Rappels d’optique géométrique I-1 Lois fondamentales et principes de l’optique géométrique Étude de la propagation de la lumière et interaction avec un milieu matériel (y compris le passage d’un milieu à un autre). Pour la plupart des phénomènes, la lumière est une onde électromagnétique se déplaçant dans le milieu à une vitesse fonction des propriétés électriques et magnétiques du matériau. Hypothèse: milieu isotrope (pas de direction privilégiée). Soit une onde qui arrive sur une interface séparant deux milieux: - onde réfléchie: partie de l’onde repoussée à l’interface; - onde réfractée: partie de l’onde traversant l’interface. I-1.1 Principe de Huygens La lumière se propage de proche en proche. L’ensemble des points d’égale perturbation constitue une surface d’ondes. Chacun des points de la surface d’ondes se comporte à son tour comme une source secondaire, et la surface d’ondes à un temps ultérieur est l’enveloppe de ces sources secondaires. Exemple: onde sphérique de rayons !r , à un temps !t , après un parcours !dl ; alors surface d’onde caractérisée par un rayon ! r + dl = r + vt , (! v = vitesse de propagation). Définition: indice de réfraction ! n d’un€milieu = rapport de la vitesse de la n= c v lumière dans le vide à celle de la lumière dans le milieu considéré: ! Ordres de grandeur: air (1), eau (1.33), verre (1.5). Ces valeurs ne sont toutefois pas valables pour toutes les fréquences, car n est fonction de la fréquence. Les valeurs ainsi citées correspondent à des valeurs asymptotiques pour les grandes longueurs d'ondes. Ex: variation de type Cauchy (voir aussi variation de type Biot) n ! λ B Chemin optique entre deux points A et B: ! n = c ⇒ c = nv = n dl v dt ! B L = ∫A ndl t L = ∫A ndl = ∫t Bcdt L = c(tB − t A ) A D’où ! ! Le chemin optique est donc la distance parcourue par la lumière dans le vide (donc à la vitesse ! c ) pendant ! t = t B − t A . Pour des variations discontinues d’indices (variations par saut), on nl . utilise L ! = ∑ ii i I-1.2 Principe de Fermat Trajectoire C pour aller de A à B. Déformation de C par un déplacement élémentaire d! M tel que ! d A = d B = 0 . Chemin optique C'. CÕ Chemin optique stationnaire si: dM C B A ! CàL C’àL' !L’ − L << dM ! (à la limite =0) Principe de Fermat: entre deux points A et B, le chemin optique le long du trajet suivi par la lumière est stationnaire. I-1.3 Lois de Snell-Descartes Elles s’établissent à partir du principe de Fermat. Elles expriment le changement de direction, par réflexion ou réfraction d’un rayon lumineux rectiligne, à la traversée d’une surface séparant deux milieux homogènes. Différentielle d’un chemin optique rectiligne !L(AB) = n AB = N u . AB où ! u est un vecteur unitaire sur la droite AB. ! [L(AB)] = nd( u . AB) = n AB . d u + n u . d AB d ! [L(AB)] = n AB . u . d u + n u . (dOB − dOA) d ! ( u ) = 2 u . du = 0 ⇒ d[L(AB)] = n u . (dOB − dOA) d 2 Expression vectorielle des lois de Snell-Descartes A i 1 u1 ! L(AB) = n1 AI + n2 IB = n1u1 . AI + n2u2 . IB I' I n1 n2 • u2 N i ! B 2 En déformant la trajectoire pour passer en I’, infiniment voisin de I, le nouveau chemin s’exprime de la façon suivante : L‘(AB) = n1u1 . AI‘ + n2u2 . I‘B ! ! L‘(AB) = n1u1 . (AI‘ − AI) + n2u2 . (I’B − IB) ! = II’ . (n1 u 1 − n2 u 2) Chemin optique stationnaire : !L’ − L = 0 (! n1 u 1 − n2 u 2) ⊥ II’ qui est colinéaire à la tangente et perpendiculaire à ! N , le vecteur unitaire normal en I. D’où ! (n2 u 2 − n1 u 1) = aN , où ! a est un nombre réel. i! 1 = ( N, u1)i2 = ( N, u2) Première loi de la réfraction: le rayon réfracté est contenu dans le plan 1 d’incidence ; u ! 2 = (n1u1 + aN ) n 2 Deuxième loi de la réfraction: n ! 1sini1 = n2sini2 Première loi de la réflexion: le rayon réfléchi est contenu dans le plan a d’incidence ; u ! 2 = u1 + N n1 Deuxième loi de la réflexion: i! 2 = − i1 A un rayon incident donné correspond un rayon réfracté bien défini : n1sini1 n sini = n sini ⇒ i = arcsin ! 