Le sextant I- INTRODUCTION : Pour déterminer sa position par observation des astres, le navigateur ne peut utiliser les mêmes méthodes que celles employées par les observatoires (passage des astres au méridien précis : méthode méridienne). Sur un bâtiment qui est mobile, le navigateur ne peut qu’observer les coordonnées horizontales des astres : azimut et hauteur. 1- Mesure des azimuts : Cette mesure s’effectue à l’aide du compas et est affectées d’erreurs provenant du défaut d’horizontalité de la rose du compas. Cette erreur est de la forme θtg h où h est la hauteur de l’astre et θ le défaut d’horizontalité. Si on relève un astre suffisamment bas, h <30° on peut considérer que la précision du relèvement est de l’autre du degré dans de bonnes conditions. 2- Mesure des hauteurs : La hauteur se mesure dans le plan vertical de l’astre, aussi utilise t on comme repère horizontal l’horizon de la mer qui , nous le verrons plus tard ne coïncide pas avec l’horizon astronomique. L’instrument permettant d’observer la hauteur d’un astre devra permettre une visée simultanée de l’horizon et de l’astre. Cet instrument est le sextant. II- Description : Le sextant l’instrument le plus abouti pour la mesure de la hauteur d’un astre par rapport à l’horizon. Le sextant se compose essentiellement d’une armature constituée par - Un secteur circulaire gradué de 60° d’ouverture PQ appelé limbe Deux montant CP et CQ qui relient le limbe au centre C. Le montant CP porte le petit miroir m fixe et parallèle au montant CQ. Ce miroir est réfléchissant sur la moitié de sa surface de façon à pouvoir observer simultanément une image directe et une image réfléchie par la partie argentée. Un autre miroir M appelé grand miroir est fixé à une alidade CI mobile autour d’une axe perpendiculaire au plan du limbe et passant par C. Cette alidade porte un curseur et un index qui se déplace en regard des graduations du limbe. Une lunette de visée L est fixée sur le montant CQ et son axe passe par le centre du petit miroir tout en restant parallèle au plan du limbe. 1- Principe de la double réflexion : Considérons les deux miroirs M et m tels qu’ils ont été définis ci-dessus. Soient CN et cn les normales à ces miroirs passant par leur centre. Un rayon incident Ax vient frapper le premier miroir M en son centre C sous l’incidence I, le rayon réfléchi Cc fait d’après les lois de réflexion le même angle I avec la normale CN. Le rayon réfléchi atteindra le petit miroir m en son centre c sous une incidence i. Il sera à nouveau réfléchi dans la direction cB faisant même angle i avec la normale cn. Les rayons AC et cB font entre eux un angle α, les normale CN et cn un angle β. Dans le triangle cCD 2I= 2i+ α CcE I=i+ β D’où l’on ne tire que α =2β Or dans le sextant par construction β= QCF donc : Si il est porté sur le limbe une graduation dont les valeurs sont doubles de celles des angles au centre β balayé par l’alidade, on lira sur la graduation directement l’angle α que fait la direction de l’astre Ax avec le plan de l’horizon si cB est contenu dans ce dernier. 2- Principe de la visée : La position « zero » de l’index correspond au parallélisme des deux miroirs, si le sextant est dans le plan vertical et si on vise l’horizon, celui-ci apparait à la fois en visée directe et en image réfléchie. En déplaçant l’alidade CI, tout en visant directement l’horizon on balaye le plan vertical dans lequel doit se trouver le plan du limbe du sextant. Un astre de hauteur h est vu dans la lunette lorsque l’alidade a tourné de h/2. Ceci revient à descendre l’image réfléchie de A sur l’horizon, d’où l’expression « descendre un astre sur l’horizon ». 