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ROBOTIQUE INDUSTRIELLLE
Chapitre 1 : Transformations homogènes
Abdelhak NAFI - Octobre 2016
Chapitre 1
• Introduction à la matière (Suite):
– Définitions et terminologie
• Début de la matière sur les transformations homogènes:
– Coordonnées homogènes : Qu’est-ce que c’est et pourquoi les
utiliser?
– Transformations 2D
– Transformations 3D
Culture générale en robotique (1)
• Qu’est-ce qu’un robot? :
– Plusieurs définitions existent [1]:
• [Dictionnaire]: (1) Une machine capable d’exécuter une série de tâches
complexes automatiquement, spécifiquement celles programmées par
ordinateur. (2) Une machine qui ressemble et qui agit comme un
humain. (3) Un système qui effectue des tâches répétitives
automatiquement. (4) Quelque chose guidé par un contrôle
automatique.
Culture générale en robotique (2)
• Qu’est-ce qu’un robot? (suite) :
• [Définition de l’industrie [1]]: (1) Un manipulateur multifonctionnel et
reprogrammable conçu pour déplacer du matériel, des pièces, des outils ou
tout autre équipement spécialisé, via des intructions programmées.

[Définition philosophique]: Tout système autonome
ou semi-autonome.
4
Culture générale en robotique (3)
• Quelques types de robots:
- Robots statiques: Robots ayant
une base fixe (e.g. : les robots du
laboratoires, les robots typiques
d’une chaîne de production).
- Robots mobiles: Robots qui se
déplacent dans l’espace de
travail (par exemple, les robots
explorateurs de planètes)
5
Culture générale en robotique (4)
• Quelques types de robots (suite):
– Robots statiques:
6
Culture générale en robotique (5)
• Quelques types de robots (suite):
– Robots mobiles:
7
Culture générale en robotique (5)
• Quelques types de robots (suite):
– Robots sériels: Robots composés d’un seul segment
articulé formant une chaîne cinématique ouverte.
8
Culture générale en robotique (6)
• Quelques types de robots (suite):
– Robots parallèles: Robots composés de plusieurs segments articulés qui
composent ensemble une chaîne cinématique fermée.
–
Un des grands avantages: Les moteurs ne sont pas dans les articulations comme la majorité des robots sériels.
Excellent pour les tâches de types “Pick and Place”.
–
En contre partie, espace de travail réduit et cinématique directe plus difficile.
9
Culture générale en robotique (7)
10
Culture générale en robotique (8)
• On utilise souvent les robots pour automatiser des
tâches dans un contexte de production.
2008
11
Culture générale en robotique (10)
• Types d’automatisation:
– Automatisation
programmable
(Soft Automation):
• Systèmes plus flexibles et
capables de s’adapter à des
changements de produits.
• Production en courtes ou
moyennes séries.
12
Culture générale en robotique (10)
• Types d’automatisation:
13
Culture générale en robotique (11)
• Définition(1): Un manipulateur robotique est une machine composé de
liens (segments, membres ou encore membrûres) connectés entres eux par
des joints (liaisons) pour formé une chaîne cinématique.
• Définition(2): Le nombre de degrés de liberté (D.D.L., en anglais Degrees of
freedom) d’une liaison entre deux corps C1 et C2 est égal au nombre
minimal de paramètres qui déterminent la position du corps C2 dans son
mouvement par rapport au corps C1.
14
Culture générale en robotique (12)
• Principaux composants d’un manipulateur robotisé:
Hydraulique
Électrique (labs)
15
Types d’actionneurs
• Afin de mouvoir chacun de ses segments, un robot sériel utilise
des actionneurs. Différentes technologies d’actionneurs existent,
en général:
– Les actionneurs électriques
– Les actionneurs hydrauliques (Souvent utilisés pour les charges lourdes)
– Les actionneurs pneumatiques (Souvent utilisés par les préhenseurs ou
autre outils)
16
Types de liaisons (joints)
•
Dans le cadre du cours, nous utiliserons principalement deux types de joints:
– Les joints prismatiques (Prismatic joint), notés P, permettent un déplacement en
translation.
– Les joints rotoïdes (Revolute joint), notés R, permettent un déplacement en rotation.
17
Géométrie d’un robot
• La géométrie d’un robot a une grande influence sur les
possibilités d’évitement d’obstacles et sur l’enveloppe de
travail du robot. Le nombre de degrés de liberté ainsi que le
type des articulations caractérisent la géométrie du robot.
• Des géométries fréquemment utilisées sont maintenant
présentées, en particulier les géométries PPP, PRP & RPP, RRP
et RRR.
18
Géométries populaires (1)
PPP
• Le robot PPP (communément appelé le
