Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR LOI NORMALE CENTREE REDUITE EXERCICES CORRIGES Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider tous ceux qui désirent travailler sur la loi normale centrée réduite Il contient 13 exercices corrigés intégralement, classés par thèmes et/ou par niveaux. La page JGCUAZ.FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices, améliorations), il est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est [email protected] à la date du 14/01/2018) Egalement disponible une page facebook https://www.facebook.com/jgcuaz.fr Montpellier, le 14/01/2018 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013 Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 1/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR LOI NORMALE CENTREE REDUITE - EXERCICES Exercice n°1 (correction) Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Donner l'arrondi au millième de : a) p ( 0 ≤ X ≤ 1,3) b) p ( −2,1 ≤ X ≤ 0, 4 ) c) p ( X ≤ 1,6 ) d) p ( X ≥ −0,5 ) Exercice n°2 (correction) Une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Utiliser la courbe de la densité de cette loi pour expliquer pourquoi : = a) p (T ≥ −2,5 ) p (T ≤ 2,5) b) p (T ≤ −1,5= ) 0,5 − p ( 0 ≤ T ≤ 1,5) Exercice n°3 (correction) Une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Tracer la courbe de f et représenter : a) p (T ≤ −1) b) p (1 ≤ T ≤ 3) c) p (T ≥ 2 ) Exercice n°4 (correction) Lors d'une course à pied, le temps moyen mis par les participants a été de 3h. On note T la variable aléatoire qui donne l'écart ,en heures, t − 3 où t est le temps mis par un participant. On admet que T suit la loi normale N(0;1). 1) Que représente p (T ≥ 0, 25 ) ? 2) Calculer et donner l'arrondi au centième de : a) p (T ≥ 0, 25 ) b) p (T ≤ −0,5 ) c) p ( −0,1 ≤ T ≤ 0, 2 ) Exercice n°5 (correction) Une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Dans chaque cas, déterminer l'arrondi au millième du nombre u tel que : 0,997 a) p ( −u ≤ T ≤ u ) = 0,758 b) p (T < u ) = 0, 25 d) p (T > u ) = 0,7 e) p (T ≥ u ) = Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 2/13 0, 4 c) p (T ≤ u ) = version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Exercice n°6 (correction) Une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite N(0;1). 1) Calculer : a) p (T > 1,96 ) b) p (T < −1,96 ) 2) Calculer le nombre réel u tel que : c) p (T > 2,58 ) 0,15 a) p (T < u ) = d) p ( −1, 21 < T < 1,53) 0,8 b) p (T < u ) = Exercice n°7 (correction) T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et u est le nombre réel tel que : p ( −1 ≤ T ≤ u ) =0,3 1) Exprimer p (T ≤ u ) en fonction de p (T ≤ −1) puis en déduire son arrondi au millième. 2) Déterminer l'arrondi au centième de la valeur u. Exercice n°8 (correction) T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et v est le nombre réel tel que : p (T ≤ v ) = 0, 2 2) Que vaut p (T ≤ −v ) ? 