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PC PHYSIQUE CENTRALE 1 2011.extrait

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Centrale Physique 1 PC 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane
Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).
Ce sujet aborde trois activités de loisir distinctes :
• La première partie est consacrée à l’étude de la force exercée par l’eau sur
une planche de surf, un skimboard, ce qui permet de discuter la possibilité
pour la planche de « glisser » à la surface du liquide. Cette partie propose des
applications des bilans en mécanique des fluides qui conduisent, notamment, à
des calculs de composantes de forces et de moments. On y utilise également la
loi de Bernoulli.
• Dans la deuxième partie, les ricochets d’un galet sont étudiés. On commence
par montrer que le mouvement du galet, selon la verticale, suit une équation qui
rappelle l’oscillateur harmonique. Pour que le galet ne coule pas, une condition
sur la vitesse est alors établie. S’ensuivent des calculs sur la variation de vitesse
du galet après un ricochet, puis une étude énergétique permet de déterminer le
nombre de ricochets que l’on peut obtenir. On y utilise les outils de la mécanique
du point : théorème de la résultante cinétique, théorème de l’énergie cinétique,
résolution d’une équation différentielle d’un oscillateur harmonique.
• La troisième partie étudie le freinage d’une sorte de luge, un skeleton, par
induction, et l’échauffement qui en résulte. Le freinage magnétique, utilisé pour
freiner le skeleton, n’est efficace que si le champ magnétique n’est pas uniforme.
Ce constat amène une discussion sur la manière d’optimiser la piste de freinage.
Vient alors une sous-partie portant sur la diffusion thermique avec sources ou
bien en présence de conducto-convection.
La construction de cette épreuve diffère nettement de celle des années précédentes :
l’énoncé est plus court, moins guidé, parfois ambigu ; certaines petites questions nécessitent d’importants calculs. De plus, le sujet n’est pas de difficulté croissante : des
questions calculatoires se mêlent à des questions proches du cours ou à des questions qualitatives qui font appel à un commentaire physique (ou mathématique).
Cependant, le texte fournit quelques résultats intermédiaires, ce qui permet de vérifier ses calculs. Dans un tel sujet, on peut être facilement bloqué et, dans ce cas,
il importe d’avancer en « cherchant » les points. C’est en ce sens qu’il constitue un
bon entraînement, surtout si cette nouvelle construction venait à s’imposer dans les
prochaines sessions du concours Centrale. Il pourrait également inspirer de nombreux
sujets d’oraux.
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Indications
I.
Physique du skimboard
I.A.2.c Sommer les forces de pression sur tous les éléments de surface de la planche.
→. Effectuer le calcul à l’ordre 1 en α. Pour le calcul de F ,
Projeter sur −
u
z
x
remarquer que Fx = α Fz .
−
→
→ = −
→∧−
I.A.2.d M est la composante selon −
u
u
u→
y
z
x de M . Sommer les moments
élémentaires des forces de pression sur tous les éléments de surface de la
planche. Effectuer le calcul à l’ordre 1 en α.
I.A.2.e Écrire que le moment de la force exercée par le sportif sur la planche compense celui des forces de pression.
I.A.3.c Se rappeler que Fz = Fx /α.
I.B.1 Faire le bilan des forces s’appliquant à la planche. Prendre garde que la
→
−
vitesse de la planche dans le référentiel de la plage est − V .
I.B.2.a Écrire Fz de deux manières (l’une utilisant le résultat de la question I.A.2.c).
I.B.2.c Se servir de la question I.B.1. La planche s’arrête lorsque V atteint la vitesse
seuil correspondant à L′ = ℓm .
I.C.2 Remplacer Fx par α Fz .
I.C.3 Utiliser l’expression de Fz obtenue à la question I.A.2.c.
II.
Physique des ricochets
II.A.3.c Transformer l’expression de z(t) en un cosinus avec une phase à l’origine.
II.A.4 Montrer que g/ω0 ≪ |vz0 | conduit à sin ω0 τ = 0.
II.A.5.a Dans l’équation donnant ẍ obtenue à la question II.A.2, remplacer z par
son expression et intégrer entre 0 et τ .
II.B.1.a Utiliser les puissances des forces, puis mz̈ = Fz −mg. Montrer que l’intégrale
contenant z̈ est nulle (car ż(τ ) = −ż(0)).
II.B.1.b Se servir des expressions de Fx obtenues aux questions II.A.5.a et II.A.3.a.
II.B.1.c Utiliser mz̈ = Fz − mg, intégrer. L’approximation est mg/ω0 ≫ |vz0 |.
Remplacer ω0 (voir question II.A.3.b) et vx0 par leur expression.
III.
Physique du skeleton
→
−
III.B.1.a Soit le cadre est entièrement plongé dans B , soit il l’est partiellement.
