Dynamique
des particules
individuelles
Christian Jacquey
IRAP, Toulouse
[email protected]
Introduction
"Fonctionnement" d’un plasma: 3 approches
Gravité
E, B
Equations de Maxwell
Collisions
Action sur les
particules chargées
MHD
Cinétique
Dynamique individuelle
Répartition de charges, ρ
Circulation de charges, j
Gaz neutre non-collisionel
dN
dV
dN
dV
Þpopulations multiples indépendantes
Þle système peut s’écarter de l’équilibre thermodynamique
Plasma non-collisionel
dN
dV
dN
dV
particules en intéraction
à distance
§ Le système peut accumuler de grande quantités
d’énergie libre
§ ondes, instabilités
Un objet plasma astrophysique
Multiples sources et pertes de
particules
Multiples espèces ioniques
Couplages entre populations
Singularités magnétiques
Ondes, instabilités
Couplages entre régions
Milieu très dynamique, rarement en conditions d’équilibre,
difficile à modéliser
o descriptions fluide ou cinétique souvent impraticables
o recours à l’analyse des trajectoires de particules
Populations multiples (1)
(Sauvaud et al., 2002)
Buts de ce chapitre:
Action de E et B sur les particules. Le mouvement
cyclotron.
Principales dérives des particules.
Effet miroir.
Invariants adiabatiques.
Accélération bétatron, accélération de Fermi
Cadre:
Non-relativiste
Pas de collision
Hypothèses d’échelle
Force de Lorentz
F = q (E + v∧B)
FL 2
Action du champ électrique
Fe = q E
dW = q dU
Action du champ magnétique
Fm = q ( v ⊥ ∧ B)
dW ≡ 0
⎛Trajectoire⎞
⎜ Energie ⎟
⎝
⎠
⇐
⎛ Distributions spatio−temporelles ⎞
⎜
⎟
de
Eet
B
⎝
⎠
Le mouvement cyclotron
B uniforme et stationnaire. E = 0. Mouvement cyclotron.
m dv = q (v ∧ B) = m v⊥ ∧ Ω
dt
⎧ dv//
⎪ dt = 0
⎪
⎪ dvx
= Ω vy
⎨
⎪ dt
⎪ dv y
= − Ω vx
⎪
⎩ dt
}
Ω=
qB
b̂
m
2
d vx
+ Ω vx = 0
2
dt
Mouvement circulaire uniforme
⎧⎪vx = vo cos( Ω t + ∂)
⎨
⎪⎩vy = ∓ vo sin( Ω t + ∂)
Caratéristiques du mouvement cyclotron:
Gyrofréquence:
(gyropulsation en fait)
Gyropériode:
Phase:
Angle d’attaque:
Pitch-angle
Rayon de Larmor:
qB
Ωb =
m
m
Tb = 2 π
qB
ψ = Ωb (t − t ) + ψ
o
α=
RL =
Moment magnétique:
Premier invariant adiabatique
⎛ v ⊥ ⎞
atan ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ v // ⎠
m v⊥
qB
m v⊥2
µ=
2B
o
Gyropériode: ordres de grandeur
Effet diamagnétique
Giration d’une particule
autour de son centre-guide
≡
Boucle de
courant
Dipole
magnétique
≡
Moment magnétique d’une particule:
B
q
µ = I .S = ⋅ π ⋅ RL2
Tb
B
v
p+
x
δB
x
v
e-
δB
Les particules tournent
dans le sens rétrograde
⇒
µ=
1
2
2
⊥
mv
B
Le champ δB créé par la
particule est opposé à B
Approximation du
centre-guide.
Dérives
Approximation du centre-guide.
Dérives.
Présence d’un champ électrique
ou d’une force extérieure (g)
- Dérive perpendiculaire à B
Champs lentement variables.
