autre lois

Autres LOIS de PROBABILITES
Professeur Pascale FRIANT-MICHEL
> Faculté de Pharmacie
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Les autres LOIS de PROBABILITES
I - INTRODUCTION > II - LOI du x2 (1)
- Grand nombre de lois de probabilités
- Etude de trois lois très utilisées dans les tests statistiques
de formulation connue mais complexe
=>
seules leurs principales caractéristiques seront données
II – LOI du χ2 (lettre grecque : khi, on dit : loi du khi deux)
Permet, en particulier, de comparer des distributions
1. Définition
Soient X1, X2, . . . Xν, ν lois normales centrées réduites N (0, 1)
indépendantes
II - LOI du χ2 (2)
1. Définition (2)
La loi de χ2 à ν degrés de liberté est la loi de la variable
aléatoire somme :
χ2 ν = X 12 + X 22 + . . . + X 2ν
Remarque : χ2 à 1 degré de liberté
est le carré d’une variable normale centrée réduite
?
?
?
2. Propriétés
a) χ2 ∈ [ 0, + ∞ [
b) distribution de χ2 continue
c) représentation graphique de la loi de χ2
. courbe en cloche unimodale asymétrique avec étalement
vers la droite (pour les faibles valeurs de ν)
. famille de courbes de χ2 suivant le nombre ν de degrés
de liberté
II - LOI du χ2 (3)
2. Propriétés (2)
P (χ2)
ν=4
0,15
ν=1
0,10
ν = 15
0,05
0
10
20
30
χ2
. La loi de χ2 tend vers la loi normale
quand ν
∞
Les deux lois deviennent quasiment identiques quand ν > 30
d) En pratique : tables de la distribution de χ2
tables établies par PEARSON
II - LOI du χ2 (4)
3. Table du χ2 (la plus utilisée)
. donne, en fonction du nombre de degrés de liberté, les
valeurs limites χ2α du χ2 correspondant au coefficient
de risque α
P (χ2)
α
0
χ2α
χ2
. table à double entrée (du fait de la dépendance en ν)
La valeur de α est lue en ligne, celle de ν en colonne,
la valeur recherchée χ2α se situant à l’intersection
II - LOI du χ2 (5)
3. Table du χ2 (2)
Exemple :
α
ν
0,99
...
pour ν = 8 et α = 0,05
...
0,05
1
3,841
.
.
8
...
...
...
0,010
?
.
.
.
30
Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :
α=5%
α=1%
soit
pour ν = 8
"
χ25% = 15,51
χ21% = 20,09
avec
II - LOI du χ2 (6) > III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (1)
3. Table du χ2 (3)
Remarques :
- pour toute la 1ère ligne, les valeurs sont celles du carré de la
variable normale centrée réduite t
- la table s’arrête pour ν = 30, au-delà on prend l’approximation
de la loi normale et on utilise la table de t
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER
Permet, en particulier, de comparer les moyennes d’échantillons
1. Définition
La loi de STUDENT notée ts à ν degrés de liberté est le quotient
d’une loi normale centrée réduite N (0, 1) par la racine carrée
d’une loi du khi2 à ν degrés de liberté divisée par ν ; les deux lois
étant indépendantes
N (0, 1)
ts=
χ2
ν
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (2)
2. Propriétés
a) t s ∈ ] - ∞, + ∞ [
b) représentation graphique de la loi de STUDENT
. courbe en cloche symétrique, plus aplatie que la
courbe de Gauss (courbe hyper-normale)
P (t)
courbe normale
courbe hyper-normale
0
. d’autant plus aplatie que ν est plus petit
t
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (3)
2. Propriétés (2)
. famille de distributions de t s suivant le nombre ν de
degrés de liberté
P (t s)
ν = 40
ν = 10
ν=3
0
ts
. La loi de STUDENT tend vers la loi normale centrée réduite
quand ν
∞
Les deux lois deviennent quasiment identiques quand ν > 30
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (4)
2. Propriétés (3)
c) En pratique : tables de la variable t s
3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (la plus utilisée)
. similaire à celle de l’écart-réduit (loi normale)
α/2
α/2
-ts
0
ts
. table à double entrée (du fait de la dépendance en ν)
La valeur de α est lue en ligne, celle de ν en colonne,
la valeur recherchée t s se situant à l’intersection
III - LOI de STUDENT ou de STUDENT-FISHER (5)
3. Table de la variable de STUDENT-FISHER (2)
Exemple :
α
ν
0,90
...
pour ν = 10 et α = 0,05
...
