LST GP Analyse Dimensionnelle ANALYSE DIMENSIONNELLE La base de l’analyse dimensionnelle est la théorie de la similitude qui rassemble en même temps le côté théorique et pratique du phénomène à étudier. Elle réduit le nombre de variables indépendant qui décrivent l’opération physique. La procédure principale de l’analyse dimensionnelle peut être résumée comme suite : 1. Compiler une liste de variables pertinentes soit dépendante ou indépendante pour le problème considéré, 2. Utiliser une technique appropriée pour identifier le nombre et la forme des nobmres sans dimension. Une de ces techniques utilisée est le théorème Pi de Buckingham. Elle traite les variables et les présentes sous une forme pratique indépendantes des unites et échelles. L’analyse dimensionnelle est un puissant outil en genie des procédés. 1 Dimension et unités 1.1 Les systèmes d'unités Une unité est une grandeur prise comme terme de comparaison avec des grandeurs de la même espèce. Les nombres qui résultent de ces comparaisons en donnent les mesures. l.l.l Le système c.g.s. Dans ce système nous avons, pour les grandeurs que l'on mesure généralement, les 4 unités suivantes : Longueur centimètre cm Masse gramme g Temps second s Force dyne d 1.1.2 Le système international SI -1- LST GP Analyse Dimensionnelle Longueur mètre m Masse kilogramme kg Temps second s Force Newton N = kg . m . s2 Température degré centigrade °C Longueur foot ft Masse pound 1 bm Temps seconde s Force poundal 1 bF Température degré Farenheit °F Longueur foot ft Masse pound mass lbm Temps seconde s Force pound force lbf Température degré Farenheit °F 1.1.3 Le système anglais 1.1.4 Le système américain 1.2 Les dimensions Si les unités varient, toute grandeur n'a qu'une seule dimension. Reprenons les grandeurs de définition des systèmes d'unités avec leur dimension : Longueur Temps Masse Force Température L t M F T -2- (indépendante) (indépendante) (indépendante) (dépendante) (indépendante) LST GP Analyse Dimensionnelle Grandeurs physique Symbole dimension Unité, SI Unités fondamentales Longueur l L m Temps t T s Masse m M Kg Température T θ °K degré Kelvin En choisissant L, T, et M comme dimensions indépendantes, nous pouvons retrouver la force, le travail, l’énergie cinétique, la pression … Unités dérivées Vitesse ϑ [ϑ] = L.T-1 m.s-1 Accélération a [a] = M.L.T-2 m.s-2 Force F [F] = L.T-2 Kg.m.s-2 = N Débit Ḋ [Ḋ] = L3 . T-1 m3.s-1 Pression P [P] = M . L-1 . T-2 kg.m-1.s-2 =N.m-2 = Pa Contrainte τ [τ] = M . L-1 . T-2 Pa Travail 2 [W] = M . L . T W Energie Quantité de chaleur -2 2 -2 -1 -1 [E] = M . L . T E [ΔQ] = [E] ΔQ N.m = J = le joule Kg.m2.s-2 = J J Viscosité dynamique η [η] = M . L . T Kg.m-1.s-1 Viscosité cinématique γ [γ] = L2 . T-1 m2.s-1 Tension superficielle σs [σs] = M . T-2 N.m-1 = Kg.s-2 Rq : Toute énergie est de dimension M . L2 . t-2. 1.3 Les températures absolues La température n'est pas une énergie : on peut la considérée comme une échelle de désordre ! En effet l'ordre parfait, l'immobilité totale, l'absence de tout mouvement va nous définir le zéro absolu. En revanche, côté désordre, l'échelle reste ouverte. L'échelle des températures °C ou °F est complètement arbitraire. La relation qui permet de passer de °F en °C et inversement est la suivante T (°C) = 5/9 T(°F) - 32 -3- LST GP Analyse Dimensionnelle II existe toutefois une échelle de température dont le zéro est la température à laquelle il n'existe plus de mouvement moléculaire d'un gaz parfait. Il y a deux types d'unités