Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM Chapitre1 Généralités sur l’optique géométrique Introduction L’optique est l’étude des phénomènes lumineux, c’est-à-dire les phénomènes auxquels l’œil est sensible. L’optique se divise en deux parties : -L’optique géométrique : est l’étude des trajectoires des rayons lumineux, sans tenir compte de leur nature à savoir que la lumière est une onde électromagnétique qui transporte une énergie localisée par les coordonnées des champs électrique 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) et ⃗ (𝑟, 𝑡) en tout point de l’espace. magnétique 𝐵 - l’optique physique : dans lequel on doit tenir compte de la nature ondulatoire de la lumière et tout comportement ondulatoire de cette dernière peut conduire à des phénomènes d’interférence et de diffraction I. Définitions : 1. Rayon lumineux Un rayon lumineux est le trajet suivi par la lumière qui peut être une droite ou une portion de droite (si le milieu est homogène, isotrope et transparent) ✓ Convention de signe : le sens positif d’un rayon lumineux est celui de propagation de la lumière Exemple : A B ̅̅̅̅ = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 = −𝐴𝐵 = −𝐵𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐵 = −𝐶𝐵 = −𝐵𝐶 D C 1 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM 2. Indice de réfraction d’un milieu matériel : Par définition l’indice de réfraction n d’un milieu est le rapport de la célérité c de la lumière dans le vide sur sa vitesse v dans ce milieu. 𝑛= 𝑐 𝑣 Remarques : ✓ c > v ⇒ n> 𝟏 , exemple 𝑛𝑎𝑖𝑟 = 1,00293 ; 𝑛𝑣𝑒𝑟𝑟𝑒 =1,5 ; 𝑛𝑒𝑎𝑢 = 4 3 ✓ Si le milieu n’est pas homogène, on définit un indice de réfraction n(M) en chaque point M du milieu ✓ Les indices dépendent de la longueur d’onde n() : C’est le phénomène de dispersion 3. Dioptre : C’est une surface réfractante qui sépare deux milieux d’indices différents 4. Miroir : C’est une surface réfléchissante qui sépare deux milieux d’indices différents 5. Système optique : C’est un ensemble de surfaces géométriques qui séparent des milieux d’indices différents (dioptres, miroirs) On distingue trois types de système optique : ✓ Système dioptrique : C’est un système qui ne contient que des dioptres (lunette ; microscope ; lentille…) ✓ Système catadioptrique : C’est un système comportant des dioptres et qui se termine par un miroir ✓ Système catoptrique : C’est un système contenant seulement que des miroirs II. Principes de l’optique géométrique : L’optique géométrique est basé sur trois principes : ✓ 1é𝑟𝑒 principe : (propagation rectiligne de la lumière) Dans un milieu homogène, isotrope et transparent, le trajet de la lumière est une ligne droite 2 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM ✓ 2é𝑚𝑒 principe : (retour inverse) Le trajet suivi par la lumière dans un milieu homogène, isotrope et transparent ne dépend pas du sens de propagation de la lumière c’est-à-dire que le trajet de la lumière entre deux points A et B situés sur le même rayon lumineux c’est toujours la portion de droite AB quel que soit le sens de propagation de la lumière ✓ 3é𝑚𝑒 principe : (indépendance des rayons lumineux) Les rayons lumineux sont indépendants les uns des autres (pas d’interaction entre eux) III. Chemin optique –Principe de Fermat : a) Chemin optique : On considère un rayon lumineux (C) dans un milieu transparent et isotrope. Soient A et B deux points de (C) (C) Le chemin optique LA,B entre A et B le long de (C) est : 𝐵 (AB) = 𝐿𝐴𝐵 = ∫𝐴 𝑛. 𝑑𝑠 ̂ : élément de longueur curviligne du trajet 𝐴𝐵 ̂ ds =𝑀𝑀′ 𝐵𝑐 𝐵 𝐿𝐴𝐵 =∫𝐴 . 𝑑𝑠 =∫𝐴 𝑐. 