1) Sans calcul, comparer v à 0. Exercice n°9 (correction) Lors d'un concours, la moyenne des notes est 8. T est la variable aléatoire qui donne l'écart t − 8 où t est la note obtenue par un candidat. T suit la loi normale centrée réduite N(0;1). 1) A combien faut-il fixer la note de réussite à ce concours pour que 60% des candidats soient reçus? Donner l'arrondi de cette note au centième. 2) Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80% des notes des candidats ? Exercice n°10 (correction) Une embouteilleuse remplit de jus de pommes des bouteilles de 100 cL. On note T l'écart q − 100 , en cL, où q désigne la quantité de jus dans une bouteille. On admet que T suit la loi normale N(0;1). 0,8 a) Déterminer l'arrondi au centième du nombre u > 0 tel que p ( −u ≤ T ≤ u ) = b) En déduire un encadrement, centré sur 100 cL, de la quantité de jus dans 80% des bouteilles. Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 3/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Exercice n°11 (correction) La température T relevée en janvier, en milieu de journée, suit la loi normale N(0;1). a) Interpréter dans ce contexte, la valeur 0 de l'espérance de T. b) Justifier que dans plus de 95% des cas, la température relevée est entre -2°C et 2°C. c) Quelle est la fourchette de températures dans laquelle on trouve les températures relevées dans 99% des cas ? d) Donner une estimation de la probabilité d'avoir un jour de janvier, une température supérieure à 2°C, puis vérifier à la calculatrice. Exercice n°12 (correction) Une boulangerie industrielle fabrique des baguettes dont la masse théorique est 200 g. X est la variable aléatoire qui à une baguette associe sa masse en grammes. On pose Y = X − 200 et on admet que Y suit la loi normale centrée réduite N(0;1). 4 Une baguette doit avoir une masse supérieure à 190 g pour être commercialisable. On choisit une baguette au hasard dans la production. 1) Quelle est la probabilité que la baguette choisie au hasard ne soit pas commercialisable ? 2) Sachant que la baguette est commercialisable, quelle est la probabilité qu'elle pèse plus de 200g ? Exercice n°13 (correction) Lors d'une randonnée en montagne, la durée moyenne de parcours des 300 participants a été de 240 min. X est la variable aléatoire qui à un marcheur associe la durée du parcours en minutes. On pose Y = X − 240 et on admet que Y suit la loi normale centrée réduite N(0;1). 20 1) Quelle est la probabilité qu'un marcheur choisi au hasard ait mis plus de 280 min pour faire cette randonnée ? 2) Combien de personnes environ ont mis plus de 280 min pour faire cette randonnée ? 3) Déterminer le nombre réel t tel que la probabilité que la durée de parcours d'un marcheur soit entre ( 240 − t ) et ( 240 + t ) minutes soit égale à 0,5. Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 4/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Exercice n°14 - d'après FESIC 2016 VRAI ou FAUX ? (correction) Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N ( 0;σ 2 ) avec σ > 0 Pour tout u ∈ , on pose Π ( u ) = p (Y ≤ u ) Π ( u ) représente l’aire de la surface hachurée ci-contre. c. p ( 0 ≤ Y ≤ σ ) > 0, 4 d. Π ( −σ ) ≤ 1 10 Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 5/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR LOI NORMALE CENTREE REDUITE - CORRECTION Correction de l'exercice n°1 (retour à l'énoncé) Les résultats sont arrondis à 0,001 près. a) p ( 0 ≤ X ≤ 1,3) ≈ 0, 403 b) p ( −2,1 ≤ X ≤ 0, 4 ) ≈ 0,638 c) p ( X ≤ 1,6 ) d) p ( X ≥ −0,5 ) Correction de l'exercice n°2 (retour à l'énoncé) a) En raison de la symétrie de la courbe de la fonction densité, l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2,5 est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = −2,5 et x = 0 . Ainsi, p ( −2,5 ≤ T ≤ 0 )= p ( 0 ≤ T ≤ 2,5 ) . 1 1 = On en déduit que p ( −2,5 ≤ T ≤ 0 ) + = p ( 0 ≤ T ≤ 2,5 ) + c'est-à-dire p (T ≥ −2,5 ) p (T ≤ 2,5) 2 2 b) En raison de la symétrie de la courbe de la fonction densité, l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = −1,5 et x = 0 est égale à l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1,5 . Ainsi, p ( −1,5 ≤ T ≤ 0 )= p ( 0 ≤ T ≤ 1,5 ) . Comme p (T ≤ −1,5 ) + p ( −1,5 ≤ T ≤ 0 )= p (T ≤ 0 )= p ( −1,5 ≤ T ≤ 0 ) = 1 , 2 on en déduit que 1 1 − p (T ≤ −1,5 ) = − p (T ≥ 1,5 ) = p ( 0 ≤ T ≤ 1,5 ) 2 2 Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 6/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°3 (retour à l'énoncé) a) p (T ≤ −1) b) p (1 ≤ T ≤ 3) c) p (T ≥ 2 ) Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 7/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°4 (retour à l'énoncé) 1) p (T ≥ 0, 25 ) représente la probabilité qu'un coureur ait réalisé un écart supérieure à 0,25 h par rapport au temps moyen, donc qu'il ait couru en au moins 3,25 h. 2) Les résultats sont arrondis à 0,01 près. 0,5 − p ( 0 ≤ T ≤ 0, 25 ) ≈ 0, 4 a) p (T ≥ 0, 25 ) = b) p (T ≤ −0,5= ) 0,5 − p ( −0,5 ≤ T ≤ 0 ) ≈ 0,31 c) p ( −0,1 ≤ T ≤ 0, 2 ) ≈ 0,12 Correction de l'exercice n°5 (retour à l'énoncé) Les résultats sont arrondis à 0,001 près. a) p ( −u ≤ T ≤ u= ) 0,997 ⇔ 2 p (T ≤ u ) −=1 0,997 ⇔ p (T ≤ u=) 0,997 + 1 2 0,9985 est environ égal à 2,968 Grâce à la calculatrice, on trouve que le nombre tel que p (T ≤ u ) = b) p (T < u= ) 0,758 ⇔ p (T ≤ u=) 0,758 pour u ≈ 0,7 0, 4 pour u ≈ 0, 253 c) p (T ≤ u ) = 1 0, 25 =0,75 pour u ≈ 0,674 d) p (T > u ) =0, 25 ⇔ p (T ≤ u ) =− 1 0,7 =0,3 pour u ≈ −0,524 e) p (T ≥ u ) =0,7 ⇔ p (T ≤ u ) =p (T < u ) =− Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 8/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°6 (retour à l'énoncé) Les résultats sont arrondis à 0,001 près. 0,5 − p ( 0 ≤ T ≤ 1,96 ) ≈ 0,025 1) a) p (T > 1,96 ) = = b) p (T < −1,96 ) p (T > 1,96 ) que