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cours optique BCG chap1-2

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Pr. Satif
Optique géométrique-BCG
FSTBM
Chapitre1 Généralités sur l’optique géométrique
Introduction
L’optique est l’étude des phénomènes lumineux, c’est-à-dire les phénomènes
auxquels l’œil est sensible. L’optique se divise en deux parties :
-L’optique géométrique : est l’étude des trajectoires des rayons lumineux, sans tenir
compte de leur nature à savoir que la lumière est une onde électromagnétique qui
transporte une énergie localisée par les coordonnées des champs électrique 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) et
⃗ (𝑟, 𝑡) en tout point de l’espace.
magnétique 𝐵
- l’optique physique : dans lequel on doit tenir compte de la nature ondulatoire de la
lumière
et tout comportement ondulatoire de cette dernière peut conduire à des
phénomènes d’interférence et de diffraction
I.
Définitions :
1. Rayon lumineux
Un rayon lumineux est le trajet suivi par la lumière qui peut être une droite ou
une portion de droite (si le milieu est homogène, isotrope et transparent)
✓ Convention de signe : le sens positif d’un rayon lumineux est celui de
propagation de la lumière
Exemple :
A
B
̅̅̅̅ = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
𝐴𝐵
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐵𝐴 = −𝐴𝐵 = −𝐵𝐴
̅̅̅̅
𝐶𝐵 = −𝐶𝐵 = −𝐵𝐶
D
C
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2. Indice de réfraction d’un milieu matériel :
Par définition l’indice de réfraction n d’un milieu est le rapport de la célérité c de la lumière
dans le vide sur sa vitesse v dans ce milieu.
𝑛=
𝑐
𝑣
Remarques :
✓ c > v ⇒ n> 𝟏 , exemple 𝑛𝑎𝑖𝑟 = 1,00293 ; 𝑛𝑣𝑒𝑟𝑟𝑒 =1,5 ; 𝑛𝑒𝑎𝑢 =
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3
✓ Si le milieu n’est pas homogène, on définit un indice de réfraction n(M)
en chaque point M du milieu
✓ Les indices dépendent de la longueur d’onde n() : C’est le phénomène
de dispersion
3. Dioptre :
C’est une surface réfractante qui sépare deux milieux d’indices différents
4. Miroir :
C’est une surface réfléchissante qui sépare deux milieux d’indices différents
5. Système optique :
C’est un ensemble de surfaces géométriques qui séparent des milieux d’indices
différents (dioptres, miroirs)
On distingue trois types de système optique :
✓ Système dioptrique : C’est un système qui ne contient que des dioptres
(lunette ; microscope ; lentille…)
✓ Système catadioptrique : C’est un système comportant des dioptres et qui
se termine par un miroir
✓ Système catoptrique : C’est un système contenant seulement que des
miroirs
II.
Principes de l’optique géométrique :
L’optique géométrique est basé sur trois principes :
✓ 1é𝑟𝑒 principe : (propagation rectiligne de la lumière)
Dans un milieu homogène, isotrope et transparent, le trajet de la lumière est une ligne droite
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✓ 2é𝑚𝑒 principe : (retour inverse)
Le trajet suivi par la lumière dans un milieu homogène, isotrope et transparent ne dépend pas
du sens de propagation de la lumière c’est-à-dire que le trajet de la lumière entre deux points
A et B situés sur le même rayon lumineux c’est toujours la portion de droite AB quel que
soit le sens de propagation de la lumière
✓ 3é𝑚𝑒 principe : (indépendance des rayons lumineux)
Les rayons lumineux sont indépendants les uns des autres (pas d’interaction entre eux)
III.
Chemin optique –Principe de Fermat :
a) Chemin optique :
On considère un rayon lumineux (C) dans un milieu transparent et isotrope. Soient A et B
deux points de (C)
(C)
Le chemin optique LA,B entre A et B le long de (C) est :
𝐵
(AB) = 𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴 𝑛. 𝑑𝑠
̂ : élément de longueur curviligne du trajet 𝐴𝐵
̂
ds =𝑀𝑀′
𝐵𝑐
𝐵
𝐿𝐴𝐵 =∫𝐴 . 𝑑𝑠 =∫𝐴 𝑐. 𝑑𝑡 = c (tB - tA)
𝑣
(tB - tA) : temps mis par la lumière pour parcourir la distance AB⇒LAB : distance qui
serait parcourue par la lumière pendant le même temps (tB - tA) si elle se propageait dans le
vide
Remarque : Le chemin optique est plus grand que le trajet suivi réellement par la
lumière
Si on a une succession de milieux homogènes
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𝐼
𝐽
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𝐵
(AB)= (AI) + (IJ) + (JB)= n1∫𝐴 𝑑𝑠+n2∫𝐼 𝑑𝑠+n3 ∫𝐽 𝑑𝑠= n1AI+n2 IJ+n3JB
⃗⃗⃗⃗ + 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ +𝑛3 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(AB)= 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 𝐴𝐼
𝑢2 𝐼𝐽
𝑢3 𝐽𝐵
Avec : ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 𝑒𝑡 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢3 sont les vecteurs unitaires des segments AI, IJ et JB orientés
positivement dans les sens de propagation de la lumière.
