Azhari

Cours de Physique
de la préparation à l’Agrégation
Propagation d’ondes et optique
Fondements et applications
Y. E L A ZHARI
Première édition – Septembre 
Conformément aux règles de la typographie, les vecteurs sont représentés en caractères gras
non surmontés de flèches.
Illustration de couverture
c CRMEF, Marrakech - 
Y. E L A ZHARI
Avant-propos
« Si ton goût est subtil, apprends à goûter l’eau et
à distinguer les sources. »
L.D.V.
Ce manuel est un cours de base de propagation d’ondes et optique. Cette première version
est constituée du cours que je donnais, en première année de la préparation à l’Agrégation de
Physique à l’École Normale Supérieure de Marrakech, entre  et . Ce cours respecte le
programme de cette formation. À l’avenir je l’enrichirai de compléments selon mon inspiration
et surtout le temps dont je disposerai.
Le cours est de niveau licence mais il est en grande partie abordable par les étudiants de
Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. La plupart des résultats énoncés sont démontrés, et
les calculs sont souvent détaillés.
Je tiens à remercier mes étudiants pour les différentes discussions que nous avons eues
ensemble ainsi que pour leurs remarques et suggestions souvent très pertinentes.
Y. E L A ZHARI
Rabat, septembre 
iii
TABLE DES MATIÈRES
Préface
iii
Table des matières
1
2
3
4
v
Généralités sur les phénomènes de propagation
1.
Équation d’onde de D’A LEMBERT . . . . . . . . . . . . .
2.
Solution de l’équation de propagation en ondes planes . . .
3.
Propagation et changement de référentiel – Effet D OPPLER
Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
6
25
28
Ondes acoustiques dans les fluides
1.
Approximation acoustique . . .
2.
Mise en équation . . . . . . . .
3.
Aspect énergétique . . . . . . .
4.
Propagation d’ondes acoustiques
Exercices du chapitre 2 . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
37
41
45
54
Propagation libre d’ondes électromagnétiques dans le vide
1.
Équations de propagation des champs . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Ondes électromagnétiques planes progressives . . . . . . . . . . .
3.
Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques
Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
61
64
70
Rayonnement d’ondes électromagnétiques
1.
Rayonnement dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Diffusion d’un rayonnement électromagnétique par un électron atomique
3.
Antennes rectilignes accordées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
71
78
82
86
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
Réflexion d’une onde électromagnétique sur un conducteur métallique
91
1.
Conducteur ohmique en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.
Propagation d’une onde électromagnétique dans un conducteur – Effet de peau
96
3.
Réflexion sous incidence normale sur la surface plane d’un conducteur métallique 98
4.
Superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie . . . . . . . . . . . . . 102
Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6
Bases de la théorie ondulatoire de la lumière
1.
Équations de propagation . . . . . . . . .
2.
Propagation de la lumière par OEMPPM .
3.
Lois de la réflexion et de la réfraction . .
Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . .
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
109
117
118
133
Polarisation de la lumière
1.
Polariseur et analyseur – loi de M ALUS . . . .
2.
Lames à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Production d’une lumière polarisée . . . . . . .
4.
Analyse d’une lumière complètement polarisée
5.
Lumière naturelle . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
135
135
137
141
141
141
143
Fondements de l’optique géométrique
1.
Approximation de l’optique géométrique .
2.
Propriétés des rayons lumineux . . . . . .
3.
Théorème de F ERMAT . . . . . . . . . .
Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
145
145
149
160
165
Formation des images en optique géométrique
1.
Stigmatisme rigoureux . . . . . . . . . . .
2.
Stigmatisme approché . . . . . . . . . . . .
3.
Conservation du stigmatisme dans l’espace
4.
Application à l’étude du dioptre sphérique .
5.
Application à l’étude du miroir sphérique .
Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
169
169
178
181
186
197
204
10 Étude générale des systèmes optiques centrés dans les conditions de G AUSS
1.
Matrices caractéristiques d’un système optique centré . . . . . . . . . . .
2.
Éléments cardinaux d’un système optique centré . . . . . . . . . . . . . .
3.
Relations de conjugaison et grandissements . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Association de systèmes optiques centrés . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
205
205
217
222
226
227
229
9
vi
11 Lentilles optiques sphériques
1.
Lentilles épaisses . . . . .
2.
Lentilles minces . . . . . .
3.
Doublet de lentilles minces
Exercices du chapitre 11 . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
231
231
235
239
241
12 Aberrations chromatiques
243
Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13 Aberrations géométriques
1.
Description générale . .
2.
Aberrations de S EIDEL .
3.
Aberrations de Z ERNIKE
Exercices du chapitre 13 . . .
.
.
.
.
245
245
250
255
256
14 Sources lumineuses
1.
Principe de l’émission de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Modélisation théorique - Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices du chapitre 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
257
267
271
15 Interférences non localisées entre deux ondes cohérentes entre elles
1.
Présentation de quelques dispositifs . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Conditions d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Figure d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Retour sur l’hypothèse scalaire – Interférences en lumière polarisée
Exercices du chapitre 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
277
281
286
297
300
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16 Cohérence spatiale et cohérence temporelle
301
1.
Limitation due à la cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
2.
Limitation due à la cohérence spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Exercices du chapitre 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
17 Interférences localisées
1.
Utilisation d’une source étendue – localisation des franges
2.
Franges d’égale inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Franges d’égale épaisseur ou franges de F IZEAU . . . . . .
Exercices du chapitre 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
321
321
323
341
348
18 Diffraction des ondes lumineuses
1.
Phénomène de diffraction . . . . . . . . .
2.
Principe de H UYGHENS – F RESNEL . . .
3.
Diffraction de F RAUNHOFER . . . . . . .
4.
Exemples de diffraction de F RAUNHOFER
Exercices du chapitre 18 . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
349
349
351
354
364
380
ANNEXES
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
383
vii
A Conditions de passage pour les ondes acoustiques
385
1.
Équations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
2.
Application au cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
B États de polarisation d’une OEMPPM
389
C Conditions de passage pour les ondes électromagnétiques
391
1.
Obtention à partir des équations de M AXWELL . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
2.
Cas des milieux optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
D Trièdre de F RENET
393
E Lieu des points A1 M/A2 M = k
397
F Tracé d’enveloppes de rayons lumineux
399
G Loi de distribution des temps de vol
401
Index
403
Bibliographie
407
viii
CHAPITRE
1
GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE
PROPAGATION
Dans ce chapitre nous abordons des notions générales essentielles pour l’étude de la propagation des ondes. Pour ce faire, nous commençons par étudier quelques exemples particuliers de
phénomènes de propagation. Nous dégagerons ensuite les notions d’onde et d’équation d’onde
ou équation de propagation avant d’aborder quelques méthodes de résolution des équations de
propagation.
1.
Équation d’onde de D’A LEMBERT
1.1.
Introduction sur deux exemples
1.1.1. Corde vibrante
Considérons une corde souple et homogène tendue le long d’un axe horizontale Ox avec
lequel elle coïncide 1 lorsqu’elle est au repos. Lorsque la corde est excitée à l’une de ses extrémités, nous constatons que la déformation se propage le long de la corde comme le montre la
figure 1.1. La corde est alors le siège d’un phénomène de propagation d’onde.
La déformation u(x, t) de la corde est parallèle à l’axe Oy alors que la propagation s’effectue le long de l’axe Ox. L’onde est dite transversale car la grandeur qui se propage est
perpendiculaire à la direction de propagation.
Pour la mise en équation, nous supposerons la corde infiniment fine, homogène et de masse
linéique µ. Nous nous intéressons à la propagation le long de la corde de petites déformations
transversales d’amplitude u(x, t) lorsque la corde est tendue sous une tension T . Nous négligerons la raideur de la corde en supposant qu’une faible action suffit pour la déformer. En fin
nous ne tiendrons compte ni de l’effet de la pesanteur ni de la résistance de l’air.
1. Ceci est valable lorsque le poids de la corde est négligeable devant sa tension.
1
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
y
instant t
u(x, t)
x
x
instant t + ∆t
u(x + ∆x, t + ∆t)
y
x
x + ∆x
F IGURE 1.1 – Propagation sans atténuation d’un ébranlement le long d’une corde.
Considérons l’élément de corde MN de masse dm = µ ds ; il est soumis de la part du reste
de la corde aux forces T(s) et T(s + ds) ; s désignant l’abscisse curviligne du point M.
Le théorème de la résultante cinétique (TRC) appliqué à MN s’écrit en projection :
•
selon Ox :
(1.1)
[T(s) + T(s + ds)] · ux = 0
étant donné qu’il n’y a aucun mouvement selon l’axe Ox ;
•
selon Oy :
[T(s) + T(s + ds)] · uy = µ ds
y
∂2u
∂t2
(1.2)
T(s+ds)
θ(s+ds)
N(s+ds)
M(s)
θ(s)
B
T(s)
A
x
x x+dx
F IGURE 1.2 – Corde vibrante : notations utilisées.
Y. E L A ZHARI
2
CRMEF / AGP-1
1.. ÉQUATION D’ONDE DE D’ALEMBERT
Dans le cadre de l’hypothèse des petites déformations, les inclinaisons de la corde sont
faibles de sorte que :
ds2
=
=
dx2 + dy 2
"
dx2 1 +
dy
dx
2 #
=
dx2 1 + tan2 θ
≈
dx2
(1.3)
ainsi ds ≈ dx.
D’autre part, la projection TRC sur l’axe Ox donne :
T (s + ds) cos θ(s + ds) − T (s) cos θ(s) = 0
soit :
T (x + dx) cos θ(x + dx) = T (x) cos θ(x) ≈ T
(1.4)
Quant à la projection du TRC selon Oy, elle donne : successivement
∂2u
∂t2
∂2u
µ dx 2
∂t
∂2u
µ 2
∂t
µ ds
=
T (s + ds) sin θ(s + ds) − T (s) sin θ(s)
≈
T (x + dx) sin θ(x + dx) − T (x) sin θ(x)
≈
∂
[T (x) sin θ(x)]
∂x
soit
µ
∂
∂ 2u
≈T
[tan θ(x)]
∂t2
∂x
(1.5)
∂2u
∂2u
≈T 2
2
∂t
∂x
(1.6)
d’où, puisque tan θ = ∂u/∂x :
µ
ce que nous pouvons écrire sous la forme :
1 ∂2u
∂2u
− 2
=0
2
∂x
c ∂t2
(1.7)
avec :
c=
CRMEF / AGP-1
s
T
µ
3
(1.8)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
1.1.2. Ressort à boudin
Un ressort à boudin est un ressort à spires circulaires non jointives. Un tel ressort peut être
le siège d’un phénomène de propagation. En effet, si l’on comprime quelques spires du ressort
et qu’on les lâche, on constate que la déformation ainsi créée se propage de proche en proche
donnant naissance à une onde qui se propage le long du ressort.
La grandeur qui se propage, à savoir le déplacement u(x, t) des spires du ressort est parallèle à la direction de propagation. Le ressort à boudin est ainsi siège de la propagation d’une
onde longitudinale.
y
au repos
x
x
y
x + dx
en mouvement
u(x, t)
u(x + dx, t)
x
F IGURE 1.3 – Propagation d’une déformation le long d’un ressort.
Pour la mise en équations, considérons un ressort à spires non jointives homogène, de masse
linéique µ et de raideur k.
Considérons la tranche de ressort de masse dm = µ dx comprise, au repos, entre les abscisses x et x + dx. Lorsqu’elle est en mouvement, cette tranche est comprise, à un instant t
quelconque, entre les abscisses x + u(x, t) et x + dx + u(x + dx, t) (figure 1.3).
Appliquons le TRC à cet élément de ressort, en projection sur Ox :
µ dx
∂2u
= F [x + dx + u(x + dx)] − F [x + u(x)]
∂x2
(1.9)
où F [x + dx + u(x + dx)] et F [x + u(x)] sont les projections sur Ox des forces exercées par
le reste du ressort sur l’élément de ressort étudié lorsque celui-ci est en mouvement.
En ne nous intéressant qu’à des mouvements de faible amplitude nous pouvons développer
les grandeurs ci-dessus selon :
F [x + u(x)] ≈ F (x) + u(x)
Y. E L A ZHARI
4
∂F
∂x
(1.10)
CRMEF / AGP-1
1.. ÉQUATION D’ONDE DE D’ALEMBERT
et :
≈
F [x + dx + u(x + dx)]
≈
∂u
F x + dx + u(x) + dx
∂x
∂F
∂u
F (x) + u(x) + dx 1 +
∂x
∂x
(1.11)
donc :
µ
∂2u
≈
∂t2
∂u ∂F
1+
∂x ∂x
(1.12)
Dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvement ∂u/∂x est très petit devant 1. Il reste alors :
µ
∂2u
∂F
≈
∂t2
∂x
(1.13)
La théorie de l’élasticité linéaire donne F = k L (∂u/∂x) où L représente la longueur totale
du ressort lorsqu’il est au repos. Nous obtenons alors :
µ
∂2u
∂2u
≈ kL 2
2
∂t
∂x
(1.14)
de la forme :
1 ∂2u
∂2u
−
=0
∂x2
c2 ∂t2
(1.15)
s
(1.16)
avec :
c=
1.2.
kL
µ
Généralisation
1.2.1. Définition d’une onde
On appelle onde tout phénomène physique décrit par une fonction scalaire ou vectorielle
dépendant à la fois des coordonnées d’espace et du temps et solution d’une équation de propagation ou équation d’onde.
1.2.2. Exemple d’équation d’onde : celle de D’A LEMBERT
La grandeur s, scalaire ou vectorielle, fonction deux fois dérivable des coordonnées d’espace et du temps satisfait à l’équation d’onde de D’A LEMBERT si elle vérifie l’équation aux
dérivées partielles (D3 ) :
∇2M s(M, t) −
1 ∂2s
=0
c2 ∂t2
(1.17)
Remarque
Il existe d’autres équations d’onde que celle de D’A LEMBERT. On peut citer par exemple :
CRMEF / AGP-1
5
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
•
équation d’onde de K LEIN – G ORDON décrivant par exemple le mouvement d’une suite
de pendules simples reliés par des ressorts :
∇2 ψ −
•
1 ∂2ψ
− k2 ψ = 0
c2 ∂t2
(1.18)
équation de propagation des ondes électromagnétiques à l’intérieur d’un conducteur ohmique
∇2 E −
1.3.
1 ∂2E
∂E
− µ0 σ
=0
2
2
c0 ∂t
∂t
(1.19)
Principe de résolution de l’équation de D’A LEMBERT
La résolution directe de (D3 ) est impossible dans le cas général, mais (D3 ) est linéaire par
rapport à s. Elle admet alors un principe de superposition.
Principe de superposition
Toute combinaison linéaire de solutions de (D3 ) est aussi solution de (D3 ).
Conséquence
On construira la solution générale de l’équation d’onde de D’A LEMBERT (D3 ) par combinaison linéaire de solutions particulières de (D3 ) linéairement indépendantes et convenablement choisies de façon à décrire au mieux le phénomène physique étudié.
Dans toute la suite les solutions particulières de (D3 ) seront des solutions générales de (D1 )
(ondes planes).
2.
Solution de l’équation de propagation en ondes planes
2.1.
Onde plane
2.1.1. Définition et propriété
2.1.1.1.
Définition
Une onde décrite par une fonction s est dite plane s’il est possible de trouver un système de
coordonnées cartésiennes tel que s ne dépende que d’une seule coordonnée d’espace ξ (x, y ou
z) et du temps t.
2.1.1.2.
Propriété
À un instant t donné quelconque, s a la même valeur en tous les points M d’un plan Π
quelconque perpendiculaire à l’axe Oξ. Le plan Π est appelé plan d’onde et l’axe Oξ direction
ou axe de propagation.
Y. E L A ZHARI
6
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
M
Direction
u
O
de propagation
Π
n
Pla
n
d ’o
ξ
de
F IGURE 1.4 – Notion de plan d’onde.
2.1.2. Équation d’onde et solution
L’onde plane sξ de direction de propagation Oξ vérifie l’équation d’onde de D’A LEMBERT
à une dimension (D1 ) :
∂ 2 sξ
1 ∂ 2 sξ
−
=0
∂ξ 2
c2 ∂t2
On omettra par la suite l’indice ξ.
Pour résoudre cette équation posons

ξ

 p= t− c


(1.20)
(1.21)
ξ
q = t+ c
On peut écrire (D1 ) sous la forme
∂
∂
1 ∂
1 ∂
s=0
−
+
∂ξ
c ∂t
∂ξ
c ∂t
(1.22)
et on a
∂
∂ ∂p
∂ ∂q
1 ∂
1 ∂
=
+
=−
+
∂ξ
∂p ∂ξ
∂q ∂ξ
c ∂p c ∂q
∂ ∂p
∂ ∂q
∂
∂
∂
=
+
=
+
∂t
∂p ∂t
∂q ∂t
∂p ∂q
(1.23)
(1.24)
(D1 ) devient alors
4
c’est-à-dire
∂
∂q
CRMEF / AGP-1
∂2s
=0
∂p∂q
(1.25)
(1.26)
∂s
∂p
7
=0
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
par intégrations successives, on obtient alors
∂s
= ϕ(p)
∂p
(1.27)
s(p, q) = f(+) (p) + f(−) (q)
(1.28)
et
D’où la forme générale des solutions de (D1 )
ξ
ξ
s(ξ, t) = f(+) t −
+ f(−) t +
c
c
(1.29)
2.1.3. Interprétation physique de la forme des solutions
Afin de dégager la signification physique de la forme de la solution générale de D1 , considérons chacune des fonction f(+) et f(−) séparément.
Considérons alors tout d’abord, la solution particulière s1 (ξ, t) = f(+) t −
rons les valeurs de s1 (ξ, t) et s1 (ξ + ∆ξ, t + ∆t) lorsque ∆ξ = c ∆t.
On a
ξ
s1 (ξ, t) = f(+) t −
c
et
s1 (ξ + ∆ξ, t + ∆t) =
=
donc
ξ + ∆ξ
f(+) t + ∆t −
c
ξ
f(+) t −
c
s1 (ξ + ∆ξ, t + ∆t) = s1 (ξ, t)
ξ
c
et compa-
(1.30)
(1.31)
(1.32)
Ainsi la grandeur physique décrite par la fonction s1 se propage sans déformation avec la
célérité c le long de l’axe Oξ.
On dit que f(+) représente une onde plane progressive (OPP) se propageant avec la célérité
c le long de l’axe Oξ dans le sens des ξ croissants.
De la même façon on peut montrer que f(−) représente une onde plane progressive se propageant à la célérité c le long de l’axe Oξ dans le sens des ξ décroissants.
Conclusion
La solution générale de l’équation d’onde de D’A LEMBERT à une dimension est la superposition de deux ondes planes se propageant à la célérité c dans deux sens opposés.
Expression intrinsèque
Dans l’expression de s, on peut s’affranchir du choix de l’axe des coordonnées puisque
(figure 1.4), si OM = r alors ξ = OM · u = r · u ; u étant le vecteur unitaire directeur de
la direction de propagation. D’où
r · u
r · u
+ f(−) t +
(1.33)
s(M, t) = f(+) t −
c
c
Y. E L A ZHARI
8
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
s1 (ξ, t) = f(+) (t − ξ/c)
t
t + ∆t
∆ξ = c ∆t
ξ + ∆ξ
ξ
ξ
F IGURE 1.5 – Propagation d’une onde plane.
2.1.4. Remarque – Onde sphérique
2.1.4.1.
Définition
Une onde sphérique est une onde décrite par une fonction s qui ne dépend que du temps t
et de la distance r = ||OM|| entre M et l’origine O : s(M, t) = s(r, t).
On peut trouver des solutions particulières de l’équation d’onde de D’A LEMBERT sous
forme d’ondes sphériques. En effet, lorsque s ne dépend que de la coordonnée d’espace r, on a
1 ∂ 2 (r s)
r ∂r2
(1.34)
1 ∂ 2 (r s)
1 ∂2s
−
=0
r ∂r2
c2 ∂t2
(1.35)
1 ∂ 2 (r s)
∂ 2 (r s)
−
=0
∂r2
c2 ∂t2
(1.36)
1 ∂2U
∂2U
−
=0
∂r2
c2 ∂t2
(1.37)
∇2M s(M, t) =
D3 s’écrit alors
ou encore
de la forme
avec U = r s. D’après ce qui précède (§ 2.1.2.) cette équation admet pour solution générale
r
r
+ f(−) t +
(1.38)
U (r, t) = f(+) t −
c
c
d’où la forme générale des ondes sphériques
s(r, t) =
CRMEF / AGP-1
1h
r
r i
f(+) t −
+ f(−) t +
r
c
c
9
(1.39)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
•
•
r
1
représente une onde sphérique divergente à partir de O ; elle s’amortit en
f(+) t −
r
c
s’éloignant de l’origine O ;
1
r
représente une onde sphérique convergente vers O ; elle s’amplifie en
f(+) t +
r
c
s’approchant de l’origine O.
2.1.4.2.
Approximation d’une onde sphérique par une onde plane
Considérons une onde sphérique décrite par la grandeur s.
z
Z
ur
Y
M0
r
M
X
O
y
x
F IGURE 1.6 – Approximation d’une onde sphérique par une onde plane.
Au point M0 on a
s(M0 , t) =
r0 i
r0 1 h
+ f(−) t +
f(+) t −
r0
c
c
(1.40)
1h
r
r i
f(+) t −
+ f(−) t +
r
c
c
(1.41)
Considérons le point M du plan (M0 , X, Y ) orthogonal à OM et passant par M0 , on a
s(M, t) =
avec r2 = ||OM||2 = ||OM0 ||2 + ||M0 M||2 = r02 + X 2 + Y 2 . Loin de O et si on se restreint
à un voisinage proche de M0 on peut écrire
r
=
≈
1/2
X2 + Y 2
r0 1 +
r02
r0
(1.42)
ainsi s(M, t) ≈ s(M0 , t) pour tout point M situé au voisinage de M0 dans le plan tangent en
M0 à la sphère de rayon r0 . L’onde est alors dite localement plane.
Y. E L A ZHARI
10
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
2.1.5. Insuffisance du modèle de l’onde plane
L’onde plane est une solution particulière rigoureuse de l’équation de propagation. Cependant, elle ne peut décrire convenablement un phénomène physique de propagation. En effet,
alors que l’onde plane est, par définition même, illimitée transversalement (même valeur en
tout point du plan perpendiculaire à la direction de propagation ou plan d’onde), tous les phénomènes physiques ont une extension transversale limitée. Nous verrons plus loin comment on
peut remédier à cet inconvénient.
2.2.
Solution de l’équation de propagation en onde plane progressive monochromatique
Une Onde Plane Progressive Monochromatique 2 (OPPM) est aussi dite harmonique 3 ou
sinusoïdale.
2.2.1. Définitions et propriétés
Une onde plane progressive est dite monochromatique lorsqu’elle est décrite par une fonction de la forme
h i
r · u
s(M, t) = s0 cos ω t ∓
+ ϕ0
(1.43)
c
que l’on écrit plus souvent sous la forme
s(M, t) = s0 cos (ωt ∓ k · r + ϕ0 )
(1.44)
avec k = ω/c u ; u étant le vecteur directeur de la direction de propagation.
Vocabulaire
• L’OPPM ci-dessus possède une double périodicité, en effet
— à k · r/k = ξ donné, elle possède une période temporelle
1
2π
=
(1.45)
ω
ν
ν est la fréquence et ω = 2 π ν la pulsation (temporelles). Dans le système international des unités, T s’exprime en seconde (s) et ν en hertz (Hz).
— à t donné, elle possède une période spatiale appelée longueur d’onde
T =
2π
= cT
(1.46)
k
λ représente la longueur « parcourue » par l’onde pendant une période temporelle
T à la vitesse c.
On définit parfois le nombre d’onde ou fréquence spatiale par
λ=
1
λ
La constante s0 s’appelle amplitude (réelle) de l’onde.
ν=
•
(1.47)
2. Le terme monochromatique trouve son origine en optique.
3. Le terme harmonique est issu de la musique.
CRMEF / AGP-1
11
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Vitesse de phase
•
•
•
•
La grandeur ϕ(M, t) = ω t ∓ k · r + ϕ0 s’appelle phase de l’onde ; ϕ0 est la phase de
l’onde à l’origine (r = 0, t = 0).
On appelle plan équiphase un ensemble de points M vérifiant ϕ(M, t) = constante.
La vitesse de phase représente la vitesse de propagation des plans équiphase.
Considérons un plan équiphase correspondant à une phase donnée et supposons qu’il
passe par le point repéré par r à l’instant t. À l’instant t + dt il passe par un point
repéré par r + dr.
t, r
−−−−→ ϕ(r, t)
(1.48)
t + dt, r + dr −−−−→ ϕ(r + dr, t + dt)
Exprimons la constance de la phase ϕ(r, t) = ϕ(r + dr, t + dt)
ω t ∓ k · r + ϕ0 = ω(t + dt) ∓ k · (r + dr) + ϕ0
(1.49)
ω dt ∓ k · dr = 0
(1.50)
ω
dr
· u = ± = ±c
dt
k
(1.51)
vϕ = c
(1.52)
ce qui donne
soit
Ainsi la vitesse de phase vaut
Remarque
La vitesse de phase vϕ ne correspond ni à un déplacement de matière ni à celui d’une
énergie. De ce fait on peut rencontrer des situations où la vitesse de phase peut être
supérieure à la célérité de la lumière dans le vide (vϕ > c0 ).
2.2.2. Notation complexe
Il est souvent commode (systèmes linéaires) d’associer à la grandeur réelle s(M, t) =
s0 cos (ωt ∓ k · r + ϕ0 ), la grandeur complexe
s(M, t) = s0 exp −i (ωt ∓ k · r)
(1.53)
où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument +π/2, s0 = s0 exp −i ϕ0 est appelée
amplitude complexe de l’onde. Avec la notation complexe ci-dessus on a les correspondances
suivantes
 ∂

≡ −i ω
∂t
(1.54)

∇ ≡ ±i k
Y. E L A ZHARI
12
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
2.2.3. Insuffisances du modèle de l’OPPM
L’onde plane progressive monochromatique (OPPM) est une solution particulière rigoureuse de l’équation de propagation. Elle ne peut prétendre cependant correspondre à une réalité
physique.
•
•
Tout d’abord l’OPPM est une onde plane, elle souffre donc, comme toute onde plane, de
l’extension transversale infinie en contradiction avec la réalité physique.
D’autre part, à un instant t donné, l’OPPM est illimitée longitudinalement (le long de la
direction de propagation). Ou de façon équivalente, en un point donné, elle est illimitée
dans le temps.
La non limitation temporelle, et l’extension longitudinale infinie qui en résulte, sont dues au fait
qu’en réalité l’onde purement monochromatique n’existe pas ! Nous examinons dans le paragraphe 2.2.4. ci-dessous la possibilité de construire des solutions de l’équation de propagation
physiquement acceptables.
2.2.4. Superposition d’OPPM - Paquet d’ondes
Commençons tout d’abord par essayer de résoudre le problème de l’extension spatiale longitudinale. Il faudrait pour cela construire une OPP d’extension spatiale finie le long de la
direction de propagation. Il en résultera bien évidemment une limitation de son extension temporelle. L’onde monochromatique pure n’ayant aucune existence physique, on peut tenter de
parvenir à ce but par combinaison linéaire d’OPPM. Considérons alors une onde se propageant
dans la direction de Ox et décrite par la fonction scalaire s(x, t).
2.2.4.1.
Cas simple d’une superposition de deux OPPM
L’étude de ce cas simple, même si elle n’apporte pas de solution au problème évoqué cidessus, permet d’introduire certaines notions propres à la superposition d’OPPM. Considérons
les deux OPPM particulières suivantes
∆ω
∆k
x − ω0 −
t
(1.55)
s1 = s0 exp i k0 −
2
2
et
∆ω
∆k
s2 = s0 exp i k0 +
x − ω0 +
t
2
2
tels que ∆ω ≪ ω0 et ∆k ≪ |k0 |. L’onde résultante s = s1 + s2 s’écrit alors
∆ω
∆k
x−
t exp i(k0 x − ω0 t)
s = 2 s0 cos
2
2
(1.56)
(1.57)
Soit, en notation réelle
s (x, t) = 2 s0 cos
CRMEF / AGP-1
∆ω
∆k
x−
t cos(k0 x − ω0 t)
2
2
13
(1.58)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Cette expression décrit une OPP constituée
d’une OPPM s0 cos(k0 x − ω0 t) dont l’amplitude
∆ω
x
−
t
à
variation
plus lente puisque ∆ω ≪ ω0 et ∆k ≪ |k0 |
est modulée par 2 cos ∆k
2
2
(enveloppe). La figure ci-dessous montre une représentation graphique de s(x,t)=Re[s(x,t)] à t
fixé.
F IGURE 1.7 – Superposition de deux OPPM.
2.2.4.2.
Paquet d’ondes unidimensionnel
La superposition des deux OPPM étudiée ci-dessus n’a pas permis de limiter s(x, t) dans
l’espace. Ceci est dû au fait qu’on a superposé un nombre fini d’OPPM.
L’analyse de F OURIER affirme que la fonction s(0, t), suffisamment régulière puisqu’elle
décrit un phénomène physique, peut être écrite sous la forme
1
s (0, t) = √
2π
+∞
Z
S (ω) exp −i ω t dω
(1.59)
−∞
On en déduit s(x, t), en utilisant la relation s(x, t) = s(0, t − x/c)
1
s(x, t) = √
2π
Y. E L A ZHARI
+∞
Z
S(ω) exp i(k x − ω t) dω
(1.60)
−∞
14
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
en ayant posé k = ω/c. Cette expression peut être interprétée intuitivement comme une somme
continue d’une infinité de composantes exp i(k x−ω t). Plus précisément ds (x, t) = S (ω) exp i (k x − ω t) dω
peut être interprétée comme étant la contribution à s des OPPM de pulsations comprise entre ω
et ω + dω. À cet égard S (ω) apparaît comme une fonction de distribution ; elle caractérise le
poids relatif de chaque pulsation dans la somme.
On montre (transformée de F OURIER) qu’il suffit que la fonction S(ω) possède une extension (fréquentielle) non nulle pour que s(x, t) ait une extension temporelle finie, et donc une
extension spatiale longitudinale limitées. En effet, si on note ∆ν l’extension fréquentielle de
S(ω) (ω = 2π ν) alors on montre que l’extension temporelle de ∆t de s(x, t) est telle que
∆ν ∆t ≈ 1
(1.61)
On préfère généralement écrire l’intégrale ci-dessus sous une forme différente mais équivalente physiquement
1
s (x, t) = √
2π
+∞
Z
a (k) exp i (k x − ω t) dk
(1.62)
−∞
Ceci permet de relier l’extension spatiale (longitudinale) à l’extension en k par la relation équivalente
∆k ∆x ≈ 2π
2.2.4.3.
(1.63)
Généralisation – Paquet d’ondes tridimensionnel
On peut généraliser le résultat précédent à trois dimensions
s (r, t) =
1
(2π)3/2
+∞
Z
a (k) exp i (k · r − ω t) d3 k
(1.64)
−∞
d3 k désignant l’élément de volume élémentaire dans l’espace des k ; par exemple, en coordonnées cartésiennes d3 k = dkx dky dkz . Les relations de limitation s’écrivent alors

