Exercice en dynamique niveau TSM Exo1 : Une luge glisse sans frottement le long d’un plan incliné, du sommet duquel elle part sans vitesse. a) En appliquant le T.E.C à la luge, trouver la relation entre sa vitesse V, la distance parcourue X, l’intensité g de la pesanteur et l’inclinaison 𝛼 du plan. b) En déduire l’expression littérale de l’accélération de a du mouvement. c) La pente a pour longueur 10cm ; la luge atteint le bas à la vitesse V = 99m/s. En déduire la valeur de l’inclinaison 𝛼 de la piste. Exo2 : Un objet de masse 20kg glisse le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan incliné à un angle 𝛼 = 30° avec l’horizontale. La somme 𝑅⃗ supposée constante, des forces de contact reparties en surface exercée par le plan sur l’objet fait un angle 𝛽 avec la normale au plan. a) Faire un schéma et représenter les forces extérieures appliquées au solide. b) Exprimer le vecteur accélération du mobile en fonction de 𝛼, 𝛽, m, R et g. c) Lâché sans vitesse initiale, le mobile parcourt une distance l = 5m en une durée t = 1,7s. Calculer l’accélération (g = 10m/s2) d) Calculer l’angle 𝛽 et la norme du vecteur réaction 𝑅⃗ . Exo3 : Un mobile de masse m = 20kg, lancé avec une vitesse vo = 4m/s, monte en un mouvement de translation rectiligne. Le long d’une ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle 𝛼 = 20° avec l’horizontale. Les forces de frottement sont équivalentes à une force 𝑓 opposée à la vitesse et de norme supposée constante f = 40N. a) En appliquant le T.E.C, déterminer la distance parcourue par le mobile avant qu’il ne s’arrête. b) Arrivé au sommet de la trajectoire, le mobile redescend. Indiquer sur un schéma les forces extérieures à ce mobile au cours de la descente. c) Calculer la vitesse avec laquelle le mobile repasse par sa position initiale. Quelle serait sa vitesse si les frottements étaient négligeables. Exo4 : Un mobile glisse sans frottement sur une aérobic inclinée d’un angle 𝛼 par rapport au plan horizontal. Un dispositif approprié permet de connaître les positions d’un point A du mobile à des intervalles de temps égaux à 𝜃 = 0,1s. On a ainsi 5 positions notées A1, A2…A5. Les mesures donnent A1A2 = 12cm, A1A3 = 26,4cm, A1A4 = 43,2cm, A1A5 = 62,4cm. a) Quelle la nature du mouvement du mobile ? Calculer a. b) Le mobile étant parti du repos à t = 0, déterminer à quelle date t 1 le point A se trouve en A1 et la distance X1 présente alors depuis ce départ (g = 9,8m/s2). AN : X1 = 240cm 1 Exercice en dynamique niveau TSM Exo5 : La cabine d’un ascenseur de masse M = 1600kg s’élève directement du rez-dechaussée au La montée comporte trois phases : - Durant t1 = 2,8s, le mouvement est uniformément accéléré - Durant t2 = 8,0s, le mouvement est uniforme sur une distance d2 = 52m. - Durant t3 = 3,5s, le mouvement est uniformément retardé jusqu’à l’arrêt. Calculer H. a) Calculer la tension du câble de traction au cours de chacune des trois phases de la montée. b) Un objet de masse m = 100g est suspendu à un ressort de longueur à vide l 0 = 20cm et de raideur K = 0,2N/cm, lui-même attaché au plafond de l’ascenseur précédent. Déterminer la longueur du ressort au cours des trois phases du mouvement de l’ascenseur. Exo6 : Un solide est tiré le long de la tige de plus grande pente d’un plan incliné par un câble parallèle à ce plan qui fait un angle 𝛼 avec l’horizontale. La masse m du solide est égale à 980kg. a) Le mouvement comporte trois phases : - Il est d’abord uniformément accéléré durant ∆t - Uniforme durant 6s sur une distance de 36m. - Uniformément retardé pendant une même durée ∆t jusqu’à l’arrêt. Sachant que la distance totale parcourue est de 60m, calculer la durée totale du trajet effectué par le solide. b) Le déplacement se fait sans frottement. Déterminer la force de traction du câble et la réaction du sol sur le solide au cours des trois phases du mouvement. 𝛼 = 20° et g = 9,8m/s2. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 2 Exercice en dynamique niveau TSM c) Déterminer la puissance exercée par la force de traction pendant la 2eme phase. Exo7 : Un objet de masse m = 100g est suspendu à un ressort de longueur à vide l 0 = 20cm et de raideur K = 20N/m ; lui-même placé horizontalement dans un véhicule. 