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Machines-électriques-Chapitre-4-Transformateurs (1)

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Machines électriques : Transformateurs
1. Principe
Le transformateur est un appareil électrique très simple, mais il n’en constitue pas moins l’un des plus
uties. Il permet de modifier la tension et les courants dans un circuit. Ainsi grâce aux transformateurs,
l’énergie électrique peut être transportée à grande distance de façon économique et distribuée dans les
usines et les maisons.
L’étude du transformateur forme la base de ce qui va suivre, elle est donc essentielle.
NB : le transformateur est un appareil électrique dégageant beaucoup de chaleur, il faut très souvent
prévoir un système de refroidissement efficace.
2. Tension induite dans une bobine.
Soit une bobine entourant un flux magnétique variant sinusoïdalement. Ce flux alternatif induit entre
les bornes de la bobine une tension alternative :
𝐸 = √2𝜋𝑓𝑁𝛷𝑚𝑎𝑥 ≅ 4,44𝑓𝑁𝛷𝑚𝑎𝑥
Avec :
−
−
−
−
La tension induite E [V]
La fréquence du flux f [Hz]
Le nombre de spires N
La valeur maximale (de crête) du flux Φmax [Wb]
Peu importe l’origine de ce flux magnétique (enroulement extérieur, aimant en mouvement ou courant
parcourant la bobine elle-même).
NB : Cette formule découle directement de la loi de Lenz-Faraday.
3. Tension appliquée à une bobine
Soit une bobine à noyau d’air raccordée à une source de tension sinusoïdale :
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Si la résistance de la bobine est négligeable, le courant :
𝐼𝑚 =
𝐸𝑔
𝑋𝐿
Avec XL la réactance inductive de l’enroulement.
Le flux créé par le courant alternatif induit aux bornes de la bobine une tension E dont la valeur est
donnée par l’équation vue juste avant.
D’autre part, on constate immédiatement que la tension appliquée et la tension induite sont identiques
car elles apparaissent entre les deux mêmes bornes.
On peut donc écrire :
𝐸𝑔 = 4,44𝑓𝑁𝜙𝑚𝑎𝑥
D’où l’on tire :
𝜙𝑚𝑎𝑥 =
𝐸𝑔
4,44𝑓𝑁
Ainsi, pour une fréquence et un nombre de spires donné, cela indique que le flux ϕmax varie proportionnellement à la tension appliquée.
De plus, si la tension d’alimentation est constante, le flux maximal doit aussi demeurer constant.
Ainsi, si on l’introduit graduellement un noyau ferromagnétique, on pourrait penser intuitivement que
le flux maximal devrait augmenter, ce qui est faux.
Vu que la tension d’alimentation reste inchangée, la tension induite aussi, donc le flux maximal aussi.
4. Transformateur monophasé
Pour faire un transformateur monophasé, sur un circuit magnétique cuirassé, on monte concentriquement deux bobines :
−
−
L’une de n1 spires reliée à la source et constituant la
primaire.
L’autre de n2 spires reliée au récepteur et constituant
la secondaire.
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On peut schématiser le transformateur :
Les astérisques signifient que l’on va de la borne marquée de ce signe
à l’autre borne, on tourne dans le même sens dans les deux enroulements.
̅̅̅1 est la tension de la source qui fournit un courant 𝐼̅1 .
• 𝑈
• ̅̅̅
𝑈2 est la tension fournie au récepteur qui consomme un courant 𝐼̅2 .
L’appellation primaire secondaire correspond au sens prévu pour le transfert d’énergie mais le transformateur est bien sûr réversible.
Supposons qu’au moment où les tensions atteignent
leur maximum, la borne 1 soit positive par rapport à la
borne 2, et que la borne 3 soit positive par rapport à la
4.
On dit alors que les bornes 1 et 3 possèdent la même
polarité.
On l’indique via un gros point noir, ce qu’on appelle la
marque des polarité (ou un astérisque).
5. Schéma électrique équivalent
À vide, c’est-à-dire quand I2 est nul :
− Aux bornes du secondaire apparaît la tension secondaire à vide U2 0.
− Le primaire se comporte comme une bobine à noyau de fer et absorbe le courant primaire à vide I1 0.
Les tensions :
− On peut négliger la chute de tension due au passage du courant I1 0 dans la résistance du primaire.
− On peut supposer que tout flux φ traversant les spires du primaire traverse les spires secondaires.