∆x ∆kx ≈ 2π



 ∆y ∆k ≈ 2π
y

∆z
∆k
z ≈ 2π



∆t ∆ω ≈ 2π
(1.65)
Ceci montre qu’il est possible de construire des solutions physiquement acceptables de l’équation de propagation à partir d’OPPM. À cet égard l’OPPM apparaît comme une composante
abstraite faisant office d’outil analytique et à partir de laquelle un signal réel peut être décrit par
superposition.
CRMEF / AGP-1
15
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
2.2.5. Vitesse de groupe et vitesse de phase
Dans le cas (hypothétique) d’une OPPM pure, la vitesse de phase permet de caractériser la
vitesse de propagation du signal correspondant. Elle représente en effet la vitesse de déplacement des plans équiphase.
Qu’en est-il maintenant pour un signal plus réaliste pouvant être considéré comme la superposition d’OPPM ?
Revenons tout d’abord à l’exemple simple traité en 2.2.4.1. où l’onde (supposée plane) est
décrite par la fonction s (x, t) combinaison linéaire de deux OPPM.
s (x, t) = s1 (x, t) + s2 (x, t)
(1.66)
avec
∆ω
∆k
x − ω0 −
t
k0 −
2
2
(1.67)
∆k
∆ω
s2 = s0 exp i k0 +
x − ω0 +
t
2
2
(1.68)
s1 = s0 exp i
et
2 ω0 + ∆ω
2 ω0 − ∆ω
et vϕ2 =
2 k0 − ∆k
2 k0 + ∆k
respectivement. Toutefois, on ne peut pas, dans le cas général, associer une quelconque vitesse
de phase à l’onde résultante
∆k
∆ω
s = 2 s0 cos
x−
t exp i(k0 x − ω0 t)
(1.69)
2
2
À ces deux ondes on peut associer les vitesses de phase vϕ1 =
Cependant, dans le cas où ∆ω ≪ ω0 et ∆k ≪ |k0 |, on peut assimiler l’onde en question à ∆ω
une OPPM s0 exp i (k0 x − ω0 t) dont l’amplitude est modulée par la fonction 2 cos ∆k
2 x− 2 t
à variation plus lente (enveloppe).
On peut alors définir les plans équiphase à partir de la « porteuse » s0 exp i (k0 x − ω0 t) ;
ils se propagent à la vitesse de phase vϕ = ωk00 ≈ vϕ1 ≈ vϕ2 . Les extrema de l’enveloppe se
propagent, quant à eux, à la vitesse vg = ∆ω
∆k appelée vitesse de groupe. Deux cas se présentent :
•
•
Cas des milieux non dispersifs : vϕ ne dépend pas de k (ou de ω) ; ω et k sont proportionnels. Dans ce cas vg = vϕ et il n’y a aucun déplacement de la porteuse par rapport à
l’enveloppe.
Cas des milieux dispersifs : vϕ dépend de k (ou de ω) ; la relation entre ω et k, appelée
relation de dispersion n’est plus une proportionnalité. Dans ce cas vg 6= vϕ ; il en résulte que la porteuse se déplace par rapport à l’enveloppe traduisant une déformation du
système d’onde.
On peut remarquer que les maxima de l’enveloppe correspondent aux points de l’espace où
les deux ondes sont en phase. On peut alors retrouver la position de ces extrema en exprimant
la condition dite de phase stationnaire
ϕ1 (xM , t) =
Y. E L A ZHARI
16
ϕ2 (xM , t)
(1.70)
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
Les abscisses xpM des différents extrema vérifient donc
∆ω
∆k
∆ω
∆k
p
p
xM − ω −
t =
k+
xM − ω +
t + p 2π(1.71)
k−
2
2
2
2
où p ∈ Z. On obtient alors les positions des maxima d’amplitude
xpM (t) =
∆ω
2π
t−p
∆k
∆k
(1.72)
et on retrouve leur vitesse de déplacement dxM /dt = ∆ω/∆k = vg .
Revenons maintenant au cas plus réaliste où l’onde est décrite par
1
s (x, t) = √
2π
+∞
Z
a (k) exp i (k x − ω t) dk
(1.73)
−∞
Dans un tel cas on ne peut pas attribuer une vitesse de phase au signal polychromatique. Cependant si la largeur fréquentielle du signal est relativement faible ou si la dispersion n’est pas très
forte, la vitesse de groupe peut être utile pour caractériser la vitesse de propagation du signal.
En effet, considérons le cas où la fonction de distribution a(k) est représentée par un pic assez
A(k)
k0
k
F IGURE 1.8 – Module de la fonction de distribution a(k) = A(k) exp −i ψ(k).
étroit centré autour de k = k0 et ne prenant des valeurs appréciables que dans un intervalle
de largeur ∆k centré sur k0 (figure 1.8). Si le milieu n’est pas « trop dispersif », on peut se
contenter d’un développement limité à l’ordre 1 de la relation de dispersion ω (k) selon
dω
ω (k) ≈ ω (k0 ) + (k − k0 )
(1.74)
dk k0
≈ ω0 + (k − k0 ) vg
Où l’on a posé
vg =
CRMEF / AGP-1
(1.75)
17
Y. E L A ZHARI
dω
dk
k=k0
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Posons d’autre part a (k) = A (k) exp −i ψ (k), il vient alors
(1.76)
s (x, t) ≈ s0 (x, t) exp i (k0 x − ω0 t)
Avec
1
s0 (x, t) = √
2π
+∞
Z
A (k) exp i [(k − k0 ) (x − vg t) − ψ] dk
(1.77)
−∞
Dans la mesure où A (k) ne prend des valeurs appréciables qu’au voisinage de k = k0 , la fonction s0 est à variation lente par rapport exp i (k0 x − ω0 t), l’onde décrite par s (x, t) apparaît
comme une OPPM mais dont l’amplitude est modulée par s0 (x, t). Ce qui permet sa limitation
spatio-temporelle.
vg
vϕ
F IGURE 1.9 – Paquet d’ondes.
La position du maximum du paquet d’onde peut être obtenue à l’aide de la condition de
phase stationnaire. En effet, s0 (x, t) est maximum lorsque
(k − k0 ) (x − vg t) − ψ = 0
(1.78)
on en déduit la position xM du maximum du paquet d’ondes
xM (t) = vg t +
ψ (k)
(k − k0 )
(1.79)
La vitesse de groupe vg apparaît alors comme étant la vitesse de déplacement du centre (ou du
maximum) du paquet d’ondes.
Ces résultats peuvent être généralisés au cas tridimensionnel selon

ω
 vϕ =
2k
kkk
(1.80)

vg = ∇k ω (k)
La vitesse de phase peut être définie pour chacune des composantes d’un paquet d’ondes quelconque.
Y. E L A ZHARI
18
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
Dans le cas d’un paquet d’ondes à bande étroite, la vitesse de phase est définie pour la
fréquence centrale et représente la vitesse de propagation des plans équiphase alors que la
vitesse de groupe représente la vitesse de déplacement du centre, ou du maximum, du paquet
d’ondes.
2.3.
Solution de l’équation de propagation en onde plane stationnaire
2.3.1. Introduction sur un exemple
Considérons une corde telle que celle étudiée au §1.1.1. fixée à son extrémité x = 0 et
siège de la propagation d’une onde incidente dont l’élongation est donnée par ui (x, t) =
u0 cos (k x − ω t). Cette expression de l’élongation ne vérifie pas la condition aux limites
u (0, t) = 0 à tout instant t. Pour lever cette contradiction, on admet l’existence d’une onde
réfléchie ur se superposant à l’onde incidente.
Écrivons ur sous la forme ur (x, t) = u′0 cos (−k ′ x − ω ′ t + ϕ) et exprimons la condition
aux limites u (0, t) = 0 à l’onde résultante u (x, t) = ui (x, t) + ur (x, t), on obtient :
0 = u0 cos (−ω t) + u′0 cos (−ω ′ t + ϕ)
(1.81)
soit en notation complexe :
0 = u0 exp −i ω t + u′0 exp i (−ω ′ t + ϕ)
(1.82)
0 = u0 + u′0 exp iϕ
(1.83)
Cette relation devant être vérifiée à tout instant t, elle impose ω = ω et alors, d’après la relation
de dispersion k ′ = ω ′ /c = ω/c = k. Il reste alors après simplification :
′
On en déduit alors l’expression de l’onde résultante dans la corde :
u(x, t) = 2 u0 sin k x sin ω t
(1.84)
L’onde décrite par l’équation (1.84) où le terme de propagation (t ∓ x/c) a disparu, est appelée
onde stationnaire.
2.3.2. Généralisation
Plus généralement, une onde plane est dite stationnaire (OPS) si elle peut être décrite par
une fonction s pouvant se mettre sous la forme (en notation réelle) :
s(M, t) = f (ξ) g(t)
(1.85)
ξ étant une coordonnée cartésienne du point M et t le temps.
En remplaçant 4 dans l’équation d’onde de D’A LEMBERT on obtient après avoir divisé par
f (ξ) g(t) :
c2 d2 f (ξ)
1 d2 g(t)
=
f (ξ) dξ 2
g(t) dt2
(1.86)
4. Il s’agit en réalité d’une méthode très générale de recherche de solutions particulières d’une équation aux dérivées
partielles par séparation des variables.
CRMEF / AGP-1
19
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Le membre de gauche de l’équation (1.86) ne dépend que de la variable spatiale ξ alors que
celui de droite ne dépend que la variable temporelle t. L’égalité exprimée par cette équation
n’est alors possible que si les deux membres sont tous les deux égaux à une constante K.
L’équation se sépare alors en deux équations différentielles
d2 f (ξ) K
− 2 f (ξ) = 0
dξ 2
c
d2 g(t)
− K g(t) = 0
dt2
(1.87)
(1.88)
La forme des solutions de ces équations dépend alors du signe de la constante K.
•
Pour K = 1/τ 2 positive, la solution de l’équation (1.88) est de la forme
t
t
g(t) = A exp
+ B exp −
τ
τ
(1.89)
Cette forme de solution n’est pas retenue en général pour décrire un phénomène de propagation. En effet le premier terme est du type « explosif » alors que le second terme
décrit un régime transitoire ;
•
Pour K = 0, la solution de l’équation (1.88) est de la forme
(1.90)
g(t) = A t + B
Cette forme de solution ne convient pas non plus pour décrire un phénomène de propagation car elle est « explosive » ;
•
Pour K = −ω 2 négative, l’équation (1.88) admet pour solution générale
g(t) = A cos(ω t + ϕ)
(1.91)
tandis que l’équation (1.87) admet la solution générale :
f (ξ) = B cos(k ξ + ψ)
(1.92)
où l’on a posé auparavant :
k=
ω
c
(1.93)
La solution en onde plane stationnaire de l’équation de D’A LEMBERT s’écrit alors :
s(ξ, t) = s0 cos(k ξ + ψ) cos(ω t + ϕ)
(1.94)
La figure 1.10 donne une représentation de s(ξ, t) le long de l’axe Oξ à différents instants
t. On peut remarquer sur cette figure et sur l’équation (1.94) que les différents points de l’axe
« vibrent » en phase ou en opposition de phase. Ceci est dû au fait que dans l’expression (1.94)
de l’onde stationnaire, la dépendance spatiale intervient dans l’amplitude de la dépendance
temporelle et non plus dans la phase (absence du terme de propagation t ∓ ξ/c).
Y. E L A ZHARI
20
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
s(ξ, t)
+s0
N
N
N
N
ξ
−s0
V
V
V
V
F IGURE 1.10 – Onde stationnaire (N : nœud, V : ventre).
En certains points de l’axe Oξ, l’amplitude de l’onde est identiquement nulle. Ce sont les
nœuds N de vibration. Leurs positions sont données par
(1.95)
cos(k ξ + ψ) = 0
soit, après simplification
ξN,p =
1
p+
2
λ λψ
−
2
2π
(1.96)
λ étant la longueur d’onde et p un entier relatif. On remarque que la distance entre deux nœuds
successifs vaut
λ
∆ξN = ξN,p+1 − ξN,p =
(1.97)
2
D’autres points de l’axe Oξ, appelés ventres V de vibration, ont une amplitude maximale.
Leurs positions sont données par
(1.98)
cos(k ξ + ψ) = ±1
soit, après simplification
λ λψ
−
(1.99)
2
2π
λ étant la longueur d’onde et p un entier relatif. On remarque de même que la distance entre
deux ventres successifs est donnée par
ξV,p = p
∆ξV = ξV,p+1 − ξV,p =
λ
2
(1.100)
2.3.3. Construction de la solution générale de l’équation de propagation
Dans le cas de phénomènes linéaires, on peut construire la solution de l’équation de propagation par combinaison linéaires de solutions particulières. Les ondes planes stationnaires
peuvent alors servir comme base de développement des solutions de l’équation d’onde.
CRMEF / AGP-1
21
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
2.3.4. Solution de l’équation de propagation avec deux conditions aux
limites – Modes propres
Considérons, pour fixer les idées, une corde vibrante de longueur L telle que celle étudiée
au §1.1.1. et étudions les oscillations libres dont elle peut être le siège lorsqu’elle est tendue
sous une tension T et ses deux extrémités maintenues fixées.
L’élongation u(x, t) de la corde est solution de l’équation de D’A LEMBERT (équation (1.7))
et doit satisfaire aux conditions aux limites u(0, t) = 0 et u(L, t) = 0 à tout instant t.
Cherchons alors à quelles conditions une solution de type onde stationnaire (1.101) peutelle convenir pour décrire les oscillations de la corde
(1.101)
u(x, t) = u0 cos(k x + ψ) cos(ω t + ϕ)
Pour cela il faut que cette solution vérifie l’équation de D’A LEMBERT et les conditions aux
limites.
•
L’équation de D’A LEMBERT impose :
k=
ω
c
(1.102)
c étant la célérité de l’onde ;
•
La condition limite u(0, t) = 0 impose :
cos ψ = 0
soit, par exemple
ψ=−
π
2
(1.103)
La solution (1.101) devient alors :
u(x, t) = u0 sin(k x) cos(ω t + ϕ)
•
(1.104)
La condition limite u(L, t) = 0 donne quant à elle :
(1.105)
u0 sin(k L) = 0
Cette équation montre que la corde vibrante fixée à ces deux extrémités ne peut osciller
(u0 6= 0) que si :
sin(k L) = 0
c’est-à-dire
kL = nπ
(1.106)
Soit, compte tenu de la relation de dispersion : (1.102)
ωn = n
πc
L
(1.107)
ou compte tenu de la définition de la longueur d’onde λ :
L=n
Y. E L A ZHARI
22
λ
2
(1.108)
CRMEF / AGP-1
2.. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE PROPAGATION EN ONDES PLANES
Les équations (1.107) et (1.108) permettent de dégager deux interprétations possibles des
contraintes imposées par les conditions aux limites.
En effet, l’équation (1.107) donne les pulsations propres de la corde. Ce sont les seules
pulsations qui peuvent se propager à l’intérieur de la corde fixée à ses deux extrémités.
L’équation (1.108) quant à elle, montre que la corde vibrante ne peut laisser propager une
vibration que si sa longueur L est un multiple entier de la demi-longueur d’onde λ de la vibration.
Compte tenu des conditions aux limites, la solution en onde stationnaire (1.101) devient :
n π x
nπct
cos
(1.109)
+ ϕn
un (x, t) = u0,n sin
L
L
Une telle solution est appelée mode propre d’ordre n de la corde.
On représente graphiquement les différents modes propres à l’aide deSn (x) = ± sin n Lπ x
qui représente l’enveloppe de la partie temporelle u0,n cos n πLc t + ϕn . La figure 1.11 donne
une telle représentation graphique pour les trois premiers modes propres de la corde.
S3 (x)
n=3
1/3
2/3
1
x/L
1
x/L
1
x/L
S2 (x)
n=2
1/2
S1 (x)
n=1
F IGURE 1.11 – Trois premiers modes propres de la corde fixée à ces deux extrémités.
L’équation de D’A LEMBERT étant linéaire, elle admet un principe de superposition. Toute
combinaison linéaire de ses solutions en est aussi solution. On peut donc construire une solution
de l’équation d’onde de D’A LEMBERT par combinaison linéaire des modes propres de la corde
(équation (1.109)).
u(x, t) =
+∞
X
n=1
An sin
n π x
L
cos
nπct
+ ϕn
L
(1.110)
Les coefficients An et ϕn peuvent être déterminés à partir des conditions initiales u(x, 0) et
∂u/∂t(x, 0)
CRMEF / AGP-1
23
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
2.3.5. Notion de taux d’ondes stationnaires (TOS)
Au paragraphe 2.3.1., nous avons envisagé la superposition de deux ondes progressives en
sens opposés de même fréquence et ayant la même amplitude. Une telle superposition donne
une onde stationnaire caractérisé par la présence d’un système de nœuds (amplitude nulle) et
de ventres (amplitude maximale) de vibration. Dans ce paragraphe, on se propose d’étudier le
cas où les deux ondes n’ont plus la même amplitude. Nous écrivons alors ces deux ondes sous
la forme :
u1 (x, t) = u0 cos(ω t − k x)
(1.111)
u2 (x, t) = r u0 cos(ω t + k x)
en supposant, pour fixer les idées, que le coefficient de réflexion r vérifie 0 < r < 1. L’onde
résultante u = u1 + u2 s’écrit alors :
(1.112)
u(x, t) = u0 cos(ω t − k x) + r u0 cos(ω t + k x)
u(x, t)
x
F IGURE 1.12 – Onde stationnaire partielle (r = 0, 6).
La figure 1.12 représente u(x, t) aux différents points de l’axe Ox à différents instants pour
une valeur de r de 0, 6. On peut remarquer que u(x, t) présente encore un système de ventres
et de nœuds mais l’amplitude des nœuds n’est pas nulle.
Pour interpréter l’existence de ces ventres et nœuds, il faut remarquer, que comme dans le
cas du §2.3.1. (r = 1), dans le cas présent, l’amplitude est minimale (nœud) lorsque les deux
ondes qui se superposent (u1 et u2 ) sont en opposition de phase. On en déduit :
•
la position des nœuds :
1 λ
xN,p = (p + )
2 2
•
p∈Z
(1.113)
l’amplitude des nœuds :
Umin = u0 (1 − r)
Y. E L A ZHARI
24
(1.114)
CRMEF / AGP-1
3.. PROPAGATION ET CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL – EFFET DOPPLER
L’amplitude passe par un maximum lorsque les deux ondes u1 et u2 sont en phase. On en déduit
alors :
•
la position des ventres :
xN,p = p
•
λ
2
(1.115)
p∈Z
l’amplitude des ventres :
(1.116)
Umax = u0 (1 + r)
Le taux d’onde stationnaire (T OS) est défini par :
T OS =
Umax
Umin
(1.117)
Il s’exprime simplement en fonction du coefficient de réflexion en amplitude r par la relation :
T OS =
3.
1+r
1−r
(1.118)
Propagation et changement de référentiel – Effet D OP PLER
3.1.
Définition
La fréquence ν mesurée par rapport au référentiel de l’observateur est différente de la fréquence ν0 de l’onde mesurée par rapport au référentiel de l’émetteur, c’est l’effet D OPPLER.
3.2.
Cadre de l’étude
On se limite au cas non relativiste pour étudier l’effet D OPPLER longitudinal (direction de
propagation parallèle à celle du mouvement relatif émetteur/récepteur).
3.3.
Calcul de la variation de fréquence
Supposons que l’émetteur (E) émette un premier signal à l’instant t0 et un deuxième signal
identique à l’instant t0 + TE , TE étant la période du signal dans le référentiel de l’émetteur.
La période TR du signal mesurée dans le référentiel du récepteur (R) s’exprime simplement
sous la forme TR = t2 − t1 où t1 et t2 désignent respectivement les instants de réception du
premier et du deuxième signal par le récepteur.
Pour déterminer t1 et t2 écrivons les équations horaires pour les mouvements de l’émetteur et
du récepteur ainsi que pour les deux signaux.
•
•
•
émetteur : xE (t) = x0E + vE (t − t0 ), où x0E = xE (t0 ) ;
récepteur : xR (t) = xOE + D0 + vR (t − t0 ), où D0 = xR (t0 ) − xE (t0 ) ;
premier signal : xS1 (t) = x0E + c(t − t0 ) pour t > t0 ,
CRMEF / AGP-1
25
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
y′
y
VE
VR
c
E
O
x
x′
R
F IGURE 1.13 – Effet D OPPLER longitudinal.
deuxième signal : xS2 (t) = xE (t0 + TE ) + c(t − t0 − TE ) pour t > t0 + TE , avec
xE (t0 + TE ) = x0E + vE TE .
À l’instant t1 de réception du premier signal xR (t1 ) = xS1 (t1 ) ; ce qui donne
•
D0
c − vR
(1.119)
D0 + (c − vE ) TE
c − vR
(1.120)
t1 = t0 +
De même à l’instant t2 de réception du deuxième signal xR (t′2 ) = xS2 (t′2 ) ; d’où
t2 = t0 +
Ainsi
T R = t2 − t1 = T E
c − vE
c − vR
et
D’où la relation entre les deux fréquences
νR = νE
c − vR
c − vE
(1.121)
c − vR
νR
=
νE
c − vE
3.4.
(1.122)
Cas particulier important
Un cas particulier très important est celui pour lequel la célérité de l’onde est très supérieure
devant les vitesses de l’émetteur et du récepteur. Dans ce cas, un développement au premier
ordre permet d’obtenir
v
νR ≈ νE 1 +
c
où v = vR − vE est la vitesse relative de l’émetteur par rapport au récepteur.
3.5.
Application : mesure de la vitesse d’un véhicule
Considérons le cas d’un récepteur fixe par rapport au référentiel d’étude. Le véhicule roule
à la vitesse supposée constante v en émettant une onde de célérité c et de fréquence ν (dans le
référentiel du véhicule).
Y. E L A ZHARI
26
CRMEF / AGP-1
Avant de croiser le véhicule la fréquence détectée par le récepteur est :
ν av = ν
c
c−v
(1.123)
Après croisement la fréquence détectée par le récepteur est
ν ap = ν
−c
c
=ν
−c − v
c+v
+c
v
E
avant
−c
R
E
après
(1.124)
v
F IGURE 1.14 – Mesure de la vitesse d’un véhicule par effet D OPPLER
On en déduit :
2v
ν av − ν ap
=
av
ap
ν ν
cν
(1.125)
2v
∆ν
≈
ν
c
(1.126)
et :
puisque généralement ν av ≈ ν ap ≈ ν.
On en déduit la vitesse de déplacement du véhicule
v=
c ∆ν
2 ν
27
(1.127)
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Exercices du chapitre 1
Ex. 1.1 — On considère une file infinie de particules identiques de masse m situées à l’équilibre aux points d’abscisse xn = n a (où n est un entier relatif) sur l’axe Ox. Ces particules
peuvent effectuer des déplacements suivant l’axe Ox et on appelle un le déplacement de la
particule n. On suppose qu’il existe entre deux particules voisines (adjacentes) des forces élastiques proportionnelles à l’allongement de la distance les séparant. On notera α le coefficient
proportionnalité.
1. Écrire l’équation du mouvement de la particule n.
2. Chercher les solutions de cette équation sous la forme d’une onde progressive de représentation complexe un = u exp[i(k xn − ω t)], où xn = n a. Trouver la relation entre k
et ω.
3. Montrer que l’on peut limiter l’étude à |k| 6 π/a et tracer la courbe ω(k) dans ce
domaine.
4. Montrer qu’il ne peut y avoir de propagation si ω > ωm où ωm est une pulsation que
l’on calculera.
5. Lorsque |k| ≪ π/a, calculer la vitesse de phase de l’onde vϕ .
6. Dans le cas du plomb monocristallin pour lequel a = 0, 25 nm, on trouve expérimentalement vϕ = 2 km.s−1 , lorsque k → 0. Des expériences sur la diffraction des neutrons
permettent de mesurer α = 15 N.m−1 . Calculer la vitesse de phase correspondant
à cette valeur de α dans l’hypothèse k → 0. On donne la masse molaire du plomb
M = 207 g.mol−1 .
7. Calculer la vitesse de groupe vg de l’onde. Que devient vg pour k = π/a ? Décrire le
mouvement dans ce cas.
8. Dans l’hypothèse des grandes longueurs d’ondes (k a ≪ π), l’ensemble des un (t) peut
être représenté par une fonction continue u(x, t) de la variable x représentant l’emplacement au repos de la particule.
a) Établir l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait u(x, t).
b) Retrouver ainsi l’expression de la célérité des ondes acoustiques dans un solide.
Ex. 1.2 — Équation d’onde de K LEIN -G ORDON
On considère une suite de pendules de longueur ℓ auxquels sont suspendus des points matériels
de masse m ; ces différents points sont liés ensemble par des ressorts de constante de raideur k.
Lorsque les pendules sont tous verticaux, les ressorts sont détendus et parallèles entre eux et la
distance entre deux points matériels est a.
1. Soit xn l’abscisse du énième point matériel par rapport à sa position d’équilibre. En se
plaçant dans le cadre de l’approximation des petits mouvements (|xn | ≪ a, ℓ), Déterminer l’équation différentielle à laquelle
obéit xn en fonction des abscisses xn−1 et xn+1 .
r
r
g
k
On posera ω1 =
et ω2 =
.
ℓ
m
2. Réécrire l’équation précédemment obtenue en faisant l’hypothèse des grandes longueurs
d’onde.
Y. E L A ZHARI
28
CRMEF / AGP-1
3.. PROPAGATION ET CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL – EFFET DOPPLER
3. On cherche pour solution des ondes progressives monochromatiques du type, en notation complexe, ψ(x, t) = A exp i(k ′ x − ω t), avec k ′ = 2π/λ.
Déterminer l’équation de dispersion ω = ω(k ′ ) et interpréter.
Ex. 1.3 — Largeur temporelle et fréquentielle. Propagation et étalement d’un paquet
d’ondes
On considère la propagation d’un paquet d’onde représenté par la relation (1.128) ci-dessous et
s’effectuant dans un milieu de relation de dispersion k(ω).
s(z, t) =
Z
+∞
−∞
(1.128)
S(ω) exp i(k z − ω t) dω
On se limite au cas d’un spectre modélisé comme une raie de profil rectangulaire de largeur en
fréquence ∆ν = ∆ω/2π centré autour d’une fréquence moyenne ν0 = ω0 /2π :
S(ω) =
b
0
pour
|ω − ω0 | < ∆ω/2
ailleurs
On posera par la suite Ω = ω − ω0 . On suppose de plus que la raie est étroite et le milieu pas
trop dispersif, de telle sorte qu’il est légitime, sur l’étendue de la raie, de linéariser la relation
de dispersion sous la forme :
k(ω) ≈ k(ω0 ) + (ω − ω0 )
dk
dω
ω0
= k0 +
Ω
v
1. Donner l’expression de v ainsi que sa dimension.
2. En posant τ = t − z/v, montrer que l’on peut mettre (1.128) sous la forme s(z, t) =
A(τ ) exp i(k0 z − ω0 t), A(τ ) étant une fonction que l’on écrira sous la forme d’une
intégrale dont la variable est Ω = ω − ω0 . Interpréter la signification qualitative de
A(τ ) ainsi que celle du facteur exponentiel. Expliciter A.
3. L’intensité énergétique I étant définie par le carré du module de s(z, t) : I = s s∗ ,
représenter graphiquement la fonction I(z, t0 ), t0 étant un instant arbitraire, en précisant
la position de son maximum ainsi que sa largeur à mi-hauteur ∆z.
Représenter de même I(z0 , t), z0 étant l’abscisse d’un point arbitraire et donner l’expression en fonction de ∆ν de la largeur à mi-hauteur ∆t de cette fonction.
4. Donner l’interprétation physique des résultats précédents. Préciser la signification de la
grandeur v.
5. Commenter la signification générale de la relation entre ∆t et ∆ν. À quel concept la
limite ∆ν → 0 correspond-elle ?
6. En désignant par ω ′′ la dérivée seconde de la fonction ω(k), on établit - en considérant
par exemple un paquet d’onde de profile gaussien - que l’expression à l’instant t de la
largeur spatiale du paquet d’onde est donnée par
s
′′ 2
ω t
∆z ≈ (∆z0 )2 +
∆z0
CRMEF / AGP-1
29
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
Commenter la signification physique de cette expression.
Ex. 1.4 — Modes propres d’un ressort
On considère un ressort horizontal de longueur à vide L et de raideur k, dont une extrémité
est fixé en O et dont l’extrémité mobile M est reliée à une masse ponctuelle m libre de se
déplacer sans frottement le long de l’axe Ox. On note µ la masse linéique du ressort. On repère
le mouvement d’une spire située à l’abscisse x au repos par sa position x + ξ(x, t). Si on coupe
fictivement le ressort à l’abscisse x, la force exercée par la partie droite sur la partie gauche est
∂ξ
ux .
donnée par la loi de H OOKE : F = k L
∂x
1. Montrer que ξ(x, t) est solution de l’équation de D’A LEMBERT, exprimer la célérité c
correspondante et commenter.
2. Peut-on retrouver l’expression classique de la force subie par un ressort allongé de
ξ(L) ?
3. On cherche des solutions de la forme ξ(x, t) = f (x) cos(ω t). Montrer que f (x) =
A sin(ω x/c), puis déterminer l’équation donnant les pulsations ω des modes propres et
discuter graphiquement.
4. Comment expliquer qualitativement que le mode fondamental domine nettement les
oscillations libres du système abandonné hors équilibre ? On suppose que µ L ≪ m
et que la pulsation propre ω1 du mode fondamental est faible devant c/L. En utilisant
tan φ ≈ φ + φ3 /3, déterminer ω1 à l’ordre 1 en µ L/m en fonction de k, m et de la
masse µ L de ressort et commenter.
Ex. 1.5 — Réflexion sur une extrémité libre ou fixe
On considère une corde très longue, de masse linéique µ.
1. Au point d’abscisse x = 0, la corde est attachée à une masse m astreinte à se déplacer
selon l’axe Oy. Une onde incidente ui (x, t) = A exp i(ω t − k x) uy arrive du côté
x < 0. Déterminer l’expression du coefficient de réflexion complexe r pour l’amplitude
de vibration. Que devient cette expression lorsque m tend vers l’infini ? Lorsque m tend
vers zéro ? Interpréter.
2. La corde est accrochée à un mur au point d’abscisse x = 0 et tendue par une force de
module T . Une onde incidente ui (x, t) = A exp i(ω t − k x) uy arrive du côté x < 0.
Quelle est l’expression de l’onde réfléchie ?
Au point x = −d (d > 0) est attaché une masse soumise à une force de frottement
∂y
où y désigne l’ordonnée de la masse m.
visqueux du type F = −f
∂t
Montrer qu’il est possible de supprimer l’onde réfléchie dans la zone x < −d en imposant des relations convenables entre les grandeurs k, µ, ω, T , m, d et f .
Ex. 1.6 — Résonance sur une corde vibrante en présence de forces volumiques
On étudie les petits mouvements dans la direction d’une corde métallique de longueur L, fixée
en ses deux extrémités d’abscisses x = 0 et x = L. On néglige la pesanteur. La corde est
parcourue par un courant d’intensité I = I0 cos(ω t) et plongée dans un champ magnétique
B = B0 sin(π Lx ) uy . On note F la tension de la corde et m sa masse linéique.
Y. E L A ZHARI
30
CRMEF / AGP-1
3.. PROPAGATION ET CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL – EFFET DOPPLER
1. Monter que le déplacement z(x, t) d’un point de la corde est solution d’une équation
aux dérivées partielles de la forme :
x
∂2z
∂2z
cos(ω t)
− c2 2 = A sin π
2
∂t
∂x
L
où c et A sont des constantes à exprimer en fonction des données.
2. En régime sinusoïdal forcé, on cherche une solution de la forme z(x, t) = C sin π Lx cos(ω t).
Déterminer C pour ω 6= π c/L. Que se passe-t-il lorsque ω tend vers π c/L ?
3. En réalité le champ magnétique est créé par un aimant en U dont l’entrefer a une largeur
e < L et peut être modélisé par un champ magnétique uniforme B = B0 uy pour
(L − e)/2 < x < (L + e)/2 et un champ magnétique nul en dehors. On constate
alors que le phénomène étudié à la question 2 se produit pour toutes les pulsations
ωn = n π c/L. Interpréter brièvement sans calcul.
Ex. 1.7 — Onde soliton
Un système physique est caractérisé par une fonction sans dimension ψ(x, t), des variables
d’espace x et temps t, qui satisfait à l’équation différentielle suivante appelée équation de S INE G ORDON :
1 ∂2ψ
1
∂2ψ
−
= 2 sin ψ
2
2
2
∂x
c ∂t
λ
où c et λ sont des constantes ; la réalité physique décrite par la solution de cette équation différentielle est appelée soliton.
1. Quelles sont les dimensions physiques de c et λ ?
2. Chercher une solution approchée de l’équation précédente de la forme : ψ(x, t) =
ε cos(ω t − k x) avec ε ≪ 1. En déduire la relation entre k et ω ainsi que la vitesse
de propagation de ces ondes.
3. Trouver une solution exacte de l’équation de S INE -G ORDON de la forme : ψ(x, t) =
4 atan[exp f (u)] où f (u) est une fonction de u = x − v t que l’on déterminera ; v étant
une constante.
Ex. 1.8 — On se propose d’étudier la relation de dispersion des ondes de gravité dans une
eau de profondeur arbitraire en négligeant d’abord (1), puis en tenant compte ensuite (2) des
phénomènes de tension superficielle. Dans tout le problème, l’eau est supposée être un fluide
incompressible, homogène, sans viscosité, de masse volumique ρ.
CRMEF / AGP-1
31
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
g
z
O
z=0
x
z = −H
1. On considère une étendue d’eau de profondeur H. Une onde s’y propage, correspondant
à une variation d de la hauteur de la surface que l’on suppose être de la forme :
δ = δ0 cos(k x − ω t).
δ0 , ω, k sont respectivement l’amplitude, la pulsation et le module du vecteur d’onde
de l’onde de gravité. On cherche la relation entre ω et k (relation de dispersion). On
négligera dans cette étude la masse volumique de l’air. On suppose l’amplitude δ0 petite,
et on ne retiendra systématiquement que les termes d’ordre le plus bas.
a) En présence de gravité dont l’intensité est g, quelle est l’équation (dite d’E ULER)
régissant la vitesse v de l’eau ?
b) Justifier que l’on peut décrire la propagation des ondes de gravité à la surface de
l’eau par un écoulement potentiel (irrotationnel). On pose alors v = ∇φ. Quelle
est alors l’équation que doit vérifier le potentiel des vitesses φ ?
c) Montrer que l’équation d’E ULER se simplifie en
∂φ p
+ + g z = C(t)
∂t
ρ
où p est la pression du fluide et C une grandeur ne dépendant que du temps. Expliquer pourquoi on peut prendre C = 0 sans affecter la description de la propagation
de l’onde.
d) En utilisant les conditions aux limites, établir les relations

