filtrage analogique

Le Filtrage analogique
Les filtres analogiques
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Les filtres analogiques
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2
Sommaire :
1. Rôle ........................................................................................................................................ 6
2. Différents types de filtres ....................................................................................................... 6
2.1. Filtres à capacité commutée ............................................................................................ 7
2.2. Calculateur ...................................................................................................................... 8
3. Rappels sur la théorie du filtrage............................................................................................ 8
3.1. Notion de fonction de transfert........................................................................................ 8
3.2. Notion de fonction d’atténuation..................................................................................... 8
3.3. Filtre réel – Gabarit ......................................................................................................... 8
3.4. Notion de sélectivité et de bande relative........................................................................ 9
3.5. Notion de temps de propagation de groupe................................................................... 10
3.6. Représentation en diagramme de Bode ......................................................................... 10
3.6.1. Convention de la représentation ............................................................................. 10
3.6.2. Graduation logarithmique de la fréquence ............................................................. 10
3.6.3. Représentation sur des échelles semi-log............................................................... 10
3.6.4. Représentation sur des échelles semi-log............................................................... 10
3.6.5. Caractéristique de l’argument ................................................................................ 10
4. Filtre passif........................................................................................................................... 11
4.1. Filtre passif pédagogique .............................................................................................. 11
4.1.1. Filtre passe bas ....................................................................................................... 11
4.1.1.1. Constitution ..................................................................................................... 11
4.1.1.2. Fonction de transfert........................................................................................ 11
4.1.1.3. Forme générale................................................................................................ 11
4.1.1.4. Représentation................................................................................................. 11
4.1.1.5. Le module........................................................................................................ 11
4.1.1.6. L’argument ...................................................................................................... 12
4.1.1.7. Tracés .............................................................................................................. 12
4.1.1.8. Pulsation de coupure ....................................................................................... 13
4.1.2. Filtre passe bas du deuxième ordre RLC ............................................................... 14
4.1.2.1. Constitution ..................................................................................................... 14
4.1.2.2. Fonction de transfert........................................................................................ 14
4.1.2.3. Forme générale................................................................................................ 14
4.1.2.4. Étude du polynôme du dénominateur.............................................................. 14
4.1.2.4.1. Factorisation ............................................................................................. 14
4.1.2.4.2. Intérêt de la factorisation.......................................................................... 15
4.1.2.4.3. Surtension................................................................................................. 17
4.1.3. Filtre passe bas du deuxième ordre par la mise en cascade de 2 premier ordre..... 19
4.1.3.1. Constitution ..................................................................................................... 19
4.1.3.2. Fonction de transfert........................................................................................ 19
4.1.3.3. Tracés .............................................................................................................. 19
4.1.4. Filtre passe haut du premier ordre.......................................................................... 20
4.1.4.1. Constitution ..................................................................................................... 20
4.1.4.2. Fonction de transfert........................................................................................ 20
4.1.4.3. Forme générale................................................................................................ 21
4.1.4.4. Tracés .............................................................................................................. 21
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4.1.5. Filtre passe haut du deuxième ordre....................................................................... 22
4.1.5.1. Constitution ..................................................................................................... 22
4.1.5.2. Fonction de transfert........................................................................................ 22
4.1.5.3. Forme générale................................................................................................ 22
4.1.5.4. Tracés .............................................................................................................. 22
4.1.6. Filtre passe-bande................................................................................................... 24
4.1.6.1. Constitution ..................................................................................................... 24
4.1.6.2. Fonction de transfert, forme générale ............................................................. 25
4.1.6.3. Déterminations et caractérisations .................................................................. 25
4.1.6.3.1. Pulsations de coupure............................................................................... 25
4.1.6.3.2. Sélectivité du filtre ................................................................................... 26
4.1.6.4. Passe bande RLC............................................................................................. 26
4.1.6.5. Passe bande par association d’un passe haut et d’un passe bas ...................... 27
4.1.6.6. Pont de Wien ................................................................................................... 28
4.1.7. Filtre réjecteur de bande : le circuit bouchon ......................................................... 28
4.1.7.1. Constitution ..................................................................................................... 28
4.1.7.2. Fonction de transfert........................................................................................ 28
4.1.7.3. Forme générale................................................................................................ 28
4.1.7.4. Tracés .............................................................................................................. 28
4.1.8. Passe tout................................................................................................................ 30
4.1.8.1. Fonction........................................................................................................... 30
4.1.8.2. Montage........................................................................................................... 30
4.1.8.3. Fonction de transfert........................................................................................ 30
4.1.8.4. Forme générale................................................................................................ 31
4.1.8.5. Application: ligne à retard............................................................................... 31
4.1.9. Tableau des formes canoniques.............................................................................. 32
4.2. Filtres passifs polynomiaux : synthèse de filtres........................................................... 33
4.2.1. Description de la démarche .................................................................................... 33
4.2.2. Normalisation ......................................................................................................... 33
4.2.2.1. Normalisation en fréquence ............................................................................ 33
Passe-bas normalisé.............................................................................................. 34
4.2.2.2. Normalisation des impédances........................................................................ 34
4.2.2.3. Application : normaliser ce filtre .................................................................... 34
4.2.2.4. Universalité du filtre passe bas........................................................................ 35
4.2.3. Fonctions de transfert de filtres analytiques........................................................... 40
4.2.3.1. Détermination d’une fonction de transfert de Butterworth ............................. 41
4.2.3.2. Détermination d’une fonction de transfert de Chebycheff.............................. 43
4.2.3.3. Détermination d’une fonction de transfert de Bessel ...................................... 46
4.2.3.4. Comparaison des réponses de plusieurs types de filtre ................................... 47
4.2.4. Déterminations des éléments du filtre passe-bas universel .................................... 48
4.2.4.1. Structure en T et matrice admittance............................................................... 48
4.2.4.2. Utilisation ........................................................................................................ 48
4.2.4.2.1. Filtres d’ordre pair.................................................................................... 49
4.2.4.2.2. Filtres d’ordre impair ............................................................................... 49
4.2.4.3. Récapitulatif .................................................................................................... 50
4.2.5. Dénormalisation ..................................................................................................... 50
4.3. Filtres actif..................................................................................................................... 51
4.3.1. Dénormalisation ..................................................................................................... 51
4.3.2. Structure du premier ordre ..................................................................................... 52
4.3.2.1. Passe-bas inverseur ......................................................................................... 52
4.3.2.2. Passe-bas non inverseur .................................................................................. 52
4.3.2.3. Passe-haut........................................................................................................ 52
4.3.3. Structure du deuxième ordre .................................................................................. 53
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4.3.3.1. Passe-bas ......................................................................................................... 53
4.3.3.2. Passe-haut........................................................................................................ 53
4.3.3.3. Passe-bande ..................................................................................................... 53
4.3.3.4. Réjecteur.......................................................................................................... 54
4.3.3.5. Structure de Rauch .......................................................................................... 54
4.3.3.5.1. Structure passe-bas de Rauch................................................................... 55
4.3.3.5.2. Structure passe-haut de Rauch ................................................................. 56
4.3.3.5.3. Structure passe-bande de Rauch............................................................... 57
4.3.3.6. Structure de Sallen-key ................................................................................... 58
4.3.3.6.1. Structure passe-bas de Sallen-key ............................................................ 59
4.3.3.6.2. Structure passe-haut de Sallen-key .......................................................... 60
4.3.3.6.3. Structure passe-bande de Sallen-key........................................................ 61
5. Memo Butterworth - Tchebycheff - Bessel.......................................................................... 62
Bibliographie............................................................................................................................ 64
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1. ROLE
Il n’est pas un système électronique qui ne fasse appel à, au moins, un filtre. La
plupart en comporte en grande quantité.
Le filtrage est une forme de traitement de signal, obtenu en envoyant le signal à travers
un ensemble de circuits électroniques, qui modifient son spectre de fréquence et/ou sa phase
et donc sa forme temporelle.
Il peut s‘agir soit :
-
d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables
d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.
Applications :
f systèmes de télécommunication (téléphone, télévision, radio, transmission de
données…)
f systèmes d’acquisition et de traitement de signaux physiques (surveillance
médicale, ensemble de mesure, radars… )
f alimentation électrique….
2.DIFFERENTS TYPES DE FILTRES
On classe les filtres en deux grandes familles : ANALOGIQUE et NUMERIQUE.
Les filtres numériques sont réalisés à partir de structure intégrée microprogrammable
(DSP). Ils sont totalement intégrables, souples et performants.
Ils sont utilisés chaque fois que c’est possible. Ils sont pour l’instant limités à des fréquences
pas trop élevées ( < 100MHz ).
On ne les utilisera pas si on doit limiter la consommation et ils nécessitent un pré-filtrage pour
éviter le repliement spectral avant la numérisation du signal et un post-filtre de lissage.
Les filtres analogiques se divisent eux mêmes en plusieurs catégories :
-
les filtres passifs qui font appels essentiellement à des inductances de haute qualité
et des condensateurs. Jusque dans les années 70, c’était les seuls filtres conçus. Ils
sont actuellement utilisés pour les hautes fréquences. (utilisation de quartz)
-
les filtres actifs sont constitués de condensateurs, de résistances et d’éléments
actifs qui sont essentiellement des AIL. Ils sont moins encombrants, faciles à
concevoir et moins coûteux que les filtres passifs mais restent limités en fréquence
( < 1MHz à cause de l’AIL). Ils consomment plus et nécessitent une source
d’alimentation.
Remarque :
Depuis le début des années 80 sont apparus des filtres actifs à capacité commutée. Ils
permettent de programmer la fréquence de coupure et d’être intégrable.
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TYPE
COMPOSANTS
Filtre
numérique
Circuits logiques intégrés
Filtres passifs
Circuit discret L et C,
Composants piézoélectriques
(quartz)
Filtres actifs
Filtres à
capacité
commutée
AIL, R et C
SPECIFITES
f Signaux numérisés
f F < 100MHz
f convient en grande série
f entièrement programmable
f F élevée
f pas d’alimentation
f non intégrable
f F < 1 MHz
f besoin d’alimentation
f tension filtrée faible < 12V
f F < qq MHz
AIL, Interrupteur commandé MOS, f besoin d’alimentation
R et C intégré
f intégrable
f fréquence programmable
2.1.Filtres à capacité commutée
Un des plus connus est le MF10
Phase 1 :S1 fermé, S2 ouvert : u c = v1 et Q1 = C ⋅ v1
Phase 2 :S1 ouvert, S2 fermé : u c = v 2 et Q2 = C ⋅ v 2
Sur un cycle (une période de la fréquence de commutation des interrupteurs), il a circulé entre
1
∆Q
v1 et v 2 ∆Q = Q1 − Q2 ; or i =
. ∆Q = C (v1 − v 2 ) et ∆t = on a alors i = C (v1 − v 2 ) f
∆t
f
1
1
donc v1 − v 2 = i ⋅
= Req ⋅ i avec Req =
.Si f varie, alors Req varie : cela va nous
Cf
Cf
permettre de réaliser des filtres adaptatifs.
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2.2.Calculateur
Le cœur du montage peut être composé d’un DSP, d’un microprocesseur ou d’une structure
câblée (FPGA ou CPLD).
Contraintes :
1
• Respect du théorème de Shannon ( Te =
)
fe
• Le temps de calcul Tc doit être plus petit que Te . Plus Tc se rapproche de Te , plus on
déphase la sortie vis-à-vis du signal d’entrée.
