DNS 3 de MATHEMATIQUES Résultat préliminaire

1S1
Pour le 13 novembre 2012
DNS 3 de MATHEMATIQUES
Le soin, la rédaction et les efforts seront pris en compte dans la notation.
Exercice 1 (Fonctionnement de l’oeil)
Rappel : image d’un objet obtenue avec une lentille mince convergente.
Le point B 0 , sommet de l’image formée, est construit comme l’intersection :
– du rayon lumineux non dévié, qui passe par le sommet B de l’objet et le centre optique O de la
lentille (rayon en rouge sur le schéma) ;
– du rayon lumineux parallèle à l’axe et issu du sommet B de l’objet qui change de trajectoire après
avoir traversé la lentille et passe par le foyer F (rayon en vert sur le schéma).
On suppose dans la suite que OA > OF comme ci-dessus pour avoir une image réelle.
Résultat préliminaire
Démontrer que
OA0
A0 F
A0 B 0
1
1
1
=
=
, puis en déduire que :
+
=
.
OA
OF
AB
OA OA0
OF
Fonctionnement de l’oeil
Le fonctionnement optique de l’oeil peut être modélisé de façon simplifiée par une lentille simple
convergente, le cristallin. Les images se forment sur la rétine.
La distance entre le cristallin et la rétine est fixe. On prendra OA0 = 20 mm.
On estime qu’un oeil peut voir, en accommodant sans fatigue, des objets situés « entre 25 cm et
l’infini ».
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1. La vergence du cristallin est C =
(exprimée en m−1 ou dioptrie).
OF
Dresser le tableau de variation de la fonction qui à x = OA (en m) associe C.
2. Exprimer OF en fonction de C et en déduire le tableau de variation de la fonction qui à OA
associe OF .
0, 0004
3. (a) Montrer que OF = 0, 02 −
.
OA + 0, 02
(b) En déduire que, pour OA > 25m, on a 19, 98 mm 6 OF 6 20 mm.
(c) On dit en physique que « lorsque l’oeil regarde un objet à l’infini, le foyer F est situé sur
la rétine ».
Examiner cette affirmation d’un point de vue mathématique. Commenter.
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