∂φ



 ∂z (x, −H, t) = 0

2


 ∂ φ (x, 0, t) + g ∂φ (x, 0, t) = 0
∂t2
∂z
On considère l’onde pour laquelle la fonction φ est de la forme
φ(x, z, t) = f (z) cos(k x − ω t)
e) Donner l’expression de f (z) ainsi que la relation de dispersion ω(k) et en déduire
la célérité c des ondes.
Y. E L A ZHARI
32
CRMEF / AGP-1
3.. PROPAGATION ET CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL – EFFET DOPPLER
f) Que devient ω(k) dans le cas d’une eau « très profonde » et dans le cas d’une onde
« peu profonde ». On précisera la signification de ces deux hypothèses.
2. Dans l’étude précédente, on n’a pas tenu compte de l’effet de la tension superficielle
qui s’exerce à l’interface air-eau. Elle a pour seul effet d’introduire une discontinuité
de pression de part et d’autre de l’interface. Cette discontinuité, liée à la forme de la
surface, s’exprime dans le cas général à l’aide de la loi de L APLACE
2
∂2δ
∂ δ
′
+ 2
p−p =σ
∂x2
∂y
où p et p′ sont les pressions respectives dans l’air et dans l’eau à l’interface et σ le coefficient de tension superficielle qui, pour l’interface air-eau, vaut σ = 7, 2×10−2 N.m−1 .
a) Reprendre l’étude précédente pour trouver la nouvelle relation de dispersion dite
de L ORD K ELVIN.
b) Montrer qu’il existe, suivant les valeurs de la longueur d’onde λ, deux situations,
l’une analogue au cas de 1, et l’autre où l’influence de la tension superficielle est
prédominante. Calculer pour l’interface air-eau l’ordre de grandeur de la longueur
d’onde de transition entre ces deux situations.
Ex. 1.9 — Dans un bassin de profondeur H, rectangulaire de côtés a et b, oscille un fluide
parfait incompressible de masse volumique µ. Déterminer les fréquences propres de petites
oscillations de ce liquide. On appelle g l’accélération de la pesanteur. Trouver ainsi la fréquence
minimale possible dans un bassin de 5 m de profondeur, 12 m de large et 25 m de long.
Ex. 1.10 — Sous l’influence d’un choc unique comme, par exemple, un glissement de terrain
entraînant la chute d’une grande quantité de sol dans l’eau, on peut observer, par exemple le
long d’un fleuve, la propagation d’une onde solitaire se déformant lentement.
g
eau en mouvement
propagation
eau immobile
H
h
Fond de la rivière
1. On suppose que l’onde prend la forme brusque d’une discontinuité de hauteur (H > h),
qui se propage à la vitesse constante c relativement au fond fixe de la rivière. Établir
la relation liant les vitesses de l’eau, assimilée à un fluide parfait incompressible en
écoulement unidimensionnel, en amont et en aval du front d’onde. Que devient cette
relation si l’eau située en aval est immobile ?
2. Établir l’expression des pressions dans le fluide, en fonction de la profondeur, de part
et d’autre du front d’onde. On suppose uniforme la pression atmosphérique p0 . On appelle µ la masse volumique de l’eau et g l’accélération de la pesanteur. En déduire une
expression du principe fondamental de la dynamique.
CRMEF / AGP-1
33
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
3. Déterminer la vitesse de propagation d’une telle onde dans un fleuve dont la profondeur
au repos h est égale à 3 m. On supposera que la dénivellation H − h est faible.
4. La forme du front de cette onde se déforme-t-elle ? On supposera un modèle simple si
h = 3 m et H = 3, 30 m.
Y. E L A ZHARI
34
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
2
ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
Le passage d’une onde acoustique dans un fluide engendre une série de compressionsdétentes qui se propagent de proche en proche ; c’est ce que l’on appelle une perturbation
acoustique. L’étude de la propagation des ondes acoustiques dans un fluide se ramène ainsi à
celle du mouvement d’un fluide compressible sous l’effet de la perturbation acoustique.
1.
Approximation acoustique
1.1.
Notations
Nous nous proposons d’étudier les mouvements engendrés par le passage d’une onde acoustique dans un fluide isotrope et compressible par rapport à un référentiel R supposé galiléen.
Au repos, dans R, le fluide est caractérisé par les champs suivants :
•
•
champ vectoriel des vitesses mésoscopiques : v0 = 0, le fluide étant supposé initialement
au repos ;
champs scalaires de pression et de masse volumique p0 et µ0 .
Pendant le passage de la perturbation acoustique on note :
•
v(M, t) = v0 + u(M, t) le champ vectoriel des vitesses mésoscopiques au point M à
l’instant t ;
•
p(M, t) = p0 + π(M, t) le champ scalaire de pression au point M à l’instant t ;
•
ρ(M, t) = µ0 + µ(M, t) le champ scalaire de masse volumique au point M à l’instant t.
Remarques
•
π(M, t) est appelée surpression acoustique au point M à l’instant t.
•
π(M, t) > 0 si le fluide subit une compression au voisinage du point M.
•
π(M, t) < 0 si le fluide subit une détente au voisinage du point M.
35
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
1.2.
Ordres de grandeur et conséquences
On peut relever dans la littérature les ordres de grandeur suivants pour la surpression acoustique :
•
•
•
seuil d’audition : |π| ≈ 3×10−5 Pa ;
bruit de conversation : |π| ≈ 2×102 Pa ;
seuil de douleur : |π| ≈ 20 Pa.
Ces ordres de grandeur montrent que |π| ≪ p0 puisque p0 est de l’ordre de 105 Pa. Il s’en
suit que |µ| ≪ µ0 ; les variations relatives de masse volumique et de pression étant de même
ordre.
On fera de plus l’hypothèse a priori |u| ≪ c ; c étant la célérité de l’onde acoustique dans le
fluide considéré. Cette hypothèse restera à vérifier a posteriori bien entendu.
1.3.
Hypothèses supplémentaires
L’étude se fera dans le cadre des hypothèses supplémentaires suivantes :
•
•
•
•
le fluide est supposé homogène, électriquement neutre et initialement isotherme 1 ;
il est supposé de plus non visqueux : les forces distribuées surfaciquement se réduisent
alors aux forces de pression dFs = −p ds ;
on néglige les forces distribuées volumiquement ; en particulier la pesanteur. Il en résulte qu’en l’absence de la perturbation acoustique les champs de pression et de masse
volumique sont uniformes p0 = constante et µ0 = constante.
L’existence d’une équation d’état du fluide f (p0 , µ0 , T0 ) impose T0 = constante pour le
champ des températures en tout point du fluide.
la perturbation acoustique est thermodynamiquement assimilable à une transformation
isentropique et caractérisée par un coefficient de compressibilité isentropique χs qui,
pour les considérations évoquées en 1.2. 2 , sera supposé constant.
Cette hypothèse se justifie par le fait que les échanges thermiques sont très lents et les
couches de fluide n’ont pas le temps de s’échanger de la chaleur entre elles au passage
de la perturbation acoustique. En outre la transformation thermodynamique accompagnant le passage de l’onde acoustique peut être considérée réversible à cause de la faible
amplitude de la perturbation.
En résumé, on peut dire que dans le cadre de l’approximation acoustique on est amené à
étudier les petits mouvements d’un fluide parfait compressible subissant des transformations
isentropiques sous l’action des seules forces de pression. Les grandeurs u, π et µ associées
à la perturbation acoustique peuvent être considérées comme des infiniment petits de premier
ordre.
1. Le champ de température initial T0 est uniforme.
2. Mouvements de faible amplitude autour d’un état d’équilibre.
Y. E L A ZHARI
36
CRMEF / AGP-1
2.. MISE EN ÉQUATION
2.
Mise en équation
2.1.
Équations de propagation
Les équations générales du mouvement sont
•
l’équation d’E ULER :
ρ
•
∂v
+ (v · ∇) v = −∇p
∂t
l’équation de continuité :
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0
∂t
•
(2.1)
le coefficient de compressibilité isentropique :
1 ∂ρ
1 ∂V
=
χs = −
V
∂p S
ρ ∂p S
(2.2)
(2.3)
Avec :
•
•
•
v = v0 + u, ||u|| ≪ c ;
p = p0 + π, |π| ≪ p0 ;
ρ = µ0 + µ, |µ| ≪ µ0 .
Linéarisons alors les équations (2.1), (2.2) et (2.3).
•
La linéarisation de l’équation (2.1)
∂u
(µ0 + µ)
+ (u · ∇)u = −∇ (p0 + π)
∂t
(2.4)
donne
∂u ∇π
=0
+
∂t
µ0
•
(2.5)
de même, la linéarisation de l’équation (2.2)
∂(µ0 + µ)
+ ∇ · [(µ0 + µ)u] = 0
∂t
(2.6)
∂µ
+ µ0 ∇ · u = 0
∂t
(2.7)
donne
CRMEF / AGP-1
37
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
•
enfin, la linéarisation de l’équation (2.3) donne successivement
1 ∂ρ
χs =
ρ ∂p S
1 ∆ρ
≈
ρ ∆p
1 µ
=
µ0 + µ π
µ
π
≈
µ0
(2.8)
d’où
(2.9)
µ = µ0 χ s π
2.1.1. Équation de propagation pour la surpression acoustique
La combinaison des équations (2.7) et (2.9) donne
1
∂π
∇·u= 0
+
∂t
χs
(2.10)
en dérivant cette équation par rapport au temps on obtient
∂2π
1
∂u
+
∇·
=0
2
∂t
χs
∂t
(2.11)
soit, d’après l’équation (2.5)
∇2 π −
1 ∂2π
=0
c2 ∂t2
(2.12)
où l’on a posé
1
c= √
µ0 χ s
(2.13)
2.1.2. Équation de propagation pour la masse volumique
µ
, on obtient alors à partir de l’équation de propagation pour π
D’après (2.9) on a π =
µ0 χ s
(équation (2.12))
∇2 µ −
Y. E L A ZHARI
1 ∂2µ
=0
c2 ∂t2
38
(2.14)
CRMEF / AGP-1
2.. MISE EN ÉQUATION
2.1.3. Équation de propagation pour la vitesse acoustique
En dérivant l’équation (2.5) par rapport au temps on obtient
∂2u
1 ∂π
+
∇
=0
2
∂t
µ0 ∂t
(2.15)
or d’après les équations (2.7) et (2.9) on a
1
∂π
= − ∇·u
∂t
χs
(2.16)
∂ 2u
1
−
∇(∇ · u) = 0
∂t2
µ0 χ s
(2.17)
donc
À ce stade de la démonstration montrons qu’on peut décrire la propagation de l’onde acoustique
à l’aide d’un écoulement potentiel. Pour cela, calculons le rotationnel de u à partir de l’équation
(2.5). En effet
∇×
1
∂u
= − ∇ × ∇π
∂t
µ0
(2.18)
∂u
=0
∂t
(2.19)
∂
∇×u=0
∂t
(2.20)
donne
∇×
ce que l’on peut écrire sous la forme
l’intégration par rapport au temps t donne alors
∇ × u = F(M)
(2.21)
La fonction vectorielle F ne dépend que des coordonnées d’espace du point M mais ne dépend
pas du temps ; elle ne peut donc décrire un phénomène de propagation. Ainsi, dans la description
de la propagation de l’onde acoustique on peut prendre cette fonction identiquement nulle, et
alors
∇×u=0
(2.22)
Remarque
Dans la mesure où la fonction F est indépendante du temps, on peut aussi la calculer en
l’absence de la perturbation acoustique ; on a alors
F = ∇ × u0 = 0
CRMEF / AGP-1
39
(2.23)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
En calculant ∇ × (∇ × u) on obtient
∇ × (∇ × u) = ∇(∇ · u) − ∇2 u = 0
(2.24)
∇(∇ · u) = ∇2 u
(2.25)
d’où l’on déduit que
L’équation de propagation de u devient alors
∇2 u −
1 ∂2u
=0
c2 ∂t2
(2.26)
En définitif les grandeurs acoustiques π, µ et u sont solutions d’une équation d’onde de D’A LEM BERT
1 ∂2π
=0
c2 ∂t2
1 ∂ 2µ
∇2 µ − 2 2 = 0
c ∂t
1 ∂ 2u
∇2 u − 2 2 = 0
c ∂t
∇2 π −
(2.27)
(2.28)
(2.29)
1
où c = √
est la célérité des ondes acoustiques dans le fluide considéré.
µ0 χ s
Attention : on veillera à ne pas confondre la célérité c de l’onde et la vitesse acoustique u !
2.2.
Célérité des ondes acoustiques dans les fluides
La célérité des ondes acoustiques dans un fluide est donnée par
1
c= √
µ0 χ s
(2.30)
Rappelons que cette expressions est valable dans le cadre des hypothèses de l’approximation
acoustique telles qu’elles ont été présentées en 1.
2.2.1. Cas des gaz supposés parfaits
Au cours d’une transformation isentropique d’un gaz parfait, la relation de L APLACE p V γ =
constante donne l’équation représentative de la transformation dans le diagramme de C LAPEYRON . Ainsi, lors du passage de l’onde acoustique, les variations dp de pression et dV de volume
sont reliées par
V γ dp + γ p V γ−1 dV = 0
(2.31)
On en déduit alors
χs = −
Y. E L A ZHARI
1
V
∂V
∂p
=+
S
40
1
1
≈
γp
γp0
(2.32)
CRMEF / AGP-1
3.. ASPECT ÉNERGÉTIQUE
où γ = cp /cv est le rapport des capacités calorifiques à pression constante et à volume constant.
D’autre part, pour un gaz parfait
µ0 =
M p0
M dn
dm
=
=
dV
dn RT /p0
RT
(2.33)
D’où
c=
r
γRT
M
(2.34)
Cette relation est valable dans le domaine de validité de l’approximation de gaz parfait : p0 de
l’ordre de quelques bar. La mesure de c peut être utilisée pour déterminer γ.
Numériquement, pour l’air (γ ≈ 1, 44)
•
•
à 273 K : c ≈ 336 m.s−1
à 293 K : c ≈ 348 m.s−1
2.2.2. Cas des liquides
En général, les masses volumiques des liquides sont environ 103 fois plus grandes que celles
des gaz, mais les liquides ont des coefficients de compressibilité environ 104 fois plus faibles
que ceux des gaz. Il en résulte que la célérité des ondes acoustiques est plus grande dans les
liquides que dans les gaz.
Par exemple, pour l’eau et dans les conditions normales de température et de pression χ ≈
5×1010 Pa−1 et µ0 ≈ 103 kg.m−3 ce qui donne c ≈ 1414 m.s−1 .
3.
Aspect énergétique
3.1.
Densité volumique d’énergie acoustique
Considérons un volume de contrôle V dans un fluide siège de la propagation d’une onde
acoustique. Le volume V est supposé indéformable et fixe par rapport au référentiel d’étude R.
Il est limité par une surface fictive Σ fermée et orientée de l’intérieur vers l’extérieur.
dS
V
Σ
F IGURE 2.1 – Volume de contrôle à l’intérieur du fluide.
CRMEF / AGP-1
41
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
La propagation de l’onde acoustique est régie par les équations suivantes
∂u ∇π
=0
+
∂t
µ0
∂µ
+ µ0 ∇ · u = 0
∂t
1
∂π
∇·u= 0
+
∂t
χs
(2.35)
(2.36)
(2.37)
La dernière équation étant une combinaison des équations (2.7) et (2.9). L’énergie cinétique du
fluide contenu dans le volume V est définie par
ZZZ
R K(t) = 1 ρ(M, t)v2 (M, t) dτ (M)
(2.38)
2
V
Soit, au plus bas ordre non nul
ZZZ
R K(t) =
1
µ0 u2 (M, t)d τ (M)
2
(2.39)
V
Dérivons par rapport au temps
ZZZ
∂u(M, t)
dR
dτ (M)
K(t) =
µ0 u(M, t) ·
dt
∂t
(2.40)
∂u
1
= − ∇π
∂t
µ0
(2.41)
ZZZ
dR
K(t) = − u(M, t) · ∇π(M, t) dτ (M)
dt
(2.42)
∇ · (πu) = π∇ · u + u · ∇π
(2.43)
−u · ∇π = −∇ · (πu) + π∇ · u
(2.44)
ZZZ
ZZZ
dR
∇ · (πu) dτ
K(t) =
π∇ · u dτ −
dt
(2.45)
V
Or, d’après (2.5) on a
donc
V
Or
donc
ainsi
Y. E L A ZHARI
V
42
V
CRMEF / AGP-1
3.. ASPECT ÉNERGÉTIQUE
D’autre part, d’après (2.10) on a
∇ · u = −χs
∂π
∂t
(2.46)
donc
ZZ
ZZZ
ZZZ
d
d
1
1
µ0 u2 dτ +
χs π 2 dτ = − ⊂⊃ πu · dS
dt V 2
dt V 2
(2.47)
Σ
d’où l’équation bilan
ZZZ d
1
1
2
2
dτ
µ0 u + χ s π
dt V 2
2
Variation temporelle de l’énergie
acoustique du fluide contenu dans
le volume V
=
ZZ
− ⊂⊃ πu · dS
(2.48)
Σ
Puissance acoustique
rayonnée à travers Σ
On peut définir une densité volumique d’énergie acoustique par
e(M, t) =
•
•
1
1
µ0 u2 (M, t) + χs π 2 (M, t)
2
2
(2.49)
1
µ0 u2 représente la densité volumique d’énergie cinétique acoustique ;
2
1
χs π 2 représente la densité volumique d’énergie potentielle acoustique.
2
3.2.
Équation locale de conservation de l’énergie acoustique
L’équation bilan ci-dessus peut s’écrire sous la forme
ZZZ ∂e
+ ∇ · (πu) dτ = 0
V ∂t
(2.50)
Cette relation étant valable quel que soit le volume de contrôle V, on en déduit l’équation locale
de conservation de l’énergie acoustique
∂e(M, t)
+ ∇M · [π(M, t)u(M, t)] = 0
∂t
3.3.
(2.51)
Intensité sonore – Niveau sonore
Les sons sont les ondes acoustiques audibles par l’oreille humaine (cf. 4.1.2.).
CRMEF / AGP-1
43
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
3.3.1. Intensité sonore
Par définition, on appelle intensité sonore la grandeur
I=
hPi
S
(2.52)
où hPi est la valeur moyenne de la puissance acoustique rayonnée à travers la surface S donnée
par
ZZ
πu · dS
(2.53)
P=
S
Dans le S.I., I s’exprime en W.m−2 .
dS
S
F IGURE 2.2 – Onde acoustique rayonnée à travers la surface S.
3.3.2. Niveau sonore
Le niveau sonore N est défini, en décibel (dB), par
N = 10 log
I
I0
(2.54)
avec
•
•
I est l’intensité sonore en W.m−2 ;
I0 = 10−12 W.m−2 est l’intensité sonore de référence, c’est l’intensité minimale détectable par l’oreille humaine normale à une fréquence de 1 kHz (ou limite de sensibilité de
l’oreille humaine à 1 kHz).
Ordres de grandeur
•
Campagne très calme la nuit : 20 dB ;
•
Bruit de conversation : 50 dB ;
•
Usuellement : 60 dB ;
•
Rue passante : 80 dB ;
•
Seuil de douleur : 120 dB.
Y. E L A ZHARI
44
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
4.
Propagation d’ondes acoustiques
On se limite, dans toute la suite, à la description de la propagation unidimensionnelle des
ondes acoustiques dans un tuyau sonore (ondes planes). Les équations décrivant la propagation
dans un tel cas sont :
∂u
1 ∂π
+
=0
∂t
µ0 ∂x
1 ∂u
∂π
+
=0
∂t
χs ∂x
µ = µ0 χ s π
(2.55)
(2.56)
(2.57)
Les équations de propagation s’en déduisent et peuvent être écrites sous la forme
∂2u
1 ∂2u
− 2 2 =0
2
∂x
c ∂t
1 ∂2π
∂2π
−
=0
∂x2
c2 ∂t2
1 ∂2µ
∂2µ
− 2 2 =0
2
∂x
c ∂t
4.1.
(2.58)
(2.59)
(2.60)
Tuyau sonore à un seul fluide
4.1.1. Forme générale des solutions des équations de propagation
4.1.1.1.
Vitesse acoustique
La vitesse acoustique u obéit à une équation de D’A LEMBERT à une dimension dont la
solution générale s’écrit
x
x
+ f(−) t +
(2.61)
u(x, t) = f(+) t −
c
c
où
•
•
f(+) t − xc désigne une onde plane progressive se propageant à la célérité c dans le sens
des x croissants ;
f(−) t + xc désigne une onde plane progressive se propageant à la célérité c dans le sens
des x décroissants.
4.1.1.2.
Surpression acoustique
Pour déterminer π(x, t), utilisons l’équation (2.59) sachant que d’après l’équation (2.61)
donc
CRMEF / AGP-1
∂u
x 1 ′ x
1 ′ t−
+ f(−) t +
= − f(+)
∂x
c
c
c
c
(2.62)
x
x i
∂π
1 h ′ ′
t+
f(+) t −
− f(−)
=
∂t
χs c
c
c
(2.63)
45
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
En intégrant cette équation par rapport à la variable t et en tenant compte de la relation χs µ0 c2 =
1 (équation (2.30)), on obtient
h
x
x i
π(x, t) = µ0 c f(+) t −
− f(−) t +
+ g(x)
(2.64)
c
c
g est une fonction de la variable spatiale x, elle est indépendante du temps et ne peut donc
décrire un phénomène ondulatoire. Dans toute la suite on la prendra identiquement nulle g = 0.
On a alors
h
x
x i
π(x, t) = µ0 c f(+) t −
− f(−) t +
(2.65)
c
c
On en déduit aussi, d’après l’équation (2.57)
µ0 h
x
x i
µ(x, t) =
f(+) t −
− f(−) t +
c
c
c
(2.66)
Finalement, dans le cas d’une onde acoustique plane, les grandeurs acoustiques u, π et µ sont
données par
x
x
+ f(−) t +
(2.67)
u(x, t) = f(+) t −
c
c
h
x
x i
π(x, t) = µ0 c f(+) t −
− f(−) t +
(2.68)
c
ci
h
x
x
µ0
f(+) t −
− f(−) t +
(2.69)
µ(x, t) =
c
c
c
Remarques
1) Justification de l’hypothèse |u| ≪ c
Dans le cas d’une OAPP, la vitesse acoustique et la variation de masse volumique vérifient,
pour l’onde se propageant dans le sens des x croissants
x
µ0
x
u(x, t) = f(+) t −
et
µ(x, t) =
(2.70)
f(+) t −
c
c
c
on en déduit que
u
µ
=
c
µ0
ainsi on peut affirmer que |u| ≪ c puisque |µ| ≪ µ0 .
2) Polarisation de l’onde acoustique plane
Considérons une OAPP décrite par le champ des vitesses acoustiques
x
x
u(M, t) = u t −
= u(p)
où
p= t−
c
c
(2.71)
(2.72)
Le champ des vitesses acoustiques étant irrotationel (cf. 2.1.3.), on a
∇M × u(M, t) = 0
Y. E L A ZHARI
46
(2.73)
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
avec, en coordonnées cartésiennes
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∇M
≡−
xd
c dp
(2.74)
x est le vecteur directeur de Ox (kxk = 1). L’équation (2.73) devient alors
d
×u=0
dp
(2.75)
d
(x × u) = 0
dp
(2.76)
x × u = constante = 0
(2.77)
x
soit
d’où
La constante est prise nulle car on s’intéresse à des solutions vibratoires. Il en résulte que u
est parallèle à x, c’est-à-dire que l’OAPP est polarisée longitudinalement.
4.1.2. Ondes acoustiques planes progressives monochromatiques
Dans le cas d’une onde acoustique plane progressive et monochromatique (OAPPM), la
vitesse acoustique s’écrit
u(x, t) = u0 cos(k x − ω t + ϕ0 )
(2.78)
En remplaçant ces expressions dans l’équation de propagation de u on obtient la relation de
dispersion que doivent vérifier k et ω
k=
ω
x
c
(2.79)
En utilisant les résultats établis en 4.1.1. on obtient
π(x, t) = µ0 c u0 cos(k x − ω t + ϕ0 )
(2.80)
u0
µ0 cos(k x − ω t + ϕ0 )
c
(2.81)
et
µ(x, t) =
On peut remarquer que, dans le cas d’une OAPPM se propageant dans le sens des x croissants,
les grandeurs acoustiques u, π et µ vibrent en phase.
Remarque : les sons
CRMEF / AGP-1
47
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
Infrasons
Sons
Ultrasons
15
ν(Hz)
20 k
F IGURE 2.3 – Spectre des ondes acoustiques.
Les sons sont des ondes acoustiques audibles par l’oreille humaine. Pour une oreille normale
le domaine des fréquences audibles s’étend environ de 15 Hz à 20 kHz.
Les sons musicaux sont des fonctions périodiques du temps pendant un nombre de périodes
suffisamment élevé pour qu’ils puissent être développés en série de F OURIER.
Les bruits de conversation sont par contre non périodiques, la détermination de leur spectre
nécessite une décomposition en intégrale de F OURIER.
La voix humaine est composée de voyelles et de consonnes ; si à chaque voyelle on peut
associer une fréquence, une consonne peut être décrite par un transitoire assimilable à un bruit.
La fréquence des sons musicaux caractérise leur hauteur. Les notes de musiques ont chacune une fréquence. La composition spectrale en harmoniques définit le timbre du son. Un son
musical sinusoïdal est appelé son pur.
Les musiciens classent les fréquences en octaves : chaque octave contient les notes allant d’une fréquence à la fréquence double. La note de référence est le la3 (de l’octave n◦ 3)
dont la fréquence est conventionnellement de 440 Hz. Dans la gamme tempérée ou gamme de
BACH utilisée en général de nos jours, l’octave 3 contient les fréquences allant de 261, 63 Hz
(do3 ) à 523, 26 Hz (do4 ). Pour simplifier les calculs on arrondit souvent à des puissances de
2, soit 256 Hz pour de do3 . On mesure les écarts de hauteur en savart. La différence de hauteur en savarts entre deux notes de fréquences ν1 et ν2 est 1000 log νν21 . Ainsi une octave vaut
1000 log 2 = 301, 0 savarts. L’octave est divisée en 12 demi-tons égaux de 301/12 = 25, 1 savarts. L’écart entre le do inférieur et le la de la même octave vaut 9 demi-tons, soit environ 226
savarts. Un violoniste ayant une très bonne « oreille musicale » peut accorder son instrument à
0, 5 savarts près, soit 10−3 en écart relatif de fréquence.
L’organe sensible de l’oreille humaine est le tympan en contact avec le milieu extérieur.
C’est une membrane élastique qui peut être mise en vibration sous l’effet de la surpression
acoustique.
Pour une fréquence de 1 kHz, l’intensité sonore minimale détectable par une oreille humaine standard est I0 = 10−12 W.m−2 . On peut se poser la question suivante : à quelle
amplitude de vibration du tympan ceci correspond-il ?
Pour répondre à cette question considérons une OAPPM et notons ξ = a cos ω t l’élongation
de vibration du tympan par rapport à sa position d’équilibre.
Au niveau du tympan on peut écrire u = ξ˙ = −a ω sin ω t et alors π = µ0 c u =
−µ0 c a ω sin ω t ; d’où l’expression de l’intensité sonore I reçue par le tympan de surface S :
I=
1
hπ u Si
= µ0 c a 2 ω
S
2
d’où l’on déduit l’amplitude de vibration du tympan :
s
2I
a=
µ0 c ω 2
Y. E L A ZHARI
48
(2.82)
(2.83)
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
Numériquement, pour l’air à 25 ◦ C, µ0 ≈ 1, 2 kg.m−3 et c ≈ 340 m.s−1 . Pour une onde
de fréquence ν = 1 kHz, l’intensité minimale détectable vaut I0 = 10−12 W.m−2 ce qui
correspond à une amplitude a ≈ 11 pm ! Faisons quelques comparaisons :
e
• a0 ≈ 11 pm correspond au 1/100 du diamètre d’une molécule !
−8
−1
• u0 = a0 ω ≈ 7×10
m.s est de l’ordre de 10−10 fois la vitesse d’agitation thermique
−1
(≈ 460 m.s ) ;
−5
• π0 = µ0 c u0 ≈ 3 × 10
Pa représente 3 × 10−10 fois la pression atmosphérique
5
(≈ 10 Pa).
Pour un son très intense, I ≈ 1010 ; I0 , les grandeurs ci-dessus sont multipliées par 105 : elles
restent tout de même très petites.
On peut donc conclure que l’oreille humaine est un détecteur d’ondes sonores très sensible.
Ceci est dû, en partie, au fait que sous l’effet de l’onde acoustique, le tympan (≈ 1 cm2 de
surface) entre en résonance avec certaines parties de l’oreille moyenne ; l’amplitude des mouvements du tympan atteint environ 100 fois celle calculée ci-dessus en négligeant ce phénomène
de résonance.
4.1.3. Ondes acoustiques planes stationnaires
Dans le cas d’une onde acoustique plane stationnaire (OAPS), la vitesse acoustique peut
s’écrire, en notation réelle, suite à un choix judicieux des origines
u(x, t) = u0 cos k x cos ω t
(2.84)
Pour déterminer π(x, t) et µ(x, t), écrivons u(x, t) sous la forme d’une superposition d’OAPP
u0
u0
cos(k x − ω t) +
cos(k x + ω t)
(2.85)
u(x, t) =
2
2
on peut utiliser les résultats de 4.1.1. pour écrire
µ0 c u 0
µ0 c u 0
π(x, t) =
cos(k x − ω t) −
cos(k x + ω t)
2
2
= µ0 c u0 sin k x sin ω t
(2.86)
et
µ0 u 0
µ0 u 0
cos(k x − ω t) −
cos(k x + ω t)
2c
2c
u0
= µ0 sin k x sin ω t
(2.87)
c
La figure 2.4 trace les variations, à différents instants, de la vitesse acoustique u(x, t) et de
la surpression acoustique π(x, t) à l’intérieur d’un tuyau sonore siège d’une onde acoustique
plane stationnaire.
Les équations (2.84) et (2.86) et la figure 2.4 montrent que :
• en tout point d’abscisse x du tuyau sonore, la surpression acoustique π est en quadrature
retard par rapport à la vitesse acoustique u ;
• les ventres de surpression coïncident avec les nœuds de vitesse et vice versa ;
• la mesure de la distance séparant deux ventres (ou deux nœuds) successifs permet de
déterminer la longueur d’onde λ = c/ν d’où l’on peut déduire la célérité c après mesure
de λ connaissant la fréquence ν.
µ(x, t)
CRMEF / AGP-1
=
49
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
u(x, t)
x
π(x, t)
x
F IGURE 2.4 – Vitesse et surpression acoustiques d’une onde stationnaire dans un tuyau sonore
à différents instants.
4.2.
Transmission et réflexion sur une discontinuité
4.2.1. Position du problème
Quand une onde acoustique plane progressive atteint la surface de séparation de deux
fluides 3 , elle donne naissance à une onde réfléchie dans le premier milieu et une onde transmise
dans le second 4 .
Considérons le cas d’un tuyau sonore contenant deux fluides non miscibles séparés par une
surface plane perpendiculaire, en x = 0, à la direction de propagation de l’OAPP provenant du
fluide 1.
µ01 , c1
µ02 , c2
O
Fluide 1
Fluide 2
x
F IGURE 2.5 – Tuyau sonore à deux fluides.
On peut écrire les différentes ondes intervenant dans ce cas sous la forme
3. Par exemple un liquide et un gaz ou deux liquides non miscibles.
4. En réalité ces résultats peuvent être facilement généralisés aux cas des interfaces solide – fluide et solide – solide.
Y. E L A ZHARI
50
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
Onde incidente
x
f(+) t −
c1
x
µ01 c1 f(+) t −
c1
ui (x, t) =
πi (x, t) =
(2.88)
(2.89)
Onde réfléchie
ur (x, t)
=
πi (x, t)
=
x
f(−) t +
c1
x
−µ01 c1 f(−) t +
c1
(2.90)
(2.91)
Onde transmise
ut (x, t)
πt (x, t)
x
= g(+) t −
c2
x
= µ02 c2 g(+) t −
c2
(2.92)
(2.93)
4.2.2. Conditions de continuité
Exprimons alors la continuité de la vitesse et de la surpression acoustique à l’interface x = 0
(cf. annexe, page ??)
•
f(+) (t) + f(−) (t) = g(+) (t) ;
•
µ01 c1 f(+) (t) − µ01 c1 f(−) (t) = µ02 g(+) (t).
On en déduit
f(−)
=
g(+)
=
µ01 c1 − µ02 c2
f(+)
µ01 c1 + µ02 c2
2 µ01 c1
f(+)
µ01 c1 + µ02 c2
(2.94)
(2.95)
4.2.3. Coefficients de réflexion et de transmission
On peut alors exprimer les coefficients de réflexion et de transmission respectivement pour
la vitesse acoustique, la surpression acoustique et l’énergie acoustique.
Pour la vitesse acoustique
CRMEF / AGP-1
51
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
•
coefficient de réflexion :
ru =
•
f(−)
µ01 c1 − µ02 c2
ur
=
⇒ ru =
ui
f(+)
µ01 c1 + µ02 c2
(2.96)
coefficient de transmission :
tu =
g(+)
ut
2 µ01 c1
=
⇒ tu =
ui
f(+)
µ01 c1 + µ02 c2
(2.97)
Pour la surpression acoustique
•
coefficient de réflexion :
rπ =
•
−µ01 c1 f(−)
πr
=
⇒ rπ = −ru
πi
µ01 c1 f(+)
(2.98)
coefficient de transmission :
tπ =
µ02 c2 g(+)
πt
2 µ02 c2
=
⇒ tπ =
πi
µ01 c1 f(+)
µ01 c1 + µ02 c2
(2.99)
Pour l’énergie acoustique
D
E
2
Intensité sonore incidente : Ii = µ01 c1 f(+)
(t)
D
E
2
(t)
Intensité sonore réfléchie : Ir = µ01 c1 f(−)
D
E
2
(t)
Intensité sonore transmise : It = µ02 c2 g(+)
•
coefficient de réflexion :
