Circuits magnetiques - Exercices corrige
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Circuits magnétiques - Exercices Ex1: Soit un fil rectiligne AB de longueur finie parcouru par un courant d’intensité I. 1. Calculer le champ magnétique créé en un point M situé à la distance a du fil en fonction des angles et sous lesquels on voit les extrémités du fil. 1 2 2. En déduire les expressions du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par un fil rectiligne indéfini en un point situé à la même distance a du fil. Z B 2 I M 1 A O a ez e e Ex2 : 1. Soit une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. Calculer le champ magnétique créé en un point de l'axe de la spire. En déduire le champ magnétique créé au centre d’une bobine plate de N spires. 2. On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives ayant le même rayon R régulièrement réparties et parcourues par le courant I. a. Déterminer le champ magnétique créé en un point quelconque de l’axe X du solénoïde en fonction des demi-angles et sous lesquels on voit les faces terminales du solénoïde. 1 2 b. Examiner le cas d’un solénoïde infiniment long (L >> R). c. Retrouver ce résultat par application du théorème d’Ampère. L R I X ⃗ , de rayon R et dont Ex3 : On considère un câble conducteur cylindrique d’axe z’z d’unitaire � la longueur est très grande devant R. Le cylindre étant inhomogène, la densité de courant � n’est pas uniforme et a, en un point M du cylindre de coordonnée r < R, pour expression : r j ( M ) j0 1 k R j étant une constante positive. 0 1. A l’aide de l’analyse des symétries de la distribution des courants et du théorème ⃗ . On vérifiera alors que les relations d’Ampère, calculer le champ d’excitation magnétique � de passage sont satisfaites ; 2. Retrouver le résultat à l’aide de la relation locale et des relations de passage. z R � r M z’ Ex4 : Considérons un fil conducteur illimité z’z, parcouru par un courant constant I. Ce fil crée en un point M de l’espace qui se projette orthogonalement en K sur l’axe z’z, le champ magnétique B. Une portion de fil CD de fil conducteur de longueur l est disposée suivant un axe Ox perpendiculaire en O à z’z de sorte que OC = c, OD = c +l . La portion CD appartient à un circuit parcouru par un courant constant d’intensité i dans le sens D → C. 1. Calculer la force élémentaire de Laplace dF exercée sur un élément dx du fil CD. En déduire la force F exercée par le fil infini sur le fil CD. 2. Calculer avec la convention de signe habituelle, le flux magnétique extérieur C coupé par CD lorsque l’on déplace le circuit auquel ce segment appartient, de façon que CD subisse, à ⃗ z (z < 0) parallèle à l’axe z’z. courants constants, une translation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗′=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = z� 3. Utiliser C pour trouver la mesure algébrique Fz suivant z’z de la projection orthogonale sur cet axe de la force F. Ex5 : On considère deux rails parallèles et horizontaux qui peuvent être, soit branchés sur un accumulateur de f.é.m E = 2V (interrupteur K en 1), soit mis en court-circuit ((K) en 2), soit restés isolés ((K) en 3). Les rails sont distants de l = 25cm et baignent dans un champ magnétique B uniforme vertical dirigé vers le haut dont le valeur est de 0,5T. Une tige métallique AA' peut glisser sans frottement sur les rails et sa résistance r entre deux rails vaut 0,5Ω. Toutes les autres résistances sont négligeables, ainsi que le coefficient d'auto-induction du circuit. 