10-11 AII1 Cours Numeration

Numération
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Lycée CHEVALIER D’EON – TONNERRE – BTS Assistance Technique Ingénieur
Cours d’Automatisme Informatique Industrielle M. GRACZYK
Sommaire :
I- Introduction
II- Différentes bases
Base 10
Base 2
Base 16
III- Correspondance
IV- Conversion
décimal -> binaire
binaire -> décimal
hexadécimal -> binaire
hexadécimal -> décimal
décimal -> héxadécimal
code complément à 2 (binaire négatif)
V- Exercices

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I- Introduction
Nous avons vu précédemment que la fonc-
tion traiter traite la plupart du temps des in-
formations de type binaires (numériques). Le
traitement des signaux peut se faire en réali-
sant un certain nombres de fonctions (ET, Ou,
non, calculs sur nombres, …).
Pour comprendre comment la fonction
traiter réalise des calculs, il faut être capable
de comprendre la correspondance entre la base
10 (base dans laquelle nous réalisons les cal-
culs) et la base 2 (base dans laquelle calcule la
fonction traiter).
Nous en profiterons pour parler de la base
16 qui est une base 2 améliorée.
II- Différentes bases :
Pour coder les nombreuses positions que peut prendre le système numérique,
différents codes ont été développés.
- Base 10 ou décimal. 10 codes diffé-
rents existent dans cette base.
C’est le système que l’on utilise pour compter.
- Base 2 ou binaire. 2 codes différents
existent dans cette base.
C’est le système que les machines utilisent
pour compter. Le signal est présent ou absent
dans un fil électrique.
- Base 16 ou hexadécimal. 16 codes dif-
férents existent dans cette base.
C’est le système que l’on utilise pour pro-
grammer les machines puis qu’il s’agit d’un
pseudo-binaire ou chaque code hexadécimal
correspond à un code binaire sur 4 chiffres.
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : 45
d
ou 45
10
0 ; 1
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : 1011
b
ou 1011
2
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; A ;
B ; C ; D ; E ; F
Si on veut aller plus loin dans le
comptage, on combine ces codes.
Exemple : $A12 ou A12
h
ou A12
16
01011
21+3=

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III- Correspondance
Tableau de correspondance :
Tout comme en décimal,
on définit un ordre de comp-
tage pour les codes binaires et
hexadécimaux.
Le code Gray (ou binaire
réfléchi) a été développé pour
fabriquer les tableaux de Kar-
naugh et pour éviter les aléas
de fonctionnement des ma-
chines.
Décimal
Binaire
Hexadécimal
Binaire
réfl
é
chi
ou code Gray
0
0
d
0
0000
b
0
0
h
0
0000
0
1
d
0
0001
b
0
1
h
0
0001
0
2
d
0
001
0
b
0
2
h
0
0011
0
3
d
0
0011
b
0
3
h
0
0010
0
4
d
0
0100
b
0
4
h
0
0110
0
5
d
0
0101
b
0
5
h
0
0111
0
6
d
0
0110
b
0
6
h
0
0101
0
7
d
0
0111
b
0
7
h
0
0100
0
8
d
0
1000
b
0
8
h
0
1100
0
9
d
0
1001
b
0
9
h
0
1101
1
0
d
0
1010
b
0
A
h
0
1111
1
1
d
0
1011
b
0
B
h
0
1110
1
2
d
0
1100
b
0
C
h
0
1010
1
3
d
0
110
1
b
0
D
h
0
1011
1
4
d
0
111
0
b
0
E
h
0
1001
1
5
d
0
1111
b
0
F
h
0
1000
1
6
d
1
0000
b
1
0
h
1
1000
Aléa de fonctionnement :
Codage de la position
d’un axe sur trois fils
Un aléa de fonctionne-
ment c’est quand la technolo-
gie du capteur fait que le si-
gnal renvoyé par celui-ci
risque de ne pas correspondre
au signal attendu.
0
1
2
3 4
7
5
6
d0
d1
d2
Roue entraînée
en rotation
Codeur de posi-
tion
000
000
d2 d1 d0
0 0 1
0 0 1
010
011
011
010
100
110
101
111
110
101
111
100
Binaire naturel
Code Gray
De 1 à 2, d0 et d1 changent en même temps d’état.
Or rien ne dit que techniquement on puisse les faire changer en même temps.
=> On passera par un état faux 001-> 011 -> 010 ou 001 -> 000-> 010
=> Pour éviter cela, on utilise le code Gray 1 seul fil à la fois change d’état.
Codage de la
position sur 3
fils