R=
•
Ir
⇒ R=
Ii
µ01 c1 − µ02 c2
µ01 c1 + µ02 c2
2
(2.100)
coefficient de transmission :
T =
It
4 µ01 c1 µ02 c2
⇒ T =
Ii
(µ01 c1 + µ02 c2 )2
(2.101)
On peut remarquer que R + T = 1. Ceci traduit la conservation de l’énergie acoustique en
l’absence de l’absorption. Dans l’air les sons sont très peu absorbés (facteur géométrique en
1/r2 ) alors que les ultrasons sont très absorbés.
Application
Considérons l’interface gaz(milieu 1) / liquide (milieu 2). Dans ce cas µ01 c1 ≪ µ02 c2 , ce
qui donne
T ≈4
µ01 c1
µ02 c2
et
R≈1
(2.102)
Si on considère par exemple l’interface 1 : air / 2 : eau à 20◦ C
Y. E L A ZHARI
52
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
— pour l’air : µ01 = 1, 2 kg.m−3 et c1 = 340 m.s−1 ;
— pour l’eau : µ02 = 103 kg.m−3 et c2 = 1400 m.s−1 .
Alors :
T ≈ 1, 2×10−3
et
R≈1
(2.103)
Presque toute l’énergie sonore est réfléchie ; le milieu sous-marin est ainsi isolé des bruits de la
surface : « monde du silence ».
CRMEF / AGP-1
53
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
Exercices du chapitre 2
Ex. 2.1 — Un tuyau cylindrique, de section constante S0 , et dont l’axe est confondu avec l’axe
x′ Ox, contient un fluide en équilibre ; la pression du fluide est alors p0 , sa masse volumique µ0 .
On étudie les mouvements de faible amplitude du fluide le long de l’axe x′ Ox. Pour cela, on
considère une tranche de fluide de masse dm constante.
–Au repos, cette tranche de fluide est comprise entre les abscisses x et x + dx ; le volume
occupé par la tranche de fluide est alors dV ;
–À l’instant t, cette tranche de fluide est comprise entre les abscisses x + u(x, t) et x +
dx + u(x + dx, t) ; on supposera les conditions u ≪ x et ∂u/∂x ≪ 1 toujours remplies.
1. On appelle δ la dilatation du fluide, c’est-à-dire la variation relative de volume de la
tranche de fluide entre les instants 0 et t, soit :
δ=
2.
3.
4.
5.
variation du volume dV entre les instants 0 et t
dV
Exprimer δ en fonction de ∂u/∂x.
Les mouvements du fluide étant assez rapides, les échanges de chaleur n’ont pas le
temps de se produire. Les mouvements étant de très faible amplitude, on peut considérer
qu’ils sont réversibles. On appelle χs le coefficient de compressibilité isentropique du
fluide. On suppose que χs reste constant pour les transformations du fluide envisagées.
Aux variations de volume correspondent des variations de pression. On appelle p(x, t)
la pression du fluide au point d’abscisse x, à l’instant t et π(x, t) = p(x, t) − p0 la
surpression correspondante au même point. Quelle relation lie π, χs et δ ?
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de fluide, déduire
une relation entre la surpression π(x, t), la masse volumique µ0 , l’élongation u(x, t) ou
leurs dérivées partielles. On négligera les effets de pesanteur. Les mouvements étant de
faible amplitude, la surpression π(x, t), l’élongation u(x, t) et leurs dérivées partielles
pourront être considérées comme des infiniment petits du premier ordre ; on négligera
naturellement tous les infiniment petits d’ordre supérieur ou égal à deux.
1 ∂2u
∂2u
= 2
. CalEn déduire l’équation de propagation pour l’élongation u(x, t) :
2
∂x
c ∂t2
culer c en fonction de χs et µ0 . Déterminer l’unité de la grandeur c. Que représente c ?
Montrer que la vitesse acoustique v(x, t) = ∂u/∂t et la surpression π(x, t) vérifient
la même équation. Donner sans démonstration la forme des solutions de cette équation
aux dérivées partielles.
Calculer la vitesse du son dans un gaz parfait. Faire l’application numérique pour l’air
à 20 ◦ C pour lequel on donne la masse molaire M ≈ 29 g.mol−1 et la rapport des
capacités calorifiques γ = 1, 4.
Ex. 2.2 — On considère un tuyau sonore horizontal, de section constante S0 , d’axe confondu
avec x′ Ox contenant un fluide de masse volumique au repos µ0 et de coefficient de compressibilité isentropique χs (cf. exercice 1).
Y. E L A ZHARI
54
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
1. On considère une première onde acoustique, plane, sinusoïdale de pulsation ω, se propageant dans le sens des x croissants, définie, en notation complexe, par l’élongation :
u1 (x, t) = a1 exp i(k x − ω t) où a1 est une constante complexe. Quelle est la relation entre le module k du vecteur d’onde et la pulsation ω ? Déterminer, en notation
complexe, la surpression π 1 (x, t) et la vitesse v 1 (x, t) en fonction de u1 (x, t) et des
constantes k, ω et χs . On appelle résistance acoustique R le rapport entre la surpression
acoustique π 1 (x, t) et le débit S0 v 1 (x, t). Justifier le nom de résistance donné à R en
faisant l’analogie avec la résistance électrique. Calculer R et vérifier qu’il s’agit d’une
caractéristique du tuyau.
2. On considère une seconde onde acoustique, plane, sinusoïdale de pulsation ω se propageant dans le sens des x décroissants, définie, en notation complexe, par l’élongation :
u2 (x, t) = a2 exp −i(k x + ω t) où a2 est une constante complexe. Déterminer, en notation complexe, la surpression π 2 (x, t) et la vitesse v 2 (x, t) en fonction de u1 (x, t), k,
ω et χs . Comparer le rapport π 2 /S0 v 2 à R.
3. On considère la superposition des deux ondes précédentes : u(x, t) = a1 exp i(k x −
ω t) + a2 exp −i(k x + ω t). En déduire la surpression résultante π(x, t) et la vitesse
résultante v(x, t) en fonction de u1 , u2 (x, t) et des constantes k, ω et χs . On appelle
impédance acoustique complexe en x le rapport Z(x) = π(x, t)/S0 v(x, t). Calculer Z
en fonction de R, a1 , a2 , k et x.
4. Le tuyau est fermé à l’abscisse x = d par une membrane élastique (d’un microphone
par exemple). On suppose que la membrane reste plane et peut se déplacer parallèlement à elle-même. On appelle y le déplacement algébrique de la membrane par rapport
à sa position d’équilibre. On schématise la membrane par un piston de masse m, glissant sans frottement sur les parois du tuyau, et sur lequel agissent, en plus des forces
de pression, une force de rappel −γy et une force d’amortissement fluide −f dy/dt.
On pose γ = mΩ2 . On suppose que la pression à droite reste constante et égale à la
pression d’équilibre p0 . On admettra que les variations de la surpression et de la vitesse
acoustiques sont négligeables sur la distance y dont se déplace la membrane. Sachant
qu’à l’intérieur du tuyau se propage l’onde définie à la question 2.3., déterminer, en régime permanent, l’élongation complexe y(t) = y0 exp −i(ω t + φ) de la membrane en
fonction de π(d, t), S0 , m, Ω, f et ω ; y0 étant une constante réelle positive. En utilisant
les conditions de continuité de la vitesse acoustique v(d, t) sur la surface de la membrane, calculer l’impédance acoustique complexe Z d à l’extrémité x = d du tuyau en
fonction de m, Ω, f , S0 et ω.
5. Déduire l’impédance acoustique complexe Z 0 à l’entrée du tuyau (x = 0) en fonction
de R, ω, k et d.
6. L’onde acoustique est produite par une membrane élastique (d’un haut parleur électrodynamique par exemple), qu’on supposera identique à la précédente et placée à
l’entrée du tuyau à l’abscisse x = 0. En plus des forces indiquées précédemment,
cette membrane est soumise à une force sinusoïdale donnée en notation complexe par
F = F0 exp iω t. On appelle z le déplacement algébrique de la membrane par rapport à
sa position d’équilibre (|z| ≪ d). Déterminer, en régime permanent, l’élongation complexe z = z0 exp i(ω t + ψ) en fonction de F0 , ω, Z 0 et Z d ; F0 et z0 désignant des
constantes réelles positives.
CRMEF / AGP-1
55
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
7. On cherche à établir dans le tuyau, une onde sinusoïdale, progressive dans le sens des x
croissants. Ceci n’est possible qu’à certaines conditions, lesquelles ? Déterminer, dans
ce cas, les amplitudes y0 et z0 des déplacements des membranes en fonction de F0 , S0 ,
R, k, d et ω. Déterminer également les phases φ et ψ.
8. Reprendre la question précédente en supposant que l’on cherche à établir dans le tuyau
une onde plane, sinusoïdale, stationnaire de la forme u(x, t) = a cos k x exp iω t.
Ex. 2.3 — On considère la propagation d’ondes acoustiques planes dans la direction Ox, dans
un pavillon de révolution, d’axe Ox, de section circulaire variable S(x).
1. En considérant une tranche de fluide, de masse dm constante comprise entre les abscisses x et x + dx au repos, reprendre les calculs de l’exercice 1 en utilisant les mêmes
notations. En déduire, moyennant quelques approximations, que l’élongation u(x, t)
vérifie l’équation de propagation :
∂
1 ∂2u
1 ∂(Su)
= 2
∂x S ∂x
c ∂t2
2. On considère un pavillon particulier pour lequel la loi S = S(x) est une loi exponentielle : S(x) = S0 exp m x (S0 et m désignant deux constantes réelles positives).
Comment s’écrit dans ce cas l’équation de propagation ?
3. On cherche si une onde plane, sinusoïdale, progressive dans le sens des x croissants,
définie en notation complexe par u(x, t) = A exp i(k x − ω t) peut se propager dans ce
pavillon. Déterminer et caractériser brièvement chaque type de solution de l’équation
de propagation. Montrer qu’il existe une pulsation ωc au dessous de laquelle aucune
propagation n’est possible. Calculer ωc en fonction de c et m. Dans le cas où il y a
effectivement propagation, calculer la vitesse de phase vφ de l’onde acoustique en fonction de c, ω et ωc .
4. A.N. : Calculer la section maximale SM qu’il faut donner au pavillon exponentiel pour
que celui-ci transmette les fréquences audibles supérieures à νc = 1 kHz. On donne :
section minimale du pavillon S0 = 2 cm2 , épaisseur du pavillon x0 = 5 cm, c =
343 m.s−1 . Quel est l’intérêt d’un tel pavillon ?
Ex. 2.4 — On considère un tuyau sonore de section constante S rempli d’un milieu d’impédance itérative µc, d’axe Ox. Par suite des forces de viscosité, il apparaît des forces de viscosité
dans la direction Ox de la forme Fx = aS∂u/∂x où u est la vitesse acoustique, avec a = 4η/3,
η étant le coefficient de viscosité.
1. Établir l’équation de propagation pour la vitesse acoustique.
2. Résoudre cette équation pour une onde harmonique u(x, t) = f (x) exp −i ω t.
3. Calculer la constante d’atténuation que l’on définira. Faire l’application numérique pour
l’air et l’eau à 10 kHz et 800 kHz. On donne : ηair = 1, 7 × 10−5 u.S.I. et ηeau =
1×10−3 u.S.I.
Ex. 2.5 — Un tuyau cylindrique de section S est fermé à une extrémité par une paroi rigide
perpendiculaire à ses génératrices. Cette paroi est percée d’un trou de surface S ′ . À l’extérieur
Y. E L A ZHARI
56
CRMEF / AGP-1
4.. PROPAGATION D’ONDES ACOUSTIQUES
du premier tuyau un second tuyau cylindrique de section S ′ se raccorde sur le trou, ses génératrices étant parallèles au premier. Les deux tuyaux contiennent le même gaz. On admet que,
au voisinage du raccordement, les ondes deviennent rapidement planes dans les deux tuyaux.
On envoie une onde progressive de vitesse ui = f (t − x/c) dans le premier tuyau (x = 0
au raccordement). Déterminer les ondes réfléchie dans le premier tuyau et transmise dans le
deuxième. Quels sont les facteurs de réflexion r et de transmission t correspondant à la vitesse
acoustique ? Même question pour une onde incidente arrivant dans le deuxième tuyau.
Ex. 2.6 — On considère une onde acoustique plane progressive se propageant dans un fluide
supposé parfait. Exprimer la variation locale de température T ′ due au passage de l’onde acoustique en fonction de la vitesse acoustique u, de la température initiale T0 du fluide, de la célérité
c, de la capacité calorifique
massique à pression constante cp et du coefficient de dilatation
1 ∂µ
.
isobare α = −
µ ∂T
Ex. 2.7 — Une sphère pulsante de centre fixe O dont le rayon a(t) = a0 + a1 cos(ω t) varie
sinusoïdalement avec une amplitude a1 ≪ a0 ≪ λ, émet des ondes sonores dans tout l’espace
extérieur à la sphère, rempli d’air de masse volumique µ0 où la célérité des ondes sonores vaut
c. Compte tenu de la symétrie du problème, on cherche en coordonnées sphériques de centre O
des champs de la forme p1 (M, t) = p1 (r, t) et v1 = v1 (r, t) ur .
1. Déterminer la forme générale des solutions p1 (r, t) de l’équation de D’A LEMBERT et
1
interpréter. Justifier que l’on doit prendre p1 (r, t) = f (r − c t).
r
A
cos(k r − ω t − ϕ). Exprimer k puis
2. On cherche une solution de la forme p1 =
r
déterminer le champs des vitesses correspondant. Commenter la structure de l’onde
pour r ≫ λ.
3. Simplifier l’expression du champ des vitesses pour r ≪ λ et déterminer A et ϕ en
exploitant la condition aux limites sur la sphère.
4. Exprimer la puissance moyenne rayonnée à travers une sphère de centre O et de rayon
r ≫ λ.
5. Exprimer l’impédance acoustique complexe Z R = p1 /v 1 au niveau de la membrane et
la comparer à l’impédance des ondes acoustique planes progressives. En déduire pourquoi on peut considérer que l’on a un nœud de pression à l’extrémité d’un tuyau ouvert
sur une atmosphère, dont la section a pour dimension typique a0 ≪ λ.
Ex. 2.8 — On considère un tuyau sonore de section constante S et d’axe Ox s’étendant entre
les abscisses x = 0 et x = ∞. Ce tuyau est rempli d’air de masse volumique µ0 où la célérité
du son vaut c. Il est fermé par un piston de masse m mobile sans frottement : à l’instant t = 0,
on lance le piston initialement en x = 0 vers la droite avec une vitesse u0 et on constate qu’il
s’arrête après avoir parcouru une distance finie qu’on supposera faible devant toute distance
caractéristique du problème, de telle sorte que l’abscisse du piston reste approximativement
nulle. À un instant quelconque, on note u(t) la vitesse du piston. À droite, le mouvement du
piston engendre une onde sonore décrite par la surpression p1 (x, t) et le champ des vitesses
CRMEF / AGP-1
57
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 2. ONDES ACOUSTIQUES DANS LES FLUIDES
v1 (x, t). Pour simplifier, on néglige l’onde émise vers la gauche, c’est-à-dire que l’on suppose
que la pression reste uniforme, égale à p0 .
1. Écrire les conditions aux limites sur le piston, et en exploitant la notion d’impédance
d’une onde plane progressive, en déduire l’expression de u(t). Définir un temps caractéristique τ et commenter ses variations avec m et S.
2. En déduire l’expression de v1 (x, t) et la représenter graphiquement à un instant t > 0
donné.
3. Établir l’expression de l’énergie de l’onde sonore à l’instant t et interpréter le résultat.
4. On suppose désormais le tuyau fini, de longueur L ≫ c τ . Représenter le graphe de
v1 (x, t) à un instant t légèrement supérieur à L/c. Que se passe-t-il qualitativement
ensuite ?
Ex. 2.9 — La définition d’un coefficient de compressibilité χs sous forme d’une constante
suppose que les variations µ de masse volumique sot en phase avec les variations π de pression.
En fait ce n’est pas rigoureusement exact, et la réponse du milieu à une variation de pression
présente un certain retard par rapport à l’excitation, qui peut être traduit par la relation suivante
entre µ et π
∂
1
µ
1+τ
π=
χ s µ0
∂t
où chis est le coefficient de compressibilité isentropique supposé constant et τ une constante
homogène à un temps (temps de relaxation).
1. En considérant que l’on impose brutalement à un milieu initialement au repos une surpression constante p0 , montrer que l’équation ci-dessus traduit effectivement une réponse retardée du milieu à cette excitation.
2. Établir l’équation de propagation vérifiée par µ lorsque l’on tient compte du retard dans
la réponse du milieu.
3. En cherchant une solution sous forme d’onde plane progressive monochromatique de
pulsation ω et de vecteur d’onde k, déterminer la relation de dispersion liant ω et k.
4. Montrer qu’une telle équation conduit à une propagation de l’onde avec atténuation
exponentielle et calculer le coefficient d’atténuation. On fera l’hypothèse ω τ = ε ≪ 1
et on limitera les calculs aux termes d’ordre 1 en ε. Que vaut dans ce cas la vitesse de
propagation des ondes acoustiques ? Commenter.
Y. E L A ZHARI
58
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
3
PROPAGATION LIBRE D’ONDES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
1.
Équations de propagation des champs
1.1.
Équations de Maxwell dans le vide en dehors des sources
Dans l’espace vide, en dehors des sources, les équations de M AXWELL s’écrivent, relativement à un référentiel galiléen R
(M G) ∇M ·E(M, t) = 0
(3.1)
∇M ·B(M, t) = 0
(3.2)
(M φ)
(M F ) ∇M ×E(M, t) = −
(M A)
1.2.
∂B
(M, t)
∂t
∇M ×B(M, t) = ε0 µ0
∂E
(M, t)
∂t
(3.3)
(3.4)
Équations de propagation
Pour établir l’équation de propagation du champ électrique E, il faut éliminer le champ
magnétique B entre les différentes équations. Pour cela, on utilise l’identité vectorielle ∇ ×
(∇ ×a) = ∇(∇ ·a) − ∇2 a, et l’équation de M AXWELL – G AUSS (MG). On obtient : succes-
59
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
sivement
∇ ×(∇ ×E) =
∂
− ∇ ×B =
∂t
∇(∇ ·E) − ∇2 E
−∇2 E
En utilisant l’équation de M AXWELL – A MPÈRE (MA) on obtient enfin :
∇2M E(M, t) −
1 ∂2E
(M, t) = 0
c20 ∂t2
(3.5)
qui n’est autre que l’équation de propagation pour le champ électrique E de l’onde électromagnétique.
De la même façon on établit l’équation de propagation pour le champ magnétique B
∇2M B(M, t) −
1 ∂2B
(M, t) = 0
c20 ∂t2
(3.6)
c0 représente la célérité de la lumière dans le vide.
1
c0 = √
ε 0 µ0
(3.7)
La valeur numérique de c0 est fixée par la définition du mètre. En effet, depuis la 17e Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) tenue en , la définition du mètre est la suivante :
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière
pendant une durée de 1/299 792 458e de seconde.
La seconde quant à elle est définie, depuis la 13e CGPM (-), par :
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133 a .
a. Lors de sa session de 1997, le Comité international des poids et mesures (CIPM) a confirmé
que cette définition se réfère à un atome de césium au repos, à une température de 0 K.
La définition du mètre a pour conséquence de fixer la célérité de la lumière à la valeur exacte
suivante :
c0 = 299 792 458 m.s−1
(3.8)
On prendra souvent c0 ≈ 3, 00×108 m.s−1 .
Y. E L A ZHARI
60
CRMEF / AGP-1
2.. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES PROGRESSIVES
2.
Ondes électromagnétiques planes progressives
2.1.
Onde électromagnétique plane
Une onde électromagnétique (OEM) décrite par le champ électromagnétique (E, B) est dite
plane (OEMP) s’il est possible de trouver un système de coordonnées cartésiennes, (x, y, z)
par exemple, tel que les champs électrique E et magnétique B ne dépendent que d’une seule
coordonnée d’espace (z par exemple) et du temps t. Les champs électrique et magnétique sont
alors solutions des équations de D’A LEMBERT vectorielles à une dimension
∂2E
1 ∂2E
(M,
t)
−
(M, t) = 0
∂z 2
c20 ∂t2
∂2B
1 ∂2B
(M,
t)
−
(M, t) = 0
∂z 2
c20 ∂t2
(3.9)
(3.10)
La solution générale de ces équations s’écrit alors
z
z
) + f(−) (t + )
c0
c0
z
z
B(M, t) = g(+) (t − ) + g(−) (t + )
c0
c0
E(M, t) = f(+) (t −
•
•
(3.11)
(3.12)
f(+) , g(+) représente une onde électromagnétique plane progressive (OEMPP) dans
le sens des z croissants ;
f(−) , g(−) représente une onde électromagnétique plane progressive (OEMPP) dans
le sens des z décroissants.
2.2.
Structure de l’OEMPP
Pour étudier la structure de l’onde électromagnétique plane progressive (OEMPP), commençons tout d’abord par établir une expression pratique de l’opérateur nabla.
2.2.1. Expression pratique de l’opérateur nabla
t∓
Soit par exemple une onde plane décrite par le champ scalaire f(±) de la variable réelle
z
c0 . On peut établir facilement que
∂f(±)
(t ∓
∂x
∂f(±)
(t ∓
∂y
∂f(±)
(t ∓
∂z
z
)=0
c0
z
)=0
c0
1 ′
z
z
) = ∓ f(±)
(t ∓ )
c0
c0
c0
′
f(±)
désignant la dérivée de f(±) par rapport à la variable t ∓
D’autre part on peut aussi établir que
z
c0 .
∂f(±)
z
z
′
(t ∓ )
(t ∓ ) = f(±)
∂t
c0
c0
CRMEF / AGP-1
61
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
On en déduit alors par identification
∇≡−
1 ∂
u
c0 ∂t
(3.13)
u désigne le vecteur unitaire directeur de la direction de propagation orienté dans le sens de
propagation de l’OEMPP.
2.2.2. Structure de l’OEMPP
Considérons une OEMPP décrite par le champ électromagnétique (E, B). Pour étudier la
structure d’une telle onde, réécrivons les équations de M AXWELL
• L’équation de M AXWELL – G AUSS donne
∇·E= 0 ⇒ −
1
∂E
u·
=0
c0
∂t
∂
(E · u) = 0
∂t
⇒ E · u = C1 (M)
⇒
C1 (M) est un champ scalaire quelconque. Ce champ ne peut décrire un phénomène de
propagation car il ne dépend pas du temps. Ainsi on peut prendre C1 (M) identiquement
nul sans altérer la description des phénomènes de propagation ; on obtient alors
•
•
E·u =0
(3.14)
B·u= 0
(3.15)
Le champ électrique E de l’OEMPP est orthogonal à la direction de propagation. On dit
qu’il est transversal. L’OEMPP est dite quant à elle transverse électrique (TE).
De la même façon l’équation de M AXWELL – flux donne
Le champ magnétique est donc lui aussi transversal et l’OEMPP est transverse magnétique (TM).
L’OEMPP se propageant dans le vide illimité (propagation libre) est à la fois transverse
électrique et magnétique, on dit qu’elle est transverse électromagnétique (TEM).
Quant à l’équation de M AXWELL – FARADAY, elle donne
∇×E = −
∂B
∂t
∂E
1
∂B
u×
=−
c0
∂t
∂t
∂
E
⇒
B−u×
=0
∂t
c0
E
⇒ B−u×
= C2 (M)
c0
⇒ −
C2 (M) est un champ vectoriel quelconque. Ce champ ne peut décrire un phénomène de
propagation car il ne dépend pas du temps. Ainsi on peut prendre C2 (M) identiquement
nul sans altérer la description des phénomènes de propagation ; on obtient alors
B=u×
Y. E L A ZHARI
62
E
c0
(3.16)
CRMEF / AGP-1
2.. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES PROGRESSIVES
•
De la même façon, l’équation de M AXWELL – A MPÈRE donne
E = c0 B × u
2.3.
(3.17)
Aspect énergétique
2.3.1. Vecteur de P OYNTING
La puissance électromagnétique P(t) transmise à travers une surface quelconque S est donnée par le flux du vecteur de P OYNTING Π à travers cette surface
ZZ
Π(M, t) · dS(M)
(3.18)
P(t) =
S
où
Π(M, t) = E(M, t) ×
B(M, t)
µ0
(3.19)
Compte tenu de la relation (3.16) et de la transversalité de E exprimée par la relation (3.14) on
obtient
Π(M, t) =
E2 (M, t)
u
µ0 c 0
(3.20)
On peut remarquer que l’énergie électromagnétique est transportée dans la direction et le sens
de propagation de l’OEMPP.
2.3.2. Densité volumique d’énergie électromagnétique
La densité volumique d’énergie électromagnétique est donnée par
uem (M, t) =
ε0 E2 (M, t) B2 (M, t)
+
2
2 µ0
(3.21)
Compte tenu de la relation (3.16), cette expression se simplifie dans le cas d’une OEMPP pour
donner
uem (M, t) = ε0 E2 (M, t) =
B2 (M, t)
µ0
(3.22)
2.3.3. Application au calcul de la vitesse de propagation de l’énergie
On peut utiliser les résultats (3.20) et (3.22) pour calculer la vitesse de propagation de
l’énergie électromagnétique. En effet, considérons une OEMPP se propageant dans le sens des
z croissants de la direction Oz et calculons l’énergie électromagnétique ∆E qui traverse une
surface S perpendiculaire à Oz pendant l’intervalle de temps ∆t. Ce calcul peut être mené de
deux façons indépendantes :
CRMEF / AGP-1
63
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
1. Àpartir de la relation (3.18), on obtient
∆E =
E2
S∆t
µ0 c 0
2. Cette énergie qui traverse S pendant ∆t n’est autre que l’énergie électromagnétique
contenue dans le cylindre de surface de base S et de hauteur ve ∆t parallèle à la direction
de propagation Oz ; ve étant la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique. On
obtient alors
∆E = ε0 E2 Sve ∆t
En égalisant les deux expressions ci-dessus de ∆E, on obtient
(3.23)
ve = c0
Ainsi dans le cas d’une OEMPP se propageant dans le vide illimité, l’énergie électromagnétique se propage à la célérité c0 de la lumière dans le vide.
3.
Ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques
3.1.
Structure de l’OEMPPM
3.1.1. Champs en notation réelle
Considérons une OEMPP dans la direction de l’axe Oz. Cette onde sera dite monochromatique 1 si le champ électrique correspondant peut se mettre sous la forme
Ex = E0x cos(k z − ω t + ϕ1 )
E(M, t) Ey = E0y cos(k z − ω t + ϕ2 )
Ez = 0
(3.24)
où k = ω/c0 est le module du vecteur d’onde. La longueur d’onde λ est donnée par
λ=
2π
2 π c0
=
k
ω
(3.25)
Selon les valeurs de la fréquence ν = ω/2 π ou de la longueur d’onde λ on distingue différents types d’ondes électromagnétiques. La figure 3.1 donne le spectre des radiations électromagnétiques.
Le champ magnétique B peut être obtenu à partir de l’expression (3.24) du champ électrique
et de la relation (3.16) selon
B(M, t) =
1
c0
0
0 ×
1
E0x cos(k z − ω t + ϕ1 )
E0y cos(k z − ω t + ϕ2 )
0
1. Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique (OEMPPM) est aussi dite harmonique ou
sinusoïdale.
Y. E L A ZHARI
64
CRMEF / AGP-1
3.. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES PROGRESSIVES
MONOCHROMATIQUES
log
λ
m
6
4
2
−2
0
−4
−6
−8
−10
−12
−14
visible
infrarouge
ultraviolet
micro-ondes
rayons X
ondes radio
2
4
6
8
rayons γ
10
12
14
16
18
20
22
log
F IGURE 3.1 – Spectre des radiations électromagnétiques.
soit, après avoir posé B0x = E0y /c0 et B0y = E0x /c0
B(M, t)
B0x cos(k z − ω t + ϕ2 + π)
B0y cos(k z − ω t + ϕ1 )
0
(3.26)
3.1.2. Champs en représentation complexe
Toutes les équations qui interviennent dans la description de la propagation libre dans le
vide sont linéaires. On peut donc, suivant la procédure habituelle, associer au champ électrique
(3.24) décrivant l’OEMPPM une représentation complexe
E(M, t)
E x = E 0x exp i (k z − ω t)
E y = E 0y exp i (k z − ω t)
Ez = 0
(3.27)
où E 0x = E0x exp i ϕ1 et E 0y = E0y exp i ϕ2 .
On peut aussi écrire la relation (3.27) ci-dessus sous la forme compacte suivante
E(M, t) = E0 exp i (k z − ω t)
(3.28)
avec
E0
E 0x
E 0y
0
(3.29)
La représentation complexe du champ magnétique s’en déduit alors à l’aide de la relation (3.16)
qui donne
B(M, t) = B0 exp i (k z − ω t)
(3.30)
où
B0
CRMEF / AGP-1
−E 0y /c0
+E 0x /c0
0
65
(3.31)
Y. E L A ZHARI
ν
Hz
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
3.2.
Aspect énergétique
3.2.1. Vecteur de P OYNTING
Le vecteur de P OYNTING est donné par la relation (3.20). Pour une OEMPPM, compte tenu
de (3.24), il devient
i
1 h 2
E0x cos2 (k z − ω t + ϕ1 ) + E02y cos2 (k z − ω t + ϕ2 ) uz
Π(M, t) =
µ0 c 0
Les fréquences en question dans le domaine de la propagation d’ondes électromagnétiques
sont souvent trop élevées pour que les détecteurs de tels rayonnements puissent suivre l’évolution temporelle de Π(M, t). Dans ce cas les détecteurs ne seront donc sensibles qu’à la valeur
moyenne du vecteur de P OYNTING
hΠ(M, t)i =
E02
uz
2 µ0 c 0
(3.32)
où E02 = E02x + E02y . De tels détecteurs sont dits quadratiques.
3.2.2. Vecteur de P OYNTING complexe
On peut aussi définir un vecteur de P OYNTING complexe par
Π(M, t) = E(M, t) ×
B∗ (M, t)
µ0
(3.33)
Où B∗ désigne le complexe conjugué de la représentation complexe du champ magnétique.
L’intérêt de cette notion réside dans la relation suivante, que l’on peut vérifier aisément dans le
cas d’une OEMPPM 2
hΠ(M, t)i =
1
Re [Π(M, t)]
2
(3.34)
Re[. . . ] désignant la partie réelle.
3.3.
Polarisation de l’OEMPPM
3.3.1. Définition générale
Une OEM transversale est dite polarisée si l’extrémité A du vecteur MA = E(M, t) décrit,
au cours du temps t, une courbe fermée invariante dans le temps.
2. En réalité la relation (3.34) entre la valeur moyenne du vecteur de P OYNTING et le vecteur de P OYNTING complexe est valable dans le cas général à condition que l’onde soit harmonique (non nécessairement plane ni progressive).
Y. E L A ZHARI
66
CRMEF / AGP-1
3.. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES PROGRESSIVES
MONOCHROMATIQUES
3.3.2. Cas général d’une OEMPPM : polarisation elliptique
Dans ce cas, le champ électrique de l’onde est donné par la relation (3.24). Les coordonnées
X, Y , Z de MA s’écrivent alors :