b) Variation du chemin optique:
Lorsque la lumière suit le trajet AIB (fig.1) où I est le point d’incidence sur le dioptre qui
sépare deux milieux homogènes d’indices n1 et n2, le chemin optique entre A et B est donné
par :
n1
n2
I’
⃗⃗⃗റ
𝑑𝑙
I
A
𝑢
⃗⃗⃗⃗റ1
𝑢
⃗⃗⃗⃗റ2
B
Fig.1
𝐿𝐴𝐵 = 𝑛1 . 𝐴𝐼 + 𝑛2 . 𝐼𝐵 𝑜𝑢 𝐿𝐴𝐵 = 𝑛1 𝑢
⃗⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐼 + 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐵
Lorsque le point d’incidence I du dioptre subit un petit déplacement ⃗⃗⃗⃗
𝐼𝐼 ′ = 𝑑𝑙 , le chemin
optique subit la variation :
𝑑𝐿𝐴𝐵 = (𝑛1 ⃗⃗⃗⃗
𝑢1 − 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗
𝑢2 )𝑑𝑙
𝑑𝐿𝐴𝐵 représente la différence des chemins optiques entre les trajets voisins AIB et AI’B.
c) Principe de Fermat :
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Soit A et B deux points de l’espace de A à B ; plusieurs trajets de la lumière sont apriori
possibles
a- Enoncé : Le trajet suivi réellement par la lumière pour aller d’un point A quelconque
vers un point B est celui qui correspond à un chemin optique stationnaire par rapport aux
chemins optiques fictifs : (AB) stationnaire (ou extrémal)
IV.
⇒ d(AB) = 0
Stigmatisme- stigmatisme approché :
1. Stigmatisme (rigoureux) : Un système optique est dit stigmatique (ou
rigoureusement stigmatique) pour le couple (A, A’) si tous les rayons qui parte du
point A (source de lumière traverse le système optique et converge tous un même
point image A’. On dit que A et A’ sont conjugués
A : point objet
A’ : point image de A
et
2. Stigmatisme approché : Un système optique est dit stigmatique approché si tous
les rayons qui partent d’un point objet A traversent le système et converge tous dans
une région de faible dimension autour de A’
N.B : Le stigmatisme approché est réalisé dans l’approximation de Gauss
3. Approximation de Gauss :
a-système centré : C’est un système qui possède un axe de révolution (axe de symétrie)
appelé axe principal (axe optique)
b-approximation de Gauss : Pour qu’un système optique soit stigmatique approché , il
faut que les rayons soient peu inclinés sur l’axe principal ; on dit qu’ils sont par axiaux
V.
Aplanétisme :
En général, le but d’un instrument optique ne se limite pas à former des images
ponctuelles d’objets ponctuels ; il s’agit d’obtenir une image étendue d’un objet
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étendu, en particulier, si l’objet est plan on voudra que l’image soit plane : C’est la
propriété d’aplanétisme
On montre que ; pour que AB et A’B’ soient perpendiculaires à l’axe optique et
soient conjugués :
Relation des sinus d’Abbe
n AB sin  = n’ A’B’ sin 
Dans l’app. de Gauss, on obtient : n AB  = n’A’B’ ’ Relation de Lagrange-Helmholtz
Chapitre 2
Les Miroirs
Définition : Un miroir est une surface réfléchissante qui impose à la lumière un
changement de sens de propagation qui revient dans son milieu initial.
