ROBOTIQUE INDUSTRIELLLE Chapitre 1 : Transformations homogènes Abdelhak NAFI - Octobre 2016 Chapitre 1 • Introduction à la matière (Suite): – Définitions et terminologie • Début de la matière sur les transformations homogènes: – Coordonnées homogènes : Qu’est-ce que c’est et pourquoi les utiliser? – Transformations 2D – Transformations 3D Culture générale en robotique (1) • Qu’est-ce qu’un robot? : – Plusieurs définitions existent [1]: • [Dictionnaire]: (1) Une machine capable d’exécuter une série de tâches complexes automatiquement, spécifiquement celles programmées par ordinateur. (2) Une machine qui ressemble et qui agit comme un humain. (3) Un système qui effectue des tâches répétitives automatiquement. (4) Quelque chose guidé par un contrôle automatique. Culture générale en robotique (2) • Qu’est-ce qu’un robot? (suite) : • [Définition de l’industrie [1]]: (1) Un manipulateur multifonctionnel et reprogrammable conçu pour déplacer du matériel, des pièces, des outils ou tout autre équipement spécialisé, via des intructions programmées. [Définition philosophique]: Tout système autonome ou semi-autonome. 4 Culture générale en robotique (3) • Quelques types de robots: - Robots statiques: Robots ayant une base fixe (e.g. : les robots du laboratoires, les robots typiques d’une chaîne de production). - Robots mobiles: Robots qui se déplacent dans l’espace de travail (par exemple, les robots explorateurs de planètes) 5 Culture générale en robotique (4) • Quelques types de robots (suite): – Robots statiques: 6 Culture générale en robotique (5) • Quelques types de robots (suite): – Robots mobiles: 7 Culture générale en robotique (5) • Quelques types de robots (suite): – Robots sériels: Robots composés d’un seul segment articulé formant une chaîne cinématique ouverte. 8 Culture générale en robotique (6) • Quelques types de robots (suite): – Robots parallèles: Robots composés de plusieurs segments articulés qui composent ensemble une chaîne cinématique fermée. – Un des grands avantages: Les moteurs ne sont pas dans les articulations comme la majorité des robots sériels. Excellent pour les tâches de types “Pick and Place”. – En contre partie, espace de travail réduit et cinématique directe plus difficile. 9 Culture générale en robotique (7) 10 Culture générale en robotique (8) • On utilise souvent les robots pour automatiser des tâches dans un contexte de production. 2008 11 Culture générale en robotique (10) • Types d’automatisation: – Automatisation programmable (Soft Automation): • Systèmes plus flexibles et capables de s’adapter à des changements de produits. • Production en courtes ou moyennes séries. 12 Culture générale en robotique (10) • Types d’automatisation: 13 Culture générale en robotique (11) • Définition(1): Un manipulateur robotique est une machine composé de liens (segments, membres ou encore membrûres) connectés entres eux par des joints (liaisons) pour formé une chaîne cinématique. • Définition(2): Le nombre de degrés de liberté (D.D.L., en anglais Degrees of freedom) d’une liaison entre deux corps C1 et C2 est égal au nombre minimal de paramètres qui déterminent la position du corps C2 dans son mouvement par rapport au corps C1. 14 Culture générale en robotique (12) • Principaux composants d’un manipulateur robotisé: Hydraulique Électrique (labs) 15 Types d’actionneurs • Afin de mouvoir chacun de ses segments, un robot sériel utilise des actionneurs. Différentes technologies d’actionneurs existent, en général: – Les actionneurs électriques – Les actionneurs hydrauliques (Souvent utilisés pour les charges lourdes) – Les actionneurs pneumatiques (Souvent utilisés par les préhenseurs ou autre outils) 16 Types de liaisons (joints) • Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints: – Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement en translation. – Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en rotation. 17 Géométrie d’un robot • La géométrie d’un robot a une grande influence sur les possibilités d’évitement d’obstacles et sur l’enveloppe de travail du robot. Le nombre de degrés de liberté ainsi que le type des articulations caractérisent la géométrie du robot. • Des géométries fréquemment utilisées sont maintenant présentées, en particulier les géométries PPP, PRP & RPP, RRP et RRR. 18 Géométries populaires (1) PPP • Le robot PPP (communément appelé le manipulateur cartsien): 19 Géométries populaires (2) PRP ou RPP • Le robot PRP ou RPP, communément appelé le manipulateur cylindrique: 20 Géométries populaires (3) RRP • Le robot RRP, communément manipulateur sphérique: appelé le 21 Géométries populaires (4) SCARA • Le robot SCARA (Selective Compliant Articulated Robot Arm), qui est aussi un RRP, mais toutefois différent du manipulateur sphérique ordinaire. Il est conçu spécifiquement pour des tâches d’assemblage. http://www.youtube.com/watch?v=xM5iAhVDVR4&feature=related http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=v5eR0eHk nZk&NR=1 22 Géométries populaires (5) RRR • Le robot RRR (ici c’est un RRRR), communément appelés manipulateurs articulés: 23 Géométries populaires (6) RRRRRR • Les robots RRRRRR sont souvent surnommés manipulateurs anthropomorphiques puisqu’ils s’inspirent partiellement du bras humain: ont dit souvent qu’ils ont un épaule, un coude et un poignet. • Leur enveloppe de travail est beaucoup plus complexe que les autres types de robots vu précédemments. Leur cinématique directe ainsi que leur dynamique est aussi plus compliqué. 