 X = E0x cos(k z − ω t + ϕ1 )
(3.35)
Y = E0y cos(k z − ω t + ϕ2 )

Z =0
L’extrémité A décrit donc une courbe plane contenue dans le plan perpendiculaire à la direction
de propagation passant par le point M. Posons alors p = k z − ω t + ϕ1 et ϕ = ϕ2 − ϕ1 . Les
équations paramétriques de la courbe décrite par A deviennent :
X = X0 cos p
(3.36)
Y = Y0 cos(p + ϕ)
où X0 = E0x et Y0 = E0y . Ces équations (3.36) donnent pour X0 6= 0, Y0 6= 0 et ϕ 6=
nπ , n ∈ Z :

X

 cos p =
X0 1
X
Y

 sin p =
cos ϕ −
sin ϕ X0
Y0
D’où l’on déduit, par élimination de p, l’équation cartésienne de la courbe décrite par A :
2 2
X Y
X
Y
cos ϕ = sin2 ϕ
(3.37)
+
−2
X0
Y0
X0 Y0
C’est l’équation cartésienne d’une ellipse. Ainsi dans le cas général, l’OEMPPM est polarisée
elliptiquement.
y
A0
M
M
A
0
x
F IGURE 3.2 – Position du point A0 .
Pour déterminer le sens de parcours de l’ellipse, calculons la dérivée temporelle de MA.
dMA(t)
dt
CRMEF / AGP-1
Ẋ = ω X0 sin p
Ẏ = ω Y0 sin(p + ϕ)
Ż = 0
67
(3.38)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
Il est inutile d’essayer de déterminer le sens du vecteur dMA/dt à un instant quelconque. En
effet, pour déterminer le sens de parcours de l’ellipse de polarisation, il suffit de connaître le
sens de ce vecteur en un point particulier de l’ellipse. Il est particulièrement facile de répondre
à cette question lorsque A est en A0 tel que p = 0 ; soit t0 d’instant correspondant.
dMA
(t0 )
dt
Ẋ = 0
Ẏ = ω Y0 sin ϕ
Ż = 0
(3.39)
Ainsi si 0 < ϕ < π alors le point A décrit l’ellipse dans le sens trigonométrique et la polarisation est dite elliptique gauche. Par contre, si π < ϕ < 2π alors la polarisation est dite elliptique
droite.
En conclusion, on peut dire alors
• 0 < ϕ < π : polarisation elliptique gauche ;
• π < ϕ < 2π : polarisation elliptique droite.
3.3.3. Cas particuliers
Il reste à étudier les différents cas particuliers dont notamment ceux écartés dans l’étude du
§ 3.3.2.
1) Polarisation circulaire : c’est le cas lorsque E0x = E0y 6= 0 et ϕ = π/2 ou ϕ = 3π/2.
Si ϕ = π/2 alors la polarisation est circulaire gauche alors qu’elle est circulaire droite si
ϕ = 3π/2.
2) Polarisation rectiligne : il existe différents cas de polarisation rectiligne.
(a) E0x 6= 0, E0y 6= 0 et ϕ = 0. Dans un tel cas
X = X0 cos p
MA Y = Y0 cos p
Z=0
de sorte que
Y0
Y
=
X
X0
qui n’est autre que l’équation d’un segment de droite situé dans les 1er et 3e quadrants.
(b) E0x 6= 0, E0y 6= 0 et ϕ = π. Dans un tel cas
X = +X0 cos p
MA Y = −Y0 cos p
Z=0
de sorte que
Y0
Y
=−
X
X0
qui n’est autre que l’équation d’un segment de droite situé dans les 2e et 4e quadrants.
Y. E L A ZHARI
68
CRMEF / AGP-1
3.. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES PROGRESSIVES
MONOCHROMATIQUES
(c) E0x 6= 0 et E0y = 0 : l’onde est polarisée rectilignement selon Ox.
(d) E0x = 0 et E0y 6= 0 : l’onde est polarisée rectilignement selon Oy.
L’annexe B résume des états possibles de polarisation pour une OEMPPM.
CRMEF / AGP-1
69
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 3. PROPAGATION LIBRE D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DANS LE VIDE
Exercices du chapitre 3
Ex. 3.1 — P
U
1. E
Y. E L A ZHARI
70
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
4
RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Le rayonnement électromagnétique intervient dans plusieurs domaines dont on peut citer
les exemples suivants :
— télécommunications (émission radio) ;
— émission et diffusion du rayonnement électromagnétique (la lumière en particulier) par
la matière (atomes, édifices atomiques, . . .etc.) ;
— rayonnement d’accélération ; par exemple le rayonnement synchrotron ; et de freinage
ou Bremsstrahlung.
On peut classer le rayonnement électromagnétique en différents types suivant la nature physique de la source.
— rayonnement dipolaire électrique (RDE) : dipôle électrique de moment dipolaire électrique variable ;
— rayonnement dipolaire magnétique : dipôle magnétique de moment magnétique variable ;
— rayonnement multipolaire électrique (quadrupolaire, octupolaire, . . .etc.) ;
— rayonnement multipolaire magnétique (quadrupolaire, octupolaire, . . .etc.).
1.
Rayonnement dipolaire électrique
1.1.
Modèle du dipôle de H ERTZ et notations
Dans le modèle du dipôle oscillant de H ERTZ (figure 4.1), on considère un ensemble de
deux particules O et P portant respectivement les charges −q et +q (q > 0). On peut modéliser
ce dipôle oscillant en supposant par exemple la particule O fixe à l’origine d’un système d’axes
orthonormés (O, xyz) tandis que la particule P est en mouvement de translation rectiligne le
long de l’axe Oz.
La position de P est alors donnée par le vecteur :
OP = z(t) uz
71
(4.1)
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
z
M
θ
r
P +q
O
−q
y
ϕ
m
x
F IGURE 4.1 – Modèle de dipôle de H ERTZ.
Le moment dipolaire instantané du dipôle oscillant constitué des deux particules chargées O et
P s’écrit alors :
(4.2)
p = q OP = q z(t) uz
Commençons par préciser le cadre de l’étude.
• Par la suite, nous nous intéresserons au champ électromagnétique créé très loin du dipôle.
Nous utiliserons alors l’hypothèse dipolaire, à savoir :
(4.3)
|OP |max ≪ r
r étant la distance entre l’origine O et le point M où l’on calcule le champ.
• Nous allons nous limiter à l’approximation non relativiste :
(4.4)
v ≪ c0
v étant la vitesse de P et c0 la célérité de la lumière dans le vide.
• L’analyse de F OURIER permet enfin de restreindre l’étude au cas d’une oscillation harmonique de la particule P :
avec
z(t) = z0 cos(ω t)
z0 > 0
(4.5)
Les conditions (4.3) et (4.4) deviennent alors, compte tenu de la relation 1 ω = 2 π c0 /λ :
z0 ≪ r
et
z0 ≪ λ
(4.6)
Le moment dipolaire du dipôle oscillant s’écrit quant à lui :
p = q z0 cos(ω t) uz
(4.7)
1. On montrera au §1.2. que ω représente la pulsation de l’onde électromagnétique émise par le dipôle oscillant.
Y. E L A ZHARI
72
CRMEF / AGP-1
1.. RAYONNEMENT DIPOLAIRE ÉLECTRIQUE
On lui associe la grandeur complexe :
=
p
=
p0 exp −i ω t uz
p(t) uz
(4.8)
(4.9)
où l’on a posé p0 = q z0 .
1.2.
Calcul du champ électromagnétique rayonné par le dipôle
oscillant
1.2.1. Potentiel vecteur
Le potentiel vecteur A peut être calculé à l’aide des formules de potentiels retardés. On
admettra que dans le cas d’une particule chargée P de charge q, le potentiel créé au point M est
donné par
||PM||
µ0 q v(t − c0 )
4π
||PM||
A(M, t) =
(4.10)
Dans le cadre de l’approximation dipolaire
||PM|| = ||OM + OP|| ≈ ||OM|| = r
(4.11)
Il vient alors, compte tenu de la définition de la vitesse v de P , v = dOP/dt
A(M, t)
=
=
µ0 q dOP
r
(t − )
4 π r dt
c0
µ0 dp
r
(t − )
4 π r dt
c0
(4.12)
En se plaçant en régime harmonique et en adoptant la représentation complexe, on obtient,
compte tenu de ∂/∂t = −i ω notamment
A(M, t) = −i
µ0 ω
exp(i k · r)
p(t)
4π
r
(4.13)
où l’on a posé
k=
ω
ur
c0
(4.14)
1.2.2. Potentiel scalaire
Pour déterminer le potentiel scalaire V (M, t), on utilise la condition de jauge de L ORENTZ
∇M ·A(M, t) +
CRMEF / AGP-1
1 ∂V
(M, t) = 0
c20 ∂t
73
(4.15)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
En représentation complexe ∂/∂t = −i ω, de sorte que l’on obtient
V (M, t) = −i
c20
∇M ·A(M, t)
ω
Il faut donc calculer ∇ ·A. On obtient successivement
exp(i k · r)
µ0 ω
∇ ·A = −i
p(t) · ∇
4π
r
µ0 ω
k ur
p(t) · i − 2 exp(i k · r)
= −i
4π
r
r
D’où l’on tire, compte tenu de p(t) = p uz et ur · uz = cos θ notamment
V (M, t) =
1 (1 − i k r)
p(t) cos θ exp(i k · r)
4 πε0
r2
(4.16)
1.2.3. Champ magnétique
Le champ magnétique se calcule à partir de l’équation
B(M, t) = ∇M ×A(M, t)
(4.17)
qui donne successivement
B(M, t)
µ0 ω
exp(i k·r)
p(t)∇×
uz
4π
r
exp(i k·r)
µ0 ω
×uz
p(t) ∇
= −i
4π
r
1 − ikr
µ0 ω
= i
exp(i k·r) ur ×uz
p(t)
4π
r2
= −i
D’où, compte tenu de ur ×uz = − sin θ uϕ
B(M, t) = −i
µ0 ω
1 − ikr
sin θ exp(i k·r) uϕ
p(t)
4π
r2
(4.18)
1.2.4. Champ électrique
Le champ électrique est donné par l’équation
E(M, t) = −∇M V (M, t) −
∂A
(M, t)
∂t
(4.19)
On obtient alors
∂A
∂t
=
−i ω A
=
−
=
Y. E L A ZHARI
µ0 ω
exp(i k·r)
p(t)
4π
r
exp(i k·r)
µ0 ω
p(t)(cos θ ur − sin θ uθ )
−
4π
r
74
CRMEF / AGP-1
1.. RAYONNEMENT DIPOLAIRE ÉLECTRIQUE
et
∇V
∂V
1 ∂V
ur +
uθ
∂r
r ∂θ
p(t) −
(2 + 2 − i k r − k 2 r2 ) cos θ ur + (1 − i k r) sin θ uθ exp(i k·r)
4 π ε0 r 3
=
=
D’où l’on obtient finalement
E(M, t) =
p(t) 2(1 − i k r) cos θ ur + (1 − i k r − k 2 r2 ) sin θ uθ exp(i k·r) (4.20)
3
4 π ε0 r
On peut remarquer tout de suite que les champs électrique E(M, t) et magnétique B(M, t) sont
orthogonaux.
1.3.
Structure à grande distance du champ électromagnétique
rayonné par le dipôle oscillant
Il s’agit de déterminer le champ électromagnétique créé par le dipôle oscillant dans la zone
de rayonnement.
1.3.1. Zone de rayonnement
On appelle zone de rayonnement la région de l’espace telle que
(4.21)
λ≪r
λ étant la longueur d’onde de l’onde électromagnétique créée (λ = 2 π/k) et r = ||OM||.
1.3.2. Structure de l’OEM
Pour trouver l’expression du champ électromagnétique dans la zone de rayonnement, on
simplifie les expressions générales (4.18) et (4.20) des champs magnétique et électrique en ne
gardant que les termes d’ordre le plus élevé en k r puisque λ ≪ r et k = 2 π/λ. On obtient
alors après simplification