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IV- Conversion :
Comme on vient de le voir, les codes ont une correspondance ainsi 5 en décimal donne
101 en binaire.
Comment convertir des nombres plus élevés ?
Comment convertir du décimal en binaire ?
On fait des divisions successives par 2
(binaire).
Exemple : 10
d
→ ?
b
10 |2
0 |5 |2
1 |2 |2
0 |1
 10
d
→1010
b
Exercice : convertissez 238
d
en binaire.
 238
d
→1110 1110
b
Comment convertir du binaire en décimal ?
De la même manière qu’en décimal
351 c’est 3*10
2
+5*10
1
+1*10
0
.
Le premier chiffre du code binaire est
appelé MSB (Most Signifiant Bit) puisqu’il a
le poids le plus fort pour le convertir (2
2
),
et le dernier est appelé LSB (Less Signi-
fiant Bit) puisqu’il a le poids le plus faible
(2
0
).
Exemple : 1 0 1
b
→ ?
d
2
2
2
1
2
0
→ 5
d
Exercice : convertissez 11110
b
en décimal.
Poids 2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
Chiffre1 1 1 1 0
1*2
4
+ 1*2
3
+ 1*2
2
+ 1*2
1
+ 0*2
0
= 30
d
 11110
b
→ 30
d
Comment convertir de l’hexadécimal en binaire ?
Rien de plus simple. Chaque chiffre
hexa correspond 4 chiffres binaires.
Un bit = 1 fil codé en binaire
Un octet est formé de 8bits de 2 chiffres
codés en hexadécimal
Un mot (word) = 2 octets (soit 16 bits)
Un long mot (Long) = 2 mots soit 32 bits
Exemple : 6 C F
h
→ ?
b
0110 1100 1111
b
 6CF
h
→ 0110 1100 1111
b
Exercice : Convertissez 1FA6
h
en binaire.
1 F A 6
h
0001 1111 1010 0110
b
 1FA6
h
→ 0001 1111 1010 0110
b
Comment convertir de l’hexadécimal en décimal ?
De la même manière qu’en décimal
avec les multiplications pondérées.
Exemple : C4F2B
h
→ ?
d
Poids 16
4
16
3
16
2
16
1
16
0
Chiffre C (12) 4 F (15) 2 B (11)
12.16
4
+4*16
3
+15*16
2
+2*16
1
+ 11*16
0
=806699
d
 C4F2B
h
→ 806699
d
Base 10 Rang du chiffre
Poids

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Comment convertir du décimal en hexadécimal ?
De la même manière que pour revenir
du décimal au binaire, on utilise des divi-
sions successives par 16.
Quand le résultat dépasse 9, on prend
le code hexadécimal qui correspond (A, B,
C, D, E, ou F).
Exemple : 8204
d
→ ?
h
8204 |16
12 (C) | 512 |16
0 |32 |16
0 |2
 8204
d
→ 2 0 0 C
h
Comment obtenir un code binaire négatif pour faire une soustraction ?
Pour cela, on utilise le code complé-
ment à 2. Il s’agit d’un code ou le nombre
de bits est déterminé au départ.
- on prend le chiffre positif, on le con-
verti en binaire ;
- on le complémente (0 devient 1 et 1
devient 0) ;
- puis on ajoute 1 au résultat.
Exemple : Donner le code binaire sur 8 bits
de -11.
11
d
= 0000 1011
b
0000 1011
b
→ 1111 0100
b
1111 0100
b
+ 0000 0001
b
= 1111 0101
b
 -11
d
→1111 0101
b
V- Exercices
Addition binaire : 1 + 1 égal 0 plus une retenue :
01
10
10
1
+
retenue
1a - Que vaut 12 décimal en binaire ? 1100
1b- Détaillez le calcul permettant de convertir 125 décimal en binaire. 125 => 111 1101
1c- Effectuez l’opération décimale suivante en détaillant le calcul et les retenues :
210
521
+
1 3 7
1d- De la même façon, effectuez l’opération binaire suivante qui correspond à 8235
+
en détaillant les rete-
nues et en n’oubliant pas que vous n’avez que 2 signes différents (0 et 1) à votre disposition :
1
00110000
10111110
+
1 0 0 0 1 0 0 1
1e- Convertissez en décimal le résultat de cette opération et vérifiez qu’il est bien égal à 12125
+
.
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
1 0 0 0 1 0 0 1 =>137 = 125+12
2- Retrancher 126 à 312 en faisant l’opération en binaire sur 16 bits
312 = > 0 0 0