Cours 1 dipole RC

PHYSIQUE / Unité :3
Évolution temporelle
des systèmes
électriques
I- Condensateur
1- Qu'est-ce qu'un condensateur ?
Un condensateur comporte deux armatures
métalliques en face l’une de l’autre et séparées par
un isolant appelé diélectrique (air, plastique).
Représentation symbolique :
2-La charge électrique sur les armateurs
Un condensateur, branché à un générateur de tension
continue accumulé sur ses armateurs des charges
électriques de même valeur mais de signe opposés.
3- charge électrique et intensité.
l’intensité i(t) du courant correspond au débit de
charges transportées, c’est-a-dire à la charge
électrique transportée par unité de temps : i(t)=
avec i(t) en Ampère (A), q(t) en Coulomb (C) et t en
seconde (s)
Remarque :
si l’intensité de courant constante alors I=
 , donc
q=I.t
3- Charge électrique et tension.
A chaque instant, la charge électrique q(t) de
condensateur est proportionnelle à la tension uAB(t)
aux bornes de ses armateurs
q(t)=C. uAB(t)
Avec C la capacité du condensateur ; elle s’exprime
en farad (F)
et q(t) en Coulomb (C) ; uAB(t) en volt (V)
Remarque :
La valeur de la capacité C ne dépend que des
caractéristiques de l’élément capacitif (nature du
diélectrique isolant, surface des armatures, distance
entre elles…)
4- Relation tension / intensité pour un condensateur
On sait que
dt
dq
ti )(
Or q(t) = C.uC = C.uAB
donc
dt
du
Cti AB )(

5- Associations de condensateurs
5-1-Association en série
Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement
déchargés.
Associons-les en série, puis imaginons que nous
appliquons une tension aux bornes de cette
association.
L’association se comporte alors comme un
« condensateur unique équivalent » de capacité Ceq
telle que : 
pour l’association de n condensateur en série : 
5-2-Association en dérivation
Considérons 2 condensateurs C1 et C2 initialement
déchargés.
Associons-les en dérivation, puis imaginons que
nous appliquons une tension aux bornes de cette
association.
L’association se comporte alors comme un
« condensateur unique équivalent » de capacité Ceq
telle que : Céq=C1+C2
pour l’association de n condensateur en dérivation :   
II- Réponse d'un dipôle (R,C) à un échelon de tension
- L’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R constitue
un dipôle (R,C)
1- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension
1-1- Charge d'un condensateur
On basculer l’interrupteur K de la
position 1 à la position 2
l’évolution de la tension aux
bornes du condensateur et aux
bornes de dipôle R.C.
l’évolution de l’intensité circulant
dans le circuit
La tension uDB aux bornes de dipôle RC est nulle avant la fermeture de l’interrupteur . Elle passe brusquement
de de 0 à une valeur constante E .
On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon monte de tension
Remarque : Comment procéder pour visualiser l’intensité circulant dans le circuit à l’aide de l’oscilloscope ?
Aux bornes de la résistance, la loi d’ohm s’énonce ainsi uR = Ri. Il suffit de mesurer la tension uR afin de
visualiser l’intensité i. La valeur de i est i =
R
uR
+
+
+
-
-
-
(A1)
(B1)
C1
+
+
+
-
-
-
(A2)
(B2)
C2
uC1
uC2
uC
+
+
+
-
-
-
(A1)
(B1)
C1
+
+
+
-
-
-
(A2)
(B2)
C2
uC1
uC2
uC