1) Calculer la force électromagnétique, l'intensité du courant et la différence de potentiel entre A et A' dans les trois cas suivants : a) (K) en 1 et tige immobile. b) (K) en 2 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s c) (K) en 3 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s 2) L'interrupteur (K) étant en 1, la tige AA' a une vitesse constante et imposée v, dont la direction et le sens sont donnés sur la figure. Déterminer la relation I(v) entre le courant I traversant le circuit et la vitesse v. Tracer la courbe représentative. Calculer I pour v1 = 10 m/s et v2 = 22 m/s. 3) Pour les mêmes valeurs de v, donner le sens et la valeur de la force qu'un opérateur doit exercer sur la tige pour maintenir la vitesse constante. Ex6 : On bobine N = 100 spires de fil de cuivre sur le circuit magnétique représenté sur la figure ci-dessous. Le matériau utilisé est du fer de perméabilité magnétique relative r = 528,6. 1) Calculer la valeur en m2 de la surface d’une section droite du circuit magnétique au milieu d’un des barreaux horizontaux ou verticaux. 2) En considérant cette section constante le long du parcours moyen, calculer la réluctance ℛ du fer circuit magnétique. 3) Calculer la réluctance ℛ de la tranche d’air que constitue l’entrefer. ℓ = 80 cm 4) Calculer alors la réluctance totale ℛ que représente le circuit magnétique. 5) En déduire la valeur de l’inductance que représentent les 100 spires bobinées sur ce circuit magnétique. 6) Calculer la valeur de l’induction maximale produite dans le fer lorsque l’inductance est sous la tension = 0√ sin �. 50. . Quelle serait cette valeur si on avait choisi de ne bobiner que 10 spires ? Comment interpréter ce dernier résultat ? 7) Calculer la valeur du courant efficace I absorbé par l’inductance formée par les 100 spires sous la tension = 0√ sin �. 50. . En déduire la section minimale des conducteurs permettant de ne pas dépasser une densité de courant de 5 A/mm2. Ex7 : On s’intéresse au circuit magnétique, représenté en coupe sur la figure ci-dessous, sur lequel sont bobinés deux enroulements de fil de cuivre. Les réluctances des tronçons sont directement notées R , R et R . 1 2 3 Le tronçon 3 représente les fuites du bobinage 1, c’est-à-dire un ensemble de trajets de lignes de champ traversant ce bobinage mais pas l’autre. 1) Représenter le schéma équivalent (en analogie avec un circuit électrique) de ce circuit magnétique. 2) Écrire la relation reliant Φ1, Φ2 et Φ3. 3) En considérant que le bobinage 2 est ouvert (i2 = 0), calculer l’expression littérale du flux Φ2. 4) Calculer également l’expression littérale du flux Φ3. 5) Calculer l’expression de l’inductance mutuelle M du bobinage 1 sur le bobinage 2. 6) Calculer également l’expression de l’inductance Lf qui représente le facteur de proportionnalité entre le flux Φ3 et le courant i1. 7) En utilisant la loi de Lenz, montrer qu’il est possible de ramener cette inductance en série avec un circuit magnétique plus simple qu’on représentera. On appellera V’1 la tension aux bornes du bobinage 1. 