3.RAPPELS SUR LA THEORIE DU FILTRAGE
3.1.Notion de fonction de transfert
V1
V2
H
Le comportement d’un filtre est défini par l’étude
fréquentielle de la fonction de transfert entre la tension
de sortie et la tension d’entrée du filtre
H ( jω ) =
V2
V1
H dB = 20•log V2
V1
ϕ = Argument [H ( jω )]
3.2.Notion de fonction d’atténuation
Parfois, on préfère définir un filtre par rapport à l’atténuation qu’il amène sur la grandeur
d’entrée :
A( jω ) =
1
V1
=
H ( jω ) V 2
3.3.Filtre réel – Gabarit
Un filtre idéal présente :
- un affaiblissement nul dans la bande de fréquence que l’on désire conserver
(Bande passante)
- un affaiblissement infini dans la bande que l’on désire éliminer (Bande atténuée)
Il est impossible pratiquement de réaliser de tels filtres. Aussi se contente-t-on d’approcher
cette réponse idéale en :
- conservant l’atténuation A inférieure à Amax dans la bande passante
- conservant l’atténuation A supérieure à Amin dans la bande atténuée
Cela conduit ainsi à définir un gabarit définissant des zones interdites et des zones
dans lesquelles devront impérativement se situer les graphes représentant l’atténuation du
filtre en fréquence.
Suivant le type de réponse que l’on désire obtenir, on est amené à définir 4 familles de
filtres :
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Passe-bas
Passe-haut
A(dB)
A(dB)
f
fp
f
fa
fa
Passe-bande
fp
Coupe-bande
A(dB)
A(dB)
f
fa-
fP-
fP+
f
fa+
fP-
fa-
fa+
fP+
3.4.Notion de sélectivité et de bande relative
Au lieu de conserver explicitement les fréquences frontières comme paramètres de calcul, il
est plus simple et plus parlant de leur substituer les paramètres équivalents (mais sans
dimension ) que sont la sélectivité k et la largeur de bande relative B.
Bande relative B
Fréquence de
référence
Type de filtre
Sélectivité k
Passe-bas
fp
fa
fp
Passe-haut
fa
fp
fa
Passe-bande
f p+ − f p−
f a+ − f a−
f p+ − f p−
fo
fo
Coupe-bande
f a+ − f a−
f p+ − f p−
f a+ − f a−
fo
fo
Pour un filtre très sélectif, k tend vers 1.
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3.5.Notion de temps de propagation de groupe
Il est défini par :
τ=
dϕ
dω
Il caractérise le retard apporté par le filtre sur les différents harmoniques du signal d’entrée.
Pour ne pas apporter de distorsion, il faut que chaque harmonique soit déphasé de ϕ
proportionnel à ω .
Remarque : pour un signal audio, il faut qu’il soit constant
3.6. Représentation en diagramme de Bode
3.6.1. Convention de la représentation
Elles sont au nombre de deux :
• l’échelle des fréquences ou des pulsations est logarithmique
•
la courbe de module est graduée en décibels : db ( H dB = 20•log V2 )
V1
3.6.2. Graduation logarithmique de la fréquence
Dans ce type de graduation il y a autant de distance entre 1 et 2 qu’entre 2 et 4 et qu’entre 20
et 40. Dans ce type de graduation, le 0 n’apparaît jamais, il est rejeté à l’infini à gauche. On
peut graduer cet abscisse en fréquence, en pulsation, en pulsation réduite ou en p.
3.6.3. Représentation sur des échelles semi-log
Le module en décibel et l’argument sont représentés sur du papier semi logarithmique :
graduation linéaire en ordonnée et logarithmique en abscisse. Mais en réalité, le fait de tracer
la relation H dB = 20•log V2 va conférer au système une représentation « log - log ».
V1
3.6.4. Représentation sur des échelles semi-log
Ce type de représentation représente un double avantage :
• Elle permet de faire une compression des données en préservant la représentation des
faibles valeurs.
• Tout monôme ( f ( x ) = ax n ) se représente par une droite dont la pente dépend de son
degré.
On profite également des propriétés du log en ordonnée, le produit se traduisant par une
somme : les sommes graphiques sont très faciles à traiter.
3.6.5. Caractéristique de l’argument
Elle n’est pas touchée en ordonné, l’abscisse est toujours logarithmique. La propriété de
l’argument (argument de A.B=arg A+ arg B) se traduit par une somme graphique dans bode.
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4. FILTRE PASSIF
4.1. Filtre passif pédagogique
4.1.1. Filtre passe bas
4.1.1.1. Constitution
4.1.1.2. Fonction de transfert
Vs
Ve
Vs
=
1
1 + jRCω
=
1
L
ω
R
4.1.1.3. Forme générale
Ve
Vs
Ve
1+ j
A
=
1+ j
ω
ω0
. Par identification on trouve : A = 1 et ω 0 =
R
1
ou ω 0 = .
RC
L
4.1.1.4. Représentation
Module :
Vs
Ve
1
=
2
⎛ω ⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
⎛ Vs ⎞
⎛ω⎞
⎛ω ⎞
Argument : ϕ = arg⎜ ⎟ = arctg (0 ) − arctg ⎜⎜ ⎟⎟ = − arctg ⎜⎜ ⎟⎟
⎜ Ve ⎟
⎝ ω0 ⎠
⎝ ω0 ⎠
⎝ ⎠
4.1.1.5. Le module
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎡ ⎛ω
⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤
Vs
1
1
⎟
⎜
En décibel :
= −20 ⋅ ⋅ log ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = −10 log ⎢1 + ⎜⎜
= 20 log
2 ⎟
⎜
2
Ve
⎢⎣ ⎝ ω 0
⎢⎣ ⎝ ω 0 ⎠ ⎥⎦
⎞
⎛
ω
db
⎜ 1+ ⎜ ⎟ ⎟
⎜ω ⎟ ⎟
⎜
⎝ 0⎠ ⎠
⎝
Vs
Limite en 0 : lim
= 0 : on a une asymptote horizontale à − 0db .
ω →0 V
e
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎥
⎥⎦
db
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Limite à l’infini : lim
ω →∞
Vs
Ve
⎛ω
= −∞ :
≈ − 10 log⎜⎜
Ve ω → ∞
⎝ ω0
db
Vs
db
2
⎞
⎛ω
⎟⎟ = −20 log⎜⎜
⎠
⎝ ω0
⎞
⎟⎟
⎠
Si on parcourt une décade : de ω à 10ω :
⎛ω ⎞
ω
: − 20 log⎜⎜ ⎟⎟
ω0
⎝ ω0 ⎠
10ω
⎛ω ⎞
⎛ω ⎞
⎛ 10ω ⎞
⎟⎟ = −20 log⎜⎜ ⎟⎟ − 20 log 10 = −20 log⎜⎜ ⎟⎟ − 20
: − 20 log⎜⎜
ω0
⎝ ω0 ⎠
⎝ ω0 ⎠
⎝ ω0 ⎠
Le passage d’une décade à l’autre retire 20db à l’asymptote : nous avons une asymptote à
− 20db / décade
Remarque :
- si on multiplie par 2 la fréquence, la pente est la même mais s’exprime par
− 6db / octave = −20db / décade .
-
La droite asymptotique passe par 0db pour
Pour la courbe réelle : pour
Vs
ω
= 1,
ω0
Ve
db
ω
= 1 (mais pas la courbe réelle).
ω0
⎛ 1 ⎞
= − 10 log(2 ) = 20 log⎜
⎟ = −3db
⎝ 2⎠
4.1.1.6. L’argument
Limite en 0 : lim ϕ = 0 : on a une asymptote horizontale en 0
ω →0
Pour
ω
π
= 1, ϕ = −
ω0
4
Limite à l’infini : lim ϕ = −
ω →∞
π
2
: on a une asymptote horizontale en −
π
2
.
4.1.1.7. Tracés
H ( jω ) dB
arg H ( jω )
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log ω
log ω
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4.1.1.8. Pulsation de coupure
Dans la pratique, la coupure n’est pas aussi nette que dans les filtres idéaux. On considère que
la pulsation de coupure est atteinte si l’atténuation a diminué d’un certain nombre de db par
rapport au plateau. Par référence aux filtres du premier ordre, le calcul de la pulsation de
coupure ω c se fait, sauf précision contraire, pour une atténuation de − 3db .
H ( jω c ) dB =
Vs
Ve
=
db à ωc
Vs
Ve
− 3db .
db au plateau
Vs
Cela revient au calcul suivant sans les décibels :
Vs
Ve
2
=
2
Ve
ωc
plateau
2
.
Si la coupure est calculée à − 6db , la division sera par 4 au lieu de 2.
On ne doit pas confondre coupure et cassure. Pour un premier ordre :
Vs
Vs
=
1
Ve
2
1
= : on en tire que
2
⎛ ωc
⎜⎜
⎝ ω0
2
⎞
⎟⎟ = 1 , c-a-d que ω c = ω 0 .
⎠
=
2
2
⎛
⎞
ω
db à ωc
1 + ⎜⎜ c ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
Dans un premier ordre, pulsations de coupure ( ω c ) et cassure ( ω 0 ) sont confondues. Pour les
Ve
plateau
filtres d’ordre supérieur, ω c < ω 0 .
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4.1.2. Filtre passe bas du deuxième ordre RLC
4.1.2.1. Constitution
4.1.2.2. Fonction de transfert
Vs
Ve
1
jCω
=
R + jLω +
1
jCω
=
1
1 + jRCω − LCω 2
4.1.2.3. Forme générale
A
ω ⎛ ω ⎞
⎟
+⎜ j
1 + 2mj
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
Par identification on obtient :
m: coefficient d’amortissement et ω 0 est la pulsation propre. On remarque que L et C règle
ω 0 et que si R est variable de 0 à l’infini ω 0 et m sont pratiquement indépendants.
4.1.2.4. Étude du polynôme du dénominateur
4.1.2.4.1. Factorisation
2
⎞
ω
ω
⎟⎟ + 2mj
+ 1 est un polynôme du second degré en j
que l’on peut chercher à
ω0
ω0
⎠
⎛
ω ⎞⎛
ω ⎞
⎟⎟ , avec ω1 et ω2 réels. Par identification , on
factoriser sous la forme ⎜⎜1 + j ⎟⎟⎜⎜1 + j
ω
ω
1
2
⎝
⎠⎝
⎠
⎛ω
− ⎜⎜
⎝ ω0
(
)
montre que : ω1, 2 = ω 0 m ± m 2 − 1 si m ≥ 1 .
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Si m ≥ 1 , ω 0 = ω1ω 2 est la moyenne géométrique de ω1 et ω2 . Sur une échelle
logarithmique, ω1 et ω2 seront placés de part et autre de ω 0 et de façon symétrique.
4.1.2.4.2. Intérêt de la factorisation
Vs
1
1
⋅
Si m ≥ 1 , on peut écrire :
=
.
ω
ω
Ve
1+ j
1+ j
ω1
ω2
2
2
⎛
⎛
⎛ ω ⎞ ⎞⎟
⎛ ω ⎞ ⎞⎟
⎜
⎜
Soit en décibel :
= − 20 log⎜ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ − 20 log⎜ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ .
Ve
⎜
⎜
⎝ ω 2 ⎠ ⎟⎠
⎝ ω1 ⎠ ⎟⎠
db
⎝
⎝
Pour le module en db on peut additionner deux courbes du premier ordre dont on peut donner
les diagrammes asymptotiques.
