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Exo dynamique

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Exercice en dynamique niveau TSM
Exo1 : Une luge glisse sans frottement le long d’un plan incliné, du sommet duquel elle part
sans vitesse.
a) En appliquant le T.E.C à la luge, trouver la relation entre sa vitesse V, la distance
parcourue X, l’intensité g de la pesanteur et l’inclinaison 𝛼 du plan.
b) En déduire l’expression littérale de l’accélération de a du mouvement.
c) La pente a pour longueur 10cm ; la luge atteint le bas à la vitesse V = 99m/s. En
déduire la valeur de l’inclinaison 𝛼 de la piste.
Exo2 : Un objet de masse 20kg glisse le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan
incliné à un angle 𝛼 = 30° avec l’horizontale. La somme 𝑅⃗ supposée constante, des forces de
contact reparties en surface exercée par le plan sur l’objet fait un angle 𝛽 avec la normale au
plan.
a) Faire un schéma et représenter les forces extérieures appliquées au solide.
b) Exprimer le vecteur accélération du mobile en fonction de 𝛼, 𝛽, m, R et g.
c) Lâché sans vitesse initiale, le mobile parcourt une distance l = 5m en une durée t =
1,7s. Calculer l’accélération (g = 10m/s2)
d) Calculer l’angle 𝛽 et la norme du vecteur réaction 𝑅⃗ .
Exo3 : Un mobile de masse m = 20kg, lancé avec une vitesse vo = 4m/s, monte en un
mouvement de translation rectiligne. Le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan
incliné d’un angle 𝛼 = 20° avec l’horizontale. Les forces de frottement sont équivalentes à
une force 𝑓 opposée à la vitesse et de norme supposée constante f = 40N.
a) En appliquant le T.E.C, déterminer la distance parcourue par le mobile avant qu’il ne
s’arrête.
b) Arrivé au sommet de la trajectoire, le mobile redescend. Indiquer sur un schéma les
forces extérieures à ce mobile au cours de la descente.
c) Calculer la vitesse avec laquelle le mobile repasse par sa position initiale. Quelle serait sa
vitesse si les frottements étaient négligeables.
Exo4 : Un mobile glisse sans frottement sur une aérobic inclinée d’un angle 𝛼 par rapport au
plan horizontal. Un dispositif approprié permet de connaître les positions d’un point A du
mobile à des intervalles de temps égaux à 𝜃 = 0,1s. On a ainsi 5 positions notées A1, A2…A5.
Les mesures donnent A1A2 = 12cm, A1A3 = 26,4cm, A1A4 = 43,2cm, A1A5 = 62,4cm.
a) Quelle la nature du mouvement du mobile ? Calculer a.
b) Le mobile étant parti du repos à t = 0, déterminer à quelle date t 1 le point A se trouve
en A1 et la distance X1 présente alors depuis ce départ (g = 9,8m/s2).
AN : X1 = 240cm
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Exercice en dynamique niveau TSM
Exo5 : La cabine d’un ascenseur de masse M = 1600kg s’élève directement du rez-dechaussée au La montée comporte trois phases :
-
Durant t1 = 2,8s, le mouvement est uniformément accéléré
-
Durant t2 = 8,0s, le mouvement est uniforme sur une distance d2 = 52m.
-
Durant t3 = 3,5s, le mouvement est uniformément retardé jusqu’à l’arrêt. Calculer
H.
a) Calculer la tension du câble de traction au cours de chacune des trois phases de la
montée.
b) Un objet de masse m = 100g est suspendu à un ressort de longueur à vide l 0 = 20cm et
de raideur K = 0,2N/cm, lui-même attaché au plafond de l’ascenseur précédent.
Déterminer la longueur du ressort au cours des trois phases du mouvement de
l’ascenseur.
Exo6 : Un solide est tiré le long de la tige de plus grande pente d’un plan incliné par un câble
parallèle à ce plan qui fait un angle 𝛼 avec l’horizontale. La masse m du solide est égale à
980kg.
a) Le mouvement comporte trois phases :
-
Il est d’abord uniformément accéléré durant ∆t
-
Uniforme durant 6s sur une distance de 36m.
-
Uniformément retardé pendant une même durée ∆t jusqu’à l’arrêt.
Sachant que la distance totale parcourue est de 60m, calculer la durée totale du trajet
effectué par le solide.
b) Le déplacement se fait sans frottement. Déterminer la force de traction du câble et la
réaction du sol sur le solide au cours des trois phases du mouvement. 𝛼 = 20° et
g = 9,8m/s2.
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Exercice en dynamique niveau TSM
c) Déterminer la puissance exercée par la force de traction pendant la 2eme phase.