8) Calculer l’inductance L que représente le circuit magnétique vu du bobinage 1 et la valeur du rapport m V2 . Représenter un schéma équivalent du circuit total. Comment s’appelle le V '1 dispositif étudié dans cet exercice ? Ex8 : On considère l’électroaimant représenté sur la figure ci-dessous. ℓ1 = 60 cm Longueur ℓ2 = 20 cm, section S = 20 cm2 Les deux parties de cet électro-aimant sont réalisées en acier moulé dont on fournit cidessous la caractéristique d’aimantation : B (T) 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 H(A/m) 380 490 600 760 980 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1300 1700 2450 3300 4700 7500 1) La partie mobile étant en contact avec la partie fixe, on désire créer un flux = 2.10 Wb. Calculer la valeur de l’induction B correspondante. En déduire la valeur du champ d’excitation magnétique et la valeur du nombre minimal de spires permettant d’obtenir ce flux si le courant I est limité à 20 A par le générateur. Le bobinage sera constitué définitivement de deux fois ce nombre de spires. 2) La partie mobile est à présent décollée de la partie fixe d’un entrefer e = 1 mm. Calculer le -3 courant nécessaire à l’établissement d’un flux = 2.10 Wb. Calculer alors le nombre de spires réellement nécessaires pour imposer ce flux. 3) Représenter la courbe sans échelle f pour l’entrefer seul et pour le circuit en acier moulé seul. En déduire une représentation sans échelle de fpour le circuit magnétique total. Commenter. -3 Ex9 : Un transformateur monophasé porte les indications suivantes sur sa plaque signalétique: Puissance apparente nominale Sn = 2200 VA, Rendement = 95 %, Primaire V1n = 220 V, Secondaire V2n = 127 V. 1) Calculer le courant primaire nominal : I1n 2) Calculer le courant secondaire nominal : I2n 3) Le rendement est précisé pour une charge absorbant le courant nominal sous tension secondaire nominale et présentant un facteur de puissance cos = 0,8. Calculer la valeur des pertes dans le transformateur dans ces conditions. 4) Représenter un schéma équivalent ramené au secondaire du transformateur en faisant apparaître les éléments classiques. 5) En supposant qu’au régime nominal les pertes sont uniformément réparties entre pertes fer et pertes Joules, calculer alors la valeur de tous les éléments résistifs du schéma. 6) La tension secondaire à vide de ce transformateur vaut V = 133V. Calculer alors le rapport de transformation : m. En utilisant la formule simplifiée donnant la chute de tension V2 = 0 V0 – V2 au point nominal, calculer la valeur de l’inductance de fuite ramenée au secondaire du transformateur. 7) En utilisant toujours la formule de la question 6, calculer la valeur de la tension secondaire correspondant à une charge absorbant la moitié du courant secondaire nominal, toujours avec un cos= 0,8. 8) Calculer alors le rendement du transformateur lorsqu’il débite sur une charge absorbant la moitié du courant nominal, toujours avec un cos= 0,8. Correction des exercices Ex1 : Le système possède une symétrie cylindrique. Les calculs seront donc plus simples dans le système de coordonnées cylindriques ( e , e , ez ) . 1. Calculons le champ créé en un point M(,z) situé à une distance a du fil par un élément dl de centre P. Z B 2 r dl P e a z0 I A z O Id r La loi de Biot et Savart donne : d B 0 4 r3 PM r a e z z0 ez , r a sin B M 1 a ez e e avec d dz ez et z z0 a tg a 0 Ia 0 I et donc d d B sin dz e d e sin 2 4 r 3 4 a I 2 I B 0 sin d e 0 cos 2 cos 1 e 4 a 1 4 a d’où : dz soit : 2. Dans le cas d’un fil infini, 1 et 2 0 , d’où : B 0 I e 2 a - Calcul du potentiel vecteur ⃗⃗ : ⃗ ⃗ Le champ magnétique � créé en tout point M situé à une distance du fil est � ⃗ = Pour un circuit filiforme, on a : = ∫ Puisque l’on a des courants à l’infini, la relation ci-dessus ne peut pas être utilisée, mais cette relation indique que l’orientation de est // au courant, donc à l’axe Oz : = D’autre part, on a : ⃗ � soit : = = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⏟ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ = = . = Ex2 : Z ⃗ � M ⃗ �� r x O � ⃗ ⃗ �� R P ⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = � 1. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ passe par l’axe de la spire ⃗ ⃗ centré en P crée en M un champ L’élément de circuit sin( ⃗ � ⃗)= . ⃗ sera porté par l’axe OZ Par raison de symétrie, le champ total � s . ∫ d’intensité s = � � = = ∫ 0 I = � = B = ⃗ � ⁄ � = = ⃗ ⃗ =∫ � sin ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , s = . 2R x R/2 2. On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives ayant le même rayon R régulièrement réparties et parcourues par le courant I. L I R xO dx dB M X a. Soit la spire élémentaire d’épaisseur dx, de centre O et de rayon R contenant dN spires et créant au point M de l’axe X, le champ magnétique élémentaire : 0 dB dNI sin 3 ex 2R où est l’angle sous lequel la spire est vue au point M. d R N , soit : dx R 2 dN dx , avec : x sin tan L N N d’où : d B 0 dxI sin 3 ex 0 I sin d ex 2R L 2 L Le champ magnétique créé par le solénoïde en un point M de son axe est B 0 N 2 L I sin d ex 2 1 0 N 2 L I cos 2 cos 1 ex b. Dans le cas d’un solénoïde infiniment long (L >> R) : 1 et 2 0 , d’où : B 0 N I ex 0 nI ex L où n est le nombre de spires par unité de longueur. c. Application du théorème d’Ampère Considérons un solénoïde infini, comportant n spires par unité de longueur, chacune parcourue par un courant I permanent. Etant donné la géométrie cylindrique du solénoïde, on se place en coordonnées cylindriques, l’axe X étant l’axe du solénoïde. Et puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe X et translation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est porté par l’axe X. On choisit le contour rectangulaire ABCD selon la figure ci-dessous : (2) R (1) X A B (3) On pose : AB CD D C La circulation de B le long du contour ABCD est B.d ABCD B.d B.d B.d B.d 0 NI 0nI BC AB CD DA a) Contour à l’intérieur du solénoïde (Contour (1)) Par raison de symétrie, le champ B est suivant l’axe X. Les circulations le long de BC et DA sont nulles : B.d = B.d = 0 , BC B ( BC et CD) . DA B.d B.d 0nI Il reste à calculer CD AB A l’intérieur du solénoïde aucun des courants ne traverse la surface délimitée par (C) B.d B.d 0 CD AB B.d B.d B et puisque AB AB AB CD ex , on a : .ex BCD .ex BAB BCD 0 CD d’où : BAB = BCD infini (champ uniforme). Le champ est le même en tout point à l’intérieur du solénoïde b) Contour à l’extérieur du solénoïde (Contour (2)) Les circulations le long de BC et DA sont nulles Il reste à calculer B.d = B.d = 0 : BC B.d B.d 0nI AB DA CD A l’extérieur du solénoïde aucun des courants ne traverse la surface délimitée par (C) B.d B.d 0 AB CD d’où : BAB = BCD Le champ est le même en tout point à l’extérieur du solénoïde et puisque B 0 à l’infini, le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est donc nul. B.d = B.d = 0 c) Contour (3) : Les circulations le long de BC et DA sont nulles : BC A l’extérieur du solénoïde le champ B = 0 B.d 0 CD DA B.d 0nI et il reste B 0nI d’où : B 0nI AB On retrouve la même expression du champ magnétique établie en utilisant la loi de Biot et Savart. Ex3 : 1. A l’aide du théorème d’Ampère Dans l’application du théorème d’Ampère, il faut toujours choisir un contour sur lequel B garde une norme constante et a la même direction que dl ou sur lequel B est orthogonal à dl. Ici, on choisit donc un contour () circulaire