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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/25
Centrale Physique PSI 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane
Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).
Ce sujet aborde trois activités de loisir distinctes :
•La première partie est consacrée à l’étude de la force exercée par l’eau sur
une planche de surf, un skimboard, ce qui permet de discuter la possibilité
pour la planche de « glisser » à la surface du liquide. Cette partie propose des
applications des bilans en mécanique des fluides qui conduisent, notamment, à
des calculs de composantes de forces et de moments. On y utilise également la
loi de Bernoulli.
•Dans la deuxième partie, les ricochets d’un galet sont étudiés. On commence
par montrer que le mouvement du galet, selon la verticale, suit une équation qui
rappelle l’oscillateur harmonique. Pour que le galet ne coule pas, une condition
sur la vitesse est alors établie. S’ensuivent des calculs sur la variation de vitesse
du galet après un ricochet, puis une étude énergétique permet de déterminer le
nombre de ricochets que l’on peut obtenir. On y utilise les outils de la mécanique
du point : théorème de la résultante cinétique, théorème de l’énergie cinétique,
résolution d’une équation différentielle d’un oscillateur harmonique.
•La troisième partie étudie le freinage d’une sorte de luge, un skeleton, par
induction, et l’échauffement qui en résulte. Le freinage magnétique, utilisé pour
freiner le skeleton, n’est efficace que si le champ magnétique n’est pas uniforme.
Ce constat amène une discussion sur la manière d’optimiser la piste de freinage.
Vient alors une sous-partie portant sur la diffusion thermique avec sources ou
bien en présence de conducto-convection.
La construction de cette épreuve diffère nettement de celle des années précédentes :
l’énoncé est plus court, moins guidé, parfois ambigu ; certaines petites questions né-
cessitent d’importants calculs. De plus, le sujet n’est pas de difficulté croissante : des
questions calculatoires se mêlent à des questions proches du cours ou à des ques-
tions qualitatives qui font appel à un commentaire physique (ou mathématique).
Cependant, le texte fournit quelques résultats intermédiaires, ce qui permet de vé-
rifier ses calculs. Dans un tel sujet, on peut être facilement bloqué et, dans ce cas,
il importe d’avancer en « cherchant » les points. C’est en ce sens qu’il constitue un
bon entraînement, surtout si cette nouvelle construction venait à s’imposer dans les
prochaines sessions du concours Centrale. Il pourrait également inspirer de nombreux
sujets d’oraux.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/25
Indications
I. Physique du skimboard
I.A.2.c Sommer les forces de pression sur tous les éléments de surface de la planche.
Projeter sur −→ uz. Effectuer le calcul à l’ordre 1 en α. Pour le calcul de Fx,
remarquer que Fx=αFz.
I.A.2.d Mest la composante selon −→ uy=−→ uz∧−→ uxde −→ M. Sommer les moments
élémentaires des forces de pression sur tous les éléments de surface de la
planche. Effectuer le calcul à l’ordre 1 en α.
I.A.2.e Écrire que le moment de la force exercée par le sportif sur la planche com-
pense celui des forces de pression.
I.A.3.c Se rappeler que Fz= Fx/α.
I.B.1 Faire le bilan des forces s’appliquant à la planche. Prendre garde que la
vitesse de la planche dans le référentiel de la plage est −−→ V.
I.B.2.a Écrire Fzde deux manières (l’une utilisant le résultat de la question I.A.2.c).
I.B.2.c Se servir de la question I.B.1. La planche s’arrête lorsque Vatteint la vitesse
seuil correspondant à L′=ℓm.
I.C.2 Remplacer Fxpar αFz.
I.C.3 Utiliser l’expression de Fzobtenue à la question I.A.2.c.
II. Physique des ricochets
II.A.3.c Transformer l’expression de z(t)en un cosinus avec une phase à l’origine.
II.A.4 Montrer que g/ω0≪ |vz0|conduit à sin ω0τ= 0.
II.A.5.a Dans l’équation donnant ¨xobtenue à la question II.A.2, remplacer zpar
son expression et intégrer entre 0et τ.
II.B.1.a Utiliser les puissances des forces, puis m¨z= Fz−mg. Montrer que l’intégrale
contenant ¨zest nulle (car ˙z(τ) = −˙z(0)).
II.B.1.b Se servir des expressions de Fxobtenues aux questions II.A.5.a et II.A.3.a.
II.B.1.c Utiliser m¨z= Fz−mg, intégrer. L’approximation est mg/ω0≫ |vz0|.
Remplacer ω0(voir question II.A.3.b) et vx0par leur expression.
III. Physique du skeleton
III.B.1.a Soit le cadre est entièrement plongé dans −→ B, soit il l’est partiellement.