Exo7 : Un objet de masse m = 100g est suspendu à un ressort de longueur à vide l 0 = 20cm et
de raideur K = 20N/m ; lui-même placé horizontalement dans un véhicule.
1°) Le véhicule roulant à la vitesse V = 72km/h ralenti et s’immobilise sur une distance
X = 100m. Déterminer :
a) L’accélération du mouvement
b) La tension et la longueur du ressort
c) L’intensité de la force de freinage
2) Le véhicule aborde une côte à 30%. Calculer l’allongement du ressort si le véhicule
accélère dans la montée ; l’accélération étant de 2m/s2 et g = 10m/s2. Masse du véhicule
M = 103kg.
Exo8 : Une boule de plomb quasi ponctuelle de masse M = 50g est suspendu à l’extrémité
d’un fil inextensible et de masse négligeable, de longueur l = 1m. La position de la boule par
rapport à la verticale est caractérisée par l’angle 𝜃.
On écarte la boule de sa position verticale d’un angle 𝜃0 = 60° et on le lâche sans vitesse
initiale.
a) Calculer la vitesse de la boule :
-
Lorsqu’elle passe à la position définie par 𝜃0 = 30°.
-
Lorsqu’elle passe à la position d’équilibre.
b) Calculer la tension du fil dans chacun des deux cas précédents.
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Exercice en dynamique niveau TSM
c) Quelle est la valeur minimale de la vitesse 𝑉0 horizontale qu’il faut communiquer à la
boule à partir de la position d’équilibre pour qu’elle puisse effectuer un tour complet
autour du point d’attache 0, le fil restant tendu.
Exo9 : Une bille de masse m = 100g est suspendu en un point 0 par un fil de longueur l = 1m.
Le pendule est écarté de la verticale d’un angle 𝜃0 = 45° et abandonné sans vitesse initiale.
a) A l’instant t le fil fait un angle 𝜃 avec la verticale. Exprimer les coordonnée du vecteur
accélération dans la base de Frenet (𝜏; 𝑛⃗) en fonction de 𝜃, 𝜃0 et g.
b) Calculer a et représenter sur un schéma le vecteur 𝑎 dans les trois cas 𝜃= 𝜃0 , 𝜃 = 0°, 𝜃 =
30°.
c) Exprimer la norme de la position du fil en fonction de 𝜃, 𝜃0 et g : la calculer dans les
trois cas précédents.
Exo10 :
Un solide ponctuel (s) de masse m initialement au repos en A. On le lance sur une piste ACD,
en faisant agir sur lui, le long de la partie AB de la trajectoire, une force 𝐹 horizontale et
d’intensité F constante.
On pose AB = l.
La position AC de la trajectoire est horizontale et la portion CD est un demi-cercle de centre
O et de rayon r. On suppose que la piste ACD est parfaitement lisse et que la résistance de
l’air est négligeable.
1- Déterminer en fonction de F, l et m la valeur VB de la vitesse de (s) en B.
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Exercice en dynamique niveau TSM
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2- Au point M défini par l’angle (𝑂𝐶
𝑂𝑀) = 𝜃, établir en fonction de F, l, m, r, 𝜃 et g de
l’expression de :
a- La valeur V de la vitesse de S
b- L’intensité R de la réaction 𝑅⃗ de la piste
3- De l’expression de R, déduire, en fonction de m, g, r, l, la valeur minimale FO de F
pour que S atteigne D. Calculer FO sachant que : m = 0,5kg ; r = 1m ; g = 10m/s2.
Exo11 : Un solide S, assimilable à un point matériel de masse m = 10g,
Peut glisser à l’intérieur d’une demi-sphère de centre O
et de
rayon r = 1,25m. On le lâche du point A sans
vitesse initiale.
Sa position à l’intérieur de la demi-sphère est repérée par l’angle 𝜃.
1- On admet que S glisse sans frottement.
a) Exprimer sa vitesse au point M en fonction de g, r et 𝜃. Calculer sa valeur numérique
au point B.
b) Exprimer en fonction de g, r et 𝜃 l’intensité de la force exercée par la demi-sphère sur
le solide S en M. calculer sa valeur numérique au point B.
2- En réalité, le solide S arrive en B avec une vitesse de 4,5m/s. Il est donc soumis à des
forces de frottement 𝑓 dont on admettra qu’elle est de même direction que le vecteur
vitesse du mobile mais de sens opposé et d’intensité constant. En utilisant le T.E.C
calculer l’intensité de 𝑓 .
Exo12 : I) Une bille de masse m = 30g se déplace sans frottement sur un trajet ABS
représenté ci-dessous :
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Exercice en dynamique niveau TSM
-
AB est un plan incliné de longueur AB = L = 50cm faisant un angle 𝛼 = 30° avec
l’horizontale.