2 2 2 • 1 1 ( n2 ) • !(n2 u 2 − n1 u 1) = aN ⇒ a = (n2 Nu2 − n1 N u 1) = n2cosi2 − n1cosi1 1 •u ! 2 = (n1u1 + aN ) n 2 Angle limite de réfraction - Réflexion totale Pour le cas où n ! 1 < n2, il existe un angle d’incidence au-delà duquel il ne peut plus y avoir de réfraction ; c’est l’angle limite de réfraction). La réflexion totale par contre va s’obtenir dans le cas où n! 2 < n1 , pour certaines valeurs de l’angle d’incidence. Voir application à la fibre optique. I-2 Approximation de Gauss Cas du dioptre sphérique Approximation de Gauss: rayons peu inclinés sur l’axe optique et voisins de O; θ 3 θ 5 θ7 sinθ = θ − + − + ... 3! 5! 7! ! ≈ k . θ , avec k =1 (on parle d’approximation linéaire de Ou encore sinθ ! l’optique géométrique). € x I i u1 O u2 N A C y ! n1 Oz: axe optique z i B n2 ⎛u ⎞ ⎛u ⎞ ⎛ x⎞ 1x 2x ⎜ ⎟ !⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ I⎜ y ⎟ u1 ⎜ u1y ⎟ u2 ⎜ u2 y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ! ⎝ z ⎠ ⎝ u1z ⎠ ⎝ u2 z ⎠ ⎛ x⎞ ⎜− R ⎟ ⎜ y⎟ ⎜− ⎟ ⎜ R⎟ IC ⎜ zN ⎟ ⎜ ⎟ N= ⎠ R !⎝ ! I-2.1 Dioptre sphérique dans l’approximation € de Gauss € € Pour des angles d’incidence et de réfraction faibles: la loi de SnellDescartes devient la loi de Kepler: ! 1i1 ≈ n2i2a ≈ n2 − n1 n !(n2 u 2 − n1 u 1) = aN = (n2 − n1) N = (n2 − n1) i! 1 et i! 2 petits angles : !u1z, u2z, zR ≈ 1 IC R On ignore les composantes selon z. Les rayons sont dans le plan xoz (plan méridien). Il reste donc : n2 u2 x − n1u1x = − n2 - n1 x n2 u2 y − n1u1y = − n2 - n1 y R R ! et ! n1 1 2 n2 € € • A z • C O • B ! Rayon de courbure R: - cas du rayon 1: ! R = OC > 0 - cas du rayon 2: ! R = OC < 0 Dioptre convergent: C dans le milieu le plus réfringent. € Dioptre divergent: C dans le milieu € le moins réfringent. I-2.1 Vergence d’un dioptre sphérique Définition: vergence !V = n2 − n1 R , avec R ! = OC R en mètre, V en dioptrie (δ) V: indépendante de la direction de propagation. Dioptre plan: ! R = OC → ∞ ⇒V=0 I-2.2 Relation de conjugaison d’un dioptre sphérique € H u1 ! PH PH ≈ SP SO ! i1 = α + β € β α S α≈ u2 € On a donc C n1 n2 ! z I O P β≈ γ PH PH ≈ PC OC ! γ≈ PH PH ≈ PI OI ! β = i2 + γ ! n1i1 = n2i2 ! n1α + n2 γ€= (n2 − n1 )β n2 n1 n2 − n1 − = R ! OI OS n2 n1 − =V ! OI OS D’où: !⇔ (relation de conjugaison avec origine au sommet O). € € OF2 = n2 = f2 V - S à l’infini: la position limite de I est notée F2, foyer image ; - I à l’infini pour une position limite de S notée F1, foyer objet ; ! OF1 = − n1 = f1 V € ! f1 = distance focale objet ; ! f2 = distance focale image Voir exercice d’application avec le masqiue de plongée. € I-3 Constructions géométriques - Règle des 3 rayons Bo P' P No • • Fo Ao N i A Fi i • • U' U H i Ho Bi ! On trace 3 rayons issus de Bo: i le rayon parallèle à l’axe optique: il coupe le plan principal objet défini par Ho en un point P, émerge à partir du point équivalent P’ du plan principal image, et passe par le foyer image Fi, ii le rayon passant par le point nodal No et qui, à partir du point nodal Ni, émerge sous le même angle, iii le rayon passant par le foyer objet Fo: il coupe le plan principal objet défini par Hi en un point U, émerge à partir du point équivalent U’ du plan principal image, parallèle à l’axe optique. I-3.1 Lentille mince Relations de conjugaison Relation de Descartes En posant ! Ho Ao = po et ! Hi Ai = pi , on obtient ! € fi = ni V et ! fo = − no V Þ n i n0 − =V p p0 i ! (formule de Descartes) f i f0 + =1 pi p0 €! 