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328745361-Analyse-Dimensionnelle-Version-2016

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LST GP
Analyse Dimensionnelle
ANALYSE DIMENSIONNELLE
La base de l’analyse dimensionnelle est la théorie de la similitude qui rassemble en même
temps le côté théorique et pratique du phénomène à étudier. Elle réduit le nombre de
variables indépendant qui décrivent l’opération physique.
La procédure principale de l’analyse dimensionnelle peut être résumée comme suite :
1.
Compiler une liste de variables pertinentes soit dépendante ou indépendante pour le
problème considéré,
2.
Utiliser une technique appropriée pour identifier le nombre et la forme des
nobmres sans dimension.
Une de ces techniques utilisée est le théorème Pi de Buckingham. Elle traite les variables et
les présentes sous une forme pratique indépendantes des unites et échelles.
L’analyse dimensionnelle est un puissant outil en genie des procédés.
1
Dimension et unités
1.1
Les systèmes d'unités
Une unité est une grandeur prise comme terme de comparaison avec des grandeurs de la
même espèce. Les nombres qui résultent de ces comparaisons en donnent les mesures.
l.l.l
Le système c.g.s.
Dans ce système nous avons, pour les grandeurs que l'on mesure généralement, les 4 unités
suivantes :
Longueur
centimètre
cm
Masse
gramme
g
Temps
second
s
Force
dyne
d
1.1.2 Le système international SI
-1-
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Analyse Dimensionnelle
Longueur
mètre
m
Masse
kilogramme
kg
Temps
second
s
Force
Newton
N = kg . m . s2
Température
degré centigrade
°C
Longueur
foot
ft
Masse
pound
1 bm
Temps
seconde
s
Force
poundal
1 bF
Température
degré Farenheit
°F
Longueur
foot
ft
Masse
pound mass
lbm
Temps
seconde
s
Force
pound force
lbf
Température
degré Farenheit
°F
1.1.3 Le système anglais
1.1.4 Le système américain
1.2
Les dimensions
Si les unités varient, toute grandeur n'a qu'une seule dimension.
Reprenons les grandeurs de définition des systèmes d'unités avec leur dimension :
Longueur
Temps
Masse
Force
Température
L
t
M
F
T
-2-
(indépendante)
(indépendante)
(indépendante)
(dépendante)
(indépendante)
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Analyse Dimensionnelle
Grandeurs physique
Symbole
dimension
Unité, SI
Unités fondamentales
Longueur
l
L
m
Temps
t
T
s
Masse
m
M
Kg
Température
T
θ
°K degré Kelvin
En choisissant L, T, et M comme dimensions indépendantes, nous pouvons retrouver la force,
le travail, l’énergie cinétique, la pression …
