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Cours 1 dipole RC

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PHYSIQUE / Unité :3
Évolution temporelle
des systèmes
électriques
I- Condensateur
1- Qu'est-ce qu'un condensateur ?
Un condensateur comporte deux armatures
métalliques en face l’une de l’autre et séparées par
un isolant appelé diélectrique (air, plastique).
2-La charge électrique sur les armateurs
Un condensateur, branché à un générateur de tension
continue accumulé sur ses armateurs des charges
électriques de même valeur mais de signe opposés.
3- charge électrique et intensité.
l’intensité i(t) du courant correspond au débit de
charges transportées, c’est-a-dire à la charge
électrique transportée par unité de temps : i(t)=
avec i(t) en Ampère (A), q(t) en Coulomb (C) et t en
seconde (s)
Remarque :
si l’intensité de courant constante alors I=
, donc
q=I.t
3- Charge électrique et tension.
A chaque instant, la charge électrique q(t) de
condensateur est proportionnelle à la tension uAB(t)
aux bornes de ses armateurs
q(t)=C. uAB(t)
Avec C la capacité du condensateur ; elle s’exprime
en farad (F)
et q(t) en Coulomb (C) ; uAB(t) en volt (V)
Remarque :
La valeur de la capacité C ne dépend que des
caractéristiques de l’élément capacitif (nature du
diélectrique isolant, surface des armatures, distance
entre elles…)
4- Relation tension / intensité pour un condensateur
On sait que i(t )  dq
dt
donc i(t )  C
du AB
dt
Or
q(t) = C.uC = C.uAB
Représentation symbolique :
5- Associations de condensateurs
5-1-Association en série
Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement
déchargés.
Associons-les en série, puis imaginons que nous
appliquons une tension aux bornes de cette
association.
L’association
se
comporte
alors
comme
C1
C2
+ + + (A1)
(B1)
+ + + (A2) (B2)
uC1
uC2
un
« condensateur unique équivalent » de capacité Ceq
uC
telle que :
∑
pour l’association de n condensateur en série :
5-2-Association en dérivation
Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement
déchargés.
Associons-les en dérivation, puis imaginons que
nous appliquons une tension aux bornes de cette
association.
L’association
se
comporte
alors
comme
uC1
C1
+ + + (A1)
(B1)
un
uC
« condensateur unique équivalent » de capacité Ceq
C2
telle que : Céq=C1+C2
+ + + (A2)
(B2)
uC2
pour l’association de n condensateur en dérivation :
∑
II- Réponse d'un dipôle (R,C) à un échelon de tension
- L’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R constitue
un dipôle (R,C)
1- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension
1-1- Charge d'un condensateur
On basculer l’interrupteur K de la
position 1 à la position 2
l’évolution de la tension aux
l’évolution de l’intensité circulant
bornes du condensateur et aux
dans le circuit
bornes de dipôle R.C.
La tension uDB aux bornes de dipôle RC est nulle avant la fermeture de l’interrupteur . Elle passe brusquement
de de 0 à une valeur constante E .
On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon monte de tension
Remarque : Comment procéder pour visualiser l’intensité circulant dans le circuit à l’aide de l’oscilloscope ?
Aux bornes de la résistance, la loi d’ohm s’énonce ainsi uR = Ri. Il suffit de mesurer la tension uR afin de
visualiser l’intensité i. La valeur de i est i = u R
R
1-2- La constante de temps
- La durée de la charge du condensateur d’un dipôle
(R.C.) augmente quand la valeur du produit R.C
augmente
Vérification de l’unité du produit R.C par analyse
dimensionnelle.
On cherche à exprimer la dimension de R et de C en
fonction des dimensions de l’intensité, de la tension
et du temps.
-
D’après la loi d’Ohm, u = Ri
U 
U 
-
R
soit
u
i
 La dimension de R s’écrit R    
(1)
 I  I 
du
 A partir de la relation i = C
; La dimension de
dt
I   T  (2)
la capacité C  
U 
 Alors la dimension de produit R.C :
[RC] = [R]  [C] =
U   I   T  .
I  U 
Soit après simplification : [RC] = [T]
Le produit R.C a la dimension d’un temps, son unité
est la seconde (s).
La durée de la charge peut être caractérisée par la
constante de temps =R.C du dipôle RC. Elle peut
être déterminée à partir de la courbe représentant les
variations de uC en fonction du temps par deux
méthodes :
 Méthode 1 :  est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe uC=f(t) à t=0 et l’asymptote
horizontale uc ;max.
 Méthode 2 :  est aussi l’abscisse du point de la courbe uC=f(t) d’ordonnée 0,63 x uCmax.
2- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension
2-1- l’équation différentielle de charge du condensateur.
On applique la loi d’additivité des tensions :
UR + UC = E
avec laloi d’Ohm :
UR = R.i(t)
dU (t )
dq (t )
avec i(t) =
et q(t)=C.UC(t) donc i(t)= C. C
dt
dt
L’équation différentielle peut donc s’écrire :
dU (t )
R.C. C
+ UC = E
dt
2-1-1- Expression de la tension uc(t).
l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme U C  A  B.e
Expression des constantes A et 
-
- On dérive l’expression U C  A  B.e

t

x
a
b
x
Rappel : f(x) = ae b alors f’(x) =  e  b

t

dU C
B t
 0 e 
dt

-
- On reporte
dU C
dU (t )
et U C dans l’expression R.C. C
+ UC = E
dt
dt
du
E  RC
u
dt
t

 B t 
E  RC  e    A  B e 
 

t
 
 RC t

E  A  B 

e e 
 
t
RC 
 
E  A  B e  1 
 

-
Identification de  et A.
Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du
temps ( a t )


Il suffit que 1 
Alors  = RC et
RC 
0
 
A=E
quelque soit la valeur de t.
- Expression de constantes B.
On prend en compte les conditions initiales à t = 0.