1°) Le véhicule roulant à la vitesse V = 72km/h ralenti et s’immobilise sur une distance X = 100m. Déterminer : a) L’accélération du mouvement b) La tension et la longueur du ressort c) L’intensité de la force de freinage 2) Le véhicule aborde une côte à 30%. Calculer l’allongement du ressort si le véhicule accélère dans la montée ; l’accélération étant de 2m/s2 et g = 10m/s2. Masse du véhicule M = 103kg. Exo8 : Une boule de plomb quasi ponctuelle de masse M = 50g est suspendu à l’extrémité d’un fil inextensible et de masse négligeable, de longueur l = 1m. La position de la boule par rapport à la verticale est caractérisée par l’angle 𝜃. On écarte la boule de sa position verticale d’un angle 𝜃0 = 60° et on le lâche sans vitesse initiale. a) Calculer la vitesse de la boule : - Lorsqu’elle passe à la position définie par 𝜃0 = 30°. - Lorsqu’elle passe à la position d’équilibre. b) Calculer la tension du fil dans chacun des deux cas précédents. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 3 Exercice en dynamique niveau TSM c) Quelle est la valeur minimale de la vitesse 𝑉0 horizontale qu’il faut communiquer à la boule à partir de la position d’équilibre pour qu’elle puisse effectuer un tour complet autour du point d’attache 0, le fil restant tendu. Exo9 : Une bille de masse m = 100g est suspendu en un point 0 par un fil de longueur l = 1m. Le pendule est écarté de la verticale d’un angle 𝜃0 = 45° et abandonné sans vitesse initiale. a) A l’instant t le fil fait un angle 𝜃 avec la verticale. Exprimer les coordonnée du vecteur accélération dans la base de Frenet (𝜏; 𝑛⃗) en fonction de 𝜃, 𝜃0 et g. b) Calculer a et représenter sur un schéma le vecteur 𝑎 dans les trois cas 𝜃= 𝜃0 , 𝜃 = 0°, 𝜃 = 30°. c) Exprimer la norme de la position du fil en fonction de 𝜃, 𝜃0 et g : la calculer dans les trois cas précédents. Exo10 : Un solide ponctuel (s) de masse m initialement au repos en A. On le lance sur une piste ACD, en faisant agir sur lui, le long de la partie AB de la trajectoire, une force 𝐹 horizontale et d’intensité F constante. On pose AB = l. La position AC de la trajectoire est horizontale et la portion CD est un demi-cercle de centre O et de rayon r. On suppose que la piste ACD est parfaitement lisse et que la résistance de l’air est négligeable. 1- Déterminer en fonction de F, l et m la valeur VB de la vitesse de (s) en B. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 4 Exercice en dynamique niveau TSM ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2- Au point M défini par l’angle (𝑂𝐶 𝑂𝑀) = 𝜃, établir en fonction de F, l, m, r, 𝜃 et g de l’expression de : a- La valeur V de la vitesse de S b- L’intensité R de la réaction 𝑅⃗ de la piste 3- De l’expression de R, déduire, en fonction de m, g, r, l, la valeur minimale FO de F pour que S atteigne D. Calculer FO sachant que : m = 0,5kg ; r = 1m ; g = 10m/s2. Exo11 : Un solide S, assimilable à un point matériel de masse m = 10g, Peut glisser à l’intérieur d’une demi-sphère de centre O et de rayon r = 1,25m. On le lâche du point A sans vitesse initiale. Sa position à l’intérieur de la demi-sphère est repérée par l’angle 𝜃. 1- On admet que S glisse sans frottement. a) Exprimer sa vitesse au point M en fonction de g, r et 𝜃. Calculer sa valeur numérique au point B. b) Exprimer en fonction de g, r et 𝜃 l’intensité de la force exercée par la demi-sphère sur le solide S en M. calculer sa valeur numérique au point B. 2- En réalité, le solide S arrive en B avec une vitesse de 4,5m/s. Il est donc soumis à des forces de frottement 𝑓 dont on admettra qu’elle est de même direction que le vecteur vitesse du mobile mais de sens opposé et d’intensité constant. En utilisant le T.E.C calculer l’intensité de 𝑓 . Exo12 : I) Une bille de masse m = 30g se déplace sans frottement sur un trajet ABS représenté ci-dessous : M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 5 Exercice en dynamique niveau TSM - AB est un plan incliné de longueur AB = L = 50cm faisant un angle 𝛼 = 30° avec l’horizontale. - BC est un arc de cercle de centre O et de rayon r =20cm. A t = 0, la bille est lâchée sans vitesse initiale au point A. 1- Déterminer l’expression de l’accélération de la bille sur le plan incliné. En déduire la nature du mouvement. 