poly-integration-probas

Int´egration et probabilit´es
(cours + exercices corrig´es)
L3 MASS, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis
2009-2010
Sylvain Rubenthaler

Table des mati`eres
Introduction iii
1 D´enombrement (rappels) 1
1.1 Ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Th´eorie de la mesure 5
2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Int´egrales des fonctions ´etag´ees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fonctions mesurables et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Int´egrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Int´egrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11
2.5 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Ensembles n´egligeables 17
4 Th´eor`emes limites 21
4.1 Stabilit´e de la mesurabilit´e par passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Th´eor`emes de convergence pour les int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Mesure produit et th´eor`emes de Fubini 33
5.1 Th´eor`emes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 41
6.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Esp´erance d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.6 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.7.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.7.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Variables ind´ependantes 59
7.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1 ´ Ev´enements et variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2 Densit´es de variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Somme de deux variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Convergence de variables al´eatoires 71
8.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3 Th´eor`eme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Conditionnement 83
9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.1 ´ Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Variables gaussiennes 89
10.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Gaussiennes et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A Table de la loi normale 93

Introduction
Le but de ce cours est d’introduire les notions de th´eorie de la mesure qui seront utiles
en calcul des probabilit´es et en analyse. Il est destin´e aux ´etudiants qui veulent poursuivre
leurs ´etudes dans un master `a composante math´ematique. Pour un cours plus complet, se
reporter `a la bibliographie.
Informations utiles (partiels, barˆemes, annales, corrig´es, . . .) :
http ://math.unice.fr/∼rubentha/cours.html.
PR´ EREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l’´etudiant doit connaˆıtre, entre autres, les
d´eveloppements limit´es, les ´equivalents, les ´etudes de fonction, le d´enombrement, les nombre
complexes, la th´eorie des ensembles., les int´egrales et primitives usuelles, la trigonom´etrie
. . .etc . . .
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