Il est d’ordinaire très faible (5 à 15%) devant le courant primaire nominal (c’est à dire le courant qui
peut passer en régime permanent dans le primaire sans provoquer d’échauffement anormal) et on peut
négliger les pertes Joule dans le bobinage primaire.
A vide, le diagramme des tensions et courants se réduit à :
En charge. Quand on branche un récepteur entre les bornes secondaires, le courant i2 circule dans celuici. Le courant primaire i1 varie car s’il sort de la puissance du secondaire, elle doit rentrer dans le primaire. Si on néglige les chutes de tension dues au passage des courants i1 et i2 dans les résistances r1 et
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r2 du primaire et du secondaire, si on suppose encore que le même flux traverse la totalité des spires des
deux enroulements, on a comme à vide :
𝑢1 = 𝑛1
𝑑𝜑
𝑑𝑡
𝑢2 = 𝑛2
𝑑𝜑
𝑑𝑡
̅̅̅
𝑈2 𝑛2
=
̅̅̅
𝑈1 𝑛1
À tension d’alimentation donnée, le flux reste le même.
Mais maintenant les ampères-tours enlacés par la ligne de champ moyenne sont 𝑛1 𝑖1 − 𝑛2 𝑖2 . Si le flux
reste le même qu’à vide, la force magnétomotrice reste la même :
𝑛1 𝑖1 − 𝑛2 𝑖2 = 𝑛1 𝑖10
Ou
𝑛1 𝐼̅1 = 𝑛2 𝐼̅2 + 𝑛1 ̅̅̅̅
𝐼10
L’augmentation des ampères-tours primaires compense les ampères-tours secondaires. Pour les fortes
valeurs du courant débité 𝑛1 𝐼1 est très supérieur à 𝑛1 𝐼10, il en est de même de𝑛1 𝐼10, il en est de m^me
de 𝑛2 𝐼2.
En première approximation, on peut écrire :
𝐼̅2 𝑛2
=
𝐼̅1 𝑛1
𝑛1 𝐼̅1 = 𝑛2 𝐼̅2
Autrement dit, on peut admettre la compensation des ampères-tours des deux enroulements.
Le diagramme vectoriel des tensions et des courants, avec les hypothèses faites pour arriver à la constance de flux est :
𝜑2 désigne le déphasage de 𝐼̅2 en arrière de ̅̅̅
𝑈2 . La valeur et la phase du courant secondaire dépendent
du récepteur.
Remarques :
−
−
La relation 𝑛1 𝐼̅1 = 𝑛2 𝐼̅2 est complètement fausse à vide ; elle est d’autant plus exacte que 𝐼̅2 est plus
important.
Si en charge, le flux varie peu, la force magnétomotrice résultante 𝑛1 ̅̅̅̅
𝐼10 varie elle aussi un peu. Mais
cela n’affecte pas sensiblement la relation entre 𝐼̅1 et 𝐼̅2 car, en charge, on peut négliger 𝐼10 devant
𝐼1.
En réalité, les enroulements primaire et secondaire ont des résistances 𝑟1et 𝑟2 et ne sont pas parfaitement couplés.
Si le flux à travers les spires primaires est 𝜑1, à travers les spires secondaires il est 𝜑2
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Les équations des tensions du transformateur sont :
𝑑𝜑1
𝑑𝑡
{
𝑑𝜑2
𝑢2 = 𝑟2 (−𝑖2 ) + 𝑛2
𝑑𝑡
𝑢1 = 𝑟1 𝑖1 + 𝑛1
On considère le courant −𝑖2 fourni au secondaire, pour que les équations des
deux circuits soient analogues.
Une petite partie 𝜑𝑓1du flux qui traverse les spires primaires ne traverse pas les
spires secondaires.
De même, le flux de fuites secondaire 𝜑𝑓2 traverse le secondaire mais pas le primaire.
Si 𝜑 est le flux commun aux deux enroulements, les flux à travers leurs spires sont donc
𝜑1 = 𝜑 + 𝜑𝑓1
𝜑2 = 𝜑 + 𝜑𝑓2
Les flux de fuites ont une grande partie de leur trajet hors circuit magnétique, dans l’air ou dans les
bobinages eux-mêmes. Ils sont donc pratiquement proportionnels aux courants qui les créent :
𝜑𝑓1 =
𝑙1 𝑖1
𝑛1
𝜑𝑓2 =
𝑙2 (−𝑖2 )
𝑛2
𝑙1est l’inductance de fuites du primaire, 𝑙2 celle du secondaire.