Unités dérivées
Vitesse
ϑ
[ϑ] = L.T-1
m.s-1
Accélération
a
[a] = M.L.T-2
m.s-2
Force
F
[F] = L.T-2
Kg.m.s-2 = N
Débit
Ḋ
[Ḋ] = L3 . T-1
m3.s-1
Pression
P
[P] = M . L-1 . T-2
kg.m-1.s-2 =N.m-2 = Pa
Contrainte
τ
[τ] = M . L-1 . T-2
Pa
Travail
2
[W] = M . L . T
W
Energie
Quantité de chaleur
-2
2
-2
-1
-1
[E] = M . L . T
E
[ΔQ] = [E]
ΔQ
N.m = J = le joule
Kg.m2.s-2 = J
J
Viscosité dynamique
η
[η] = M . L . T
Kg.m-1.s-1
Viscosité cinématique
γ
[γ] = L2 . T-1
m2.s-1
Tension superficielle
σs
[σs] = M . T-2
N.m-1 = Kg.s-2
Rq : Toute énergie est de dimension M . L2 . t-2.
1.3
Les températures absolues
La température n'est pas une énergie : on peut la considérée comme une échelle de désordre !
En effet l'ordre parfait, l'immobilité totale, l'absence de tout mouvement va nous définir le
zéro absolu. En revanche, côté désordre, l'échelle reste ouverte.
L'échelle des températures °C ou °F est complètement arbitraire.
La relation qui permet de passer de °F en °C et inversement est la suivante
T (°C) = 5/9 T(°F) - 32
-3-
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Analyse Dimensionnelle
II existe toutefois une échelle de température dont le zéro est la température à laquelle il
n'existe plus de mouvement moléculaire d'un gaz parfait. Il y a deux types d'unités pour cette
échelle
Le Kelvin, K, qui est l'unité S1
T (K) = T (°C) + 273,15
Le Rankine, R
T (R) = T (°F) + 459,58
Le Kelvin et le Rankine ne doivent pas être considérés comme des degrés mais bien comme
des unités.
Tableau 1 - Grandeurs, unités et dimensions. Conversions des principales unités.
LES CONSTANTES ET LEURS DIMENSIONS
ÉNERGIE, CHALEUR, PUISSANCE
=32,1739 ft lb/lbf s2
= 4,1697.108 ft lb/lbf h2
= 1 g cm/ds2
= 1 kg m/N s2
= I Ib ft/poundal s2
R constante des gaz parfaits
= 1544 ft lbf/Ib mol R
=0,730 ft3 atm/Ib mol R
=0,08205 m3 atm/kg mol K
= 8,314 J/g mol K
= 1,987 cal/g mol K
σ constante de Stefan-Boltzmann
= 0,1714.10-8 Btu/h ft2 R4
= 5,6697.108 W/m2 K4
CHALEUR SPÉCIFIQUE
1 Btu /lb °F = I kcal/kg °C = l cal/g °C
1 Btu/lb °F = 4186,69 J/kg °C
1 Btu/1b °F = 4, I 8669 J/g K
1 J/g °C = 0,23885 Btu/lb °F
COEFFICIENT DE TRANSFERT
DE CHALEUR
1 Btu/h ft2 °F = 5,677 W/m2 °C
I Btu/h ft2 °F = 5,677.10-4 W/ cm2 °C
1 W/ m2 °C = 0,1761 Btu/h ft2 °F
1 Btu/h ft2 °F = 4,882 kcal/h m2 °C
CONDUCTIVITÉ THERMIQUE
I Btu/h ft °F = 1,7303 W/m °C
1 Btu/h ft °F = 1,7303.10-2 W/cm °C
I Btu/h ft °F = 0,4132 cal/s m °C
1 W/m°C = 0,5779 Btu/h ft °F
1 W/cm°C = 57,79 Btu/h ft °F
DEBIT THERMIQUE
1 Btu/h ft3 - 10,35 W/m3
