Induction électromagnétique 18/08/2019 Azagrouze 1. Phénomène d’induction électromagnétique Les expériences de Faraday L'expérience montre qu'un courant induit apparaît dans la spire si : i = constant , spire et/ou solénoïde en mouvement i = i(t) , spire et solénoïde fixes Expérience 1 : Une déviation du galvanomètre est observée lorsque, un courant permanent circulant dans le premier circuit, on déplaçait le deuxième circuit par rapport au premier. 18/08/2019 Azagrouze Expérience 2 : lorsque l’interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait. Par contre, lors de son ouverture ou de sa fermeture, une déviation fugace de l’aiguille du galvanomètre pouvait être observée (cela n’a pas été perçu immédiatement). Ou quand on applique un courant variable dans le temps au circuit primaire. Autre expérience : prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d’une boucle constituée d’un fil conducteur relié à un galvanomètre. Lorsque l’aimant est immobile, il n’y a pas de courant mesurable dans le fil. Par contre, lorsqu’on déplace l’aimant, on voit apparaître un courant dont le signe varie selon qu’on approche ou qu’on éloigne l’aimant. De plus, ce courant est d’autant plus important que le déplacement est rapide. Déplacement de l’aimant 18/08/2019 Galvanomètre Azagrouze 2. Loi de Faraday Les deux types d’expériences précédentes ont amené Faraday à écrire ceci : « Quand le flux du champ magnétique à travers un circuit fermé change, il apparaît un courant électrique. » Tous les faits expérimentaux mis en évidence par Faraday peuvent alors se résumer ainsi : Loi de Faraday : la variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé y engendre une force électromotrice d’induction fém induite 𝒅𝝓(𝒕) 𝒆=− 𝒅𝒕 𝝓(𝒕) L’induction électromagnétique est donc un phénomène qui dépend intrinsèquement du temps et, au sens strict, sort du cadre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques stationnaires). 𝒆 18/08/2019 Azagrouze La loi de Lenz Ce n'est pas une nouvelle loi, elle explicite le signe moins qui apparaît dans la loi d'induction. On peut l'exprimer de façon générale par l'expression: l'effet s'oppose à la cause. Le courant induit dans un circuit est tel qu'il crée un flux induit, qui s'oppose à toute variation du flux de 𝑩 dans le circuit. La force exercée par sur le courant induit créé dans une spire s'oppose au déplacement de la spire. 3. Champ électromoteur Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sont mises en mouvement grâce une différence de potentiel (ddp) qui est maintenue par une force électromotrice ou fém (elle s’exprime donc en Volts). Une pile, en convertissant son énergie chimique pendant un instant dt, fournit donc une puissance P (travail W par unité de temps) modifiant l’énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I. 18/08/2019 Azagrouze Le circuit induit n’est lié à aucune pile. De plus Un champ électrostatique est incapable de produire une fém d’induction. En effet il s ’agit d’un champ de gradient. Sa circulation est nulle sur un contour fermé. Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur 𝐸𝑚 dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L’expérience de Faraday montre donc que c’est l’existence d’un champ magnétique qui permet l’apparition d’un courant induit. 