L⊥ >> RL
L// >> v//.Tb
RC >> RL
RC >> v//.Tb
τ >> Tb
- Dérives perpendiculaires à B
- Echange entre énergie parallèle
et énergie perpendiculaire
Petites perturbations du mouvement cyclotron
Mouvement = mouvement cyclotron + translation uniforme
v = vc + vd
vc : mouvement cyclotron
vd : vitesse de dérive, uniforme et perpendiculaire à B
= vitesse du centre-guide
Des dérives d’origines différentes.
F
Dérive due à une force uniforme
RC , Dérive de courbure
B
∇⊥B , Dérive de gradient
∇//B , Effet miroir
Dérive électrique
∇E , Instabilité de dérive
E
dE
, dérive de polarisation
dt
Force extérieure et B uniforme et stationnaire
Force extérieure uniforme:
F = F// + F⊥
F//
F//
⎧ dv //
⎪⎪ dt = m ⇒ v // = m t + v0 //
⎨
⎪ dv⊥ = v ∧ Ω + F⊥
⊥
⎪⎩ dt
m
v = vc + v F , v F constante et
dvc
= vc ∧ Ω
dt
Proton q > 0
⇒
F⊥
0 = vF ∧ Ω +
m
F⊥ ∧ Ω F⊥ ∧ B
vF =
=
2
2
mΩ
qB
E et B uniformes et stationnaires. Dérive électrique
F∧B
vE =
q B2
F = qE
⇒
E∧B
vE =
B2
Dérive indépendante des
caractéristiques (masse, charge,
énergie) de la particule.
⇒
Mouvement d’ensemble:
convection
Proton
q>0
Convection magnétosphérique
B non-uniforme et stationnaire. E = 0.
Non-uniforme:
Courbure
Gradient parallèle
Gradient perpendiculaire
Dérive de gradient: ∇⊥B ≠ 0
Hypothèse:
L⊥ >> RL
; ∇//B = 0
1
RL α
B
⇒
Dérive:
Opposée selon le signe
de la charge
Perpendiculaire à B et ∇B
Proportionnelle à RL/L et v⊥
(Echelle du gradient: L = B/ ∇B)
Dérive de gradient (2)
Calcul approximatif de <Fx> sur l’orbite non-perturbée
(RL << L, r: vecteur position)
∂B
B = B0 + (r.∇)B + ... = B0 + x. + ...
∂x
∂B ⎫
⎧
Fx = q.v y .Bz = −q.v⊥ .cos(Ω.t ). ⎨ B0 ± x. ⎬
∂x ⎭
⎩
{
Fx = q.v⊥ . − B0 .cos(Ω.t ) mRL .∇B cos 2 Ωt
1
Fx = m q.v⊥ .RL .∇B
2
B = B ez
∇B = ∇ B ex
⇒
<Fy> = 0
F∧B
VF =
q.B 2
V∇B
V∇B
}
Notation: <A> moyenne
de A sur une giration
B ∧ ∇B )
(
1
= m v⊥ ⋅ RL ⋅
2
B2
11
2 ( B ∧ ∇B )
=
m v⊥
q2
B3
Dérive de courbure
Hypothèses:
L// >> v//.Tb
RC >> RL
RC >> v//.Tb
Dans le repère du centre-guide, force
centrifuge:
v//2 R C
FC = m
RC RC
F∧B
VF =
q.B 2
}
⇒
m 2 RC ∧ B
vC = v// 2 2
q
RC B
Dérive de courbure complète
En cylindriques: B = Bϕ(r) eϕ
Invariance en z:
∂Bϕ
∂z
=0
Dans le vide: rot B = 0
⇒
∂Bϕ
∂r
=−
Bϕ
r
