Informatique : Langage Python J Flottants : 3.14159, 2.014e10, a+b, a*b , a/b , a**b (exponentiation), max(a,b), abs(a) Remarque : Pour chaque nombre ‡ottant (en précision usuelle, dite double-précision), 52 bits sont utilisés pour stocker la mantisse, 1 bit pour le signe et 11 bits pour la puissance, donc au total 64 bits (c’est-à-dire 8 octets). J Entiers : a//b et a%b renvoient le quotient et le reste de a par b. Par exemple, n%2 == 0 ssi n est pair. Si x est un ‡ottant, int(x) renvoie la partie entière de x (à distinguer de floor(x) qui renvoie un ‡ottant). Il faut 1 octet (8 bits) pour stocker un entier compris compris entre 0 et 255 = 28 (rgb) de taille 1000 1. Ainsi, une image 2D en 3 couleurs 1000 où l’intensité des couleurs est comprise entre 0 et 255 demande 3 MégaOctets. J Booléens : True , False (avec majuscules) , and , or , not , a==b , a!=b Remarque : En Python, toutes les valeurs en tant que booléens valent True sauf la constante False, la constante None, la constante 0, la liste vide [ ], le tuple vide (). Exemple : while L équivaut à while L != [] J Intervalles entiers : range(a,b,h) représente les entiers x = a + kh, avec k entier tel que x 2 [a; b[: Par défaut, la valeur de h est 1 ; range(n) équivaut à range(0,n). Exemple : for i in range(n) ; for i in range(n-1,-1,-1) Listes La structure de données la plus utilisée en Python est la liste. Les listes en Python sont des tableaux dynamiques. J Dé…nitions d’une liste : a = [1,2,3,’toto’] J Longueur de la liste : len(a) renvoie la longueur n de la liste (c’est-à-dire le nombre d’éléments) J Listes dé…nies par compréhension : [ f(i) for i in range(n)] J Obtention d’un élément : a[i] renvoie l’élément d’indice i dans la liste, pour 0 i n 1: Modi…er la valeur d’un élément : a[i] = a[i] + 1. Ces opérations se font en temps constant (en moyenne). J Appartenance d’un élément à une liste :(x in a). J Concaténation de deux listes : a + b, qui crée une nouvelle liste en O(n) opérations, où n longueur de a J Pour dé…nir la liste a contenant n zéros : a = [0]*n ; a = [0]*n ; a = [0 for i in range(n)] Opérations orientées-objets sur les listes ! utilisation dans les procédures pour modi…er une liste J A¤ectation des éléments : a[i] = ... , avec 0 i < n, où n est la longueur de a. J Ajout d’un élément x à la …n de la liste a : a.append(x J Insertion ou suppression d’un élément x en position i : a.insert(i,x), del a[i] J Suppression et a¤ectation d’un élément : a.pop(i) supprime le i-ième élément et renvoie sa valeur. La valeur par défaut de i est le dernier indice : a.pop() supprime le dernier élément de la liste. Autres objets classiques en Python J Tuples : Le cas classique est celui des couples : (a,b) noté aussi a,b. De même les triplets (a,b,c), etc. Les tuples ne sont pas mutables : On accède aux éléments comme pour les listes, mais on ne peut pas les modi…er. L’a¤ectation directe par éléments est possible dans les tuples : (x,y,z) = (1,2,3) Ainsi, pour échanger les valeurs de deux variables, il su¢ t donc de considérer : (x,y) = (y,x). J Chaînes de caractères (string) : Chaîne de caractère : ’coco’ ou "coco" ; "c" représente un caractère ( = chaîne de longueur 1) Remarque : En machine, un caractère est codé par un entier compris entre 0 et 255. Longueur : len("coco") ; concaténation : "coco" + "rico" Eléments d’une chaîne s : s[i] est le caractère d’indice i, par exemple "coco"[0] est le caractère "c" Remarque : Contrairement aux listes, les caractères ne peuvent pas être modi…és (le type string est non mutable). Modules ( = bibliothèques) J Un module est en pratique un …chier Python contenant des dé…nitions de fonctions. Par exemple la fonction logarithme log appartient au module “math”. Pour charger le module “math” : import math. Ensuite, on peut utiliser la fonction math.log Variante conseillée : from math import * . Ensuite, on utilise alors log directement au lieu de math.log. Fonctions classiques : sqrt, sin, exp, log, abs, pi, floor et ceil (à valeurs ‡ottantes). J Modules courants : from math import * # foncitons mathématiques from scipy import * # calcul numérique from numpy import * # calcul vectoriel, par exemple array from matplotlib.pyplot import * # fonctions graphiques, par exemple plot from random import randrange ; nombreAleatoire = randrange(1000) J Attention : Dans la littérature, on