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006

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#6
Relations d'équivalence
Khôlles - Classes prépa
Exercice 1.
ˇ “)
Exercice 2.
ˇ “)
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Déterminer l'erreur dans le raisonnement suivant : "Si la relation binaire R sur E est symétrique et
transitive, alors elle est réexive car pour tout (x, y) ∈ E 2 , on a xRy ⇒ yRx et comme maintenant xRy
et yRx, par transitivité, xRx".
Dans le plan P d'origine O, on dénit pour tout couple de points ∀(M, N ) ∈ P 2 par M RN
O, M, N sont alignés.
Est-ce une relation d'équivalence ? Si oui, quelles en sont les classes ?
Exercice 3.
ˇ “)
Exercice 4.
ˇ “(
⇔
Soit un ensemble non vide E . Quelles sont les relations binaires qui soient à la fois réexives, symétriques et antisymétriques ?
Soient E et F deux ensembles et f ∈ F E .
Soit R la relation dénie sur E par xRy ⇔ f (x) = f (y).
1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E .
2) Soit a ∈ E . Déterminer la classe d'équivalence de a si f est injective.
3) Démontrer que si f n'est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux éléments ou
plus.
Exercice 5.
Soit E un ensemble et P(E) l'ensemble des parties de E .
∀(A, B) ∈ P(E)2 ,
ARB
⇔
A = B ou A = B .
La relation est-elle une relation d'équivalence ?
Exercice 6.
ˇ “(
Exercice 7.
ˇ“
Soit E l'ensemble des droites du plan euclidien R2 . On considère la relation // sur E dénie par la
parallélisme de deux droites.
1) Montrer que // est une relation d'équivalence.
2) Montrer que l'ensemble des classes d'équivalence est en bijection avec les droites passant par
l'origine.
Soit E un ensemble ni non vide et x un élément xé de E . La relation binaire suivante sur P(E)
est-elle une relation d'équivalence ?
ARB
Exercice 8.
⇔
(x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ B)
ˇ “ (Cachan 2000) Un must !
Soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E 6= ∅. Pour x ∈ E , on note x̊ la classe d'équivalence
de x modulo R. Soit (x, y) ∈ E 2 .
1)
Montrer la sorite :
25 septembre 2018
1
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
i.
ii.
iii.
iv.
xRy
x̊ = ẙ
x̊ ∩ ẙ 6= ∅
x et y appartiennent à la même classe d'équivalence.
2)
En déduire que si (x, y) ∈ E 2 , on a x̊ 6= ẙ
3)
Soit R la relation binaire dénie dans R par xRy ⇔ xey = yex
Montrer que R est une relation d'équivalence.
Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x̊, classe de x modulo R.
4)
Exercice 9.
⇔
x̊ ∩ ẙ = ∅
ˇ“
Soit R la relation dénie sur l'ensemble des nombres réels par :
aRb si et seulement si a3 − b3 = a − b
1)
2)
Démontrer que R est une relation d'équivalence.
Déterminer les classes d'équivalence.
Exercice 10.
ˇ“
Exercice 11.
ˇ“
On considère dans N × N la relation dénie par : (x, x0 )R(y, y 0 ) si et seulement si x + y 0 = x0 + y .
Montrer que R est une relation d'équivalence.
Donner la classe d'équivalence de (1; 2).
Sur R , on dénit la relation binaire (x, y)R(z, t) ⇔ xy = zt.
1) Montrer que R est une relation d'équivalence.
2) Quelles sont les classes d'équivalence de R ?
3) Si l'on impose en plus xz ≥ 0, a-t-on toujours une relation d'équivalence ?
2
Nombre de relations d'équivalence
Soit Rn le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments.
1) Trouver une relation de récurrence entre Rn et les Rk , k < n
(xer un élément, et raisonner sur la classe d'équivalence de cet élément).
2) Calculer Rn pour n ≤ 6.
Exercice 12.
Equivalence entre fonctions
Soient E, F , deux ensembles non vides. On dénit deux relations sur X = F E par :
Exercice 13.
f ∼g
f ≡g
⇐⇒
⇐⇒
∃ φ : F −→ F bijective tq g = φ ◦ f,
∀ x, y ∈ E, f (x) = f (y) ⇐⇒ g(x) = g(y) .