3- Lecture de la hauteur affichée : Le sextant est muni d’un tambour micrométrique dont le principe est le suivant : Le tambour est divisé en 60 divisions représentant chacune une minute d’angle du limbe. Une rotation complète du tambour correspond donc à un déplacement de ‘index de l’alidade d’un degré sur le limbe. III- Les erreurs du sextant : 1- Rectification du sextant : Pour que les conditions géométriques de la mesure des angles soient réalisées, il faut que le limbe soit parfaitement plan et l’axe de rotation de l’alidade perpendiculaire au plan du limbe. Ces conditions sont réalisées à la construction et se maintiennent par la suite. Il faut de plus que les rayons lumineux donnant l’image directe et réfléchie soient dans un plan parallèle au plan du limbe, c’est à dire qu’il faut : - Que l’axe optique de la lunette soit parallèle au pal du limbe ; Que le grand miroir et le petit miroir soient tous deux perpendiculaires au pal du limbe ; Rectifier un sextant consistera à se rapprocher le plus possible des deux dernières conditions énoncées ci-dessus. Rectification de l’axe optique : le sextant étant posé à plat sur une table, on place sur le limbe, parallèlement à la lunette deux viseurs qui servent à jalonner un trait horizontal sur une mire placée à une trentaine de mètres. La lunette est ensuite mise au point sur la mire en agissant sur les vis du collier porte lunette. Une fois cette rectification effectuée on a généralement plus besoin de le refaire du moins tant que le sextant n’aura pad été mal traité. Sue les sextants modernes l’axe optique est réglé une fois à la construction et le collier porte lunette est fixe. Réglage du grand miroir : On dépose sur le limbe les deux viseurs V1 et V2 et on oriente le grand miroir M de telle sorte que l’on puisse apercevoir simultanément la moitié de V1 en vue directe et la moitié de V2 en vue réflexion. On agit alors sur la vis du miroir de façon que l’image des arêtes supérieures de V1 et V2 soient au même niveau. Sur les sextants modernes le grand miroir est réglé une fois pour toute en usine. Réglage du petit miroir : L’axe optique et le grand miroir ayant été rectifiés, le petit miroir sera lui aussi réglé c'est-àdire parfaitement perpendiculaire au plan du limbe si l’image directe et l’image réfléchie d’un point très éloigné coïncident. Il suffira d’amener l’image réfléchie A’ sur la perpendiculaire du limbe passant par l’image directe A en agissant sur l’alidade et le vernier. Si A et A’ ne coïncident pas, on les fera coïncider en agissant sur la vis de perpendicularité du petit miroir qui sera alors réglé. 2- La collimation – excentricité : 2,1- collimation C : Apres la rectification, si on met en coïncidence au centre de la lunette deux images d’un point éloigné, la hauteur sur le sextant n’est généralement pas égale à zéro. La lecture correspondante représente la « collimation C » ou correction qu’il faut apporter aux angles lus ultérieurement. La correction C est positive si le repère de l’alidade est à droite du zéro du limbe La correction est négative si le repère de l’alidade est à droite du zéro du limbe On détermine exactement la collimation en faisant une série de visée sur une Etoile de nuit, de jour on peut utiliser un point net éloigné, l’horizon ou même mieux le soleil. Dans ce cas on superpose les disques vus directement A et par réflexion A’ d’abord par contact supérieur et ensuite par contact inférieur. On a une lecture droite et une lecture gauche. en ajoutant ces deux lecture on a 2D ce qui permet de vérifier avec la valeur du demi diamètre donnée dans les éphémérides nautiques, la valeur de l’observation. En retranchant ces deux lectures on obtient la valeur algébrique de la collimation C= (lecture droite- lecture gauche)/2 - Réduction de la collimation : lorsque la collimation dépasse trois à quatre minutes il y a intérêt à réduire pour simplifier la correction. On y arrive en mettant l’alidade et le tambour micrométrique au zéro et en faisant tourner le petit miroir