1-2- La constante de temps
- La durée de la charge du condensateur d’un dipôle
(R.C.) augmente quand la valeur du produit R.C
augmente
Vérification de l’unité du produit R.C par analyse
dimensionnelle.
On cherche à exprimer la dimension de R et de C en
fonction des dimensions de l’intensité, de la tension
et du temps.
- D’après la loi d’Ohm, u = Ri soit
i
u
R
 La dimension de R s’écrit
I
U
I
U
R
(1)
-  A partir de la relation i = C
dt
du
; La dimension de
la capacité
T
U
I
C
(2)
 Alors la dimension de produit R.C :
[RC] = [R]
[C] =
I
U
T
U
I
.
Soit après simplification : [RC] = [T]
Le produit R.C a la dimension d’un temps, son unité
est la seconde (s).
La durée de la charge peut être caractérisée par la
constante de temps =R.C du dipôle RC. Elle peut
être déterminée à partir de la courbe représentant les
variations de uC en fonction du temps par deux
méthodes :
 Méthode 1 :  est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe uC=f(t) à t=0 et l’asymptote
horizontale uc ;max.
 Méthode 2 :  est aussi l’abscisse du point de la courbe uC=f(t) d’ordonnée 0,63 x uCmax.
2- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon montant de tension
2-1- l’équation différentielle de charge du condensateur.
On applique la loi d’additivité des tensions :
UR + UC = E
avec la loi d’Ohm :
UR = R.i(t)
avec i(t) =
dttdq )(
et q(t)=C.UC(t) donc i(t)=
dt tdU
CC)( .
L’équation différentielle peut donc s’écrire :
dt tdU
CR C)( ..
+ UC = E
2-1-1- Expression de la tension uc(t).
l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme
t
CeBAU 
 .
Expression des constantes A et 
- - On dérive l’expression
t
CeBAU 
 .
Rappel : f(x) =
ae b
x
alors f’(x) =
e
b
ab
x

et
CB
dt
dU
 0
- - On reporte
dt
dUC
et
C
U
dans l’expression
dt tdU
CR C)( ..
+ UC = E
RC
BAE
RC
BAE
BA
B
RCE
u
dt
du
RCE
e
ee
ee
t
tt
tt
1
- Identification de et A.
Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du
temps ( a t )
Il suffit que
01 
RC
Alors = RC et A = E quelque soit la valeur de t.
- Expression de constantes B.
On prend en compte les conditions initiales à t = 0.
à t = 0 uc(t=0) = 0 alors
e
BAtuc
0
)0( 
= 0 donc A + B = 0 car
1
0
e
donc B = -A = -E
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :
  ee RC
t
RC
t
cEEEtu 1)(
avec = RC
Expression de la tension uc(t) est
eRC
t
cEtu 1)(
2-1-2- Expression de la charge q(t).
Pour trouver l’expression de l’intensité, il suffit d’utiliser les expressions suivantes : q(t) = Cuc(t)
Expression de la charge q(t) :
eRC
t
cECtCutq 1.)()(
2-1-3- Expression de l’intensité i(t).
Pour trouver l’expression de l’intensité,
il suffit d’utiliser les expressions suivantes :
q(t) = Cuc(t) et i(t)=
dttdq )(
On a alors i(t) =
dt tdu
Cc)(
eRC
t
RC
E
C
dt
du
Cti )(
Expression de l’intensité i(t) :
eRC
t
R
E
ti  )(

3- Etude expérimentale de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension
Initialement le condensateur est
chargé uc(0)=E
On basculer l’interrupteur K à la
position 1
l’évolution de la tension aux bornes
du condensateur et aux bornes de
dipôle R.C.
l’évolution de l’intensité circulant
dans le circuit
La tension uDB aux bornes de dipôle RC est égale à E avant la fermeture de l’interrupteur. Elle passe
brusquement de valeur constante E à 0.
On dit que le dipôle R.C. soumis à un échelon descende de tension
4- Etude théorique de la réponse d'un dipôle RC à un échelon descendant de tension
4-1- l’équation différentielle de décharge du condensateur.
On applique la loi d’additivité des tensions :
UR + UC = 0
avec la loi d’Ohm :
UR = R.i(t)
avec i(t) =
dttdq )(
et q(t)=C.UC(t) donc
i(t)=
dt tdU
CC)( .
L’équation différentielle peut donc s’écrire :
dt tdU
CR C)( ..
+ UC = 0
4-2- Expression de la tension uc(t).
l’expression de la tension uc(t) est la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme
t
CeBAU 
 .
Expression des constantes A et 
- - On dérive l’expression
t
CeBAU 
 .
Rappel : f(x) =
ae b
x
alors f’(x) =
e
b
ab
x
et
CB
dt
dU
 0
- - On reporte
dt
dUC
et
C
U
dans l’expression
dt tdU
CR C)( ..
+ UC = 0
RC
BA
RC
BA
BA
B
RC
u
dt
du
RC
e
ee
ee
t
tt
tt
10
0
0
0
- Identification de et A.
Pour ce faire, il faut s’affranchir du temps, c’est à dire éliminer la partie de l’expression de E qui dépend du
temps ( a t )