-
BC est un arc de cercle de centre O et de rayon r =20cm. A t = 0, la bille est lâchée
sans vitesse initiale au point A.
1- Déterminer l’expression de l’accélération de la bille sur le plan incliné. En déduire
la nature du mouvement.
2- Déterminer l’équation horaire de la bille sur le plan incliné lors (le point A étant
choisi comme origine des espaces).
3- Déterminer la date et la vitesse de la bille lors de son passage au point B.
II) la bille aborde la partie BS avec une vitesse VB = 2,20m/s. La bille est préparée au point
M par son abscisse angulaire 𝜃 = M𝑂̂C.
4- Exprimer la vitesse de la bille en M en fonction de g, r, 𝜃, 𝛼 et VB sachant que
B𝑂̂C = 𝛼.
5- Exprimer l’intensité de l’accélération 𝑅⃗ de la bille en fonction de m, g, r, 𝜃, VB et
𝛼.
6- En quel point cette réaction est-elle maximale ? Justifier et calculer cette valeur.
⃗ S de la bille au point S sachant que 𝛽 =
7- Déterminer la vitesse (direction et norme) 𝑉
C𝑂̂S = 20°.
Exo13 : Un mobile de masse m = 0,60kg, reposant sur une table horizontale, est soumis à une
force constante 𝐹 de valeur F = 0,65N et de direction parallèle au support.
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Exercice en dynamique niveau TSM
L’ensemble des frottements est assimilable à une force constante 𝑓 à la trajectoire du mobile.
On se propose de déterminer la valeur 𝑓 par deux méthodes différentes dans les parties A et
B.
A/ On enregistre les positions successives de la projection A du centre d’inertie G du mobile
toutes les 𝜏 = 60ms (fig. ci-dessous).
On a reproduit ci-dessous une partie de cet enregistrement en indiquant la position des points
sur un axe dont l’origine a été choisie arbitrairement en A1.
1°) Déterminer la valeur de la vitesse aux points A1, A2, A3, A4, A5 et A6. On présentera les
résultats sous forme d’un tableau.
2°) On choisit comme origine des dates l’instant du passage en A1.
Représenter graphiquement la vitesse en fonction du temps. Echelles : 1cm pour 30m/s, 1cm
pour 0,05m/s.
Déduire de ce graphe la nature du mouvement.
3°) en expliquant votre raisonnement, déterminer la valeur de 𝑓.
B/ La valeur de la vitesse au passage en A2 est V2 = 0,18m/s. La valeur de la vitesse en A6 est
V6 = 0,42m/s.
En utilisant le théorème de l’énergie cinétique que l’on énoncera la valeur de la force 𝑓.
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Exercice en dynamique niveau TSM
Exo14 : Un solide ponctuel de masse m = 500g, glisse sur un plan incliné AO d’un angle
𝛼 = 30° par rapport à l’horizontale. On enregistre le mouvement de ce solide pendant des
intervalles de temps successifs et égaux 𝜃 = 60ms.
1°) Calculer les vitesses aux points M2 ; M3 ; M4 et M5.
2°) Calculer les accélérations aux points M3 et M4. En déduire la nature du mouvement.
3°) Le mouvement se fait-il avec frottement ? Si la réponse est positive déterminer la valeur
de cette force de frottement.
4°) Le solide quitte le plan incliné au point O avec vitesse V0 = 2m/s et continue son
mouvement dans le vide.
⃗ 0.
a) Préciser la direction et le sens de 𝑉
b) Etudier le mouvement du solide S et établir l’équation de sa trajectoire.
c) Déterminer les coordonnées du point de chute du solide s’il a mis 0,5s pour
effectuer son mouvement dans le vide.
d) En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, trouver la vitesse au point de
chute.
Exo15: Une glissière est formée de deux parties (fig. ci-dessous) :
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Exercice en dynamique niveau TSM
AB est un plan incliné d’un angle 𝛼 = 30° par rapport à l’horizontale, de longueur
AB = l = 1m ; BC est une portion de cercle, de centre O, de rayon r = 2m et l’angle
B = (OC, OB) = 60°. Dans tout le problème on prendra g = 10m/s2 et on considérera les
frottements comme négligeables.
1°) Un solide ponctuel, de masse m = 100g, quitte A sans vitesse initiale.
Exprimer et calculer la vitesse du solide VB en B.
2°) Le solide aborde la partie circulaire avec VB. Exprimer, pour un point M du cercle tel que
𝜃 = (OC, OM), la vitesse VM en fonction de VB, r, g et 𝜃.
3°) Quelle est, au point M, la réaction R de la glissière sur l’objet ? Exprimer R en fonction de
r, g, 𝜃, VB et m.