𝒅𝝓(𝒕) 𝒆= 𝑬𝒎 . 𝒅𝒍 = − 𝒅𝒕 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕 La variation du flux magnétique 𝝓(𝒕) à travers un circuit peut être de deux origines : La variation du champ magnétique dans le temps 𝐵(𝑀, 𝑡). Induction de Newman Le déplacement ou la déformation du circuit dans le champ magnétique. Induction de Lorentz 18/08/2019 Azagrouze 4. Induction statique ou de Newman + Le flux magnétique à travers le circuit (C) est : 𝝓 𝒕 = 𝑩 𝒕 . 𝒅𝑺 𝐵(𝑡) 𝑺 𝒔′ 𝒂𝒑𝒑𝒖𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒔𝒖𝒓 (𝑪) 𝑛 La fém d’induction qui apparait dans le circuit est: 𝒅𝝓 𝒕 𝒅 𝒆 𝒕 =− =− ( 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅 𝒆 𝒕 =− 𝒅𝒕 En identifiant à 18/08/2019 𝑪 𝑩 𝒕 . 𝒅𝑺) 𝑺 𝒔′ 𝒂𝒑𝒑𝒖𝒚𝒂𝒏𝒕 𝒔𝒖𝒓 (𝑪) 𝝏𝑨 𝑨 𝒕 . 𝒅𝒍 = − . 𝒅𝒍 𝝏𝒕 (𝑪) 𝒅𝝓(𝒕) 𝒆= 𝑬𝒎 . 𝒅𝒍 = − 𝒅𝒕 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕 Azagrouze (𝑪) On tire, en absence de champ électrostatique, le champ électromoteur de Newman z Exemple mise en équation simple 𝜕𝐴 𝐸𝑚 = − 𝜕𝑡 Circuit rectangulaire avec un enroulement de N tours de fils 𝑛 est la normale au circuit. Soit 𝑆 = 𝑁. 𝑙. 𝐿𝑛 = 𝑆𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜃0 𝑛 = 𝑠𝑖𝑛𝜃0 0 y 𝝎𝒕 x Ce circuit est rigide et fixe par rapport au référentiel (Oxyz). Il est Plongé dans un champ magnétique tournant préalablement préparé 𝐵 𝑡 . 𝐵 𝑡 = 𝐵𝑚 cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡) 0 Soit 18/08/2019 Le flux magnétique 𝜽𝟎 𝑩(𝒕) 𝒏 𝝓 𝒕 = 𝐵 𝑡 . 𝑆 = 𝐵𝑚 . 𝑆[cos 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃0 + sin 𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜃0 ] 𝝓 𝒕 = 𝑩𝒎 . 𝑺. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 − 𝜽𝟎 ) Azagrouze La force électromotrice induite dans le cadre est : Qu’on peut écrire : 𝒅𝝓 𝒕 𝒆 𝒕 =− = 𝑩𝒎 . 𝑺. 𝝎. 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 − 𝜽𝟎 ) 𝒅𝒕 𝒆 𝒕 = 𝑼𝒎 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 − 𝜽𝟎 ) A circuit ouvert on mesurera aux bornes du circuit une tension à vide égale à 𝒆 𝒕 = 𝑼𝒎 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 − 𝜽𝟎 ) A circuit fermé on observera un courant induit, fonction de la résistance R du circuit, en négligeant le phénomène d’induction propre : 𝒆 𝒕 𝑼𝒎 𝒊 𝒕 = = 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 − 𝜽𝟎 ) 𝑹 𝑹 ++ 5. Induction motionelle ou de Lorentz Le circuit (C) est rigide. Il est en mouvement dans un champ magnétique permanent 𝐵. L’élément du circuit orienté d𝑙, subit un déplacement élémentaire d𝑋 = 𝑣𝑑𝑡. Cet élément du circuit coupe dans 𝐵 le flux coupé 𝛿 2 𝜙𝐶 = 𝐵. 𝑑 2 𝑆𝐶 = 𝐵. (d𝑋 ∧ d𝑙) Pour le circuit (C), le flux coupé est Or on a déjà montré que : 18/08/2019 𝛿𝜙𝐶 = (𝐶) 𝐵. (d𝑋 ∧ d𝑙) = 𝛿𝜙𝐶 = 𝑑𝜙 = 𝜙 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝜙(𝑡) Azagrouze (𝐵 ∧ d𝑋). d𝑙 (𝐶) 𝒅𝒍 𝒅𝟐 𝑺𝑪 𝒅𝒍 𝒅𝑿 (𝑪) D’où la fém d’induction dans le circuit est : 𝒅𝝓 𝒕 𝒆 𝒕 =− =− 𝒅𝒕 En identifiant à 𝒆= 𝐶 (𝐵 ∧ d𝑋). d𝑙 𝑬𝒎 . 