Montrer que ce sont des relations d'équivalence.
Montrer que f ∼ g ⇒ f ≡ g .
3) On suppose f ≡ g . Montrer que f ∼ g dans les cas suivants :
a) F est ni et f est surjective.
b) F est ni et f est quelconque.
c) E est ni.
4) Chercher un contrexemple pour E = F = N.
1)
2)
Exercice 14.
Soient E et F deux ensembles et f ∈ F E .
Soit R la relation dénie sur E par xRy ⇔ f (x) = f (y).
1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E .
2
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
Soit a ∈ E . Déterminer la classe d'équivalence de a si f est injective.
Démontrer que si f n'est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux éléments ou
plus.
4) Exemples d'applications f :
2
a) Soit f dénie sur R par f (x) = x − x. Décrire la classe d'équivalence d'un réel a.
2
2
b) Soit f dénie sur R par f (x, y) = x − y . Déterminer la classe d'équivalence de (a, b) ∈ R puis
en donner une interprétation géométrique.
2)
3)
Parties saturées pour une relation d'équivalence
S
Soit ∼ une relation d'équivalence sur un ensemble E . Pour A ⊂ E , on dénit s(A) =
ẋ.
Exercice 15.
x∈A
1)
2)
3)
4)
Comparer A et s(A).
Simplier s(s(A)).
Montrer que : ∀ x∈ E , on
a (x ∈ s(A)) ⇐⇒
(ẋ ∩s(A) 6= ∅). En déduire s(E \ s(A)).
Démontrer que s
S
Ai
=
i∈I
5)
S
s(Ai ) et s
T
i∈I
Ai
i∈I
Donner un exemple d'inclusion stricte.
⊂
T
s(Ai ).
i∈I
Parties saturées pour la relation d'équivalence associée à f
Soit f : E → F une application, et S = {X ⊂ E tq f −1 (f (X)) = X}.
−1
1) Pour A ⊂ E , montrer que f
(f (A)) ∈ S .
2) Montrer que S est stable par intersection et réunion.
−1
3) Soient X ∈ S et A ⊂ E tels que X ∩ A = ∅. Montrer que X ∩ f
(f (A)) = ∅.
4) Soient X et Y ∈ S . Montrer que X et Y \ X appartiennent à S .
Exercice 16.
5)
Montrer que l'application
ϕ:
S
A
−→
7−→
P(f (E))
f (A)
est une bijection.
Exercice 17.
Soient E et F deux ensembles et f : E −→ F une application.
On dénit une relation R sur E en posant, pour tout(x, x0 ) ∈ E × E , xRx0 ⇔ f (x) = f (x0 ).
1) Est-ce une relation d'équivalence ?
2) Quelles en sont les classes ? A quelle condition les classes sont des singletons ?
Congruence des carrés modulo 5
On dénit la relation ∼ sur Z par x ∼ y ⇐⇒ x2 ≡ y 2 [5].
1) Déterminer l'ensemble quotient.
2) Peut-on dénir une addition quotient ? une multiplication quotient ?
Exercice 18.
Produit cartésien
Soient deux relations d'équivalence : R sur E , et S sur F . On dénit sur E × F :
Exercice 19.
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒ xRx0 et ySy 0 .
1)
2)
Vérier que ∼ est une relation d'équivalence.
φ: E×F
−→
(E/R) × (F/S)
Soit
(x, y) 7−→
(ẋ, ẏ)
Démontrer que φ est compatible avec ∼, et que l'application quotient associée est une bijection.
Exercice 20.
X ∪A=Y ∪A
Soit E un ensemble et A ⊂ E . On dénit la relation sur P(E) :
X ∼ Y ⇐⇒ X ∪ A = Y ∪ A.
3
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
1)
2)
Montrer que c'est une relation d'équivalence.
φ : P(E) −→
P(E \ A)
Soit
X
7−→
X \A
Montrer que φ est compatible avec ∼, et que l'application quotient associée est une bijection.
