Analyse de Fourier

Analyse de Fourier
Sylvie Benzoni1
1er juillet 2011
1Universit´
e de Lyon / Lyon 1 / ICJ, [email protected]v-lyon1.fr

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Table des mati` eres
I S´ eries de Fourier 5
1 Introduction.................................... 5
2 Th´ eoriehilbertienne................................ 7
3 Convergenceponctuelle.............................. 9
II Transformation de Fourier 19
1 Transformation de Fourier des fonctions int´ egrables............... 19
2 Transformation de Fourier sur L2......................... 22
3 Transformation de Fourier sur S0........................ 26
4 Transform´ ees de Fourier classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Applications de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 Espaces de Sobolev fractionnaires construits sur L2........... 31
5.2 R´ esolution d’E.D.P. lin´ eaires....................... 31
6 Compl´ ements ................................... 34
6.1 Noyau de Green des ondes en dimension 3s . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Principe de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Th´ eoriedePaley-Wiener......................... 36
III Transformation de Fourier discr` ete 39
1 Cas d’un r´ eseauinfini............................... 39
2 Cas d’un r´ eseaufini................................ 40
3 Transformation de Fourier rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bibliographie 43
Index 45
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre I
S´ eries de Fourier
1 Introduction
Pour p∈N∗, on note Lp(T)l’espace des (classes de) fonctions mesurables sur R, 1-
p´ eriodiques (au sens o` uf(x+ 1) = f(x)pour presque tout x∈R) et de puissance p-i` eme
int´ egrable sur [0,1], que l’on munit de la norme naturelle
kfkLp(T)=Z1
0|f(x)|pdx1/p .
(Par Ton d´ esigne le «tore »R/Z.) L’espace L∞(T)est celui des (classes de) fonctions essen-
tiellement born´ ees, muni de la norme
kfkL∞(T)=sup essx∈[0,1]|f(x)|.
On remarque en particulier l’inclusion Lp(T)⊂L1(T)pour tout p≥1(cons´ equence de
l’in´ egalit´ e de H¨ older, sur l’intervalle born´ e[0,1]).
Si f∈L1(T), on d´ efinit ses coefficients de Fourier par
(I.1) cn(f) = Z1
0
f(x)e−2i π n x dx , n ∈Z.
La «suite »(index´ ee par Z) des coefficients de Fourier (cn(f))n∈Zest born´ ee :
|cn(f)| ≤ kfkL1(T),pour tout n∈Z.
Autrement dit, les coefficients de Fourier d´ efinissent une application lin´ eaire continue :
L1(T)→`∞(Z)
f7→ (cn(f))n∈Z
de norme au plus 1, et en fait ´ egale ` a1(atteinte pour la fonction constante ´ egale ` a1). On montre
mˆ eme plus pr´ ecis´ ement que cette application est ` a valeurs dans le sous-espace des suites tendant
vers z´ ero, ce qui est l’objet du lemme de base suivant.
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