I Btu/h ft3=- 8,9 kcal/h m3
1 W/ m3 = 0,0966 Btu/h ft3
DIFFUSIVITE
1 ft2/s = 0,0929 m2/s
1 ft2/h = 0,2581 cm2/s
I ft2/h = 0,2581.10-4 m2/s
1 m2/s = 10,7639 ft2/s
1J= 1 W s= 1 Nm
1 Btu = 1055,04 J
1 Btu = 1055,04 W s
1 Btu = 1055,04 N m
1 Btu = 252 cal
1 Btu = 0,252 kcal
I Btu = 778, I 61 ft lbf
1 Btu/h =0,2931 W
1 Btu/h=0,2931.10-3 kW
1 Btu/h = 3,93.10-4 CV
1 cal = 4,1868 J (ou W s ou N m)
1 cal = 3,968.10-3Btu
1 kcal = 3,968 Btu
1 C V = 550 ft lbf/s
1 CV = 745,7 W
1Wh = 3,413 Btu
1 kWh = 3413 Btu
MASSE
1 lb = 453,6 g
1 lb = 0,4536 kg
1 kg =2,2046 Ib
LONG UEUR
1 Á = 10-10 m
1 μm= 10-3 mm
1 μm = 10-6 m
I in = 2,54 cm
1 in = 2,54 10-2 m
1 ft = 0,3048 m
1 m = 3,2808 ft
1 mile = 1609,34 m
1 mile = 5280 ft
MASSE VOLUMIQUE
I lb/ìn3 = 27,680.103 kg/m3
1 lb/ft3 = 16,019 kg/ m3
1 kg/ m3= 0,06243 lb/ ft3
1 lb mol/ ft3= 16,019 kg mol/ m3
1 kg mol/ m3= 0,06243 lb mol/ ft3
PRESSION, FORCE
1 N = 1 kg m/ s2
1 N = 0,22481 Ibf
g
-4-
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Analyse Dimensionnelle
l cm2/s = 3,8745 ft2/h
FLUX MASSIQUE
1 Ib mol/ft2 h =1,3563.10-3 kg mol/m2 s
1 kg mol/ m2 s = 737,3 Ib mol/ft2 h
1 Ib/ ft2 h = 1,3563. 10-3 kg/ m2 s
1 lb/ ft2 s = 4,882 kg/ m2 s
1 kg / m2 s = 737,3 Ib/ ft2 h
1 kg/ m2 s = 0,2048 Ib/ ft2s
FLUX THERMIQUE
1 Btu/h ft2 = 3,1537 W/ m2
I Btu/h ft2 = 3,1537.10-3 kW/ m2
1 W/ m2=0,31709 Btu/h ft2
1 N = 105 dyne
1 lbt = 32,174 ft Ib/ s2
1 Ibf = 4,4482 N
1 Ibf= 4,4482 kg m/ s2
1 Ibf / in2= 1 psi = 6894,76 N/ m2
1 Ibf / ft2 = 47,880 N/ m2
1 N/ m2 = 1 Pa
1 bar = 105;N/ m2 = 105 Pa
1 atm = 14,696 Ibf/in2
1 atm = 21 16,2 Ibf /ft2
1 atm = 1,0132 105 N/m2
1 atm= 1,0132 bar
Verso…
SURFACE
1 in2 = 6,4516 cm2
I in2 = 6,4516. 10-4m2
1 ft2 = 929 cm2
1 ft2 = 0,0929 m2
I m2 = 10,764 ft2
TEMPÉRATURE
I K=1,8 R
T (°F) = 1,8(K - 273) + 32
T (K) = 1/1,8.(R - 492)
ΔT (°C) = 1,8 ΔT(°F)
TENSION SUPERFICIELLE
1 Ibf/ft = 14,5937 N/m
1 N/m = 0,0685291 Ibf /ft
VISCOSITÉ
I poise = 1 g/cm s
I poise = 102 centipoises
I poise = 241,9 Ib/ft h
1 centipoise = 2-419 Ib/ft h = 10-3 Pa s
1 Ib/ft s = 1,4882 kg/m s
1 Ib/ft s = 14,882 poises
1 Ib/ft s = 1488,2 centipoises
1 lb/ft h = 0,4134 10-3 kg/m s
1 Ib/ft h = 0,4134. 10-2 poise
1 lb/ft h = 0,4134 centipoise
VITESSE
1 ft/s = 0,3048 m/s
1 m/s = 3,2808 ft/s
1 mile/h = 1,4667 ft/s
1 mile/h = 0,44704 m/s
VOLUME
1 in3 = 16,387 cm3
1 cm3 = 0,06102 in3
1 ft3 = 28,3 I 68 l
1 ft3= 7,4805 gal (U.S.)
I m3 = 35,315 ft3
1 gal (U.S.) = 3,7854 10-3 m3
1 gal (U.S.) = 0,13368 ft3
Procédure à suivre dans un problème d’analyse dimensionnelle :