En identifiant r à RC:
∂Bϕ
∂r
= ∇⊥ B = −
Dérive complète: VB = VC + V∇B
m 2 R C ∧ B 1 2 B ∧ BR C
v B = v// 2 2 − mv⊥
q
RC B
2
RC2 B 3
Bϕ
RC
RC
et: e r =
RC
m ⎧⎪⎛ 2 v⊥2 ⎞ R C ∧ B ⎫⎪
v B = ⎨⎜ v// + ⎟ 2 2 ⎬
q ⎪⎩⎝
2 ⎠ RC B ⎪⎭
Effet miroir. ∇⊥B = 0 ; ∇//B ≠ 0
Hypothèses: L//>>v//.Tb
RC >> RL
RC>> v//.Tb
B.ds = constante ⇒
Br
convergence des lignes de champ
divB = 0 ;
∂Bz
1 ∂
=0
( r.Br ) +
r ∂r
∂z
r ⎛ ∂Bz ⎞
Br = − ⎜
⎟
2 ⎝ ∂z ⎠r =0
F = q ( v ∧ B)
⎛ vψ .Bz
⎞ Cyclotron
⎜
⎟
F = q ⎜ vz .Br − vr .Bz ⎟ Ajustement W⊥
⎜ −v .B
⎟ Force miroir,F , Ajustement W
ψ
r
m
//
⎝
⎠
Force miroir
Fz = −q vψ Br ;
divB = 0
r ⎛ ∂Bz ⎞
Fz = q vψ ⎜
⎟
2 ⎝ ∂z ⎠r =0
En considérant l’orbite
non-perturbée:
vψ = mv⊥ ;
r = RL ;
⎛ ∂Bz ⎞
⎜
⎟ = ∇ // B
⎝ ∂z ⎠ r =0
Fz = F//
RL
F// = mq v⊥
⋅∇ // B
2
mv⊥2
F// = −
⋅∇ // B
2B
F// = − µ ∇ // B
µ= constante,
invariant adiabatique
Cône de perte
Bm: maximum de B
Conservation de l’énergie
v 2 = v//2 + v⊥2 = v02
2
2
⊥
2
// 0
2
⊥0
au point miroir :
v' = v' = v +v
µ=constante:
v⊥2 0 v '2⊥
=
B0
B'
B0
1
sin α l =
=
⇒
Bm Rm
2
v⊥2 0 B0
⇒
=
2
v0
B'
2
0
=v
B0
⇒ sin α 0 =
B'
2
Les particules passent à travers le point miroir
et sont perdues pour la population
αl définit le cône de perte
Rm, rapport de miroir
Cône de perte (2)
Exemple: distribution mesurée par CLUSTER
Un des rôles de la force miroir
Particules piégées entre régions de champ
magnétique plus intense
⇒
Constitution de réservoirs de particules.
Configuration
dipolaire.
Couche de
courant
E non uniforme. B uniforme.
E non-uniforme:
LE >> RL
Modification de la
Dérive électrique
Autour de la position du centre-guide,
⎧
⎫
∂E RL2 2 ∂ 2 E
F = q E x = RL sin Ωt = q ⎨ E0 + RL sin Ωt
+ sin Ωt 2 + ...⎬
∂x 2
∂ x
⎩
⎭
2
2
⎧
⎫
RL ∂ E
Moyenne sur une pédiode: F = q ⎨ E0 +
+ ...⎬
2
4 ∂ x
⎩
⎭
Dérive corrigée:
VE* =
F ∧B
q.B 2
∂E
≠0
∂x
∂E ∂E
=
=0
∂y ∂z
E0 ∧ B RL2 ∂ 2 E B
=
+
∧ 2
2
2
B
4 ∂ x B
2
2
⎧
⎫
⎧
R
R
E
∧
B
*
2
2 ⎫
L
L
VE = ⎨1 + ∇ ⎬
= ⎨1 + ∇ ⎬ VE
2
4
4
⎩
⎭ B
⎩
⎭
Instabilité de dérive
RL2 2 E ∧ B
∇
4
B2
Effet de rayon de Larmor fini
les électrons et les ions ont des RL très différents
n’expérimentent pas les mêmes dérives
possibilité de séparation de charge
Si δE.E>0
⇒
E→∞
Instabilité
δE
Dérive de polarisation.
