Formulaire de thermodynamique 1. Gaz parfait à équation d’état : PV = n RT 1.1. Expressions de l’entropie d’un gaz parfait é 1 æT ö æ V öù DSGP = S2 - S1 = n R ê ln ç 2 ÷ + ln ç 2 ÷ ú è V1 ø û ë g - 1 è T1 ø Couple (T, V) : ou DSGP g-1 n R é T2 æ V2 ö ù ê = S2 - S1 = ln ç ÷ ú (1) g - 1 ê T1 è V1 ø ú ë û é g æT ö æ P öù DSGP = S2 - S1 = n R ê ln ç 2 ÷ - ln ç 2 ÷ ú è P1 ø û ë g - 1 è T1 ø Couple (T, P) : ou DSGP g 1- g n R éæ T2 ö æ P2 ö = S2 - S1 = ln êç ÷ ç ÷ g - 1 êè T1 ø è P1 ø ë DSGP = S2 - S1 = Couple (P, V) : ou nR g-1 ù ú (2) ú úû é æ P2 ö æ V2 ö ù êln ç ÷ + g ln ç ÷ú è V1 ø û ë è P1 ø DSGP = S2 - S1 = 1.2. Évolution isentropique : loi de Laplace 1- g é ù n R g ê T2 æ P2 ö g ú = ln ç ÷ g - 1 ê T1 è P1 ø ú û êë n R é P2 ln ê g - 1 ê P1 ë g æ V2 ö ù ç ÷ ú (3) è V1 ø úû Une transformation adiabatique réversible est isentropique (pas l’inverse). Les équations (1), (2) et (3) donnent successivement pour transformation : état d’équilibre 1 (P1, V1, T1) à état d’équilibre 2 (P2, V2, T2) : Lois de Laplace : T2 V2g - 1 = T1V1g - 1 TV g - 1 = cste T2g P21- g = T1g P11- g P2 V2g = P1V1g T g P1 - g = cste PV g = cste La loi de Laplace est à appliquer pour un coefficient g indépendant de la température T en vérifiant les hypothèses : transformation isentropique ì í gaz parfait soumis aux seules forces pressantes î Remarque : la loi de Laplace s’applique au gaz parfait (g constant) pour une transformation adiabatique et mécaniquement réversible (condition moins restrictive que la réversibilité) pour les forces pressantes (absence de travail utile). 1.3. Evolution isochore d’un gaz parfait : première loi de Joule Si la loi de Laplace n’est pas applicable, il reste à appliquer pour un gaz parfait la première loi de Joule dans le cas d’une transformation isochore : DU GP = U 2 - U1 = n Cvm ( T2 - T1 ) = nR ( T2 - T1 ) g-1 1.4. Evolution isobare d’un gaz parfait : seconde loi de Joule Si la loi de Laplace n’est pas applicable, il reste à appliquer pour un gaz parfait la deuxième loi de Joule dans le cas d’une transformation isobare : DHGP = H 2 - H1 = n C pm ( T2 - T1 ) = n gR ( T2 - T1 ) g-1 2. Phase condensée (liquide ou solide) à équation d’état : V = V0 (constant) Une phase condensée de capacité thermique C est incompressible et indilatable. æT ö DSCOND = S2 - S1 » C ln ç 2 ÷ è T1 ø Le premier principe donne pour une phase condensée : DUCOND = U2 - U1 » DHCOND = H2 - H1 » C ( T2 - T1 ) 3. Source idéale de chaleur ou thermostat Une source idéale de chaleur de température TS n’échange que de la chaleur avec le système. Le système reçoit de la part de la source la quantité de chaleur : source à système : dQsystème ¬ chaleur fournie au système par la source Autrement dit, la quantité de chaleur reçue par le thermostat est : système à source : dQthermostat = - dQsystème ¬ chaleur reçue par la source du système DSthermostat = - Pour une transformation finie : Qsystème TS ¬ chaleur fournie au système par la source ¬ température constante de la source Quelques remarques sur les moteurs : Ø L’équilibre thermique s’établit lentement de sorte qu’une transformation rapide peut être considérée adiabatique sur une brève durée alors que l’enceinte n’est pas isolée thermiquement Ø L’équilibre mécanique s’établit instantanément, bien avant l’équilibre thermique (notion de transformation mécaniquement réversible. Ø Lorsqu’une enceinte est ce siège d’une explosion, la pression augmente brutalement et le volume de l’enceinte n’a pas le temps de changé dans cet intervalle de temps très court (transformation isochore), elle le fait juste après. Efficacité thermodynamique : L’efficacité thermodynamique d’une machine est un nombre positif défini par le rapport de deux transferts d’énergie : gain ou fonction de la machine transfert énergétique utile e= = dépense énergie fournie à la machine Elle permet d’évaluer le taux de conversion en énergie et de comparer les performances de plusieurs machines. Rendement : Le rendement permet d’évaluer l’écart de l’efficacité de la machine avec l’efficacité maximale atteignable de Carnot (cycle réversible) : efficacité de la machine rendement = efficacité de Carnot Attention : bien lire les énoncés, il peut y avoir confusion entre rendement et efficacité. Identités thermodynamiques pour une système homogène (les variables d’état sont les mêmes en tout point du système) : dU = TdS – PdV dH = TdS + VdP