Vs
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⎛ Vs
Pour l’argument on a : ϕ = arg⎜
⎜ Ve
⎝
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⎞
⎟ = − arctg ⎛⎜ ω ⎞⎟ − arctg ⎛⎜ ω
⎜ω
⎜ω ⎟
⎟
⎝ 2
⎝ 1⎠
⎠
⎞
⎟⎟ :
⎠
16
4.1.2.4.3. Surtension
Si m < 1 on ne peut pas factoriser, on ne peut travailler qu’avec un diagramme asymptotique à
deux asymptotes (horizontale à − 0db et puis une droite à − 40db / décade ).
On constate que, suivant les valeurs de m, on peut assister à une surtension en sortie due à des
conditions de fonctionnement proches d’un phénomène de résonance.
Remarque :
⎛ Vs
si on prend ω = ω 0 , alors ⎜
⎜ Ve
⎝
⎞
⎟
=
⎟
⎠ ω =ω 0
1
1 + 2mj
ω ⎛ω
−⎜
ω 0 ⎜⎝ ω 0
⎞
⎟⎟
⎠
2
=
1
2mj
1
alors la valeur efficace de Vs > Ve . On aura
2
aussi Vs et Ve en quadrature. On peut alors extraire m : on remarque que pour
On peut constater que si m <
1 Ve
. En pratique, le détection de 2 signaux en quadrature
2 Vs
est facile, ce qui permet en un point de mesure de déterminer ω 0 et m .
cette pulsation m =
Pour étudier le phénomène de surtension, il suffit d’analyser les variations de notre fonction
de transfert et de détecter un extremum. On montre que cette surtension est possible si
Vs
1
1
=
m≤
, il a lieu pour ω = ω max = ω 0 1 − 2m 2 et ce maximum vaut
.
2
Ve
2
2
m
1
−
m
ω =ω max
Les filtres analogiques
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17
En récapitulatif :
m
0
Décomposable
non
1
2
non
non
non
oui
ω1
ω0
ω2
ω0
Surtension
oui
oui
ωmax
ω0
ω0 1 − 2m
Maximum
∞
Les filtres analogiques
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oui
2
1
2m 1 − m 2
∞
1
non
non
oui
(
ω (m +
)
− 1)
ω0 m − m − 1
0
2
m2
non
oui
0
∞
non
0
1
18
4.1.3. Filtre passe bas du deuxième ordre par la mise en cascade de 2 premier ordre
4.1.3.1. Constitution
4.1.3.2. Fonction de transfert
Vs
1
On montre que
=
Ve 1 + 3 jRCω + ( jRCω )2
3
1
A
on trouve : ω 0 =
Par identification à
et m = .
2
RC
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟⎟
+ ⎜⎜ j
1 + 2mj
ω0 ⎝ ω0 ⎠
On peut donc le mettre sous la forme :
Vs
3− 5
1
1
3+ 5
⋅
=
avec de ω1 =
et ω2 =
.
ω
ω
2 RC
Ve
2 RC
1+ j
1+ j
ω1
ω2
4.1.3.3. Tracés
Les filtres analogiques
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19
4.1.4. Filtre passe haut du premier ordre
4.1.4.1. Constitution
4.1.4.2. Fonction de transfert
Vs
jRCω
=
Ve 1 + jRCω
L
ω
R
=
L
Ve
1+ j ω
R
Vs
j
Les filtres analogiques
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20
4.1.4.3. Forme générale
ω
ω0
1
R
=
ou ω 0 = .
. Par identification on trouve : A = 1 et ω 0 =
ω
Ve
RC
L
1+ j
ω0
Vs
A. j
4.1.4.4. Tracés
⎛ Vs
Argument : ϕ = arg⎜
⎜ Ve
⎝
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⎞ π
⎟ = − arctg ⎛⎜ ω
⎜ω
⎟ 2
⎝ 0
⎠
⎞
π
⎟⎟ . Il suffit d’ajouter
au terme d’un passe bas.
2
⎠
21
4.1.5. Filtre passe haut du deuxième ordre
4.1.5.1. Constitution
4.1.5.2. Fonction de transfert
Vs
Ve
=
− LCω 2
1 + jRCω − LCω 2
4.1.5.3. Forme générale
Vs
Ve
=
⎛ ω ⎞
⎟⎟
A.⎜⎜ j
ω
0 ⎠
⎝
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
.
Par identification on trouve : A = 1 et ω 0 =
1
LC
et m =
R C
.
2 L
4.1.5.4. Tracés
Vs
Ve
db
⎛ω
= 40 log⎜⎜
⎝ ω0
⎡⎛
⎞
⎛ω
⎟⎟ − 10 log ⎢⎜1 − ⎜⎜
⎢⎜ ⎝ ω 0
⎠
⎢⎣⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
2
⎞
⎟ + 4m 2 ⎛⎜ ω
⎜ω
⎟
⎝ 0
⎠
2⎤
⎞ ⎥
⎟⎟
⎠ ⎥⎥
⎦
C’est la somme du passe bas du deuxième ordre avec une droite de + 40db / décade passant
par 0db pour
ω
= 1.
ω0
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22
Pour l’argument, le numérateur amène un déphasage de π par rapport au filtre passe bas du
deuxième ordre.
Les filtres analogiques
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23
Pour différentes valeurs de m on obtient :
4.1.6. Filtre passe-bande
4.1.6.1. Constitution
Les filtres passe-bande sont constitués de deux parties :
- une partie qui fait chuter la tension de sortie à basse fréquence,
- une partie qui fait chuter la tension de sortie à haute fréquence.
On pourra avoir un passe-bande avec :
- un circuit RLC,
- une association en cascade d’un passe-haut et d’un passe-bas,
- des montages spécifiques.
Les filtres analogiques
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24
4.1.6.2. Fonction de transfert, forme générale
Vs
Ve
j
= A
ω
ω0
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
4.1.6.3. Déterminations et caractérisations
4.1.6.3.1. Pulsations de coupure
La bande passante est la plage des fréquences ou de pulsations comprise entre les fréquences
ou les pulsations de coupure. Ces deux valeurs marquent la bande passante du filtre.
Vs
Les pulsations de coupure sont calculées à partir de la valeur maximale de
.
Ve
La pulsation ω max permettant d’accéder au maximum s’obtient en transformant
Vs
Ve
=
A
ω0
ω
+ 2m + j
jω
ω0
Vs
Ve
:
A
=
⎛ ω ω0 ⎞
⎟⎟ + 2m
−
j ⎜⎜
ω
ω
⎝ 0
⎠
⎛ Vs ⎞
A
= ω 0 , alors ⎜ ⎟
=
.
⎜ Ve ⎟
⎝ ⎠ ωmax 2m
Le maximum est atteint pour ω = ω max
La calcul des pulsations de coupure ω Ci se fait généralement à − 3db . Ainsi on a :
Vs
Vs
2
=
A2
Ve
=
2
plateau
=
A2
.
8m 2
2
2
⎛ ω Ci ω 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + 4m 2
−
⎝ ω 0 ω Ci ⎠
Par résolution de l’équation (équation du 2nd ordre) on obtient :
Ve
ω Ci
ω C1 = ω 0
( (1 + m ) − m) et ω
2
C2
= ω0
( (1 + m ) + m)
2
On peut remarquer que : ω C1ω C 2 = ω 0 . Le maximum se produit pour la moyenne
géométrique des 2 pulsations de coupure.
2
Les filtres analogiques
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25
4.1.6.3.2. Sélectivité du filtre
Une grandeur importante pour un filtre passe bande est sa sélectivité. Elle est notée par le
ω0
ω0
1
coefficient de qualité Q =
=
=
2
2
ω C 2 − ω C1 ω 0 1 + m + m − ω 0 1 + m − m 2m
((
) ((
)
)
)
4.1.6.4. Passe bande RLC
On a la fonction de transfert :
Vs
R
jRCω
=
=
1
Ve
1 + jRCω − LCω 2
R + jLω +
jCω
j
Par identification à la forme canonique : A
ω0 =
1
LC
, m=
ω
ω0
ω ⎛ ω⎞
+⎜ j ⎟
1 + 2mj
ω0 ⎜⎝ ω0 ⎟⎠
2
on a :
C
R C
= 2m .
et A = R
L
2 L
Toutes les courbes passent au point 0db pour
ω
= 1 : c’est la résonance série de courant où
ω0
les impédances de L et C s’annulent réciproquement, l’ensemble L et C se comportent comme
un fil et Vs = Ve .
Les filtres analogiques
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26
Toutes les courbes n’ont pas le même diagramme asymptotique. Par exemple, si m ≥ 1 , on
peut écrire :
Vs
2mj
=
ω
ω0
⎛
ω ⎞⎛
ω ⎞
⎜⎜1 + j ⎟⎟⎜⎜1 + j
⎟
ω1 ⎠⎝
ω 2 ⎟⎠
⎝
Pour m = 2 , on a un système à quatre asymptotes :
Ve
)
(
avec ω1, 2 = ω 0 m ± m 2 − 1 .
4.1.6.5. Passe bande par association d’un passe haut et d’un passe bas
On obtient la fonction de transfert suivante :
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Vs
Ve
=
jRCω
1 + 3 jRCω + ( jRCω )
2
.
27
j
Par identification à la forme canonique : A
avec : ω 0 =
ω
ω0
ω ⎛ ω⎞
1 + 2mj
+⎜ j ⎟
ω0 ⎜⎝ ω0 ⎟⎠
2
3
1
, m = et A = 1 .
RC
2
4.1.6.6. Pont de Wien
On obtient la fonction de transfert suivante :
Vs
jRCω
=
1 + 3 jRCω + ( jRCω )
de transfert résultant de l’ association d’un passe haut et d’un passe bas.
Ve
2
; c-a-d la fonction
4.1.7. Filtre réjecteur de bande : le circuit bouchon
4.1.7.1. Constitution
4.1.7.2. Fonction de transfert
Vs
Ve
=
− LCω 2 + 1
L
1 + j ω − LCω 2
R
4.1.7.3. Forme générale
A
⎛ ω ⎞
⎟⎟
1 + ⎜⎜ j
ω
0 ⎠
⎝
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
Par identification à la forme canonique on obtient : : ω 0 =
1
LC
, m=
4.1.7.4. Tracés
Les diagrammes ci-dessous on été calculés pour m = 1 . La valeur à
− ∞ . Le coefficient de qualité Q =
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ω0
ω c 2 − ω c1
≅ 0,5 =
1 L
et A = 1 .
2R C
ω
= 1 est en réalité à
ω0
1
.
2m
28
L’argument :
Les filtres analogiques
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29
4.1.8. Passe tout
4.1.8.1. Fonction
On cherche à déphaser le signal de sortie par rapport au signal d'entrée.
4.1.8.2. Montage
4.1.8.3. Fonction de transfert
1
⎛
⎜
jCω
Vs = V1 − V2 = Ve ⋅ ⎜
⎜
1
⎜R+
jCω
⎝
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⎞
⎛
⎟
⎜
R
⎟ −V ⋅⎜
⎟ e ⎜
1
⎟
⎜R+
jCω
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟ = V ⋅ ⎛⎜ 1 − jRCω ⎞⎟
e ⎜
⎟
⎟
⎝ 1 + jRCω ⎠
⎟
⎠
30
Dont on tire:
Vs
= 1 = cste
Ve
⎛ Vs ⎞
Arg ⎜ ⎟ = −2 ⋅ arctan(R ⋅ C ⋅ ω ) = ϕ
⎜ Ve ⎟
⎝ ⎠
La tension de sortie est donc déphasée par rapport à la tension d'entrée.
