝑵𝒎

Le couple maximum sollicitant la vis dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 s’écrit :
𝑪 𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 (𝟎, 𝟏𝟔𝑷 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑𝒅𝟐 𝒕𝒂𝒏𝝁)
𝑪′ 𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟏 𝟗𝟗𝟏 (𝟎, 𝟏𝟔 × 𝟏, 𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟖𝟑 × 𝟏𝟎, 𝟖𝟔𝟑 × 𝟎, 𝟐) = 𝟔𝟒, 𝟗𝟓 𝑵𝒎
′
La contrainte de torsion a pour valeur : 𝜻𝒎𝒂𝒙 =
𝟏𝟔.𝑪′𝒎𝒂𝒙
𝝅𝒅𝒆𝒒 𝟑
=
𝟏𝟔×𝟔𝟒,𝟗𝟓×𝟏𝟎𝟑
𝝅𝟏𝟎,𝟑𝟓𝟖𝟑
= 𝟐𝟗𝟖 𝑴𝑷𝒂
L’effort maximum sur le boulon, dans le cas où la précharge est 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 , vaut :
𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙 = 𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 + 𝝀𝑭𝑬𝒙𝒕é𝒓𝒊𝒆𝒖𝒓 𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟏 𝟗𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟏 × 𝟏𝟗𝟓𝟗𝟕 = 𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟕 𝐍 𝑭𝑬𝒙𝒕é𝒓𝒊𝒆𝒖𝒓 𝒎𝒂𝒙 = T
La contrainte de traction a pour valeur : 𝝈 =
𝑭𝑩𝒎𝒂𝒙
𝑨𝒔
=
𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟕
𝟖𝟒,𝟑
E excep
tgφ
+ FE excep
= 𝟓𝟐𝟒 𝑴𝑷𝒂
La contrainte équivalente (Von Mises) a donc pour expression :
𝝈𝒆𝒒 𝒎𝒂𝒙 = √𝝈𝟐 + 𝟑𝜻𝟐 = √𝟓𝟐𝟒𝟐 + 𝟑 × 𝟐𝟗𝟖𝟐 = 𝟕𝟑𝟔 𝑴𝑷𝒂 qui ne doit pas excéder la limite
d’élasticité du matériau constituant la vis (voir valeurs des caractéristiques mécaniques
des vis et goujons tableau 3 page 3).
Les boulons M12 qualité 8.8 donc 𝑹𝒆 = 𝟏𝟎 × 𝟖 × 𝟖 = 𝟔𝟒𝟎 𝑴𝑷𝒂 critère non vérifié
solutions : choisir une qualité supérieure à 8.8 (exemple 10.9) ; augmenter le nombre de
vis si l’encombrement le permet ; revoir le choix du diamètre nominal des vis.
 Vérification de la pression sous tête ou sous écrou ou sous rondelle :
3
𝑷𝒂 =
𝑭𝟎 𝒎𝒂𝒙 +𝝀𝑭𝑬 𝒎𝒂𝒙
𝝅
(𝑫 𝟐 −𝑫𝒃 𝟐 )
𝟒 𝒆
𝑷𝒂 = 𝝅
𝟒
𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟕
(𝟏𝟗𝟐 −𝟏𝟒𝟐 )
=
il faut que 𝑷𝒂 < 𝑷𝒂𝒅𝒎 (voir valeurs de 𝑷𝒂𝒅𝒎 tableau page 6).
𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟕
𝟏𝟐𝟗,𝟔
= 𝟑𝟒𝟏 𝑴𝑷𝒂 alors que Padm= 180 MPa pour la roue en bronze
donc critère non vérifié il faut ajouter une rondelle.
 Effort de précharge 20400 N
𝟏
𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎
𝜟𝑳𝑩 𝟎 = 𝑲 𝑭𝟎 = 𝟐,𝟖𝟓.𝟏𝟎𝟓 = 𝟕𝟏, 𝟔 𝝁𝒎 allongement de la vis au montage à 20°.
𝑩
𝟏
𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎
𝜟𝑳𝑨 𝟎 = 𝑲 𝑭𝟎 = 𝟏𝟎,𝟐.𝟏𝟎𝟓 = 𝟐𝟎 𝝁𝒎 rétrécissement des pièces au montage à 20°.
𝑨
En fonctionnement : FE (effort extérieur) allonge encore la vis et relâche les pièces.
𝑭𝑩 = 𝑭𝟎 + 𝝀𝑭𝑬 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒑 = 𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟏 × 𝟏𝟗 𝟓𝟗𝟕 = 𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟔 𝑵
𝑭𝑨 = 𝑭𝟎 − (𝟏 − 𝝀)𝑭𝑬 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒑 = 𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎 − (𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟏) × 𝟏𝟗 𝟓𝟗𝟕 ≈ 𝟐𝟗𝟓𝟗 𝑵
𝟏
𝟐𝟐 𝟓𝟓𝟔
𝟏
𝟐𝟗𝟓𝟗
𝜟𝑳𝑩 = 𝑲 𝑭𝑩 = 𝟐,𝟖𝟓.𝟏𝟎𝟓 = 𝟕𝟗, 𝟏𝟒 𝝁𝒎 et 𝜟𝑳𝑨 = 𝑲 𝑭𝑨 = 𝟏𝟎,𝟐.𝟏𝟎𝟓 ≈ 𝟑 𝝁𝒎
𝑩
𝑨
Dilatation de la partie de la vis en acier assurant le serrage due à l’élévation de
température à 70°:
65*12 10-6*(70-20)= 𝟑𝟗 𝝁𝒎
acier = 12 10-6 mm/mm/°C
Dilatation de la roue en bronze :
bronze = 20 10-6 mm/mm/°C
-6
20*20 10 *(70-20)= 𝟐𝟎 𝝁𝒎
fonte = 11,4 10-6 mm/mm/°C
Dilatation du moyeu en fonte :
45*11,4 10-6*(70-20)= 𝟐𝟓, 𝟔𝟓 𝝁𝒎
Dilatation totale des pièces assemblées : 20+25,65= 𝟒𝟓, 𝟔𝟓 𝝁𝒎
Conclusion : Si on néglige l’influence de l’élévation de température à 70° sur les rigidités
de la vis et des pièces assemblées, la dilatation de la vis sera compensée par la
dilatation des pièces assemblées donc il n’y aura pas de risque de décollement entre ces
dernières.
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