k 2 p0 sin θ


t)
=
−
exp −i(ω t − k·r) uθ
E(M,


4 π ε0 r

2


 B(M, t) = − µ0 c0 k p0 sin θ exp −i(ω t − k·r) u
ϕ
4πr
Soit, en notation réelle
E(M, t) =
B(M, t)
=
−
µ0 ω 2 p0 sin θ
cos(ω t − k·r) uθ
4π
r
(4.22)
ur
×E(M, t)
c0
(4.23)
Les expressions (4.22) et (4.23) ci-dessus suggèrent les commentaires suivants :
CRMEF / AGP-1
75
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
•
•
•
•
•
•
Le champ électromagnétique rayonné se propage dans le vide à la vitesse de phase vϕ =
ω/||k|| = c0 (célérité de la lumière dans le vide) ;
L’onde électromagnétique est localement 2 transverse puisque E·ur = 0 et B·ur = 0 ;
(ur , E, B) est un trièdre local trirectangle direct ;
||E|| = c0 ||B|| ;
On dit que l’onde électromagnétique a une structure d’onde localement plane.
En chaque point M d’observation, l’onde est polarisée rectilignement puisque le champ
électrique n’a pas de composante ni selon la direction de propagation (O, ur ) ni dans la
direction perpendiculaire au plan formé par le point M et l’axe Oz de vibration du dipôle
oscillant ;
Il faut noter que contrairement aux cas des dipôles électrostatique et magnétostatique
pour lesquels les champs varient en 1/r3 , le champ électromagnétique créé par le dipôle
oscillant dans la zone de rayonnement (régime variable de propagation) varie en 1/r. Il
s’atténue donc beaucoup moins rapidement.
1.4.
Aspect énergétique
1.4.1. Puissance rayonnée
La puissance rayonnée par le dipôle oscillant est la puissance électromagnétique traversant
une surface fermée quelconque entourant le dipôle. Pour faciliter le calcul, on considère comme
surface fermée une sphère Σ de rayon R tel que λ ≪ R (zone de rayonnement).
La puissance moyenne P rayonnée à travers Σ est donnée par :
ZZ
P = ⊂⊃ hΠ(M)i · dS(M)
(4.24)
Σ
où M est un point de la surface Σ et hΠ(M)i le vecteur de P OYNTING moyen associé à l’onde,
donné par :
hΠ(M)i =
1
Re [Π(M, t)]
2
(4.25)
Π(M, t) est le vecteur de P OYNTING complexe relié aux champs par :
Π(M, t) =
1
E(M, t)×B∗ (M, t)
µ0
(4.26)
et Re[. . . ] désigne la partie réelle. On obtient alors :
hΠ(M)i =
µ0 ω 4 p20 sin2 θ
ur
32 π 2 c20 R2
(4.27)
et :
P=
p20 ω 4
12 π ε0 c30
(4.28)
2. C’est-à-dire dans la zone de rayonnement
Y. E L A ZHARI
76
CRMEF / AGP-1
1.. RAYONNEMENT DIPOLAIRE ÉLECTRIQUE
1.4.2. Diagramme de rayonnement
On appelle diagramme de rayonnement la représentation de
ρ(θ) =
|| hΠi ||
|| hΠi ||max.
(4.29)
en coordonnées polaires à r = ||OM|| constant.
Dans le cas du dipôle électrique oscillant, on obtient, compte tenu de l’équation (4.27)
ρ(θ) = sin2 θ
(4.30)
La figure 4.2 montre le diagramme de rayonnement du dipôle électrique oscillant. On peut
remarquer que la puissance rayonnée est maximale dans le plan passant par O et perpendiculaire à l’axe du dipôle. Par contre le dipôle ne rayonne pas dans la direction de son axe. Le
rayonnement dipolaire électrique est donc anisotrope.
θ
p
ρ(θ)
F IGURE 4.2 – Diagramme de rayonnement du dipôle électrique oscillant.
1.4.3. Généralisation : rayonnement d’accélération
La puissance moyenne rayonnée par le dipôle électrique oscillant peut être reliée à l’accélération a de la charge mobile. En effet, dans le cas des oscillations harmoniques
a=
d2 OP
= −ω 2 OP = −ω 2 z0 cos(ω t) uz
dt2
(4.31)
On en déduit la valeur moyenne du module au carré de l’accélération de la particule mobile
a2 =
p2 ω 4
z02 ω 4
= 0 2
2
2q
(4.32)
La puissance moyenne rayonnée peut s’écrire alors
P=
CRMEF / AGP-1
q2
a2
6 π ε0 c30
77
(4.33)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
La validité de cette formule appelée formule de J. L ARMOR s’étend en fait au delà du cas du
mouvement oscillatoire. Elle montre que toute charge électrique accélérée rayonne une onde
électromagnétique 3 de puissance P.
Le rayonnement d’accélération a différents aspects :
– Émission de la lumière par les atomes (théorie classique) ;
– Rayonnement thermique ;
– Rayonnement de freinage ou bremsstrahlung ;
– Rayonnement synchrotron.
2.
Diffusion d’un rayonnement électromagnétique par
un électron atomique
2.1.
Position du problème
On se propose dans ce paragraphe d’étudier l’interaction d’un électron atomique avec une
OEM excitatrice. Sous l’action du champ électrique de l’onde incidente, un tel électron se met
en mouvement forcé et réémet une OEM de même pulsation. Nous montrons qu’il en résulte un
amortissement du mouvement propre de l’électron et nous calculons la force d’amortissement
équivalente. Nous passons ensuite au calcul de la section efficace de diffusion de l’OEM par
l’électron atomique considéré.
2.2.
Calcul de l’amortissement
Pour calculer la force d’amortissement due au rayonnement de l’électron atomique nous
considérons le modèle classique de l’électron élastiquement lié de pulsation propre ω0 .
Au cours de son mouvement vibratoire décrit par z(t) = z0 cos(ω0 t), l’électron rayonne
une puissance électromagnétique moyenne
P=
p20 ω04
e2 z02 ω04
1
=
12 π ε0 c30
12 π ε0 c30
(4.34)
L’énergie mécanique de l’électron élastiquement lié peut toujours s’écrire
1
2
1
2
(4.35)
EM = me ω02 z02
(4.36)
EM = me ω02 z 2(t) + me ż 2
ce qui donne
1
2
3. Il faut noter toutefois que ce résultat n’est valable que dans le cadre non relativiste. Dans le cas des charges
électriques accélérées relativistes, il faut utiliser la formule de Max A BRAHAM :
P=
Y. E L A ZHARI
E
q2 γ 6 D 2
a − (β ×a)2
3
6 π ε0 co
avec
78
β=
v
c0
et
γ= p
1
1 − β2
CRMEF / AGP-1
2.. DIFFUSION D’UN RAYONNEMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE PAR UN
ÉLECTRON ATOMIQUE
En comparant les expressions (4.34) et (4.36) on peut écrire
P=
EM
τ
(4.37)
avec
τ=
6 π ε0 me c30
ω02 e2
(4.38)
En réalité lorsque l’électron rayonne de l’énergie électromagnétique son énergie mécanique
diminue. Il en résulte un amortissement de son mouvement. Pour tenir compte de cet amortissement, nous considérons que l’amplitude z0 du mouvement de l’électron diminue au cours
du temps (z0 = z0 (t)) et nous faisons l’hypothèse a priori qui consiste à supposer que seule
une partie infime de l’énergie de l’électron est rayonnée par période. Cette hypothèse devra
évidemment être vérifiée a posteriori. Nous pouvons alors dresser le bilan suivant
EM (t) = EM (t + dt) − P dt
EM
dt
dEM = −
τ
On en déduit
t
EM (t) = EM (0) exp −
τ
(4.39)
(4.40)
On remarque donc que τ est le temps caractéristique de la décroissance de l’énergie du système
oscillant.
Numériquement, τ ≈ 10−8 s et T = λ/c0 ≈ 10−15 s (dans le domaine du visible) de sorte
qu’en général T ≪ τ . Ceci permet alors de justifier l’hypothèse a priori utilisée dans les calculs
précédents.
2.3.
Section efficace classique de diffusion
On considère un édifice atomique soumis à l’action d’un rayonnement électromagnétique de
pulsation ω. Sous l’action du champ électrique incident, dans la description classique, un électron de l’édifice se met en vibration forcée et réémet une OEM de même pulsation. En adoptant
le modèle de l’électron élastiquement lié de pulsation propre ω0 pour l’électron considéré, on
peut écrire son mouvement dans le champ électromagnétique du rayonnement incident 4
z̈ +
1
e Em
ż + ω02 z = −
exp(−i ω t)
τ′
me
(4.41)
où τ ′ = 2 τ . Le second membre de cette équation est dû à la force exercée par le champ
électrique incident Ei = Em exp −i ω t uz supposé harmonique et polarisé rectilignement
selon Oz. La solution caractérisant le régime forcé s’écrit
z(t) = −
1
e Em
exp(−i ω t)
me ω 2 − ω 2 − i ω
0
τ′
(4.42)
4. L’action du champ magnétique de l’OEM incidente supposée plane est en réalité négligeable devant celle du
champ électrique pour un électron non relativiste.
CRMEF / AGP-1
79
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
que l’on peut écrire sous la forme
z(t) = z0 (ω) exp(−i ω t + ϕ)
(4.43)
avec
1
e Em
r
(4.44)
2
m
ω
2
(ω02 − ω 2 ) + ′2
τ
En utilisant la relation (4.34), on peut alors écrire la puissance diffusée par l’électron atomique
compte tenu de l’amortissement sous la forme
z0 (ω) =
P=
ω4
8 π re2
3
2
(ω02 − ω 2 ) +
ω2
τ ′2
2
ε0 c0 Em
2
(4.45)
où l’on a posé
re =
e2
4 π ε0 me c20
(4.46)
qui désigne le rayon classique de l’électron et dont la valeur numérique est re ≈ 2, 8×10−15 m.
2
Le terme ε0 c0 Em
/2 désigne la puissance électromagnétique par unité de surface emprunté à
l’onde incidente par l’électron diffusant. On écrit alors la puissance moyenne diffusée sous la
forme
hPi = σd (ω)
avec
8 π re2
3
2
ε0 c0 Em
2
(4.47)
ω4
(4.48)
ω2
τ ′2
σd désignant la section efficace de diffusion du rayonnement électromagnétique par un électron
atomique.
La figure 4.3 représente l’allure des variations de σd en fonction de la pulsation ω de l’onde
électromagnétique incidente.
On peut distinguer trois zones différentes. Dans chacune de ces trois zones la section efficace de diffusion peut prendre une expression simplifiée particulière.
• ω ≫ ω0 : il reste
σd (ω) =
σd ≈
2
(ω02 − ω 2 ) +
8 π re2
= constante
3
(4.49)
C’est la diffusion T HOMSON. Elle intervient par exemple dans le cas de la diffusion 5 des
rayons X par la matière. La section efficace de la diffusion T HOMSON est donnée par :
σTh =
8 π re2
3
(4.50)
5. Les rayons X peuvent aussi subir une diffusion C OMPTON qui s’accompagne d’un changement de fréquence.
L’effet C OMPTON s’explique que dans le cadre de la théorie corpusculaire du rayonnement.
Y. E L A ZHARI
80
CRMEF / AGP-1
2.. DIFFUSION D’UN RAYONNEMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE PAR UN
ÉLECTRON ATOMIQUE
σd (ω)
σd (∞)
1
ω
ω0
1
F IGURE 4.3 – Section efficace de diffusion.
Numériquement : σTh ≈ 0, 67×10−28 m2 = 0, 67 barn.
• ω ≈ ω0 : on remplace dans ce cas ω02 − ω 2 = (ω0 − ω)(ω0 + ω) par 2 ω0 (ω0 − ω), on
obtient alors
σd (ω) ≈
8 π re2 τ ′2 ω02
3
L(ω)
(4.51)
où
L=
1
1 + 4 τ ′2 (ω − ω0 )2
(4.52)
désigne un profil lorentzien caractéristique des phénomènes de résonance dans l’interaction matière–rayonnement. On dit qu’il s’agit d’une diffusion résonante.
• ω ≪ ω0 : on obtient
4
8 π re2 ω
(4.53)
σd ≈
3
ω0
C’est la diffusion R AYLEIGH caractérisée par une section efficace de diffusion que l’on
écrit plus souvent en fonction de la longueur d’onde du rayonnement
σRa =
C
8 π re2 λ40 1
= 4
3
λ4
λ
(4.54)
La section efficace de la diffusion R AYLEIGH décroît en 1/λ4 . Ce type de diffusion
intervient entre autre dans le cas de l’interaction de la lumière avec les molécules de
l’atmosphère terrestre. En effet, dans ce cas ν0 ≈ 1017 Hz et, pour la lumière visible,
ν ≈ 1014 Hz. La diffusion R AYLEIGH est alors à l’origine de la couleur bleue du ciel
et de la couleur rouge du coucher du soleil puisque la section efficace de diffusion est
beaucoup plus importante dans le bleu que dans le rouge.
CRMEF / AGP-1
81
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
3.
Antennes rectilignes accordées
Une antenne rectiligne est constituée par un fil métallique (conducteur) droit alimenté par
un oscillateur imposant un courant haute fréquence i(z, t) que l’on peut écrire sous la forme en
notation complexe :
(4.55)
i(z, t) = I(z) exp(−i ω t)
3.1.
Schéma et notations
La figure 4.4 donne de manière schématique les notations qui seront utilisées dans l’étude
d’une antenne rectiligne accordée.
z
+ L2
×M
PM
P (z)×
O
Oscillateur
M
O
y
x
− L2
F IGURE 4.4 – Schéma d’une antenne rectiligne.
3.2.
Étude d’une antenne demi-onde accordée
3.2.1. Champ électromagnétique rayonné
Un élément dz de l’antenne centré en z se comporte comme un dipôle oscillant parcouru
par un courant i(z, t). Son moment dipolaire électrique élémentaire est :
dp
=
=
Y. E L A ZHARI
q(z, t) dz uz
1
i(z, t) dz uz
−i ω
82
(4.56)
CRMEF / AGP-1
3.. ANTENNES RECTILIGNES ACCORDÉES
Un tel dipôle, crée au point M un champ électrique élémentaire donné par :
||PM||
µ0 ω 2 sin θ
dE(M, t) = −
uθ
dp z, t −
4 π ||PM||
c0
(4.57)
soit :
dE(M, t) =
||PM||
−i µ0 ω sin θ
dz uθ
I(z) exp −i ω t − 2 π
4 π ||PM||
λ
(4.58)
Or
PM =
=
OM − OP
on en déduit alors, compte tenu de |z| ≪ r
r2 − 2 z r cos θ + z 2
r − z cos θ
||PM|| =
≈
≈
(4.59)
r ur − z uz
1/2
(4.60)
(4.61)
r
L’équation (4.58) devient alors compte tenu de l’expression approchée de ||PM||
2 π z cos θ
−i µ0 ω sin θ
dz uθ
exp −i (ω t − k·r) I(z) exp −i
dE(M, t) =
4π
r
λ
(4.62)
On peut remarquer que pour obtenir ce résultat, deux expressions approximatives différentes de
||PM|| ont été utilisées :
• dans le terme pré-exponentiel ||PM|| a été remplacé tout simplement par r étant donné
que |z| ≪ r (approximation à l’ordre zéro) ;
• cette approximation ne peut être satisfaisante dans le terme exponentiel à cause de la
présence de z qui est du même ordre de grandeur que λ et de la sensibilité de la fonction
exponentielle aux variations (même faibles) de son argument.
Pour obtenir le champ total rayonné, il faut intégrer sur z. On peut alors écrire le résultat obtenu
sous la forme
E=
−i µ0 ω sin θ e
I(u) exp −i(ω t − k·r) uθ
4π
r
e désigne la transformée de F OURIER du courant I(z) donnée par
où I(u)
avec
e =
I(u)
Z
+L/2
I(z) exp(−i 2 π u z) dz
(4.64)
−L/2
u=
CRMEF / AGP-1
(4.63)
cos θ
λ
83
(4.65)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Dans le cas qui nous intéresse
I(z) =
=
z
I0 cos 2 π
λ
z
z i
I0 h
exp −i 2 π
+ exp i 2 π
2
λ
λ
et, pour une antenne accordée demi-onde, L = λ/2. On obtient alors, après calcul
π
cos
cos
θ
λ
2
e
I(u)
= I0
π
sin2 θ
(4.66)
D’où l’on déduit l’expression du champ électrique rayonné à grande distance par l’antenne
demi-onde
cos π2 cos θ
I0
sin (ω t − k·r) uθ
(4.67)
E(M, t) =
2 π ε 0 c0
r sin θ
Le champ magnétique rayonné par l’antenne s’obtient à partir de
B(M, t) =
ur
×E(M, t)
c0
(4.68)
3.2.2. Aspect énergétique
Le vecteur de P OYNTING moyen est donné par
hΠi =
1
Re (E×B∗ )
2 µ0
(4.69)
on obtient alors, compte tenu des équations (4.67) et (4.68)
cos2 π2 cos θ
I02
ur
hΠi =
8 π 2 ε 0 c0
r2 sin2 θ
(4.70)
La représentation graphique de :
ρ(θ)
=
=
|| hΠi ||
|| hΠi ||max.
cos2 π2 cos θ
sin2 θ
(4.71)
en coordonnées polaires donne le diagramme de rayonnement de l’antenne.
La figure 4.5 représente le diagramme de rayonnement de l’antenne demi-onde (trait continu),
elle rappelle aussi (pour comparaison) celui d’un dipôle électrique oscillant (trait pointillé).
On peut aussi calculer la puissance moyenne totale P rayonnée par l’antenne à l’aide de
ZZ
P = ⊂⊃ hΠi·dS
(4.72)
Σ
Y. E L A ZHARI
84
CRMEF / AGP-1
3.. ANTENNES RECTILIGNES ACCORDÉES
θ
ρ(θ)
F IGURE 4.5 – Diagramme de rayonnement d’une antenne demi-onde (trait continu).
Où Σ est une sphère de centre O et de rayon R tel que λ ≪ R. On obtient alors
Z 2π
Z π
cos2 π2 cos θ
I02
P= 2
dθ
dϕ
8 π ε 0 c0 0
sin θ
0
(4.73)
ce que l’on écrit sous la forme
1
2
P = Rr I02
(4.74)
avec
µ0 c 0
Rr =
2π
Z
π
cos2
0
cos θ
dθ
sin θ
π
2
(4.75)
Rr est appelée résistance de rayonnement. Elle est indépendante des dimensions de l’antenne
pourvue que celle-ci soit accordée. Numériquement Rr ≈ 73 Ω pour une antenne accordée
demi-onde. À titre de comparaison, pour une antenne telle que L = λ/20 (non accordée), la
résistance de rayonnement chute à Rr ≈ 0, 8 Ω.
CRMEF / AGP-1
85
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Exercices du chapitre 4
Ex. 4.1 — Distribution spectrale du dipôle amorti
Dans le modèle de l’électron atomique élastiquement lié, l’écart à la position d’équilibre a pour
expression :
(
0
pour t < 0
t
r=
rm exp(− ) exp −i 2 π ν0 t pour t > 0
2τ
1. Justifier cette écriture à partir de la décroissance exponentielle de l’énergie mécanique
Em (t) et représenter graphiquement Em (t).
2. Calculer le spectre e
r (ν) de r défini par :
e
r(ν) =
Z
+∞
r(t) exp i 2 π ν t dt
−∞
3. Représenter graphiquement |e
r (ν)|2 et trouver la relation entre τ et la largeur à mi2
hauteur ∆ν1/2 de |e
r(ν)| .
Ex. 4.2 — Approximation dipolaire magnétique
Un circuit filiforme C est parcouru par un courant i(t) dont l’intensité est la même à tout instant
en chaque point du circuit. Ce circuit occupe une région limitée de l’espace au voisinage de
l’origine O. Le potentiel vecteur A, en un point M et à l’instant t, est donné par la solution des
potentiels retardés :
I
µ0
i(t − r′ /c0 )
A(M, t) =
dl
4π C
r′
1. On suppose que ||OP|| ≪ r où P est un point quelconque du circuit et r = k|OM||.
En développant l’expression de i, montrer que :
r
µ0
M(t − r/c0 ) +
Ṁ(t − r/c0 ) × n
A(M, t) ≈
4 π r2
c0
où n est le vecteur unitaire porté par OM et M le moment magnétique du circuit C.
2. Montrer que :
µ0 M(t − r/c0 )
A(M, t) ≈ ∇M ×
4π
r
En déduire que le potentiel scalaire peut être considéré comme nul en régime variable.
3. On suppose M porté par Oz. Calculer E et B à grande distance en se limitant aux
termes en 1/r (champ de rayonnement). Quelle est la relation entre et E et B ?
4. Donner l’expression du vecteur de P OYNTING et en déduire l’expression de la puissance
rayonnée par le circuit.
Y. E L A ZHARI
86
CRMEF / AGP-1
3.. ANTENNES RECTILIGNES ACCORDÉES
5. Application
Le circuit est constitué d’une spire circulaire de rayon a ; le courant i(t) est de la forme
i(t) = Im cos ω t ; montrer que la puissance totale moyenne rayonnée hPi se met sous
2
la forme hPi = 21 Rr Im
où Rr est la résistance de rayonnement du circuit fermé dont on
donnera l’expression. En cherchant à préciser des valeurs numériques « raisonnables »,
on pourra comparer l’efficacité de ce système à celui de l’antenne.
Ex. 4.3 — Champs produits par les dipôles électriques et magnétiques atomiques
1. Dans le modèle classique de l’atome d’hydrogène (électron animé d’une vitesse constante
v0 sur une orbite circulaire de rayon a0 ), évaluer les moments dipolaire électrique p0 et
magnétique m0 que l’on peut associer à un tel système. On prendra a0 = 53 pm (rayon
de B OHR) et v0 /c0 = α ≈ 1/137 (appelée constante de structure fine).
2. Comparer les rayonnements électromagnétiques à grande distance des dipôle électrique
et magnétiques correspondants.
Ex. 4.4 — Rayonnement de l’atome d’hydrogène
Le modèle électrodynamique utilisé est doublement classique (non relativiste et non quantique).
Un électron de charge q = −e (e = 1, 6×10−19 C) et de masse m = 9, 1×10−31 kg est en
orbite circulaire de rayon initiale r0 = 53 pm autour d’un proton supposé fixe en O.
1. Calculer en fonction de r0 , e et m, puis numériquement, la vitesse v0 , l’accélération
a0 et l’énergie mécanique E0 (en eV) de l’électron ainsi que la période T0 initiale du
mouvement. Justifier l’approximation non relativiste.
2. Préciser l’état de polarisation du rayonnement émis dans le plan de l’orbite de l’électron
d’une part, et sur l’axe de révolution de cette orbite d’autre part, sachant que B est porté
par ur × a et E par −ur × (ur × a).
3. Sachant que la puissance rayonnée par une charge accélérée est donnée par
P(t) =
2 q 2 a2 (t)
3 4 π ε0 c30
calculer numériquement la puissance P0 émise par l’électron accéléré et l’énergie |∆E|
qu’il perd au début pendant une période de révolution. Calculer |∆E/E0 |. Monter que
le rayon ne peut rester constant et calculer sa variation relative |∆r/r0 | pour une révolution.
4. L’effet du rayonnement conduit donc à une diminution progressive de l’énergie de
l’électron. En admettant qu’à chaque révolution, l’orbite de l’électron reste circulaire
avec une bonne approximation, déterminer la loi d’évolution de l’énergie E en fonction
du temps. En déduire r(t).
5. En déduire que le rayon s’annule au bout d’un temps fini τ à calculer. Comparer τ à la
période initiale T0 . Quelle est la valeur de l’énergie au bout du temps τ ? Commenter.
6. Pour rendre compte des données expérimentales, B OHR proposa en  un modèle
« semi-quantique » pour l’atome d’hydrogène avec le postulat suivant : « le moment cinétique L de l’électron sur son orbite ne peut prendre que les valeurs discrètes suivantes
Ln = n ~ où n ∈ N∗ et ~ = 1, 055×10−34 J.s est la constante de P LANCK réduite ».
CRMEF / AGP-1
87
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 4. RAYONNEMENT D’ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
En déduire les expressions quantifiées du rayon rn et de l’énergie En . A.N. : Calculer
r1 , E1 .
7. En utilisant l’étude classique du rayonnement faite à la question 4, calculer le temps
τij mis pour passer des niveaux d’énergie Ej à Ei . Expérimentalement, les durées des
transitions 2 p → 1 s et 6 h → 5 g de l’atome d’hydrogène sont respectivement τc =
1, 6×10−9 s et τc′ = 6, 1×10−7 s. Comparer ces temps à τ12 et τ56 et commenter.
Ex. 4.5 — Une particule électrisée, de masse m, de charge q, de vitesse v, d’accélération a
relativement à un référentiel galiléen R rayonne sous forme d’un champ électromagnétique une
puissance PR donnée par la formule de Max A BRAHAM :
2
PR =
q2
a2 − (β × a)
6 π ε0 c30 (1 − β 2 )3
avec β = v/c0 . On négligera dans la suite le freinage dû au rayonnement.
1. La particule est dans un champ électrique uniforme E et son mouvement est rectiligne.
Soit PE la puissance fournie à la particule par le champ E. Montrer que :
2
q
−q E
PR
=
ρ=
PE
6π ε0 β m c20
A.N. : Pour des électrons me c20 ≈ 0, 5 Mev ; calculer ρ en fonction de E pour v ≈ c0 .
Conclure.
2. La particule est dans un champ magnétique uniforme B et sa trajectoire est circulaire
de rayon R. Montrer que l’énergie Wr rayonnée sur un tour par la particule est (rayonnement synchrotron) :
Wr =
1
q2 v3
3
3 ε0 c0 R (1 − β 2 )2
Lorsque v ≈ c0 , montrer que (formule de S CHWINGER) :
Wr =
1 q2 4
x
3 ε0 R
où x est le rapport K/m c20 de l’énergie cinétique K de la particule à son énergie de
masse m c20 . A.N. : On prendra K = 4 GeV, R = 5 m et on considérera des électrons
(me c20 ≈ 0, 5 MeV) puis des protons (mp c20 ≈ 940 MeV).
3. Conclure quant à l’utilisation des accélérateurs pour accélérer des électrons et des protons.
Ex. 4.6 — Antenne demi-onde
Un dipôle de moment dipolaire électrique variable p placé en O selon Oz rayonne à grande
distance un champ électromagnétique, caractérisé par le champ électrique :
dE(r, t) =
Y. E L A ZHARI
dp~¨(t − r/c0 )
1
sin θ uθ
2
4 π ε 0 c0
r
88
CRMEF / AGP-1
3.. ANTENNES RECTILIGNES ACCORDÉES
Une antenne rectiligne utilisée en télécommunication est constituée d’un fil rectiligne de résistance ohmique négligeable, porté par Oz, centré en O et parcouru par un courant sinusoïdal :
i(z, t) = I0 f (z) cos ω t ; I0 est un courant constant et f (z) caractérise la distribution spatiale
du courant dans l’antenne assimilable à un segment [−l, l] de petite dimension vis à vis de r.
Dans toute la suite on se placera dans le cadre de l’approximation dipolaire.
1. Établir l’expression intégrale donnant le champ créé par la distribution totale de courant
et montrer que si f (−z) = f (z), alors E varie en sin(ω t − k r), où k = ω/c0 .
2. Le courant est stationnaire de mode fondamental tel que f (z) = cos π2 zl .
a) On suppose l ≪ λ. Exprimer E. Mettre la puissance moyenne rayonnée sous la
forme hPi = 21 Rr I02 et en déduire l’expression de la résistance de rayonnement
Rr en fonction de l/λ.
b) On considère le cas d’une antenne demi-onde (2l = λ/2). Répondre aux mêmes
questions que précédemment. On admet dans les calculs que cos π2 cos θ ≈
0, 95 sin2 θ.
c) A.N. : Comparer les deux résistances lorsque dans le premier cas l = λ/40.
Conclusion. Dans le cas l = λ/4, calculer P pour I0 = 10 A. Puis donner l’amplitude maximale du champ E à une distance de 30 km d’une antenne parcourue par
un courant de fréquence 100 MHz.
3. Deux antennes identiques sont disposés selon Oz et leurs centres sont situés en (0,0,±d/2).
Elles sont alimentées par des courants égaux.
a) Les courants sont en phase. Montrer que les calculs précédents permettent de prévoir le diagramme de rayonnement de ce système. Le dessiner dans un plan méridien si d = 4 λ. Conclusion.
b) Que se passe-t-il si l’on déphase l’un des deux courants par rapport à l’autre ?
Application ?
Ex. 4.7 — Réseau d’antennes rectilignes
On considère un réseau de N antennes rectilignes demi-ondes disposées comme le montre la
figure 4.6.
Exprimer le champ électrique E créé par ce réseau en fonction de N , ν = sin θλcos ϕ et a ainsi
que du champ E0 produit par l’antenne centrale placée à l’origine.
z
θ
ur
a
y
ϕ
x
F IGURE 4.6 – Réseau d’antennes rectilignes.
CRMEF / AGP-1
89
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
5
RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR
UN CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
Dans ce chapitre nous nous proposons d’étudier la réflexion d’une onde électromagnétique sur la surface d’un conducteur métallique. Pour cela, nous allons étudier tout d’abord la
possibilité de propagation d’une onde électromagnétique dans un tel milieu. Cette étude nous
permettra, entre autre, de dégager la notion de conducteur parfait.
Mais avant tout cela, nous allons étudier le comportement des milieux conducteurs en régime variable.
1.
Conducteur ohmique en régime variable
1.1.
Limite de validité de la loi d’Ohm en régime variable
1.1.1. Modèle de D RUDE pour la conduction dans les métaux
Dans le modèle de D RUDE, le conducteur métallique est considéré constitué d’un réseau
périodique d’ions fixes occupant les nœuds du réseau plongés dans un gaz dilué d’électrons de
conduction sans interaction entre eux. Les électrons de conduction entrent en collision avec les
imperfections du réseau. La vitesse après chaque choc est aléatoire ; sa valeur moyenne est donc
nulle (hypothèse d’isotropie). La probabilité d̟ pour qu’un électron subisse un choc entre les
instants t et t + dt est donnée par
d̟ =
dt
τ
τ est appelé temps de relaxation.
91
(5.1)
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
1.1.2. Équation du mouvement d’un électron dans le modèle de D RUDE
Pour déterminer l’équation du mouvement d’un électron de conduction soumis à la force
extérieure F, faisons un bilan de quantité de mouvement entre les instants t et t + dt. Pour cela
il faut distinguer deux cas selon que l’électron subit ou non un choc entre ces deux instants.
— Si l’électron ne subit pas de choc entre t et t + dt alors
(5.2)
p(t + dt) = p(t) + F dt
— Si l’électron subit un choc à l’instant t′ entre t et t + dt alors
p(t + dt) = p(t′ ) + F dt′
(5.3)
où p(t′ ) = 0 en moyenne selon l’hypothèse d’isotropie de la distribution des vitesses
après les chocs. Il reste alors
p(t + dt) = F dt′
(5.4)
avec dt′ = dt − (t′ − t).
En tenant compte de la probabilité pour que l’électron ne subisse pas de choc entre t et t + dt
soit (1 − dt/τ ) et de celle (dt/τ ) pour qu’il en subisse, on peut calculer la valeur moyenne de
sa quantité de mouvement à l’instant t + dt
dt
dt
+ F dt′
(5.5)
p(t + dt) = [p(t) + F dt] 1 −
τ
τ
D’où il reste, au premier ordre
dp
1
(t) + p(t) = F
dt
τ
(5.6)
Tout se passe donc comme si les électrons de conduction étaient soumis à une force de frottement −p/τ du type visqueux.
1.1.3. Conductivité complexe
Dans le cadre non relativiste et en l’absence de champ magnétique statique, l’équation du
mouvement d’un électron soumis à l’action du champ électromagnétique (E, B) se réduit à 1
1
dp
(t) + p(t) = −e E
dt
τ
(5.7)
Où p = m v désigne la quantité de mouvement de l’électron. Dans le cas d’un champ harmonique décrit par sa représentation complexe E = E0 exp(−i ω t), la solution p(t) du régime
forcé s’écrit
p(t) = −
eτ
E
1 − iτ ω
1. L’action du champ magnétique B de l’onde électromagnétique est négligeable du fait que
Y. E L A ZHARI
92
(5.8)
||v×B||
||E||
≈
v
c0
≪ 1.
CRMEF / AGP-1
1.. CONDUCTEUR OHMIQUE EN RÉGIME VARIABLE
On en déduit la densité de courant
j = n (−e) v
n e2 τ /m
E
1 − iτ ω
=
ce que l’on peut mettre sous la forme
(5.9)
j=σE
avec
σ=
σ(0)
1 − iτ ω
et
σ(0) =
n e2 τ
m
(5.10)
σ est la conductivité électrique complexe du conducteur et σ(0) sa conductivité électrique statique. L’équation (5.9) traduit la loi d’O HM généralisée valable pour un champ harmonique.
Pour pouvoir utiliser cette loi pour un champ quelconque, il faut examiner à quelle condition σ
est indépendante de la fréquence.
Pour qu’il en soit ainsi il suffit que τ ω ≪ 1. Ainsi la loi d’O HM
j=σE
(5.11)
reste valable pour toutes les fréquences ν telles que
ν≪
1
2πτ
(5.12)
Ordre de grandeur
Pour le cuivre : σ = 6, 7 × 107 S.m−1 et n ≈ 1029 m−3 . On en déduit τ ≈ 2 × 10−14 s. La
loi d’O HM restera donc valable pour les fréquences ν telles que ν ≪ 7, 5×1012 Hz ou, ce qui
revient au même, pour les longueurs d’onde λ vérifiant λ ≫ 40 µm.
La loi d’O HM j = σ E reste donc valable du régime continu jusqu’au domaine des ondes
hertziennes.
1.2.
Relaxation d’un conducteur ohmique
Supposons qu’à un instant pris comme origine (t = 0) on crée une densité volumique de
charge à l’intérieur d’un conducteur ohmique de conductivité σ. On se propose de déterminer
l’évolution de ρ(t). Pour cela, on utilise l’équation de conservation de la charge électrique
∂ρ
+∇·j=0
∂t
(5.13)
qui donne, compte tenu de la loi d’O HM
∂ρ
+σ∇·E = 0
∂t
CRMEF / AGP-1
93
(5.14)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
ρ
En utilisant l’équation de M AXWELL -G AUSS ∇ ·E = , on obtient
ε0
σ
∂ρ
+ ρ=0
∂t
ε0
(5.15)
ce que l’on peut écrire sous la forme
∂ρ
1
+ ′ρ = 0
∂t
τ
avec
τ′ =
ε0
σ
(5.16)
On en déduit alors
t
ρ(M, t) = ρ(M, 0) exp − ′
τ
(5.17)
ρ(M, t)
ρ(M, 0)
τ′
t
F IGURE 5.1 – Relaxation d’un conducteur ohmique.
La figure 5.1 donne l’évolution de ρ(M, t) en fonction du temps pour un point M donné.
On peut remarquer qu’au delà de quelques τ ′ , la densité volumique de charges ρ(M, t) devient
identiquement nulle en tout point du conducteur ohmique. La constante de temps τ ′ caractéristique de cette évolution étant très faible (τ ′ ≈ 1, 5×10−19 s pour le cuivre), on peut considérer
que dans le domaine de validité de la loi d’O HM, la densité volumique de charges est identiquement nulle à l’intérieur d’un conducteur, soit :
ρ(M, t) = 0
(5.18)
Comme dans le cas des conducteurs en équilibre électrostatique, un excès de charges ne peut
être distribué que surfaciquement.
Y. E L A ZHARI
94
CRMEF / AGP-1
1.. CONDUCTEUR OHMIQUE EN RÉGIME VARIABLE
1.3.
Équations de M AXWELL dans un conducteur ohmique
Compte tenu de ce qui précède, les équations de M AXWELL peuvent s’écrire à l’intérieur
d’un conducteur obéissant à la loi d’O HM
(M G) ∇M ·E(M, t) = 0
(5.19)
∇M ·B(M, t) = 0
(5.20)
(M φ)
(M F ) ∇M ×E(M, t) = −
(M A)
∂B
(M, t)
∂t
∇M ×B(M, t) = µ0 σ E(M, t) + ε0 µ0
(5.21)
∂E
(M, t)
∂t
(5.22)
Pour terminer, comparons les deux termes σE et ε0 ∂E/∂t de l’équation de M AXWELL -A MPÈRE.
En régime harmonique, on obtient
∂E
||
∂t = ε0 ω = ω τ ′
||σ E||
σ
||ε0
(5.23)
Or, la loi d’O HM est valable tant que ω τ ≪ 1, donc, dans le domaine de validité de cette loi,
ω ≪ 1/τ . Ceci permet d’écrire
∂E
||
′
∂t ≪ τ ≪ 1
||σ E||
τ
||ε0
(5.24)
Soit
||ε0
∂E
|| ≪ ||σ E||
∂t
(5.25)
∂E
Ainsi dans le domaine de validité de la loi d’O HM, le terme ε0
peut être négligé devant σ E.
∂t
Les équations de M AXWELL peuvent alors s’écrire sous forme simplifiée dans le domaine
de validité de la loi d’O HM
(M G) ∇M ·E(M, t) = 0
(5.26)
∇M ·B(M, t) = 0
(5.27)
(M φ)
(M F ) ∇M ×E(M, t) = −
(M A)
CRMEF / AGP-1
∂B
(M, t)
∂t
∇M ×B(M, t) = µ0 σ E(M, t)
95
(5.28)
(5.29)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
2.
Propagation d’une onde électromagnétique dans un
conducteur – Effet de peau
2.1.
Onde électromagnétique dans un conducteur ohmique
On se propose d’étudier la possibilité de propagation d’une onde électromagnétique au sein
d’un conducteur ohmique. Pour cela on commence tout d’abord par établir l’équation de propagation d’une telle onde. En utilisant l’identité vectorielle ∇ × (∇ ×a) = ∇(∇ · a) − ∇2 a,
et les équations de M AXWELL – G AUSS (5.26) et M AXWELL – FARADAY (5.28), on obtient
successivement
∇ ×(∇ ×E) = ∇(∇ ·E) − ∇2 E
∂B
∇ × (−
) = −∇2 E
∂t
∂
∇ ×B = ∇2 E
∂t
soit, compte tenu de l’équation de M AXWELL – A MPÈRE (5.29)
∇2M E(M, t) − µ0 σ
∂E
(M, t) = 0
∂t
(5.30)
C’est l’équation que doit satisfaire le champ électrique à l’intérieur du conducteur ohmique.
Examinons alors la possibilité de propagation au sein d’un tel conducteur, d’une OEMPPM
décrite en notation complexe par le champ électrique
E(M, t) = E0 exp i(k z − ω t)
(5.31)
En remplaçant dans l’équation (5.30), on obtient
k 2 − i µ0 σ ω = 0
(5.32)
L’existence de l’onde à l’intérieur du conducteur ohmique impose donc à k d’être complexe.
k2 = µ0 σ ω exp(i π/2)
donne
√
k = ± µ0 σ ω exp(i π/4)
d’où
k=±
r
1+i
µ0 σ ω
(1 + i) = ±
2
δp
Le champ électrique s’écrit alors à l’intérieur d’un conducteur ohmique
z
z
E(M, t) = E0 exp ∓
exp i ± − ω t
δp
δp
Y. E L A ZHARI
96
(5.33)
(5.34)
CRMEF / AGP-1
2.. PROPAGATION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS UN
CONDUCTEUR – EFFET DE PEAU
où l’on a posé
δp =
r
2
µ0 σ ω
(5.35)
Le champ magnétique s’obtient à partir de l’équation de M AXWELL – FARADAY (5.28) qui
donne après calcul
1+i
z
z
exp i ± − ω t
exp ∓
(5.36)
B(M, t) = ∓ (uz × E0 )
ω δp
δp
δp
Le vecteur courant volumique s’écrit quant à lui
z
z
exp i ± − ω t
j(M, t) = σ E0 exp ∓
δp
δp
2.2.
(5.37)
Interprétation physique
Dans l’expression (5.34) du champ électrique, le signe (+) correspond à une onde qui se
propage dans le sens des z croissants alors que le signe (−) correspond à une onde se propageant
dans le sens des z décroissants. On remarque donc, que dans les deux cas, l’onde se propage
en s’atténuant. La figure 5.2 trace les variations de l’amplitude E(z) = |E0 | exp(−z/δp ) du