En remplaçant dans les équations :
𝑑𝑖1
𝑑𝜑
+ 𝑛1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
{
𝑑𝑖2
𝑑𝜑
𝑢1 = −𝑟2 𝑖2 − 𝑙2
+ 𝑛2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑢1 = 𝑟1 𝑖1 + 𝑙1
En notations complexes :
{
̅̅̅̅
𝑈′1 = ̅̅̅
𝑈1 − (𝑟1 + 𝑗𝑙1 𝜔)𝐼̅1
̅̅̅̅
̅̅̅
𝑈2 = 𝑈′2 − (𝑟2 + 𝑗𝑙2 𝜔)𝐼̅2
̅̅̅̅̅
𝑈′
En ayant posé ̅̅̅̅
𝑈′1 = 𝑗𝑛1 𝜔𝜙̅ et ̅̅̅̅
𝑈′2 = 𝑗𝑛2 𝜔𝜙̅ donc ̅̅̅̅̅1 =
𝑈′2
𝑛1
𝑛2
.
Ces équations correspondent au schéma équivalent de la figure ci-après.
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Dans ce schéma, 1’ représente un transformateur parfait donc les bobinages n’ont ni résistance ni réactance de fuites, donc dont le rapport de transformation est exactement égal au rapport des nombres
de tours.
Mais ce transformateur nécessite un courant magnétisant 𝐼10 pour créer le flux dans son circuit magnétique ; d’autre part, il consomme des pertes dans le fer par hystérésis et courants de Foucault :
𝑛1 𝐼̅1 = 𝑛2 𝐼̅2 + 𝑛1 ̅̅̅̅
𝐼10
En pratique un transformateur n’est pas idéal, mais l’on considère qu’un transformateur réel n’est jamais que le couplage d’un transformateur et de résistances/réactances.
C’est ce que l’on appelle l’impédance magnétisante ̅̅̅
𝑍µ , on arrive au schéma suivant :
La résistance de cette impédance magnétisante représente les pertes dans le fer, tandis que la réactance, en parallèle de la résistance, est un indice de la perméabilité du noyau.
Dans ce schéma, T’’ est un transformateur idéal dont les tensions sont le rapport des nombres de tours
et les courants dans le rapport inverse.
𝑛2
𝑛2
̅
̅
En charge, le courant 𝐼̅̅̅̅
10 + (𝑛 ) 𝐼2 traversant l’impédance (𝑟1 + 𝑗𝑙1 𝜔) diffère peu de (𝑛 ) 𝐼2 . D’autre part
1
1
la chute de tension dans(𝑟1 + 𝑗𝑙1 𝜔) est un terme correctif de la tension primaire. On peut aussi, avec
une excellente approximation, rapporter l’impédance magnétisante à l’entrée du schéma
Les équations correspondantes s’écrivent :
𝑛2 𝐼̅2 ̅̅̅̅
= 𝑈′1
𝑛1
̅̅̅̅
𝑈′2 − (𝑟2 + 𝑗𝑙2 𝜔)𝐼̅2 = ̅̅̅
𝑈2
𝑛2
𝐼̅1 = ̅̅̅̅
𝐼10 + ( ) 𝐼̅2
{
𝑛1
̅̅̅
𝑈1 − (𝑟1 + 𝑗𝑙1 𝜔)
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̅̅̅̅̅
𝑈′
𝑛1
𝑈′2
𝑛2
Puisque ̅̅̅̅̅1 =
, on peut écrire :
𝑛2
𝑛2 2
̅̅̅
𝑈1 − (𝑟1 + 𝑗𝑙1 𝜔) ( ) 𝐼̅2 − (𝑟2 + 𝑗𝑙2 𝜔)𝐼̅2 = ̅̅̅
𝑈2
𝑛1
𝑛1
Soit :
𝑛2
̅̅̅
𝑈 − (𝑅2 + 𝑗𝑋2 )𝐼̅2 = ̅̅̅
𝑈2
𝑛1 1
Avec :
𝑅2 = 𝑟2 + 𝑟1 (
𝑛2 2
)
𝑛1
𝑋2 = 𝑙2 𝜔 + 𝑙1 𝜔 (
𝑛2 2
)
𝑛1
Les deuxièmes termes donnent respectivement la résistance et la réactance des fuites du primaire ramenées au secondaire.