III.B.3 Montrer par récurrence qu’après pfreinages, v=v0−pL/τ.
III.B.4.a Exprimer la durée du freinage p; ne pas chercher à calculer numériquement
la durée d’un freinage. Sommer sur p.
III.C.1 Prendre en compte la présence d’éventuelles sources.
III.C.2 Utiliser l’analyse dimensionnelle pour évaluer le temps caractéristique.
III.C.3 Déduire de v(t)(obtenue question III.B.1.b), l’expression de i(t). Intégrer.
Calculer m′à l’aide de µ,L,ℓet s.
III.C.5.a Traduire la continuité du flux en r=bpour exprimer Tis(b).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/25
Activités physiques
I. Physique du skimboard
I.A.1.a Considérons le système fermé Σ, de masse mΣ, constitué de l’eau contenue
dans le volume hachuré, entre les abscisses x1et x, de masse m, plus l’eau qui entre
dans ce volume en x1entre tet t+ dtet de masse dm1. En x, une masse dmxsort
durant dt.
x
m
x1
h(x)
hT
t
Le bilan de masse à l’instant ts’écrit
mΣ(t) = m(t) + dm1
et en t+ dt,mΣ(t+ dt) = m(t+ dt) + dmx
Puisque Σest un système fermé, mΣ(t+ dt) = mΣ(t). De plus, en régime permanent,
m(t+ dt) = m(t). Les deux égalités précédentes imposent alors
dm1= dmx
Comme dmi= Dm,i dt(où Dm,i est le débit massique en i), il vient
Dm,1= Dm,x
ρLhTV = ρLh(x)v(x)
d’où hTV = h(x)v(x)
Rappelons que le débit massique Dmà travers une surface Sest défini par
Dm=ZZS ρ(−→ r , t)−→ v(−→ r , t)·d
−→
S
Puisque l’écoulement est uniforme et permanent, ρne dépend ni de −→ r, ni
de tet peut être factorisé devant le symbole d’intégration. Comme −→ vest
selon −→ uxet ne dépend que de x,
Dm=ρ v(x)ZZS dSx=ρ v(x) L h(x)
I.A.1.b L’équation de conservation de la masse est
∂ρ
∂t +div(ρ−→
v) = 0
L’écoulement est uniforme, donc div (ρ−→ v) = ρdiv −→ v. L’écoulement est permanent
ainsi ∂ρ/∂t = 0 , si bien que
div −→ v= 0
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/25
Comme −→ vne dépend que de xet est selon −→ ux, la divergence se réécrit
dv
dx= 0
soit Pour tout x,v(x) = V.
Comme h(x)v(x)est une constante de l’écoulement, la hauteur d’eau hest également
constante ce qui est absurde ! Si une fonction est négligeable devant une autre, il n’en
est, a priori, pas de même pour leurs dérivées. Ici, on suppose que |vz| ≪ |vx|, mais
il n’y a aucune raison pour que |∂vz/∂z| ≪ |∂vx/∂x|et div −→ v= 0 doit être écrit
∂vx
∂x +∂vz ∂z = 0
Notons que ∂vx
∂x +∂vz ∂z = 0
impose 
∂vx
∂x 
=
∂vz
∂z 
ce qui prouve que les deux dérivées partielles sont du même ordre de gran-
deur et donc que |∂vz/∂z| ≪ |∂vx/∂x|est complètement faux, en général.
Physiquement, la variation de vzavec ztraduit simplement que sur une sec-
tion droite, la composante verticale de la vitesse des particules varie d’un
point à l’autre de cette section. Une telle variation se produit, par exemple,
lorsque les lignes de courant se resserrent (c’est le cas entre xAet xT).
I.A.1.c L’écoulement est irrotationnel puisque
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∧
vx(x)
0
0
=−→ 0
Ainsi, −→ rot −→ v=−→ 0
Si on tient compte de la composante vz(x)de la vitesse,
−→
rot −→ v=−∂vz
∂x
−→
uy
Utilisons l’équation d’Euler projetée sur la verticale,
ρvz
∂vz
∂z +vx
∂vz
∂x =−∂p ∂z −ρ g = 0
(chaque membre est nul, car on néglige le mouvement selon la verticale), d’où
vz
∂vz
∂z 
= vx
∂vz
∂x 
Or, 
∂vx
∂x 
=
∂vz
∂z 
, donc 
∂vz
∂x 
=
vz
vx
∂vx
∂x 
Comme |vz| ≪ |vx|, la dérivée partielle de vzpar rapport à xest d’ordre 1.
Ainsi, la nullité du rotationnel de la vitesse est vraie à l’ordre 0.
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