4.1.8.4. Forme générale
ω
ω0
A
ω
1+ j
ω0
1− j
4.1.8.5. Application: ligne à retard
Si le signal d'entrée est périodique de fréquence f, si sa décomposition en série de Fourier
est telle que les harmoniques les plus significatives s'arrêtent au rang i et enfin si
1
ω
iω = i 2πf <<
, on a alors ϕ ≅ −2 RCω = − . Avec :
RC
ω'
ve (t ) = E 0 + E1 sin (ωt + θ1 ) + E 2 sin (2ωt + θ 2 ) + ... + Ei sin (iωt + θ i )
On a :
ω⎞
ω⎞
ω⎞
⎛
⎛
⎛
v s (t ) = E 0 + E1 sin⎜ ωt + θ1 − ⎟ + E 2 sin⎜ 2ωt + θ 2 − 2 ⎟ + ... + Ei sin ⎜ iωt + θ i − i ⎟
ω' ⎠
ω' ⎠
ω' ⎠
⎝
⎝
⎝
⎛ ⎛
⎞
⎛ ⎛
⎞
⎛ ⎛
⎞
1⎞
1⎞
1⎞
= E 0 + E1 sin ⎜⎜ ω ⎜ t − ⎟ + θ1 ⎟⎟ + E 2 sin ⎜⎜ 2ω ⎜ t − ⎟ + θ 2 ⎟⎟ + ... + E i sin ⎜⎜ iω ⎜ t − ⎟ + θ i ⎟⎟
⎝ ⎝ ω' ⎠
⎠
⎝ ⎝ ω' ⎠
⎠
⎝ ⎝ ω' ⎠
⎠
1
= 2 RC : v s (t ) = v e (t − 2 RC )
On constate que le signal de sortie est décalé dans le temps de
ω'
Les filtres analogiques
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31
4.1.9. Tableau des formes canoniques
Type
Passe bas du 1er ordre
Forme canonique
A
1+ j
Passe bas du 2nd ordre
m: coefficient d’amortissement
ω
ω0
A
ω ⎛ ω ⎞
⎟
+⎜ j
1 + 2mj
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
Passe haut du 1er ordre
ω
ω0
ω
1+ j
ω0
Passe haut du 2nd ordre
⎛ ω ⎞
⎟⎟
A.⎜⎜ j
⎝ ω0 ⎠
Passe bande
Facteur de qualité Q =
ω0
A. j
A
ω c 2 − ω c1
ω0
ω c 2 − ω c1
A
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
⎛ ω ⎞
⎟⎟
1 + ⎜⎜ j
ω
0 ⎠
⎝
2
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
ω
ω0
A
ω
1+ j
ω0
Passe tout
1− j
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟ peut se mettre sous la forme :
+⎜ j
Le terme 1 + 2mj
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
)
(
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
ω
j
ω0
Coupe bande (réjecteur)
Facteur de qualité Q =
2
⎛
ω ⎞⎛
ω ⎞
⎜⎜1 + j ⎟⎟⎜⎜1 + j
⎟ avec
ω1 ⎠⎝
ω 2 ⎟⎠
⎝
ω1, 2 = ω 0 m ± m 2 − 1 si m ≥ 1 .
De plus, si m ≤
1
2
alors on montre pour que pour un passe bas ou un passe haut du 2nd ordre
il va y avoir une surtension en sortie à ω max = ω 0 1 − 2m 2 :
Les filtres analogiques
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Vs
Ve
=
ω =ω max
1
2m 1 − m 2
.
32
4.2.Filtres passifs polynomiaux : synthèse de filtres
Le but est d’être capable de dimensionner, suivant un gabarit de filtre donné, un filtre
soit avec des composants passifs, soit avec des composants actifs (respectivement
filtres dit ‘passifs’ et filtres dit ‘actifs’). Cela permet de choisir le type de réponse du filtre
de telle sorte qu’il s’adapte au mieux aux besoins.
4.2.1.Description de la démarche
Normalisation du
filtre
Choix du type de
réponse
Calcul de la
transmittance normalisée
Choix du type de filtre
(passif ou actif)
Dimensionnement du
filtre normalisé
Dé-normalisation
4.2.2. Normalisation
4.2.2.1. Normalisation en fréquence
Elle consiste à choisir comme unité de fréquence, non plus le Hertz, mais une
fréquence de référence associée au gabarit.
On utilise généralement la fréquence de coupure :
- fp pour les filtres passe-bas
- fa pour les filtres passe-haut
- fo pour les filtres passe-bande et coupe-bande
On essaie le plus souvent possible de symétriser les gabarits des filtres coupe-bande et passebande.
Les filtres analogiques
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33
Passe-bas normalisé
A(dB)
f
1
1
k
4.2.2.2. Normalisation des impédances
Chaque domaine de l’électronique possède son impédance caractéristique :
• signal d’instrumentation : 50Ω
• télévision : 75Ω
• téléphone RTC : 600Ω
On va normaliser les différents éléments passifs du filtre par rapport à cette impédance
caractéristique.
R
; Ru ( = Rc résistance de charge du
a) Résistance : on remplace R par rn =
Ru
filtre) correspond au domaine utilisé.
Lω 0
L
=
.
b) Inductance : la normalisation se fait à ω 0 et par rapport à Ru : λ n =
Ru
Lu
Lω
En effet, on peut définir une self unité u 0 = 1 .
Ru
C
.
c) Capacité : la normalisation se fait à ω 0 et par rapport à Ru : γ n = CRu ω 0 =
Cu
1
On définit de même une capacité unité : C u =
Ru ω 0
4.2.2.3. Application : normaliser ce filtre
On prend Rc = 50Ω et R1 = 50Ω , L1 = 20µH et C1 = 1nF
1
Vs
1
jCω
=
=
1
Ve
1 + jRCω − LCω 2
R + jLω +
jCω
1
ω0 =
≅ 7,07.10 6 rad / s
soit f 0 ≅ 1,125MHz
LC
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34
Lu =
Cu =
Ru
ω0
= Ru LC ≅ 7,07 µH
→ λn =
Ln
≅ 2,83
Lu
LC
≅ 2,83nF
Ru
→ γn =
Cn
≅ 0,35
Cu
1
Ru ω 0
=
∞
Vérification :
∏γ
n
λn = 1
n =1
Complément : Quand R1 = Ru le facteur de surtension Q = λ n =
1
γn
4.2.2.4. Universalité du filtre passe bas
L’objectif de la normalisation d’un filtre est de ramener l’étude de tout les types de
filtres (passe bas, passe haut, passe bande, coupe bande) à l’étude d’un filtre passe bas
afin de faciliter les calculs.
C’est une simplification considérable qui justifie à elle seule que l’on recherche à représenter
les spécifications d’un filtre par un gabarit simplifié symétrique.
En effet, ces transformations s’appliquent aussi bien aux gabarits qu’aux fonctions de transfert
et aux impédances. (on peut vérifier qu’elle ne modifie pas la sélectivité)
La normalisation se fait comme définie dans le tableau ci après :
Les filtres analogiques
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35
Type de
filtre
Passe bas
Gabarit réel
Normalisation
Normalisation des fréquences :
f
ω
s= j
= j
ω0
f0
On défini la pulsation normalisée :
x= s =
ω
ω0
Normalisation des composants :
- Soit R c la résistance de charge du
filtre.
- On définit les résistances
normalisées (uniquement pour les
circuits passifs) :
R
Rn =
Rc
Inductance et capacité unité :
(uniquement pour les circuits
passifs)
Le changement de variable
précédent impose des valeurs pour
:
l’inductance unité : Lu =
Rc
ω0
1
la capacité unité : C u =
Rc .ω 0
- Inductance normalisée : λ n =
- Capacité normalisée : γ n =
Les filtres analogiques
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L
Lu
C
Cu
36
Type de filtre
Passe haut
Gabarit réel
Normalisation
Pulsation normalisée : x =
ω
ω0
Transformation : s → S = 1 s
x → X =1 x
La résistance normalisée est R n :
R
Rn =
Rc
Les inductances vont se
transformer en capacités, ainsi :
Les capacités vont se transformer
en inductances, ainsi :
Les filtres analogiques
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37
Type de filtre
Passe bande
Gabarit réel
Normalisation
On définit X 1 comme :
Le gabarit est symétrique (au sens
des logarithmes) par rapport à f 0
ainsi :
f 0 = f1 . f 2 = f '1 . f ' 2
Si elle n’est pas symétrique, on
prend la contrainte la plus forte.
f '1 − f 02
2
X1 =
f ' 2 − f 02
2
=
f '1 .( f 2 − f1 ) f ' 2 .( f 2 − f1 )
On définit ∆x (largeur de bande
relative) et k (sélectivité) :
f − f1
∆x = 2
f0
f − f1
k= 2
f ' 2 − f '1
Transformation : s → S =
1 ⎛
1⎞
⎜s + ⎟
∆x ⎝
s⎠
f 2 − f 02
1
1
x→X =
x− =
∆x
x
f .( f 2 − f1 )
Cette transformation implique que :
L’inductance va être changée par une
capacité en série avec une inductance :
La capacité va être changée par une
inductance en parallèle avec une
capacité :
Les filtres analogiques
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38
Type de
filtre
Coupe bande
Gabarit réel
Normalisation
Le gabarit est symétrique (au
sens des logarithmes ) par
rapport à f 0 ainsi :
f 0 = f1 . f 2 = f '1 . f ' 2
On définit X 1 comme :
f ' − f '1
X1 = 2
f 2 − f1
On définit ∆x :
f ' 2 − f '1
∆x =
f0
∆x
1
s+
s
f .( f ' 2 − f '1 )
Transformation : s → S =
x→X =
∆x
=
1
−x
x
f 02 − f
2
Cette transformation implique que :
L’inductance va être changée par
une capacité en parallèle avec une
inductance :
La capacité va être changée par une
inductance en série avec une capacité
Les filtres analogiques
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39
4.2.3. Fonctions de transfert de filtres analytiques
Pour un gabarit passe bas donné, il existe une infinité de solutions. Lorsque l’on veut
dimensionner un filtre, on ne sait calculer analytiquement qu’un petit nombre de fonctions
caractéristiques convenant à la réalisation de ce gabarit.
Les différentes fonctions que l’on peut utiliser fixeront les propriétés physiques de notre filtre.
Les plus connus et utilisés sont les filtres polynomiaux : la fonction de transfert de ces filtres
est un polynôme (du même ordre que l’ordre du filtre). Exemples : Butterworth, Chebycheff,
Legendre , Bessel.
K
.
La fonctions de transfert sera de la forme : H ( p ) =
( p − p0 )( p − p1 )....( p − p n )
Détermination de H ( p ) :
• Par calcul de pôles (ex : Butterworth)
• Par récurrence (ex : Chebycheff ou Bessel)
Ces filtres ne présentent pas de zéro de transmission à des fréquences finies (dans la bande
passante nominale théorique du filtre).
