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10-11 AII1 Cours Numeration

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Numération
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Sommaire :
I-
Introduction
II-
Différentes bases
Base 10
Base 2
Base 16
III-
Correspondance
IV-
Conversion
décimal -> binaire
binaire -> décimal
hexadécimal -> binaire
hexadécimal -> décimal
décimal -> héxadécimal
code complément à 2 (binaire négatif)
V-
Exercices
Lycée CHEVALIER D’EON – TONNERRE – BTS Assistance Technique Ingénieur
Cours d’Automatisme Informatique Industrielle M. GRACZYK
Cours d’Automatisme Informatique Industrielle : Numération
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I-
Introduction
01011
Nous avons vu précédemment que la fonction traiter traite la plupart du temps des informations de type binaires (numériques). Le
traitement des signaux peut se faire en réalisant un certain nombres de fonctions (ET, Ou,
non, calculs sur nombres, …).
21+3=
Pour comprendre comment la fonction
traiter réalise des calculs, il faut être capable
de comprendre la correspondance entre la base
10 (base dans laquelle nous réalisons les calculs) et la base 2 (base dans laquelle calcule la
fonction traiter).
Nous en profiterons pour parler de la base
16 qui est une base 2 améliorée.
II-
Différentes bases :
Pour coder les nombreuses positions que peut prendre le système numérique,
différents codes ont été développés.
Base 10 ou décimal. 10
rents existent dans cette base.
codes diffé-
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
C’est le système que l’on utilise pour compter.
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : 45d ou 4510
Base 2 ou binaire. 2 codes différents
existent dans cette base.
0;1
C’est le système que les machines utilisent
pour compter. Le signal est présent ou absent
dans un fil électrique.
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : 1011b ou 10112
Base 16 ou hexadécimal. 16 codes différents existent dans cette base.
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;
B;C;D;E;F
C’est le système que l’on utilise pour programmer les machines puis qu’il s’agit d’un
pseudo-binaire ou chaque code hexadécimal
correspond à un code binaire sur 4 chiffres.
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : $A12 ou A12h ou A1216
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III- Correspondance
Tableau de correspondance :
Décimal
Binaire
Hexadécimal
Binaire réfléchi
ou code Gray
0 0d
0 1d
0 0000b
0 0001b
0 0h
0 1h
0 0000
0 0001
0 2d
0 3d
0 0010b
0 0011b
0 2h
0 3h
0 0011
0 0010
0 4d
0 5d
0 6d
0 7d
0
0
0
0
0100b
0101b
0110b
0111b
0
0
0
0
4h
5h
6h
7h
0
0
0
0
0110
0111
0101
0100
0 8d
0 9d
1 0d
1 1d
1 2d
1 3d
1 4d
1 5d
0
0
0
0
0
0
0
0
1000b
1001b
1010b
1011b
1100b
1101b
1110b
1111b
0 8h
0 9h
0 Ah
0 Bh
0 Ch
0 Dh
0 Eh
0 Fh
0
0
0
0
0
0
0
0
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
1 6d
1 0000b
1 0h
1 1000
Tout comme en décimal,
on définit un ordre de comptage pour les codes binaires et
hexadécimaux.
Le code Gray (ou binaire
réfléchi) a été développé pour
fabriquer les tableaux de Karnaugh et pour éviter les aléas
de fonctionnement des machines.
Aléa de fonctionnement :
Un aléa de fonctionnement c’est quand la technologie du capteur fait que le signal renvoyé par celui-ci
risque de ne pas correspondre
au signal attendu.
000
000
111
100
110
101
101
111
7
Codeur de position
0
6
1
5
2
4
100
110
3
011
010
d2 d1 d0
0 0 1
0 0 1
010
011
Roue entraînée
en rotation
d0
d1
d2
Codage de la
position sur 3
fils
Codage de la position
d’un axe sur trois fils
Binaire naturel
Code Gray
De 1 à 2, d0 et d1 changent en même temps d’état.
Or rien ne dit que techniquement on puisse les faire changer en même temps.
=> On passera par un état faux 001-> 011 -> 010 ou 001 -> 000-> 010
=> Pour éviter cela, on utilise le code Gray 1 seul fil à la fois change d’état.
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Conversion :
Comme on vient de le voir, les codes ont une correspondance ainsi 5 en décimal donne
101 en binaire.