champ électrique de l’onde électromagnétique se propageant dans le sens des z croissants à
l’intérieur du conducteur ohmique.
E(z)
|E0 |
z
δp
F IGURE 5.2 – Variation de l’amplitude du champ électrique à l’intérieur d’un conducteur ohmique.
Il faut noter que les variations des amplitudes du champ magnétique et du vecteur courant
volumique en fonction de z présentent la même allure.
L’onde électromagnétique se propage donc dans le conducteur ohmique en s’atténuant. Dès
que z dépasse quelques δp , l’amplitude du champ électrique devient négligeable devant |E0 | à
la surface. La grandeur δp , homogène à une longueur, caractérise la profondeur de pénétration
de l’onde dans le conducteur. Elle est appelée épaisseur de peau.
L’épaisseur de peau diminue avec la fréquence ν = ω/2 π. Par exemple, pour le cuivre σ ≈
6×107 S.m−1 , l’épaisseur de peau vaut :
•
pour ν = 50 Hz, δp ≈ 9, 3 mm ;
CRMEF / AGP-1
97
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
•
pour ν = 10 GHz, δp ≈ 6, 6 µm.
Ces valeurs numériques montrent pourquoi l’on utilise des conducteurs creux (guides d’ondes)
dans le domaine des hyperfréquences et des conducteurs pleins dans le domaine des basses
fréquences.
2.3.
Modèle du conducteur parfait
Un matériau est d’autant meilleur conducteur que sa conductivité est grande. On définit le
conducteur parfait comme étant un conducteur pour lequel la conductivité est « très grande » ;
formellement, pour un conducteur parfait σ −→ ∞. Ainsi, d’après les résultats précédents, à
l’intérieur du conducteur parfait
3.
δp = 0
(5.38)
E(M, t) = 0
j(M, t) = 0
(5.39)
(5.40)
B(M, t) = 0
(5.41)
Réflexion sous incidence normale sur la surface plane
d’un conducteur métallique
3.1.
Position du problème
On se propose d’étudier le phénomène de réflexion d’une OEM sur la surface d’un conducteur métallique.
x
Vide
ki
Conducteur
z
O
y
F IGURE 5.3 – Onde incidente sur la surface d’un conducteur.
Pour cela, on adopte le modèle de conducteur métallique parfait (σ → ∞) occupant le
demi-espace z > 0. On étudiera alors la réflexion sur la surface plane z = 0 et sous incidence
normale de l’OEMPPM décrite par le champ électrique de représentation complexe
Ei (M, t) = E0i exp i(k z − ω t)
Y. E L A ZHARI
98
(5.42)
CRMEF / AGP-1
3.. RÉFLEXION SOUS INCIDENCE NORMALE SUR LA SURFACE PLANE D’UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
où
E0i
E0x exp iϕ1
E0y exp iϕ2
0
(5.43)
Le champ magnétique s’obtient alors à partir de
Bi (M, t) =
ki
× Ei (M, t)
ω
(5.44)
et peut s’écrire
(5.45)
Bi (M, t) = B0i exp i(k z − ω t)
où
B0i =
ki
× E0i
ω
(5.46)
et
ki =
3.2.
ω
uz
c0
(5.47)
Existence de l’onde réfléchie
3.2.1. Rappel des conditions de passage
Lors de la traversée d’une distribution surfacique de charges et de courants (ρs ,js ), le champ
électromagnétique subit une discontinuité donnée par
E2 (M, t) − E1 (M, t) =
B2 (M, t) − B1 (M, t) =
1
ρs (M, t) n1→2
ε0
µ0 js (M, t) × n1→2
(5.48)
(5.49)
3.2.2. Application au cas de l’interface vide – conducteur parfait
Dans le cas qui nous intéresse le vide joue le rôle du milieu 1 alors que le conducteur
métallique supposé parfait joue le rôle du milieu 2 (E2 = 0,B2 = 0).
Le champ électromagnétique total (E1 ,B1 ) au voisinage de la surface extérieure du conducteur
métallique parfait doit donc vérifier
E1 (M, t)
B1 (M, t)
1
ρs (M, t) n1→2
ε0
= −µ0 js (M, t) × n1→2
= −
(5.50)
(5.51)
Ainsi, au voisinage immédiat de la surface d’un conducteur parfait le champ électrique doit être
orthogonal à la surface et le champ magnétique doit être parallèle à la surface du conducteur. Le
champ électromagnétique incident ne vérifiant pas ces deux conditions, on admet l’existence
CRMEF / AGP-1
99
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
d’une onde électromagnétique réfléchie (Er ,Br ) telle que l’on ait au voisinage immédiat de la
surface du conducteur
Ei (M, t) + Er (M, t)
Bi (M, t) + Br (M, t)
1
ρs (M, t) n1→2
ε0
= −µ0 js (M, t) × n1→2
(5.52)
= −
(5.53)
On peut donner une interprétation physique très simple à l’existence de l’onde électromagnétique réfléchie. En effet, l’onde incidente (Ei ,Bi ) met les électrons de la surface du conducteur en
mouvement oscillatoire. Ceux-ci rayonnent alors une onde électromagnétique d’accélération.
3.3.
Caractérisation de l’onde réfléchie
Le système physique constitué du conducteur et du champ électromagnétique incident étant
invariant par translations selon Ox et Oy, le champ électromagnétique de l’onde réfléchie ne
doit dépendre ni de x ni de y. Cherchons alors à décrire l’onde électromagnétique réfléchie par
une OEMPPM dont le champ électrique s’écrit
Er = E0r exp −i(k ′ z + ω ′ t)
(5.54)
Les équations de propagation étant linéaires, le champ électrique de l’onde réfléchie, comme
celui de l’onde incidente et de l’onde résultante, doit vérifier l’équation de propagation des
OEM dans le vide
1 ∂ 2 Er
∂ 2 Er
−
=0
∂z 2
c20 ∂t2
On en déduit la relation entre k ′ et ω ′
k′ =
ω′
c0
(5.55)
D’autre part, et de la même façon, le champ électrique de l’onde réfléchie doit vérifier l’équation
de M AXWELL – G AUSS
∇ ·Er = 0
Il s’en suit que
E0r · uz = 0
La condition de passage (5.52) pour le champ électrique s’écrit alors en z = 0
E0i exp −i ω t + E0r exp −i ω ′ t = −
1
ρ (x, y, t) uz
ε0 s
(5.56)
E0i et E0r n’ayant pas de composante selon uz , il vient
E0i exp −i ω t + E0r exp −i ω ′ t = 0
Y. E L A ZHARI
100
(5.57)
CRMEF / AGP-1
3.. RÉFLEXION SOUS INCIDENCE NORMALE SUR LA SURFACE PLANE D’UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
ceci n’est possible que si
E0r = −E0i
(5.58)
ω′ = ω
(5.59)
et
Cette relation montre que les électrons de la surface du conducteur excités à la pulsation ω du
champ électromagnétique incident, rayonnent une onde électromagnétique de même pulsation
ω ′ = ω. Ce qui est en accord avec la théorie du rayonnement d’accélération. On en déduit alors
l’expression du champ électrique de l’onde réfléchie
(5.60)
Er = −E0i exp −i(k z + ω t)
Le champ magnétique de l’onde réfléchie s’en déduit alors à l’aide de la relation
Br =
−uz
× Er
c0
et vaut
Br = B0i exp −i(k z + ω t)
3.4.
(5.61)
Charges et courants induits
La densité surfacique de charges ρs s’obtient à partir de l’équation de passage pour le champ
électrique (5.56) qui donne par projection sur uz , compte tenu de la transversalité des ondes
incidente et réfléchie
ρs (x, y, t) = 0
(5.62)
Il faut noter que cette propriété n’est valable que dans le cas de l’incidence normale.
Le courant surfacique js se déduit, quant à lui de la condition de passage (5.53) pour le
champ magnétique qui peut s’écrire
2 B0i exp −i ω t = −µ0 js (M, t) × uz
Par projection vectorielle sur uz et compte tenu du fait que js · uz = 0 (courant surfacique), on
obtient après calcul
js (x, y, t) = 2 ε0 c0 E0i exp −i ω t
3.5.
(5.63)
Applications
3.5.1. Principe de la réception radio
On peut remarquer d’après l’expression (5.63) que l’amplitude du vecteur courant surfacique est proportionnelle à celle du champ électrique incident. C’est ainsi que l’information
contenue dans l’onde électromagnétique incidente peut être transposée en un courant électrique
pouvant être traité par exemple par une chaîne de traitement du signal. C’est le principe de la
réception hertzienne.
CRMEF / AGP-1
101
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
3.5.2. Principe de fonctionnement d’un polariseur d’ondes électromagnétiques
Considérons une onde électromagnétique plane et progressive arrivant sous incidence normale sur une grille constituée de fils métalliques parallèles. On peut décomposer le champ
électrique de l’onde en une composante E// parallèle et une composante E⊥ perpendiculaire
aux fils de la grille.
E//
E
E⊥
am
Ch
k
en
cid
n
i
p
E⊥
t
am
Ch
Grille métallique
an
p tr
is
sm
F IGURE 5.4 – Grille polarisante.
Sous l’effet de E// , les électrons surfaciques de la grille sont mis en oscillation. Si l’espacement des fils est suffisamment petit devant la longueur d’onde alors la composante E// sera
complètement réfléchie. L’onde transmise sera composée essentiellement de E⊥ et sera donc
polarisée rectilignement perpendiculairement aux fils de la grille métallique.
4.
Superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie
4.1.
Champs résultants
Le champ électrique résultant est donné par
(5.64)
E = Ei + Er
soit, compte tenu de (5.42) et (5.60)
E = 2 E0i sin(k z) exp −i(ω t −
π
)
2
(5.65)
De la même façon et compte tenu de (5.45) et (5.61), le champ magnétique de l’onde résultante dans le vide peut s’écrire
B = 2 B0i cos(k z) exp −i ω t
(5.66)
L’onde électromagnétique résultante est donc une onde stationnaire. Les champs électrique
et magnétique sont en quadrature de phase et présentent chacun un système de ventres et de
nœuds. Les ventres de E coïncident avec les nœuds de B et vice versa.
Y. E L A ZHARI
102
CRMEF / AGP-1
4.. SUPERPOSITION DE L’ONDE INCIDENTE ET DE L’ONDE RÉFLÉCHIE
4.2.
Aspect énergétique
Déterminons tout d’abord la densité volumique d’énergie électromagnétique moyenne contenue dans l’onde résultante. Le régime étant harmonique, on peut écrire
1
1
1
∗
∗
(5.67)
huemi = Re
B·B
ε0 E · E +
2
2
2 µ0
où Re[. . . ] désigne la partie réelle. Compte tenu des relations (5.46), (5.47), (5.65) et (5.66) on
obtient
huem i = ε0 |E0i |2
(5.68)
En régime harmonique, le vecteur de P OYTING moyen est donné par
hΠi =
1
Re (Π)
2
(5.69)
où
Π=E×
B∗
µ0
(5.70)
est le vecteur de P OYNTING complexe. Un calcul simple donne
Π = 2 i c0 ε0 |E0i |2 sin(2 k z) uz
de sorte que
hΠi = 0
(5.71)
Ainsi en moyenne, il n’y a pas de propagation de l’énergie électromagnétique. Ceci est en
accord avec le fait que l’onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie est
une onde stationnaire.
4.3.
Pression de radiation
Le champ électrique crée des courants localisés au voisinage de la surface du conducteur.
Ces courants subissent à leur tour l’action du champ électromagnétique. On se propose de
caractériser cette action en calculant la force d2 F subie par un élément de surface dS de la
surface du conducteur.
Pour cela nous allons abandonner momentanément le modèle surfacique et adopter un modèle
plus réaliste selon le quel le courant induit dans le métal est distribué dans une couche à la
surface du conducteur de profondeur a faible mais grande devant l’épaisseur de peau δ pour
que le champ électromagnétique puisse être considéré comme nul pour z > a.
Un élément de volume dτ = dx dy dz de cette couche est soumis de la part du champ électromagnétique résultant à la force
d3 F = (ρ E + j × B) dτ
CRMEF / AGP-1
103
(5.72)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
En incidence normale, la densité volumique de charge est nulle (ρ = 0), de sorte qu’il reste
d3 F = j × B dτ
(5.73)
L’équation de Maxwell – Ampère permet d’exprimer le vecteur courant j dans le cadre de
validité de la loi d’O HM
1
(∇ ×B) × B dτ
(5.74)
d3 F =
µ0
avec
B = Bx (z, t) ux + By (z, t) uy
(5.75)
on obtient après calcul
d3 F = −
1
µ0
∂By
∂Bx
+ Bx
dx dy dz uz
Bx
∂x
∂y
(5.76)
En intégrant de z = 0 à z = a et en tenant compte de Bx (a, t) = By (a, t) = 0, on obtient
d2 F =
soit
1 2
Bx (0, t) + By2 (0, t) dx dy uz
2 µ0
d2 F =
1
B2 (0, t) dS uz
2 µ0
(5.77)
(5.78)
Cette force étant normale à la surface du conducteur et orientée vers l’intérieur du conducteur,
il s’agit d’une force de pression exercée par le champ électromagnétique résultant. On peut lui
associer une pression dite de radiation Pr telle que
d2 F = −Pr dS
(5.79)
dS = −dS uz étant le vecteur surface élémentaire orienté vers l’extérieur du conducteur
métallique et
Pr =
1
B2 (0, t)
2 µ0
(5.80)
La valeur moyenne de la pression de radiation vaut alors
hPr i =
=
=
On en déduit que
1
B2 (0, t)
2 µ0
1
ε0 E2 (0, t)
2
ε0 |E0i |2
hPr i = huem i
(5.81)
(5.82)
(5.83)
(5.84)
Ainsi, sous incidence normale, la pression de radiation exercée sur une surface métallique parfaite est égale en moyenne à la densité d’énergie de l’onde résultante.
Ce résultat peut être retrouvé facilement à l’aide du modèle photonique ou corpusculaire.
Y. E L A ZHARI
104
CRMEF / AGP-1
4.. SUPERPOSITION DE L’ONDE INCIDENTE ET DE L’ONDE RÉFLÉCHIE
4.4.
Cavité résonante
Une cavité résonante est un espace clos limité par des conducteurs métalliques.
4.4.1. Modèle simplifié à une dimension
Le modèle unidimensionnel d’une cavité résonante est constitué de deux plans métalliques
parfaits placés perpendiculairement à l’axe Ox en z = 0 et z = −a (a > 0). D’après ce qui
précède, le champ électrique peut être décrit par l’équation (5.65)
E = 2 E0i sin(k z) exp −i(ω t −
π
)
2
(5.85)
Pour que cette solution puisse décrire le champ électrique entre les deux plans z = −a et z = 0,
il faut qu’elle vérifie en plus la condition de continuité du champ électrique en z = −a, à savoir
(5.86)
E(x, y, −a) = 0
ce qui impose
kn = n
π
a
avec
(5.87)
n∈N
d’où
ωn = n
π c0
a
avec
(5.88)
n∈N
Ainsi, dans la cavité résonante unidimensionnelle de largeur a, seules les pulsations données
par l’équation (5.88) et appelées pulsations propres de la cavité peuvent se propager au sein de
la cavité résonante.
4.4.2. Application : principe de fonctionnement d’un onde-mètre
Cette propriété est mise en œuvre dans les onde-mètres qui jouent le rôle de fréquencemètres pour les fréquences radio. La détection d’un signal de résonance à l’intérieur de la cavité
permet de déduire alors la fréquence du champ électromagnétique.
CRMEF / AGP-1
105
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
Exercices du chapitre 5
Ex. 5.1 — Réflexion normale sur un conducteur réel
Un métal isotrope, non magnétique, possède une conductivité électrique σ scalaire réelle. Il
occupe la partie de l’espace z > 0, sa surface étant confondue avec le plan xOy. La partie
de l’espace z < 0 est assimilée à du vide. Une onde électromagnétique incidente, plane, progressive, monochromatique de pulsation ω et polarisée rectilignement suivant Ox se propage
dans le vide vers les z croissants. La représentation complexe de son champ électrique s’écrit
Ei = E0 exp i (k z − ω t) ux où E0 est un réel. Cette onde arrive sur la surface du métal en
z = 0 et y engendre une onde réfléchie et une onde transmise de champs électriques Er et Et .
On fera les applications numériques pour le cuivre pour lequel σ = 0, 57×108 Ω−1 .m−1 .
1. Préliminaire
a) Vérifier que, dans le métal, le terme dit « courant de déplacement » de l’équation
de Maxwell – Ampère peut être négligé devant la densité volumique de courant
lorsque se propagent dans le métal des ondes de fréquence ν < 1014 Hz.
b) Écrire alors les équations de M AXWELL dans le métal en tenant compte des simplifications nécessaires.
2. Structure du champ électrique transmis
On cherche Et sous la forme Et = t E0 exp i (k ′ z − ω t) ux .
a) Justifier par des arguments physiques et sans calculs pourquoi la pulsation ω de
l’onde transmise est la même que celle de l’onde incidente et pourquoi k ′ ne peut
être égal à k.
b) Donner l’équation différentielle satisfaite par Et .
c) Déterminer k ′ et exprimer Et en faisant apparaître une grandeur δ homogène à une
distance et que l’on pourrait qualifier de profondeur de pénétration.
d) Donner la vitesse de phase vϕ de l’onde dans le métal et la mettre sous la forme
vϕ = α c0 où α est une grandeur sans dimension à exprimer en fonction de ω et σ.
e) A.N. : Donner sous forme de tableau, les grandeurs δ, λ (longueur d’onde dans
le vide), δ/λ et α pour le cuivre dans les deux cas ν = 50 Hz et ν = 50 MHz.
Commenter.
3. Calcul du coefficient de transmission en énergieOutre l’onde transmise, l’onde incidente
donne lieu à une onde réfléchie de champ électrique noté Er .
a) Donner sans calcul l’expression de Er en notant r E0 son amplitude complexe.
b) Déterminer Bi et Br à partir de Ei et Er .
c) Déterminer Bt à partir de Et ; on exprimera l’amplitude de Bt en fonction de t E0 ,
c0 et α.
d) Quelle relation entre r et t donne la condition de passage pour le champ électrique
en z = 0. Quelle autre relation entre r et t impose la condition de passage pour le
champ magnétique ? En déduire les expressions de r et t en fonction de α.
e) Définir et calculer les coefficients de réflexion R et de transmission T en énergie.
Expliquer la relation simple entre R et T . Donner les valeurs approchées de R puis
de T tenant compte du fait que α ≪ 1. A.N. : Calculer T pour ν = 50 Hz puis
ν = 50 MHz et conclure.
Y. E L A ZHARI
106
CRMEF / AGP-1
4.. SUPERPOSITION DE L’ONDE INCIDENTE ET DE L’ONDE RÉFLÉCHIE
Ex. 5.2 — Réflexion oblique sur un conducteur parfait
L’espace étant rapporté à un repère cartésien (O, xyz), la région z < 0 est occupée par le vide
et la région z > 0 par un métal « parfait ».
y
k′
θ′
θ
x
O
z
k
Vide
Métal
On se propose d’étudier la réflexion sous incidence quelconque d’une onde électromagnétique
sur la surface z = 0 de ce conducteur. Pour cela on étudiera tout d’abord (1) le cas où le champ
électrique de l’onde incidente est perpendiculaire au plan d’incidence (onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence) puis (2) le cas où le champ électrique de l’onde incidente
est parallèle au plan d’incidence (onde polarisée parallèlement au plan d’incidence). On note
θ = (uz , k) et θ′ = (−uz , k) les angles d’incidence et de réflexion.
1. Réflexion d’une onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
Une onde électromagnétique plane (Oi ) se propage dans le vide et est caractérisée par
un champ électrique dont la représentation complexe en un point M et à l’instant t est :
Ei = E0 exp i (k · r − ω t) ux
où r = OM. L’arrivée de (Oi ) sur le métal donne naissance à une onde plane (Or ) dont
on recherche la structure du champ électrique sous la forme Er = r E0 exp i (k′ · r −
ω ′ t) ux . ω ′ , θ′ et r étant des grandeurs que l’on se propose de calculer. On note (Oir )
l’onde résultant de la superposition de (Oi ) et (Or ), E et B les champs électrique et
magnétique de (Oir ), e et b les valeurs de ces champs en z = 0 du côté du vide.
a) En notant ρs la densité superficielle de charges et js le vecteur courant surfacique,
rappeler les expressions des relations de continuité à la traversée du métal.
b) En utilisant l’une des relations précédentes, calculer successivement ρs , ω ′ , θ′ et r.
c) Donner l’expression du champ E et décrire la structurer de celui-ci. Montrer que
E est nul sur des plans que l’on précisera. Vérifier le résultat obtenu à l’aide du cas
particulier θ = 0 décrit en cours.
d) Calculer le champ B. Cas particulier θ = 0.
e) Calculer le vecteur courant surfacique js .
f) On peut montrer que la force dF exercée par le champ électromagnétique sur un
élément de métal parfait d’aire dS est donnée par l’expression dF = 21 (ρs e +
js × b) dS. Rappeler l’origine de cette expression.
g) En déduire l’expression de la pression P exercée par (Oir ) sur le métal.
h) On note w la densité d’énergie contenue dans (Oi ) à son arrivée sur le métal, montrer que P s’exprime simplement en fonction de w et de θ.
CRMEF / AGP-1
107
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 5. RÉFLEXION D’UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SUR UN
CONDUCTEUR MÉTALLIQUE
2. Réflexion d’une onde polarisée parallèlement au plan d’incidence
Une onde électromagnétique plane (Oi′ ) est caractérisée par un champ magnétique :
Bi =
E0
exp i (k · r − ω t) ux
c0
L’arrivée de (Oi′ ) sur le métal donne naissance à une onde réfléchie plane (Or′ ) dont on
cherche la structure du champ magnétique sous la forme Br = r ′ Ec00 exp i (k′ · r −
ω ′ t) ux . On note ρ′s et j′s respectivement la densité superficielle de charge et le vecteur
courant surfacique.
a) Déterminer ω ′ , θ′ et r′ .
b) Donner les nouvelles expressions de E et B.
c) Calculer ρ′s et j′s .
d) En déduire la pression P ′ qui s’exerce sur le métal.
3. Pression de radiation dans le cadre du modèle photonique
a) Rappeler l’expression du module p de la quantité de mouvement p d’un photon
d’énergie W .
b) Un photon d’énergie W arrive sous incidence θ sur un miroir plan sur lequel il se
réfléchit selon la loi de D ESCARTES -S NELL. Calculer la quantité de mouvement
∆p transférée par le photon au miroir.
c) En considérant l’ensemble des photons qui arrivent en un temps dt sur un élément
de miroir d’aire dS, établir une expression de la pression subie par le miroir en
fonction de θ et de w, densité d’énergie de l’onde incidente.
d) Vérifier que l’on retrouve ainsi les résultats des questions (h) et (d). Commenter la
cohérence de la description du phénomène. Quel est le modèle le plus ancien ?
Y. E L A ZHARI
108
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
6
BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
Dans le cadre de la théorie ondulatoire, la lumière est une onde électromagnétique (OEM).
Cette onde peut être écrite dans le cas général sous la forme d’une superposition d’OEMPPM
(théorème de F OURIER) de fréquences ν = ω/2π et de vecteurs d’ondes k. Les milieux optiques considérés se comportent en très bonne approximation comme des milieux diélectriques
parfaits non absorbants sans charges ni courants libres.
1.
Équations de propagation
1.1.
Dans le vide en dehors des sources
Dans le vide, en dehors des sources, l’équation de propagation du champ électrique s’écrit
(cf. chapitre 3, équation (3.5)) :
∇2M E(M, t) −
1 ∂ 2 E(M, t)
=0
c20
∂t2
(6.1)
où :
1
c0 = √
ε 0 µ0
(6.2)
représente la célérité de la lumière dans le vide. La valeur de c0 sert de définition du mètre :
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière
pendant une durée de 1/299 792 458e de seconde.
ceci fixe la célérité de la lumière à la valeur exacte :
c0 = 299 792 458 m.s−1
109
(6.3)
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
1.2.
Dans un milieu optique
Comme dans le cas du vide (cf. chapitre 3), pour établir les équations de propagation d’une
OEM dans un milieu matériel, on part des équations de M AXWELL. Ces équations s’écrivent
dans la cas général relativement à un référentiel galiléen :
(6.4)
∇M ·D(M, t) = ρ(M, t)
(6.5)
∇M ·B(M, t) = 0
∂B(M, t)
(6.6)
∂t
∂D(M, t)
(6.7)
∇M ×H(M, t) = j(M, t) +
∂t
D = ε0 E + P est le vecteur excitation électrique et P le vecteur polarisation ou moment
dipolaire électrique par unité de volume.
H = B/µ0 − M est le vecteur excitation magnétique et M le vecteur aimantation ou moment
dipolaire magnétique par unité de volume.
Cependant, il est inutile de garder la forme générale de ces équations. En effet, les milieux
que l’on rencontre habituellement en optique possèdent certaines propriétés qui permettent de
simplifier ces équations.
∇M ×E(M, t) = −
1.2.1. Notion de milieu optique
Les matériaux utilisés en optique se comportent, en très bonne approximation, comme des
milieux diélectriques quasi-parfaits :
– non magnétiques (B = µ0 H) ;
– sans charges libres (ρ = 0) ;
– sans courants libres (j = 0).
En outre, dans toute la suite, nous restreindrons l’étude au cas des milieux transparents ou
non absorbants.
Dans de tels milieux, les équations de M AXWELL se simplifient alors en :
(6.8)
∇M ·D(M, t) = 0
∇M ×E(M, t) = −µ0
∇M ·H(M, t) = 0
∇M ×H(M, t) =
∂H(M, t)
∂t
(6.9)
(6.10)
∂D(M, t)
∂t
(6.11)
1.2.2. Équation de propagation
L’équation de propagation du champ électrique, par exemple, dans un milieu optique s’obtient simplement à partir des équations de M AXWELL, par élimination de H. Pour cela, on
commence par exprimer :
∇×(∇ ×E) = ∇×(−µ0
Y. E L A ZHARI
110
∂H
)
∂t
(6.12)
CRMEF / AGP-1
1.. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
Compte tenu de l’équation de M AXWELL - FARADAY et de l’identité ∇×(∇×a) = ∇(∇·a) −
∇2 a, il vient :
∇(∇ ·E) − ∇2 E = −µ0 ∇×
∂H
∂t
(6.13)
soit, compte tenu de l’équation de M AXWELL - A MPÈRE et de la définition (??) du vecteur
déplacement électrique :
∇2 E − ε0 µ0
∂2P
∂2E
−
∇(∇
·E)
=
µ
0
∂t2
∂t2
(6.14)
En posant :
ε0 µ0 c20 = 1
(6.15)
où c0 est la célérité de la lumière dans le vide. Sa valeur numérique est fixée par définition du
mètre et vaut exactement :
c0 = 299 792 458 m.s−1
(6.16)
1 ∂2P
1 ∂2E
− ∇(∇ ·E) =
2
2
c0 ∂t
ε0 c20 ∂t2
(6.17)
il vient :
∇2 E −
L’équation (6.17) est la forme la plus générale de l’équation de propagation d’une onde
électromagnétique dans un milieu diélectrique non magnétique sans charges libres ni courants
libres. Elle constitue l’équation de base pour décrire la propagation de la lumière dans les milieux optiques. Son second membre traduit la réponse du milieu optique à l’excitation représentée par le champ électrique E.
1.2.3. Tenseurs susceptibilité électrique
La réponse du milieu optique P = P(E) informe sur sa nature. Faisons un développement
de TAYLOR de P(E) au voisinage de E = 0.
On restreindra d’emblée l’étude au cas des milieux non ferroélectriques de sorte que P(0) =
0. Soit Pi l’une des composantes de P et utilisons la convention de sommation d’E INSTEIN 1
pour développer Pi = Pi ({Ej }j=1,2,3 ) :
(1)
Pi =ε0 χij Ej +
(2)
ε0 χijk Ej Ek +
(3)
ε0 χijkl
(1)
(6.18)
Ej Ek El + · · ·
(1)
(1)
– Le terme de premier ordre Pi = ε0 χij Ej fait appel à 3 × 3 = 9 scalaires χij
constituant ce que l’on appelle le tenseur des susceptibilités linéaires. C’est un tenseur
1. Ou sommation implicite sur l’indice répété.
CRMEF / AGP-1
111
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
d’ordre deux noté χ(1) ou χ. Ses 9 éléments peuvent être rangés dans une matrice 3 × 3,
ce qui permet d’exprimer la polarisation linéaire sous la forme vectorielle 2 :
P(1) = ε0 χE
(6.19)
Ce tenseur donne accès à l’étude de l’optique linéaire. On verra par la suite qu’il est
responsable de l’absorption et de la dispersion optiques.
(2)
– De la même manière, les 33 = 27 coefficients χijk constituent les éléments du tenseur d’ordre trois χ(2) des susceptibilités électrique. χ(2) est responsable de l’optique
non linéaire quadratique. Il permet d’expliquer des phénomènes tels que le doublage de
fréquences optiques permettant par exemple d’obtenir un faisceau laser vert de correspondant à la longueur d’onde 532 nm à partir d’un faisceau laser infrarouge à 1064 nm.
(3)
– De même, les 34 = 81 coefficients χijkl constituent le tenseur d’ordre quatre des susceptibilités électriques. C’est lui qui donne accès à l’optique non linéaire de troisième ordre
tel que l’effet K ERR optique permettant par exemple de générer un faisceau laser blanc à
partir d’une impulsion laser centrée sur le rouge.
De manière générale, la réponse globale d’un milieu optique peut toujours être écrite sous
la forme :
P = ε0 χE + PNL
(6.20)
1.2.4. Milieux linéaires
Un milieu optique se comporte de manière linéaire quand on peut négliger le terme non
linéaire PNL de sa réponse (6.20) à l’excitation décrite par le champ électrique E. Dans ce cas :
P = ε0 χE
(6.21)
Cela suppose que les champs électriques mis en jeu sont de faible amplitude. Dans la pratique,
les effets non linéaires n’apparaissent qu’en présence de lasers intenses.
Le développement mathématique précédent (§1.2.3.) a permis d’introduire les tenseurs susceptibilité électrique de différents ordres. On en a déduit une classification des milieux optiques
selon leur réponse à une excitation en milieux linéaires et non linéaires. Cependant, tel qu’il a
été conduit, ce développement ne renseigne pas sur l’origine physique, ni sur les limites de validité. D’ailleurs, nous verrons qu’en toute rigueur, pour que la relation (6.21) soit valable pour
tous les milieux – dans l’hypothèse d’une réponse linéaire –, il faut supposer implicitement
une réponse instantanée. Ce qui est en contradiction avec les lois de la relativité. Pour lever
ces ambiguïtés, nous allons développer un modèle physique de réponse linéaire en précisant
clairement les hypothèses selon le besoin.
h1 La première hypothèse consiste à supposer la réponse linéaire.
h2 Réponse locale, c’est-à-dire que la polarisation en point r ne dépend que de la valeur
du champ E en ce même point r.
2. On verra par la suite, qu’en fait, c’est une matrice symétrique χji = χij de sorte qu’elle ne compte que six
éléments différents au maximum dans le cas général.
Y. E L A ZHARI
112
CRMEF / AGP-1
1.. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
h3 La réponse est cependant non instantanée, autrement P(r, t) dépend de la fonction du
temps E(r, t′ ) aux différents instants t′ :
Pi (r, t) = ε0
XZ
+∞
Rij (t, t′ ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.22)
−∞
j
que l’on peut écrire en utilisant la convention de sommation d’E INSTEIN :
Pi (r, t) = ε0
Z
+∞
Rij (t, t′ ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.23)
−∞
où Rij est par définition la fonction réponse. En fait, cette écriture utilise une quatrième
hypothèse.
h4 Le milieu est supposé homogène. Ce qui se traduit par une réponse Rij indépendante
de r.
Remarque
On peut retrouver le cas d’une réponse instantanée, en prenant :
Rij (t, t′ ) = χij δ(t − t′ )
où δ est la distribution de D IRAC. Dans ce cas :
Z +∞
Pi (r, t) = ε0
χij (t, t′ ) Ej (r, t′ ) δ(t − t′ ) dt′ = ε0 χij Ej (r, t)
(6.24)
(6.25)
−∞
et l’on retrouve :
P = ε0 χ E(r, t)
où χ représente le tenseur susceptibilité électrique linéaire.
(6.26)
L’expression représente la forme la plus générale de la réponse d’un milieu optique dans le
cadre des seules hypothèses de :
— linéarité ;
— localité ;
— homogénéité.
On peut faire appel à une autre hypothèse tout aussi importante.
h5 Invariance par translation dans le temps, une translation de l’excitation d’une durée T
engendre une translation de la réponse de la même durée T :
E(r, t) −→ P(r, t)
E(r, t − T ) −→ P(r, t − T )
c’est-à-dire :
Pi (r, t − T ) = ε0
CRMEF / AGP-1
Z
+∞
−∞
Rij (t, t′ ) Ej (r, t′ − T ) dt′
113
(6.27)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
soit, en remplaçant t′ par t′ + T :
Pi (r, t − T ) = ε0
Z
+∞
Rij (t, t′ + T ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.28)
−∞
ou encore, si l’on remplace t par t + T :
Z +∞
Pi (r, t) = ε0
Rij (t + T, t′ + T ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.29)
−∞
La comparaison de (6.23) et (6.29) impose :
Rij (t, t′ ) = Rij (t + T, t′ + T )
(6.30)
T étant quelconque, on peut choisir T = −t′ , alors :
Rij (t, t′ ) = Rij (t − t′ , 0) ≡ Rij (t − t′ )
(6.31)
Ainsi :
Pi (r, t) = ε0
Z
+∞
−∞
Rij (t − t′ ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.32)
h6 Le principe de causalité 3 impose qu’à un instant t, les effets résultent des actions des
causes aux instants antérieurs t′ < t. Soit :
Z t
Pi (r, t) = ε0
Rij (t − t′ ) Ej (r, t′ ) dt′
(6.33)
−∞
ou, en posant τ = t − t :
′
Pi (r, t) = ε0
Z
0
+∞
Rij (τ ) Ej (r, t − τ ) dτ
(6.34)
L’intégration peut cependant être étendue jusqu’à −∞ à condition d’assurer Rij (t) = 0 pour
t < 0. On dit dans ce cas que les fonctions réponses Rij sont causales. Dans ce cas :
Z +∞
Pi (r, t) = ε0
Rij (τ ) Ej (r, t − τ ) dτ
(6.35)
−∞
La composante Pi du vecteur polarisation P est la somme des produits de convolution des
fonctions réponses Rij avec les composantes Ej du champ électrique E :
Pi (r, t) = ε0 Rij (t) ∗ Ej (r, t)
(6.36)
Dans l’espace réciproque, ou espace de F OURIER, relatif à l’espace temporel, la relation de
convolution se transforme en un produit simple :
Pi (r, ω) = ε0 χij (ω) Ej (r, ω)
(6.37)
3. Les causes précèdent les effets.
Y. E L A ZHARI
114
CRMEF / AGP-1
1.. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
avec :
χij (ω) =
Rij (t) =
Z
+∞
−∞
Z +∞
−∞
(6.38)
Rij (t) exp i ω t dt
χij (ω) exp −i ω t
dω
2π
(6.39)
Ceci permet d’écrire :
(6.40)
P(r, ω) = χ(ω) E(r, ω)
χ(ω) est le tenseur des susceptibilités électriques linéaires du matériau considéré.
Remarques
– Il est important de noter que les coefficients χij sont, en général des nombre complexes
et dépendent de la pulsation ω de l’onde.
– La fonction réponse étant définie réelle, Rij (t) ∈ R. D’après les propriétés des transformées de F OURIER :
χij (−ω) = χ∗ij (ω)
(6.41)
– Par ailleurs, on montre que, dans le cas d’un milieu transparent – c’est-à-dire non absorbant –, le tenseur χ est hermitien :
χji (ω) = χ∗ij (ω)
(6.42)
χii (ω) = χ∗ii (ω) ∈ R
(6.43)
En particulier :
Ce qui signifie que dans ce cas, les éléments diagonaux du tenseur χ sont réels.
1.2.5. Cas d’une onde monochromatique
Dans le cas d’une onde monochromatique ou harmonique de pulsation ω, le représentation
complexe du champ électrique correspondant s’écrit :
E j (r, t) = E 0j (r) exp −i ω t
de sorte que la représentation complexe de la polarisation est donnée par 4 :
Z +∞
P i (r, t) = ε0
Rij (τ ) E 0j (r) exp −i ω(t − τ ) dτ
(6.44)
(6.45)
−∞
ce qui donne :
P i (r, t) = ε0 χij (ω) E 0j (r) exp −i ω t
(6.46)
4. L’intégration est étendue de −∞ à +∞ sachant que la fonction réponse Rij (t) est nulle pour t < 0 (fonction
causale).
CRMEF / AGP-1
115
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
D’où l’on retrouve, la relation linéaire reliant les représentations complexes du champ électrique et du vecteur polarisation :
P(r, t) = ε0 χ(ω) E(r, t)
(6.47)
Remarque
Le tenseur χ étant défini dans C, il n’est pas toujours possible de déduire à partir (6.47), une
relation linéaire entre P(r, t) et E(r, t).
1.2.6. Milieux linéaires isotropes
On verra plus loin que dans le cas des milieux transparents, il existe un système d’axes
propres, dits axes électrique, dans lequel le tenseur χ est diagonal :


