cours conception des machines : Train épicycloïdaux

ESIM
Département : Génie Mécanique
Chapitre 17
TRAINS EPICYCLOÏDAUX
IINTRODUCTION :
Ce sont des systèmes composés de satellites montés sur un porte-satellite tournant autour de deux
planétaires. Ils présentent donc trois éléments mobiles par rapport à un autre fixe. Ils sont utilisés
tels quels dans les systèmes différentiels.
En bloquant un élément, on obtient, avec la même géométrie, différents rapports de réduction entre
les éléments encore mobiles. C'est d'ailleurs le principe utilisé dans les boîtes de vitesses
« automatiques ».
Ces trains sont très utilisés en mécanique car ils peuvent fournir des rapports de réduction énormes,
avec des pièces de taille raisonnable, et des rendements acceptables. De plus leur géométrie aboutit
souvent à une configuration où l'arbre d'entrée est coaxial avec l'arbre de sortie.
IIDIFFÉRENTS TYPE DES TRAINS EPICYCLOÏDAUX.
1- Train épicycloïdal simple :
Fig1 : Train épicycloïdal avec deux satellites
Cette configuration et la plus utilisée, le
rendement est bon et l’encombrement axial
faible, on peut avoir 2, 3 ou 4 satellites. Le
fonctionnement n’est possible que si l’un
des trois éléments principaux, planitaire 1,
planitaire3 (Couronne3) ou porte-satellite
PS, est bloqué ou entraîné par un autre
dispositif.
Fig3 : Schéma cinématique du train épicycloïdal simple
Cas usuels de fonctionnement :
La
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configuration avec planitaire 3 bloqué, est la plus utilisée : planitaire 1 en entrée et portesatellite PS en sortie.
Si le porte-satellite PS est bloqué, l’ensemble fonctionne comme un train classique à engrenage
intérieur avec roue (satellite) d’inversion.
Configuration avec trains en série :
Fig. 5 : Combinaisons de trains épicycloïdaux simples.
2- Trains épicycloïdaux avec satellites à deux roues.
Fig6 : Trains épicycloïdaux avec satellites à deux roues.
Cette variante permet de plus grands rapports de réduction. Le satellite est réalisé à partir de
deux roues dentées 2 et 2’ dont les nombres de dents Z2 et Z2’ sont différentes.
Comme précédemment, le fonctionnement n’est possible que si l’un des trois éléments de base
(1,3 ou PS) est bloqué ou entraîné par un autre dispositif.
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Cas usuels de fonctionnement :
Fig. 7: Différents cas de fonctionnement avec satellites à deux roues.
Les configurations avec la couronne 3 ou le planitaire1 bloqués sont les plus utilisées (Portesatellite PS en sortie).
3- Trains épicycloïdaux sphériques simples
Ces trains sont semblables avec les trains épicycloïdaux plans simples mais ils comportent des
roues coniques, fig (8 et 9).
Fig. 9 : Train sphérique à satellite double
Fig. 8 : Train sphérique à satellite simple
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Cas usuel de fonctionnement :
Différentiel d’automobile : le différentiel correspond au train simple plan, mais il est
composé de planétaires et satellites coniques (Fig. 10). Les planétaires 1 et 3 sont identiques,
avec Z1 = Z3

Fig. 10 : Différentiel d’automobile
La vitesse angulaire  de l’arbre moteur est réduite par un couple conique à denture spirale et
transmis au porte- satellite.
III- MONTAGES DES SATELLITES :
1- Montage du premier satellite :
Pour que le montage du premier satellite soit possible, il faut respecter la condition d’entraxe :
a12  a23  m12 
Z1  Z 2 
2
 m2  3 
Z 3  Z 2 
2
 Z1  Z 2  Z 3  Z 2 Car m12  m23
2- Montages des autres satellites.
On prend le cas d’un train épicycloïdal simple à trois satellites (Fig. 3)
Sur le parcours représenté, on doit avoir un nombre entier des pas de dents.
Le traçage de l’haricot (Fig. 11), nous permet d’écrire :
Z  Z3
Z1 Z 2 Z 3 Z 2



 k avec k  IN *  1
 Z 2  k ou encore Z1  Z 3 : multiple de 3
3
2
3
2
3
k : nombre entier
Dans le cas général de n satellites équidistants, on trouvera
la condition de montage suivante :
Z1  Z 3 : multiple de n
Z1
Z2
Z3
Fig. 11 : Haricot d’un train
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IV-
CALCUL DU RAPPORT DE TRANSMISSION :
Pour déterminer le rapport de transmission, on applique généralement la formule de Willis
Formule de Willis :
 planétaire.S   P.S
n  Z  menantes 
  1 

 planétaire.E   P.S
 Z  menées 
-
 planétaire.S : Vitesse angulaire du planétaire (sortie) par rapport au bâti (0).
-
 planétaire. E : Vitesse angulaire du planétaire (Entré) par rapport au bâti (0).
-
 P.S
n