ayant la même direction que les lignes de champ. z R r C M () Théorème d’Ampère : () H .dl z’ j .dS (S) H .dl H (r )2r () D’autre part : j .dS j0 1 r Rk.2rdr k H tangent à d l et garde la même norme sur (C) donc (S) (S) 2 cas doivent être considérés : 1er cas : r < R H 2r j0 2 0 r r2 u H ( M ) j0 2 3R 2ème cas : r > R soit 1 r Rrdr j0 2 r r 2 2 r3 3R R2 R3 R2 j0 2 H 2r j0 2 1 r Rrdr j0 2 6 0 2 3R R2 soit H ( M ) j0 u 6r On vérifie bien la continuité de H en r = R car j( r R) 0 , soit R R R2 R2 R u j0 H ( r R) j0 u j0 u 2 3R 6 R 6 cas r R cas r R 2. Calcul de H à l’aide des relations locales On sait que H H (r )u On utilise la relation rot H j 1 rH (r ) k rot H se réduit à : rot H r r On doit considérer 2 cas : 1er cas : r < R j (M ) j0 1 r Rk r2 r3 1 rH (r ) C , C : constante Soit k j0 1 r Rk donc rH (r ) j0 r r 2 3R d’intégration Sachant que rH(r = 0) = 0, on en déduit C = 0. r r2 u H ( M ) j0 Finalement 2 3R 2ème cas : r > R j (M ) 0 C 1 rH (r ) soit C1 : constante d’intégration 0 donc rH (r ) C1 et H (r ) 1 r r r On doit avoir continuité de H : H r R H r R en r = R car j( r R) 0 , R R2 C1 Donc j0 , 2 3R R d’où R2 C1 j0 6 R2 H ( M ) j0 u 6r dH 1 2r j0 0 pour r = r 0 = 3R/4 dr 2 3R A l’intérieur du câble conducteur (0 < r < R), le champ H augmente en fonction de r et passe par un maximum Hmax = 3j0R/16 pour r = r 0 = 3R/4 puis diminue entre r 0 et R vers H(R) = j0R/6 = H(R/2). A l’extérieur du câble (r > R), on constate une continuité du champ à la traversée de la surface du câble, le champ continue à diminuer en 1/r, et tend vers 0 lorsque r Finalement H 3j0R/16 j0R/6 0 R/2 r 0= 3R/4 R r Ex4 : Forces magnétiques exercées par un fil infini sur un segment de fil Une portion CD de fil conducteur de longueur est disposée suivant un axe Ox perpendiculaire en O à z’z de sorte que OC = c, OD = c + . La portion CD appartient à un circuit parcouru par un courant constant d’intensité i dans le sens DC 1. La force élémentaire de Laplace d F exercée sur un élément dx du fil CD s’écrit : I iIdx u z , d’où la force F exercée par le fil infini sur le dF id B idxu x 0 u y 0 2 x 2 x iI c dx iI fil CD : F 0 u z 0 ln 1 u z 2 c x 2 c 2. Avec la convention de signe habituelle, le flux magnétique élémentaire dC coupé par un élément dx du fil CD qui subit une translation z < 0, s’écrit : I Izdx d C B.dS 0 u y . zdxu y 0 0 2 x 2 x 0 Le flux magnétique coupé par CD lorsque le circuit subit, à courants constants, une translation CC' = DD' = zu z (z < 0) parallèle à l’axe z’z est C 0 Iz c dx Iz 0 ln 1 0 c 2 2 x c 3. La mesure algébrique F z suivant z’z de la projection orthogonale sur cet axe de la force F iI C 0 ln 1 est Fz i 2 c z Ex5 : Conversion électromécanique 1) a) (K) en 1 et tige immobile. uz F I uy ux F I AA' B Il u x Bu z IlBu y , I E r 4A , VA VA' rI E 2V et F IlB 0.5N b) (K) en 2 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s F e i A VA VA' v B .dl vBu x .lu x vBl e 1.25V A' e étant la f.é.m d’induction localisée dans la portion A’A qui se comporte comme un générateur. Le courant induit dans le circuit est i = e/r = 2.5A. F i AA' B ilu x Bu z ilBu y , F ilB 0.313N La force de Laplace induite s’oppose au déplacement de la tige métallique (loi de Lenz). c) (K) en 3 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s e A VA VA' v B .dl vBu x .lu x vBl e 1.25V , i = 0 (circuit ouvert) et F = 0. A' 3°) L'interrupteur (K) étant en 1, la tige AA' a une vitesse constante et imposée v. I E e rI , soit : E vBl rI , d’où : I E r vBl r 4 v 