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Probabilités et statistique pour l’agrégation
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Jean-Baptiste BARDET, Florent MALRIEU

Table des matières
Chapitre 1. Introduction 5
1. Programme 5
2. Modélisation 6
3. Simulation 6
4. Deux mots sur l’épreuve 7
Chapitre 2. Simulation de variables aléatoires 9
1. Inversion de la fonction de répartition 9
2. Simulation de lois discrètes 10
3. Et avec Scilab (premiers pas? 10
4. Quelques théorèmes limites 11
5. Méthode du rejet 12
6. Variables aléatoires gaussiennes 13
7. Vecteurs aléatoires gaussiens 14
8. Méthode de Monte-Carlo 14
9. Mélange de lois 15
10. Mesures de Gibbs 16
11. Le théorème de Wigner 17
12. Corrigés 18
Chapitre 3. Martingales 21
1. Probabilités, espérances et lois conditionnelles 22
2. Martingales : définition, théorème d’arrêt 26
3. Théorèmes de convergence des martingales 29
4. Exercices 32
5. Corrigés 35
A. Deux lemmes analytiques 41
Chapitre 4. Chaînes de Markov 43
1. Matrices de transition et chaînes de Markov 43
2. Équation de Chapman-Kolmogorov 46
3. Propriété de Markov 47
4. Récurrence/transience. Irréductibilité 48
5. Mesures invariantes, mesures réversibles 49
6. Exemples 52
7. Exercices 53
8. Corrigés 56
Chapitre 5. Statistiques d’ordre, processus de Poisson 61
1. Lois exponentielles 61
2. Statistiques d’ordre 63
3. Processus de Poisson 64
4. Corrigés 68
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4 Table des matières
Chapitre 6. Chaînes de Markov à temps continu 71
1. Définitions et généralités 71
2. Processus de naissance 73
3. Classes 74
4. Temps d’atteinte et d’absorption 75
5. Récurrence et transience 75
6. Mesures invariantes 76
7. Convergence à l’équilibre et théorème ergodique 77
8. Processus de vie et mort 78
9. Exercices 79
10. Corrigés 80
Chapitre 7. Quelques notions d’estimation paramétrique 81
1. Introduction et notations 81
2. Méthode des moments 82
3. Estimateur du maximum de vraisemblance 82
4. Exercices 84
5. Corrigés 85
Chapitre 8. Quantiles empiriques 89
1. Théorème de Glivenko-Cantelli 89
2. Convergence des quantiles empiriques 90
3. Théorème de Kolmogorov-Smirnov 91
4. Tests associés 92
5. Corrigés 94
Chapitre 9. Intervalles de confiance 97
1. Définitions et premier exemple 97
2. Les lois gaussiennes 98
3. Les grands échantillons 100
4. Intervalles de confiance pour une proportion 102
5. Utilisation des quantiles empiriques 102
6. Inégalité de Chernov 102
7. Corrigés 104
Chapitre 10. Tests du chi-deux 105
1. Un peu de probabilités 106
2. Test d’adéquation à une loi donnée 108
3. Test d’adéquation à une famille de lois 110
4. Test d’indépendance 111
5. Test d’homogénéité 112
Chapitre 11. Modèle linéaire gaussien 113
1. Travailler et capitaliser pour produire ! 113
2. Les données 115
3. Estimation des coefficients de régression 115
4. Décomposition de la variance et le coefficient de corrélation multiple R 116
5. Loi des estimateurs sous le modèle gaussien 117
6. Intervalles de confiance 117
7. Intervalle de prédiction 118
Bibliographie 119

Chapitre 1
Introduction
1. Programme
1.1. À l’écrit.
(1) Définition d’un espace probabilisé : événements, tribus, mesure de probabilité.
Indépendance d’événements et de tribus. Loi du 0-1, lemmes de Borel-Cantelli.
(2) Probabilités conditionnelles : définition, formule des probabilités totales et théo-
rème de Bayes.
(3) Variables aléatoires, loi d’une variable aléatoire : loi discrète et loi absolument
continue. Fonction de répartition et densité.
(4) Exemples de variables aléatoires : variable de Bernoulli, binomiale, de Poisson,
uniforme, exponentielle, de Gauss.
(5) Espérance et variance d’une variable aléatoire à valeurs réelles, théorème de
transfert.
(6) Indépendance de variables aléatoires. Loi conditionnelle d’une variable par rap-
port à une autre.
(7) Transformations exponentielles de lois : fonction caractéristique, transformée
de Laplace, fonction génératrice. Liens avec l’indépendance et la convolution,
application aux sommes de variables aléatoires indépendantes.
(8) Convergences de suites de variables aléatoires : en probabilité, dans Lp , presque
sûrement, en loi.
(9) Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands
nombres, applications en statistiques.
(10) Théorème de Lévy, théorème central limite, applications en statistiques.
1.2. À l’oral.
(1) Utilisation de lois usuelles pour modéliser certains phénomènes aléatoires.
Exemples : temps d’attente ou durée de vie, erreurs de mesure, sondages...
Méthodes de simulation de variables aléatoires.
(2) Chaînes de Markov à espace d’états finis. Classification des états. Convergence
vers une loi stationnaire (théorème ergodique et théorème central limite ad-
mis). Chaînes de Markov homogènes à espace d’états dénombrable, transience,
récurrence positive ou nulle, exemple de la marche aléatoire simple.
(3)
Lois de Poisson, exponentielle et Gamma, construction et propriétés du processus
de Poisson sur R+.
(4) Espérance conditionnelle, définition des martingales, temps d’arrêt. Exemples
d’utilisation des théorèmes de convergence presque sûre et L2 des martingales à
temps discret.
(5) Échantillons, moments empiriques, loi et fonction de répartition empiriques.
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