IV-
Comment convertir des nombres plus élevés ?
Comment convertir du décimal en binaire ?
On fait des divisions successives par 2
(binaire).
Exemple : 10d → ?b 10
0
|2
|5
1
|2
|2
0
|2
|1
10d →1010b
Exercice : convertissez 238d en binaire.
238d →1110 1110b
Comment convertir du binaire en décimal ?
De la même manière qu’en décimal
351 c’est 3*102+5*101+1*100.
Base 10
Poids
Rang du chiffre
Le premier chiffre du code binaire est
appelé MSB (Most Signifiant Bit) puisqu’il a
le poids le plus fort pour le convertir (22),
et le dernier est appelé LSB (Less Signifiant Bit) puisqu’il a le poids le plus faible
(20).
Exemple :
1
22
1b
20
→ ?d
→ 5d
Exercice : convertissez 11110b en décimal.
Poids 24
23
22
21
20
Chiffre1
1
1
1
0
4
3
2
1
1*2 + 1*2 + 1*2 + 1*2 + 0*20 = 30d
11110b → 30d
Comment convertir de l’hexadécimal en binaire ?
Rien de plus simple. Chaque chiffre
Exemple :
6
hexa correspond 4 chiffres binaires.
0110
Un bit = 1 fil codé en binaire
Un octet est formé de 8bits de 2 chiffres
codés en hexadécimal
Un mot (word) = 2 octets (soit 16 bits)
Un long mot (Long) = 2 mots soit 32 bits
0
21
C
F
1100 1111
h→
?b
b
6CFh → 0110 1100 1111b
Exercice : Convertissez 1FA6h en binaire.
1
F
A
6h
0001 1111 1010 0110b
1FA6h → 0001 1111 1010 0110b
Comment convertir de l’hexadécimal en décimal ?
De la même manière qu’en décimal
Exemple : C4F2Bh → ?d
avec les multiplications pondérées.
Poids
164
163
162
161
160
Chiffre C (12) 4 F (15) 2 B (11)
12.164 +4*163 +15*162 +2*161 + 11*160
=806699d
C4F2Bh → 806699d
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Comment convertir du décimal en hexadécimal ?
De la même manière que pour revenir
Exemple : 8204d → ?h
du décimal au binaire, on utilise des divi8204 |16
sions successives par 16.
12 (C) | 512 |16
Quand le résultat dépasse 9, on prend
0 |32 |16
le code hexadécimal qui correspond (A, B,
0 |2
C, D, E, ou F).
8204d → 2 0 0 Ch
Comment obtenir un code binaire négatif pour faire une soustraction ?
Pour cela, on utilise le code compléExemple : Donner le code binaire sur 8 bits
de -11.
ment à 2. Il s’agit d’un code ou le nombre
de bits est déterminé au départ.
-
V-
on prend le chiffre positif, on le converti en binaire ;
on le complémente (0 devient 1 et 1
devient 0) ;
puis on ajoute 1 au résultat.
11d = 0000 1011b
0000 1011b → 1111 0100b
1111 0100b + 0000 0001b = 1111 0101b
-11d→1111 0101b
Exercices
Addition binaire : 1 + 1 égal 0 plus une retenue :
retenue 1
0 1
+
0 1
1 0
1a - Que vaut 12 décimal en binaire ? 1100
1b- Détaillez le calcul permettant de convertir 125 décimal en binaire. 125 => 111 1101
1c- Effectuez l’opération décimale suivante en détaillant le calcul et les retenues :
1 2 5
+ 0 1 2
1
3
7
1d- De la même façon, effectuez l’opération binaire suivante qui correspond à 235 + 8 en détaillant les retenues et en n’oubliant pas que vous n’avez que 2 signes différents (0 et 1) à votre disposition :
1
0 1 1 1 1 1 0 1
+ 0 0 0 0 1 1 0 0
1
0
0
0
1
0
0
1
1e- Convertissez en décimal le résultat de cette opération et vérifiez qu’il est bien égal à 125 + 12 .
27 26 25 24 2 3 22 21 20
1 0 0 0 1 0 0 1 =>137 = 125+12
2- Retrancher 126 à 312 en faisant l’opération en binaire sur 16 bits
312 = >
0 0 0
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