pour cette échelle Le Kelvin, K, qui est l'unité S1 T (K) = T (°C) + 273,15 Le Rankine, R T (R) = T (°F) + 459,58 Le Kelvin et le Rankine ne doivent pas être considérés comme des degrés mais bien comme des unités. Tableau 1 - Grandeurs, unités et dimensions. Conversions des principales unités. LES CONSTANTES ET LEURS DIMENSIONS ÉNERGIE, CHALEUR, PUISSANCE =32,1739 ft lb/lbf s2 = 4,1697.108 ft lb/lbf h2 = 1 g cm/ds2 = 1 kg m/N s2 = I Ib ft/poundal s2 R constante des gaz parfaits = 1544 ft lbf/Ib mol R =0,730 ft3 atm/Ib mol R =0,08205 m3 atm/kg mol K = 8,314 J/g mol K = 1,987 cal/g mol K σ constante de Stefan-Boltzmann = 0,1714.10-8 Btu/h ft2 R4 = 5,6697.108 W/m2 K4 CHALEUR SPÉCIFIQUE 1 Btu /lb °F = I kcal/kg °C = l cal/g °C 1 Btu/lb °F = 4186,69 J/kg °C 1 Btu/1b °F = 4, I 8669 J/g K 1 J/g °C = 0,23885 Btu/lb °F COEFFICIENT DE TRANSFERT DE CHALEUR 1 Btu/h ft2 °F = 5,677 W/m2 °C I Btu/h ft2 °F = 5,677.10-4 W/ cm2 °C 1 W/ m2 °C = 0,1761 Btu/h ft2 °F 1 Btu/h ft2 °F = 4,882 kcal/h m2 °C CONDUCTIVITÉ THERMIQUE I Btu/h ft °F = 1,7303 W/m °C 1 Btu/h ft °F = 1,7303.10-2 W/cm °C I Btu/h ft °F = 0,4132 cal/s m °C 1 W/m°C = 0,5779 Btu/h ft °F 1 W/cm°C = 57,79 Btu/h ft °F DEBIT THERMIQUE 1 Btu/h ft3 - 10,35 W/m3 I Btu/h ft3=- 8,9 kcal/h m3 1 W/ m3 = 0,0966 Btu/h ft3 DIFFUSIVITE 1 ft2/s = 0,0929 m2/s 1 ft2/h = 0,2581 cm2/s I ft2/h = 0,2581.10-4 m2/s 1 m2/s = 10,7639 ft2/s 1J= 1 W s= 1 Nm 1 Btu = 1055,04 J 1 Btu = 1055,04 W s 1 Btu = 1055,04 N m 1 Btu = 252 cal 1 Btu = 0,252 kcal I Btu = 778, I 61 ft lbf 1 Btu/h =0,2931 W 1 Btu/h=0,2931.10-3 kW 1 Btu/h = 3,93.10-4 CV 1 cal = 4,1868 J (ou W s ou N m) 1 cal = 3,968.10-3Btu 1 kcal = 3,968 Btu 1 C V = 550 ft lbf/s 1 CV = 745,7 W 1Wh = 3,413 Btu 1 kWh = 3413 Btu MASSE 1 lb = 453,6 g 1 lb = 0,4536 kg 1 kg =2,2046 Ib LONG UEUR 1 Á = 10-10 m 1 μm= 10-3 mm 1 μm = 10-6 m I in = 2,54 cm 1 in = 2,54 10-2 m 1 ft = 0,3048 m 1 m = 3,2808 ft 1 mile = 1609,34 m 1 mile = 5280 ft MASSE VOLUMIQUE I lb/ìn3 = 27,680.103 kg/m3 1 lb/ft3 = 16,019 kg/ m3 1 kg/ m3= 0,06243 lb/ ft3 1 lb mol/ ft3= 16,019 kg mol/ m3 1 kg mol/ m3= 0,06243 lb mol/ ft3 PRESSION, FORCE 1 N = 1 kg m/ s2 1 N = 0,22481 Ibf g -4- LST GP Analyse Dimensionnelle l cm2/s = 3,8745 ft2/h FLUX MASSIQUE 1 Ib mol/ft2 h =1,3563.10-3 kg mol/m2 s 1 kg mol/ m2 s = 737,3 Ib mol/ft2 h 1 Ib/ ft2 h = 1,3563. 10-3 kg/ m2 s 1 lb/ ft2 s = 4,882 kg/ m2 s 1 kg / m2 s = 737,3 Ib/ ft2 h 1 kg/ m2 s = 0,2048 Ib/ ft2s FLUX THERMIQUE 1 Btu/h ft2 = 3,1537 W/ m2 I Btu/h ft2 = 3,1537.10-3 kW/ m2 1 W/ m2=0,31709 Btu/h ft2 1 N = 105 dyne 1 lbt = 32,174 ft Ib/ s2 1 Ibf = 4,4482 N 1 Ibf= 4,4482 kg m/ s2 1 Ibf / in2= 1 psi = 6894,76 N/ m2 1 Ibf / ft2 = 47,880 N/ m2 1 N/ m2 = 1 Pa 1 bar = 105;N/ m2 = 105 Pa 1 atm = 14,696 Ibf/in2 1 atm = 21 16,2 Ibf /ft2 1 atm = 1,0132 105 N/m2 1 atm= 1,0132 bar Verso… SURFACE 1 in2 = 6,4516 cm2 I in2 = 6,4516. 10-4m2 1 ft2 = 929 cm2 1 ft2 = 0,0929 m2 I m2 = 10,764 ft2 TEMPÉRATURE I K=1,8 R T (°F) = 1,8(K - 273) + 32 T (K) = 1/1,8.(R - 492) ΔT (°C) = 1,8 ΔT(°F) TENSION SUPERFICIELLE 1 Ibf/ft = 14,5937 N/m 1 N/m = 0,0685291 Ibf /ft VISCOSITÉ I poise = 1 g/cm s I poise = 102 centipoises I poise = 241,9 Ib/ft h 1 centipoise = 2-419 Ib/ft h = 10-3 Pa s 1 Ib/ft s = 1,4882 kg/m s 1 Ib/ft s = 14,882 poises 1 Ib/ft s = 1488,2 centipoises 1 lb/ft h = 0,4134 10-3 kg/m s 1 Ib/ft h = 0,4134. 