𝒅 𝒍 𝒅𝒕 = (𝑣 ∧ 𝐵). d𝑙 𝐶 On tire dans ce cas 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒊𝒕 𝑬𝒎 = 𝑣 ∧ 𝐵 Le champ électromoteur de Lorentz Exemple cos(𝜔𝑡) 𝑛(𝑡) = sin(𝜔𝑡) 0 z 𝐵 = 𝐵𝑚 cos(𝜃0 ) sin(𝜃0 ) 0 y 𝜽𝟎 x 18/08/2019 Azagrouze 𝝎𝒕 𝑩 𝒏(𝒕) 6. Auto-induction et inductance mutuelle 𝝓𝒑 6.1. Auto-induction Un circuit parcouru par un courant d’intensité I est le siège d’un flux d’induction propre 𝜙𝑝 tel que: 𝜙𝑝 = 𝐿𝐼 𝐿 est le coefficient d’auto-induction ou inductance propre. Il est positif et ne dépend que de la géométrie du circuit. Si le courant est variable dans le temps i(t) alors 𝜙𝑝 (𝑡), alors le circuit est le siège d’une fém d’auto-induction 𝒆𝒑 𝒕 = − 𝒅𝝓𝒑 𝒕 𝒅𝒕 = −𝑳 𝒅𝒊(𝒕) 𝒅𝒕 (R, L) Application 1 : Etablissement du courant dans une un circuit (R,L) sous une ddp E=cte. E 18/08/2019 Azagrouze Application 2 : On peut augmenter L en utilisant un noyau de fer doux. 18/08/2019 Azagrouze 6.2. Inductance mutuelle entre deux circuits fermés Le premier crée un champ magnétique 𝑩𝟏 dont on peut calculer le flux 𝜙12 à travers le deuxième circuit 𝜙12 = 𝑆2 𝜇0 𝐼1 𝐵1 𝑑𝑆2 = 4𝜋 𝑑𝑙1 ∧ 𝑀1 𝑀2 𝑆2 (𝐶1 ) 𝑀1 𝑀2 . 𝑑 𝑆2 3 𝜙12 = 𝑀12 . 𝐼1 De même Le deuxième crée un champ magnétique 𝑩2 dont on peut calculer le flux 𝜙21 à travers le premier circuit 𝜙21 = 𝑆1 𝜇0 𝐼2 𝐵2 𝑑 𝑆1 = 4𝜋 𝑑 𝑙2 ∧ 𝑀2 𝑀1 𝑆1 (𝐶2 ) 𝑀2 𝑀1 𝜙21 = 𝑀21 . 𝐼2 18/08/2019 Azagrouze 3 . 𝑑 𝑆1 Théorème : Le coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle (unités : Henry, H) 𝑴 = 𝑴𝟏𝟐 = 𝑴𝟐𝟏 Il met en jeu une énergie potentielle d’interaction magnétique entre les deux circuits 𝑾𝒎 = −𝑴𝑰𝟏 𝑰𝟐 + 𝒄𝒔𝒕𝒆 La raison profonde réside dans le fait qu’ils sont en interaction, donc possèdent chacun la même énergie potentielle d’interaction. Si on déplace C2 , il faut fournir un travail 𝛿𝑊2 = 𝐼2 𝑑𝜙12 = 𝐼1 𝐼2 𝑑𝑀12 Mais ce faisant, on engendre une variation du flux à travers C1 et donc un travail 𝛿𝑊1 = 𝐼1 𝑑𝜙21 = 𝐼1 𝐼2 𝑑𝑀21 Puisqu’ils partagent la même énergie d’interaction (chaque travail correspond au mouvement relatif de C1 par rapport à C2 ), on a 𝛿𝑊1 = 𝛿𝑊2 et donc 𝑑𝑀12 = 𝑑𝑀21 ⇒ 𝑀12 = 𝑀21 + 𝐶𝑠𝑡𝑒 Cette constante d’intégration doit être nulle puisque, si on éloigne les circuits l’un de l’autre à l’infini, l’interaction tend vers zéro et donc les inductances s’annulent. 18/08/2019 Azagrouze Donc dans deux circuits en inductance mutuelle, sachant qu’il n y a pas d’autres sources de champ magnétique, on a: 𝜙1 = 𝐿1 𝐼1 + 𝑀𝐼2 𝜙2 = 𝑀𝐼1 + 𝐿2 𝐼2 Si les flux sont variables dans le temps (ou courant variables dans le temps pour les circuits rigides), alors chaque circuit est le siège d’une induction électromagnétique de féms : 𝑑𝜙1 𝑑𝐼1 𝑑𝐼2 𝑒1 = − = −𝐿1 −𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 et 𝑑𝜙2 𝑑𝐼2 𝑑𝐼1 𝑒2 = − = −𝐿2 −𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Remarques : En pratique pour augmenter l’effet de l’induction électromagnétique dans un circuit, on multiplie Le nombre de tours de fil du bobinage. Le couplage parfait de deux circuits veut dire que les mêmes lignes de champ magnétique passent à travers les deux circuits. Couplage non parfait : il y a des lignes de champ qui ne couplent pas les deux circuits 18/08/2019 Azagrouze Le couplage fort ou parfait peut être réaliser en utilisant un milieu magnétique dont le rôle est de canaliser les lignes de champ du champ magnétique. Les mêmes lignes de champ passent à travers les deux circuits. 