𝑑𝑡 = c (tB - tA) 𝑣 (tB - tA) : temps mis par la lumière pour parcourir la distance AB⇒LAB : distance qui serait parcourue par la lumière pendant le même temps (tB - tA) si elle se propageait dans le vide Remarque : Le chemin optique est plus grand que le trajet suivi réellement par la lumière Si on a une succession de milieux homogènes 3 Pr. Satif Optique géométrique-BCG 𝐼 𝐽 FSTBM 𝐵 (AB)= (AI) + (IJ) + (JB)= n1∫𝐴 𝑑𝑠+n2∫𝐼 𝑑𝑠+n3 ∫𝐽 𝑑𝑠= n1AI+n2 IJ+n3JB ⃗⃗⃗⃗ + 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ +𝑛3 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (AB)= 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 𝐴𝐼 𝑢2 𝐼𝐽 𝑢3 𝐽𝐵 Avec : ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 𝑒𝑡 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢3 sont les vecteurs unitaires des segments AI, IJ et JB orientés positivement dans les sens de propagation de la lumière. b) Variation du chemin optique: Lorsque la lumière suit le trajet AIB (fig.1) où I est le point d’incidence sur le dioptre qui sépare deux milieux homogènes d’indices n1 et n2, le chemin optique entre A et B est donné par : n1 n2 I’ ⃗⃗⃗റ 𝑑𝑙 I A 𝑢 ⃗⃗⃗⃗റ1 𝑢 ⃗⃗⃗⃗റ2 B Fig.1 𝐿𝐴𝐵 = 𝑛1 . 𝐴𝐼 + 𝑛2 . 𝐼𝐵 𝑜𝑢 𝐿𝐴𝐵 = 𝑛1 𝑢 ⃗⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐼 + 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 ⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐵 Lorsque le point d’incidence I du dioptre subit un petit déplacement ⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐼 ′ = 𝑑𝑙 , le chemin optique subit la variation : 𝑑𝐿𝐴𝐵 = (𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 − 𝑛2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 )𝑑𝑙 𝑑𝐿𝐴𝐵 représente la différence des chemins optiques entre les trajets voisins AIB et AI’B. c) Principe de Fermat : 4 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM Soit A et B deux points de l’espace de A à B ; plusieurs trajets de la lumière sont apriori possibles a- Enoncé : Le trajet suivi réellement par la lumière pour aller d’un point A quelconque vers un point B est celui qui correspond à un chemin optique stationnaire par rapport aux chemins optiques fictifs : (AB) stationnaire (ou extrémal) IV. ⇒ d(AB) = 0 Stigmatisme- stigmatisme approché : 1. Stigmatisme (rigoureux) : Un système optique est dit stigmatique (ou rigoureusement stigmatique) pour le couple (A, A’) si tous les rayons qui parte du point A (source de lumière traverse le système optique et converge tous un même point image A’. On dit que A et A’ sont conjugués A : point objet A’ : point image de A et 2. Stigmatisme approché : Un système optique est dit stigmatique approché si tous les rayons qui partent d’un point objet A traversent le système et converge tous dans une région de faible dimension autour de A’ N.B : Le stigmatisme approché est réalisé dans l’approximation de Gauss 3. Approximation de Gauss : a-système centré : C’est un système qui possède un axe de révolution (axe de symétrie) appelé axe principal (axe optique) b-approximation de Gauss : Pour qu’un système optique soit stigmatique approché , il faut que les rayons soient peu inclinés sur l’axe principal ; on dit qu’ils sont par axiaux V. Aplanétisme : En général, le but d’un instrument optique ne se limite pas à former des images ponctuelles d’objets ponctuels ; il s’agit d’obtenir une image étendue d’un objet 5 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM étendu, en particulier, si l’objet est plan on voudra que l’image soit plane : C’est la propriété d’aplanétisme On montre que ; pour que AB et A’B’ soient perpendiculaires à l’axe optique et soient conjugués : Relation des sinus d’Abbe n AB