10-2 poise 1 lb/ft h = 0,4134 centipoise VITESSE 1 ft/s = 0,3048 m/s 1 m/s = 3,2808 ft/s 1 mile/h = 1,4667 ft/s 1 mile/h = 0,44704 m/s VOLUME 1 in3 = 16,387 cm3 1 cm3 = 0,06102 in3 1 ft3 = 28,3 I 68 l 1 ft3= 7,4805 gal (U.S.) I m3 = 35,315 ft3 1 gal (U.S.) = 3,7854 10-3 m3 1 gal (U.S.) = 0,13368 ft3 Procédure à suivre dans un problème d’analyse dimensionnelle : Identifier toutes les variables indépendantes intervenant dans le problème étudié, soit au nombre N, Spécifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de bases (L, T, M, θ), Choisir les grandeurs convenables, disons au nombre D, Utiliser une méthode appropriée pour identifier le nombre et la forme des paramètres sans dimensions. -5- LST GP Analyse Dimensionnelle Il existe deux méthodes d’Analyse Dimensionnelle : a. Le théorème des , ou théorème de Vaschy – Buckingham b. La méthode de Rayleigh. 2. Illustrations 2.1 Le problème du nombre Le périmètre d'un cercle et son diamètre sont ses deux variables caractéristiques. Ce sont tous les deux des longueurs : Variables caractéristiques p d N=2 Dimension L L D=1 Soit N le nombre de variables et D le nombre de dimension. Le différence G = N – D est une importante quantité en analyse dimensionnelle. C’est le nombre de nombres sans dimension correspondant au problème. Dans l’exemple ci-dessus G = 1..c Pa db = cte (1) Nous remplaçons les variables par leur dimension et nous regroupons les exposants La + b Pour que ce terme soit sans dimension il lui faut un exposant nul ⇒ a=-b a +b = 0 P En l'injectant dans (1), nous obtenons finalement : d a = cte Une mesure de cette constante sur un cercle quelconque nous permet d'identifier le nombre π valable pour tout cercle : ⇒ P = .d 2.2 Le problème de la vidange de la cure q h Ao g L3 t-I L L2 M L-3 L t-2 Les dimensions L, t, M sont indépendantes -6- LST GP Analyse Dimensionnelle N=5 D=3 => G=2 2.2.2.1 Détermination des nombres sans dimension du problème Le groupement des variables caractéristiques élevées à une puissance inconnue s'écrit : qa . hb . A0c . ρd . ge D'où (L3 t-1 )a . Lb .L2c .(ML-3) d .(Lt-2)e Pour que ce terme soit sans dimension, chaque dimension doit être d'exposant nul : L 3a + b + 2c - 3d + e = 0 M d=0 t -a - 2e = 0 Après avoir constaté que d = 0, on obtient 2 équations avec 4 inconnues : A = -2e 3a + b + 2c + e = 0 Nous choisissons d'exprimer b et e en fonction de a et c : e = - a/2 ` ⇒ b = -5 a/2 - 2c a c q A 0 1 5 h2 g h 2 2 D’où les deux nombres sans dimensions recherchées : N1 q g 1/ 2 h 5/ 2 et L'équation constitutive s'écrit donc N1 = f (N2) D'où la relation q(h) qui nous intéresse -7- N2 A0 h2 LST GP Analyse Dimensionnelle qg 1/ 2 A h5 / 2 f 0 h2 La fonction f est déterminée par l'expérience. 2.2.2 Détermination expérimentale de la fonction f : Montage permettant d'étudier la vidange d'une cuve maintenue à niveau constant avec une ouverture de vanne variable qg 1/ 2 h5 / 2 k f A0 k ' f A0 Nous effectuons alors les expériences de mesures du débit de sortie q en fonction de la section de passage. Nous vérifions par régression linéaire que ces données expérimentales sont bien représentées par une équation du type : q = k".A0 Finalement, nous avons déterminé la relation q = K.Ao.(g.h)1/2 Où K est le facteur de restriction de jet. En effet, sous l’action de la pression atmosphérique, le -8- LST GP Analyse Dimensionnelle diamètre réel du jet est égal à environ 85 % du diamètre de la conduite. En conclusion, l'analyse dimensionnelle nous a donc permis de retrouver la relation du chapitre 1. q = cte . h1/2. 2 – 3 L'analyse dimensionnelle : marche à suivre. Le tableau ci-dessous résume la démarche à suivre pour résoudre les problèmes d’analyse dimensionnelle. 