𝜑 𝜑 𝐶1 𝑁1 tours de fil 𝐶2 𝑁2 tours de fil 𝜑 𝜑 Milieu magnétique de perméabilité relative 𝜇 𝑟 𝜑 est le flux à travers une section du milieu ferromagnétique et qui correspond aussi au flux magnétique à travers une spire. Ainsi les flux à travers 𝐶1 et 𝐶2 sont : 18/08/2019 𝜙1 = 𝑁1 𝜑 et Azagrouze 𝜙2 = 𝑁2 𝜑 Bilan d’énergie dans deux circuit en couplage magnétique Mettre en équation électrique. Etablir l’expression de l’énergie magnétique Um . Quelle est son signe? Application au transformateur 18/08/2019 Azagrouze Conversion électromécanique 1. Principe 1.1. Force de Laplace Un élément de courant 𝑰𝒅𝒍 d’un circuit filiforme (C) placé dans un champ magnétique 𝑩 subit la force élémentaire de Laplace 𝒅𝑭𝑳 = 𝑰𝒅𝒍 ∧ 𝑩 1.2 Induction Un élément de circuit filiforme (C) en mouvement dans le référentiel du laboratoire à la vitesse 𝑣𝑒 où règne un champ magnétique permanent 𝑩 est siège d’un champ électromoteur d’induction 𝑬𝒎 = 𝒗𝒆 ∧ 𝑩 . I Dans un élément 𝒅𝒍 du circuit (C) apparait une fém d’induction telle que 1.3. Bilan pour un porteur de charge 𝒅𝒆 = 𝑬𝒎 . 𝒅𝒍 On se limite au champ 𝑩 permanent 𝒅𝒆 Soit un élément de courant d’un circuit quelconque. On suppose que les porteurs de charge sont de même type (afin de simplifier les expressions) de charge q et de concentration volumique n. 18/08/2019 Azagrouze La force de Lorentz 𝑓 = 𝑞(𝑣𝑒 + 𝑣𝑟 ) ∧ 𝐵 s’exerce sur chaque porteur de charge. Où 𝑣𝑒 étant la vitesse du circuit par rapport au laboratoire et 𝑣𝑟 celle des porteurs par rapport au référentiel lié au conducteur. La force de Lorentz s’exerçant sur les porteurs de l’élément de courant de volume 𝒅𝝉 vaut donc : 𝒅𝑭 = 𝒏𝒒(𝒗𝒆 + 𝒗𝒓 ) ∧ 𝑩𝒅𝝉 Or, la puissance de la force de Lorentz dans le référentiel du laboratoire est nulle. 𝒅𝑷 = 𝒅𝑭. 𝒗𝒆 + 𝒗𝒓 = 𝟎 Soit 𝑛𝑞 𝒗𝒆 + 𝒗𝒓 ∧ 𝑩 . (𝒗𝒆 + 𝒗𝒓 )=0 ⇒ 𝒋𝒅𝝉 ∧ 𝑩 . 𝒗𝒆 + 𝑬𝒎 . 𝒋𝒅𝝉 = 𝟎 Pour un élément de circuit filiforme de longueur dl et parcouru par un courant I, cette relation s’écrit : 𝑰𝒅𝒍 ∧ 𝑩 . 𝒗𝒆 + 𝑬𝒎 . 𝑰𝒅𝒍 = 𝟎 On a donc : 𝒅𝑷𝑳 18/08/2019 ou 𝒅𝑭𝑳 . 𝒗𝒆 + 𝒅𝒆. 𝑰 = 𝟎 + 𝒅𝑷𝒆 = 𝟎, ce qui donne sur la totalité du circuit : 𝑷𝑳 + 𝑷𝒆 = 𝟎 Azagrouze D’où la base du principe de conversion électromécanique de l’énergie : Lors du déplacement d’un circuit filiforme dans un champ magnétique permanent, la puissance électrique fournie par la f.é.m. d’induction est opposée à la puissance mécanique des forces de Laplace. 1.4 Fonctionnement moteur/générateur. Exemple Fonctionnement moteur Une source externe impose un courant i dans un circuit électrique plongeant dans un champ magnétique 𝐵. La force de Laplace peut mettre tout ou une partie de ce circuit en mouvement et peut donc entraîner une charge mécanique. La puissance électrique 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 fournie par la source externe est donc convertie en puissance calorifique (pertes par effet Joule), en puissance mécanique (dont une partie compense l’effet des forces de frottement). Le bilan en régime établi s’écrit : 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 − 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 = 𝑃𝐿 = 𝑃𝑚𝑒𝑐 + 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 Puissance utile 18/08/2019 Azagrouze Fonctionnement générateur Une dispositif mécanique extérieur met en mouvement tout ou une partie d’un circuit électrique plongeant dans un champ magnétique 𝐵 . Il apparaît donc dans le circuit un champ électromoteur d’induction qui peut être source de courant électrique si le circuit est fermé sur une charge électrique. La puissance mécanique fournie est donc convertie en puissance calorifique (frottements mécaniques) et en puissance électrique (dont une partie éventuellement dissipée par effet Joule). Le bilan en régime établi s’écrit : 𝑃𝑚𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 − 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 = 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 + 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 Puissance utile Exemple On fait se déplacer la barre par une action extérieure à la vitesse 𝑣 = 𝑣𝑢𝑥 constante. Ce conducteur mobile est siège d’un champ électromoteur d’induction 𝑬𝒎 = 𝒗 ∧ 𝑩 = 𝒗𝑩𝒖𝒙 Il apparaît donc une f.