sin = n’ A’B’ sin Dans l’app. de Gauss, on obtient : n AB = n’A’B’ ’ Relation de Lagrange-Helmholtz Chapitre 2 Les Miroirs Définition : Un miroir est une surface réfléchissante qui impose à la lumière un changement de sens de propagation qui revient dans son milieu initial. A. Miroir plan : Définition : Un miroir plan est une surface plane réfléchissante 6 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM Notation : i : angle d’incidence (angle entre la normale et le rayon incident) i’ : angle de réflexion (angle entre le rayon réfléchi et la normale) avec i=i’ 1. Construction géométrique de l’image d’un objet ponctuel : R Rayon incident AH Miroir rayon réfléchi HA Rayon incident AI Miroir rayon réfléchi IR L’image A’ de A si elle est unique se trouve à l’intersection des deux rayons réfléchis HA et IR 2. Calcul de la position de l’image A’ : Les triangles HIA et HIA’ sont égaux ⇒ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅=-𝐻𝐴′ 𝐻𝐴 (1) c’est la relation de conjugaison du miroir plan 7 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM Remarques : • D’après la relation (1), la position de A’ ne dépend pas de l’angle d’incidence ; tous les rayons qui partent de A, après réflexion passe par A’. A’ est donc l’image unique de A ce qui implique que le miroir plan est stigmatique rigoureux pour tous les points de l’espace • Pour un miroir plan l’objet et son image sont toujours de nature différente, si l’un est réel, l’autre est virtuel et inversement ̅̅̅̅ > 0 l'objet est virtuel,̅̅̅̅̅ 𝐻𝐴 𝐻𝐴 <0 l’objet est réel ̅̅̅̅̅̅ 𝐻𝐴’< 0 l'image est réelle,̅̅̅̅̅̅ 𝐻𝐴’ >0 l’image est virtuelle B. Miroir sphérique : Définitions : ✓ Un miroir sphérique est une portion de sphère réfléchissante. On distingue deux types de miroir sphérique : miroir concave et miroir convexe. ✓ Miroir concave : c’est un miroir dont la partie intérieur est réfléchissante C S Axe optique ✓ Miroir convexe : c’est un miroir dont la partie extérieur est réfléchissante. S 8 C axe optique Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM • Le centre C et le sommet S de la portion sphérique sont appelée respectivement centre du miroir et sommet du miroir. • Le rayon CS de la sphère est dit rayon du miroir • L’axe qui passe par C et S s’appelle axe principal (axe optique) du miroir N.B : Les relations qui seront établies pour les miroirs concaves seront valables pour les miroirs convexes et inversement Image d’un objet ponctue : I. Soit un miroir sphérique concave de centre C, de sommet S et de rayon CS, soit A un objet ponctuel appartenant à l’axe principal 1. Construction géométrique : Axe principal A M A’ ; A’ est l’image unique de A, si le système est rigoureusement stigmatique Dans le triangle AIC ; on a : Dans le triangle CIA’; on a : 𝐴𝐶 sin 𝑖 𝐶𝐴′ = = 𝑠𝑖𝑛𝑖 𝐼𝐶 = 𝐼𝐶 sin (𝜋−𝛽) 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝐼𝐶 𝑠𝑖𝑛𝑖 𝐶𝐴′𝑠𝑖𝑛𝜃 ⇒ IC= 𝑠𝑖𝑛𝜃 D’après (1) et (2) ; ona : CA’ = 𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛𝛽 ⇒IC= 𝐶𝐴𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝑖 (1) (2) ; d’après cette relation on peut dire que la position de A’ dépend des angles 𝛽 et 𝜃 donc du point d’incidence I ce qui implique 9 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM que A’ n’est pas unique et par conséqent le miroir sphérique n’est pas rigouresement stigmatique c’est pour cela qu’on se place dans l’approximation de Gauss ⇒ 𝛼 , 𝛽 et 𝜃 sont petits. 