4°) Montrer que le solide quitte la piste en un point N et calculer 𝜃′ = (OC, ON).
Indication : un mobile quitte son support lorsque la réaction exercée par ce dernier s’annule.
Exo16 : Une petite bille, considérée comme un point matériel de masse m, est accrochée à
l’extrémité d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l, l’autre extrémité du fil
est fixée en un point O. On néglige tous les frottements et on donne : l = 40cm ; g = 9,8m/s2.
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Exercice en dynamique niveau TSM
1°) Dans une première expérience de fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un
angle 𝜃 = 60° et lâche sans vitesse.
a) En utilisant la relation 𝑓 = m.𝑎 et le théorème de l’énergie cinétique, calculer les
valeurs numériques des accélérations normales et tangentielles de la bille en B1 et B2.
b) Représenter ces valeurs en B1 et B2.
2°) Dans une deuxième expérience, ce fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un
⃗ 1, perpendiculaire à OB1,
angle 𝜃 = 60° et la bille est lancée vers le haut avec un vecteur 𝑉
⃗ 1 étant dans un même plan vertical. Le système fait alors dans ce plan un tour
OB1 et 𝑉
complet en passant par la position B3 étant au dessus de O.
a) Donner l’expression de la tension du fil dans la position B3 en fonction de m, g, l, V3,
puis en fonction de m, g, l, V1, 𝜃.
b) Quelle doit être la valeur minimale de V1 pour que la position B3 puisse être atteinte,
le fil restant tendu ?
c) Représenter
pour les positions B1 et B3 les vecteurs accélérations normale et
tangentielle de la bille, celle-ci étant lancée vers le haut en B1 avec une vitesse
V1 = 5m/s
Exo17 : (BAC SM 1994)
Un solide de petite dimension S, de masse m, assimilable à un point matériel, est placé au
sommet A d’une sphère de rayon r = 1m. On déplace légèrement le point matériel de sorte
qu’il quitte la position A avec une vitesse que l’on considère comme nulle, puis glisse sans
frottement le long de la sphère.
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Exercice en dynamique niveau TSM
1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, la position étant repérée par l’angle
𝜃, exprime le module du vecteur vitesse de S, en fonction de 𝜃, avant qu’il quitte la
sphère.
2- En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, exprime en fonction de 𝜃, le
module de la réaction exercée par la sphère sur le point matériel S.
3- En déduire l’angle 𝜃, lorsque le point quitte la sphère, quelle est sa vitesse en ce
point ? On prendra g = 10m/s2.
Rep : 1. V = √2𝑔𝑟(1 − 100𝜃) ; 2. R = mg(3COS𝜃 – 2) ; 3. 𝜃 = 48° ; V = 2,6m/s.
Exo18 : (BAC 12e SE 2006 extrait)
Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 50g et d’un fil très fin de longueur
l = 200mm. On lance de façon que le fil engendre un cône d’un axe vertical et demi-angle au
sommet 𝛼 = 60°. La bille est alors animée d’un mouvement circulaire uniforme dans un plan
horizontal. Toutes les résistances sont supposées négligeables. Calculer l’énergie fournie au
pendule de sa position d’équilibre pour lui donner le mouvement actuel. On donne
g = 10m/s2.
Rep : E = 0,125J.
Exo19 : (Extrait BAC TSE 2006, 2010)
Un pendule simple de masse m = 100g et de période une seconde est écarté de sa position
d’équilibre d’un angle 𝛼 = 60°. Il s’arrête après 500 oscillations. Quelle devrait être en watts
la puissance d’un dispositif électrique capable d’entretenir son mouvement ?
Rep : P = 2,44.10-4W.
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Exercice en dynamique niveau TSM
Exo20 : Une bille B de masse m = 200g, assimilable à un point matériel est placé au sommet
A d’une sphère de centre O et de rayon r = 60cm. On déplace légèrement la bille B de sorte
qu’elle quitte A sans vitesse initiale, puis glisse sans frottement le long de la sphère. Au cours
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
du mouvement la position de la bille est repérée par l’angle 𝜃 = (𝑂𝐴
1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprime la vitesse de la bille en
fonction de 𝜃 avant qu’elle ne quitte la sphère.
2- En utilisant le théorème fondamentale de la dynamique exprimer en fonction de 𝜃, le
module de la réaction exercée par la sphère sur la bille B.
3- Calculer les valeurs numériques des accélérations normales et tangentielles de la bille
pour 𝜃 = 30°.
4- Pour quelle valeur de l’angle 𝜃 la bille quitte la sphère ? Quelle est alors la vitesse de
la bille en ce point ? On donne g = 10m/s2.