é.m. 𝒆 = 𝒗𝑩𝒍 orientée de P à Q. 18/08/2019 Azagrouze Cette barre se comporte comme un générateur et si on ferme le circuit sur un dipôle extérieur 𝐷, la tension qui apparaît aux bornes de celui-ci est 𝑢 = 𝑒 − 𝑟𝑖 , si on appelle 𝑟 la résistance des rails et de la barre. Le conducteur mobile est soumis à la force de Laplace 𝐹𝐿 = −𝑖𝑙𝐵𝑢𝑦 qui tend à s’opposer au déplacement de la barre. La puissance mécanique des forces de Laplace est : 𝑃𝐿 = −𝐵𝑙𝑣𝑖. La puissance électrique fournie par la f.é.m. d’induction est : 𝑃𝑒 = 𝑒𝑖 = 𝑣𝐵𝑖𝑙. On a bien : 𝑷𝑳 + 𝑷𝒆 = 𝟎 Effectuons un bilan de puissance pour la barre : Sa vitesse étant constante, on a : 𝑃𝑚𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 – 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 + 𝑃𝐿 = 0. D’où 𝑃𝑚𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 + 𝑃𝑒 = 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 + 𝑢𝑖 + 𝑟𝑖 2 𝑃𝑚𝑒𝑐,𝑒𝑥𝑡 = 𝑃𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡 + 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 + 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 , où 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐 = 𝑢𝑖 est la puissance électrique reçue par le dipôle extérieur. On retrouve bien le bilan de puissance d’un générateur, à savoir : 18/08/2019 Azagrouze 𝑷𝒎𝒆𝒄,𝒆𝒙𝒕 − 𝑷𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 = 𝑷𝒆𝒍𝒆𝒄 + 𝑷𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆 2. MACHINES A COURANT CONTINU Nous allons étudier le principe d’une machine en rotation autour d’un axe – dite machine tournante – et pour cela commencer par analyser le cas simple du mouvement d’une spire tournant dans un champ magnétique radial. 2.1. Principe de fonctionnement : examen du cas d’une spire tournante On considère une spire, d’axe colinéaire à 𝑢𝜃 (dans le jeu des coordonnées cylindriques) parcourue par un courant i, placée dans un champ magnétique radial et donc entraînée en rotation autour de 𝑢𝑧 à la vitesse angulaire Ω = 𝜔𝑢𝑧 . La ligne neutre est l’intersection avec le plan de la figure, de la zone de champ magnétique nul. On appellera h la longueur (selon 𝑢𝑧 ) de la spire et 2R son diamètre. 18/08/2019 Azagrouze Aspect mécanique : Les parties radiales (BC et AD) de la spire subissent une force de Laplace nulle, puisque 𝐵 est radial. Sur la partie AB : 𝐹 = 𝑖ℎ𝐵 𝑢 𝐿 0 𝜃 Sur la partie CD : 𝐹′𝐿 = 𝑖ℎ𝐵0 𝑢′𝜃 avec 𝑢′𝜃 = −𝑢𝜃 La résultante des forces de Laplace sur la spire est donc nulle. Le couple de ces forces par rapport à l’axe est non nul 𝑢𝑧 est non nul. Γ = 2𝑅𝑖ℎ𝐵0 𝑢𝑧 = 𝐶 Γ est appelé « couple moteur ». La puissance des forces de Laplace s’exerçant sur la spire s’écrit : 𝑃𝑚 𝑃𝑚 est positive ou négative, selon que i et 𝜔 auront même signe ou non. 18/08/2019 Azagrouze = 𝐶. Ω = 𝐶𝜔 = 2𝑅𝜔𝑖ℎ𝐵0 𝑪 = 𝝓𝒊 avec 𝝓 = 𝟐𝑹𝒉𝑩𝟎 , homogène à un flux de 𝑩𝟎 à travers la surface de la spire. Mais attention, il ne s’agit pas du flux de 𝑩𝟎 à travers cette spire!! 