A. Miroir plan :
Définition : Un miroir plan est une surface plane réfléchissante
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Notation :
i : angle d’incidence (angle entre la normale et le rayon incident)
i’ : angle de réflexion (angle entre le rayon réfléchi et la normale)
avec i=i’
1. Construction géométrique de l’image d’un objet ponctuel :
R
Rayon incident AH
Miroir
rayon réfléchi HA
Rayon incident AI
Miroir
rayon réfléchi IR
L’image A’ de A si elle est unique se trouve à l’intersection des deux rayons réfléchis
HA et IR
2. Calcul de la position de l’image A’ :
Les triangles HIA et HIA’ sont égaux ⇒
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅=-𝐻𝐴′
𝐻𝐴
(1) c’est la relation de
conjugaison du miroir plan
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Remarques :
• D’après la relation (1), la position de A’ ne dépend pas de l’angle d’incidence ;
tous les rayons qui partent de A, après réflexion passe par A’. A’ est donc l’image
unique de A ce qui implique que le miroir plan est stigmatique rigoureux pour
tous les points de l’espace
• Pour un miroir plan l’objet et son image sont toujours de nature différente, si l’un
est réel, l’autre est virtuel et inversement
̅̅̅̅ > 0 l'objet est virtuel,̅̅̅̅̅
𝐻𝐴
𝐻𝐴 <0 l’objet est réel
̅̅̅̅̅̅
𝐻𝐴’< 0 l'image est réelle,̅̅̅̅̅̅
𝐻𝐴’ >0 l’image est virtuelle
B. Miroir sphérique :
Définitions :
✓ Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante. On distingue deux
types de miroir sphérique : miroir concave et miroir convexe.
✓ Miroir concave : c’est un miroir dont la partie intérieur est réfléchissante
C
S
Axe optique
✓ Miroir convexe : c’est un miroir dont la partie extérieur est réfléchissante.
S
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C
axe optique
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• Le centre C et le sommet S de la portion sphérique sont appelée respectivement
centre du miroir et sommet du miroir.
• Le rayon CS de la sphère est dit rayon du miroir
• L’axe qui passe par C et S s’appelle axe principal (axe optique) du miroir
N.B : Les relations qui seront établies pour les miroirs concaves seront valables pour les
miroirs convexes et inversement
Image d’un objet ponctue :
I.
Soit un miroir sphérique concave de centre C, de sommet S et de rayon CS, soit A un objet
ponctuel appartenant à l’axe principal
1. Construction géométrique :
Axe principal
A
M
A’ ; A’ est l’image unique de A, si le système est rigoureusement
stigmatique
Dans le triangle AIC ; on a :
Dans le triangle CIA’; on a :
𝐴𝐶
sin 𝑖
𝐶𝐴′
=
=
𝑠𝑖𝑛𝑖
𝐼𝐶
=
𝐼𝐶
sin (𝜋−𝛽) 𝑠𝑖𝑛𝛽
𝐼𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑖
𝐶𝐴′𝑠𝑖𝑛𝜃
⇒ IC=
𝑠𝑖𝑛𝜃
D’après (1) et (2) ; ona : CA’ =
𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝛽
⇒IC=
𝐶𝐴𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝑖
(1)
(2)
; d’après cette relation on peut dire que la
position de A’ dépend des angles 𝛽 et 𝜃 donc du point d’incidence I ce qui implique
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que A’ n’est pas unique et par conséqent le miroir sphérique n’est pas
rigouresement stigmatique c’est pour cela qu’on se place dans l’approximation de
Gauss ⇒ 𝛼 , 𝛽 et 𝜃 sont petits.
2. Formules de conjugaison :
a. Avec origine au sommet :
Dans l’approximation de Gauss 𝛼, 𝛽 𝑒𝑡 𝜃 sont petits⇒
̅̅̅̅̅
−𝑆𝐼
tg β≃ 𝛽= ̅̅̅̅ ,
𝑆𝐶
Or β=𝛼+i et
tg𝛼≃𝛼 =
θ=β+i
̅̅̅̅̅
−𝑆𝐼
̅̅̅̅
𝑆𝐴
et
tg𝜃≃𝜃 =
̅̅̅̅̅
−𝑆𝐼
̅
𝑆𝐼
̅̅̅̅̅
−𝑆𝐼
̅̅̅̅̅
𝑆𝐴′
̅̅̅̅̅̅̅
−2𝑆𝐼
⇒ ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒
𝑆𝐴 𝑆𝐴′
𝑆𝐶
⇒ θ+𝛼 =2β
1
1
+
̅̅̅̅ 𝑆𝐴′
̅̅̅̅̅
𝑆𝐴
̃ ≃ SI
𝑆𝐼
2