24 Modes d’opérations d’un robot (types de déplacement) • Point par point: Dans ce mode de fonctionnement, le robot se déplace d’un point à un autre sans que l’utilisateur puisse contrôler le chemin suivi entre les points. • Suivi de trajectoires: C’est une trajectoire continue, et non un ensemble discret de points, que le robot cherche à suivre. 25 Applications de la robotique • Il y a une énorme quantité d’applications pour la robotique… • Entres autres: – L’industrie automobile (à ce jour, l’un des plus grands utilisateurs de manipulateurs robotiques). – Tâches répétitives tels que: la manutention, le soudage, la peinture, l’assemblage mécanique, manipulation d’échantillons. – Opérations en milieu hostiles: trouver des survivants après une catastrophe, opérations dans une centrale nucléaire, robotique spatiale (mars, satellites, etc…) – Aussi: Désamorçage d’objets explosifs, fabrications de prothèse, applications militaires (drônes, missiles), etc… 26 Caractéristiques (1) (Terminologie et définitions) • Nombre d’axes d’un robot: Le nombre d’axes que possède un robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x,y et z, ainsi qu’en Θx , Θy, Θz . Ceci est souvent relié au nombre de degrés de liberté du robot, mais c’est une notion bien différente, sachez la différencier. – Dans une majorité de cas, les robots œuvrant dans l’espace tridimensionnel ont six axes : trois pour le positionnement du poignet, et trois autres pour l’orientation de l’effecteur. Ces six axes font que, hors des configurations de singularité, le robot possède les six degrés de liberté nécessaires afin de positionner et d’orienter l’effecteur. – Certains robots ont plus de six degrés de liberté, ils sont redondants car ils possèdent plus d’axes que nécessaire pour positionner et orienter l’effecteur. 27 Caractéristiques (2) (Terminologie et définitions) • Capacité : La capacité est la charge utile (en kg) que peut déplacer un robot (normalement spécifiée lorsque le robot est complètement allongé donc dans le pire des cas). • Vitesse de déplacement: Il s’agit de la vitesse maximale que peut atteindre le robot (par exemple, entre deux points). • Portée et débattement: Ces deux paramètres donnent une indication de l’enveloppe de travail (workspace) d’un robot. La portée (reach) horizontale donne la distance radiale maximum entre l’effecteur et l’axe vertical passant par la base du robot. Le débattement (stroke) horizontal donne la distance radiale que l’effecteur peut parcourir. De façon similaire, on peut définir la portée verticale et le débattement vertical. 28 Caractéristiques (3) (Terminologie et définitions) 29 Caractéristiques (4) (Terminologie et définitions) • Répétabilité: La répétabilité est une mesure de la capacité du robot de pouvoir retourner se positionner au même point de façon répétitive. • Justesse: (Souvent appelée justesse statique, en anglais acuracy) est une mesure de la capacité du robot à se positionner à l’endroit demandé. • Résolution spatiale: La résolution spatiale donne le plus petit incrément qu’il est possible de programmer entre deux positions voisines. La résolution est reliée à la résolution des encodeurs utilisés (ainsi qu’au ratio des engrenages) pour la mesure de position dans les articulations. 30 Caractéristiques (5) (Terminologie et définitions) Précis Non précis Répétable Non répétable 31 Caractéristiques (6) (Terminologie et définitions) • Conditions d’opérations: Il faut soit protéger le robot de l’environnement et l’environnement du robot. 32 Manipulateur Bras i+1 Liaison prismatique Ou Révolution Fin d’effecteur Bras i Base {0} Bras : n bras mobile 1 fixe (base) Liaison: Révolution ( 1 ddl) Prismatique (1 ddl) 33 Paramètres de configuration n corps rigides dans l’espace Chaque corps libre dans l’espace a 3 positions et 3 rotations : 6 parametres (6 ddl) Chaque liaison empêche 5 ddl ( 5 contraintes) {0} n bras mobile : 6n parametres 5n contraintes ddl du systeme : 6n – 5n = n Si la base est mobile, elle aura 6 ddl. Dans ce cas le système a (n + 6) ddl 34 Paramètres de configuration de la fin d’effecteur Selon la configuration du manipulateur, dans l’espace, la fin d’effecteur peut y avoir au maximum 6 ddl On+1 est le point opérationnel La position et l’orientation de la fin d’effecteur sont