manipulateur cartsien):
19
Géométries populaires (2)
PRP ou RPP
• Le robot PRP ou RPP, communément appelé le
manipulateur cylindrique:
20
Géométries populaires (3)
RRP
• Le robot RRP, communément
manipulateur sphérique:
appelé
le
21
Géométries populaires (4)
SCARA
• Le robot SCARA (Selective
Compliant Articulated Robot
Arm), qui est aussi un RRP,
mais toutefois différent du
manipulateur
sphérique
ordinaire. Il est conçu
spécifiquement pour des
tâches d’assemblage.
http://www.youtube.com/watch?v=xM5iAhVDVR4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=v5eR0eHk
nZk&NR=1
22
Géométries populaires (5)
RRR
• Le robot RRR (ici c’est un RRRR), communément
appelés manipulateurs articulés:
23
Géométries populaires (6)
RRRRRR
• Les robots RRRRRR sont souvent
surnommés manipulateurs
anthropomorphiques puisqu’ils
s’inspirent partiellement du
bras humain: ont dit souvent
qu’ils ont un épaule, un coude
et un poignet.
• Leur enveloppe de travail est
beaucoup plus complexe que les
autres types de robots vu
précédemments. Leur
cinématique directe ainsi que
leur dynamique est aussi plus
compliqué.
24
Modes d’opérations d’un robot
(types de déplacement)
• Point par point: Dans ce mode de fonctionnement, le robot
se déplace d’un point à un autre sans que l’utilisateur puisse
contrôler le chemin suivi entre les points.
• Suivi de trajectoires: C’est une trajectoire continue, et non un
ensemble discret de points, que le robot cherche à suivre.
25
Applications de la robotique
• Il y a une énorme quantité d’applications pour la robotique…
• Entres autres:
– L’industrie automobile (à ce jour, l’un des plus grands utilisateurs
de manipulateurs robotiques).
– Tâches répétitives tels que: la manutention, le soudage, la
peinture, l’assemblage mécanique, manipulation d’échantillons.
– Opérations en milieu hostiles: trouver des survivants après une
catastrophe, opérations dans une centrale nucléaire, robotique
spatiale (mars, satellites, etc…)
– Aussi: Désamorçage d’objets explosifs, fabrications de prothèse,
applications militaires (drônes, missiles), etc…
26
Caractéristiques (1)
(Terminologie et définitions)
• Nombre d’axes d’un robot: Le nombre d’axes que possède un
robot désigne le positionnement que ce dernier peut faire en x,y
et z, ainsi qu’en Θx , Θy, Θz . Ceci est souvent relié au nombre de
degrés de liberté du robot, mais c’est une notion bien différente,
sachez la différencier.
– Dans une majorité de cas, les robots œuvrant dans l’espace
tridimensionnel ont six axes : trois pour le positionnement du poignet,
et trois autres pour l’orientation de l’effecteur. Ces six axes font que,
hors des configurations de singularité, le robot possède les six degrés de
liberté nécessaires afin de positionner et d’orienter l’effecteur.
– Certains robots ont plus de six degrés de liberté, ils sont redondants car
ils possèdent plus d’axes que nécessaire pour positionner et orienter
l’effecteur.
27
Caractéristiques (2)
(Terminologie et définitions)
• Capacité : La capacité est la charge utile (en kg) que peut déplacer
un robot (normalement spécifiée lorsque le robot est
complètement allongé donc dans le pire des cas).
• Vitesse de déplacement: Il s’agit de la vitesse maximale que peut
atteindre le robot (par exemple, entre deux points).
• Portée et débattement: Ces deux paramètres donnent une
indication de l’enveloppe de travail (workspace) d’un robot. La
portée (reach) horizontale donne la distance radiale maximum
entre l’effecteur et l’axe vertical passant par la base du robot. Le
débattement (stroke) horizontal donne la distance radiale que
l’effecteur peut parcourir. De façon similaire, on peut définir la
portée verticale et le débattement vertical.
28
Caractéristiques (3)
(Terminologie et définitions)
29
Caractéristiques (4)
(Terminologie et définitions)
• Répétabilité: La répétabilité est une mesure de la capacité du robot de
pouvoir retourner se positionner au même point de façon répétitive.
• Justesse: (Souvent appelée justesse statique, en anglais acuracy) est une
mesure de la capacité du robot à se positionner à l’endroit demandé.
• Résolution spatiale: La résolution spatiale donne le plus petit incrément
qu’il est possible de programmer entre deux positions voisines. La
résolution est reliée à la résolution des encodeurs utilisés (ainsi qu’au ratio
des engrenages) pour la mesure de position dans les articulations.
30
Caractéristiques (5)
(Terminologie et définitions)
Précis
Non précis
Répétable