4 I(A) 4 1.5 10 16 v(m/s) 22 - 1.5 4°) Pour v = 10m/s, I = 1.5A > 0, d’où : F I AA' B Il u x Bu z IlBu y 0.188u y . F OP F I Pour maintenir la vitesse constante, l’opérateur doit exercer sur la tige une force de 0.188N, dirigée dans le sens opposé de v . Pour v = 22m/s, I = -1.5A < 0, d’où : F I A' A B Ilu x Bu z IlBu y 0.188u y . F F OP I Pour maintenir la vitesse constante, l’opérateur doit exercer sur la tige une force de 0.188N, dirigée dans le sens de v . Ex6 : Réalisation d’une inductance ℓ = 80 cm 1) S 10 cm 10 cm 100 cm 102 m2 2) La longueur moyenne du profil en fer est f e 79,9 cm On considère que la section du circuit est constante (on néglige les effets de coins) et la perméabilité relative du fer est r 528,6 . On écrit donc la réluctance : 2 f f S f 0 r S 79,9.102 120284,5 SI 4 .107.528,6.102 103 3) Dans la couche d’air que forme l’entrefer : a e 79577,5 SI 0 S 4 .107.102 4) Les deux circuits, fer et air, sont associés en série. La réluctance totale du circuit magnétique formé sera donc : f a 199862 SI 2 5) L’inductance que représentent les 100 spires du bobinage sur ce circuit est L N 50 mH 6) L’induction maximale dans le circuit magnétique est donnée par la formule : d dB(t ) N.S Bmax cos2 . f .t N.S.2 . f .Bmax sin 2 . f .t v(t ) V 2 sin 2 . f .t N.S. dt dt nel à proportion ( ) sin 2 . . 2 i t I f t max On en déduit : Bmax 230.1,414 V 2 1,03 T . 2 . f .N.S 2 .50.100.102 Si on ne décide de bobiner que 10 spires, l’application de la formule donne : Bmax 10,3 T . Cette valeur est impossible à obtenir dans du fer et on en conclut que le circuit magnétique saturerait très fortement, ce qui ne correspond plus du tout à la linéarité attendue entre le courant et le flux. Il est donc évident que ce choix de nombre de spires ne permet pas d’aboutir à la réalisation d’une inductance constante. 7) Si le circuit magnétique bobiné forme une inductance de valeur L 50 mH, alors on peut écrire en notation complexe : V jL I 230 En passant aux modules : I V 14,64 A . Pour ne pas dépasser une densité L 50.103.2 .50 de courant de 5 A/mm2, il faut assurer la relation suivante : I max Scond 5 A/mm2 . Donc Scond min I max 5 I 2 4,14 mm 2 . 5 Ex7 : Circuits couplés et inductance de fuite 1) On représente le schéma équivalent en analogie électrique sur la figure ci-dessous. 2) 1 2 3 3) N1i1 R1 R2 // R3 1 R1 R2 R3 1 R1R2 R1R3 R2 R3 1 R2 2 R3 3 R3 1 2 R2 R3 R2 R3 R2 R3 2 R31 R3 2 R2 R3 N1i1 R1R2 R1R3 R2 R3 R3 N1i1 R1R2 R1R3 R2 R3 R2 4) De même 3 R2 2 N1i1 R3 R1 R2 R1R3 R2 R3 D’où 5) L’inductance mutuelle M est définie comme le rapport du flux intercepté par le bobinage2 (N22) par le courant i1 : M R3 N2 2 N1 N2 i1 R1 R2 R1R3 R2 R3 6) L’inductance demandée correspond au rapport du flux dans le tronçon 3 intercepté par le bobinage1 (N13) par le courant i1 : Lf N1 3 On écrira alors que : N13 Lf i1 i1 R2 N12 R1 R2 R1 R3 R2 R3 7) La loi de Lenz permet d’écrire : v1 (t ) N1 d1 N1 d 2 3 N1 d 2 Lf di1 dt dt dt dt Cette équation de maille correspond au circuit représenté sur la figure ci-dessous. 2 8. L N1 e N12 N1 i1 Re N12 est l’inductance équivalente du bobinage 1 lorsque i 0. 