1 1 1 − = pi p0 f i Si ! no = ni ,! f o = − f i et € ! € A partir de la formule de Descartes, on voit qu'il est possible d'estimer la distance focale d'une lentille mince convergente. Pour cela, il suffit de € considérer un objet "à l'infini"; dans ce cas, en effet, fi≈pi. Relation de Newton : en posant ! σ 0 = F0 A0 et Construction géométrique € ! σ i = Fi Ai , on obtient ! σ 0σ i = fo fi € € Application de la règle des 3 rayons : - un rayon parallèle à l’axe optique, qui émerge en passant par Fi ; - un rayon qui passe par Fo et émerge parallèle à l’axe optique ; - un rayon qui passe par le centre optique (points nodaux confondus) sort non dévié. A compléter : Lentille convergente Lentille divergente (positionner les foyers) O Fi F0 I-3.2 Miroir On obtient un miroir en déposant une mince couche de métal (quelques centaines d’angström) sur une surface. Sens de propagation de la lumière = sens positif. no = ni (milieux objet et image identiques) V =− 2n o R ! > 0, V< 0: miroir divergent R Vergence : ! miroir convergent ! < 0, V> 0: R R R SFi = fi = − 2 2 Compte tenu du changement de sens positif avec la réflexion, F ! o = Fi = R F (confondus en ! ) . 2 € : Foyers SF ! o = fo = Relations de conjugaison A partir des résultats obtenus avec le dioptre, avec no = ni. Relation de Descartes : € ! 1 1 1 2 − = =− pi p0 f i R € ! Gt = pi po R2 σ 0σ i = f o f i = − 4 ! Relation de Newton : !σoet σ ! i de signes opposés Þ l’objet et l’image sont du même côté. € Construction géométrique On applique la règle des 3 rayons - un rayon parallèle à l’axe optique, qui émerge en passant par F, - un rayon qui passe par F et émerge parallèle à l’axe optique, - un rayon qui passe par les points nodaux situés au centre de courbure et sort non dévié. Bo Bo Ai Ao F C Bi Miroir convergent ! Ao Miroir divergent I-4 Vision – Appareil photographique Parties essentielles de l'œil : - Cornée - Humeur aqueuse (indice 1,336) - Iris - Pupille - Cristallin (lentille biconvexe) - Humeur vitreuse (indice 1,336) - Rétine Modélisation: lentille convergente dans l'air ! pi I-4.1 Vision de loin Cristallin aplati, vergence minimale. Punctum remotum (PR): point le plus éloigné à une distance Do donnant une image nette sur la rétine. 1 1 + = Vmin pi Do ! respectée ici) (noter que la convention de sens positif n’est pas € I-4.2 Vision de près Cristallin bombé, vergence maximale. Punctum proximum (PP): point le plus rapproché à une distance do donnant une image nette sur la rétine. 1 1 + = Vmax pi d o € ! (noter que la convention de sens positif n’est pas respectée ici) L’œil accommode pour une vision nette. Amplitude d'accommodation : A = Vmax – Vmin = I-4.3 Emmétropie 1 1 − ! do Do € Vision de loin normale sans accommodation Do infinie ; le foyer du système cornée cristallin correspond à la rétine 1 ! do L’amplitude d'accommodation sera alors A = • Presbytie : accommodation insuffisante; A = 3 à 4 ! δ ! ⇒ PP trop éloigné, mauvaise vision de près. Correction par une € augmentation de la vergence avec une lentille convergente. I-4.4 Amétropie Le foyer du système cornée cristallin n’est pas sur la rétine • Myopie: foyer avant la rétine, œil trop convergent (ou trop long). Image nette si PR faible. ! ⇒ renvoyer le PR à l'infini avec une lentille divergente • Hypermétropie : foyer en arrière de la rétine, œil pas assez convergent (ou trop court). Image nette si PR virtuel ! ⇒ renvoyer le PR à l'infini avec une lentille convergente I-4.5 Appareil photographique Correspondance oeil - appareil photo ŒIL ! ↔ APPAREIL PHOTO Dioptre + cristallin ! ↔ Objectif Iris ! ↔ Diaphragme Pupille ! ↔ Ouverture Rétine ! ↔ ŒIL Accommodation ! ↔ Mise au point Appareil photo : - système convergent; - plusieurs lentilles épaisses associées Classification des d’objectifs : Grand-angle (courte focale) : f ≈ 28 mm Objectif normal : f = 50 mm Téléobjectif : f ≈ 150 mm Sensibilité : exprimée en ISO /ASA (…, 50, 100, 200, …) Vitesse (temps d'exposition) : 1, 1/2, …, 1/125, 1/250,… f Nombre d'ouverture : n =! (D = diamètre de l'ouverture) D Profondeur de champ : distance entre 2 points A et B entre lesquels les images sont nettes. Augmente avec le nombre d'ouverture n Diminue lorsque la distance focale augmente.