𝝓 on a C proportionnel à i. On pose généralement est appelé flux utile du champ magnétique sous chacun des pôles. Aspect électrique : Le champ électromoteur induit dans la partie AB de la spire s’écrit : 𝑬𝒎 = 𝒗 ∧ 𝑩 = −𝑩𝟎 𝑹𝝎𝒖𝒛 De même, le long de CD : 𝑬′𝒎 = 𝑩𝟎 𝑹𝝎𝒖𝒛 Sur les portions radiales de la spire, 𝑬𝒎 est orthogonal au conducteur. La circulation du champ électromoteur le long de la spire vaut donc : 𝒆 = −𝟐𝑹𝝎𝒉𝑩𝟎 = −𝝓𝝎. La puissance électrique fournie par la f.é.m. induite vaut : 𝑷𝒆 = 𝒆. 𝒊 = −𝟐𝑹𝝎𝒉𝑩𝟎 𝒊 . On retrouve l’équation de conversion électromécanique, à savoir : 𝑷𝒆 + 𝑷𝒎 = 𝟎. 18/08/2019 Azagrouze 2.2 Structure simplifiée d’une machine à courant continu La machine est constituée d’une partie fixe, le stator (ou inducteur) solidaire du bâti (ou socle) dont l’arbre porte la partie mobile (rotor ou induit). Entre le rotor et le stator, on a l’entrefer où règne le champ magnétique crée par l’inducteur (formé de bobines alimentées par un courant continu). Le circuit de l’induit est réalisé par un enroulement sous forme de spires autour du rotor de forme cylindrique. Les spires enroulées autour du rotor sont appelées conducteurs actifs si elles se trouvent dans le champ magnétique, passifs sinon. 18/08/2019 Azagrouze Au passage par la ligne neutre, il est nécessaire que le sens du courant dans les spires s’inverse. Si ce n’était pas le cas, le couple des forces de Laplace s’inverserait et la machine ne pourrait pas tourner toujours dans le même sens. Cette inversion n’apparaît pas au niveau du circuit d’alimentation (courant continu). En fait, chaque spire placée sur le rotor de la machine est soudée à un ensemble de lames de cuivre solidaires du rotor et isolées les unes des autres. L’ensemble des lames de cuivre forme le collecteur. Sur le collecteur frottent des balais qui sont solidaires du bâti. L’ensemble collecteur + balai joue le rôle de commutateur. 18/08/2019 Azagrouze Il faut noter que les balais sont solidaires du bâti alors que les lames du collecteur tournent avec le rotor. Au passage par la ligne neutre, les lames du collecteur auxquelles sont attachées les extrémités de la spire changent de balai ce qui implique un courant dans la spire qui s’inverse. Le couple des forces de Laplace garde alors le même signe. Dans une machine réelle, le nombre de conducteurs actifs est élevé. Les contributions des différentes spires placées en série (enroulement) au couple mécanique et à la f.é.m. d’induction s’ajoutent, permettant ainsi de bonnes performances dans des volumes réduits. Les méthodes de bobinage des enroulements ne sont pas simples, notamment du fait des connections au collecteur, et constituent généralement un secret de fabrication. Dans une machine réelle, le nombre de conducteurs actifs est élevé. Les contributions des différentes spires placées en série (enroulement) au couple mécanique et à la f.é.m. d’induction s’ajoutent, permettant ainsi de bonnes performances dans des volumes réduits. 18/08/2019 Azagrouze les balais le COLLECTEUR Le collecteur est alimenté par les balais, il distribue successivement le courant au différentes bobines de L’INDUIT. On voit bien comment lors de la rotation les balais alimentent successivement les différents enroulements. 