Optique Géométrique: Lois, Principes et Applications

Rappels d’optique géométrique
I-1 Lois fondamentales et principes de l’optique géométrique
Étude de la propagation de la lumière et interaction avec un milieu
matériel (y compris le passage d’un milieu à un autre). Pour la plupart des
phénomènes, la lumière est une onde électromagnétique se déplaçant dans
le milieu à une vitesse fonction des propriétés électriques et magnétiques
du matériau.
Hypothèse: milieu isotrope (pas de direction privilégiée).
Soit une onde qui arrive sur une interface séparant deux milieux:
- onde réfléchie: partie de l’onde repoussée à l’interface;
- onde réfractée: partie de l’onde traversant l’interface.
I-1.1 Principe de Huygens
La lumière se propage de proche en proche. L’ensemble des points d’égale
perturbation constitue une surface d’ondes. Chacun des points de la
surface d’ondes se comporte à son tour comme une source secondaire, et
la surface d’ondes à un temps ultérieur est l’enveloppe de ces sources
secondaires.
Exemple: onde sphérique de rayons !, à un temps !, après un parcours !;
alors surface d’onde caractérisée par un rayon !, (! = vitesse de
propagation).!
Définition: indice de réfraction ! d’un milieu = rapport de la vitesse de la
lumière dans le vide à celle de la lumière dans le milieu considéré: !
Ordres de grandeur: air (1), eau (1.33), verre (1.5).
Ces valeurs ne sont toutefois pas valables pour toutes les fréquences,
car n est fonction de la fréquence. Les valeurs ainsi citées correspondent à
des valeurs asymptotiques pour les grandes longueurs d'ondes.
Ex: variation de type Cauchy (voir aussi variation de type Biot)
!
r
t
dl
€
r+d l =r+vt
v
n
n=c
v
n
λ

Chemin optique entre deux points A et B: !
!
D’où ! !
Le chemin optique est donc la distance parcourue par la lumière dans
le vide (donc à la vitesse !) pendant !.
Pour des variations discontinues d’indices (variations par saut), on
utilise !
I-1.2 Principe de Fermat
Trajectoire C pour aller de A à B.
Déformation de C par un déplacement élémentaire ! tel que
!. Chemin optique C'. !
!
CàL C’àL'
Chemin optique stationnaire si:
! << !(à la limite =0)
Principe de Fermat: entre deux points A
et B, le chemin optique le long du trajet
suivi par la lumière est stationnaire.
I-1.3 Lois de Snell-Descartes
Elles s’établissent à partir du principe de Fermat.
Elles expriment le changement de direction, par réflexion ou
réfraction d’un rayon lumineux rectiligne, à la traversée d’une surface
séparant deux milieux homogènes.
Différentielle d’un chemin optique rectiligne
!
où !est un vecteur unitaire sur la droite AB.
!
!
!
L=ndl
A
B
∫
n=c
v⇒c=nv =ndl dt
L=ndl
A
B
∫=cdt
tA
tB
∫
L=c(tB−tA)
c
t=tB−tA
L=∑nili
i
.
dM
dA=dB=0
A
B
C
CÕ
dM
L’−L
dM
L(AB)=n AB =N u .AB
u
d[L(AB)]=nd(u.AB)=n AB .d u +n u .d AB
d[L(AB)]=n AB .u.d u +n u .(dOB −dOA)
d(u2)= 2 u.du = 0 ⇒d[L(AB)]=n u .(dOB −dOA)