utilise souvent la syntaxe suivante : import numpy as np Ce qui permet ensuite d’utiliser l’abréviation np.array au lieu de numpy.array Instructions de programmation J Les instructions sont séparées par un point-virgule ou un passage à la ligne. Dans un même bloc, deux instructions de même profondeur logique doivent avoir strictement la même indentation. J A¤ectation des variables : L’a¤ectation se fait par le symbole = sous la forme variable = valeur Attention à ne pas confondre = (a¤ectation) et == (symbole d’égalité dans les équations). Par abréviation, on peut écrire x += a au lieu de x = x + a Exemple important : L’échange de variables. La suite d’instructions z=x ; x=y; y=z permet d’échanger les valeurs respectives de x et y: En Python, pour les variables on peut opérer directement sur le couple (x; y) avec x,y = y,x J Instruction conditionnelle IF Syntaxe : if test1 : instructions1 elif test2 : instructions2 else : Expression conditionnelle : expression1 if condition else expression2 J Répétitions inconditionnelles : boucles FOR instructions3 Syntaxe : for x in itérateur : for i in range(len(a)) : instructions(x) instruction(i,l[a]) Remarque : L’instruction break au sein de la boucle provoque la sortie immédiate de la boucle. Elle est peu utilisée dans les fonctions/procédures puique l’instruction return permet de sortir directement du corps de la fonction. Types d’objets itérables : les intervalles range(1:4), les listes [1,2,3], chaînes de caractères , tuples, Important : Listes dé…nies par extension à l’aide d’un itération : [ f(i) for i in range(0,n)] J Répétitions inconditionnelles : boucles WHILE Syntaxe : while test : instructions. Evaluation paresseuse : i = 0 ; while i<=n-2 and a[i+1]==a[i] : ... Dans cet exemple, le test a[i+1]==a[i]n’est e¤ectué que si i<=n-2 vaut True. Fonctions et procédures J Syntaxe : def nom(arguments) : corps_de_la_fonction La valeur de retour d’une fonction est obtenue par l’instruction : return ... dans le corps de la fonction. Remarque : L’instruction return remplace souvent des break dans les boucles for (au sein de fonctions) J En absence de return, la fonction renvoie la valeur None. C’est le cas généralement des procédures. J Variables locales, variables globales : def f() : global s ; ... L’utilisation d’une variable locale ayant même nom qu’un paramètre est déconseillée (pour raison de clarté). J Arguments par défaut : Une fonction peut être dé…nie avec davantage d’arguments qu’elle n’est utilisée. Dans ce cas, les arguments supplémentaires doivent avoir une valeur par défaut. Exemple : def essai(x=1) ... Tableaux (array) J Avec le module numpy, on peut dé…nir et utiliser des tableaux (array). J Construction de tableaux (vecteurs et matrices) : X = array([1,1,1]) ; Y = zeros(3) ; M = array([[1,2,3],[1,1,1]]) ; N = zeros((2,3)) Remarque : : M = array([[1,2,3],[1,1,1]]) dé…nit M = 1 1 2 1 3 1 : J M.shape renvoie le couple (n; p) donnant respectivement les nombres de lignes et de colonnes. Remarque : On pourrait aussi dé…nir n = len(M) et p = len(M[0]). J dot(M,X) renvoie le produit matriciel M X (produit de matrices ou de vecteurs). Remarque : Sur les tableaux, les opérations s’e¤ectuent terme à terme (notamment l’addition +). Ne pas confondre dot(M,M) avec M**2 (qui consiste à mettre au carré tous les coe¢ cients de M ). Conversions et copies J Les fonctions int, float, str, list, array permettent de modifer le type d’un objet. Exemple : a = int(3.2) renvoie la partie entière de 3.2 , c’est-à-dire l’entier 3. Exemple : a = int(input"entrer un entier") ; en entrant la chaîne "2", on dé…nit l’entier a = 2: Exemple : a = float(2) équivaut à a = 2.0 ; s = str(2) équivaut à s = "2" Exemple : Pour dé…nir le tableau [0; 51 ; 52 ; 35 ; 45 ; 1], on peut utiliser l’une des instructions suivantes : from numpy import * ; array([i/5 for i in range(6)]) ; arange(0,6/5,1/5) J Les commandes list et array permettent aussi de faire une copie (physique) des listes et tableaux : Exemple : a = [1,2,3] ; b = list(a) On peut aussi utiliser la méthode copy() : a = [1,1,1] ; b = a.copy() équivaut à b = list(a). Représentations graphiques # bibliothèque graphique from matplotlib.pyplot import * La fonction de base est la fonction plot : Si x et y sont deux listes ou deux tableaux de même longueur n, l’instruction plot(x,y) crée le graphe constitué