arith

Cours et activit´es en arithm´etique pour les
classes terminales - 3e´edition
Groupe de travail sur la liaison Lyc´ees-Universit´es
IREM de Marseille

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Table des mati`eres
1 Introduction 7
2 Un projet de cours en classe de terminale 11
2.1 Introduction............................ 11
2.2 La division dans Z......................... 11
2.2.1 D´efinition ......................... 11
2.2.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 La division Euclidienne dans Z. ............. 12
2.3 La divisibilit´e dans Z....................... 14
2.3.1 Plus grand commun diviseur . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Cons´equences, th´eor`eme de Bezout, applications . . . . 16
2.3.3 R´esolution compl`ete de ua +vb =d(o`u d=pgcd(a, b)) 18
2.3.4 Plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 D´ecomposition en produit de nombres premiers . . . . 21
2.4.3 Aspects algorithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Applications de la d´ecomposition en facteurs premiers . 22
2.5 Commentaires, compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 Desexemples ....................... 24
2.5.2 Compl´ements ....................... 24
3 Quelques th`emes d’activit´es 29
3.1 Quelques exercices sur les changements de bases . . . . . . . . 29
3.1.1 Passage d’une ´ecriture d´ecimale `a une ´ecriture binaire . 29
3.1.2 Passage d’une ´ecriture binaire `a une ´ecriture d´ecimale . 30
3.1.3 Cas o`u une base est une puissance de l’autre . . . . . . 30
3.2 Quelques exercices sur la divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 31
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3.2.1 Cl´es de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Repr´esentation en machine des entiers . . . . . . . . . 34
3.2.3 R´epartitions de termes d’une suite dans un tableau . . 36
3.3 Quelques exercices autour du chiffrement affine . . . . . . . . 37
3.3.1 Principe du chiffrement affine . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Les cl´es - Les fonctions de chiffrement . . . . . . . . . 37
3.3.3 Fonctions de d´echiffrement . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4 Cryptanalyse ....................... 38
3.4 Une id´ee de la cryptographie `a cl´e publique : Kid-RSA . . . . 39
3.5 Exemples sur les codes correcteurs d’erreurs . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Un code correcteur de Hamming . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 ∗∗∗Impossibilit´e de r´ealiser une correction du type pr´ec´edent
uniquement avec les chiffres d´ecimaux . . . . . . . . . . 40
3.6 Commentaires et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 Les changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 La divisibilit´e, les congruences . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.3 Le chiffrement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.4 Une id´ee de la cryptographie `a cl´e publique : Kid-RSA 53
3.6.5 Exemples sur les codes correcteurs d’erreurs . . . . . . 54
4 Compl´ements d’arithm´etique ´el´ementaire 57
4.1 Introduction - Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Etude ´el´ementaire de Z. ..................... 57
4.2.1 Ensembles major´es et minor´es de Z............ 57
4.2.2 Quelques fonctions ´el´ementaires li´ees aux entiers . . . . 58
4.2.3 La division dans Z..................... 59
4.2.4 La divisibilit´e dans Z................... 60
4.2.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Les classes r´esiduelles : Z/nZ.................. 66
4.3.1 D´efinition ......................... 66
4.3.2 Id´eaux et noyaux d’homomorphismes . . . . . . . . . . 67
4.3.3 Application `a la repr´esentation des entiers en machine . 69
4.3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.5 La fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Equations ax+by =c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Annexe I : Fonctions de M¨obius - Formule de Rota . . . . . . 75
4.5.1 Chaˆınes dans les ensembles finis ordonn´es . . . . . . . 75
4.5.2 Fonction de M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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4.5.3 Formule sommatoire de Rota . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.4 Exemples ......................... 79
4.5.5 Aspect fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.6 Produit d’ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Annexe II : Fonctions d´efinies sur Z/nZ............ 86
4.6.1 L’espace des fonctions d´efinies sur Z/nZ........ 86
4.6.2 Les caract`eres de G.................... 86
4.6.3 Produit scalaire hermitien sur F............. 86
4.6.4 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.5 Matrices associ´ees aux objets pr´ec´edents . . . . . . . . 87
4.6.6 Fonctions de Fet polynˆomes formels . . . . . . . . . . 88
4.6.7 Convolution et filtres stationnaires . . . . . . . . . . . 88
4.7 Annexe III : D´efinitions de base de l’alg`ebre commutative . . . 89
4.7.1 Anneaux.......................... 89
4.7.2 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7.3 SousAnneaux....................... 89
4.7.4 Id´eaux........................... 90
4.7.5 Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.6 Factorisation des homomorphismes . . . . . . . . . . . 90
4.7.7 Diviseurs de z´ero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7.8 Id´eaux premiers - Id´eaux maximaux . . . . . . . . . . 91
4.7.9 Radical .......................... 92
4.7.10 Op´erations sur les id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.11 Localisation d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7.12 D´ecomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 93