1- Reconnaître toutes les variables caractéristiques importantes et faire la liste de leurs dimensions. N est le nombre de variables tandis que D est le nombre de dimensions. 2- Calculer le nombre de groupements sans dimension. G = N- D 3- Écrire chaque variable sous la forme xa yb zc 4- Élever les dimensions de chaque variable à la même puissance que la variable. 5- Développer D équations en écrivant que pour chaque dimension la somme de ses exposants doit être égale à 0. 6- Résoudre les D équations pour se ramener à N- D exposants choisis arbitrairement. 7- Chaque exposant correspond à un groupement sans dimension Nt, N2, N3,.. Ecrire l’équation constitutive N1 = f (N2, N3, ). S’il y a un seul nombre sans dimension, f = cte. 3 - QUELQUES NOMBRES CLASSIQUES DU GÉNIE CHIMIQUE Exercice 1- L'écoulement d'un fluide dans une canalisation horizontale Un fluide, caractérisé par sa masse volumique ρ et sa viscosité η, s'écoule à la vitesse moyenne v, dans un tube de diamètre D entre deux points 1 et 2 distants de L. La différence de pression en ces deux points, la < perte de charge », est ΔP. Appliquez l'analyse dimensionnelle à ce problème en établissant une relation du type : N3= f(N1, N2), où : -9- LST GP Analyse Dimensionnelle N1 N2 N3 L D D v Nombred de Re ynolds P v2 Exercice 2- Puissance nécessaire pour l’agitation d’une cuve. Un fluide de viscosité η et de masse volumique ρ est placé dans une cuve. Nous voulons y relier la puissance Ρ que va dissiper un agitateur de diamètre D tournant à la vitesse N. Nos variables caractéristiques sont donc : (Ρ, D, η, g, ρ, N). 1) Retrouver les trois nombres sans dimension (Re, Fr et Np) 2) Commenter le problème. 2 N D Fr g nombre de Froud Np N 3 D5 nombre de Puissance Re N D2 nombre de Re ynolds - 10 - LST GP Analyse Dimensionnelle cas limites : Re grand Les forces d'inertie sont très supérieures aux forces visqueuses et a fortiori à l'effet de la gravité. Pour des turbines, des expériences trouvent que Np est alors constant : Np = K Re très faible (< 300) => P = K..N3.D5 Les données expérimentales sont alignées selon une droite de pente -1 en échelle logarithmique. Nous en déduisons Np = K' Re P = K’..N2.D3 - 11 - LST GP Analyse Dimensionnelle Quelques nombres sans dimensions Nombre sans dimension Formule R Reynolds e Mach Ecoulement visqueux Rugosité Longueur caractéristique Ecoulement turbulent, surface rugueuse Lg Forces d ' inertie Firce pesanteur Ecoulement à surface libre Diffusivité thermique Diffusivité visqueuse Transfert thermique Force de traînée Force dynamique Aérodynamique, Hydrodynamique Temps d ' advection Temps de diffusion Transfert thermique Vitesse d ' écoulement Vitesse de son Force d ' inertie Force de tension sup erficielle Ecoulement compressible L Fr = Fr = Prandtl C P e D = = 2 0 1 2 2 L / c p Ma = c L 2 Weber Nusselt We = Nu = Gr = h : Coefficient de convection L : longueur caractéristique λ : Conductivité thermique hL g∆T L 2 Ecoulement à surface libre s 3 Grashof Domaine d’application Forces d ' inertie Firce visqueuse Froude Péclet L = Rugosité adimensionnelle Coefficient de frottement Explication 2 β : Coefficient de dilatabilité, L : Dimension caractéristique, g : Pesanteur, γ : Viscosité cinématique. - 12 - Nu : traduit la qualité de l’échange thermique ; une augmentation de ce nombre traduit une contribution importante de l’écoulement sur l’échange de chaleur avec la paroi. Une au.gmentation de Gr traduit une augmentation de la convection naturelle
