Chapitre : Angles et trigonométrie I. Badji lycée DJIGNABO Angles 1) Rappels et compléments sur les angles géométriques a) Longueur d’un arc Soit un cercle de centre O, de rayon 𝑟𝑟 et 𝑃𝑃 le périmètre de ce cercle. Le périmètre de ce cercle correspond à la longueur de l’arc intercepté par l’angle plein de mesure 360°. On a donc : 2𝜋𝜋𝜋𝜋 → 360° Soit 𝛼𝛼 la mesure en degré d’un angle quelconque et 𝑙𝑙 la longueur de l’arc intercepté par cet angle. Nous avons la correspondance suivante : 2𝜋𝜋𝜋𝜋 → 360° 𝑙𝑙 ← 𝛼𝛼 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ⟺ 𝑙𝑙 = 360° ⟺ 𝑙𝑙 = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 180° Exemple : Déterminer 𝑙𝑙 dans les cas suivants : b) Le radian Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle plat (180°) mesure 𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. Son symbole est « rad » Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de 𝑥𝑥 degrés en un angle de 𝛼𝛼 radian (ou inversement). Degrés 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 Radian 𝝅𝝅 Exemple : • 𝒙𝒙 𝜶𝜶 Mesure en radians de quelques angles particuliers Mesure en degré Mesure en radian 180 𝝅𝝅 90 𝝅𝝅 𝟐𝟐 60 𝝅𝝅 𝟑𝟑 45 30 𝝅𝝅 𝟒𝟒 0 𝝅𝝅 𝟔𝟔 0 c) Angle inscrit – angle au centre Soit 𝐶𝐶 (𝑂𝑂, 𝑟𝑟) et A, M et N trois points distinct du cercle. Définition1 : On appelle angle inscrit dans un cercle, un angle dont le sommet appartient au cercle et ses côtés coupent le cercle. Un angle inscrit est donc un angle formé par deux cordes issues d’un même point du cercle. � est un angle inscrit. Il intercepte l’arc MN 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Définition2 : Un angle au centre d’un cercle est un angle qui a pour sommet le centre du cercle. � est un angle au centre. Il intercepte l’arc 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 MN Propriétés : • Deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle ont même mesure. • Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit. � est un angle au centre et 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � un angle inscrit. Ils 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 interceptent le même arc MON. On � = 2 mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � a donc mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � et 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � sont deux angles inscrits. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Ils interceptent le même arc MON. On a � = mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � donc mes 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 2) Quadrilatères inscriptibles dans un cercle Un quadrilatère est dit inscriptible dans un cercle si ses 4 sommets appartiennent au cercle. Propriétés : Pour qu’un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle il faut que : • Ces angles opposés soient supplémentaires si c’est un quadrilatère convexe ou égaux si c’est un quadrilatère croisé. 3) Orientation du plan Un point mobile M sur un cercle a deux sens de parcours sur cercle 3-1) sens direct c'est le sens contraire de déplacement des aiguilles d'une montre. Il aussi appelé sens trigonomètrique ou encore sens positif 3-2) sens indirect C'est le sens de déplacement des aiguilles d'une montre. On l'appelle aussi sens négatif ou sens retrograde remarque : orienter le plan, c'est choisir un même sens de parcours pour tous les cercles du plan, habituellement on choisit le sens direct. M M. BADJI LDZZ 2018 (2S) II. Triggonométrie 1. Lignes trigonométr t riques a Cerrcle trigonom métrique On appelle cercle trigo onométriquee tout cerclee de centre O, O de rayon 1 l’unité ett orienté dan ns le sens direct sens contraire de d déplacem ment des aigguilles d’unee montre . b Sinus et cosinu us d’un anglee orienté Soit M un point p du cerccle trigonom métrique tel que Le cosinus c de l’angle Le sinus s de l’an ngle , soit laa mesure dee l’angle orieenté , . est l’abscisse du po oint M. On lee note , est l’ordonnée de M. Il est noté que : Remarq dans le repère et e , , sontt les coordon nnées du po oint M e Q sont les projetés ortthogonaux rrespectifs dee M sur * Si P et II’ et JJ’ on a et * Pour tout t nombree réel et pour tout ∈ on a : relation fondamentaale de la trigono ométrie c Soit et Tan ngente d’un angle orientté , un anglee orienté de mesure La tangentee de , ou de 2 e le nombre réel noté tan est t , ou tan dééfini par Remarquess : Pou ur tout nomb bre et pou ur tout ∈ on a : TAF F : démontreer que coss , sin et tan t sont appelés « lign nes trigonom métriques de d l’angle ométriques des d angles remarquable r es 1.1. Liggnes trigono » M M. BADJI LDZZ 2018 (2S) 1.2. Liggnes trigono ométrique d’’angles assocciés Soit ou la meesure d’un angle a orienté donné. Less angles orieentés de meesure – so ont habituelllement app pelés angles associés à . Rep présentation n de quelquees angles su ur le cercle trrigonométriique , , , M M. BADJI LDZZ 2018 (2S) Exercice d’aapplication : En utilisantt les propriéétés des anggles associéss déterminerr : a cos 2 b siin c cos Etu ude du signe du sinus et du cosinus d’angles d orieentés Soit ∈ ; 2 cos sin Exercice 1 : On donne a d siin 0 ett sin b c Exercice 2 : 0 , calculer co os ett cos √ ett cos , calculer sin s , calculeer sin 0