autour d’un axe perpendiculaire au limbe à l’aide d’une sis de parallélisme jusqu’à amener en coïncidence l’image directe et réfléchie d’un point très éloigné. Cette réduction ne se conserve pas dans le temps et Avant toute observation au sextant il faut contrôler la valeur de la collimation 2,2- excentricité ε : Un instrument n’étant jamais parfais, il existe une erreur de construction dite erreur d’excentricité systématique. On distingue : - L’excentricité fluctuante : qui provient du jeu de pivot de l’alidade dans son logement et donne des erreurs ne pouvant être éliminées ; L’excentricité fixe du au mauvais centrage de l’axe de rotation de l’alidade sur le secteur. Le constructeur établit en fonction de la hauteur mesurée un tableau de correction qui accompagne toujours l’appareil. Il faut noter la possibilité d’erreurs prévenant des miroirs ou des verres colorés dont les faces ne sont pas rigoureusement parallèles. L’usure de la crémaillère et du tambour sont aussi à contrôler périodiquement. IV- Formule de correction – précision : Finalement la rectification du sextant étant effectuée, la collimation calculée, les seules corrections dont il y a eu lieu de tenir compte sont : - L’excentricité ε La collimation C Et on obtient la formule de la hauteur observée ho déduite de la hauteur instrumentale hi lue sur le sextant : ho = hi + ε+C V- La correction des hauteurs : Pour pouvoir exploiter la formule ci-dessus dans des calculs nautiques, ho doit être ramenée après correction : - Au centre de la terre A l’horizon vrai On obtient alors la hauteur vraie géocentrique de l’astre hv Nous allons étudier les quatre corrections à apporter à la hauteur observée d’un astre pour obtenir la hauteur vraie. - La dépression de l’horizon lié à l’élévation de l’observateur au-dessus du niveau de la mer et à la réfraction terrestre ; La réfraction astronomique liée à la présence de l’atmosphère ; La parallaxe liée au fait que l’observateur n’est pas au centre de la terre ; Le demi-diamètre ramenant l’observateur au centre de l’astre quand ce dernier a un diamètre apparent non négligeable. 1- La dépression de l’horizon : 1,1- Réfraction terrestre : C’est le phénomène qui occasionne la déviation d’un rayon lumineux joignant deux points de l’atmosphère (par suite de l’état de l’atmosphère, température, densité …). Le rayon visuel joignant un observateur O à un point point B de la surface de la terre n’est pat rectiligne, l’atmosphère ‘étant pas un milieu isotrope, mais peut être assilmilié, moyennant quelques approximations (OB assez court, e faible ) à un arc de cercle tournant sa concavité vers le centre de la terre. L’angle de réfraction terrestre ρ est l’angle des deux tangentes au rayon visuel en O et B et a pour expression Ρ= 2γC Où C est l’angle OTB et γ est le coefficient de réfraction terrestre de valeur variable suivant l’état de l’atmosphère. Et pour lequel on a adopté comme valeur moyenne γm = 0,08 (γ= 0,05 par temps chaud et sec et γ= 0,15 par temps froid et humide). 1,2- Dépression de l’horizon: L’observateur situé en O (élévation e) voit son horizon apparent dans la direction OH’ et mesure donc la hauteur d’un astre par rapport à cet horizon. Or l’horizon vrai en O est par définition le plan perpendiculaire à la verticale passant par O et est matérialisé sur la figure par la direction OH : horizon vrai local. L’angle d=HOH’ est appelé dépression de l’horizon et est le résultat de sphéricité de la terre combiné avec la réfraction terrestre. On démontre que : 𝑑 = 1,77√𝑒𝑚 C’est la correction à apporter à la hauteur observée h0 pour obtenir la hauteur apparente réfractée, comptée à partir de l’horizon vrai local : har = h0 -d De plus la dépression de l’horizon produisant un relèvement apparent des astres, la correction d sera toujours soustractive . Et compte tenu de