Rep : 1. V = √2𝑔𝑟(1 − 𝐶𝑂𝑆𝜃) ; 2. R = mg(3COS𝜃 – 2) ; 3. 𝛼 n = 2,68m/s2 ; 𝛼 t = 5m/s2 ;
4. 𝜃 = 48° ; V = 20m/s.
Exo21 : 1. On constitue un accéléromètre en fixant au plafond d’un wagon de métro, un fil de
masse négligeable qui contient une petite masselotte. La rame démarre d’un mouvement
uniformément accéléré.
a- Dans quel sens le fil de l’accéléromètre dévie-t-il ?
b- Le fil prend alors, par rapport à la verticale une inclinaison 𝛼1 = 13°. Calculer
l’accélération 𝛼 1 du mouvement de démarrage.
2. Lorsque la rame est lancée d’un mouvement uniforme de 72km/h ; comment se place le
fil ?
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Exercice en dynamique niveau TSM
3. La rame passe de la vitesse de 72km/h à la vitesse nulle, d’un mouvement uniformément
retardé, sur une distance de 100m.
a - Dans quel sens dévie maintenant le fil de l’accéléromètre ?
b – Calculer l’angle 𝛼 2 qu’il forme avec la verticale. On prendra g = 10m/s2.
Rep : 1- b- 𝛼 1 = 2,3m/s2 ; 3- b- 𝛼2 = 11,3°.
Exo22 : (BAC D Sud Vietnam Juin 1974)
Soit une voiture de masse m1 (conducteur compris) à laquelle est attelée une remorque de
masse m2. On admettra dans tout le problème que la force de frottement est toujours présente.
Cette force est évaluée à 0,5 Newton par kilogramme de masse en mouvement. On prendra
dans tout le problème g = 10m/s2.
1- Le démarreur étant en panne, le système voiture-remorque est abandonné sans vitesse
initiale d’une côte incliné d’un 𝛼 sur le plan horizontal. Le système descend la côte en
roue libre (moteur débrayé).
a- Enoncer le théorème de l’énergie cinétique.
b- Au bout de quelle distance X parcourue sur le plan incliné, le système atteint-il la
vitesse V ?
AN : V = 21,6km/h Sin𝛼 = 0,08.
2- La voiture et sa remorque abordent à cette vitesse une voie horizontale. Le chauffeur
embraye rapidement pour faire démarrer le moteur. Après une distance d, la vitesse
tombe à la valeur V1 et le moteur se met en marche. Evaluer le travail résistant
nécessaire à la mise en marche du moteur.
AN : V1 = 10,8km/h ; d = 5m ; m1 = 800kg ; m2 = 200kg.
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Exercice en dynamique niveau TSM
3- Le conducteur accélère alors et la vitesse passe de V1 à V2 sur une distance D, toujours
sur la voie horizontale. Déterminer :
a- L’accélération du mouvement supposé constante ;
b- La force de traction moyenne du moteur ;
c- La tension de la barre d’attache de la remorque.
AN : V2 = 72km/h ; D = 125m.
4- Lorsque l’ensemble (voiture-remorque) atteint la vitesse V2, l’attache de la remorque
cède. Quelle distance la remorque pourra-t-elle parcourir à partir de cet instant et au
bout de combien de temps s’arrêtera-t-elle ?
5- Au plafond de la remorque est fixé un pendule constitué par une masse supposée
ponctuelle suspendue à un fil inextensible et sans masse.
Quel sera l’angle d’inclinaison du fil avec la verticale au cours des phases du mouvement sur
les voies horizontales envisagées dans les questions 3) et 4) ?
V2
Rép : 1) b. 𝑥 = 2(𝑔𝑆𝑖𝑛ʆ−0,5) = 60m ; 2. 𝜔 r = (m1 + m2) (0,5d +
a. a =
𝑉22 −𝑉12
2𝐷
= 1,564m/s2 ; F = (m1 + m2)(0,5 +
𝑉22 −𝑉12
2𝐷
𝑉12 −𝑉 2
2
) = 11kJ ; 3)
) = 2064N ; c. T2 = m2(𝛼 + 0,5) ;
4. d = 𝑉 2 = 400m ;
t=
2𝑑
𝑉2
= 40 ; 5. 𝛼 1 = 9° ; 𝛼 2 =3°.
Exo23 : une automobile de masse m = 600kg aborde à la vitesse de 72km/h une côte dont la
pente est de 4%(on s’élève de 4cm par mètre de route). On prendra g = 10m/s2.
1- En supposant les frottements négligeables, quelle est la force supposée constante que
devra exercer le moteur pour conserver la vitesse de 72km/h.
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Exercice en dynamique niveau TSM
2- A ce moment, le conducteur arrête le moteur sans serrer les freins. En supposant que
les résistances passives à l’avancement soient de 30kgf par tonne, quelle sera la
distance parcourue par l’automobile avant de s’arrêter sur la rampe de 4% ? Au bout
de combien de temps après l’arrêt du moteur se produit l’arrêt du véhicule ?