0,05
1
.
.
.
10
...
...
...
0,001
?
.
.
.
120
∞
0,126
1,960
3,291
Dans les tests statistiques, on utilise souvent comme seuil de risque :
α=5%
α=1%
soit
t s = 2,228
t s = 3,169
(t = 1,96 pour loi normale)
(t = 2,58
"
)
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (1)
Permet, en particulier, de comparer les variances d’échantillons
1. Définition
Soient χ2 ν1 et χ2 ν2 deux lois indépendantes du χ2 à ν1 et ν2
degrés de liberté respectivement
La loi de SNEDECOR à ν1 et ν2 degrés de liberté notée Fν1,ν2
(en hommage à Fisher) est définie comme le quotient :
χ 2ν 1
Fν1,ν2 =
ν1
χ
2
ν2
ν2
2. Propriétés
a) F ∈ [ 0, + ∞ [
?
b) attention : Fν1,ν2 ≠ Fν2,ν1
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (2)
2. Propriétés (2)
Remarque : quand on échange les degrés de liberté, on
démontre que l’on transforme le calcul de la
probabilité par le calcul de son complémentaire
c) représentation graphique de la loi de SNEDECOR
. dépendance avec les deux degrés de liberté ν1 et ν2
=>
famille de courbes de SNEDECOR
. courbes en cloche unimodale asymétrique avec étalement
vers la droite
P (F)
(ν1, ν2) = (2, 5)
(ν1, ν2) = (10, 10)
(ν1, ν2) = (5, 2)
0
F
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (3)
2. Propriétés (3)
d) En pratique : tables de la distribution de F
3. Table de SNEDECOR
. similaire à celle de χ2
P (F)
α
F
Fα
0
. table à triple entrée (du fait de la double dépendance en
degrés de liberté)
=>
une table par valeur de α
. pour chaque α, table à double entrée (ν1 et ν2)
La valeur de ν1 est lue en ligne, celle de ν2 en colonne,
la valeur recherchée Fα se situant à l’intersection
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (4)
3. Table de SNEDECOR (2)
Exemple :
pour α = 0,05, ν1 = 20 et ν2 = 10
Reportons-nous à la table α = 5%
ν1
ν2
1
...
...
20
1
.
.
.
10
...
...
...
∞
?
.
.
.
100
∞
3,84
1,57
Soit F20,10 = 2,77
1,00
IV - LOI de SNEDECOR ou de FISHER-SNEDECOR (5)
3. Table de SNEDECOR (3)
Quand les valeurs ne sont pas dans les tables, on procède par
interpolation
x <- 0:10 y <- dbinom(x, size=10, prob=.25) #
évalue les probas {plot(x, y, type = "h", lwd =
30, main = "Densité Binomiale avec \n n = 10, p
= .25", ylab = "p(x)", lend ="square" )}
• Pour cet exemple, nous avons d'abord créé le
vecteur x contenant les entiers allant de 0 à 10.
Nous avons ensuite calculé les probabilités
qu'une variable de loi binomiale prenne chacune
de ces valeurs, par dbinom. Le type de tracé est
spécifié avec l'option type=h (lignes verticales
d'un diagramme en bâtons), épaissies grâce à
l'option lwd=30. L'option lend ="square" permet
de tracer des barres rectangulaires.
Pour tracer des densités de lois absolument
continues ou des fonctions de répartitions
de celles-ci, on peut utiliser la fonction
curve(). Par exemple, le tracé de la densité
d'une loi Gaussienne centrée réduite sur
l'intervalle s'obtient avec la commande
curve(dnorm(x), from = -3, to = 3)
• X=0:10
• curve(dnorm(x), from = -3, to = 3)
• alors que la commande
• curve(pnorm(x, mean=10, sd=2), from = 4, to =
16)
• produit le tracé de la fonction de répartition
d'une loi N(10,4) sur l'intervalle [4,16]
• Notons que la fonction curve() permet également
de superposer une courbe sur un autre tracé
(dans ce cas il est inutile de spécifier from et to).
Essayons par exemple de comparer
l'histogramme des fréquences des valeurs
obtenues par un tirage de 1000 nombres selon la
loi N(O,1) avec la densité de la loi N(0,1) :
• X=0:10
• simu <- rnorm(1000) {hist(simu, prob=T,
breaks="FD", main="Histogramme de
1000 tirages N(0,1)")} curve(dnorm(x),
add=T)
L1 SANTE