l’imprécision avec laquelle on connait γ, la correction de dépression de l’horizon est l’élément le plus incertain des corrections de la hauteur. La table IV des Ephémérides Nautiques donne les valeurs de d pour différentes élévations de l’œil. 2- La réfraction astronomique : 2,1 la réfraction : La lumière subit une déviation (réfraction) lorsqu’elle passe d’un milieu d’un certain indice dans un autre indice diffèrent, le rayon réfracté restant toutefois dans le même plan vertical que le rayon incident. La densité des couches atmosphériques croit à mesure qu’on se rapproche du sol et il en est de même de l’indice de réfraction qui est fonction de la densité du milieu. Ainsi, un rayon lumineux provenant d’un astre A sera successivement réfracté dans chacune des couches de l’atmosphère en ayant tendance à se rapprocher de la normale. La trajectoire suivie par ce rayon tournera sa concavité vers la terre. L’angle A’OA ( OA’ direction apparente de l’astre, OA direction réelle) est appelé « réfraction astronomique » R , on démontre que pour ζr compris entre 0 et 75° et dans les conditions normale de température et de pression( 10°C 760 mm de Hg) R= 60’’,3tg ζr . et ζr distance zénithale réfractée Cette formule est utilisable pour un har>25° avec une erreur inférieur à 0’,1. En contrepartie les basses couches atmosphériques étant un milieu très perturbé la valeur de la réfraction devient irrégulière pour des hauteurs d’astre faibles h<10° et n’obéit à aucune loi bien déterminée. On s’abstient donc habituellement d’observer des astres dont la hauteur est inférieure à 10° voire 20° . La réfraction astronomique produisant un relèvement apparent des astres sera donc toujours soustractives et on aura Ha= har-R La table I des Ephémérides Nautiques donne la valeur de Rm pour une température de 10° et une pression de 760mm de Hg, en fonction de har . les corrections en fonction de la température et de la pression sont faibles et sont données dans les tables II et III des Ephémérides Nautiques. Généralement on peut les négliger pour des hauteurs h>30°.Il est exceptionnel que l’on ait à consulter ces tables de réfraction car Rm est incorporée dans une correction d’ensemble de la hauteur observée. 3- La parallaxe : On voit sur la figure que pour les astres relativement proches du système solaire, il est nécessaire de tenir compte de la parallaxe diurneP, angle sous lequel d’un astre on voit le rayon de la terre, pour obtenir la hauteur vraie géocentrique Hv La parallaxe produisant un abaissement apparent des astres, la correction sera toujours additive Hv= ha+p Cette parallaxe n’affecte pas l’azimut car on considère la terre comme sphérique et le centre de la terre, L’observateur et l’astre situés dans le même vertical. Dans le triangle OTA on peut ecrire sinp 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛ζa 𝐷 ou come p est petit on P rad = 𝑟 𝐶𝑂𝑆 ℎa 𝐷 La parallaxe dépend donc de la hauteur de l’astre : nulle pour un astre au zenithe, elle est maximale pour un astre à l’horizon et vaut alors : 𝜋= 𝑟 𝐷 Appelé parallaxe horizontale On a alors : p= 𝜋 cos ℎ𝑎 La table V des Ephémérides Nautiques donne la valeur de la parallaxe de hauteur p du soleil en fonction de ha . On a pris pour 𝜋 la valeur moyenne 8’’,8 . Les tableaux journaliers des E .N fournissent la parallaxe horizontale des planètes et de la lune. Si pour les planètes la correction est faible <0’,2 , pour la lune cette correction est très importante et ses variations sont rapides (de 54’ à 61’) 4- Le demi-diamètre : 4,1 diamètre apparent des astres : Lorsqu’on mesure avec le sextant la hauteur d’un astre de diamètre apparent sensible, on ne peut ciser dirèctement le centre de cet astre ; on vise son bord inferieur ou son bord superieur et pour obtenir la hauteur du centre on applique une correction corespondnat au demi