Une autre forme de fonction de transfert, les filtres elliptiques. Ils présentent des zéros de
transmission à des fréquences finies. Exemple : Cauer. Applications typiques : en RTC.
f Filtres de Butterworth
-
ordre élevé si l’on veut une grande sélectivité (pb de réalisation)
pas d’ondulation dans la bande passante
temps de propagation de groupe # constant (déphasage quasi linéaire)
f Filtre de Tchebycheff
-
ordre plus petit pour une grande sélectivité
si l’ordre est n, il présente n ondulations dans la bande passante
temps de propagation de groupe non constant (déphasage non linéaire)
f Filtre de Bessel
-
coupure plus douce.
temps de propagation de groupe constant (déphasage linéaire)
minimisation des distorsions
f Filtre de Cauer
-
Filtre à coupure maximale
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40
4.2.3.1. Détermination d’une fonction de transfert de Butterworth
On cherche à obtenir une courbe dans la bande passante la plus plate possible : H ( p ) =
D ( p ) = p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a0
Rappel sur Laplace :
V ( p)
K
⇒ KV E ( p ) = p n + a n −1 p n −1 + ... + a1 p + a 0 VS ( p ) .
= S
H ( p) =
D( p ) VE ( p )
(
K
.
D( p )
)
⎡ d n x(t ) ⎤
Et on rappelle que TL ⎢
= p n X ( p) .
n ⎥
⎣ dt ⎦
La courbe de gain sera maximalement plate si on peut annuler le plus grand nombre de
D( p ) = p n + a0
dérivées possibles. On arrive donc à :
D ( jω ) = ( jω ) + a 0
n
D( jω ) = ω 2 n + a 0 on pose : a 0 = ω 0
2
2
D ( jω ) = ω 2 n + ω 0
2
D ( jω ) = ω 0
2
Avec x =
ω
ω0
H ( jω ) =
2n
2
H (x ) =
H (s ) =
1
1 + (− js )
2n
⎞
⎟ = ω 2n 1 + x 2n
0
⎟
⎠
(
)
1
=
2n
si s = jx alors x = − js
1 + x 2n
2n
⎞
⎟⎟
⎠
ω 0 (1 + x 2 n )
ω
p
=
on pose s = jx = j
(variable de Laplace normalisée)
ω0 ω0
K
1 + x 2n
1
2n
⎛ ⎛ω
⎜1 + ⎜
⎜ ⎜⎝ ω 0
⎝
2
⇒ H ( jx ) =
n
1
1 + (− j ) s
2n
=
2n
1
1 + (− 1) s 2 n
n
⎛ −b
⎞
ln⎜⎜10 10 − 1⎟⎟
⎠
Pour déterminer l’ordre du filtre : n ≥ ⎝
2. ln ( X 1 )
Application : Butterworth d’ordre 3
H (s ) =
2
1
. Pôles 1 − s 6 = 0 ⇒ s 6 = 1
1− s6
On pose s = e jθ ; donc on cherche e j 6θ = 1 = e 0
Donc il faut : 6θ = 0 + 2kπ soit θ =
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2kπ kπ
=
pour k ∈ [0;5]
6
3
41
p0 :
k =0 θ =0
p1 :
k =1 θ =
π
p3 :
3
2π
k=2 θ =
3
k =3 θ =π
p4 :
k=4 θ =
p2 :
p5 :
4π
3
5π
k =5 θ =
3
p0 =
cosθ + j sin θ
p1 =
cos
π
π
=1
p3 =
3
3
2π
2π
cos
+ j sin
3
3
cos π + j sin π
1
3
+ j
2
2
1
3
=− + j
2
2
= −1
p4 =
cos
4π
4π
+ j sin
3
3
5π
5π
cos
+ j sin
3
3
1
3
=− − j
2
2
1
3
=+ − j
2
2
p2 =
p5 =
+ j sin
=+
On doit choisir 3 pôles parmi ces 6 (car on doit avoir un ordre 3). On prend les pôles à partie
réelle négative.
D’où :
1
1
1
H (s ) =
=
=
(s − p3 )(s − p 2 )(s − p 4 )
⎞ (s + 1) s 2 + s + 1
⎞⎛
⎛
(s + 1)⎜⎜ s + 1 − j 3 ⎟⎟⎜⎜ s + 1 + j 3 ⎟⎟
2
2 ⎠⎝
2
2 ⎠
⎝
(
H (s ) =
)
1
s + 2s + 2s + 1
3
2
ω 03
ω
p
=
: H ( p) = 3
On dénormalise : s = jx = j
ω0 ω0
p + 2 p 2ω 0 + 2 pω 02 + ω 03
H (x ) =
1
pour ω = ω 0 , x = 1 , x 2 n = 1 et H (1) =
1 + x 2n
ont un gain de − 3db à ω = ω 0 .
1
2
: ∀ l’ordre, tous les Butterworth
On peut remarquer que quelque soit l’application, les filtres de Butterworth ont toujours la
même caractéristique pour un ordre donné. Il suffit donc de faire le calcul une fois pour toute
pour chaque ordre.
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Butterworth d’ordre 1 à 9 :
P1 = s + 1
P2 = s2 + 2 s + 1
P3 = s3 + 2 s2 + 2 s + 1
P4 = s4 + 2,613 s3 + 3,414 s2 + 2,613 s + 1
P5 = s5 + 3,236 1 s4 + 5,236 1 s3 + 5,236 1 s2 + 3,236 1 s + 1
P6 = s6 + 3,863 7 s5 + 7,464 1 s4 + 9,141 6 s3 + 7,464 1 s2 + 3,863 7 s + 1
P7 = s7 + 4,494 0 s6 + 10,098 s5 + 14,592 s4 + 14,592 s3 + 10,098 s2+ + 4,494 0 s + 1
P8 = s8 + 5,152 8 s7 + 13,137 s6 + 21,846 s5 + 25,688 s4 + 21,846 s3+ 13,137 s2 + 5,152 8 s + 1
P9 = s9 + 5,759 s8 + 16,582 s7 + 31,163 s6 + 41,986 s5 + 41,986 s4 + 31,163 s3+ 16,582 s2 + 5,759 s + 1
Remarque: on pourrait définir un filtre de Butterworth ayant un gain réglable dans le bande
1
passante en posant H ( x ) =
. Mais le table donné ci-dessus n’est donc plus valable
1 + ε 2 x 2n
que pour ε = 1 .
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42
4.2.3.2. Détermination d’une fonction de transfert de Chebycheff
Le but de ce filtre est d’avoir une meilleure approximation du filtre passe-bas idéal (coupure
très violente).
La fonction de transfert est de la forme :
H ( jx ) =
1
1 + ε 2 C n (x )
2
avec 0 < ε ≤ 1
Cn ( x ) est obtenu par récurrence :
C 0 (x ) = 1
C1 ( x ) = x
C n ( x ) = 2 xC n −1 ( x ) − C n − 2 ( x )
Si x = 1 : C 0 ( x ) = 1 , C1 ( x ) = 1 , C 2 ( x ) = 2 ⋅ 1 ⋅ C1 − C 0 = 1 ,…, C n ( x ) = 1 ⇒ H (1) =
1
1+ ε 2
Donc selon ε la gain à x = 1 varie de 0 à − 3db .
Pour déterminer les ondulations dans la bande passante ( 0 ≤ x ≤ 1 ) on fait un changement de
variable x = cos ϕ car ∃ϕ / x = cos ϕ .
C 0 (x ) = 1
C1 ( x ) = cos ϕ
C n ( x ) = cos nϕ
Après l’étude de ces fonctions, on arrive à la conclusion suivante : l’ordre du filtre est égal au
nombre de contact à tangente nulle (exclu x = 1 ) dans la bande d’ondulation (bande passante).
b
⎛
⎞
⎜ 10 −10 − 1 ⎟
⎟
arg ch⎜
a
−
⎜⎜
⎟
10 10 − 1 ⎟⎠
⎝
Pour déterminer l’ordre du filtre : n ≥
arg ch( X 1 )
Détermination de la fonction de transfert H ( jx ) =
1
1 + ε 2 C n (x )
2
1. on fixe ε (en fixant la bande d’ondulation)
2. on détermine C n ( x )
3. on résout 1 + ε 2 C n ( x ) =0
2
Pour fixer ε : si H (1) db = 20 log
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1
1+ ε
2
= − a db ( 0 < a < 3 ) alors ε = 10
a
10
−1
43
Exemple d’une fonction de transfert d’ordre 3 avec une ondulation à − 1db :
On a montré que pour x = 1 alors C n ( x ) = 1 et donc H (1) =
donne H (1) db = 20 log
1
1+ ε 2
C 0 (x ) = 1
= − 1db ⇒ ε = 10
1
10
1
1+ ε 2
. En décibel cela nous
− 1 ≈ 0,509
C1 ( x ) = x
C 2 ( x ) = 2 xC1 ( x ) − C 0 ( x ) = 2 x ⋅ x − 1 = 2 x 2 − 1
(
)
C 3 ( x ) = 2 xC 2 (x ) − C1 ( x ) = 2 x 2 x 2 − 1 − x = 4 x 3 − 3x
(
1 + ε 2 C n ( x ) = 0 ⇒ 1 + 0,509 2 ⋅ 4 x 3 − 3x
2
(
1 + 0,509 ⋅ 16 x − 24 x + 9 x
2
6
4
2
)= 0
)
2
=0
4,072 x 6 − 6,108 x 4 + 2,2905 x 2 + 1 = 0 = P( x )
On note notre polynôme P( x )
On obtient les 6 racines suivantes : {(± j 0,494 ) ; (0,966 ± j 0,247 ) ; (− 0,966 ± j 0,247 )}. Elles
les racines complexes sont toujours accompagnées de leur conjugué car le polynôme de départ
en réel. Ainsi :
P( x ) = ( x − j 0,494)( x + j 0,494 )
(x + 0,966 − j 0,247 )(x + 0,966 +
[
P(x ) = x 2 + (0,494)
2
j 0,247 )(x − 0,966 − j 0,247 )( x − 0,966 + j 0,247 )
] [(x − 0,966)
2
+ (0,247 )
2
] [(x + 0,966)
2
+ (0,247 )
2
]
P( x ) est le module au carré de polynôme en s = jx . Cherchons à obtenir les termes « jx »
P (s ) = [ jx + 0,494] [ j ( x − 0,966 ) + 0,247 ] [ j ( x + 0,966 ) + 0,247 ]
P(s ) = [ jx + 0,494][ jx − j 0,966 + 0,247][ jx + j 0,966 + 0,247]
P(s ) = [ jx + 0,494][ jx + 0,247 − j 0,966][ jx + 0,247 + j 0,966]
[
P(s ) = [ jx + 0,494] ( jx + 0,247 ) + (0,966)
Sachant que s = jx il vient :
[
P(s ) = [s + 0,494] [s
P(s ) = (s + 0,494) (s
2
P(s ) = [s + 0,494] (s + 0,247 ) + (0,966)
2
2
2
]
]
2
+ 0,494s + (0,247 ) + (0,966)
2
+ 0,494 s + 0,994
2
)
2
]
P(s ) = s + 0,494s + 0,994 s + 0,494s + 0,224s + 0,491
3
2
2
P(s ) = s + 0,988s + 1,238s + 0,491
Voilà notre polynôme caractéristique P(s )
3
2
Pour vérifier dans les table, on divise par 0,491 pour obtenir le terme d’ordre 0 en « +1 »
P(s )
3
2
= 2,0367 s + 2,012 s + 2,521s + 1
0,491
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Pour un filtre de Tchebycheff, le polynôme du dénominateur ne dépend pas que de l’ordre du
filtre mais aussi de ε , ce qui donne une infinité de solution. Il faudra donc refaire le calcul
pour chaque application, ou bien prendre une valeur plus petite que le ε nécessaire à
l’application. On donne ci-dessous les polynômes pour trois valeurs de ε .