Non répétable
31
Caractéristiques (6)
(Terminologie et définitions)
• Conditions d’opérations: Il faut soit protéger le
robot de l’environnement et l’environnement du
robot.
32
Manipulateur
Bras i+1
Liaison prismatique
Ou Révolution
Fin d’effecteur
Bras i
Base
{0}
Bras : n bras mobile
1 fixe (base)
Liaison: Révolution ( 1 ddl)
Prismatique (1 ddl)
33
Paramètres de configuration
n corps rigides dans l’espace
Chaque corps libre dans l’espace a 3 positions et
3 rotations : 6 parametres (6 ddl)
Chaque liaison empêche 5 ddl ( 5 contraintes)
{0}
n bras mobile : 6n parametres
5n contraintes
ddl du systeme : 6n – 5n = n
Si la base est mobile, elle aura 6 ddl.
Dans ce cas le système a (n + 6) ddl
34
Paramètres de configuration de la
fin d’effecteur
Selon la configuration du manipulateur, dans l’espace, la fin d’effecteur
peut y avoir au maximum 6 ddl
On+1 est le point opérationnel
La position et l’orientation de la fin d’effecteur sont définie par m paramètres
indépendants donc m degré de liberté
Pour un système plane, la fin d’effecteur peut y avoir 3 ddl (2 positions, et
1 orientation)
35
Exemple : Robot plane
Espace articulaire
Coordonnées articulaires
(x, y)
Coordonnées opérationnelles
α
Espace opérationnel
36
Redondance
Si on ajoute un bras au robot
plane on aura alors un robot
redondant
Le robot est dit redondant si
le ddl du robot n et superieur
au ddl de la fin d’effecteur m0
n = 4 et m0 = 3
Le degré de redondance est
n-m0 = 1
37
Position d’un point
P
La position d’un point P par rapport
a l’origine O est définie par le
vecteur OP ou simplement par P
OP
O
38
Configuration d’un corps solide
Q
P
q
P
Espace Euclidien E
O
Repère cartésien
39
Référentiel
Position du point P lie au repère R(O,x,y,z) par rapport au repère
R’(O,x’,y’,z’)
Le repère R a fait une rotation par rapport au repère R’
40
Configuration d’un corps rigide
Matrice de rotation
41
Matrice de rotation
42
Matrice de rotation
Produit scalaire
43
Matrice de rotation
L’inverse de la matrice de rotation
Matrice orthonormale
44
Exemple
45
Description d’un repère
Repère {B}
46
Changement de repère
Rotation
Si le vecteur P est donne
dans le repere B
47
Changement de repère
Deux vecteurs différents
48
Changement de repère
Transformation générale
49
Changement de repère
Exemple :
La matrice de transformation
homogène est :
50
Operateur
Changer la position d’un point dans le même repère
Rappel : changement de base en
utilisant la matrice de rotation
Operateur de rotation :
51
Exemple d’operateur de rotation
52
Operateur de translation :
Rappel : changement de repère en utilisant la translation
Le même point , 2 différents vecteurs
Operateur de translation :
2 points différents, 2 différents vecteurs
53
Operateur de translation :
Transformation homogène liée à la translation :
54
Operateur général
55
Inverse d’une transformation
homogène
Dans le cas d’une simple rotation :
Dans le cas d’une Transformation H:
Preuve :
56
Transformation composée
57
Transformation composée
58
Equation de transformation
Exemple :
59
Equation de transformation : Exemple
Ecrivez l’équation de transformation?
Déduire la transformation homogène
?
60
Représentation de la fin d’effecteur
: Position + Orientation
Paramètres de configuration de la fin d’effecteur
61
Représentation de la position
Coordonnées cartésiennes :
Coordonnées cylindriques :
Coordonnées sphériques :
62
Représentation de la rotation
Matrice de rotation
Cosinus directeurs
(3 ddl , 9 paramètres)
Contraintes
63
Trois angles de représentation
Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet
12 configurations
Angles d’Euler
12 configurations
Il y a équivalence entre ces
deux représentations
64
Exemple 1
Angles d’Euler (Z-Y-X)
65
Exemple 2
Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet (X-Y-Z)
lacet
roulis
tangage
66
Angles d’Euler (Z-Y-X)
-
67
Exemple
68
Angles d’axes fixes : roulis, tangage et lacet (X-Y-Z)
Angles d’Euler (Z-Y-X)
Pour chaque rotation suivant les angles d’Euler il y a correspondance avec
une rotation suivant les angles d’axes fixes
69
Problème réciproque
Supposons que la position de {B} par rapport à {A} est connue
La question est : , ,  = ?
70
ou
est la fonction arc tangente à deux arguments. Elle permet
de déterminer le quadrant dans lequel est inscrit l’angle par la prise
en compte des signes au numérateur et au dénominateur
71
Dans l’expression :
Si  = 90
Sont nuls, la solution dégénère, on ne peut
déterminer  et 
72
-
En imposant (Arbitrairement)  = 0°, il vient