diamètre de l’astre. Par définition le demi-diamètre δ d’un astre est l’angle sous lequel, de la terre, on voit son rayon, ce autre que la parallaxe de la terre vue de cet astre. On a hcentre = hbord inf + δ = hbord sup - δ comme la distance du soleil et des planètes à la terre est grande par rapport au rayon terrestre on confond les demi-diamètres observés δ et géocentrique δ1 δ dépend de la distance de l’astre donc de la date, dans le cas de la lune, le demi-diamètre varie fortement entre 14’,7 et 16’,7 pour le soleil, il oscille entre 15’,75 et 164,3. Les E.N donnent chaque jour le demi -diamètre du soleil et de la lune 04,1 près. Elles donnent également par la table VI le demi -diamètre de la lune en fonction de la parallaxe horizontale. Généralement o néglige le demi -diamètre des planètes autres que la lune et le soleil. 5- Récapitulation- tables de corrections groupées : 5,1 formule générale : ho = hi + ε+C ; Ha= har-R; Har= hO-d; HV= ha+P; hcentre = hbord inf + δ = hbord sup - δ D’où la formule générale : hcentre = hO –d -R +P ±δ Les corrections doivent être faites dans l’ordre indiqué par la formule. Pour faciliter les calculs ces corrections ont été regroupées dans des tables spéciales des E.N . 5.2 tables des corrections groupées : Les tables VII, VII et IX des E.N permettent suivant l’astre observé d’effectuer avec une précision suffisante l’ensemble des corrections non instrumentales. - Pour le soleil la somme –d-R+P ± δ est donnée dans la table VII en deux temps : Première correction –d-R+P ± δm en fonction de e et ho , δm étant le demi-diamètre moyen ; Deuxième correction : bord inférieur +( δ- δm ), bord supérieur -( δ-+δm ) en fonction de la date. - - Pour les planètes et les étoiles δ est toujours négligeable, P est négligeable sauf pour Mars et Venus. La somme –d-R+P est donnée dans la table VIII en deux temps : Première correction : -(d+R) en fonction de e et ho ; Deuxième correction +P pour Mars et Venus en fonction de ho et de la date. Pour la lune : la correction est donnée dans la tables IX en deux temps : Première correction : d d’où har=ho-d ; Deuxième correction -R+P + δ relative au bord inférieur en fonction de har et π. Pour le bord supérieur il faut retrancher le diamètre de cette correction. VI- La pratique de l’observation : L’utilisation principale du sextant est la mesure des hauteurs d’astres au-dessus de l’horizon. Pour être correcte, cette mesure comporte les opérations suivantes : - Controller le réglage et mesurer la collimation ; - Descendre l’astre sur l’horizon ; - Apprécier le contact de l’astre et de l’horizon ainsi que l’instant de ce contact. 1- Descente de l’astre sur l’horizon : Quatre méthodes sont possibles : 1,1 Méthode usuelle : positionner l’alidade au 0, viser l’astre et les deux images étant initialement dans le champs de la lunette, déplacer l’alidade en abaissant le sextant de manière à conserver toujours l’image réfléchie de l’astre dans la lunette. S’arrêter lorsque l’horizon apparait directement dans la lunette. 1,2 Méthode de la hauteur approchée : déterminer auparavant la hauteur approximative par les tables ou le starfinder. Afficher cette hauteur et viser l’horizon près du pied du vertical de l’astre en « balançant » légèrement le sextant. L’astre doit alors apparaitre dans le champ de la lunette. 1,3 cas du soleil : on peut viser directement l’horizon au voisinage du vertical du soleil et amener l’image réfléchie du soleil dans le champ de la lunette en manœuvrant l’alidade et en balançant le sextant. On « prend le soleil au passage ». 1,4 montée de l’horizon vers l’astre : lorsque l’astre a un éclat faible et l’horizon brillant, on peut « monter l’horizon vers l’étoile » : le sextant est tenu à l’envers, de la main gauche, limbe en haut, l’alidade est au 0, on vise l’étoile et on déplace l’alidade jusqu’à faire apparaitre l’horizon dans le champ. 