Circuits magnetiques - Exercices corrige

Circuits magnétiques - Exercices
Ex1: Soit un fil rectiligne AB de longueur finie parcouru par un courant d’intensité I.
1. Calculer le champ magnétique créé en un point M situé à la distance a du fil en fonction
des angles
1 et 2 sous lesquels on voit les extrémités du fil.
2. En déduire les expressions du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par un fil
rectiligne indéfini en un point situé à la même distance a du fil.
Ex2 : 1. Soit une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. Calculer
le champ magnétique créé en un point de l'axe de la spire. En déduire le champ magnétique
créé au centre d’une bobine plate de N spires.
2. On considère un solénoïde de longueur L comportant N spires jointives ayant le même
rayon R régulièrement réparties et parcourues par le courant I.
a. Déterminer le champ magnétique créé en un point quelconque de l’axe X du solénoïde en
fonction des demi-angles
1 et 2 sous lesquels on voit les faces terminales du solénoïde.
b. Examiner le cas d’un solénoïde infiniment long (L >> R).
c. Retrouver ce résultat par application du théorème d’Ampère.
Ex3 : On considère un câble conducteur cylindrique d’axe z’z d’unitaire 
, de rayon R et dont
la longueur est très grande devant R. Le cylindre étant inhomogène, la densité de courant 
n’est pas uniforme et a, en un point M du cylindre de coordonnée r < R, pour expression :
Z
B
2
I
M
A
1
O a
z
e
e
e
L
R
I X

k
R
r
jMj 
 1)( 0
j0 étant une constante positive.
1. A l’aide de l’analyse des symétries de la distribution des courants et du théorème
d’Ampère, calculer le champ d’excitation magnétique 
. On vérifiera alors que les relations
de passage sont satisfaites ;
2. Retrouver le résultat à l’aide de la relation locale et des relations de passage.
Ex4 : Considérons un fil conducteur illimité z’z, parcouru par un courant constant I. Ce fil
crée en un point M de l’espace qui se projette orthogonalement en K sur l’axe z’z, le champ
magnétique B.
Une portion de fil CD de fil conducteur de longueur l est disposée suivant un axe Ox
perpendiculaire en O à z’z de sorte que OC = c, OD = c +l . La portion CD appartient à un
circuit parcouru par un courant constant d’intensité i dans le sens D → C.
M
r
z’
z
R

1. Calculer la force élémentaire de Laplace dF exercée sur un élément dx du fil CD. En
déduire la force F exercée par le fil infini sur le fil CD.
2. Calculer avec la convention de signe habituelle, le flux magnétique extérieur C coupé par
CD lorsque l’on déplace le circuit auquel ce segment appartient, de façon que CD subisse, à
courants constants, une translation  = = z
z (z < 0) parallèle à l’axe z’z.
3. Utiliser C pour trouver la mesure algébrique Fz suivant z’z de la projection orthogonale
sur cet axe de la force F.
Ex5 : On considère deux rails parallèles et horizontaux qui peuvent être, soit branchés sur un
accumulateur de f.é.m E = 2V (interrupteur K en 1), soit mis en court-circuit ((K) en 2), soit
restés isolés ((K) en 3). Les rails sont distants de l = 25cm et baignent dans un champ
magnétique B uniforme vertical dirigé vers le haut dont le valeur est de 0,5T. Une tige
métallique AA' peut glisser sans frottement sur les rails et sa résistance r entre deux rails vaut
0,5Ω. Toutes les autres résistances sont négligeables, ainsi que le coefficient d'auto-induction
du circuit.
1) Calculer la force électromagnétique, l'intensité du courant et la différence de potentiel entre
A et A' dans les trois cas suivants :
a) (K) en 1 et tige immobile.
b) (K) en 2 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s
c) (K) en 3 et tige ayant une vitesse v = 10 m/s
2) L'interrupteur (K) étant en 1, la tige AA' a une vitesse constante et imposée v, dont la
direction et le sens sont donnés sur la figure. Déterminer la relation I(v) entre le courant I
traversant le circuit et la vitesse v. Tracer la courbe représentative. Calculer I pour v1 = 10 m/s
et v2 = 22 m/s.
3) Pour les mêmes valeurs de v, donner le sens et la valeur de la force qu'un opérateur doit
exercer sur la tige pour maintenir la vitesse constante.
Ex6 : On bobine N = 100 spires de fil de cuivre sur le circuit magnétique représenté sur la
figure ci-dessous. Le matériau utilisé est du fer de perméabilité magnétique relative
r =
528,6.
1) Calculer la valeur en m2 de la surface d’une section droite du circuit magnétique au milieu
d’un des barreaux horizontaux ou verticaux.
2) En considérant cette section constante le long du parcours moyen, calculer la réluctance 
du fer circuit magnétique.