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Tchebycheff d’ordre 2 à 7 :
Amax = 0,1dB ε = 0,152 62
P2 = 0,301 7 s2 + 0,715 8 s + 1
P3 = 0,610 5 s3 + 1,183 6 s2 + 1,605 2 s + 1
P4 = 1,206 9 s4 + 2,177 1 s3 + 3,170 5 s2 + 2,444 7 s + 1
P5 = 2,441 9 s5 + 4,258 6 s4 + 6,765 8 s3 + 5,853 1 s2 + 3,505 5 s + 1
P6 = 4,827 9 s6 + 8,266 2 s5 + 14,32 s4 + 13,42 s3 + 9,886 8 s2 + 4,353 6 s + 1
P7 = 9,767 7 s7 + 16,538 s6 + 31,095 s5 + 30,956 s4 + 26,423 s3 + 14,484 s2+ 5,487 s + 1
Amax = 0,5dB ε = 0,349 31
P2 = 0,659 5 s2 + 0,940 2 s + 1
P3 = 1,397 5 s3 + 1,750 6 s2 + 2,144 6 s + 1
P4 = 2,638 1 s4 + 3,158 9 s3 + 4,529 3 s2 + 2,705 3 s + 1
P5 = 5,589 s5 + 6,553 s4 + 10,38 s3 + 7,319 s2 + 4,205 8 s + 1
P6 = 10,552 s6 + 12,232 s5 + 22,918 s4 + 16,776 s3 + 12,366 s2 + 4,563 s + 1
P7 = 22,355 s7 + 25,736 s6 + 53,937 s5 + 41,792 s4 + 36,84 s3 + 16,89 s2+ 6,306 s + 1
Amax = 1dB ε = 0,508 84
P2 = 0,907 s2 + 0,995 7 s + 1
P3 = 2,035 3 s3 + 2,011 6 s2 + 2,520 6 s + 1
P4 = 3,628 s4 + 3,456 8 s3 + 5,274 9 s2 + 2,694 2 s + 1
P5 = 8,1415 s5 + 7,627 1 s4 + 13,75 s3 + 7,933 s2 + 4,726 4 s + 1
P6 = 14,512 s6 + 13,47 s5 + 28,02 s4 + 17,445 s3 + 13,632 s2 + 4,456 s + 1
P7 = 32,566 s7 + 30,06 s6 + 70,866 s5 + 46,53 s4 + 44,21 s3 + 17,866 s2+ 6,958 4 s + 1
Comportement harmonique :
- pente inférieure à la pente asymptotique d’un filtre du même ordre en x = 1
- très mauvais comportement en signaux sinusoïdaux (temps de groupe non constant)
Comportement impulsionel : fort dépassement.
On l’emploie souvent à fréquence fixe.
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45
4.2.3.3. Détermination d’une fonction de transfert de Bessel
Son principal avantage est sa phase qui est linéaire : pas de déformation pour les signaux non
sinusoïdaux.
Forme du filtre : H ( p ) = e −t0 p
Pour déterminer le H (s ) (ou H ( p ) ) à utiliser, on fait un développement limité de coth (s )
(transformation de e s ) puis une division polynomial.
Une autre méthode plus simple et plus rapide est d’utiliser la relation de récurrence.
B0 (s ) = 1
B1 (s ) = 1 + s
Bn (s ) = (2n − 1)Bn −1 (s ) − s 2 Bn − 2 (s )
Comme pour Butterworth, on peut remarquer que quelque soit l’application, les filtres de
Bessel ont toujours la même caractéristique pour un ordre donné. Il suffit donc de faire le
calcul une fois pour toute pour chaque ordre.
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Bessel d’ordre 1 à 8 :
P1 = s + 1
P2 = s2 + 3 s + 3
P3 = s3 + 6 s2 + 15 s + 15
P4 = s4 + 10 s3 + 45 s2 + 105 s + 105
P5 = s5 + 15 s4 + 105 s3 + 420 s2 + 945 s + 945
P6 = s6 + 21 s5 + 210 s4 + 1 260 s3 + 4 725 s2 + 10 395 s + 10 395
P7 = s7 + 28 s6 + 378 s5 + 3 150 s4 + 17 325 s3 + 62 370 s2+ 135 135 s + 135 135
P8 = s8 + 36 s7 + 630 s6 + 6 930 s5 + 51 975 s4 + 270 270 s3+ 945 945 s2 + 2 027 025 s + 2 027 025
P9 = s9 + 45 s8 + 990 s7 + 13 860 s6 + 135 135 s5 + 945 945 s4 + 4 729 726 s3+ 16 216 202 s2 + 34 459 432 s + 34 459 432
Pn = (2n-1) Pn-1 +s² Pn-2
Comportement harmonique :
- peu de distorsion en non-sinus
- moins efficace qu’un Butterworth dans la bande atténuée
Comportement impulsionel : très bon comportement
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46
4.2.3.4. Comparaison des réponses de plusieurs types de filtre
La figure suivante représente les affaiblissements en bande atténuée et en bande passante de
cinq filtres analytiques d’ordre 5, avec Amin = 40 dB et Amax = 1 dB.
La figure suivante représente les affaiblissements de ces mêmes types de filtres en choisissant
leur ordre n de façon à respecter le même gabarit d’affaiblissement : Amax = 1 dB, Amin = 40
dB, 1/k = 2.
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47
4.2.4. Déterminations des éléments du filtre passe-bas universel
Une fois déterminé H (s ) répondant aux caractéristiques, il faut maintenant déterminer les
éléments qui vont constituer la structure de ce filtre passe-bas « universel » (transformé de
notre filtre d’application vers ce filtre passe-bas).
Il e x i s t e plusieurs structures de filtre passif, nous n’étudierons et n’utiliserons que les
filtres en structure en T.
4.2.4.1. Structure en T et matrice admittance
On détermine alors le paramètre admittance Y 22 =(I 2 /U 2 ) pour U 1 =0.
On rappelle que la matrice admittance (quadripôle équivalent du filtre) est de la forme :
⎛ I 1 ⎞ ⎛ Y11 Y12 ⎞⎛ V1 ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ I 2 ⎟ ⎜ Y21 Y22 ⎟⎜V2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
Pour un filtre passif, on a toujours : Y12 = Y21
On va charger notre filtre avec l’impédance caractéristique R0 (donc 1 puisque nous sommes
Y21
V ( s)
sur une structure normalisée) et on arrive ainsi à V 2 ( s ) = − I 2 ( s ) ⇒ 2
=−
V 1 ( s)
1 + Y22
On montre que pour H (s ) =
( )
V 2 ( s)
1
1
=
=
2
V 1 ( s ) (s − p 0 )(s − p1 )....(s − p n ) N (s ) + s ⋅ D(s 2 )
( )
avec N s 2 : polynôme regroupant toutes les puissances paires et s ⋅ D s 2 polynôme
regroupant toutes les puissances impaires de (s − p 0 )(s − p1 )....(s − p n ) :
1
et
- Y12 = Y21 = −
s ⋅ D s2
-
Y22 =
N (s )
s ⋅ D (s 2 )
( )
2
4.2.4.2. Utilisation
V 2 (s)
1
on
=
V 1 ( s ) (s − p 0 )(s − p1 )....(s − p n )
sépare les puissances paires et impaires et on détermine ainsi Y22 . Par divisons polynomiales
A partir de la fonction de transfert du filtre H (s ) =
on peut déterminer toutes les éléments de notre filtre de structure en « T ».
On va distinguer 2 cas possibles : le cas ou l’ordre du filtre est pair ou s’il est impair.
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48
4.2.4.2.1.Filtres d’ordre pair
Dans le cas d’un filtre d’ordre pair, Y22 est formée par un quotient de polynômes
qui est le rapport entre le polynôme formé à partir de la fonction de transmission
d’exposant pair divisé par le polynôme formé à partir de la fonction de transmission
d’exposant impair.
Y22 =
polynôme formé à partir de la fonction de transmission d ' exp osant pair
polynôme formé à partir de la fonction de transmission d ' exp osant impair
En effectuant, les divisions successives de polynômes il vient :
Y22 (s ) = γ n s +
1
λ n −1 s +
1
γ n−2 s +
1
...λ3 s +
1
γ 2s +
1
λ1 s
Le filtre normalisé devient ainsi :
4.2.4.2.2.Filtres d’ordre impair
Dans le cas d’un filtre d’ordre impair, Y22 est formée par un quotient de
polynômes qui est le rapport entre le polynôme formé à partir de la fonction de
transmission d’exposant pair divisé par le polynôme formé à partir de la fonction de
transmission d’exposant impair.
Y22 =
polynôme formé à partir de la fonction de transmission d ' exp osant pair
polynôme formé à partir de la fonction de transmission d ' exp osant impair
En effectuant, les divisions successives de polynômes il vient :
Y22 (s ) =
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1
λ n −1 s +
1
γ n−2 s +
1
...λ3 s +
1
γ 2s +
1
λ1 s
49
or comme l’ordre du polynôme d’exposant impair est supérieur à celui de l’exposant
pair, il vient que γ n = 0 . Le filtre normalisé devient ainsi :
4.2.4.3. Récapitulatif
Les calculs précédents étant toujours identiques, il est possible de définir des
abaques ou toutes les valeurs des γ et λ sont donnés pour un certain type de réponse
de filtre. Ici, nous donnons le tableau récapitulatif des filtres de Butterworth jusqu'à
l’ordre 5.
Ordre
Polynôme
en s
Y22 décomposé
s+1
1
s
Filtre normalisé
2
1
1
2
3
4
5
s2
+ 2 s
+1
s3
+ 2 s2
+2s
+1
s4
+ 2,613 s3
+ 3,414 s2
+ 2,613 s
+1
s5
+ 3,236 1 s4
+ 5,236 1 s3
+ 5,236 1 s2
+ 3,236 1 s
+1
1
1
2
1
2
1
1
0,707 s +
1,414 s
1,414
1
0,5s +
2
1
1
0,5
1
2
1
1,3331
2
1
1,082s +
1
2
1
1,5
1
1,333s +
1,5s
0,383s +
1
2
0,7071
2
2
1
1
2
1
1,531
1
1,577 s +
1,531s
1,082
1,5771
2
1
2
1
0,3831
2
1
2
1
1
0,309s +
1
0,894s +
1,381s +
2
1
1,546
1,6941
2
1
1,694s +
2
1
1,381
0,309
0,8941
2
1
1,546s
4.2.5. Dénormalisation
Il faut dans un premier temps remplacer les λn et les γ n du filtre normalisé passe bas
par les λ n et les γ n du filtre normalisé considéré, ainsi un λ n du filtre normalisé passe bas
devient pour un filtre passe bande une inductance de valeur ( λ n ∆x ) en série avec une
capacité de valeur ( ∆x λ n ), il faut en faire de même pour les capacités,…
Une fois le filtre normalisé considéré réalisé, il faut remplacer les valeurs de λn et γ n
par leurs valeurs réelles qui sont respectivement : Ln = Lu .λ n et C n = C u .γ n
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
50
1
2
1
4.3. Filtres actif
L’inconvénient d’un filtre actif est qu’il faut l’alimenter et se contenter de signaux
d’amplitude limitée par les AIL. Le niveau de bruit et la présence de tension d’offset peuvent
aussi limiter les domaines d’applications.
Son avantage réside sur la possibilité de cascader plusieurs cellules élémentaires en
n’ayant pas le même problème de charge qu’un filtre passif (avec un filtre actif, Re est élevé
et Rs faible). On peut ainsi former un filtre d’un gabarit plus complexe.