2- Déterminer l’équation horaire de la bille sur le plan incliné lors (le point A étant choisi comme origine des espaces). 3- Déterminer la date et la vitesse de la bille lors de son passage au point B. II) la bille aborde la partie BS avec une vitesse VB = 2,20m/s. La bille est préparée au point M par son abscisse angulaire 𝜃 = M𝑂̂C. 4- Exprimer la vitesse de la bille en M en fonction de g, r, 𝜃, 𝛼 et VB sachant que B𝑂̂C = 𝛼. 5- Exprimer l’intensité de l’accélération 𝑅⃗ de la bille en fonction de m, g, r, 𝜃, VB et 𝛼. 6- En quel point cette réaction est-elle maximale ? Justifier et calculer cette valeur. ⃗ S de la bille au point S sachant que 𝛽 = 7- Déterminer la vitesse (direction et norme) 𝑉 C𝑂̂S = 20°. Exo13 : Un mobile de masse m = 0,60kg, reposant sur une table horizontale, est soumis à une force constante 𝐹 de valeur F = 0,65N et de direction parallèle au support. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 6 Exercice en dynamique niveau TSM L’ensemble des frottements est assimilable à une force constante 𝑓 à la trajectoire du mobile. On se propose de déterminer la valeur 𝑓 par deux méthodes différentes dans les parties A et B. A/ On enregistre les positions successives de la projection A du centre d’inertie G du mobile toutes les 𝜏 = 60ms (fig. ci-dessous). On a reproduit ci-dessous une partie de cet enregistrement en indiquant la position des points sur un axe dont l’origine a été choisie arbitrairement en A1. 1°) Déterminer la valeur de la vitesse aux points A1, A2, A3, A4, A5 et A6. On présentera les résultats sous forme d’un tableau. 2°) On choisit comme origine des dates l’instant du passage en A1. Représenter graphiquement la vitesse en fonction du temps. Echelles : 1cm pour 30m/s, 1cm pour 0,05m/s. Déduire de ce graphe la nature du mouvement. 3°) en expliquant votre raisonnement, déterminer la valeur de 𝑓. B/ La valeur de la vitesse au passage en A2 est V2 = 0,18m/s. La valeur de la vitesse en A6 est V6 = 0,42m/s. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique que l’on énoncera la valeur de la force 𝑓. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 7 Exercice en dynamique niveau TSM Exo14 : Un solide ponctuel de masse m = 500g, glisse sur un plan incliné AO d’un angle 𝛼 = 30° par rapport à l’horizontale. On enregistre le mouvement de ce solide pendant des intervalles de temps successifs et égaux 𝜃 = 60ms. 1°) Calculer les vitesses aux points M2 ; M3 ; M4 et M5. 2°) Calculer les accélérations aux points M3 et M4. En déduire la nature du mouvement. 3°) Le mouvement se fait-il avec frottement ? Si la réponse est positive déterminer la valeur de cette force de frottement. 4°) Le solide quitte le plan incliné au point O avec vitesse V0 = 2m/s et continue son mouvement dans le vide. ⃗ 0. a) Préciser la direction et le sens de 𝑉 b) Etudier le mouvement du solide S et établir l’équation de sa trajectoire. c) Déterminer les coordonnées du point de chute du solide s’il a mis 0,5s pour effectuer son mouvement dans le vide. d) En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, trouver la vitesse au point de chute. Exo15: Une glissière est formée de deux parties (fig. ci-dessous) : M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 8 Exercice en dynamique niveau TSM AB est un plan incliné d’un angle 𝛼 = 30° par rapport à l’horizontale, de longueur AB = l = 1m ; BC est une portion de cercle, de centre O, de rayon r = 2m et l’angle B = (OC, OB) = 60°. Dans tout le problème on prendra g = 10m/s2 et on considérera les frottements comme négligeables. 