définie par m paramètres indépendants donc m degré de liberté Pour un système plane, la fin d’effecteur peut y avoir 3 ddl (2 positions, et 1 orientation) 35 Exemple : Robot plane Espace articulaire Coordonnées articulaires (x, y) Coordonnées opérationnelles α Espace opérationnel 36 Redondance Si on ajoute un bras au robot plane on aura alors un robot redondant Le robot est dit redondant si le ddl du robot n et superieur au ddl de la fin d’effecteur m0 n = 4 et m0 = 3 Le degré de redondance est n-m0 = 1 37 Position d’un point P La position d’un point P par rapport a l’origine O est définie par le vecteur OP ou simplement par P OP O 38 Configuration d’un corps solide Q P q P Espace Euclidien E O Repère cartésien 39 Référentiel Position du point P lie au repère R(O,x,y,z) par rapport au repère R’(O,x’,y’,z’) Le repère R a fait une rotation par rapport au repère R’ 40 Configuration d’un corps rigide Matrice de rotation 41 Matrice de rotation 42 Matrice de rotation Produit scalaire 43 Matrice de rotation L’inverse de la matrice de rotation Matrice orthonormale 44 Exemple 45 Description d’un repère Repère {B} 46 Changement de repère Rotation Si le vecteur P est donne dans le repere B 47 Changement de repère Deux vecteurs différents 48 Changement de repère Transformation générale 49 Changement de repère Exemple : La matrice de transformation homogène est : 50 Operateur Changer la position d’un point dans le même repère Rappel : changement de base en utilisant la matrice de rotation Operateur de rotation : 51 Exemple d’operateur de rotation 52 Operateur de translation : Rappel : changement de repère en utilisant la translation Le même point , 2 différents vecteurs Operateur de translation : 2 points différents, 2 différents vecteurs 53 Operateur de translation : Transformation homogène liée à la translation : 54 Operateur général 55 Inverse d’une transformation homogène Dans le cas d’une simple rotation : Dans le cas d’une Transformation H: Preuve : 56 Transformation composée 57 Transformation composée 58 Equation de transformation Exemple : 59 Equation de transformation : Exemple Ecrivez l’équation de transformation? Déduire la transformation homogène ? 60 Représentation de la fin d’effecteur : Position + Orientation Paramètres de configuration de la fin d’effecteur 61 Représentation de la position Coordonnées cartésiennes : Coordonnées cylindriques : Coordonnées sphériques : 62 Représentation de la rotation Matrice de rotation Cosinus directeurs (3 ddl , 9 paramètres) Contraintes 63 Trois angles de représentation Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet 12 configurations Angles d’Euler 12 configurations Il y a équivalence entre ces deux représentations 64 Exemple 1 Angles d’Euler (Z-Y-X) 65 Exemple 2 Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet (X-Y-Z) lacet roulis tangage 66 Angles d’Euler (Z-Y-X) - 67 Exemple 68 Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet (X-Y-Z) Angles d’Euler (Z-Y-X) Pour chaque rotation suivant les angles d’Euler il y a correspondance avec une rotation suivant les angles d’axes fixes 69 Problème réciproque Supposons que la position de {B} par rapport à {A} est connue La question est : , , = ? 70 ou est la fonction arc tangente à deux arguments. Elle permet de déterminer le quadrant dans lequel est inscrit l’angle par la prise en compte des signes au numérateur et au dénominateur 71 Dans l’expression : Si = 90 Sont nuls, la solution dégénère, on ne peut déterminer et 72 - En imposant (Arbitrairement) = 0°, il vient 73 Rotation autour d’un axe quelconque (1) est le vecteur unitaire directeur d’un axe (D) Quelle est la matrice de rotation ? 74 Rotation autour d’un axe quelconque (2) • Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3D: bâtissons une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés d’un point en coordonnées homogènes autour d’un vecteur unitaire. On effectuera cinq rotations: 1-Une rotation de α degrés en x 2-Une rotation de β degrés en y Ces deux rotations permettront d’aligner le vecteur avec l’axe z. 3-Une rotation de θ degrés en z Finalement, les transformations inverses: 4-Une rotation de -β degrés en y 5-Une rotation de -α degrés en x 75 Rotation autour d’un axe quelconque (3) • 1-Une rotation de α degrés en x • 2-Une rotation de β degrés en y 76 Rotation autour d’un vecteur unitaire (4) • Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les transformations inverses sont données par: Donc, la matrice de transformation permettant d’effectuer une rotation de θ degrés autour d’un axe unitaire u est: Ttot T5T4T3T2T1 ROT , x ROT , y ROT , z ROT , y ROT , x 77 Cas général Ttot = = Cas particuliers Rotation / Axe x 0 0 1 0 cos sin ROT x, 0 sin cos 0 0 0 Rotation / Axe y cos 0 ROT y, sin 0 Rotation / Axe z cos sin sin cos ROT z, 0 0 0 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 78 Ttot = = Si θ est très petit 79