Exercice 21.
Équivalences sur E E
Soit E un ensemble non vide. On considère les relations sur F = E E :
f ∼ g ⇐⇒ ∃ n ∈ N∗ tq f n = g n ,
f ≈ g ⇐⇒ ∃ m, n ∈ N∗ tq f n = g m ,
f ≡ g ⇐⇒ f (E) = g(E).
1)
2)
Montrer que ∼, ≈, ≡ sont des relations d'équivalence.
Pour f ∈ F , on note f ∼ , f ≈ , f ≡ les classes d'équivalence de f modulo ∼, ≈, ≡.
∼
≈
a) Comparer f , f .
b) Montrer que toute classe d'équivalence pour ≈ est réunion de classes d'équivalence pour ∼.
≈
c) Que pouvez-vous dire de f s'il existe g ∈ f
injective ? surjective ?
≡
d) Même question avec f .
Relation d'équivalence quotient
Soient R et S deux relations d'équivalence sur un ensemble E , telles que :
Exercice 22.
∀ x, y ∈ E, xRy ⇒ xSy.
On dénit Ṡ sur E/R par : ẋṠ ẏ ⇐⇒ xSy .
Vérier que Ṡ est une relation d'équivalence, puis dénir une bijection entre (E/R)/Ṡ et E/S .
Complétion d'une relation réexive et transitive
Soit R une relation binaire sur un ensemble E réexive et transitive. On dénit les deux relations :
Exercice 23.
xSy
xT y
⇐⇒
⇐⇒
(xRy et yRx),
(xRy ou yRx).
Est-ce que S et T sont des relations d'équivalence ?
Exercice 24.
Soient E et F deux ensembles et f ∈ F E .
Soit R la relation dénie sur E par xRy ⇔ f (x) = f (y).
1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E .
2) Soit a ∈ E . Déterminer la classe d'équivalence de a si f est injective.
3) Démontrer que si f n'est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux éléments au
plus.
4) Exemples d'applications f :
2
a) Soit f dénie sur R par f (x) = x − x. Décrire la classe d'équivalence d'un réel a.
2
2
b) Soit f dénie sur R par f (x, y) = x − y . Déterminer la classe d'équivalence de (a, b) ∈ R puis
en donner une interprétation géométrique.
(ENS Cachan D2 - 1998)
Soit E un ensemble non vide muni d'une relation binaire notée . Supposons que quels que soient les
éléments x, y et z choisis dans E cette relation binaire vérie les deux propriétés suivantes :
Exercice 25.
Propriété T : [¬(x y) ∧ ¬(y z)] ⇒ ¬(x z).
Propriété A : (x y) ⇒ ¬(y x).
4
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
La première propriété peut être considérée comme une transitivité négative alors que la seconde
est l'asymétrie. Considérons deux autres relations binaires sur E , notée ∼ et , dénies à partir de la
relation initiale comme suit :
∀(x, y) ∈ E 2 ,
∀(x, y) ∈ E 2 ,
(x ∼ y) ⇔ [¬(x y) ∧ ¬(y x)].
(x y) ⇔ [(x y) ∨ (x ∼ y)].
A titre d'exemple, E pourrait être un ensemble de paniers de biens et les propositions x y , x ∼ y
et x y pourraient être lues 'le panier x est préféré au panier y ', 'le panier x est équivalent au panier y '
et 'le panier x est préféré ou équivalent au panier y ' respectivement.
1) Montrer qu'une et une seule des trois propositions suivantes est vraie :
(x y),
2)
3)
4)
(x ∼ y).
Montrer que la relation est transitive.
Montrer que la relation ∼ est une relation d'équivalence.
Etablir les deux implications suivantes :
∀(x, y, z) ∈ E 3 ,
∀(x, y, z) ∈ E 3 ,
5)
(y x),
(x y) ∧ (y ∼ z) ⇒ (x z).
(x ∼ y) ∧ (y z) ⇒ (x z).
Montrer que la relation est transitive et réexive. En déduire qu'il s'agit d'un préordre total.
5
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
Solutions des exercices
Exercice 1.
