Prés Electro Ch 1et 2

23/09/2019
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.1. Représentation complexe des grandeurs sinusoïdales
Définition
y
Un courant alternatif
sinusoïdal est un signal
sinusoïdal, qui s’exprime
de la manière suivante :
t
T
=
sin
t1
+
0
1
t
2
L’expression de la valeur moyenne d’un signal i(t) périodique sur une
période T est :
< ( ) >=
1
()
< ( ) >=
=
1
( )
=
4
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.1. Représentation complexe des grandeurs sinusoïdales
Définition
Dans la représentation cartésienne, les
nombres complexes se présentent sous la
forme :
Les nombres complexes peuvent être
assimilés à des vecteurs du plan.
Dans la représentation trigonométrique, au
lieu de repérer le vecteur par sa projection
sur deux axes, on le repère par sa longueur et
par l’angle qu’il fait avec un axe.
|x| est le module de x
φ est l'argument de x : φ= Arg(x)
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.1. 1.1. Représentation complexe des grandeurs sinusoïdales
Représentation polaire
6
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.1. 1.1. Représentation complexe des grandeurs sinusoïdales
Représentation vectorielle
Représentation de Fresnel
Ce mode de représentation, appelé diagramme de Fresnel, permet de
mettre en évidence les déphasages relatifs des différentes grandeurs
sinusoïdales et d’effectuer des opérations élémentaires (addition,
soustraction).
Y
Exemple :

Yeff
àt=0

Direction origine
=3 2
−
=5 2
+
12
4
O
1
Vecteur unité
7
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.2. Forme exponentielles
Représentation exponentielles
La représentation du nombre complexe sous forme exponentielle est
aussi possible grâce à la formule d’Euler.
8
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.2. Forme exponentielles
Représentation exponentielles
En régime sinusoïdal, tous les éléments du circuit varient avec la même
pulsation , par conséquent le terme
est commun à la
représentation de toutes les grandeurs sinusoïdales du circuit et peut donc
être simplifié.
On appelle par définition phaseur la grandeur complexe :
9
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.2. Forme exponentielles
Application
Application 1 :
Application 2 :
Application 3 :
Application 4 :
10
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Impédances
L’impédance est l’équivalent en l’alternatif à la résistance en continu.
Z
U U j (u i )
 e
 Ze jj
I
I
Z  Ze jj  Z cos j  jZ sin j  R  jX
R  Z cos j
X  Z sin j
R est la Résistance
X est la Réactance
Z  R 2  X2
X

R
j  arctg
11
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Admittance
L’admittance est l’équivalent en l’alternatif à la conductance en continu.
Y
1 I
I
  e j (i u )  Ye jj *
Z U U
*
Y  Ye jj  Y cos j *  jY sin j *  G  jB
G  Y cos j *
G est la conductance
Y  G 2  B2
B  Y sin j *
B est la susceptance
j *  arctg
B