3- Quelle serait alors la force de freinage constante qui permettrait un arrêt de la voiture
sur une distance de 20m ? Durée de freinage ?
Rép : 1. F = 240N ; 2. X = 285,7m ; t = 28,6s ; 3. FF = 5580N ; t = 2s.
Exo24 : Une piste ABCD est formée de trois parties AB, BC, et CD situées dans un même
plan vertical.

AB est une portion de cercle de centre O et de rayon r = 3m et d’ouverture
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 60°.
𝜃 O = (𝑂𝐴,

BC est une partie rectiligne de longueur BC = L = 4m.

CD représente un quart de la circonférence de rayon r.
Une bille ponctuelle de masse m = 200g est abandonnée du point A avec une vitesse initiale
VA = 2m/s.
1. Calculer la valeur de la vitesse de la bille et la réaction en un point M défini par
𝜃
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
l’angle 𝜃1 = (𝑂𝐵
𝑂𝑀) = 0 ; en supposant les frottements négligeables.
2
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Exercice en dynamique niveau TSM
2. En réalité sur le tronçon ABC existent des frottements équivalents à une force 𝑓
d’intensité constante. Les forces de frottements sont nulles sur la partie CD. Le mobile
arrive en C avec la vitesse VC = 4m/s. Calculer l’intensité de la force de frottement.
3. La bille aborde la partie CD avec la vitesse VC.
a- Déterminer l’expression de la vitesse V et celle de la réaction R de la piste en un point
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
N défini par l’angle 𝛼 = (𝑂′𝐶
𝑂′𝑁 ) en fonction de VC, m, g, r’ et 𝛼
.
b- Quelle doit être la valeur minimale du r’ de la portion CD pour que la bille décolle dès
le point C ?
c- Pour quelle valeur de l’angle 𝛼, la bille quitte-t-elle la sphère lorsque r’ de la portion
CD est de 3m. On prendra g = 9,8m/s2.
Rep : VM = 5,05m/s ; R = 3,39N ; 2. f = 0,24N ; 3.𝛼 V = √2 𝑔𝑟(1 − cos 𝛼) + 𝑉𝐶2 ;
R = mg (3cos 𝛼-2)-m
𝑉𝐶2
𝑟′
; b. rm = 1, 63m ; C. cos 𝛼 = 0,848 ⇒ 𝛼 = 32°.
Exo25 : Un solide ponctuel de masse m est lancé avec une vitesse ⃗⃗⃗
𝑉0 sur une glissière de
rayon r et de centre O (figure). Les frottements sont négligeables. La position du mobile sur la
portion de trajectoire est repérée par l’angle 𝜃 = ( ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀).
1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse V du solide en
fonction de r et 𝜃
2- Appliquer le théorème du centre d’inertie et en projeter l’expression dans la base de
Frenet. Déterminer la norme R de la réaction 𝑅⃗ exercée par la Glissière sur le solide.
3- Montrer que R s’annule pour une valeur 𝜃𝑚 qui est fonction de V0. Quelle est la valeur
V0 pour que le mobile atteigne le sommet C de la trajectoire ? Quelle est alors la
vitesse en C ?
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16
Exercice en dynamique niveau TSM
Rep : 1. V = √𝑉0 2 − 2𝑔𝑟 (1 − cos 𝜃) ; 2. R = m
𝑉02
𝑟
+ mg (3cos 𝜃 - 2) ; 3. V0 = √5𝑔𝑟 ;
V0 = √𝑔𝑟
Exo26 : Une bille assimilable à un point matériel B, de masse m, est relié par deux points A et
C d’un axe vertical D. On note AB = BC= l et AC = a.
1- La bille B tourne à vitesse angulaire 𝜔 constante de l’axe ∆ les fils restent
constamment tendus. Calculer les tensions des fils en fonction de 𝜔.
2- Montrer que le fil BC n’est tendu qu’à partir d’une certaine valeur 𝜔0 de la vitesse
angulaire.
AN : m = 0,6kg ; l = 0,7m ; 𝛼 = 1m ; g = 9,8m/s2 ; 𝜔 = 8, 0rad/s2.
Rep : 1. T1 =
𝑚𝑙 2𝑔
2
( 𝛼 + 𝜔 2 ) ; T2 =
𝑚𝑙
2
(𝜔2 -
2𝑔
𝛼
)
2𝑔
2. T2 > 0 ; 𝜔 > 𝜔0 = √ 𝛼 ; 𝜔0 = 4,4 rad/s
𝜔1 : T1 = 17,6N ; T2 = 9,2N ; 𝜔2 < 𝜔0
T2 = 0 ; T1 = 6,7N.