Il sut de considérer un élément x qui n'est en relation avec personne. Le raisonnement ne s'applique
pas et on n'est pas assuré que x soit en relation avec x.
Exercice 2.
Oui, c'en est une. Les classes sont les droites passant par l'origine.
Exercice 3.
On a xRy ⇒ yRx par symétrie et comme la relation est antisymétrique, x = y . Ainsi, une relation
symétrique et antisymétrique impose xRy ⇔ s = y . Les classes sont donc des singletons.
Exercice 4.
1) La réexivité, la symétrie et la transitivité ne sont que des conséquences de ces propriétés de
l'égalité sur R.
2) On cherche les x ∈ E tels que xRa, i.e. f (x) = f (a). Mais comme f est injective, on a x = a, donc
ȧ = {a}. Toutes les classes sont des singletons.
3) Si f n'est pas injective, il existe x 6= y tels que f (x) = f (y). Ainsi {x, y} ⊂ ẋ.
Exercice 6.
Réexivité (une droite est parallèle à elle-même), symétrie (si D//D0 , alors D0 //D) et transitivité
(propriété de cinquième).
1)
ϕ:
D
−→
D
0
On construit la surjection :
qui va de l'ensemble des droites du plan dans
D 7−→ D0
l'ensemble des droites passant par l'origine et qui à chaque droite du plan associe celle qui est parallèle
passant par O, notée D0 . Toutes les droites d'une même classe s'envoie sur la même image et deux
droites qui ne sont pas dans la même classe (i.e. pas parallèles) n'ont pas la même image, d'où la
bijection sur les classes.
2)
Exercice 7.
Réexivité : On a ARA car A ∩ A = A et A ∩ A = A. Donc l'assertion (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ B) est
une tautologie.
Symétrie : Si ARB , alors BRA, cela tient au fait que ∩ est symétrique et A ∩ B = B ∩ A, de même
que A ∩ B = B ∩ A.
Transitivité : Si ARB et BRC , alors (x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ B ) et (x ∈ B ∩ C ou x ∈ B ∩ C ). Quatre
cas à considérer avec deux impossibilités : x ∈ A ∩ B et x ∈ A ∩ B puisque x serait à la fois dans B et
dans B . Idem avec x ∈ A ∩ B et x ∈ B ∩ C .
Il ne reste donc plus que deux cas : x ∈ A ∩ B et x ∈ B ∩ C , ce qui donne x ∈ A ∩ C . Ou alors
x ∈ A ∩ B et x ∈ B ∩ C qui implique x ∈ A ∩ C .
Exercice 8.
Par permutation circulaire :
• i)⇒ii) : Par double inclusion, soit z ∈ x̊, alors xRz et par transitivité, yRz , donc z ∈ ẙ .
Ainsi x̊ ⊂ ẙ . Idem dans l'autre sens.
• ii)⇒iii) : On a toujours x ∈ x̊, grâce à la réexivité, donc x ∈ x̊ ∩ ẙ qui est non vide.
• iii)⇒iv) : Par hypothèse, il existe z ∈ x̊ ∩ ẙ . Donc xRz et yRz . Ainsi {x, y} ⊂ z̊ .
• iv)⇒i) : Si {x, y} ⊂ z̊ , alors xRz et yRz et par transitivité, xRy .
2) Il sut de considérer ¬(ii) ⇔ iii)).
3) L'astuce est de voir que l'équation est séparable i.e. on peut transposer tous les x d'un côté et
x
y
x
tous les y de l'autre : xey = yex ⇔
= y . En posant f (x) = x , on trouve ma relation
ex
e
e
d'équivalence classique associée à une application : xRy ⇔ f (x) = f (y).
4) Il faut faire l'étude de la fonction dont le graphe est :
1)
6
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
On voit donc que si x ∈]−∞, 0]∪{1}, alors la classe est réduite à un singleton. Si x ∈]0, 1[∪]1, +∞[,
alors la classe est un couple.
Exercice 9.
1)
On utilise la séparation : a3 − b3 = a − b
2)
Deux réels sont donc dans la même classe d'équivalence si et seulement si ils ont même image par
f (x) = x3 − x.