18/08/2019 Azagrouze Les balais montés sur le collecteur Le champ électromoteur en tout point est proportionnel à la vitesse angulaire de l’enroulement. Pour un enroulement complet, la f.é.m. est donc proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation de la machine. On pose 𝚽 la constante de proportionnalité, homogène à un flux de champ magnétique et qui dépend des caractéristiques de construction de la machine. 𝒆 = −𝜱. 𝝎 De même, le couple moteur est proportionnel à l’intensité du courant électrique parcourant l’enroulement. Le facteur de proportionnalité est homogène à 𝜱 . La relation traduisant le principe de conversion électromécanique ayant été montré pour chaque élément conducteur, il est valable pour toutle circuit. D’où nécessairement : 𝑪 = 𝜱. 𝒊 Il est indispensable d’associer à ces relations un schéma de convention d’orientation. ou 18/08/2019 Azagrouze Principaux modes de fonctionnement Si 𝒖𝒊 > 𝟎 (soit 𝒖𝒊 = −𝒆𝒊 = 𝑪𝝎 dans le schéma idéal) : la machine reçoit de l’énergie électrique et fournit de l’énergie mécanique : elle fonctionne en moteur. Si 𝒖𝒊 (= 𝑪𝝎 dans le schéma idéal ) < 0 : elle fonctionne en génératrice. Si 𝒖𝒊 = 𝟎 : elle fonctionne à vide : elle n’entraîne aucune charge mécanique et dans ce cas il n’est pas nécessaire de disposer de couple moteur pour maintenir la vitesse de la machine constante. Ceci n’est valable qu’à condition de négliger les pertes électriques et mécaniques. Equations : équation électrique (en négligeant l’inductance propre de l’induit) : 𝒖 = 𝑹𝒊– 𝒆 = 𝑹𝒊 + 𝚽𝝎. équation mécanique : on applique le théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (ici l’arbre du moteur) : 𝒅𝜔 𝑱 = 𝑪 + 𝑪𝒓 = Φ𝒊 + 𝑪𝒓 𝒅𝒕 Où J est le moment d’inertie du rotor, de l’arbre et de la charge mécanique qui lui est attachée et où 𝑪𝒓 est le couple résistant dû aux frottements mécaniques et à la charge mécanique (𝑪𝒓 < 0). 18/08/2019 Azagrouze Moteur non chargé : Si le moteur est non chargé et que l’on néglige les frottements, alors 𝑪𝒓 = 𝟎. Le régime permanent donne 𝐼 = 0 et le couple moteur est nul : il est inutile pour maintenir une vitesse de l’arbre constante. On a alors 𝑈 = − 𝐸 = ΦΩ : la mesure de Ω pour différentes tensions d’alimentation permet de déterminer Φ. En régime quelconque : 𝑢 = 𝑅𝑖 + Φ𝜔 et 𝑑𝜔 𝜏𝑚 𝑑𝑡 +𝜔 = 𝑢 Φ avec 𝜏𝑚 = 𝐽 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = Φ𝑖 d’où : 𝑅𝐽 constante de temps électromécanique Φ2 Si le moteur est non chargé et que l’on prend les frottements en compte on modélise généralement ces frottements par un couple résistant de type visqueux : 𝐶𝑟 = −𝑓𝜔. 𝑓 Les caractéristiques du régime permanent sont alors : 𝐼 = Φ Ω 18/08/2019 Azagrouze 𝑓𝑅 et 𝑈 = ( Φ + Φ)Ω Afin de déterminer f, on procède souvent à des essais de lâcher : on entraîne la machine à la vitesse de rotation Ω0 puis on interrompt l’alimentation (u nulle mais 𝐵 toujours imposé par l’inducteur). On observe alors la décroissance de la vitesse dont l’évolution temporelle est donnée par la résolution des équations différentielles suivantes : D’où avec On a donc La mesure du temps de décroissance donne 𝜏’𝑚 donc f (connaissant R, Φ et J). 18/08/2019 Azagrouze Moteur entraînant une charge mécanique: Les équations sont alors les suivantes : 18/08/2019 Azagrouze 18/08/2019 Azagrouze