G
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Conducteur ohmique
Z  Re j ( 0)  R  0 j
RR X0
ji/u = 0
u
i
t
t
Y  Ge j ( 0 )  G  0 j
GG B0
U
I
O
1
i = u
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Bobine
ji/u =
π
2
u
π
j( )
2
Z  Lωe
 0  jLω
R  0 X  Lω
i
t
t
0
π
1  j( 2)
1
e
 0
Y
jLω
Lω
1
G0 BLω
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Condensateur
π
ji/u = - 2
u
Z
1
e
Cω
π
 j( )
2
R0 X-
 0
1
jCω
i
t
t
0
1
Cω
π
j( )
2
Y  Cωe
 0  jCω
G  0 B  Cω
U
j=I
O
π
2
1
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Associations de dipôles passifs
En série : Ce sont les impédances qui s’ajoutent.
kN
Zeq  Z1  Z 2  ...Z N   Z k
k 1
Zeq  R 1  R 2  ...R N   j X1  X 2  ...X N 
k N
Zeq   R k  jX k 
k 1
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Groupement d’impédance
Associations de dipôles passifs
En dérivation : Ce sont les admittances qui s’ajoutent.
kN
Y eq  Y1  Y 2  ...Y N   Y k
k 1
Y eq  G1  G 2  ...G N   j B1  B2  ...BN 
k N
Y eq   G k  jBk 
k 1
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
La puissance instantanée dissipée dans un composant : p = vi
Circuit résistif
Circuit réactif
• La tension et le
courant sont en
phase.
• La mesure de
puissance est
simple.
• La tension et le
courant sont en
déphasage.
• La mesure de
puissance est un
peu
compliquée.
i
e
C
i
R
e
L
R
18
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit résistif
Supposons v = V0 sin t appliquée aux bornes de résistances :
Le courant résultant est
v V0 sin t
 I 0 sin t
de la forme suivante : i  R 
R
La puissance est donc :
p  vi  V0 sin t  I 0 sin t  V0 I 0 (sin 2 t )  V0 I 0 (
i
e
R
1  cos 2t
)
2
La puissance moyenne
:
1
V I
P  V0I0  0  0  Veff Ieff
2
2 2
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit résistif
20
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit inductif
i
Courant
e
L
Puissance instantanée
p  vi
 Vm sin t   I m cos t
 Vm I m (sin t  cos t )
 Vm I m (
sin 2t
)
2
Puissance moyenne
21
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit inductif
22
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit capacitif
Courant
Puissance instantanée
i
e
C
p  vi
 Vm sin t  I m cos t
 Vm I m (sin t  cos t )
 Vm I m (
sin 2t
)
2
Puissance moyenne
23
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance
Circuit capacitif
24
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Puissance complexe
Circuit avec une résistance et une réactance
p  vi
 VP sint  I P sin(t   )
1
 VP I P {cos  cos(2t   )}
2
1
1
p  VP I P cos  VP I P cos(2t   )
2
2
P 
p
P = (p)moy
+
t
1
V
I
V P I P (cos  )  P  P  (cos  )  VI cos 
2
2
2
Puissance active [W]
25
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Applications
Circuit avec une résistance et une réactance
Puissance apparente [VA]
∗
=
Puissance active [W]
∗
P = Ueff Ieff cosji/u
Facteur de puissance
Puissance réactive [var]
fp = cosji/u
Q = Ueff Ieff sinji/u
S  P 2  Q2
26
Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Applications
Circuit avec une résistance et une réactance
Théorème de boucherot
Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles
sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives
absorbées par chaque élément du groupement.
•
•
•
Puissance instantanée ∶
Puissance active : =
Puissance réactive : =
=
=
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour
la puissance apparente.
+
27
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Applications
Application 1
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Chapitre 1 : Nombres complexes en
courant alternatif
1.3. Applications
Application 2
29
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Introduction
30
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Introduction
• Générateur : 3 générateurs fournissant un système équilibré de
tension.
• Transport : ligne formée de 3 fils identiques et parfois d’un fil neutre.
31
• Récepteur : formé de 3 éléments identiques.
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
400 V
Tensions triphasées
230V
On appelle :
Phase et
• Tensions simples (____________) : tensions entre ________________
32
neutre
.
Entre
deux
• Tensions composées (____________) : tensions entre _____________.
Phases.
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
Tension simple
Valeur instantanée
=
Vecteur de Fresnel associé
2 sin
=
=
2 sin
2
−
3
=
2 sin
−
;0
=
;−
2
3
4
3
=
;−
4
3
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
Tension simple
Dans un système triphasé équilibré, les
trois
tensions simples sinusoïdales :
• ont la même valeur efficace V.
• ont la même fréquence.
• sont déphasées de (120°) les unes
par rapport aux autres.
Remarques :
• Dans un système triphasé équilibré,
on a :
+
+ =0
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
Tension composée
=
2 sin
=
2 sin
=
2 sin
+
6
3
−
6
7
−
6
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
Tension composée
Dans un système triphasé équilibré, les trois
tensions simples sinusoïdales :
• ont la même valeur efficaceV.
• ont la même fréquence.
• sont déphasées de
(120°) les unes par
rapport aux autres.
Remarques
• Dans un système triphasé équilibré,
on a :
+
+
=0
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Tension simple et tension composée
On a comme relation entre U et V :
=2
= 2
30
3
2
⟹
=
3
Un réseau triphasé s'écrit sous la forme : V/U
Exemple de réseau :
Réseau 230V / 400V ou réseau 400V
Tension simple V
Tension composée
U
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Récepteurs triphasé
Notions importante
• Récepteurs triphasés : ce sont des récepteurs constitués de trois
éléments identiques, d’impédance Z.
• Equilibré : car les trois éléments sont identiques.
• Courants par phase : c’est le courant qui traverse les éléments Z du
récepteur triphasés. Symbole : J.
• Courants en ligne : c’est le courant dans les fils du réseau triphasé.
Symbole : I.
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Récepteurs triphasé
Couplage Etoile
Symbole
Charge et réseau sont équilibrés
Courants de ligne
=
=
=
=
=
= =
Courants de phase
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Récepteurs triphasé
Couplage Triangle
Symbole
Loi des
nœuds
=
−
=
−
=
−
+
+
=0
Le système triphasé est équilibré :
= =
= I et
=
= =
Chapitre 2 : Système triphasé
2.2. Analyse des circuits triphasés
Montage Etoile-Etoile avec neutre
Pour analyser le circuit, on prend uniquement