73
Rotation autour d’un axe quelconque (1)
est le vecteur unitaire directeur d’un axe (D)
Quelle est la matrice de rotation
?
74
Rotation autour d’un axe quelconque (2)
• Généralisons maintenant ce concept dans le domaine 3D: bâtissons
une matrice de transformation permettant la rotation de Θ degrés
d’un point en coordonnées homogènes autour d’un vecteur unitaire.
On effectuera cinq rotations:
1-Une rotation de α degrés en x
2-Une rotation de β degrés en y
Ces deux rotations permettront d’aligner le
vecteur avec l’axe z.
3-Une rotation de θ degrés en z
Finalement, les transformations inverses:
4-Une rotation de -β degrés en y
5-Une rotation de -α degrés en x
75
Rotation autour d’un axe quelconque (3)
• 1-Une rotation de α degrés en x
• 2-Une rotation de β degrés en y
76
Rotation autour d’un vecteur unitaire (4)
• Finalement, la rotation de θ autour de z, ainsi que les
transformations inverses sont données par:
Donc, la matrice de transformation permettant d’effectuer
une rotation de θ degrés autour d’un axe unitaire u est:
Ttot  T5T4T3T2T1  ROT   , x  ROT    , y  ROT  , z  ROT   , y  ROT  , x 
77
Cas général
Ttot =
=
Cas particuliers
Rotation / Axe x
0
0
1
0 cos   sin 
 
 
ROT  x,    
0 sin   cos  

0
0
0
Rotation / Axe y
 cos   

0
ROT  y,    
  sin   

0

Rotation / Axe z
cos     sin   

sin    cos   
ROT  z,    
 0
0

0
 0
0 sin   
1
0
0 cos   
0
0
0
0
1
0
0
0 
0

1
0

0
0

1
0

0
0

1
78
Ttot =
=
Si θ est très petit
79
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