l'on a calculé précédemment : p (T < −1,96 = ) p (T > 1,96 ) ≈ 0,025 0,5 − p ( 0 ≤ T ≤ 2,58 ) ≈ 0,05 c) p (T > 2,58 ) = d) p ( −1, 21 < T < 1,53) ≈ 0,824 2) a) Grâce à la calculatrice, on trouve que le nombre tel que p (T < u )= 0,15 ⇔ p (T ≤ u )= 0,15 est environ égal à -1,036 b) p (T < u ) = 0,8 ⇔ p (T ≤ u ) = 0,8 pour u ≈ 0,842 Correction de l'exercice n°7 (retour à l'énoncé) Grâce à la calculatrice, on trouve p (T ≤ −1)= 1 − p ( −1 ≤ T ≤ 0 ) ≈ 0,159 donc p (T ≤ u ) ≈ 0, 459 2 au millième. 2) Puisque p (T ≤ u ) ≈ 0, 459 on en déduit u ≈ −0,1 arrondi au centième Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 9/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°8 (retour à l'énoncé) 1 on en déduit que v ≤ 0 2 v ) p (T ≤= v ) 0, 2 donc p (T ≤ −v ) = 1 − p (T ≤ v ) = 1 − 0, 2 = 0,8 2) On a p (T ≥ −= 1) Puisque p (T ≤ v ) < Correction de l'exercice n°9 (retour à l'énoncé) 0,6 . 1) On cherche un nombre a tel que p (T ≥ a ) = Or p (T ≥ a ) = 0,6 ⇔ p (T < a ) = 0, 4 Grâce à la calculatrice, on trouve a ≈ −0, 25 à 0,01 près. De t − 8 ≥ −0, 25 on en déduit t ≥ 7,75 Ainsi, pour que 60% des candidats soient reçus, il faut fixer la note de réussite à environ 7,75 0,8 . 2) On cherche un nombre u tel que p ( −u ≤ T ≤ u ) = Puisque p (T ≤ −u ) + p ( −u ≤ T ≤ u ) + p ( u ≤ T ) =1 p (T ≤ −= u ) p (u ≤ T ) , et on a p ( −u ≤ T ≤ u ) = 1 − 2 p (T ≤ −u ) 0,8 se traduit alors par 1 − 2 p (T ≤ −u= L'égalité p ( −u ≤ T ≤ u ) = ) 0,8 ⇔ p (T ≤ −u=) 0,1 Grâce à la calculatrice, on obtient −u ≈ −1, 28 d'où u ≈ 1, 28 On a donc −1, 28 ≤ T ≤ 1, 28 ⇔ −1, 28 ≤ t − 8 ≤ 1, 28 ⇔ 6,72 ≤ t ≤ 9, 28 . L'intervalle cherché est donc [ 6,72;9, 28] Correction de l'exercice n°10 (retour à l'énoncé) a) Puisque p (T ≤ −u ) + p ( −u ≤ T ≤ u ) + p ( u ≤ T ) =1 et p (T ≤ −= u ) p (u ≤ T ) , on a p ( −u ≤ T ≤ u ) = 1 − 2 p (T ≤ −u ) 0,8 se traduit alors par 1 − 2 p (T ≤ −u= L'égalité p ( −u ≤ T ≤ u ) = ) 0,8 ⇔ p (T ≤ −u=) 0,1 Grâce à la calculatrice, on obtient −u ≈ −1, 28 d'où u ≈ 1, 28 0,8 , on en conclut donc p ( −1, 28 ≤ q − 100 ≤ 1, 28 ) = 0,8 c'est-àb) Puisque p ( −1, 28 ≤ T ≤ 1, 28 ) = 0,8 . dire p ( 98,72 ≤ q ≤ 101, 28 ) = Dans 80% des bouteilles, la quantité de jus appartient à l'intervalle [98,72;101, 28] Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 10/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°11 (retour à l'énoncé) a) Durant le mois de janvier, la température à midi était en moyenne égale à 0°C b) Puisque p ( −2 ≤ T ≤ 2 ) > 0,95 , on peut affirmer que dans plus de 95% des cas, la température relevée est entre -2°C et 2°C. 0,99 . c) On cherche un nombre u tel que p ( −u ≤ T ≤ u ) = Puisque p (T ≤ −u ) + p ( −u ≤ T ≤ u ) + p ( u ≤ T ) =1 et p (T ≤ −= u ) p (u ≤ T ) , on a p ( −u ≤ T ≤ u ) = 1 − 2 p (T ≤ −u ) 0,99 se traduit alors par 1 − 2 p (T ≤ −= u ) 0,99 ⇔ p (T ≤ −= u ) 0,005 L'égalité p ( −u ≤ T ≤ u ) = Grâce à la calculatrice, on obtient −u ≈ −2,58 d'où u ≈ 2,58 La fourchette de températures dans laquelle on trouve les températures relevées dans 99% des cas est l'intervalle [ −2,58;2,58] d) Puisque p ( −2 ≤ T ≤ 2 ) > 0,95 , puisque p (T ≤ −2 ) + p ( −2 ≤ T ≤ 2 ) + p ( 2 ≤ T ) =1 et puisque 1 − p ( −2 ≤ T ≤ 2 ) p (T ≤ −= 2 ) p ( 2 ≤ T ) , on a p (T ≥ 2 ) = . Comme p ( −2 ≤ T ≤ 2 ) > 0,95 , on peut 2 estimer que p (T ≥ 2 ) < 1 − 0,95 c'est-à-dire p (T ≥ 2 ) < 0,025 2 1 Grâce à la calculatrice, p (T ≥ 2 ) = − p ( 0 ≤ T ≤ 2 ) ≈ 0,023 2 Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 11/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR Correction de l'exercice n°12 (retour à l'énoncé) 190 − 200 = 1) On calcule p ( X < 190= ) p Y < ) 0,5 − p ( −2, 25 ≤ Y ≤ 0 ) ≈ 0,012 à p (Y < −2, 25= 4 0,001 près. La probabilité que la baguette choisie au hasard ne soit pas commercialisable est donc égale à environ 0,012 = p( X ≥190) ( X > 200 ) 2) On cherche p ( ( X ≥ 190 ) ∩ ( X > 200 ) ) p ( X > 200 ) = p ( X ≥ 190 ) p ( X ≥ 190 ) On calcule séparément : 200 − 200 1 p ( X > 200 )= p Y > = p (Y > 0 )= 4 2 190 − 200 1 et p ( X ≥ 190= ) p ( −2, 25 ≤ Y ≤ 0 ) + ≈ 0,988 à 0,001 près ) p Y ≥ = p (Y ≥ −2, 25= 4 2 On en déduit p ( X > 200 ) 0,5 = ≈ 0,506 à 0,001 près p ( X ≥ 190 ) 0,988 Sachant que la baguette est commercialisable, la probabilité qu'elle pèse plus de 200g vaut environ 0,506. Correction de l'exercice n°13 (retour à l'énoncé) 280 − 240 1) On calcule p ( X > 280 ) = p Y > = p (Y > 2 ) = 0,5 − p ( 0 ≤ Y ≤ 2 ) ≈ 0,023 à 0,001 20 près. 2) Puisque p ( X > 280 ) ≈ 0,023 , cela signifie qu'environ 2,3 % des personnes ont mis plus de 280 minutes pour faire cette randonnée, ce qui, sur un total de 300 personnes, représente 300 × 2,3 = 6,9 100 , soit environ 7 personnes Loi N(0;1) - exercices corrigés Page 12/13 version du 14/01/2018 Loi N(0;1) - exercices corrigés document disponible sur JGCUAZ.FR t t 3) On cherche t tel que p ( 240 − t ≤ X ≤ 240 + t )= 0,5 ⇔ p − ≤ Y ≤ = 0,5 . 20 20 t Puisque p Y ≤ − + 20 t t p− ≤ Y ≤ + 20 20 t 1− 2 p Y ≤ − 20 t t p− ≤ Y ≤ = 20 20 L'égalité t t p− ≤Y ≤ 0,5 = 20 20 t t t p ≤ Y =1 et p Y ≤ −= p ≤ Y , on a 20 20 20 se traduit alors par t 1− 2 p Y ≤ − = 0,5 ⇔ 20 t p Y ≤ − = 0, 25 20 t ≈ −2,58 d'où t ≈ 51,6 Grâce à la calculatrice, on obtient − 20 188, 4 minutes et 240 + 51,6 = 291,6 La durée de parcours d'un marcheur se situe entre 240 − 51,6 = minutes avec une probabilité de 0,5 Correction de l'exercice n°14 - d'après FESIC 2016 VRAI ou FAUX ? (retour à l'énoncé) a. FAUX Puisque d'après le cours p ( −σ ≤ Y ≤ σ ) ≈ 0,68 , on a, par symétrie p ( 0 ≤ Y ≤ σ ) ≈ 0,34 p ( 0 ≤ Y ≤ σ ) > 0, 4 b. FAUX Π ( −= σ ) p (Y ≤ −σ ) Puisque p (Y ≤ −σ ) + p ( −σ ≤ Y ≤ σ ) + p (Y ≥ σ ) =1 symétrie, 2 p (Y ≤ −σ ) ≈ 1 − 0,68 Loi N(0;1) - exercices corrigés c'est-à-dire et p ( −σ ≤ Y ≤ σ ) ≈ 0,68 , on aura, par p (Y ≤ −σ ) ≈ 0,16 Page 13/13 version du 14/01/2018