⇔
a3 − a = b3 − b
⇔
f (a) = f (b) avec
f . On trace donc des droites horizontales et on cherche les antécédents :
Sur cet exemple, la classe de α contient trois éléments : {α, β, γ}.
On cherche donc les points charnières qui correspondent aux extrema. On pose δ le réel en lequel
le minimum est atteint. On a alors f 0 (δ) = 0 ⇔ 3δ 2 − 1 =. Comme δ > 0, on a δ = √13 . Il reste à
√ . Soit à résoudre :
trouver l'autre antécédent (négatif) de f (δ) = 3−2
3
−2
f (x) = √
3
Or
√1
3
−2
x3 − x = √
3 3
(∗)
est racine bien sûr. Donc
(∗)
⇔
⇔
1
x− √
3
1
2
x2 + √ x −
=0
3
3
⇔
1
x− √
3
2 2
x+ √
3
= 0.
Ainsi, si x ∈ [0, √23 ]\{ √13 }, alors la classe d'équivalence contient trois éléments.
Si x = √13 alors il n'y a que deux éléments dans la classe d'équivalence.
Si x > √23 alors l'élément est seul dans la classe.
Idem pour les négatifs par symétrie.
7
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
Exercice 10.
Réexivité, symétrie et transitivité ne posent pas de problème dès l'instant où on se rend compte que
l'équation est séparable : (x, x0 )R(y, y 0 ) ⇔ x − x0 = y − y 0 .
Pour la classe de (1; 2), on cherche les couples (x, x0 ) tels que x − x0 = 1 − 2 = −1. Sur le plan (Oxx0 ),
il s'agit de la droite d'équation x = x0 − 1.
Exercice 11.
Réexivité, symétrie et transitivité ne posent pas de problème.
αβ
2) On cherche, pour (α, β) xé, les couples (x, y) tels que xy = αβ , autrement dit y =
. Il s'agit
x
donc des points d'une hyperbole si αβ 6= 0 et des deux axes sinon.
3) Oui mais on perd une des branches de l'hyperbole à chaque classe.
1)
Exercice 12.
1)
Rn =
n−1
P
k
Cn−1
Rk avec R0 = 1.
k=0
2)
1,1,2,5,15,52,203.
Exercice 14.
1) La réexivité, la symétrie et la transitivité ne sont que des conséquences de ces propriétés de
l'égalité sur R.
2) On cherche les x ∈ E tels que xRa, i.e. f (x) = f (a). Mais comme f est injective, on a x = a, donc
ȧ = {a}. Toutes les classes sont des singletons.
3) Si f n'est pas injective, il existe x 6= y tels que f (x) = f (y). Ainsi {x, y} ⊂ ẋ.
4) a) On étudie la fonction dont la représentation graphique est une parabole et on trouve donc que
1
si a 6= , alors ȧ = {a, 1 − a}.
2
1
Si a = , alors ȧ = {a}.
2
b) Ici on a (a, b) et (x, y) dans la même classe si x − y = a − b, soit l'ensemble des points tels que
y = x − a + b. Une classe est donc représentée par une droite du plan.
Exercice 15.
1) Soit y ∈ A, alors y ∈ ẏ . Donc y ∈ s(A) puisque s(A) est le regroupement de toutes les classes des
éléments qui sont dans A.
En revanche, si on choisit y ∈ s(A), cela veut dire que yRx avec un x ∈ A, mais rien ne dit que
y ∈ A. Pour fournir un contre exemple à l'inclusion dans l'autre sens, il sut de prendre un élément
x qui a au moins deux éléments dans sa classe {x, y} ⊂ ẋ. En posant {x} = A, on a alors A ( s(A).
2) On a clairement s(A) ⊂ s(s(A)).
S
Dans l'autre sens, on prend t ∈ s(s(A)). Comme s(s(A)) =
ẏ , il existe un y ∈ s(A) tel que
y∈s(A)
t ∈ ẏ . Mais comme y ∈ s(A), il existe x ∈ A tel que y ẋ ⇔ ẋ = ẏ . Ainsi, t ∈ ẋ et t ∈ s(A). Donc
s(s(A)) = A d'où la notion de saturé.