E non stationnaire. B uniforme et stationnaire
Si E varie, VE n’est plus constante
⇒ Le repère du CG est accéléré
Force d’inertie subie par la particule:
Dérive de polarisation:
En posant que E// ≡ 0:
dv E
1 dE
= 2
∧B
dt
B dt
dv E
m dE
FdE = −m
= − 2
∧B
dt
B dt
Fde ∧ B
1 ⎧ ⎛ dE ⎞ ⎫
VP =
=
B ∧ ⎜ ∧ B ⎟ ⎬
2
3 ⎨
qB
Ω B ⎩ ⎝ dt
⎠ ⎭
1 dE ⊥
VP =
Ω B dt
Hypothèses: Non-relativiste
L⊥ >> RL L// >> v//.Tb
RC >> RL
RC >> v//.Tb
τ>> Tb
Les dérives
F⊥ ∧ Ω F⊥ ∧ B
vF =
=
2
mΩ
q B2
E∧B
vE =
B2
VP =
1 dE ⊥
Ω B dt
⎧ RL2 2 ⎫ E ∧ B ⎧ RL2 2 ⎫
V = ⎨1 +
∇ ⎬
= ⎨1 +
∇ ⎬ VE
2
4
4
⎩
⎭ B
⎩
⎭
*
E
( B ∧ ∇B ) = 1 mv2 ( B ∧ ∇B )
1
V∇B = m v⊥ ⋅ RL ⋅
⊥
2
B2
2q
B3
m R ∧B
vC = v//2 C2 2
q
RC B
vC∇B
2
m ⎧
⎪⎛ 2 v⊥ ⎞ R C ∧ B ⎫
⎪
= ⎨⎜ v// + ⎟ 2 2 ⎬
q ⎪
2 ⎠ RC B ⎪
⎩⎝
⎭
Invariants
adiabatiques
Premier invariant adiabatique: le moment magnétique µ
m v⊥2
µ=
2B
B stationnaire. E = 0.
Relation fondamentale
de la dynamique
Conservation de l’énergie
dv//
∂B
m
= −µ
dt
∂s
dv//
∂B ds
m v//
= −µ
dt
∂s dt
d ⎛ 1 2 ⎞
dB
⎜ mv// ⎟ = − µ
dt ⎝ 2
dt
⎠
dµ
=0
dt
d ⎛ 1 2 1 2 ⎞
⎜ mv// + mv⊥ ⎟ = 0
dt ⎝ 2
2
⎠
d ⎛ 1 2
⎞
⎜ mv// + µ B ⎟ = 0
dt ⎝ 2
⎠
d ⎛ 1 2 ⎞
d
⎜ mv// ⎟ = − ( µ B )
dt ⎝ 2
dt
⎠
Second invariant adiabatique
b
b
J = ∫ v// ds
a et b :points miroirs
a
J invariant pour des perturbations
dont l’échelle de temps est supérieure
à la période de rebond:
a
b
ds
τ > Tr = ∫
v
a //
Second invariant (2)
Déplacement élémentaire le long de B
à t: δs à t+δt : δs’
∂s ∂sʹ′
=
⇒
RC RCʹ′
∂sʹ′ − ∂s RCʹ′ − RC
(1)
=
∂s Δt
RC Δt
Composante radiale de la vitesse
de dérive
R
Rʹ′ − RC
VCG g C = C
RC
Δt
(2)
VCG = V∇B + VC
VC gR C = 0
1 d
1
2 ( B ∧ ∇B ) R C
(∂s) = m v⊥
g 2 (3)
3
∂s dt
2
qB
RC
Conservation de l’énergie
v&//
1 2
µ B&
W = mv// + µ B ⇒
= − 2 (4)
2
v//
mv//
B statique:
B&= VCG g∇B = VC g∇B
v&//
1
2 ( B ∧ ∇B ) R C
= − m v⊥
g 2 (5)
3
v//
2
qB
RC
1 d
1 d
1 d
(v// ∂s) =
(∂s) +
(v// ) = 0
v// ∂s dt
∂s dt
v// dt
v// ds = constante
⇒
J = constante
Troisième invariant:Φ
Si mouvement de dérive périodique (ex. configuration dipolaire),
le flux total sur la surface de dérive est conservé.
