Telechargé par Malick Cissé

2s angles et trigo

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Chapitre : Angles et trigonométrie
I.
Badji lycée
DJIGNABO
Angles
1) Rappels et compléments sur les angles géométriques
a) Longueur d’un arc
Soit un cercle de centre O, de rayon 𝑟𝑟 et 𝑃𝑃 le périmètre de ce cercle. Le périmètre de
ce cercle correspond à la longueur de l’arc intercepté par l’angle plein de mesure
360°. On a donc : 2𝜋𝜋𝜋𝜋 → 360°
Soit 𝛼𝛼 la mesure en degré d’un angle quelconque et 𝑙𝑙 la longueur de l’arc intercepté
par cet angle. Nous avons la correspondance suivante :
2𝜋𝜋𝜋𝜋 → 360°
𝑙𝑙 ← 𝛼𝛼
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
⟺ 𝑙𝑙 =
360°
⟺ 𝑙𝑙 =
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
180°
Exemple : Déterminer 𝑙𝑙 dans les cas suivants :
b) Le radian
Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle plat (180°)
mesure 𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. Son symbole est « rad »
Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de 𝑥𝑥 degrés en
un angle de 𝛼𝛼 radian (ou inversement).
Degrés
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Radian
𝝅𝝅
Exemple :
•
𝒙𝒙
𝜶𝜶
Mesure en radians de quelques angles particuliers
Mesure en degré
Mesure en radian
180
𝝅𝝅
90
𝝅𝝅
𝟐𝟐
60
𝝅𝝅
𝟑𝟑
45
30
𝝅𝝅
𝟒𝟒
0
𝝅𝝅
𝟔𝟔
0
c) Angle inscrit – angle au centre
Soit 𝐶𝐶 (𝑂𝑂, 𝑟𝑟) et A, M et N trois points distinct du cercle.
Définition1 : On appelle angle inscrit dans un cercle, un angle dont le sommet appartient
au cercle et ses côtés coupent le cercle. Un angle inscrit est donc un angle formé par
deux cordes issues d’un même point du cercle.
� est un angle inscrit. Il intercepte l’arc MN
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
Définition2 : Un angle au centre d’un cercle est un angle qui a pour sommet le centre du
cercle.
� est un angle au centre. Il intercepte l’arc
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
MN
Propriétés :
• Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont même
mesure.
• Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors la
mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit.
� est un angle au centre et
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� un angle inscrit. Ils
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
interceptent le même arc MON. On
� = 2 mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�
a donc mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� et 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� sont deux angles inscrits.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
Ils interceptent le même arc MON. On a
� = mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
�
donc mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
2) Quadrilatères inscriptibles dans un cercle
Un quadrilatère est dit inscriptible dans un cercle si ses 4 sommets appartiennent au cercle.
Propriétés :
Pour qu’un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle il faut que :
•
Ces angles opposés soient supplémentaires si c’est un quadrilatère convexe ou égaux
si c’est un quadrilatère croisé.
3) Orientation du plan
Un point mobile M sur un cercle a deux sens de parcours sur cercle
3-1) sens direct
c'est le sens contraire de déplacement des aiguilles d'une montre. Il aussi appelé sens
trigonomètrique ou encore sens positif
3-2) sens indirect
C'est le sens de déplacement des aiguilles d'une montre. On l'appelle aussi sens négatif ou
sens retrograde
remarque : orienter le plan, c'est choisir un même sens de parcours pour tous les cercles
du plan, habituellement on choisit le sens direct.
M
M. BADJI LDZZ 2018 (2S)
II.
Triggonométrie
1. Lignes trigonométr
t
riques
a Cerrcle trigonom
métrique
On appelle cercle trigo
onométriquee tout cerclee de centre O,
O de rayon 1 l’unité ett orienté dan
ns le sens
direct sens contraire de
d déplacem
ment des aigguilles d’unee montre .
b
Sinus et cosinu
us d’un anglee orienté
Soit M un point
p
du cerccle trigonom
métrique tel que
 Le cosinus
c
de l’angle
 Le sinus
s
de l’an
ngle
,
soit laa mesure dee l’angle orieenté
,
.
est l’abscisse du po
oint M. On lee note
,
est l’ordonnée de M. Il est noté
que :
Remarq
dans le repère
et
e
, ,
sontt les coordon
nnées du po
oint M
e Q sont les projetés ortthogonaux rrespectifs dee M sur
* Si P et
II’ et JJ’ on a
et
* Pour tout
t
nombree réel
et pour tout
∈
on a :
relation fondamentaale de la
trigono
ométrie



c
Soit
et
Tan
ngente d’un angle orientté
,
un anglee orienté de mesure
La tangentee de
,
ou de
2
e le nombre réel noté tan
est
t
,
ou tan
dééfini par
Remarquess :

Pou
ur tout nomb
bre
et pou
ur tout
∈
on a :
TAF
F : démontreer que

coss
, sin
et tan
t
sont appelés « lign
nes trigonom
métriques de
d l’angle
ométriques des
d angles remarquable
r
es
1.1. Liggnes trigono
»
M
M. BADJI LDZZ 2018 (2S)
1.2. Liggnes trigono
ométrique d’’angles assocciés
Soit
ou
la meesure d’un angle
a
orienté donné. Less angles orieentés de meesure –
so
ont habituelllement app
pelés angles associés à .

Rep
présentation
n de quelquees angles su
ur le cercle trrigonométriique
,
,
,
M
M. BADJI LDZZ 2018 (2S)
Exercice d’aapplication :
En utilisantt les propriéétés des anggles associéss déterminerr :
a cos
2
b siin
c cos
Etu
ude du signe du sinus et du cosinus d’angles
d
orieentés
Soit
∈
;
2
cos
sin
Exercice 1 : On donne
a
d siin
0
ett sin
b
c
Exercice 2 :
0
, calculer co
os
ett cos
√
ett cos
, calculer sin
s
, calculeer sin
0
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