Exo27 : un enfant installé au sommet S d’un dome décrit par une demi-sphère de centre 0,
s’amuse à laisser tomber des cailloux. Un caillou est un point matériel M de masse m dont la
trajectoire commence en S et se termine en un point M0 où il perd le contact avec la demi⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) où OZ est la verticale ascendante.
sphère. Sa position est repérée par l’angle 𝜃 = (OZ ; 𝑂𝑀
Tout frottement sera négligé.
1- Etude de la première phase du mouvement.
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17
Exercice en dynamique niveau TSM
a- Faites un schéma complet. Quelle est la nature du mouvement de cette première partie
où le caillou est en contact avec le dome ?
b- A quelle condition le caillou décolle- t-il du dome ? Calculer la position (repérée par
l’angle 𝜃0 ) pour laquelle cela se produit.
2- Etude de la deuxième phase du mouvement.
a- Quel est le mouvement ultérieur du caillou ?
b- Donner les équations paramétriques (de paramètre t) de sa trajectoire. Pour cela, vous
redéfinirez l’origine des temps à l’instant où le caillou a perdu le contact avec le dome
et passerez dans un système de coordonnée plus approprié.*
c- AN : Calculer les composantes de la vitesse et de la position au moment du
décollement, ainsi que la date à laquelle il touche le sol et la vitesse à cet instant.
Données : R = 2m ; g = 9, 8m/s2.
Exo28 : 1. Considérons un point matériel M, de masse m, suspendu à un fil inextensible de
longueur l et de masse négligeable, qui est fixé en un point O1 d’un axe vertical OZ (voir
figure 1). Le point M est animé d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire 𝜔
dans le plan horizontal (XOZ). Le fil O1M reste incliné du même angle 𝛼 par rapport à l’axe
OZ.
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18
Exercice en dynamique niveau TSM
Déterminer 𝛼 en fonction de 𝜔, l et g.
3- M est relié également au point O2 de l’axe OZ tel que OO2 = OO1 =D par le même fil
inextensible de longueur l. La distance D est inferieure à l (voir figure2).
a) M est mis en rotation à la vitesse angulaire 𝜔 que l’on augmente progressivement. Le
fil O2M devient tendu pour une valeur 𝜔1 que vous exprimez en fonction de g et D.
b) En supposant 𝜔>𝜔1, déterminer les normes T1 et T2 des tensions respectives des fils
O1M et O2M en fonction de m, l, 𝜔1 et 𝜔.
AN : Calculer T1 et T2 pour l = 0,5m ; D = 0,3m ; m = 1kg ; g = 9,8m/s2 et 𝜔 = 7 rad /s2.
Exo29 : Dans tout le problème, on néglige les frottements et on prend pour l’intensité de
pesanteur g = 10m/s2.
Un pendule simple est constitué par une bille ponctuelle B1 de masse m1= 200g suspendu au
bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 0,90m.
a- On écarte le pendule d’un angle 𝛼 par rapport à sa position d’équilibre verticale et on
le lâche sans vitesse initiale. La vitesse de la bille B1 lors de son passage à la position
d’équilibre v1 = 3m/s. Calculer la valeur de l’angle 𝛼.
b- Lors de son passage à la position d’équilibre la bille B1 heurte, au cours d’un choc
parfaitement élastique, une autre bille ponctuelle immobile de masse m2 = 100g.
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Exercice en dynamique niveau TSM
La bille B1, juste après le choc, poursuit son mouvement avec une vitesse 𝑉1′ = 1m/s.
En appliquant la conservation de la quantité de mouvement, montrer que la vitesse de la bille
B1 juste après le choc est 𝑉2′ = 4m/s.
c- La bille B2 est propulsée avec la vitesse 𝑉2′ sur une piste qui comporte trois parties :
Une partie horizontale AB, une certaine courbe BC et un arc de cercle CD, de rayon r
et centre O. Les points O, A et B se trouvent dans un même plan horizontal.
C. 1 Exprimer, en fonction de g, r, 𝛽 et 𝑉2′ , la vitesse de la bille B2 au point I.
C. 2 Exprimer, en fonction de m2, g, r, 𝛽 et 𝑉2′ l’intensité de la réaction de la piste sur la
bille B2 au point I.
C. 3 La bille B2 arrive au point D avec une vitesse horizontale de valeur VD = 1m/s.
Calculer la valeur de r.
Exo30 : Une voiture de masse M1 tracte une caravane de masse M2. Sous l’action d’une force
motrice de valeur constante F, l’ensemble gravit une côte de 5% et la vitesse croît de V 1 à V2
sur un parcours de longueur d.