1°) Un solide ponctuel, de masse m = 100g, quitte A sans vitesse initiale. Exprimer et calculer la vitesse du solide VB en B. 2°) Le solide aborde la partie circulaire avec VB. Exprimer, pour un point M du cercle tel que 𝜃 = (OC, OM), la vitesse VM en fonction de VB, r, g et 𝜃. 3°) Quelle est, au point M, la réaction R de la glissière sur l’objet ? Exprimer R en fonction de r, g, 𝜃, VB et m. 4°) Montrer que le solide quitte la piste en un point N et calculer 𝜃′ = (OC, ON). Indication : un mobile quitte son support lorsque la réaction exercée par ce dernier s’annule. Exo16 : Une petite bille, considérée comme un point matériel de masse m, est accrochée à l’extrémité d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l, l’autre extrémité du fil est fixée en un point O. On néglige tous les frottements et on donne : l = 40cm ; g = 9,8m/s2. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 9 Exercice en dynamique niveau TSM 1°) Dans une première expérience de fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un angle 𝜃 = 60° et lâche sans vitesse. a) En utilisant la relation 𝑓 = m.𝑎 et le théorème de l’énergie cinétique, calculer les valeurs numériques des accélérations normales et tangentielles de la bille en B1 et B2. b) Représenter ces valeurs en B1 et B2. 2°) Dans une deuxième expérience, ce fil est écarté de sa position d’équilibre verticale d’un ⃗ 1, perpendiculaire à OB1, angle 𝜃 = 60° et la bille est lancée vers le haut avec un vecteur 𝑉 ⃗ 1 étant dans un même plan vertical. Le système fait alors dans ce plan un tour OB1 et 𝑉 complet en passant par la position B3 étant au dessus de O. a) Donner l’expression de la tension du fil dans la position B3 en fonction de m, g, l, V3, puis en fonction de m, g, l, V1, 𝜃. b) Quelle doit être la valeur minimale de V1 pour que la position B3 puisse être atteinte, le fil restant tendu ? c) Représenter pour les positions B1 et B3 les vecteurs accélérations normale et tangentielle de la bille, celle-ci étant lancée vers le haut en B1 avec une vitesse V1 = 5m/s Exo17 : (BAC SM 1994) Un solide de petite dimension S, de masse m, assimilable à un point matériel, est placé au sommet A d’une sphère de rayon r = 1m. On déplace légèrement le point matériel de sorte qu’il quitte la position A avec une vitesse que l’on considère comme nulle, puis glisse sans frottement le long de la sphère. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 10 Exercice en dynamique niveau TSM 1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, la position étant repérée par l’angle 𝜃, exprime le module du vecteur vitesse de S, en fonction de 𝜃, avant qu’il quitte la sphère. 2- En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, exprime en fonction de 𝜃, le module de la réaction exercée par la sphère sur le point matériel S. 3- En déduire l’angle 𝜃, lorsque le point quitte la sphère, quelle est sa vitesse en ce point ? On prendra g = 10m/s2. Rep : 1. V = √2𝑔𝑟(1 − 100𝜃) ; 2. R = mg(3COS𝜃 – 2) ; 3. 𝜃 = 48° ; V = 2,6m/s. Exo18 : (BAC 12e SE 2006 extrait) Un pendule simple est constitué d’une bille de masse m = 50g et d’un fil très fin de longueur l = 200mm. On lance de façon que le fil engendre un cône d’un axe vertical et demi-angle au sommet 𝛼 = 60°. La bille est alors animée d’un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal. Toutes les résistances sont supposées négligeables. Calculer l’énergie fournie au pendule de sa position d’équilibre pour lui donner le mouvement actuel. On donne g = 10m/s2. Rep : E = 0,125J. Exo19 : (Extrait BAC TSE 2006, 2010) Un pendule simple de masse m = 100g et de période une seconde est écarté de sa position d’équilibre d’un angle 𝛼 = 60°. Il s’arrête après 500 oscillations. Quelle devrait être en watts la puissance d’un dispositif électrique capable d’entretenir son mouvement ? Rep : P = 2,44.10-4W. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 11 Exercice en dynamique niveau TSM Exo20 : Une bille B de masse m = 200g, assimilable à un point matériel est placé au sommet A d’une sphère de centre O et de rayon r = 60cm. On déplace légèrement la bille B de sorte qu’elle quitte A sans vitesse initiale, puis glisse sans frottement le long de la sphère. Au cours ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ). du mouvement la position de la bille est repérée par l’angle 𝜃 = (𝑂𝐴 1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprime la vitesse de la bille en fonction de 𝜃 avant qu’elle ne quitte la sphère. 