Relation de conjugaison du miroir
=̅̅̅̅
𝑆𝐶
sphérique avec origine au sommet
b. Avec origine au centre :
De même on montre que :
1
1
+
̅̅̅̅ 𝐶𝐴′
̅̅̅̅̅
𝐶𝐴
2
Relation de conjugaison du miroir
=̅̅̅̅
𝐶𝑆
sphérique avec origine au sommet
3. Foyer principal- plan focal :
a. Foyer princinpal :
Soit A un point objet situé à l’infinie sur l’axe optique ; il envoi sur le miroir un rayon
incident parallèle à l’axe optique qui le coupe après réflexion en F’ appelé foyer principal
image du miroir
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̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 𝑆𝐶
̅̅̅̅ →∞ ⇒ 1 →0 ⇒ 1 = 2 ⇒ 𝑆𝐴’
A est à l’infini ⇒ 𝑆𝐴
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
𝑆𝐴
𝑆𝐴′
𝑆𝐶
2
On pose A’≡ F’ qu’on appele foyer principal image ⇒
̅̅̅̅̅
𝑆𝐹 ′ = f’ : distance focal image ⇒
1
1
+ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑆𝐴 𝑆𝐴′
=
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = SC
𝑆𝐹′
2
1
𝑓′
̅̅̅̅
1
1
2
𝑆𝐶
Si l’image A’ est rejetée à l’infini on a ̅̅̅̅̅ →0 ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒̅̅̅̅
𝑆𝐴 =
𝑆𝐴′
𝑆𝐴
𝑆𝐶
2
̅̅̅
𝐬𝐜
On pose A≡ F : foyer principal objet ⇒ ̅̅̅̅
𝑆𝐹 = f = : distance focale objet
𝟐
On constate que ̅̅̅̅
𝑆𝐹 = ̅̅̅̅
𝑆𝐹’ ce qui implique que le miroir sphérique posséde qu’un seul foyer
principal.
b. Vergence (convergence d’un miroir) :
1
Par définition la vergence est donnée par : V= =
1
𝑓′ 𝑓
car pour un miroir sphérique f = f’
(V est exprimée en m−1, ou plus généralement en dioptries () : 1 = 1m−1.
c. Plan focal :
• Plan focal objet : C’est un plan perpendiculaire à l’axe principal en F
• Plan focal image : C’est un plan perpendiculaire à l’axe principal en F’
Puisque F ≡ F’, les plans focaux objet et image sont confondus
II.
Image d’un objet étendu – grandissement :
1. Construction géométrique de l’image d’un objet étendu :
Soit AB un objet placé perpenduculairement à l’axe principal d’un miroir sphérique convave
de centre C et de sommet S
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J
I
2. Grandissement linéaire :
Le grandissement linéaire qu’on note  est par définition : =
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′
̅̅̅̅
𝐴𝐵
On dit que : l’image est droite si   l’image est renversée si  <0
D’après la construction géométrique :
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′
̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′
𝐴𝐵
𝐶𝐴
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐶𝐴′
𝐴′𝐵′
Or==
̅̅̅̅
𝐶𝐴 ̅̅̅̅
Les triangles ABC et A’B’C sont semblables ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒
Les triangles SAB et SA’B’ sont semblables ⇒
̅̅̅̅̅̅ −𝑆𝐴′
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′
= ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝑆𝐴
Les triangles FAB et FA’B ’sont semblables ⇒
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅̅̅
−𝐹𝐴′
= ̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝐹𝐴
̅
𝑆𝐼
̅̅̅̅
𝐹𝑆
𝐴𝐵
𝐹𝐴
𝐴𝐵
=
⇒
̅̅̅̅̅̅̅
−𝑆𝐴′
̅̅̅̅
𝑆𝐴
=
⇒
̅̅̅̅̅̅̅
−𝐹𝐴′
̅̅̅̅
𝐹𝐴
Les triangles FAB et FSI sont semblables ⇒̅̅̅̅=̅̅̅̅ Or SI = A’B’ et FS = -f ⇒
̅̅̅̅̅̅ −𝑓
𝐴′𝐵′
=̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐴𝐵 𝐹𝐴
−𝑓
= ̅̅̅̅
⇒
𝐹𝐴
Les triangles FA’B ‘ et FSJ sont semblables ⇒
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅
𝐹𝐴′
= ̅̅̅̅
̅̅̅
𝑆𝐽
𝐹𝑆
Or SJ= AB ⇒
⇒
=
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅
𝐹𝐴′
=
̅̅̅̅
𝐴𝐵
−𝑓
̅̅̅̅̅̅̅
−𝐹𝐴′
𝑓
3. Relation de Newton :
−𝑓
̅̅̅̅̅
𝐹𝐴′
𝐹𝐴
𝑓
On a : = ̅̅̅̅ et =−
−𝑓
̅̅̅̅̅
−𝐹𝐴′
𝐹𝐴
𝑓
⇒̅̅̅̅ =
d’où
12
̅̅̅̅.𝐹𝐴
̅̅̅̅’= f2
𝐹𝐴
Relation de Newton
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