Comme pour les filtres passifs, il existe différent type de structure. Citons par
exemple, les structures à quadripôles et amplificateur opérationnel, les structures de Rauch,
les structures de Sallen et Key, les structures à girateur, à impédance négative et à variable
d’état,…
4.3.1. Dénormalisation
Contrairement aux filtres passifs, la fonction de transfert des filtres actifs est
indépendante de ce que l’on connecte à ces filtres. Ainsi, la réalisation des filtres ce fait en
cascadant des cellules indépendantes du premier ou du second ordre.
Après avoir obtenu, la fonction de transfert équivalente passe bas normalisé, il suffit
de remplacer la variable de Laplace normalisée ‘s’ ou ‘p’ par le changement de variable décrit
dans le tableau n°1, en faisant attention que la valeur de remplacement est normé et que ‘s’ ou
s
p
jω
‘p’ représente
=
=
ω0
ω0
ω0
Par exemple pour un passe bande, il faut changer ‘p’ par :
1 ⎛
1 ⎞ 1 ⎛ jω ω 0 ⎞
⎜
⎟ ou ω = 2πf
⎜⎜ p + ⎟⎟ =
+
∆x ⎝
p ⎠ ∆x ⎜⎝ ω 0
jω ⎟⎠
Une fois ces changements de variables effectués, il suffit de factoriser les polynômes en
polynômes de premier ou de second ordre.
Exemple sur les polynôme de Butterworth :
Ordre n
Cellule
2
3
4
5
6
7
8
9
Les filtres analogiques
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1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Décomposition de H ( s ) = V1 V2
s2 + 1,414 2 s + 1
s2 + 1,000 0 s + 1
s+1
s2 + 1,847 7 s + 1
s2 + 0,765 3 s + 1
s2 + 1,618 0 s + 1
s2 + 0,618 0 s + 1
s+1
s2 + 1,931 8 s + 1
s2 + 1,414 2 s + 1
s2 + 0,517 6 s + 1
s2 + 1,801 9 s + 1
s2 + 1,246 9 s + 1
s2 + 0,445 0 s + 1
s+1
s2 + 1,961 5 s + 1
s2 + 1,662 9 s + 1
s2 + 1,111 1 s + 1
s2 + 0,390 1 s + 1
s2 + 1,879 3 s + 1
s2 + 1,532 0 s + 1
s2 + 1,000 0 s + 1
s2 + 0,347 2 s + 1
s+1
51
4.3.2. Structure du premier ordre
4.3.2.1. Passe-bas inverseur
V2
R
1
=− 2 ⋅
V1
R1 1 + jR2 Cω
qui est bien de la forme :
1
,
T=A
ω
1+ j
ωc
R
1
avec A = − 2 et ω c =
R1
R2 C
V1
V2
4.3.2.2. Passe-bas non inverseur
T=
V2
V1
=
R1 + R2
1
×
R1
1 + jRCω
R2
R
qui est bien de la forme :
1
T=A
,
ω
1+ j
V1
+
C
R1
V2
ωc
avec A =
1
R1 + R2
et ωc =
R1
RC
4.3.2.3. Passe-haut
R
jR1Cω
Vs
=− 2 ⋅
Ve
R1 1 + jR1Cω
qui est bien de la forme :
ω
ωc
T=A
ω
1+ j
ωc
j
avec A = −
V1
V2
R2
1
et ωc =
R1
R1C
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
52
4.3.3. Structure du deuxième ordre
4.3.3.1. Passe-bas
Vs
1
=−
Ve
1 + 2 jRC 2ω + jR C1C 2 ω
(
)
2
qui est bien de la forme :
A
T=
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
avec A = −1 et ω c =
1
R C1C 2
C2
C1
et m =
V1
V2
4.3.3.2. Passe-haut
Vs
1
=−
Ve
1 + 2 jCR1ω + jC R1 R2 ω
(
)
2
qui est bien de la forme :
j
T = A⋅
ω
ω0
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
avec A = −1 et ω c =
1
C R1 R2
2
V1
V2
R1
R2
et m =
4.3.3.3. Passe-bande
jCR2ω
Vs
=−
Ve
1 + 2 jCR1ω + jC R1 R2 ω
(
)
2
qui est bien de la forme :
2mj
T = A⋅
ω
ω0
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
2
R
1
avec A = − 2 et ω c =
et
2R1
C R1 R2
m=
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
V1
V2
R1
R2
53
4.3.3.4. Réjecteur
(1 + jCRω )
Vs
=−
2
Ve
1 + jCRω + ( jCRω )
2
qui est bien de la forme :
T = A⋅
⎛ ω ⎞
⎟⎟
1 + ⎜⎜ j
⎝ ω0 ⎠
2
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2mj
+⎜ j
ω 0 ⎜⎝ ω 0 ⎟⎠
1
avec A = −1 et ω c =
et m = 0,5
CR
V1
V2
4.3.3.5. Structure de Rauch
La structure de Rauch permet de réaliser tout les types de filtres (passe bas, passe haut, passe
bande) hormis les filtres réjecteur de bande (coupe bande).
Cette famille de filtres est décrite par le schéma de la figure suivante sur lequel Y1 ,
Y2 , Y3 , Y4 et Y5 sont des admittances.
Y5
Y4
Y1
Y3
A
-
B
V1
V
+
Y2
V2
La formule de Millman, appliquée aux points A et B, conduit aux équations
Y1V1 + Y3 VB + Y4 V2
Y1V1 + Y4 V2
⎧
=
⎪V A =
Y1 + Y2 + Y3 + Y4
Y1 + Y2 + Y3 + Y4
⎪
⎨
⎪V = 0 = Y3 V A + Y5 V2 ⇒ Y V = −Y V
3 A
5 2
⎪ B
Y3 + Y5
⎩
Par élimination de VA il vient :
T=
V2
V1
=−
(
puisque VB = 0
Y1Y3
Y3 Y4 + Y5 Y1 + Y2 + Y3 + Y4
)
1⎞
⎛
Les admittances Y1 , Y2 , Y3 , Y4 et Y5 sont réalisées pas des résistances ⎜ Y = ⎟ ou par
R⎠
⎝
des condensateurs (Y = jCω ) .
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
54
4.3.3.5.1. Structure passe-bas de Rauch
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme:
T=
A
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c ⎟⎠
2
Le numérateur doit être réel, on va donc prendre Y1 et Y3 réel.
Au dénominateur, Y3 Y4 , Y5 Y1 et Y5 Y3 peuvent être réels ou complexes. Il ne reste
2
⎛ ω⎞
que Y5 Y2 et Y5 Y4 pour obtenir le terme en ⎜⎜ j ⎟⎟ . Nous arrivons donc à prendre
⎝ ωc ⎠
obligatoirement Y5 complexe. Comme nous devons avoir un terme réel au
dénominateur, il ne reste comme solution que Y4 réel pour avoir Y3 Y4 réel. C’est
2
⎛ ω⎞
donc Y5 Y2 qui va faire le terme ⎜⎜ j ⎟⎟ , donc Y2 doit être complexe.
⎝ ωc ⎠
On arrive à :
- Y1 Y3 et Y4 sont des résistances de valeur respective : R1 , R3 et R2 .
- Y2 et Y5 sont des condensateurs de valeur respective : C2 et C1 .
On obtient comme fonction de transfert :
1
1
⋅
T =−
R1 .R3
⎛ 1
⎞
1
1
1
+ jC1ω ⎜⎜ +
+
+ jC 2ω ⎟⎟
R2 .R3
⎝ R1 R2 R3
⎠
Dans le cas particulier ou toutes les résistances sont égales à R, alors
1
T =−
2
1 + jω 3RC1 + jωR C1C 2
(
)
par identification on obtient :
⎧
⎪
⎪ A = −1
⎪
⎪
⎨ωc =
R
⎪
⎪
⎪m = 3
⎪⎩
2
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
1
C1C2
C1
C2
55
4.3.3.5.2. Structure passe-haut de Rauch
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme :
T=A
⎛ ω ⎞
⎜⎜ j
⎟⎟
⎝ ωc ⎠
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c ⎟⎠
2
Par le même raisonnement que précédemment :
2
⎛ ω⎞
- c’est le terme Y1Y3 qui donne le terme ⎜⎜ j ⎟⎟ , donc Y1 et Y3 sont complexes
⎝ ωc ⎠
2
⎛ ω⎞
- c’est le terme Y3 Y4 qui donne le terme ⎜⎜ j ⎟⎟ , donc Y3 et Y4 sont complexes
⎝ ωc ⎠
- il ne reste que Y2 et Y5 pour donner le terme réel, donc Y2 et Y5 sont réelles.
On arrive à :
- Y1 Y3 et Y4 sont des condensateurs de valeur respective : C1 , C3 et C2 .
- Y2 et Y5 sont des résistances de valeur respective : R2 et R1 .
On obtient comme fonction de transfert :
C1C3 ( jω )
2
T =−
⎤
1 ⎡1
2
+ jω (C1 + C2 + C3 )⎥ + C2C3 ( jω )
⎢
R1 ⎣ R2
⎦
Dans le cas particulier ou toutes les capacités sont égales à C, alors
T =−
( jωC
R1 R2
(
)
2
1 + jω 3CR2 + jωC R1 R2
)
2
par identification on obtient :
⎧
⎪
⎪ A = −1
⎪
⎪
⎨ω c =
C
⎪
⎪
⎪m = 3
⎪⎩
2
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
1
R1 R2
R2
R1
56
4.3.3.5.3. Structure passe-bande de Rauch
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme :
2 jm
T=A
ω
ωc
ω ⎛ ω
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c
⎞
⎟⎟
⎠
2
Par le même raisonnement que précédemment :
- c’est le terme Y1Y3 qui donne le terme 2 jm
ω
, donc Y1 ou Y3 est complexe.
ωc
Si on prend Y3 complexe et Y1 réel, on arrive à :
Y5 forcement réel car il faut un terme réel au dénominateur, c’est donc Y3 Y4 qui
2
⎛ ω⎞
donne le terme ⎜⎜ j ⎟⎟ , donc Y4 est complexe. On peut prendre Y2 ou Y1 pour
⎝ ωc ⎠
faire le terme Y2 Y5 ou Y1 Y5 réel , donc par exemple ou prend Y1 réel (déjà prix
précédemment) et Y2 au choix .
On arrive à :
- Y1 , Y2 et Y5 sont des résistances de valeur respective : R1 , R2 et R3 .
- Y3 et Y4 sont des condensateurs de valeur respective : C2 et C1 .
On obtient comme fonction de transfert :
T =−
jC 2ω
R1
⎡1
⎤
1
2
+ jω (C1 + C 2 )⎥ + C1C 2 ( jω )
⎢ +
⎣ R1 R2
⎦
Dans le cas particulier ou toutes les capacités sont égales à C, alors
T =−
1
R3
R3
2 R1
2 jω
1 + 2 jω
R1 R2
C
R1 + R2
R1 R2
RR
2
C + ( jCω ) R3 1 2
R1 + R2
R1 + R2
par identification on obtient :
⎧
R
⎪A = − 3
2 R1
⎪
⎪
1 R1 + R2
⎪
⎨ω c =
C R1 R2 R3
⎪
⎪
R1 R2
⎪m =
⎪⎩
R3 (R1 + R2 )
Les filtres analogiques
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57
4.3.3.6. Structure de Sallen-key
La structure de Sallen-key permet de réaliser tout les types de filtres (passe bas, passe haut,
passe bande) hormis les filtres réjecteur de bande (coupe bande).