2- En utilisant le théorème fondamentale de la dynamique exprimer en fonction de 𝜃, le module de la réaction exercée par la sphère sur la bille B. 3- Calculer les valeurs numériques des accélérations normales et tangentielles de la bille pour 𝜃 = 30°. 4- Pour quelle valeur de l’angle 𝜃 la bille quitte la sphère ? Quelle est alors la vitesse de la bille en ce point ? On donne g = 10m/s2. Rep : 1. V = √2𝑔𝑟(1 − 𝐶𝑂𝑆𝜃) ; 2. R = mg(3COS𝜃 – 2) ; 3. 𝛼 n = 2,68m/s2 ; 𝛼 t = 5m/s2 ; 4. 𝜃 = 48° ; V = 20m/s. Exo21 : 1. On constitue un accéléromètre en fixant au plafond d’un wagon de métro, un fil de masse négligeable qui contient une petite masselotte. La rame démarre d’un mouvement uniformément accéléré. a- Dans quel sens le fil de l’accéléromètre dévie-t-il ? b- Le fil prend alors, par rapport à la verticale une inclinaison 𝛼1 = 13°. Calculer l’accélération 𝛼 1 du mouvement de démarrage. 2. Lorsque la rame est lancée d’un mouvement uniforme de 72km/h ; comment se place le fil ? M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 12 Exercice en dynamique niveau TSM 3. La rame passe de la vitesse de 72km/h à la vitesse nulle, d’un mouvement uniformément retardé, sur une distance de 100m. a - Dans quel sens dévie maintenant le fil de l’accéléromètre ? b – Calculer l’angle 𝛼 2 qu’il forme avec la verticale. On prendra g = 10m/s2. Rep : 1- b- 𝛼 1 = 2,3m/s2 ; 3- b- 𝛼2 = 11,3°. Exo22 : (BAC D Sud Vietnam Juin 1974) Soit une voiture de masse m1 (conducteur compris) à laquelle est attelée une remorque de masse m2. On admettra dans tout le problème que la force de frottement est toujours présente. Cette force est évaluée à 0,5 Newton par kilogramme de masse en mouvement. On prendra dans tout le problème g = 10m/s2. 1- Le démarreur étant en panne, le système voiture-remorque est abandonné sans vitesse initiale d’une côte incliné d’un 𝛼 sur le plan horizontal. Le système descend la côte en roue libre (moteur débrayé). a- Enoncer le théorème de l’énergie cinétique. b- Au bout de quelle distance X parcourue sur le plan incliné, le système atteint-il la vitesse V ? AN : V = 21,6km/h Sin𝛼 = 0,08. 2- La voiture et sa remorque abordent à cette vitesse une voie horizontale. Le chauffeur embraye rapidement pour faire démarrer le moteur. Après une distance d, la vitesse tombe à la valeur V1 et le moteur se met en marche. Evaluer le travail résistant nécessaire à la mise en marche du moteur. AN : V1 = 10,8km/h ; d = 5m ; m1 = 800kg ; m2 = 200kg. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 13 Exercice en dynamique niveau TSM 3- Le conducteur accélère alors et la vitesse passe de V1 à V2 sur une distance D, toujours sur la voie horizontale. Déterminer : a- L’accélération du mouvement supposé constante ; b- La force de traction moyenne du moteur ; c- La tension de la barre d’attache de la remorque. AN : V2 = 72km/h ; D = 125m. 4- Lorsque l’ensemble (voiture-remorque) atteint la vitesse V2, l’attache de la remorque cède. Quelle distance la remorque pourra-t-elle parcourir à partir de cet instant et au bout de combien de temps s’arrêtera-t-elle ? 5- Au plafond de la remorque est fixé un pendule constitué par une masse supposée ponctuelle suspendue à un fil inextensible et sans masse. Quel sera l’angle d’inclinaison du fil avec la verticale au cours des phases du mouvement sur les voies horizontales envisagées dans les questions 3) et 4) ? V2 Rép : 1) b. 𝑥 = 2(𝑔𝑆𝑖𝑛ʆ−0,5) = 60m ; 2. 𝜔 r = (m1 + m2) (0,5d + a. a = 𝑉22 −𝑉12 2𝐷 = 1,564m/s2 ; F = (m1 + m2)(0,5 + 𝑉22 −𝑉12 2𝐷 𝑉12 −𝑉 2 2 ) = 11kJ ; 3) ) = 2064N ; c. T2 = m2(𝛼 + 0,5) ; 4. d = 𝑉 2 = 400m ; t= 2𝑑 𝑉2 = 40 ; 5. 𝛼 1 = 9° ; 𝛼 2 =3°. Exo23 : une automobile de masse m = 600kg aborde à la vitesse de 72km/h une côte dont la pente est de 4%(on s’élève de 4cm par mètre de route). On prendra g = 10m/s2. 1- En supposant les frottements négligeables, quelle est la force supposée constante que devra exercer le moteur pour conserver la vitesse de 72km/h. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 14 Exercice en dynamique niveau TSM 2- A ce moment, le conducteur arrête le moteur sans serrer les freins. En supposant que les résistances passives à l’avancement soient de 30kgf par tonne, quelle sera la distance parcourue par l’automobile avant de s’arrêter sur la rampe de 4% ? Au bout de combien de temps après l’arrêt du moteur se produit l’arrêt du véhicule ? 