III.B.3 Montrer par récurrence qu’après p freinages, v = v0 − p L/τ .
III.B.4.a Exprimer la durée du freinage p ; ne pas chercher à calculer numériquement
la durée d’un freinage. Sommer sur p.
III.C.1 Prendre en compte la présence d’éventuelles sources.
III.C.2 Utiliser l’analyse dimensionnelle pour évaluer le temps caractéristique.
III.C.3 Déduire de v(t) (obtenue question III.B.1.b), l’expression de i(t). Intégrer.
Calculer m′ à l’aide de µ, L, ℓ et s.
III.C.5.a Traduire la continuité du flux en r = b pour exprimer Tis (b).
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Activités physiques
I. Physique du skimboard
I.A.1.a Considérons le système fermé Σ, de masse mΣ , constitué de l’eau contenue
dans le volume hachuré, entre les abscisses x1 et x, de masse m, plus l’eau qui entre
dans ce volume en x1 entre t et t + dt et de masse dm1 . En x, une masse dmx sort
durant dt.
h(x)
hT
mor eau qui entre x1
durant dt
système x
de masse m
Le bilan de masse à l’instant t s’écrit
mΣ (t) = m(t) + dm1
et en t + dt,
mΣ (t + dt) = m(t + dt) + dmx
Puisque Σ est un système fermé, mΣ (t + dt) = mΣ (t). De plus, en régime permanent,
m(t + dt) = m(t). Les deux égalités précédentes imposent alors
dm1 = dmx
Comme dmi = Dm,i dt (où Dm,i est le débit massique en i), il vient
Dm,1 = Dm,x
ρ LhT V = ρ Lh(x) v(x)
d’où
hT V = h(x) v(x)
Rappelons que le débit massique Dm à travers une surface S est défini par
ZZ
→
−
→
→
→
Dm =
ρ(−
r , t) −
v (−
r , t) · d S
S
→
Puisque l’écoulement est uniforme et permanent, ρ ne dépend ni de −
r , ni
→
−
de t et peut être factorisé devant le symbole d’intégration. Comme v est
selon −
u→x et ne dépend que de x,
ZZ
Dm = ρ v(x)
dSx = ρ v(x) L h(x)
S
I.A.1.b L’équation de conservation de la masse est
∂ρ
→
+ div(ρ−
v)=0
∂t
→
→
L’écoulement est uniforme, donc div (ρ−
v ) = ρ div −
v . L’écoulement est permanent
ainsi ∂ρ/∂t = 0 , si bien que
→
div −
v =0
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−
Comme →
v ne dépend que de x et est selon −
u→x , la divergence se réécrit
dv
=0
dx
soit
Pour tout x, v(x) = V.
Comme h(x) v(x) est une constante de l’écoulement, la hauteur d’eau h est également
constante ce qui est absurde ! Si une fonction est négligeable devant une autre, il n’en
est, a priori, pas de même pour leurs dérivées. Ici, on suppose que |vz | ≪ |vx |, mais
→
il n’y a aucune raison pour que |∂vz /∂z| ≪ |∂vx /∂x| et div −
v = 0 doit être écrit
∂vx
∂vz
+
=0
∂x
∂z
∂vx
∂vz
+
=0
∂x
∂z
∂vz
∂vx
impose
=
∂x
∂z
ce qui prouve que les deux dérivées partielles sont du même ordre de grandeur et donc que |∂vz /∂z| ≪ |∂vx /∂x| est complètement faux, en général.
Physiquement, la variation de vz avec z traduit simplement que sur une section droite, la composante verticale de la vitesse des particules varie d’un
point à l’autre de cette section. Une telle variation se produit, par exemple,
lorsque les lignes de courant se resserrent (c’est le cas entre xA et xT ).
Notons que
I.A.1.c L’écoulement est irrotationnel puisque
∂
vx (x)
∂x
→
−
∂
0
∧
= 0
∂y
∂
0
∂z
→
−
−→ →
rot −
v = 0
Ainsi,
Si on tient compte de la composante vz (x) de la vitesse,
∂vz −
−→ −
→
rot →
v =−
u
y
∂x
Utilisons l’équation d’Euler projetée sur la verticale,
∂vz
∂p
∂vz
ρ vz
+ vx
=−
− ρg = 0
∂z
∂x
∂z
(chaque membre est nul, car on néglige le mouvement selon la verticale), d’où
∂vz
∂vz
vz
= vx
∂z
∂x
Or,
∂vx
∂vz
=
, donc
∂x
∂z
∂vz
vz ∂vx
=
∂x
vx ∂x
Comme |vz | ≪ |vx |, la dérivée partielle de vz par rapport à x est d’ordre 1.
Ainsi, la nullité du rotationnel de la vitesse est vraie à l’ordre 0.
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