2- Contact de l’astre et de l’horizon : La difficulté provient du fait qu’il faut à la fois : Tenir le sextant dans le vertical de l’astre ; Apprécier l’horizon ; Apprécier le moment de coïncidence astre/horizon. 2,1 Verticalité du sextant, balancement du sextant : L’angle d’un astre A à l’horizon n’est en réalité la hauteur que si il est mesuré dans le vertical de l’astre, mais rien ne distingue sur l’horizon le pied a du vertical de l’astre et on ne peut savoir à priori le plan du limbe est bien vertical. On tourne la difficulté en disposant le sextant à peu près dans le vertical de l’astre et on vise directement un point a’ de l’horizon choisi aussi voisin que possible de a. on manœuvre ensuite l’alidade jusqu’à ce que l’image doublement réfléchie de A vienne coïncider avec a’. on balance alors le sextant en le faisant tourner autour de la direction OA : oa’ décrit un cône d’axe OA dont la trace sur la sphère locale est un petit cercle a pour rayon Aa, il tangente l’horizon en a et l’angle marqué sur le sextant correspond à la hauteur de l’astre. Le calcul montre que l’erreur sur la hauteur h dûe au manque de verticalité α du plan du limbe au moment de l’observation a pour expression : α2 ∆h’= 3438 4 sin 2ℎ α en radian. Ainsi un défaut de verticalité de 5° occasionne pour un astre à une hauteur h=45° une erreur ∆h=6’ 5 en trop. 2,2 Appréciation de l’horizon et de la coïncidence astre/horizon : La qualité de l’horizon (netteté, uniformité…..) est fonction des conditions météorologiques locales. Suivant le cas il sera bon de se placer soit le plus près possible de la flottaison (mauvaise visibilité) soit sur la passerelle supérieure (temps clair et mauvaise mer). Au cours de l’observation, par suite du mouvement diurne, la hauteur de l’astre varie. Diverses méthode permettent d’apprécier le moment de la coïncidence de l’astre et de l’horizon : - Méthode directe : l’observateur effectue la tangence en manœuvrant le tambour de l’alidade ; Méthode des hauteurs calées : l’observateur cale la hauteur et attend la coïncidence ; Méthode des heures calées : un timonier indique le top à des heures choisies et l’observateur applique la méthode directe. La première méthode est la plus employée et un timonier est indispensable pour noter l’heure exacte à la demi -seconde près de la mesure. 2,3 Equation personnelle de l’observateur : Chaque observateur introduit dans la mesure de la hauteur une erreur personnelle systématique (l’astre est « mouillé » systématiquement plus au moins) qu’il est bon de connaitre. 3- Atténuation des erreurs accidentelles, séries de hauteurs : On conçoit que par un nombre suffisant d’observations on puisse éliminer les hauteurs entachées d’erreurs accidentelles en moyennant les résultats. Pour cela, on effectue une série de 3à 5 mesures séparées par un instant bref (30 secondes environ), il sera alors possible, après avoir éliminé les hauteurs aberrantes par les méthodes exposées cidessous, de calculer la hauteur moyenne et l’heure correspondante. 3,1 Moyennage des hauteurs et des heures : Cette méthode graphique consiste à porter les observations en écart d’heure et de hauteur par rapport à la première. Les hauteurs aberrantes apparaissent immédiatement et sont éliminées. On pourra alors soit adopter une observation considérée comme bonne, soit effectuer la moyenne arithmétique des heures et hauteurs et adopter le résultat comme hauteur observée. 3,2 Réduction des hauteurs : A l’aide de la table IV de la table 900 fournissant les valeurs de 𝑑ℎ 𝑑𝑡 , on peut réduire toutes les hauteurs à la même heure en fonction de l’intervalle de temps séparant les différentes observations de l’heure à laquelle on effectue la réduction, puis effectuer la moyenne arithmétique, les hauteurs aberrantes ayant été éliminées.