2 R1 R2 Par ailleurs, on peut écrire que : V'1 (t ) N1 d et V2 (t ) N2 d d’où : m V2 (t ) N2 dt dt V '1 (t ) N1 Ce rapport permet de représenter le circuit magnétique comme un transformateur parfait de rapport m. Le schéma équivalent total du circuit est représenté sur la figure ci-dessous. Le circuit magnétique proposé correspond à un transformateur dans lequel on tient compte des fuites magnétiques sous la forme de l’inductance de fuite et de l’inductance équivalente au primaire L, qu’on appelle en général l’inductance magnétisante. Ex8 : Circuit magnétique non linéaire : électroaimant Dans cet exercice, le matériau n’est pas linéaire, il est donc impossible d’utiliser la formule d’Hopkinson : NI R. Il est donc impératif de n’utiliser que le théorème d’ampère appliqué aux circuits magnétiques simplifiés : H .d NI où C est le libre parcours moyen, c’est-à dire en utilisant les hypothèses classiques : NI H .d H . où ℓ est la longueur du C C circuit homogène. 2.103 1 T . On lit alors dans le S 20.104 tableau que le champ correspondant est : H 760 A/m. Le théorème d’Ampère s’écrit alors : NI H · ℓ c’est-à-dire que : H . 760.80.102 30,4 soit donc : 31 spires. Nmin 20 I max On considère donc à présent que N 62 spires. 1) On désire avoir = 2. 10-3 Wb, c’est-à-dire : B 2) L’apparition de l’entrefer rend le circuit magnétique non homogène. La décomposition de l’intégrale du théorème d’ampère se réduit à : NI H a cier . H a ir .2e 1 B 795747,7 A/m L’air représente un milieu linéaire dans lequel H a ir 0 4 .10 7 Dans l’acier, on lit toujours dans le tableau : H 760 A/m. H . H a ir .2e 760.80.102 795747,7.2.103 35,48 A On en déduit : I a cier 62 N Le courant étant limité à 20 A, il est nécessaire de prévoir un nombre de spires tel que NI 35,48.62 2199,5 avec I 20 A. C’est-à-dire : N 110 spires. 3) Il faut noter que le flux et le champ d’induction magnétique sont proportionnels puisqu’on écrit : = B.S. De même, le champ d’excitation magnétique et le courant sont également proportionnels puisque NI H · ℓ. Ainsi, les courbes B(H) ou (NI) ont exactement les mêmes formes, mais évidemment pas les mêmes échelles. On représente ainsi sur la figure ci-dessous l’allure des courbes (Hair .2e) et (Hacier .ℓ). Les points correspondant à B 1,3 T (c-à-d = 2,6. 10-4 Wb) sont côtés sur chaque dessin. On en déduit l’allure de ( Hacier .ℓ+ Hair .2e) qui caractérise le flux en fonction des ampères tours pour le circuit magnétique avec entrefer. Ex9 : Transformateur monophasé 1) La puissance apparente nominale : Sn V1n .I1n V2n .I 2n 2200 VA I 1n Sn 2200 10 A . V1n 220 2200 S 2) I 2 n n 17,3 A V2 n 127 3) Putile Pcharge V2n .I 2n cos Sn cos 2200 0,8 1760 W Par ailleurs, le rendement s’écrit : Putile 1 - 1 0,95 .Putile Ppertes 1760 92,6 W Putile Ppertes 0,95 4) Un schéma équivalent classique du transformateur est représenté sur la figure ci-dessous. 5) Si les pertes sont uniformément réparties entre pertes fer et pertes Joules, cela signifie P P 46,3 que : PJoules pertes 46,3 W RI 22n R pertes 0,15 2 2 2 I 2 n 17,32 et PFer Ppertes 2 2V12n 220 V12n 46,3 W Rf 1064,45 46,3 Ppertes Rf 2 6) V0 133 V m.V1n m V0 133 0,604 V1n 220 La formule simplifiée donnant la chute de tension secondaire s’écrit : V 2 V0 V 2 RI jL I V2 LI V2 cos RI V2 cos RI cos RI 2 V2 sin LI V2 sin 2 LI sin D’où V2 RI cos LI sin En utilisant cette formule avec les grandeurs nominales connues, on en déduit : V V RI 2 n cos 133 - 127 - 0,15 17,3 0,8 1,2 mH L 0 2n 2 I 2 n sin 2 50 17,3 1 - 0,8 7) On écrit à nouveau la formule de la chute de tension mais pour le courant I2n/2 : I I V2 V0 V2 n R 2 n cos L 2 n sin 2 2 0,15 8,65 0,8 0,0012 2 50 8,65 0,6 3 V On en déduit : V2n V0 V2 130 V 8) On écrit le rendement à la moitié du courant nominal : I V2 n . 2 n . cos Putile 2 avec V2n V0 V2 130 V 2 2 Putile Ppertes I 2n I 2 n V1n V2 n . . cos R 2 2 Rf Application numérique : = 0,94.