Valable uniquement si τperturbations > Td, temps de dérive
Accélération Bétatron
µ = constante
dB ∂B
=
+ (Vg∇)B
dt
∂t
si B augmente, W⊥ augmente aussi
Variation temporelle de B
⇒
Eind
Injection des particules dans une
région de champ magnétique plus
intense
⇒ Nécessite un champ électrique:
E = -V∧B
v⊥2 2 B2
µ = cte ⇒ 2 =
v⊥1
B1
Accélération de Fermi
Raquette immobile
ΔW = 0
Raquette en mouvement
ΔW > 0
ΔW < 0
Analogie:
Balle ⇔ Particule
Raquette ⇔ Miroir magnétique
Accélération de Fermi du premier ordre
b
•
Les deux points miroir se
rapprochent ⇒
L diminue
L
•
b
Pour conserver J,
v// doit augmenter
J = ∫ v// ds
⇒ W// et W augmentent
a
W//
2
W//
1
2
1
2
2
L
=
L
a
Mouvement de dérive dans
une configuration dipolaire.
Configurations dipolaires
Particules piégées dans un champ dipolaire:
ceintures de radiations
vB =
R C ∧ B ⎫
W ⎧
2
2
⎨ 2cos α + sin α
⎬
q ⎩
RC2 B 2 ⎭
(
)
Ceintures terrestres: échelles de temps des 3 mouvements périodiques
1 keV
αo=30°
Tb << TR << TD
µ et J sont en général conservés
Tb , TR << Tpertubration
Ce n’est pas le cas de Φ:
TR >> Tpertubration
Particule
àL=4
α0 = 90°
Mouvement
cyclotron
(secondes)
Mouvement
de Rebond
(secondes)
Mouvement
de dérive
(heures)
Electron
1 keV
7,4. 10-5
4,0
184
Electron
100 keV
8,8. 10-5
(relativiste)
0,46
1,5
Proton
1 keV
0,14
172
184
Proton
100 keV
0,14
17,2
1,8
Invariant
µ
J
Φ, souvent
violé
Imagerie des particules énergétiques piégées.
CASSINI-MIMI
Saturne
Jupiter
Injections de particules au cours d’un sous-orage magnétosphérique
Fermi + Bétatron
Dérive d’une
injection
R C ∧ B ⎫
W ⎧
2
2
v B = ⎨ 2cos α + sin α
⎬
q ⎩
RC2 B 2 ⎭
(
)
Accélération dans une
couche de courant
Orbites adiabatiques et non-adiabatiques
Orbites adiabatiques !
RL << L et
Tb << τ
Configuration magnétique d’une couche de courant:
! Rc faible au voisinage de la couche de renversement
Le paramètre κ:
RcMin
κ=
RLMax
3 régimes
κ > 3 : adiabatique
0,6 < κ < 3 : chaotique,
non-adiabatique
κ < 0,6 : quasi-adiabatique
Bilan de l’interaction particule/couche de courant. κ > 3
E = cte
EY/BZ
Dans R’, l’énergie de la particule
est invariante
(B)
θ
O
O'
VIN
αIN ~ αOUT ~ 0 Adiabatique
EY/BZ
VOUT
O'
EY
EY
= 2 cos θ
+ VIN ≈ 2
+ VIN
BZ
BZ
O
θ
(B)
VOUT
W = q EY ΔY : q EY RL
Accélération non-adiabatique. κ < 1. Orbites de Speiser
x
B = − b ey
d
Particules définitivement piégées,
oscillent autour de la couche neutre
W !!
x ⎫
⎧
B = b ⎨η e x − e y ⎬
d ⎭
⎩
Particules oscillent autour de la
couche neutre puis s’échappent
Diffusion en angle d’attaque
W fini
Orbites chaotiques
Couplage entre le mouvement de rebond et le mouvement
cyclotron è
effet centrifuge (Delcourt et al., 1994)
Résonances
F
Injection d’ions en régions aurorales
Observations INTERBALL
(Sauvaud et al., 1999)
Accélération parallèle à B
e
B
-
eE
H
+O
E
E
+
Maggiolo et al., 2005
e~5
RE