3- Quelle serait alors la force de freinage constante qui permettrait un arrêt de la voiture sur une distance de 20m ? Durée de freinage ? Rép : 1. F = 240N ; 2. X = 285,7m ; t = 28,6s ; 3. FF = 5580N ; t = 2s. Exo24 : Une piste ABCD est formée de trois parties AB, BC, et CD situées dans un même plan vertical. AB est une portion de cercle de centre O et de rayon r = 3m et d’ouverture ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 60°. 𝜃 O = (𝑂𝐴, BC est une partie rectiligne de longueur BC = L = 4m. CD représente un quart de la circonférence de rayon r. Une bille ponctuelle de masse m = 200g est abandonnée du point A avec une vitesse initiale VA = 2m/s. 1. Calculer la valeur de la vitesse de la bille et la réaction en un point M défini par 𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ l’angle 𝜃1 = (𝑂𝐵 𝑂𝑀) = 0 ; en supposant les frottements négligeables. 2 M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 15 Exercice en dynamique niveau TSM 2. En réalité sur le tronçon ABC existent des frottements équivalents à une force 𝑓 d’intensité constante. Les forces de frottements sont nulles sur la partie CD. Le mobile arrive en C avec la vitesse VC = 4m/s. Calculer l’intensité de la force de frottement. 3. La bille aborde la partie CD avec la vitesse VC. a- Déterminer l’expression de la vitesse V et celle de la réaction R de la piste en un point ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ N défini par l’angle 𝛼 = (𝑂′𝐶 𝑂′𝑁 ) en fonction de VC, m, g, r’ et 𝛼 . b- Quelle doit être la valeur minimale du r’ de la portion CD pour que la bille décolle dès le point C ? c- Pour quelle valeur de l’angle 𝛼, la bille quitte-t-elle la sphère lorsque r’ de la portion CD est de 3m. On prendra g = 9,8m/s2. Rep : VM = 5,05m/s ; R = 3,39N ; 2. f = 0,24N ; 3.𝛼 V = √2 𝑔𝑟(1 − cos 𝛼) + 𝑉𝐶2 ; R = mg (3cos 𝛼-2)-m 𝑉𝐶2 𝑟′ ; b. rm = 1, 63m ; C. cos 𝛼 = 0,848 ⇒ 𝛼 = 32°. Exo25 : Un solide ponctuel de masse m est lancé avec une vitesse ⃗⃗⃗ 𝑉0 sur une glissière de rayon r et de centre O (figure). Les frottements sont négligeables. La position du mobile sur la portion de trajectoire est repérée par l’angle 𝜃 = ( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀). 1- En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse V du solide en fonction de r et 𝜃 2- Appliquer le théorème du centre d’inertie et en projeter l’expression dans la base de Frenet. Déterminer la norme R de la réaction 𝑅⃗ exercée par la Glissière sur le solide. 3- Montrer que R s’annule pour une valeur 𝜃𝑚 qui est fonction de V0. Quelle est la valeur V0 pour que le mobile atteigne le sommet C de la trajectoire ? Quelle est alors la vitesse en C ? M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 16 Exercice en dynamique niveau TSM Rep : 1. V = √𝑉0 2 − 2𝑔𝑟 (1 − cos 𝜃) ; 2. R = m 𝑉02 𝑟 + mg (3cos 𝜃 - 2) ; 3. V0 = √5𝑔𝑟 ; V0 = √𝑔𝑟 Exo26 : Une bille assimilable à un point matériel B, de masse m, est relié par deux points A et C d’un axe vertical D. On note AB = BC= l et AC = a. 1- La bille B tourne à vitesse angulaire 𝜔 constante de l’axe ∆ les fils restent constamment tendus. Calculer les tensions des fils en fonction de 𝜔. 2- Montrer que le fil BC n’est tendu qu’à partir d’une certaine valeur 𝜔0 de la vitesse angulaire. AN : m = 0,6kg ; l = 0,7m ; 𝛼 = 1m ; g = 9,8m/s2 ; 𝜔 = 8, 0rad/s2. Rep : 1. T1 = 𝑚𝑙 2𝑔 2 ( 𝛼 + 𝜔 2 ) ; T2 = 𝑚𝑙 2 (𝜔2 - 2𝑔 𝛼 ) 2𝑔 2. T2 > 0 ; 𝜔 > 𝜔0 = √ 𝛼 ; 𝜔0 = 4,4 rad/s 𝜔1 : T1 = 17,6N ; T2 = 9,2N ; 𝜔2 < 𝜔0 T2 = 0 ; T1 = 6,7N. Exo27 : un enfant installé au sommet S d’un dome décrit par une demi-sphère de centre 0, s’amuse à laisser tomber des cailloux. Un caillou est un point matériel M de masse m dont la trajectoire commence en S et se termine en un point M0 où il perd le contact avec la demi⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) où OZ est la verticale ascendante. sphère. Sa position est repérée par l’angle 𝜃 = (OZ ; 𝑂𝑀 Tout frottement sera négligé. 1- Etude de la première phase du mouvement. