PHYSIQUE / Unité :3 Évolution temporelle des systèmes électriques I- Condensateur 1- Qu'est-ce qu'un condensateur ? Un condensateur comporte deux armatures métalliques en face l’une de l’autre et séparées par un isolant appelé diélectrique (air, plastique). 2-La charge électrique sur les armateurs Un condensateur, branché à un générateur de tension continue accumulé sur ses armateurs des charges électriques de même valeur mais de signe opposés. 3- charge électrique et intensité. l’intensité i(t) du courant correspond au débit de charges transportées, c’est-a-dire à la charge électrique transportée par unité de temps : i(t)= avec i(t) en Ampère (A), q(t) en Coulomb (C) et t en seconde (s) Remarque : si l’intensité de courant constante alors I= , donc q=I.t 3- Charge électrique et tension. A chaque instant, la charge électrique q(t) de condensateur est proportionnelle à la tension uAB(t) aux bornes de ses armateurs q(t)=C. uAB(t) Avec C la capacité du condensateur ; elle s’exprime en farad (F) et q(t) en Coulomb (C) ; uAB(t) en volt (V) Remarque : La valeur de la capacité C ne dépend que des caractéristiques de l’élément capacitif (nature du diélectrique isolant, surface des armatures, distance entre elles…) 4- Relation tension / intensité pour un condensateur On sait que i(t ) dq dt donc i(t ) C du AB dt Or q(t) = C.uC = C.uAB Représentation symbolique : 5- Associations de condensateurs 5-1-Association en série Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement déchargés. Associons-les en série, puis imaginons que nous appliquons une tension aux bornes de cette association. L’association se comporte alors comme C1 C2 + + + (A1) (B1) + + + (A2) (B2) uC1 uC2 un « condensateur unique équivalent » de capacité Ceq uC telle que : ∑ pour l’association de n condensateur en série : 5-2-Association en dérivation Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement déchargés. Associons-les en dérivation, puis imaginons que nous appliquons une tension aux bornes de cette association. L’association se comporte alors comme uC1 C1 + + + (A1) (B1) un uC « condensateur unique équivalent » de capacité Ceq C2 telle que : Céq=C1+C2 + + + (A2) (B2) uC2 pour l’association de n condensateur en dérivation : ∑ II- Réponse d'un dipôle (R,C) à un échelon de tension - L’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle (R,C) 1- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension 1-1- Charge d'un condensateur On basculer l’interrupteur K de la position 1 à la position 2 l’évolution de la tension aux l’évolution de l’intensité circulant bornes du condensateur et aux dans le circuit bornes de dipôle R.C. La tension uDB aux bornes de dipôle RC est nulle avant la fermeture de l’interrupteur . Elle passe brusquement de de 0 à une valeur constante E . On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon monte de tension Remarque : Comment procéder pour visualiser l’intensité circulant dans le circuit à l’aide de l’oscilloscope ? Aux bornes de la résistance, la loi d’ohm s’énonce ainsi uR = Ri. Il suffit de mesurer la tension uR afin de visualiser l’intensité i. La valeur de i est i = u R R 1-2- La constante de temps - La durée de la charge du condensateur d’un dipôle (R.C.) augmente quand la valeur du produit R.C augmente Vérification de l’unité du produit R.C par analyse dimensionnelle. On cherche à exprimer la dimension de R et de C en fonction des dimensions de l’intensité, de la tension et du temps. - D’après la loi d’Ohm, u = Ri U U - R soit u i La dimension de R s’écrit R (1) I I du A partir de la relation i = C ; La dimension de dt I T (2) la capacité C U Alors la dimension de produit R.C : [RC] = [R] [C] = U I T . I U Soit après simplification : [RC] = [T] Le produit R.C a la dimension d’un temps, son unité est la seconde (s). La durée de la charge peut être caractérisée par la constante de temps =R.C du dipôle RC. Elle peut être déterminée à partir de la courbe représentant les variations de uC en fonction du temps par deux méthodes : Méthode 1 : est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe uC=f(t) à t=0 et l’asymptote horizontale uc ;max. Méthode 2 : est aussi l’abscisse du point de la courbe uC=f(t) d’ordonnée 0,63 x uCmax. 2- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension 2-1- l’équation différentielle de charge du condensateur. On applique la loi d’additivité des tensions : UR + UC = E avec laloi d’Ohm : UR = R.i(t) dU (t ) dq (t ) avec i(t) = et q(t)=C.UC(t) donc i(t)= C. C dt dt L’équation différentielle peut donc s’écrire : dU (t ) R.C. C + UC = E dt 2-1-1- Expression de la tension uc(t). l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme U C A B.e Expression des constantes A et - - On dérive l’expression U C A B.e t x a b x Rappel : f(x) = ae b alors f’(x) = e b t dU C B t 0 e dt - - On reporte dU C dU (t ) et U C dans l’expression R.C. C + UC = E dt dt du E RC u dt t B t E RC e A B e t RC t E A B e e t RC E A B e 1 - Identification de et A. Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du temps ( a t ) Il suffit que 1 Alors = RC et RC 0 A=E quelque soit la valeur de t. - Expression de constantes B. On prend en compte les conditions initiales à t = 0. à t = 0 uc(t=0) = 0 alors u c (t 0) A B e 0 =0 donc A + B = 0 La solution de l’équation différentielle s’écrit alors : u c (t ) E E e t RC 0 car e 1 donc B = -A = -E t E 1 e RC avec = RC t Expression de la tension uc(t) est u c (t ) E 1 e RC 2-1-2- Expression de la charge q(t). Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t) t Expression de la charge q(t) : q(t ) Cu c (t ) C.E 1 e RC 2-1-3- Expression de l’intensité i(t). Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : dq (t ) q(t) = Cuc(t) et i(t)= dt du (t ) On a alors i(t) = C c dt du E RCt i (t ) C C e dt RC E t Expression de l’intensité i(t) : i(t ) e RC R 3- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension Initialement le condensateur est chargé uc(0)=E On basculer l’interrupteur K à la position 1 l’évolution de la tension aux bornes l’évolution de l’intensité circulant du condensateur et aux bornes de dans le circuit dipôle R.C. La tension uDB aux bornes de dipôle RC est égale à E avant la fermeture de l’interrupteur. Elle passe brusquement de valeur constante E à 0. On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon descende de tension 4- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension 4-1- l’équation différentielle de décharge du condensateur. On applique la loi d’additivité des tensions : UR + UC = 0 avec laloi d’Ohm : UR = R.i(t) dq (t ) avec i(t) = et q(t)=C.UC(t) donc dt dU C (t ) i(t)= C. dt L’équation différentielle peut donc s’écrire : dU (t ) R.C. C + UC = 0 dt 4-2- Expression de la tension uc(t). l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme U C A B.e Expression des constantes A et - - On dérive l’expression U C A B.e t x a b x Rappel : f(x) = ae b alors f’(x) = e b dU C B t 0 e dt - - On reporte dU C dU (t ) et U C dans l’expression R.C. C + UC = 0 dt dt du 0 RC u dt t B t 0 RC e A B e t RC t 0 A B e e t RC 0 A B e 1 - Identification de et A. Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du temps ( a t ) t Il suffit que 1 Alors = RC et RC 0 A=0 quelque soit la valeur de t. - Expression de constantes B. On prend en compte les conditions initiales à t = 0. à t = 0 uc(t=0) =E alors u c (t 0) B e 0 =E donc B = E 0 car e 1 La solution de l’équation différentielle s’écrit alors : u c (t ) E E e Expression de la tension uc(t) est u c (t ) E. e t RC t E 1 e RC avec = RC t RC 4-3- Expression de la charge q(t) . Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t) Expression de la charge q(t) : q(t ) Cu c (t ) C.E. e t RC 4-4- Expression de l’intensité i(t) . Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t) et i(t)= dq (t ) dt du c (t ) dt du E RCt i (t ) C C e dt RC On a alors i(t) = C Expression de l’intensité i(t) : i(t ) E t RC Re III- Energie stockée (emmagasinée) dans un condensateur 1-Mise en évidence expérimentale L’interrupteur K2 restant ouvert, on ferme l’interrupteur K1 : le condensateur se charge. On ouvre K1 et on ferme K2 : le condensateur se décharge dans le moteur (la lampe) qui tourne (s’allume) Le moteur tourne lors de la décharge du condensateur et fait remonter une charge de masse m. Le condensateur avait donc emmagasiné de l’énergie qu’il a restituée au moteur au cours de sa décharge. 2- Expression d’énergie stockée (emmagasinée) dans un condensateur la puissance électrique instantanée reçue par le condensateur pendant la charge est : P e = dE e dt du (t ) P e = dE e = u c .i(t ) = C.u c . du c ; ( car i(t) = C c ) alors dEe = C.u c .du c dt dt dt Lorsque la tension aux bornes d’un condensateur passe d’une valeur uAB1 = UC1 à une valeur uAB2 = UC2, l’énergie potentielle électrique totale stockée dans le condensateur se calcule par : Ee = dE e C.u C .du C 1 .Cu C 2 K 2 à t=0 le condensateur initialement déchargé : Ee(t=0)=0 et uc(t=0) =0 donc K=0 Conclusion : Un condensateur de capacité C est capable de stocker une énergie : Ee = 1 2 C uc2 = 1 . q ² 2 C Connaissances - Compétences Connaître la représentation symbolique d'un condensateur En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches tension, noter les charges des différentes armatures du condensateur. Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur; connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation q = C.u Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipôle est soumis à un échelon de tension. En déduire l'expression de l'intensité dans le circuit. Connaître l'expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle. Connaître l'expression de l'énergie emmagasinée dans un condensateur. Savoir que la tension aux bornes d'un condensateur n'est jamais discontinue. Savoir exploiter un document expérimental pour : - identifier les tensions observées. - montrer l'influence de R et de C sur la charge ou la décharge.