Identifier toutes les variables indépendantes intervenant dans le problème étudié, soit
au nombre N,

Spécifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de bases
(L, T, M, θ),

Choisir les grandeurs convenables, disons au nombre D,

Utiliser une méthode appropriée pour identifier le nombre et la forme des paramètres
sans dimensions.
-5-
LST GP
Analyse Dimensionnelle
Il existe deux méthodes d’Analyse Dimensionnelle :
a. Le théorème des , ou théorème de Vaschy – Buckingham
b. La méthode de Rayleigh.
2.
Illustrations
2.1
Le problème du nombre 
Le périmètre d'un cercle et son diamètre sont ses deux variables caractéristiques. Ce sont tous
les deux des longueurs :
Variables caractéristiques
p
d
N=2
Dimension
L
L
D=1
Soit N le nombre de variables et D le nombre de dimension.
Le différence G = N – D est une importante quantité en analyse dimensionnelle. C’est le
nombre de nombres sans dimension correspondant au problème. Dans l’exemple ci-dessus G
= 1..c
Pa db = cte
(1)
Nous remplaçons les variables par leur dimension et nous regroupons les exposants
La + b
Pour que ce terme soit sans dimension il lui faut un exposant nul
⇒ a=-b
a +b = 0
P
En l'injectant dans (1), nous obtenons finalement :  
d 
a
= cte
Une mesure de cette constante sur un cercle quelconque nous permet d'identifier le nombre π
valable pour tout cercle :
⇒
P = .d
2.2 Le problème de la vidange de la cure
q
h
Ao

g
L3 t-I
L
L2
M L-3
L t-2
Les dimensions L, t, M sont indépendantes
-6-
LST GP
Analyse Dimensionnelle
N=5
D=3
=>
G=2
2.2.2.1 Détermination des nombres sans dimension du problème
Le groupement des variables caractéristiques élevées à une puissance inconnue s'écrit :
qa . hb . A0c . ρd . ge
D'où
(L3 t-1 )a . Lb .L2c .(ML-3) d .(Lt-2)e
Pour que ce terme soit sans dimension, chaque dimension doit être d'exposant nul :
L
3a + b + 2c - 3d + e = 0
M
d=0
t
-a - 2e = 0
Après avoir constaté que d = 0, on obtient 2 équations avec 4 inconnues :
A = -2e
3a + b + 2c + e = 0
Nous choisissons d'exprimer b et e en fonction de a et c :
e = - a/2
`
⇒
b = -5 a/2 - 2c
a


c

 q  
A

  0 
 1 5   h2 

 g  h 2  
 2

D’où les deux nombres sans dimensions recherchées :
N1 
q
g
1/ 2
h
5/ 2
et
L'équation constitutive s'écrit donc
N1 = f (N2)
D'où la relation q(h) qui nous intéresse
-7-
N2
A0
h2
LST GP
Analyse Dimensionnelle
qg
1/ 2
A 
 h5 / 2  f  0 
 h2 
La fonction f est déterminée par l'expérience.
2.2.2 Détermination expérimentale de la fonction f :
Montage permettant d'étudier la vidange d'une cuve maintenue à niveau constant avec
une ouverture de vanne variable
qg
1/ 2
 h5 / 2 k   f  A0   k '  f  A0 
Nous effectuons alors les expériences de mesures du débit de sortie q en fonction de la
section de passage. Nous vérifions par régression linéaire que ces données expérimentales
sont bien représentées par une équation du type :
q = k".A0
Finalement, nous avons déterminé la relation
q = K.Ao.(g.h)1/2
Où K est le facteur de restriction de jet. En effet,
sous l’action de la pression atmosphérique, le
-8-
LST GP
Analyse Dimensionnelle
diamètre réel du jet est égal à environ 85 % du diamètre de la conduite.
En conclusion, l'analyse dimensionnelle nous a donc permis de retrouver la relation du
chapitre 1.
q = cte . h1/2.
2 – 3 L'analyse dimensionnelle : marche à suivre.
Le tableau ci-dessous résume la démarche à suivre pour résoudre les problèmes d’analyse
dimensionnelle.
1- Reconnaître toutes les variables caractéristiques importantes et faire la liste de leurs
dimensions. N est le nombre de variables tandis que D est le nombre de dimensions.
2- Calculer le nombre de groupements sans dimension. G = N- D
3- Écrire chaque variable sous la forme xa yb zc
4- Élever les dimensions de chaque variable à la même puissance que la variable.
5- Développer D équations en écrivant que pour chaque dimension la somme de ses
exposants doit être égale à 0.
6- Résoudre les D équations pour se ramener à N- D exposants choisis arbitrairement.
7- Chaque exposant correspond à un groupement sans dimension Nt, N2, N3,..
Ecrire l’équation constitutive N1 = f (N2, N3,
). S’il y a un seul nombre sans
dimension, f = cte.
3 - QUELQUES NOMBRES CLASSIQUES DU GÉNIE CHIMIQUE
Exercice 1- L'écoulement d'un fluide dans une canalisation horizontale
Un fluide, caractérisé par sa masse volumique ρ et sa viscosité η, s'écoule à la vitesse
moyenne v, dans un tube de diamètre D entre deux points 1 et 2 distants de L. La différence
de pression en ces deux points, la < perte de charge », est ΔP.
Appliquez l'analyse dimensionnelle à ce problème en établissant une relation du type :
N3= f(N1, N2), où :
-9-
LST GP
Analyse Dimensionnelle
N1 
N2
N3
L
D
D  v