Les frottements qui s’exercent sur la voiture équivalent à une force de valeur constante f1 et
celles qui s’exercent sur la caravane à une force f2. Ces forces sont opposées au vecteur
vitesse de l’ensemble.
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20
Exercice en dynamique niveau TSM
Etudier le mouvement de l’ensemble, déterminer son accélération. Calculer la valeur de la
force motrice F ainsi que la tension du timon.
AN : sin 𝛼 = 0,05 ; M1 1200kg ; M2= 600kg ; V1 = 36km/h ; V2 = 72km/h, d = 200m ;
f1= 1000N, f2 = 500N ; g = 10m/s2.
Exo31 : Une balle de 0,5kg attachée à une corde de masse négligeable tourne sur cercle
vertical de 50cm de rayon.
Au point le plus haut du cercle, elle se déplace à 2,44m/s ; au point le plus bas cercle, elle se
déplace à 5,06m/s. Calculer le module de la tension dans la corde à ces deux endroits.
Exo32 : Une bille de masse m roule sur une piste semi-circulaire de rayon R. On note A le
point en haut à gauche de la piste et B le point en haut à droite de la piste. La bille est repérée
par l’angle 𝜃 fait avec l’axe horizontal (voir figure). On note g l’accélération de la pesanteur.
1) Dans cette première partie les frottements sont négligés. La bille est lâchée du point A
sans vitesse initiale.
1.1)
En utilisant le théorème de l’énergie, déterminer la vitesse de la bille en un point
quelconque M en fonction de R, 𝜃 et g. En déduire le point où la vitesse est maximale.
Que vaut alors cette vitesse ?
1.2)
En utilisant le principe fondamental de la dynamique, calculer la force exercée par la
piste sur la bille en fonction de m, 𝜃 et g.
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Exercice en dynamique niveau TSM
Où est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ?
2) On suppose maintenant qu’il existe des frottements entre la piste et la bille. La bille
part encore du Point A sans vitesse initiale.
2.1) faire un schéma fait apparaître les forces s’appliquant sur la bille en M.
2.2) sans faire de calcul dire si le travail de la force de frottement pour aller de A à B est un
travail moteur ou un travail résistant. Justifier votre reponse.
2.3) En appliquant un théorème de l’énergie et en utilisant le résultat de la question
précédente, déduire qu’il est impossible que la bille atteigne le point B.
Exo33 : Un pendule simple est constitué d’une boule de masse m = 100g accroché à un fil
sans masse de longueur l = 1,0m. On donne g = 9,8m/s2.
On choisit l’origine des énergies potentielles sur le plan horizontal contenant le centre I de la
boule S, lorsqu’elle est en équilibre le fil étant vertical (voir figure 1)
1- On écarte le fil de sa position d’équilibre d’un angle 𝜃
m
= 60° et on abandonne le
pendule sans vitesse initiale.
-
Calculer l’énergie mécanique du pendule à cet instant.
-
Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il repasse par la position verticale. On
négligera les frottements
-
Exprimer à un instant quelconque, la tension T du fil de ce pendule en fonction de
m, 𝜃 et 𝜃 m. Faire l’application numérique pour 𝜃 = 10°.
𝑙
2- On place au point I tel que OI = 4 = 25cm.
Une petite butée (voir figure 2) on cherche à savoir jusqu’à quel point M la boule pourra
remonter.
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Exercice en dynamique niveau TSM
-
Exprimer en fonction de m, g, l et 𝜃 l’angle d’inclinaison du fil l’énergie
mécanique du pendule à cet instant.
-
En négligeant les frottements, calculer la valeur de l’angle 𝜃.
Exo34 : Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m = 100g accrochée à
l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 1m. On l’écarte de la
verticale d’un angle 𝜃 0 puis on l’abandonne sans vitesse initiale.
On prendra l’horizontale de la position la plus basse comme niveau de référence de l’énergie
potentielle de pesanteur.
A un instant quelconque, le pendule en mouvement fait un angle 𝜃 avec la verticale du lieu.
1- Déterminer l’expression de l’énergie potentielle Ep de pesanteur du système {Terrependule} en fonction de m, g, l et d.
𝜃
2- Si 𝜃 est petit, on peut écrire : Sin𝜃 = 𝜃(rad) et 1 – Cos𝜃 = 2Sin22 .
Donner la nouvelle expression de l’énergie potentielle Ep de pesanteur en fonction de
m, g, l et 𝜃.
3- On admet que le système est conservatif.
a- Définir un système est conservatif.
b- Pour des oscillations d’amplitude 𝜃
m
pendule au passage par la position 𝜃 =
= 10°, calculer l’énergie cinétique EC du
𝜃𝑚
2
.
Données : g = 10N/Kg.
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Exercice en dynamique niveau TSM
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