On arrive au schéma équivalent usuel :
NB : on peut tout ramener au primaire plutôt qu’au secondaire, et tracé le schéma équivalent usuel
similaire.
6. Détermination des éléments du schéma
A vide :
Le secondaire est ouvert (𝐼2=0), on alimente le primaire sous sa tension nominale. On mesure la tension
𝑈1, la tension secondaire 𝑈20, le courant 𝐼10 et la puissance 𝑃10 absorbés.
On en déduit :
̅̅̅̅̅
𝑈20 𝑛2
=
̅̅̅
𝑛1
𝑈1
𝑍µ =
𝑈1
𝐼10
𝑅µ =
𝑃10
2
𝐼10
𝑋µ = √𝑍µ2 − 𝑅µ2
En court-circuit :
Le secondaire mis en court-circuit sur un ampèremètre, on alimente le primaire sous une tension très
réduite 𝑈1𝑐𝑐 pour que le courant secondaire 𝐼2𝑐𝑐 n’excède pas sa valeur nominale.
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On mesure 𝑈1𝑐𝑐, 𝐼2𝑐𝑐 et la puissance 𝑃1𝑐𝑐 fournie au transformateur.
Puisque
̅̅̅̅̅
𝐼2𝑐𝑐 = ̅̅̅̅̅̅
𝑈1𝑐𝑐
𝑛2
1
𝑛1 (𝑅2 + 𝑗𝑋2 )
Alors :
√𝑅µ2 + 𝑋µ2 =
𝑛2
)
𝑛1
𝑈1𝑐𝑐 (
𝐼2𝑐𝑐
On peut négliger les pertes dans le fer du transformateur dans cet essai sous très faible tension donc à
flux très réduit :
𝑅2 =
𝑃1𝑐𝑐
2
𝐼2𝑐𝑐
𝑑′ 𝑜ù 𝑋2
7. Chute de tension secondaire
On trace pour les transformateurs les courbes du rendement et de la tension secondaire 𝑈2 en fonction
du courant secondaire 𝐼2.
Comme 𝑈2 varie peu d’ordinaire, on tracera plutôt les courbes donnant la chute de tension :
𝛥𝑈2 = 𝑈20 − 𝑈2
On peut montrer que :
𝛥𝑈2 ≈ 𝑅2 𝐼2 cos(𝜑2 ) + 𝑋2 𝐼2 sin(𝜑2 )
En désignant φ2 le déphasage de𝐼̅2 en arrière de ̅̅̅
𝑈2 .
La chute de tension est donc sensiblement proportionnelle à 𝐼2 et dépend beaucoup de 𝜑2.
8. Rendement
Le rendement est le rapport de la puissance débitée par la secondaire 𝑈2 𝐼2 cos(𝜑2 ) à la puissance entrant au primaire 𝑈1 𝐼1 cos(𝜑1 ).
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La différence est due aux pertes :
𝑈2 𝐼2 cos(𝜑2 )
𝑈2 𝐼2 cos(𝜑2 ) + 𝑝𝐽 + 𝑝𝑓
𝜂=
À tension d’alimentation 𝑈1 constante, les pertes dans le fer
𝑝𝑓 sont pratiquement constantes.
Les pertes Joule 𝑝𝐽 sont égales à 𝑅2 𝐼22.
9. Autotransformateur
On appelle autotransformateur, un transformateur composé d’un
enroulement unique monté sur un noyau d’acier.
La haute tension est appliquée à l’enroulement complet, et la
basse tension est obtenue entre une extrémité de l’enroulement
et une prise intermédiaire.
Il est composé d’un enroulement AB de 𝑁1 spires monté sur un
noyau de fer. L’enroulement est raccordé à une source de tension
constante 𝐸𝑔. Le courant d’excitation crée un flux et, comme dans
tout transformateur, ce flux demeure constant tant que 𝐸𝑔 est
constante.
Supposons que l’on sorte une prise C entre les extrémités A et B de l’enroulement, et que 𝑁2 spires soient
comprises entre les bornes A et C. Comme la tension induite est proportionnelle au nombre de spires, la
tension entre ces bornes est
𝐸2 =
𝑁2
𝐸
𝑁1 1
Cette relation est la même que celle obtenue avec un transformateur conventionnel à deux enroulements ayant 𝑁1 et 𝑁2 spires. Cependant, comme les enroulements primaire AB et secondaire AC ont une
borne commune A, ils ne sont plus isolés.