Expression vectorielle des lois de Snell-Descartes!
!
!
En déformant la trajectoire pour
passer en I’, infiniment voisin de I, le
nouveau chemin s’exprime de la façon
suivante :
!
!
!
Chemin optique stationnaire : !
! qui est colinéaire à la tangente et
perpendiculaire à !, le vecteur unitaire normal en I.
!, où ! est un nombre réel.
!
Première loi de la réfraction: le rayon réfracté est contenu dans le plan
d’incidence ; !
Deuxième loi de la réfraction: !
Première loi de la réflexion: le rayon réfléchi est contenu dans le plan
d’incidence ; !
Deuxième loi de la réflexion: !
A un rayon incident donné correspond un rayon réfracté bien défini :
•!
• !
• !
A
u
N
I
I'
n1
B
1
u2
2
1
i
i
n2
•
L(AB)=n1AI +n2IB =n1u1.AI +n2u2.IB
L‘(AB)=n1u1.AI‘ + n2u2.I‘B
L‘(AB)=n1u1.(AI‘−AI)+n2u2.(I’B−IB)
=II’ . (n1u1−n2u2)
L’−L= 0
(n1u1−n2u2)⊥II’
N
D’où
(n2u2−n1u1)=aN
a
i1=(N,u1)i2=(N,u2)
u2=1
n2(n1u1+aN)
n1sini1=n2sini2
u2=u1+a
n1
N
i2=−i1
n1sini1=n2sini2⇒i2=arcsin(n1sini1
n2)
(n2u2−n1u1)=aN ⇒a= (n2Nu2−n1N u 1) = n2cosi2−n1cosi1
u2=1
n2(n1u1+aN)

Angle limite de réfraction - Réflexion totale
Pour le cas où !, il existe un angle d’incidence au-delà duquel il ne
peut plus y avoir de réfraction ; c’est l’angle limite de réfraction).
La réflexion totale par contre va s’obtenir dans le cas où !, pour
certaines valeurs de l’angle d’incidence.
Voir application à la fibre optique.
I-2 Approximation de Gauss
Cas du dioptre sphérique
Approximation de Gauss: rayons peu inclinés sur l’axe optique et voisins
de O;
!
Ou encore !, avec k =1 (on parle d’approximation linéaire de
l’optique géométrique).
!
Oz: axe optique ! ! !
I-2.1 Dioptre sphérique dans l’approximation de Gauss
Pour des angles d’incidence et de réfraction faibles: la loi de Snell-
Descartes devient la loi de Kepler:
!
!
! et !petits angles : !
n1<n2
n2<n1
€
sinθ=θ − θ3
3!+θ5 5!−θ7 7!+...
sinθ≈k.θ
u2
N
AB
O
C
I
i
i
n2
n1
z
y
x
u1
€
I
x
y
z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
!
u
1
u1 x
u1y
u1z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
!
u
2
u2 x
u2 y
u2 z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
€
N=IC
R
€
−x
R
−y
R
zN
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n1i1≈n2i2a≈n2−n1
(n2u2−n1u1)=aN =(n2−n1)N=(n2−n1)IC
R
i1
i2
u1z,u2z,zR≈1

On ignore les composantes selon z. Les rayons sont dans le plan xoz
(plan méridien). Il reste donc :
! et !
!
Rayon de courbure R: - cas du rayon 1: !
- cas du rayon 2: !
Dioptre convergent: C dans le milieu le plus réfringent.
Dioptre divergent: C dans le milieu le moins réfringent.
I-2.1 Vergence d’un dioptre sphérique
Définition: vergence !, avec !
R en mètre, V en dioptrie (δ)
V: indépendante de la direction de propagation.
Dioptre plan: ! → ∞ ⇒ V = 0
I-2.2 Relation de conjugaison d’un dioptre sphérique
! ! !
! ! !
On a donc !
D’où: ! ! !
(relation de conjugaison avec origine au sommet O).
€
n2u2 x −n1u1 x =−n2- n1
R
x
€
n2u2 y −n1u1y =−n2-n1
Ry
z
O
n
n
1 2
B
A C
• ••
12
€
R=OC >0
€
R=OC <0
V=n2−n1
R
R=OC
€
R=OC
u1
u2
S
I
OC
H
n2 n1
z
α
P
β
γ
€
α ≈ PH
SP ≈PH SO
€
β ≈ PH
PC ≈PH OC
€
γ ≈ PH
PI ≈PH OI
i
1=α+β
β=i2+γ
n1i
1=n2i2
n1α+n2γ=(n2−n1)β
€
n2
OI −n1 OS =n2−n1 R
⇔
€
n2
OI −n1 OS =V