la phase a
Il suffit d’ajouter le déphasage correspondant pour les autres phases.
le courant de neutre
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.2. Analyse des circuits triphasés
Montage Etoile-Etoile sans neutre
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Récepteurs triphasé
Puissance en Couplage Etoile et triangle
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Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Mesure de puissance
Méthode des 3 wattmètres
P  P1  P2  P3
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Mesure de puissance
Méthode des 2 wattmètres
P  P1  P2
= 3
−
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Perte par effet joule
Formule en prenant en considération le couplage
Dans un enroulement triphasé couplé en
étoile, les courants qui parcourent les trois
phases de résistance sont directement les
courant en ligne. Ces trois courants ont une
intensité efficace I, et les pertes par effet Joule
sont données par la formule :
= 3
Dans un enroulement triphasé couplé en
triangle, les courants qui parcourent les trois
phases de résistance sont les courants de
phase. Ces trois courants ont une intensité
efficace , et les pertes par effet Joule sont
données par la formule :
= 3
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé équilibré
Perte par effet joule
Formule sans prise en considération du couplage
Si l’enroulement est en étoile, deux résistances
sont en série entre deux bornes, et la résistance
=2
apparente est :
Les pertes par effet Joule s’expriment par :
3
=
2
Si l’enroulement est en triangle, deux
résistances R en série sont en parallèle avec la
troisième résistance R, et la résistance
2
apparente est :
=
3
les pertes par effet Joule s’expriment encore
par :
3
=
2
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Définition
Causes des circuits triphasés déséquilibrés :
1. Charge déséquilibrée : Il peut exister un court-circuit dans la charge, ou une
mauvaise répartition des charges monophasées sur le réseau triphasé.
2. Source déséquilibré : Court-circuit à la source ou dans un transformateur.
De façon pratique, on retrouve des charges déséquilibrées plus souvent que des
sources déséquilibrées.
On peut utiliser l’une de deux méthode d’étude pour résoudre ces circuits :
1. Utilisation des lois relatives aux circuits électriques (mailles, nœuds, etc..).
2. Méthodes des composantes symétriques.
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Tout système triphasé déséquilibré peut être décomposé en une somme :
• d’un système direct,
• d’un système inverse,
• d’un système homopolaire.
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Composante directe
Vc1
Va1
Vb1
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Composante Inverse
Vb2
Va2
Vc2
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Composante homopolaire
Vc0
Vb0
Va0
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Exemple
Vc
Va
Vb
•
•
•
Va = 13.4 /0°
Vb = 59.6 /-104°
Vc = 59.6 /104°
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Exemple
Vc
Va2 2
Vb2
• Va0 = -5.4
s
Va1 = 42.9
s
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Exemple
Va2 = -24.1
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Exemple
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Système complet
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Système complet de courant
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Système complet d’impédance
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Système complet d’impédance
Pour la composante du système direct :
Composante de phase :
Composante ligne-ligne :
Pour la composante du système inverse :
Composante de phase :
Composante ligne-ligne :
Pour la composante homopolaire :
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Méthodes des composantes symétriques
Application
Calculer les composantes de séquence
directe, inverse et homopolaire des
tensions de ligne.
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Calcul de la puissance
Soit une charge triphasée quelconque :
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Calcul de la puissance
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Calcul de la puissance
Chapitre 2 : Système triphasé
2.1. Système triphasé déséquilibré
Calcul de la puissance
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.3. Compensation de la puissance réactive
Facteur de puissance
Un faible facteur de puissance provoque des chutes de tension et des pertes
d'énergie sur le réseau, ce qui rend nécessaire de surdimensionner les
installations électriques.
En améliorant le facteur de puissance, on peut réduire la demande de
charge kVA et potentiellement améliorer le rendement de l’équipement.
Chapitre 2 : Système triphasé
2.3. Compensation de la puissance réactive
Facteur de puissance
La circulation de l’énergie réactive a des
incidences
techniques
et
économiques
importantes.
En effet, pour une même puissance active P, la
figure suivante montre qu’il faut fournir d’autant
plus de puissance apparente, et donc de courant,
que la puissance réactive est importante
Ainsi, du fait d'un courant plus important, la circulation de l’énergie réactive sur les
réseaux de distribution entraîne :
■ des surcharges au niveau des transformateurs,
■ l’échauffement des câbles d’alimentation,
■ des pertes supplémentaires,
■ des chutes de tension importantes.
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.3. Compensation de la puissance réactive
Facteur de puissance
Un bon facteur de puissance c’est :
 cos j élevé (proche de 1) ,
 ou tg j faible (proche de 0).
Un bon facteur de puissance permet d’optimiser une installation électrique et
apporte les avantages suivants :
•
•
La suppression de la facturation d’énergie réactive.
•
L’apport de puissance disponible supplémentaire au niveau des
transformateurs de puissance si la compensation est effectuée au secondaire.
La limitation des pertes d’énergie active dans les câbles compte-tenu de la
diminution de l’intensité véhiculée dans l’installation
Chapitre 2 : Système triphasé
2.3. Compensation de la puissance réactive
Facteur de puissance
23/09/2019
Chapitre 2 : Système triphasé
2.3. Compensation de la puissance réactive
Facteur de puissance
En utilisant le même raisonnement que précédemment, on montre que la
capacité du condensateur est donnée par la relation :