Cette famille de filtres est décrite par le schéma de la figure suivante sur lequel Y1 ,
Y2 , Y3 et Y4 sont des admittances.
L’amplificateur de tension K possède des caractéristiques idéales : impédances d’entrée
infinie, impédance de sortie nulle. Il peut être réalisé à l’aide d’un AOP monté en
amplificateur non-inverseur.
K=
Vs
R
= 1+ 2
Ve
R1
La formule de Millman, appliquée aux points A et B, conduit aux équations
Y1V1 + Y2 V2 + Y3 VB
⎧
⎪V A =
Y1 + Y2 + Y3
⎪
⎨
⎪V = Y3 V A ⇒ V = V Y3 + Y4
A
B
⎪ B Y +Y
Y3
3
4
⎩
Par élimination de VA et en écrivant que V2 = K ⋅ VB il vient :
T=
V2
V1
=
(Y + Y )(Y
1
2
3
K Y1 Y3
)
(
+ Y4 + Y3 Y4 − K Y2
)
1⎞
⎛
Les admittances Y1 , Y2 , Y3 et Y4 sont réalisées pas des résistances ⎜ Y = ⎟ ou par des
R⎠
⎝
condensateurs (Y = jCω ) .
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
58
4.3.3.6.1. Structure passe-bas de Sallen-key
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme:
T=
A
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c ⎟⎠
2
Le numérateur doit être réel, on va donc prendre Y1 et Y3 réel.
Au dénominateur, il ne reste que le terme Y2 Y4 qui permette d’obtenir le terme en
2
⎛ ω⎞
⎜⎜ j ⎟⎟ , tous les autres termes étant facteur de Y1 ou Y3 .
⎝ ωc ⎠
On arrive à :
- Y1 et Y3 sont des résistances de valeur respective : R1 et R2 .
- Y2 et Y4 sont des condensateurs de valeur respective : C2 et C1 .
On obtient comme fonction de transfert :
T=
K
(1 + jR1C 2ω )(1 + jR2 C1ω ) + jR1ω (C1 − KC 2 )
Dans le cas particulier ou les résistances R1 et R2 sont égales à R, alors
K
T=
2
1 + jRω [2C1 + C 2 (1 − K )] + jRω C1C 2
(
)
par identification on obtient :
⎧
⎪
⎪A = K
⎪
1
⎪
⎨ω c =
R C1C 2
⎪
⎪
⎪m = C1 + 1 − K
⎪⎩
C2
2
Les filtres analogiques
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C2
C1
59
4.3.3.6.2. Structure passe-haut de Sallen-key
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme :
T=A
⎛ ω ⎞
⎜⎜ j
⎟⎟
⎝ ωc ⎠
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c ⎟⎠
2
Nous pouvons appliquer la même méthode que celle vue pour le passe-bas, ou bien
effectuer une transposition de composants comme pour un simple circuit RC et CR
On effectue les transpositions :
Passe-bas
Passe-haut
Structure
On arrive à :
- Y1 et Y3 sont des condensateurs de valeur respective : C1 et C2 .
- Y2 et Y4 sont sont des résistances de valeur respective : R2 et R1 .
On obtient comme fonction de transfert :
2
KC1C 2 R1 R2 ( jω )
T=
(1 + jR2 C1ω )(1 + jR1C 2ω ) + jC 2ω (R2 − KR1 )
par identification on obtient :
⎧
⎪
⎪A = K
⎪
1
⎪
⎨ω c =
R1 R2 C1C 2
⎪
⎪
1
⎪m =
[R2 (C1 + C 2 ) + R1C 2 (1 − K )]
2 R1 R2 C1C 2
⎪⎩
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
60
4.3.3.6.3. Structure passe-bande de Sallen-key
On désire obtenir une fonction de transfert de la forme :
2 jm
T=A
ω
ωc
2
ω ⎛ ω ⎞
⎟
1 + 2 jm
+⎜ j
ω c ⎜⎝ ω c ⎟⎠
En prenant Y1 = 1 R1 , Y2 = 1 R2 , Y3 = jCω et Y4 = jCω + 1 R2 (résultant de la mise
en parallèle d’une résistance et d’un condensateur, on arrive à la forme suivante :
⎡
R1 ⎤
jR2 Cω ⎢2 + (1 − K )
⎥
R1 + R2 ⎦
KR2
⎣
⋅
T=
2 R2 + R1 (3 − K )
⎡
R1
R1 ⎤
2
1 + jR2 Cω ⎢2 + (1 − K )
⎥ + ( jR2 Cω )
R1 + R2
R1 + R2 ⎦
⎣
par identification on obtient :
⎧
KR2
⎪A =
2 R2 + R1 (3 − K )
⎪
⎪⎪
R
1
1+ 2
⎨ω c =
R2 C
R1
⎪
⎪
2 R2 + R1 (3 − K )
⎪m =
2 R1 (R1 + R2 )
⎪⎩
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
61
5. MEMO BUTTERWORTH - TCHEBYCHEFF - BESSEL
Filtres de Butterworth
Filtres de Tchebycheff
Avantage :
• courbe de réponse très plate à
l’origine,
amplitude régulière en bande passante
• bon temps de propagation de
groupe
• calculs faciles
Avantage :
• de tous les polynomiaux, ce sont
ceux qui présentent le front de coupure
la plus raide pour un ordre de filtre
donné.
Inconvénient :
• raideur de la coupure moyenne
• l’atténuation en bande passante
notée sur les gabarits normalisés ‘a’ est
toujours égale à – 3 dB ( a = -3 dB ).
Fonction de Butterworth :
1
T (x ) =
1 + x 2n
ou n est l’ordre du filtre.
Détermination de l’ordre du filtre
⎞
⎛ −b
ln⎜⎜10 10 − 1⎟⎟
⎠
n≥ ⎝
2. ln ( X 1 )
Inconvénient :
• ondulation en bande passante
• temps de propagation de groupe non
constant en bande passante.
Fonction de Tchebycheff :
1
T (x ) =
1 + ε 2 C n2 ( x)
avec C 0 ( x) = 1 ; C1 ( x) = x ;
et C n +1 ( x) = 2.x.C n ( x) − C n −1 ( x)
Détermination de l’ordre du filtre :
b
⎛
⎞
⎜ 10 −10 − 1 ⎟
⎟
arg ch⎜
a
−
⎜⎜
⎟⎟
10
−
10
1
⎝
⎠
n≥
arg ch( X 1 )
Deux méthodes sont possibles pour déterminer la fonction de transfert de notre
filtre : soit à partir des formules données dans le tableau précédent, soit à partir d’abaque et
de tableaux.
La fonction de transfert doit être déterminée en fonction du type de réponse choisie.
Vous trouverez ci après les fonctions de transmission (inverse des fonctions de transfert) des
filtres de Butterworth, de Tchebycheff et de Bessel.
Les filtres analogiques
CNAM 2006-2007 LD-P
62
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Butterworth d’ordre 1 à 9 :
P1 = s + 1
P2 = s2 + 2 s + 1
P3 = s3 + 2 s2 + 2 s + 1
P4 = s4 + 2,613 s3 + 3,414 s2 + 2,613 s + 1
P5 = s5 + 3,236 1 s4 + 5,236 1 s3 + 5,236 1 s2 + 3,236 1 s + 1
P6 = s6 + 3,863 7 s5 + 7,464 1 s4 + 9,141 6 s3 + 7,464 1 s2 + 3,863 7 s + 1
P7 = s7 + 4,494 0 s6 + 10,098 s5 + 14,592 s4 + 14,592 s3 + 10,098 s2+ + 4,494 0 s + 1
P8 = s8 + 5,152 8 s7 + 13,137 s6 + 21,846 s5 + 25,688 s4 + 21,846 s3+ 13,137 s2 + 5,152 8 s + 1
P9 = s9 + 5,759 s8 + 16,582 s7 + 31,163 s6 + 41,986 s5 + 41,986 s4 + 31,163 s3+ 16,582 s2 + 5,759 s + 1
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Bessel d’ordre 1 à 8 :
P1 = s + 1
P2 = s2 + 3 s + 3
P3 = s3 + 6 s2 + 15 s + 15
P4 = s4 + 10 s3 + 45 s2 + 105 s + 105
P5 = s5 + 15 s4 + 105 s3 + 420 s2 + 945 s + 945
P6 = s6 + 21 s5 + 210 s4 + 1 260 s3 + 4 725 s2 + 10 395 s + 10 395
P7 = s7 + 28 s6 + 378 s5 + 3 150 s4 + 17 325 s3 + 62 370 s2+ 135 135 s + 135 135
P8 = s8 + 36 s7 + 630 s6 + 6 930 s5 + 51 975 s4 + 270 270 s3+ 945 945 s2 + 2 027 025 s + 2 027 025
P9 = s9 + 45 s8 + 990 s7 + 13 860 s6 + 135 135 s5 + 945 945 s4 + 4 729 726 s3+ 16 216 202 s2 + 34 459 432 s + 34 459 432
Pn = (2n-1) Pn-1 +s² Pn-2
Fonctions de transmission H ( s ) = V1 V2 des filtres de Tchebycheff d’ordre 2 à 7 :
Amax = 0,1dB ε = 0,152 62
P2 = 0,301 7 s2 + 0,715 8 s + 1
P3 = 0,610 5 s3 + 1,183 6 s2 + 1,605 2 s + 1
P4 = 1,206 9 s4 + 2,177 1 s3 + 3,170 5 s2 + 2,444 7 s + 1
P5 = 2,441 9 s5 + 4,258 6 s4 + 6,765 8 s3 + 5,853 1 s2 + 3,505 5 s + 1
P6 = 4,827 9 s6 + 8,266 2 s5 + 14,32 s4 + 13,42 s3 + 9,886 8 s2 + 4,353 6 s + 1
P7 = 9,767 7 s7 + 16,538 s6 + 31,095 s5 + 30,956 s4 + 26,423 s3 + 14,484 s2+ 5,487 s + 1
Amax = 0,5dB ε = 0,349 31
P2 = 0,659 5 s2 + 0,940 2 s + 1
P3 = 1,397 5 s3 + 1,750 6 s2 + 2,144 6 s + 1
P4 = 2,638 1 s4 + 3,158 9 s3 + 4,529 3 s2 + 2,705 3 s + 1
P5 = 5,589 s5 + 6,553 s4 + 10,38 s3 + 7,319 s2 + 4,205 8 s + 1
P6 = 10,552 s6 + 12,232 s5 + 22,918 s4 + 16,776 s3 + 12,366 s2 + 4,563 s + 1
P7 = 22,355 s7 + 25,736 s6 + 53,937 s5 + 41,792 s4 + 36,84 s3 + 16,89 s2+ 6,306 s + 1
Amax = 1dB ε = 0,508 84
P2 = 0,907 s2 + 0,995 7 s + 1
P3 = 2,035 3 s3 + 2,011 6 s2 + 2,520 6 s + 1
P4 = 3,628 s4 + 3,456 8 s3 + 5,274 9 s2 + 2,694 2 s + 1
P5 = 8,1415 s5 + 7,627 1 s4 + 13,75 s3 + 7,933 s2 + 4,726 4 s + 1
P6 = 14,512 s6 + 13,47 s5 + 28,02 s4 + 17,445 s3 + 13,632 s2 + 4,456 s + 1
P7 = 32,566 s7 + 30,06 s6 + 70,866 s5 + 46,53 s4 + 44,21 s3 + 17,866 s2+ 6,958 4 s + 1
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BIBLIOGRAPHIE
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