3) Calculer la réluctance  de la tranche d’air que constitue l’entrefer.
4) Calculer alors la réluctance totale  que représente le circuit magnétique.
5) En déduire la valeur de l’inductance que représentent les 100 spires bobinées sur ce circuit
magnétique.
6) Calculer la valeur de l’induction maximale produite dans le fer lorsque l’inductance est
sous la tension . Quelle serait cette valeur si on avait choisi de ne
bobiner que 10 spires ? Comment interpréter ce dernier résultat ?
7) Calculer la valeur du courant efficace I absorbé par l’inductance formée par les 100 spires
sous la tension . En déduire la section minimale des conducteurs
permettant de ne pas dépasser une densité de courant de 5 A/mm2.
Ex7 : On s’intéresse au circuit magnétique, représenté en coupe sur la figure ci-dessous, sur
lequel sont bobinés deux enroulements de fil de cuivre. Les réluctances des tronçons sont
directement notées R1, R2 et R3.
Le tronçon 3 représente les fuites du bobinage 1, c’est-à-dire un ensemble de trajets de lignes
de champ traversant ce bobinage mais pas l’autre.
1) Représenter le schéma équivalent (en analogie avec un circuit électrique) de ce circuit
magnétique.
2) Écrire la relation reliant Φ1, Φ2 et Φ3.
3) En considérant que le bobinage 2 est ouvert (i2 = 0), calculer l’expression littérale du flux
Φ2.
4) Calculer également l’expression littérale du flux Φ3.
ℓ = 80 cm

5) Calculer l’expression de l’inductance mutuelle M du bobinage 1 sur le bobinage 2.
6) Calculer également l’expression de l’inductance Lf qui représente le facteur de
proportionnalité entre le flux Φ3 et le courant i1.
7) En utilisant la loi de Lenz, montrer qu’il est possible de ramener cette inductance
en série avec un circuit magnétique plus simple qu’on représentera. On appellera V’1 la
tension aux bornes du bobinage 1.
8) Calculer l’inductance L que représente le circuit magnétique vu du bobinage 1 et la valeur
du rapport
1
2
'V
V
m
. Représenter un schéma équivalent du circuit total. Comment s’appelle le
dispositif étudié dans cet exercice ?
Ex8 : On considère l’électroaimant représenté sur la figure ci-dessous.
Les deux parties de cet électro-aimant sont réalisées en acier moulé dont on fournit ci-
dessous la caractéristique d’aimantation :
1) La partie mobile étant en contact avec la partie fixe, on désire créer un flux  = 2.10-3 Wb.
Calculer la valeur de l’induction B correspondante. En déduire la valeur du champ
d’excitation magnétique et la valeur du nombre minimal de spires permettant d’obtenir ce flux
si le courant I est limité à 20 A par le générateur. Le bobinage sera constitué définitivement de
deux fois ce nombre de spires.
2) La partie mobile est à présent décollée de la partie fixe d’un entrefer e = 1 mm. Calculer le
courant nécessaire à l’établissement d’un flux  = 2.10-3 Wb. Calculer alors le nombre de
spires réellement nécessaires pour imposer ce flux.
3) Représenter la courbe sans échelle f
 pour l’entrefer seul et pour le circuit en acier
moulé seul. En déduire une représentation sans échelle de f
pour le circuit
magnétique total. Commenter.
B (T)
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
H(A/m)
380
490
600
760
980
1300
1700
2450
3300
4700
7500
ℓ1 = 60 cm
Longueur ℓ2 = 20 cm, section S = 20 cm2