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 17 Exercice en dynamique niveau TSM a- Faites un schéma complet. Quelle est la nature du mouvement de cette première partie où le caillou est en contact avec le dome ? b- A quelle condition le caillou décolle- t-il du dome ? Calculer la position (repérée par l’angle 𝜃0 ) pour laquelle cela se produit. 2- Etude de la deuxième phase du mouvement. a- Quel est le mouvement ultérieur du caillou ? b- Donner les équations paramétriques (de paramètre t) de sa trajectoire. Pour cela, vous redéfinirez l’origine des temps à l’instant où le caillou a perdu le contact avec le dome et passerez dans un système de coordonnée plus approprié.* c- AN : Calculer les composantes de la vitesse et de la position au moment du décollement, ainsi que la date à laquelle il touche le sol et la vitesse à cet instant. Données : R = 2m ; g = 9, 8m/s2. Exo28 : 1. Considérons un point matériel M, de masse m, suspendu à un fil inextensible de longueur l et de masse négligeable, qui est fixé en un point O1 d’un axe vertical OZ (voir figure 1). Le point M est animé d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire 𝜔 dans le plan horizontal (XOZ). Le fil O1M reste incliné du même angle 𝛼 par rapport à l’axe OZ. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 18 Exercice en dynamique niveau TSM Déterminer 𝛼 en fonction de 𝜔, l et g. 3- M est relié également au point O2 de l’axe OZ tel que OO2 = OO1 =D par le même fil inextensible de longueur l. La distance D est inferieure à l (voir figure2). a) M est mis en rotation à la vitesse angulaire 𝜔 que l’on augmente progressivement. Le fil O2M devient tendu pour une valeur 𝜔1 que vous exprimez en fonction de g et D. b) En supposant 𝜔>𝜔1, déterminer les normes T1 et T2 des tensions respectives des fils O1M et O2M en fonction de m, l, 𝜔1 et 𝜔. AN : Calculer T1 et T2 pour l = 0,5m ; D = 0,3m ; m = 1kg ; g = 9,8m/s2 et 𝜔 = 7 rad /s2. Exo29 : Dans tout le problème, on néglige les frottements et on prend pour l’intensité de pesanteur g = 10m/s2. Un pendule simple est constitué par une bille ponctuelle B1 de masse m1= 200g suspendu au bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 0,90m. a- On écarte le pendule d’un angle 𝛼 par rapport à sa position d’équilibre verticale et on le lâche sans vitesse initiale. La vitesse de la bille B1 lors de son passage à la position d’équilibre v1 = 3m/s. Calculer la valeur de l’angle 𝛼. b- Lors de son passage à la position d’équilibre la bille B1 heurte, au cours d’un choc parfaitement élastique, une autre bille ponctuelle immobile de masse m2 = 100g. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 19 Exercice en dynamique niveau TSM La bille B1, juste après le choc, poursuit son mouvement avec une vitesse 𝑉1′ = 1m/s. En appliquant la conservation de la quantité de mouvement, montrer que la vitesse de la bille B1 juste après le choc est 𝑉2′ = 4m/s. c- La bille B2 est propulsée avec la vitesse 𝑉2′ sur une piste qui comporte trois parties : Une partie horizontale AB, une certaine courbe BC et un arc de cercle CD, de rayon r et centre O. Les points O, A et B se trouvent dans un même plan horizontal. C. 1 Exprimer, en fonction de g, r, 𝛽 et 𝑉2′ , la vitesse de la bille B2 au point I. C. 2 Exprimer, en fonction de m2, g, r, 𝛽 et 𝑉2′ l’intensité de la réaction de la piste sur la bille B2 au point I. C. 3 La bille B2 arrive au point D avec une vitesse horizontale de valeur VD = 1m/s. Calculer la valeur de r. Exo30 : Une voiture de masse M1 tracte une caravane de masse M2. Sous l’action d’une force motrice de valeur constante F, l’ensemble gravit une côte de 5% et la vitesse croît de V 1 à V2 sur un parcours de longueur d. Les frottements qui s’exercent sur la voiture équivalent à une force de valeur constante f1 et celles qui s’exercent sur la caravane à une force f2. Ces forces sont opposées au vecteur vitesse de l’ensemble. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 20 Exercice en dynamique niveau TSM Etudier le mouvement de l’ensemble, déterminer son accélération. Calculer la valeur de la force motrice F ainsi que la tension du timon. AN : sin 𝛼 = 0,05 ; M1 1200kg ; M2= 600kg ; V1 = 36km/h ; V2 = 72km/h, d = 200m ; f1= 1000N, f2 = 500N ; g = 10m/s2. Exo31 : Une balle de 0,5kg attachée à une corde de masse négligeable tourne sur cercle vertical de 50cm de rayon. Au point le plus haut du cercle, elle se déplace à 2,44m/s ; au point le plus bas cercle, elle se déplace à 5,06m/s. Calculer le module de la tension dans la corde à ces deux endroits. Exo32 : Une bille de masse m roule sur une piste semi-circulaire de rayon R. On note A le point en haut à gauche de la piste et B le point en haut à droite de la piste. La bille est repérée par l’angle 𝜃 fait avec l’axe horizontal (voir figure). On note g l’accélération de la pesanteur. 1) Dans cette première partie les frottements sont négligés. La bille est lâchée du point A sans vitesse initiale. 1.1) En utilisant le théorème de l’énergie, déterminer la vitesse de la bille en un point quelconque M en fonction de R, 𝜃 et g. En déduire le point où la vitesse est maximale. Que vaut alors cette vitesse ? 1.2) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, calculer la force exercée par la piste sur la bille en fonction de m, 𝜃 et g. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 21 Exercice en dynamique niveau TSM Où est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? 2) On suppose maintenant qu’il existe des frottements entre la piste et la bille. La bille part encore du Point A sans vitesse initiale. 2.1) faire un schéma fait apparaître les forces s’appliquant sur la bille en M. 2.2) sans faire de calcul dire si le travail de la force de frottement pour aller de A à B est un travail moteur ou un travail résistant. Justifier votre reponse. 2.3) En appliquant un théorème de l’énergie et en utilisant le résultat de la question précédente, déduire qu’il est impossible que la bille atteigne le point B. Exo33 : Un pendule simple est constitué d’une boule de masse m = 100g accroché à un fil sans masse de longueur l = 1,0m. On donne g = 9,8m/s2. On choisit l’origine des énergies potentielles sur le plan horizontal contenant le centre I de la boule S, lorsqu’elle est en équilibre le fil étant vertical (voir figure 1) 1- On écarte le fil de sa position d’équilibre d’un angle 𝜃 m = 60° et on abandonne le pendule sans vitesse initiale. - Calculer l’énergie mécanique du pendule à cet instant. - Quelle est la vitesse du pendule lorsqu’il repasse par la position verticale. On négligera les frottements - Exprimer à un instant quelconque, la tension T du fil de ce pendule en fonction de m, 𝜃 et 𝜃 m. Faire l’application numérique pour 𝜃 = 10°. 𝑙 2- On place au point I tel que OI = 4 = 25cm. Une petite butée (voir figure 2) on cherche à savoir jusqu’à quel point M la boule pourra remonter. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 22 Exercice en dynamique niveau TSM - Exprimer en fonction de m, g, l et 𝜃 l’angle d’inclinaison du fil l’énergie mécanique du pendule à cet instant. - En négligeant les frottements, calculer la valeur de l’angle 𝜃. Exo34 : Un pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m = 100g accrochée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 1m. On l’écarte de la verticale d’un angle 𝜃 0 puis on l’abandonne sans vitesse initiale. On prendra l’horizontale de la position la plus basse comme niveau de référence de l’énergie potentielle de pesanteur. A un instant quelconque, le pendule en mouvement fait un angle 𝜃 avec la verticale du lieu. 1- Déterminer l’expression de l’énergie potentielle Ep de pesanteur du système {Terrependule} en fonction de m, g, l et d. 𝜃 2- Si 𝜃 est petit, on peut écrire : Sin𝜃 = 𝜃(rad) et 1 – Cos𝜃 = 2Sin22 . Donner la nouvelle expression de l’énergie potentielle Ep de pesanteur en fonction de m, g, l et 𝜃. 3- On admet que le système est conservatif. a- Définir un système est conservatif. b- Pour des oscillations d’amplitude 𝜃 m pendule au passage par la position 𝜃 = = 10°, calculer l’énergie cinétique EC du 𝜃𝑚 2 . Données : g = 10N/Kg. M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 23 Exercice en dynamique niveau TSM M.Touré Aboubacar Sidiki Contact : 621492541/666677423 24