2. Formules de conjugaison : a. Avec origine au sommet : Dans l’approximation de Gauss 𝛼, 𝛽 𝑒𝑡 𝜃 sont petits⇒ ̅̅̅̅̅ −𝑆𝐼 tg β≃ 𝛽= ̅̅̅̅ , 𝑆𝐶 Or β=𝛼+i et tg𝛼≃𝛼 = θ=β+i ̅̅̅̅̅ −𝑆𝐼 ̅̅̅̅ 𝑆𝐴 et tg𝜃≃𝜃 = ̅̅̅̅̅ −𝑆𝐼 ̅ 𝑆𝐼 ̅̅̅̅̅ −𝑆𝐼 ̅̅̅̅̅ 𝑆𝐴′ ̅̅̅̅̅̅̅ −2𝑆𝐼 ⇒ ̅̅̅̅ - ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒ 𝑆𝐴 𝑆𝐴′ 𝑆𝐶 ⇒ θ+𝛼 =2β 1 1 + ̅̅̅̅ 𝑆𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝑆𝐴 ̃ ≃ SI 𝑆𝐼 2 Relation de conjugaison du miroir =̅̅̅̅ 𝑆𝐶 sphérique avec origine au sommet b. Avec origine au centre : De même on montre que : 1 1 + ̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴 2 Relation de conjugaison du miroir =̅̅̅̅ 𝐶𝑆 sphérique avec origine au sommet 3. Foyer principal- plan focal : a. Foyer princinpal : Soit A un point objet situé à l’infinie sur l’axe optique ; il envoi sur le miroir un rayon incident parallèle à l’axe optique qui le coupe après réflexion en F’ appelé foyer principal image du miroir 10 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝑆𝐶 ̅̅̅̅ →∞ ⇒ 1 →0 ⇒ 1 = 2 ⇒ 𝑆𝐴’ A est à l’infini ⇒ 𝑆𝐴 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑆𝐴 𝑆𝐴′ 𝑆𝐶 2 On pose A’≡ F’ qu’on appele foyer principal image ⇒ ̅̅̅̅̅ 𝑆𝐹 ′ = f’ : distance focal image ⇒ 1 1 + ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑆𝐴 𝑆𝐴′ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = SC 𝑆𝐹′ 2 1 𝑓′ ̅̅̅̅ 1 1 2 𝑆𝐶 Si l’image A’ est rejetée à l’infini on a ̅̅̅̅̅ →0 ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒̅̅̅̅ 𝑆𝐴 = 𝑆𝐴′ 𝑆𝐴 𝑆𝐶 2 ̅̅̅ 𝐬𝐜 On pose A≡ F : foyer principal objet ⇒ ̅̅̅̅ 𝑆𝐹 = f = : distance focale objet 𝟐 On constate que ̅̅̅̅ 𝑆𝐹 = ̅̅̅̅ 𝑆𝐹’ ce qui implique que le miroir sphérique posséde qu’un seul foyer principal. b. Vergence (convergence d’un miroir) : 1 Par définition la vergence est donnée par : V= = 1 𝑓′ 𝑓 car pour un miroir sphérique f = f’ (V est exprimée en m−1, ou plus généralement en dioptries () : 1 = 1m−1. c. Plan focal : • Plan focal objet : C’est un plan perpendiculaire à l’axe principal en F • Plan focal image : C’est un plan perpendiculaire à l’axe principal en F’ Puisque F ≡ F’, les plans focaux objet et image sont confondus II. Image d’un objet étendu – grandissement : 1. Construction géométrique de l’image d’un objet étendu : Soit AB un objet placé perpenduculairement à l’axe principal d’un miroir sphérique convave de centre C et de sommet S 11 Pr. Satif Optique géométrique-BCG FSTBM J I 2. Grandissement linéaire : Le grandissement linéaire qu’on note est par définition : = ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 On dit que : l’image est droite si l’image est renversée si <0 D’après la construction géométrique : ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ 𝐴𝐵 𝐶𝐴 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴′ 𝐴′𝐵′ Or== ̅̅̅̅ 𝐶𝐴 ̅̅̅̅ Les triangles ABC et A’B’C sont semblables ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ ⇒ Les triangles SAB et SA’B’ sont semblables ⇒ ̅̅̅̅̅̅ −𝑆𝐴′ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑆𝐴 Les triangles FAB et FA’B ’sont semblables ⇒ ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅̅̅ −𝐹𝐴′ = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝐹𝐴 ̅ 𝑆𝐼 ̅̅̅̅ 𝐹𝑆 𝐴𝐵 𝐹𝐴 𝐴𝐵 = ⇒ ̅̅̅̅̅̅̅ −𝑆𝐴′ ̅̅̅̅ 𝑆𝐴 = ⇒ ̅̅̅̅̅̅̅ −𝐹𝐴′ ̅̅̅̅ 𝐹𝐴 Les triangles FAB et FSI sont semblables ⇒̅̅̅̅=̅̅̅̅ Or SI = A’B’ et FS = -f ⇒ ̅̅̅̅̅̅ −𝑓 𝐴′𝐵′ =̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝐹𝐴 −𝑓 = ̅̅̅̅ ⇒ 𝐹𝐴 Les triangles FA’B ‘ et FSJ sont semblables ⇒ ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅ 𝐹𝐴′ = ̅̅̅̅ ̅̅̅ 𝑆𝐽 𝐹𝑆 Or SJ= AB ⇒ ⇒ = ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅ 𝐹𝐴′ = ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 −𝑓 ̅̅̅̅̅̅̅ −𝐹𝐴′ 𝑓 3. Relation de Newton : −𝑓 ̅̅̅̅̅ 𝐹𝐴′ 𝐹𝐴 𝑓 On a : = ̅̅̅̅ et =− −𝑓 ̅̅̅̅̅ −𝐹𝐴′ 𝐹𝐴 𝑓 ⇒̅̅̅̅ = d’où 12 ̅̅̅̅.𝐹𝐴 ̅̅̅̅’= f2 𝐹𝐴 Relation de Newton