Si l’on branche une charge aux bornes C et A, le courant 𝐼2 provoque la circulation d’un courant 𝐼1au
primaire.
La section BC de l’enroulement porte le courant 𝐼1. D’après la deuxième loi de Kirchhoff, appliquée au
nœud A, la section CA porte un courant (𝐼2 − 𝐼1 ). De plus, la force magnétomotrice créée par 𝐼1 doit être
égale et opposée à celle produite par (𝐼2 − 𝐼1 ). On a donc
𝐼1 (𝑁1 − 𝑁2 ) = (𝐼2 − 𝐼1 )𝑁2
Soit
𝑁1 𝐼1 = 𝑁2 𝐼2
Enfin, si l’on suppose que les pertes et le courant magnétisant sont
négligeables, la puissance apparente absorbée par la charge doit
être égale à celle fournie par la source. Par conséquent,
𝐸1 𝐼1 = 𝐸2 𝐼2
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On constate que toutes les équations obtenues sont identiques aux équations obtenues pour un transformateur conventionnel ayant un rapport de transformation 𝑁1/𝑁2.
Cependant, dans un autotransformateur, l’enroulement secondaire fait partir de l’enroulement primaire.
Il s’ensuit qu’un autotransformateur est plus petit, moins lourd et moins couteux qu’un transformateur
conventionnel de même puissance.
Par contre, l’absence d’isolation entre la haute tension et la basse tension constitue parfois un grand
inconvénient.
Les autotransformateurs servent au démarrage à tension réduite des moteurs, à la régulation de la tension des lignes de distribution et en général, à la transformation de tensions de valeurs assez rapprochées.
10. Transformateur triphasé
Tout comme sur les lignes monophasées, on utilise des transformateurs pour élever ou abaisser la tension des lignes triphasées.
Cette transformation peut être effectuée avec des transformateurs triphasés comportant trois enroulements primaires et trois secondaires, ou avec des montages spéciaux de transformateurs monophasés.
On peut raccorder les enroulements de diverses façons. Il s’ensuit que le rapport de transformation
entre la tension triphasée d’entrée et la tension de sortie dépend non seulement du rapport du nombre
de spires, mais aussi de la manière dont les trois transformateurs sont raccordés.
Un groupe de transformateurs peut aussi produire un déphasage entre la
tension triphasée d’entrée et celle de sortie. Ainsi, par exemple, on peut
convertir un système triphasé en système diphasé, ou à cinq phases.
NB : lorsqu’utilisés dans un groupe triphasé, chaque transformateur monophasé conserve ses propriétés monophasées. C’est à dire que le rapport
de transformation du courant et de tension, le flux dans le noyau et la valeur de l’impédance restent strictement inchangés. De plus, les tensions
primaires et secondaires sont en phase, en tenant compte de la polarité.
11. Exercices illustratifs
1) Une bobine de 90 spires est raccordée à une source de 230 V, 50 Hz. Sachant que le courant magnétisant est de 4 A, calculer :
a. La valeur crête du flux
b. La valeur crête de la force magnétomotrice développée par la bobine
c. La réactance inductive de la bobine
d. L’inductance de la bobine
2) On donne l’information suivante au sujet d’un transformateur :
𝑁2=180spires ; 𝐼2=18𝐴 ; 𝑓=50Hz ; 𝜙𝑚=20 𝑚𝑊𝑏 (crête) ; 𝜙𝑓2=0,3 𝑚𝑊𝑏 (crête)
Calculer :
a. La valeur de 𝐸2 induite par le flux mutuel 𝜙𝑚
b. La valeur de 𝐸𝑓2 induite par le flux de fuite 𝜙𝑓2
c. La valeur de la réactance de fuite 𝑋𝑓2
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3) Un transformateur de 20 kVA , 230/600 V fonctionnant à vide, tire un courant de 5 A lorsqu’il est
raccordé à une source de 230 V, 50 Hz. Un wattmètre indique une puissance de 180 W. Calculer :
a. La puissance réactive absorbée par le noyau
b. La valeur de 𝑅m et 𝑋m
c. Les valeurs de 𝐼𝑓, 𝐼𝑚 et 𝐼0
4) Un autotransformateur ayant une prise de 80 % est connecté sur une source 300 V. Une charge de
3600 W est branchée aux bornes du secondaire. Calculer :
a. La tension et le courant de la charge
b. Les courants circulant dans les parties BC et CA de l’enroulement
c. La grosseur relative des conducteurs des enroulements BC et CA
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