de la ligne polygonale reliant les points (xk ; yk )0 k<n : Exemple : On souhaite représenter dans [0; 1] [0; 3] le graphe de la fonction y = exp(x) sur [0; 1] par une ligne polygonale composée de 100 segments correspondant à une subdivision régulière de [0; 1] en 100 intervalles. On dé…nit d’abord la liste x des abscisses et la liste y des ordonnées. from math import exp n = 10 ; x = [i/n for i in range(n+1)] # il y a donc n + 1 points et n intervalles y =[exp(i) for i in x] plot(x,y,"ro-") # "r" pour rouge, "o" pour cercle et "-" pour tracer les lignes entre les points axis ([0,1,0,3]) show() # on dé…nit ici les axes (contour du graphe), ici [0; 1] [0; 3] # on représente le graphe dé…ni par les instructions précédentes. Remarque : Par défaut, plot(x,y) équivaut à plot(x,y,"b-"), ce qui signi…e que les lignes sont représentées en bleu et que les points de la ligne polygonale ne sont pas marqués. Informatique : Algorithmique 1) Complexité - En temps : Les opérations élémentaires sur les éléments des listes ou vecteurs se font en temps constant. - En espace : Nombre de cases mémoires utilisées Remarque : La réutilisation d’une même variable permet souvent de limiter l’espace mémoire. Par exemple, pour calculer Xn dé…nie par X0 et Xk+1 = f (Xk ), une seule case variable X est nécessaire (ou deux si on ne peut pas calculer directement Xk+1 à partir de Xk sans utiliser une variable auxiliaire : on calcule à l’aide d’une variable auxiliaire Y la nouvelle valeur de X à partir de l’ancienne, puis on e¤ectue l’a¤ectation X = Y ). Remarque : On évalue parfois le nombre de bits utilisés (ou d’octets : 1 octet = 8 bits). Mémoire vive (RAM), mémoire morte (ROM), exemple : 16 Go = 16 2) Structures de données 109 octets. - Listes (list) : structures dynamiques : L[len(L)-1] += 1 ; L.insert(i,x) Notamment structure de piles : L.append(x) ; L.pop() - Vecteurs (array) : la longueur est …xe ; possibilité d’opérations vectorielles. 3) Preuves de programmes - Terminaison (pour les boucles while ou les programmes récursifs) : On explicite une grandeur entière naturelle qui décroît strictement (principe de Fermat : il n’existe pas dans N de suite in…nie d’entiers strictement décroissante). - Correction : On donne des invariants de boucles : on indique les valeurs des variables lors de la i-ième irération. 4) Méthodes de programmation - Programmation récursive vs programmation impérative ( = itérative). En programmation récursive, commencer par dé…nir le test d’arrêt. En programmtion itérative, choisir for ou while selon que le nombre d’itérations est connu ou non. - Programmation dynamique : stocker de l’information pour éviter d’e¤ectuer plusieurs fois les mêmes calculs. - Utilisation de structures triées (selon un ordre judicieux) en traitement préliminaire pour optimiser la complexité. 5) Algorithmes de tris - Tri en O(n2 ) : par sélection (on cherche le plus petit élément, puis le deuxième plus petit, etc), par insertions (on met chaque élément à sa place …nale). - Tri rapides par dichotomie en O(n log n) : tri fusion (pire cas en O(n log n)) ; tri par pivot (O(n log n) en moyenne si le pivot est aléatoire, pire cas en O(n2 ) ; tri par insertions dichotomiques (en utilisant la structure dynamique des listes). Remarque : Si les éléments à trier ne véri…ent pas de propriété particulière, le tri optimal est en O(n log n): 5) Dichotomie Remarque : Compte tenu des algorithmes proposés, la complexité c(n) est une fonction croissante de n. - Exemple : Recherche d’un élément x dans une liste triée : En comparant x avec le médian (une opération), on se ramène à la recherche de x dans des deux moitiés de liste. Notons c(n) le nombre de tests pour une liste de longueur n. On a c(n) c( n 2 ) + 1, d’où c(n) = O(log n): c( n2 ) + 1 En e¤et, si n = 2p , on a c(n) Dans le cas général, avec 2p 1 <n ::: 2p , on a c(n) - Exemple : Tri rapide par fusion : c(n) = c( p c(n2 n 2 c(2p ) ) + c( En e¤et, on coupe la liste en deux sous-listes, avec ) + p = c(1) + p. n 2 n 2 + c(1) + p, avec p = dlog ne < 1 + log n: ) + kn: n 2 = n: On trie ces deux sous-listes, et on fusionne les listes triées en O(n) opérations. On calcule d’abord la complexité dans le cas où n = 2p . On a alors c(n) = kn + 2c( n2 ): Donc c(n) = kn + 2k n2 + 4c( n4 ) = ::: = kn + kn + ::: + kn + 2p c(n2 p ) = pkn + 2p c(1) = O(pn) = O(n log n):