Nombred de Re ynolds
P
  v2
Exercice 2- Puissance nécessaire pour l’agitation d’une cuve.
Un fluide de viscosité η et de masse volumique ρ est placé dans une cuve. Nous
voulons y relier la puissance Ρ que va dissiper un agitateur de diamètre D tournant à la vitesse
N. Nos variables caractéristiques sont donc : (Ρ, D, η, g, ρ, N).
1) Retrouver les trois nombres sans dimension (Re, Fr et Np)
2) Commenter le problème.
2
N D
Fr 
g
nombre de Froud
Np 

 N 3 D5
nombre de Puissance
Re 
  N  D2

nombre de Re ynolds
- 10 -
LST GP
Analyse Dimensionnelle
cas limites :

Re grand  Les forces d'inertie sont très supérieures aux forces visqueuses et a fortiori à l'effet de la gravité. Pour des turbines, des expériences trouvent
que Np est alors constant :
Np = K


Re très faible (< 300) =>
P = K..N3.D5
Les données expérimentales sont alignées selon
une droite de pente -1 en échelle logarithmique. Nous en déduisons
Np =
K'
Re

P = K’..N2.D3
- 11 -
LST GP
Analyse Dimensionnelle
Quelques nombres sans dimensions
Nombre
sans dimension
Formule
R
Reynolds
e
Mach
Ecoulement
visqueux
Rugosité
Longueur caractéristique
Ecoulement
turbulent, surface
rugueuse
Lg
Forces d ' inertie
Firce pesanteur
Ecoulement à
surface libre


Diffusivité thermique
Diffusivité visqueuse
Transfert
thermique
Force de traînée
Force dynamique
Aérodynamique,
Hydrodynamique
Temps d ' advection
Temps de diffusion
Transfert
thermique
Vitesse d ' écoulement
Vitesse de son
Force d ' inertie
Force de tension sup erficielle
Ecoulement
compressible
L
Fr = 
Fr =
Prandtl
C
P
e
D
=
=
2

0
1
2

2
L /

 c p
Ma =

c
 L
2
Weber
Nusselt
We =
Nu =

Gr =
h : Coefficient de convection
L : longueur caractéristique
λ : Conductivité thermique
hL

g∆T L

2
Ecoulement à
surface libre
s
3
Grashof
Domaine
d’application
Forces d ' inertie
Firce visqueuse

Froude
Péclet
L

=
Rugosité
adimensionnelle
Coefficient de
frottement
Explication
2
β : Coefficient de dilatabilité,
L : Dimension caractéristique,
g : Pesanteur,
γ : Viscosité cinématique.
- 12 -
Nu : traduit la qualité
de
l’échange
thermique ;
une
augmentation de ce
nombre traduit une
contribution
importante
de
l’écoulement
sur
l’échange de chaleur
avec la paroi.
Une au.gmentation
de Gr traduit une
augmentation de la
convection naturelle
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