3) Si x ∈ s(A), alors il existe y ∈ A tel que x ∈ ẏ . Ainsi, ẏ = ẋ et ẋ ∩ s(A) = ẏ ∩ s(A) = ẏ 6= ∅
Si x ∈ E tel que (ẋ ∩ s(A) 6= ∅), alors il existe y ∈ (ẋ ∩ s(A)). Comme y ∈ s(A), on a ẏ ⊂ s(A) et
en particulier, x ∈ ẏ ⊂ s(A).
On en déduit que s(E \ s(A))
= E \s(A).
S
S
4) Il est clair que
s(Ai ) ⊂ s
Ai .
i∈I
i∈I S
Dans l'autre sens, soit x ∈ s
Ai , alors il existe y ∈ ∪Ai tel que x ∈ ẏ . Mais comme x ∈ s(Ai ),
i∈I
S
on a bien x ∈ s
Ai .
i∈I
8
Thierry Sageaux
Relations d'équivalence
Pour l'intersection, on prend x ∈ s
pour tout i et x ∈
T
s(Ai ).
T
Ai , alors il existe y ∈
i∈I
T
Ai tel que x ∈ ẏ . Donc ẏ ∈ s(Ai )
i∈I
i∈I
On prend (x, y, z) ∈ E 3 tels que yRz , mais x n'est pas en relation avec y (ou z ). On pose alors
A = {x, y} et B = {x, z}. Ainsi, s(A ∩ B) = ẋ et s(A) ∩ s(B) = ẋ ∪ ẏ .
5)
Exercice 17.
Oui.
Les classes sont les images réciproques des singletons de F par f . Ce sont des singletons si f est
injective.
1)
2)
Exercice 25.
Il faut donc vérier que l'on ne peut pas avoir deux de ces propriétés vraies en même temps.
On remarque tout d'abord que si (x ∼ y) est vrai, alors par dénition, ni (x y), ni (y x) ne
peuvent être vrais.
D'autre part, seulement l'une des deux propriétés (x y) et (y x) peuvent être vraies du fait
de l'asymétrie.
2) On suppose donc (x y) et (y z). Par l'asymétrie, on a ¬(y x) et ¬(x y). Par la transitivité
négative, on trouve ¬(x z). Par contraposée de l'asymétrie, ¬(x z) ⇒ (z x). D'où la
transitivité.
3) Réexivité : Si (x x) était vrai, on aurait par l'asymétrie que ¬(x x) serait vrai, ce qui est
absurde. Donc ¬(x x) est vrai et ¬(x x) ∧ ¬(x x) ⇔ (x ∼ x).
Symétrie : On a clairement (x ∼ y) ⇔ [¬(x y) ∧ ¬(y x)] ⇔ [¬(y x) ∧ ¬(x y)] ⇔ (y ∼ x).
Transitivité : Si (x ∼ y) ∧ (y ∼ z), alors [¬(x y) ∧ ¬(y x) ∧ ¬(y z) ∧ ¬(z y)]. En les
regroupant deux à deux par la transitivité négative, on trouve [¬(x z) ∧ ¬(z x)] ⇔ (x ∼ z)
4) D'après la contraposée de la transitivité négative, on a (y z) ⇒ [(y x) ∨ (x z)] Or on sait
que (x ∼ y), ce qui n'est pas compatible avec (y x) d'après la première question. Ainsi, (x z).
De la même façon, on obtient l'autre implication.
5) Réexivité : Elle vient du fait que ∼ est une relation d'équivalence, donc réexive. Ainsi, x ∼ x et
x x.
Transitivité : On suppose (x y) et (y z). Ce qui donne [(x y) ∨ (x ∼ y)] ∧ [(y z) ∨ (y ∼ z)],
ce qui fait quatre cas à considérer. La transitivité de et de ∼ donne directement deux de ces cas
(les extrêmes). Et la propriété précédente donne les deux suivants (les croisés).
1)
9
Thierry Sageaux
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