à t = 0 uc(t=0) = 0 alors u c (t  0)  A  B e
0

=0
donc A + B = 0

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors : u c (t )  E  E e
t
RC
0
car e    1 donc B = -A = -E
t



 E 1  e RC  avec  = RC


t



Expression de la tension uc(t) est u c (t )  E 1  e RC 


2-1-2- Expression de la charge q(t).
Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t)
t



Expression de la charge q(t) : q(t )  Cu c (t )  C.E 1  e RC 


2-1-3- Expression de l’intensité i(t).
Pour trouver l’expression de l’intensité,
il suffit d’utiliser les expressions suivantes :
dq (t )
q(t) = Cuc(t) et i(t)=
dt
du (t )
On a alors i(t) = C c
dt
du
 E  RCt 
i (t )  C
 C
e 
dt
 RC
E t
Expression de l’intensité i(t) : i(t )  e RC
R
3- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension
Initialement le condensateur est
chargé uc(0)=E
On basculer l’interrupteur K à la
position 1
l’évolution de la tension aux bornes l’évolution de l’intensité circulant
du condensateur et aux bornes de dans le circuit
dipôle R.C.
La tension uDB aux bornes de dipôle RC est égale à E avant la fermeture de l’interrupteur. Elle passe
brusquement de valeur constante E à 0.
On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon descende de tension
4- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension
4-1- l’équation différentielle de décharge du condensateur.
On applique la loi d’additivité des tensions :
UR + UC = 0
avec laloi d’Ohm :
UR = R.i(t)
dq (t )
avec i(t) =
et q(t)=C.UC(t) donc
dt
dU C (t )
i(t)= C.
dt
L’équation différentielle peut donc s’écrire :
dU (t )
R.C. C
+ UC = 0
dt
4-2- Expression de la tension uc(t).
l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme U C  A  B.e
Expression des constantes A et 
-
- On dérive l’expression U C  A  B.e

t

x
a
b
x
Rappel : f(x) = ae b alors f’(x) =  e  b
dU C
B t
 0 e 
dt

-
- On reporte
dU C
dU (t )
et U C dans l’expression R.C. C
+ UC = 0
dt
dt
du
0  RC
u
dt
t

 B t 
0  RC  e    A  B e 
 

t
 
 RC t
0  A  B 
e 
e
 

t
RC 
 
0  A  B e  1 
 

-
Identification de  et A.
Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du
temps ( a t )

t



Il suffit que 1 
Alors  = RC et
RC 
0
 
A=0
quelque soit la valeur de t.
- Expression de constantes B.
On prend en compte les conditions initiales à t = 0.
à t = 0 uc(t=0) =E

alors u c (t  0)  B e
0

=E
donc B = E
0
car e    1

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors : u c (t )  E  E e

Expression de la tension uc(t) est u c (t )  E. e
t
RC
t



 E 1  e RC  avec  = RC


t
RC
4-3- Expression de la charge q(t) .
Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t)

Expression de la charge q(t) : q(t )  Cu c (t )  C.E. e
t
RC
4-4- Expression de l’intensité i(t) .
Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t) et i(t)=
dq (t )
dt
du c (t )
dt
du
 E  RCt 
i (t )  C
 C
e 
dt
 RC
On a alors i(t) = C
Expression de l’intensité i(t) : i(t )  
E t
RC
Re
III- Energie stockée (emmagasinée) dans un condensateur
1-Mise en évidence expérimentale
 L’interrupteur K2 restant ouvert, on ferme
l’interrupteur K1 : le condensateur se charge.
 On ouvre K1 et on ferme K2 : le condensateur se
décharge dans le moteur (la lampe) qui tourne
(s’allume)
 Le moteur tourne lors de la décharge du
condensateur et fait remonter une charge de masse m.
 Le condensateur avait donc emmagasiné de
l’énergie qu’il a restituée au moteur au cours de sa
décharge.
2- Expression d’énergie stockée (emmagasinée) dans un condensateur
la puissance électrique instantanée reçue par le condensateur pendant la charge est : P e = dE e
dt
du (t )
P e = dE e = u c .i(t ) = C.u c . du c
; ( car i(t) = C c
) alors dEe = C.u c .du c
dt
dt
dt
Lorsque la tension aux bornes d’un condensateur passe d’une valeur uAB1 = UC1 à une valeur uAB2 = UC2,
l’énergie potentielle électrique totale stockée dans le condensateur se calcule par :
Ee =  dE e   C.u C .du C  1 .Cu C 2  K
2
à t=0 le condensateur initialement déchargé : Ee(t=0)=0 et uc(t=0) =0 donc K=0
Conclusion : Un condensateur de capacité C est capable de stocker une énergie :
Ee =
1
2
C uc2 = 1 . q ²
2 C
Connaissances - Compétences
 Connaître la représentation symbolique d'un condensateur
 En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes
flèches tension, noter les charges des différentes armatures du condensateur.
 Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur;
connaître la signification de chacun des termes et leur unité. Savoir exploiter la relation q = C.u
 Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque
le dipôle est soumis à un échelon de tension.
 En déduire l'expression de l'intensité dans le circuit.
 Connaître l'expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.
 Connaître l'expression de l'énergie emmagasinée dans un condensateur.
 Savoir que la tension aux bornes d'un condensateur n'est jamais discontinue.
 Savoir exploiter un document expérimental pour :
- identifier les tensions observées.
- montrer l'influence de R et de C sur la charge ou la décharge.
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