: Vitesse angulaire du porte satellites par rapport au bâti (0).
: Nombre de contacts extérieurs.
: Raison basique (raison de base).
Cas1 : Train épicycloïdal simple : Couronne (Planitaire 3 bloqué)  30 = 0.
 Equation de fonctionnement du train :30   ps
  ps
Entrée : planétaire (1), 10 ≠ 0 on a

  avec 30 = 0 
10   ps
10   ps
   10    1   ps  0
  10   1  ps  0 : Equation de fonctionnement du train
 Raison basique :    1 
1
Z1  Z 2
Z
 1
Z2  Z3
Z3
 Rapport de réduction :
On a : r 
 ps
Z

r
or    1  r 
10
 1
Z3

Z1
Z3
Z1
1
Z3

 r
Z1
Z1  Z 3
Cas2 : Train épicycloïdal simple : Planitaire (1) bloqué  10 = 0.
 Equation de fonctionnement du train :
10   ps
  ps
Entrée : couronne (3), 30 ≠ 0 on a
  avec 10 = 0 

30   ps
30   ps
   30    1   ps  0
  30    1  ps  0 : Equation de fonctionnement du train
 Raison basique :    1 
1
Z3  Z2
Z
 3
Z 2  Z1
Z1
 Rapport de réduction :
On a : r 
 ps
Z

r
or    3  r 
 30
 1
Z1
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

Z3
Z1
Z3
1
Z1
 r
Z3
Z 3  Z1
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Cas3 : Différentiel d’automobile :
   40
La formule de Willis donne : 10
   1
30   40
L’équation de fonctionnement : 10  30  2 40  0
Les deux roues du véhicule ont des vitesses angulaires  10 et  30
Les deux roues roulent sans glisser sur le sol :
- En ligne droite :  10 =  30 les satellites sont fixes par rapport au porte- satellites.
- En courbe : la roue à l’intérieur du virage tourne moins vite,  10 ≠  30.
Si la roue (1) glisse sur le sol, le couple d’adhérence de cette roue est faible, d’où C3 et C4
faibles. Le véhicule peut s’arrêter. La roue (3) qui ne glisse pas à une vitesse angulaire  30 = 0
d’où on trouve 10  2 40
V-
APPLICATIONS :
Entrée
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III- Toutes les automobiles et tous les camions sont munis
d’un différentiel. Ce dispositif permet de transmettre
l’énergie motrice au deux roues même si celle-ci ne tourne pas
à la même vitesse, dans le cas d’un virage. La plupart
des différentiels utilisent un train épicycloïdal sphérique,
avec des roues coniques, dont le principe est indiqué
figure ci contre.
Exemple de caractéristiques : Z1  17 , Z 2  54 ,
Z 3  Z 5  11 et Z 4  Z 4'  16
1- N1= NE= 2000 trs/mn, déterminer la vitesse des deux roues
si celles-ci sont supposées tourner à la même vitesse NS1= NS2
2- Refaire la question si, la voiture étant à l’arrêt, la roue gauche patine alors que la roue
droite reste bloquée NS1=0
IV- Le dessin d’ensemble document I représente un mécanisme destiné à assurer la mise en
route ou l’arrêt rapide d’un transporteur à bande.
la commande se fait à partir d’un moteur électrique de puissance 2 KW et d’un levier qui peut
débrayer et freiner le mécanisme en cas d’incident.
1- Compléter le schéma cinématique du mécanisme.
On donne Z11  12 , Z 10  20 , Z 4  14 , Z 5  83 , , Z 6  30 , Z 7  90 dents et m45  2
2- Sachant que la roue à chaîne (11) tourne à N11 = 900 trs/mn, déterminer la vitesse de
rotation de l’arbre portant les roues (5) et (6).
3- Déterminer le nombre des dents du satellite (32)(non représenté).
4- Le train épicyloidal compte trois satellites disposés à 120°, vérifier la condition de
montage.
5- Déterminer la raison basique du train.
6- Déterminer le rapport global du réduction. En déduire la vitesse de rotation de l’arbre de
sortie
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DOCUMENT : I
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VI- SOLUTIONS:
I- On a : Entrée : Planétaire (1).
Sortie : Porte-satellite
I-1 : Ecrire la formule de Willis
 D  2
 2

  or  D  0 
 A  2
 A  2
    A    1  2  0
Raison basique :    1 
1
Rapport de réduction : r 
Z A  ZC
Z Z
 A C
ZB  ZD
ZB  ZD
2


A  1
I-2 : Ecrire la condition d’entraxe : a A B  aC  D  101  Z A  Z B  Z C  Z D  101 . (1)
ZA
 4,9  0,54  4,36  Z A  4,36Z B (1) donne 3,36  Z B  101
ZB
 Z B  30 dents et Z A  131 dents
131 Z C
Z
30  4,9
On a :  
(1) donne Z D  48 dents et Z C  53 dents
 4,9  C 
30  Z D
ZD
131
II- On a : Entrée : Roue (4).
Sortie : Porte-satellite
   PS
  PS
  or 10  0 

II-1 : Ecrire la formule de Willis 10
40   PS
40   PS
   40    1  PS  0
Z Z
1 Z Z
Raison basique :    1  4 2   4 2
Z 3  Z1
Z 3  Z1


Rapport de réduction : r  PS 
40   1
Z  Z 2   m  Z 4  Z 3 
II-2 : Ecrire la condition d’entraxe : a1 2  a3 4  m1 2  1
3 4
2
2
3
a1 2  a3 4  Z1  Z 2   90  18  108 mm (1)
2
90  Z 2
Z
 2  0,1818 (2)
On a :   0,909 
18  Z1
Z1
Or i A B 
(1) et (2) donnent Z1  132 dents et Z 2  24 dents
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