χ1 0
0
χ =  0 χ2 0 
(6.48)
0
0 χ3
En général, la réponse d’un tel milieu n’est pas la même selon les trois axes propres. Le milieu
est dit anisotrope.
Un milieu isotrope est tel que :
χ1 = χ2 = χ3 = χ
(6.49)
χ = χI
(6.50)
Dans un tel milieu :
I étant le tenseur identité d’ordre 2. Il vient :
D = ε0 (1 + χ) E = ε0 εr E = ε E
(6.51)
Ce qui définit la permittivité diélectrique absolue ε = ε0 εr et la permittivité diélectrique relative :
εr = 1 + χ
(6.52)
L’équation de propagation (6.17) se simplifie dans le cas d’un milieu isotrope compte tenu
de :
P = ε0 χ E ;
• ∇ ·D = 0 et D = ε E qui imposent ∇ ·E = 0 à condition que le milieu soit homogène.
L’équation de propagation devient alors :
•
1 ∂2E
=0
(6.53)
c2 ∂t2
Le champ électrique est alors solution de l’équation de propagation de D’A LEMBERT, avec :
√
c0
(6.54)
c=
et
n = εr
n
c désigne la célérité de la lumière dans le milieu considéré et n l’indice de réfraction du milieu.
∇2 E −
Y. E L A ZHARI
116
CRMEF / AGP-1
2.. PROPAGATION DE LA LUMIÈRE PAR OEMPPM
Remarque
On généralise la relation entre l’indice de réfraction et la permittivité diélectrique relative, au
cas des milieux linéaires et isotropes mais non homogènes, en définissant un indice de réfraction
local tel que :
p
c0
= εr (M)
n(M) =
(6.55)
c(M)
2.
Propagation de la lumière par OEMPPM
En plus de leur importance mathématique due au théorème de F OURIER, les OEMPPM
peuvent, dans certaines conditions, décrire convenablement la propagation de la lumière.
2.1.
Expression des champs électrique et magnétique
La solution en OEMPPM est donnée en notation complexe par :
E(M, t) = E0 exp i (k·r − ω t)
H(M, t) = H0 exp i (k·r − ω t)
(6.56)
(6.57)
avec :
H0 =
k
× E0
µ0 ω
(6.58)
L’équation d’onde (6.53) impose alors :
k = ||k|| =
2.2.
ω
ω
=n
c
c0
(6.59)
Propagation de l’énergie – Intensité lumineuse
La puissance P transportée par le champ électromagnétique (E, B) à travers une surface S
est donnée par le flux du vecteur de P OYNTING à travers cette surface :
ZZ
P(t) =
Π(M, t) · dS(M)
(6.60)
S
où :
Π(M, t) = ℜ [E(M, t)] × ℜ [H(M, t)]
(6.61)
Cette puissance varie en fonction du temps avec une fréquence de l’ordre de 1014 Hz dans le
domaine du visible. Sachant que le temps de réponse des détecteurs les plus rapides ne descend
jamais en dessous d’environ 10−9 s, aucun détecteur ne peut donc suivre des variations aussi
rapides. On utilise alors la puissance moyenne P donnée par :
ZZ
hΠ(M, t)it · dS(M)
(6.62)
P = hP(t)it =
S
CRMEF / AGP-1
117
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
avec, pour les ondes harmoniques :
hΠ(M, t)it =
1
ℜ [E(M, t) × H∗ (M, t)]
2
(6.63)
où H∗ désigne le complexe conjugué de H.
L’intensité lumineuse quant à elle, est définie par le module du vecteur de P OYNTING
moyen :
I(M) = k hΠ(M, t)it k
(6.64)
3.
Lois de la réflexion et de la réfraction
On s’intéresse dans cette partie à la réfraction et la réflexion d’une onde lumineuse sur la
surface de séparation de deux milieux optiques ① et ②, d’indices de réfraction respectifs n1 et
n2 . Une telle surface est appelée dioptre.
Dans toute la suite, nous considérons les milieux homogènes et le dioptre plan même si
les résultats qui seront établis seront facilement généralisables à des situations où ces deux
hypothèses ne seront pas satisfaites. L’onde lumineuse incidente, décrite par une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique se propage dans le milieu ①. Elle donne
naissance, au niveau du dioptre (y = 0), à une onde réfléchie dans le milieu ① et une onde
transmise dans le milieu ② (figure 6.1).
uy
ui
i1
ur
i′1
n1
①
②
n2
i2
ux
ut
F IGURE 6.1 – Surface de séparation entre deux milieux réfringents.
Comme l’onde incidente, nous décrirons les ondes réfléchie et transmise par des ondes
électromagnétiques planes progressives et monochromatiques.
Connaissant l’amplitude et la direction de propagation de l’onde incidente, on se propose
de déterminer celles de l’onde transmise et de l’onde réfléchie.
Y. E L A ZHARI
118
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
3.1.
Conditions de passage
En plus de l’équation de propagation :
∇2 E −
n2i ∂ 2 E
=0
c20 ∂t2
(6.65)
où i = 1 où 2 selon le milieu dans lequel elles se propagent, les ondes incidente, réfléchie et
transmise doivent vérifier les conditions de passage (cf. annexe C) au niveau du dioptre. Compte
tenu des caractéristiques des milieux optiques (cf.1.2.1.), les conditions de passage s’écrivent :
Continuité de la composante normale de D :
Continuité de la composante tangentielle de E :
Continuité de H :
(D2 − D1 ) · n1→2 = 0
(E2 − E1 ) × n1→2 = 0
(H2 − H1 ) = 0
(6.66a)
(6.66b)
(6.66c)
n1→2 = −uy est le vecteur unitaire directeur de la normale au dioptre, orienté du milieu ①
vers le milieu ②.
3.2.
Notations
3.2.1. Onde incidente
L’onde incidente peut être caractérisée par son champ électrique :
Ei (M, t) = E◦i exp i(x ki x + y ki y − ω t)
(6.67)
où les composantes (ki x , ki y , ki z ) du vecteur d’onde ki de l’onde incidente sont données par :
ω
sin i1
c0
ω
= −n1 cos i1
c0
=0
ki x = +n1
(6.68a)
ki y
(6.68b)
ki z
(6.68c)
En effet, l’équation de propagation dans le milieu ① impose :
ki = ||ki || = n1
ω
c0
(6.69)
Remarque
On appelle plan d’incidence, le plan défini par le vecteur d’onde ki de l’onde incidente et la
normale N ≡ uy au dioptre. Le choix ki z = 0 revient à choisir l’axe sous tendu par ux de telle
sorte que le plan (ux , uy ) soit confondu avec le plan d’incidence.
3.2.2. Ondes réfléchie et transmise
Le champ électrique de l’onde réfléchie dans le milieu ① peut être recherché sous la forme :
Er (M, t) = E◦r exp i(kr ·r − ω t)
CRMEF / AGP-1
119
(6.70)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
où les composantes (kr x , kr y , kr z ) du vecteur d’onde kr de l’onde réfléchie, doivent vérifier,
compte tenu de l’équation de propagation dans le milieu ① dans lequel se propage cette onde :
kkr k2 = kr2 x + kr2 y + kr2 z = n21
ω2
c20
(6.71)
De la même manière, le champ électrique de l’onde transmise dans le milieu ② peut être
recherché sous la forme :
Et (M, t) = E◦t exp i(kt ·r − ω t)
(6.72)
où les composantes (kt x , kt y , kt z ) du vecteur d’onde kt de l’onde transmise, doivent vérifier,
compte tenu de l’équation de propagation dans le milieu ② dans lequel se propage cette onde :
kkt k2 = kt2x + kt2y + kt2z = n22
3.3.
ω2
c20
(6.73)
Lois de D ESCARTES -S NELL
Les lois de D ESCARTES -S NELL donnent les directions de propagation de l’onde transmise
et de l’onde réfléchie en fonction de la direction de propagation de l’onde incidente.
Pour déterminer ces directions de propagation, on peut exploiter la continuité de la composante tangentielle du champ électrique en y = 0 :
(E2 − E1 ) × n1→2 = 0
(6.74)
(Ei + Er ) × uy = Et × uy
(6.75)
Ainsi :
Soit :
E◦i × uy exp i(x ki x + z ki z ) + E◦r × uy exp i(x kr x + z kr z ) = E◦t × uy exp i(x kt x + z kt z )
Cette relation ne peut être vérifiée en tout point du dioptre de coordonnées (x, 0, z) que si,
d’une part :
kt x = kr x = ki x
kt z = kr z = ki z = 0
(6.76a)
(6.76b)
(E◦i + E◦r ) × uy = E◦t × uy
(6.77)
et d’autre part :
3.3.1. Direction de propagation de l’onde réfléchie
Les relations (6.76) permettent d’établir les lois de D ESCARTES-S NELL relatives à la réflexion.
Y. E L A ZHARI
120
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
En effet, l’égalité kr z = ki z = 0 montre que le vecteur d’onde kr de l’onde réfléchie est
contenu dans le plan d’incidence (ui , uy ) : c’est la première loi de D ESCARTES-S NELL pour
la réflexion. En désignant par i′1 l’angle que fait kr avec la normale N ≡ uy au dioptre, on peut
alors écrire 5 :
ω
(6.78a)
kr x = −n1 sin i′1
c0
ω
kr y = +n1 cos i′1
(6.78b)
c0
D’autre part, l’égalité kr x = ki x , donne, compte tenu des expressions (6.68a) de ki x et
(6.78a) de kr x :
sin i1 = − sin i′1
(6.79)
qui admet comme seule solution physique :
i′1 = −i1
(6.80)
Ce qui constitue la deuxième loi de D ESCARTES-S NELL pour la réflexion.
3.3.2. Direction de propagation de l’onde transmise
De la même manière, commençons par exprimer les composantes (kt x , kt y , kt z ) de l’onde
transmise. Les relations (6.68a) et (6.76) permettent d’écrire :
kt x = ki x = n1
ω
sin i1
c0
kt z = ki z = 0
(6.81a)
(6.81b)
et, compte tenu de (6.73) :
kt2y =
ω2 2
(n − n21 sin2 i1 )
c20 2
(6.82)
Cette expression montre que lorsque n1 > n2 et i1 > arcsin nn21 , la composante kt y du
vecteur d’onde kt de l’onde transmise devient un nombre complexe imaginaire pur et se mettre
sous la forme :
q
ω
(6.83)
kt y = i m
avec
m = n21 sin2 i1 − n22
c0
Le champ électrique de l’onde transmise s’écrit alors :
Et (M, t) = E◦t exp
2πmy
exp i (x kt x − ω t)
λ
(6.84)
L’onde transmise est alors une onde qui se propage dans la direction de ux , c’est-à-dire parallèlement à la surface de séparation des deux milieux, tout en s’atténuant dans la direction de
5. Ce qui permet au passage de respecter la relation (6.71).
CRMEF / AGP-1
121
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
uy perpendiculaire à cette surface, puisque y < 0 dans le milieu ② . Une telle onde est appelée
onde évanescente.
Dans le cas contraire, c’est-à-dire si n22 − n21 sin2 i1 > 0, kt y est réel 6 et l’onde transmise
est une OEMPPM ordinaire qui se propage dans le milieu ②. Les relations (6.76) permettent
alors de déterminer la direction de propagation de l’onde transmise et d’établir ainsi les lois de
D ESCARTES-S NELL pour à la réfraction.
En effet, l’égalité kt z = ki z = 0 montre que le vecteur d’onde kt de l’onde transmise est
contenu dans le plan d’incidence (ui , uy ). Ce qui constitue la première loi de D ESCARTESS NELL pour la réfraction. En désignant par i2 l’angle que fait kt avec la normale au dioptre
(figure 6.1), on peut écrire 7 :
ω
(6.85a)
kt x = +n2 sin i2
c0
ω
kt y = −n2 cos i2
(6.85b)
c0
Légalité ki x = kt x , donne alors, compte tenu des expressions (6.68a) de ki x et (6.85a) de kt x :
n1 sin i1 = n2 sin i2
(6.86)
C’est la deuxième loi de D ESCARTES-S NELL pour la réfraction.
Remarque
L’équation (6.86) traduisant la deuxième loi de D ESCARTES-S NELL pour la réfraction n’admet
de solution dans R pour i2 que si | sin i2 | 6 1. Dans le cas où n1 > n2 , il existe un angle
ℓ = arcsin nn12 appelé angle de réflexion totale, tel que si i1 > ℓ alors nn12 sin i1 > 1 et l’équation
(6.86) n’admet plus de solution dans R. Il y a alors réflexion totale de l’onde incidente.
3.4.
Coefficients de F RESNEL
Les coefficients de F RESNEL permettent de déterminer les amplitudes complexes des ondes
réfléchie et transmise connaissant celle de l’onde incidente. Pour cela on distingue deux cas.
3.4.1. Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
Dans ce cas (figure 6.2(a)) :
E◦i = E ◦i uz
(6.87)
Les champs électriques des ondes réfléchie et transmise sont eux aussi orthogonaux 8 au plan
d’incidence :
E◦r = E ◦r uz
et
E◦t = E ◦t uz
(6.88)
6. C’est le cas lorsque n1 < n2 quelque soir la valeur de i1 , mais aussi lorsque n1 > n2 à condition que i1 reste
2
à l’angle de réflexion totale ℓ = arcsin n
.
n1
7. Ce qui permet au passage de respecter la relation (6.73).
8. Les propriétés de symétrie du système S constitué par le champ électrique incident et le dioptre supposé infini,
permettent de justifier cette affirmation. En effet, d’une part, le plan d’incidence est un plan d’antisymétrie pour S et
d’autre part, le système S peut être considéré comme la source des champs réfléchi et transmis. Il en résulte que Er et
Et sont orthogonaux au plan d’incidence.
Y. E L A ZHARI
122
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
uy
uy
Ei
Hi
Ei
kr
Er
i1 i′1
ki
Hi
kr
Er
ki
Hr
i1 i′1
Hr
ux
i2
ux
Et
i2
Ht
Et
Ht
kt
kt
(a) Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence.
(b) Polarisation parallèle au plan d’incidence.
F IGURE 6.2 – Disposition des différents champs au niveau de l’interface, (a) dans le cas d’une
polarisation linéaire perpendiculaire au plan d’incidence et (b) dans le cas d’une polarisation
linéaire parallèle au plan d’incidence.
et on définit alors les coefficients complexes de réflexion r⊥ et de transmission t⊥ pour l’amplitude complexe du champ électrique tels que :
E ◦r = r⊥ E ◦i
et
E ◦t = t⊥ E ◦i
(6.89)
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique donne :
1 + r⊥ = t⊥
(6.90)
Exprimons les vecteurs excitation magnétique des trois ondes. L’équation de M AXWELL FARADAY s’écrit pour chacune des trois ondes :
H(M, t) =
k
× E(M, t)
µ0 ω
(6.91)
Ce qui donne :
– Onde incidente
Hi (M, t) =
1
µ0 ω
+ki y E ◦i exp i(x ki x + y ki y − ω t)
−ki x E ◦i exp i(x ki x + y ki y − ω t)
0
(6.92)
+kr y r⊥ E ◦i exp i(x kr x + y kr y − ω t)
−kr x r⊥ E ◦i exp i(x kr x + y kr y − ω t)
0
(6.93)
– Onde réfléchie
Hr (M, t) =
CRMEF / AGP-1
1
µ0 ω
123
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
– Onde transmise
Ht (M, t) =
+kt y t⊥ E ◦i exp i(x kt x + y kt y − ω t)
−kt x t⊥ E ◦i exp i(x kt x + y kt y − ω t)
0
1
µ0 ω
(6.94)
Nous pouvons alors exprimer la continuité du champ magnétique à l’interface. En particulier, la composante selon Ox donne :
(6.95)
ki y + kr y r⊥ = kt y t⊥
ce qui donne, compte tenu de (6.90) :
r⊥ =
kt y − ki y
kr y − kt y
et
t⊥ =
kr y − ki y
kr y − kt y
(6.96)
Selon la nature de l’onde transmise (ordinaire ou évanescente), ces expressions générales
de r⊥ et t⊥ s’écrivent :
– dans le cas d’une onde transmise ordinaire
n1 cos i1 − n2 cos i2
n1 cos i1 + n2 cos i2
2 n1 cos i1
t⊥ =
n1 cos i1 + n2 cos i2
r⊥ =
(6.97a)
(6.97b)
– dans le cas d’une onde transmise évanescente
n1 cos i1 − i m
n1 cos i1 + i m
2 n1 cos i1
t⊥ =
n1 cos i1 + i m
r⊥ =
(6.98a)
(6.98b)
où m est une fonction de i1 donnée par la relation (6.83). On peut remarquer, en particulier, que dans ce cas :
|r⊥ | = 1
et
2 n1 cos i1
|t⊥ | = p
n21 − n22
(6.99)
La figure 6.3 donne les représentation graphiques du coefficient de réflexion pour le champ
électrique dans le cas d’une polarisation perpendiculaire au plan d’incidence r⊥ en fonction de
l’angle d’incidence i1 dans les deux cas n1 < n2 et n1 > n2 .
Le coefficient de réflexion R pour l’énergie ou l’intensité lumineuse est le rapport des flux
des vecteurs de P OYNTING réfléchi et incident à travers une surface unitaire du dioptre plan
(y = 0) séparant les deux milieux :
R=
Y. E L A ZHARI
hΠr (M, t)it · uy
hΠi (M, t)it · (−uy )
124
(6.100)
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
1
|r⊥ |
|r⊥ |
1
1
2
0
π
4
0
0
π
2
π
0
π
4
π
2
π
4
π
2
0
arg(r⊥ )
arg(r⊥ )
1
2
π
2
00
π
4
i1
π
−2
−π
π
2
0
i1
(a) n1 < n2 .
(b) n1 > n2 .
F IGURE 6.3 – Représentation graphique du coefficient de réflexion pour le champ électrique
dans le cas d’une polarisation perpendiculaire au plan d’incidence r⊥ en fonction de l’angle
d’incidence i1 .
Avec, puisque les champs considérés sont tous harmoniques :
hΠ(M, t)i =
1
|E|2
ℜ[E(M, t) × H∗ (M, t)] =
ℜ(k∗ )
2
2 µ0 ω
(6.101)
Le coefficient de réflexion correspondant s’écrit alors, compte tenu des expressions (6.68b) de
ki y , (6.78b) de kr y et la deuxième loi de D ESCARTES-S NELL pour la réflexion (6.80) :
R⊥ = −
ℜ(kr∗ y )
|Er |2 ℜ(k∗r · uy )
2
=
−|r
|
= |r⊥ |2
⊥
|Ei |2 ℜ(k∗i · uy )
ℜ(ki∗y )
(6.102)
Soit, compte tenu de l’expression générale (6.96) de r⊥ :
R⊥ =
kt y − ki y
kr y − kt y
2
(6.103)
Là aussi, selon la nature de l’onde transmise (ordinaire ou évanescente), on obtient deux
expressions différentes de R⊥ :
– dans le cas d’une onde transmise ordinaire :
2
n1 cos i1 − n2 cos i2
R⊥ =
n1 cos i1 + n2 cos i2
CRMEF / AGP-1
125
(6.104)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
– dans le cas d’une onde transmise évanescente :
(6.105)
R⊥ = 1
1
1
1
2
1
2
R
R
La figure 6.4 donne une représentation graphique du coefficient de réflexion R⊥ pour l’intensité lumineuse dans le cas du passage d’un milieu moins réfringent dans un milieu plus
réfringent (6.4(a)) et dans le cas du passage d’un milieu plus réfringent dans un milieu moins
réfringent (6.4(b)), en fonction de l’angle d’incidence i1 . On remarque que dans le second cas,
le palier R⊥ = 1 correspond à la réflexion totale qui se produit pour un angle d’incidence
supérieur ou égal à l’angle réflexion totale ℓ = arcsin nn21 .
R⊥
0
R⊥
R//
π
4
0
0
π
2
R//
π
4
0
i1
π
2
i1
(a) n1 < n2 .
(b) n1 > n2 .
F IGURE 6.4 – Représentation graphique du coefficient de réflexion R pour l’intensité lumineuse
dans le cas du passage d’un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent (a) et dans
le cas du passage d’un milieu plus réfringent dans un milieu moins réfringent (b), en fonction
de l’angle d’incidence i1 .
De la même manière, le coefficient de transmission T pour l’énergie ou l’intensité lumineuse, est donné par le rapport des flux des vecteurs de P OYNTING transmis et incident à travers
une surface unitaire du dioptre plan (y = 0) séparant les deux milieux :
T =
hΠt (M, t)it · uy
hΠi (M, t)it · uy
(6.106)
Ce qui donne, compte tenu de l’expression (6.101) du vecteur de P OYNTING moyen pour des
champs harmoniques et de celles des champs électriques à l’interface :
T⊥ =
ℜ(kt∗y )
ℜ(kt∗y )
|Et |2 ℜ(k∗t ) · uy
= |t⊥ |2
= |t⊥ |2
∗
∗
2
|Ei | ℜ(ki ) · uy
ℜ(ki y )
ki y
(6.107)
puisque ki y est réel comme le montre la relation (6.68b).
Y. E L A ZHARI
126
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
Dans le cas d’une onde transmise ordinaire, kt y est réel et est donné par (6.85b), de sorte
que :
T⊥ = |t⊥ |2
n2 cos i2
n1 cos i1
(6.108)
soit :
T⊥ =
4 n1 n2 cos i1 cos i2
(n1 cos i1 + n2 cos i2 )2
(6.109)
Par contre, dans le cas d’une onde transmise évanescente, kt y est imaginaire pur d’après
(6.83) de sorte que :
T⊥ = 0
(6.110)
Remarques
– Les expressions (6.104) et (6.109) valables pour une onde transmise ordinaire 9 d’une
part, et les équations (6.105) et (6.110) valables pour une onde évanescente d’autre part,
montrent que dans chacun des deux cas :
R⊥ + T⊥ = 1
(6.111)
Ce qui traduit la conservation de l’énergie lumineuse.
– Les équations (6.92), (6.93) et (6.94) permettent de déduire les expressions des coef′
ficients complexes de réflexion r⊥
et de transmission t′⊥ pour l’amplitude complexe des
deux composantes du vecteur excitation magnétique :
– selon Ox
Hr x
= −r⊥
Hi x
H
kt y
t⊥
= tx =
Hi x
ki y
′
=
r⊥
x
(6.112a)
t′⊥x
(6.112b)
– selon Oy
Hr y
= +r⊥
Hi y
Ht y
kt x
=
=
t⊥ = t⊥
Hi y
ki x
′
=
r⊥
y
(6.113a)
t′⊥y
(6.113b)
9. C’est-à-dire non évanescente.
CRMEF / AGP-1
127
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
3.4.2. Onde incidente polarisée rectilignement parallèlement au plan d’incidence
3.4.2.1.
Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
Dans ce cas (figure 6.2(b)), le vecteur champ électrique de l’onde incidente est contenu dans
le plan d’incidence alors que le vecteur excitation magnétique est orthogonal à ce plan. Il en
résulte 10 que les vecteurs excitation magnétique aussi bien de l’onde réfléchie que de l’onde
transmise sont orthogonaux au plan d’incidence :
H◦i = H ◦i uz
H◦r = H ◦r uz
;
H◦t = H ◦t uz
(6.114)
′
ce qui permet de définir simplement les coefficients complexes de réflexion r//
et de transmis′
sion t// pour l’amplitude complexe du vecteur excitation magnétique :
′
H ◦r = r//
H ◦i
et
H ◦t = t′// H ◦i
(6.115)
La continuité de la composante tangentielle du vecteur excitation magnétique donne :
′
= t′//
1 + r//
(6.116)
Exprimons alors les champs électriques des ondes incidente, réfléchie et transmise. L’équation de M AXWELL -A MPÈRE donne pour chacune des trois ondes :
E=
µ0 c20
H×k
ω n2
(6.117)
D’où l’on obtient :
– pour l’onde incidente :
µ0 c20
Ei (M, t) =
ω n21
−ki y H ◦i exp i(x ki x + y ki y − ω t)
+ki x H ◦i exp i(x ki x + y ki y − ω t)
0
(6.118)
′
−kr y r//
H ◦i exp i(x kr x + y kr y − ω t)
′
+kr x r//
H ◦i exp i(x kr x + y kr y − ω t)
0
(6.119)
−kt y t′// H ◦i exp i(x kt x + y kt y − ω t)
+kt x t′// H ◦i exp i(x kt x + y kt y − ω t)
0
(6.120)
– pour l’onde réfléchie :
µ0 c20
Er (M, t) =
ω n21
– pour l’onde transmise :
µ0 c20
Et (M, t) =
ω n22
10. Les propriétés de symétrie du système S constitué par le vecteur excitation magnétique incident et le dioptre
supposé infini, permettent de justifier cette affirmation. En effet, d’une part, le plan d’incidence est un plan de symétrie
pour S et d’autre part, le système S peut être considéré comme la source des vecteurs excitation magnétique réfléchi et
transmis. Il en résulte que Hr et Ht sont orthogonaux au plan d’incidence.
Y. E L A ZHARI
128
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
La continuité de la composante tangentielle (i.e. selon ux ) du champ électrique donne alors :
′
ki y + kr y r//
=
n21
kt y t′//
n22
(6.121)
On en déduit, compte tenu de (6.116) :
′
r//
=
n21 kt y − n22 ki y
n22 kr y − n21 kt y
t′// =
et
n22 (kr y − ki y )
n22 kr y − n21 kt y
(6.122)
′
Ces expressions générales de r//
et t′// , deviennent, selon la nature de l’onde transmise
(ordinaire ou évanescente) :
– dans le cas d’une onde transmise ordinaire :
n2 cos i1 − n1 cos i2
n2 cos i1 + n1 cos i2
2 n2 cos i1
=
n2 cos i1 + n1 cos i2
′
r//
=
(6.123a)
t′//
(6.123b)
– dans le cas d’une onde transmise évanescente :
n22 cos i1 + i m n1
n22 cos i1 − i m n1
2 n22 cos i1
= 2
n2 cos i1 − i m n1
′
=
r//
(6.124a)
t′//
(6.124b)
où m est une fonction de i1 donnée par la relation (6.83). On peut remarquer, en particulier, que dans ce cas :
′
|r//
|=1
et
2 n22 cos i1
|t′// | = q
n42 cos2 i1 + n41 sin2 i1 − n21 n22
(6.125)
Remarque
Les équations (6.118), (6.119) et (6.120) permettent alors de déduire les expressions des coefficients de réflexion r// et de transmission t// pour l’amplitude complexe du champ électrique :
– Selon Ox
r//x =
Er x
′
= −r//
Ei x
et
t//x =
n2 kt y ′
Et x
t
= 12
Ei x
n2 ki y //
(6.126)
– Selon Oy
r//y =
Er y
′
= +r//
Ei y
et
t//y =
Et y
n2
n2 kt x ′
t// = 12 t′//
= 21
Ei y
n2 ki x
n2
(6.127)
′
La figure 6.5 donne une représentation graphique du module et de l’argument de r//
en
fonction de l’angle d’incidence i1 , pour les deux cas n1 < n2 et n1 > n2 . On remarque en
′
particulier que le coefficient de réflexion r//
s’annule pour un angle d’incidence particulier
appelé angle de B REWSTER (cf.§3.4.2.3.).
CRMEF / AGP-1
129
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
1
′
|r//
|
′
|r//
|
1
1
2
0
0
π
4
0
π
2
′
arg(r//
)
′
arg(r//
)
0
π
4
π
2
π
4
π
2
π
π
π
2
00
1
2
π
4
0
π
−2
−π
π
2
i1
π
2
0
i1
(a) n1 < n2 .
(b) n1 > n2 .
F IGURE 6.5 – Représentation graphique du coefficient de réflexion r// pour le champ électrique
dans le cas d’une polarisation parallèle au plan d’incidence en fonction de l’angle d’incidence
i1 .
3.4.2.2.
Coefficients de réflexion et de transmission pour l’intensité
Les expressions du coefficient de réflexion R// et de transmission T// , pour l’intensité lumineuse, dans le cas d’une onde polarisée rectilignement parallèlement au plan d’incidence,
s’obtiennent à partir des relations générales (6.100) et (6.106). Pour cela, il faut exprimer le
vecteur de P OYNTING moyen en fonction du vecteur excitation magnétique :
|H(M, t)|2
hΠ(M, t)it =
ℜ
2 ε0 ω
k
n2
(6.128)
Il vient alors :
R// = −
|Hr |2 ℜ(kr · uy )
′ 2 ℜ(kr y )
|
= −|r//
2
|Hi | ℜ(ki · uy )
ℜ(ki y )
T// = |t′// |2
n21 ℜ(kt y )
n22 ℜ(ki y )
(6.129a)
(6.129b)
Comme précédemment, il est alors nécessaire de distinguer deux cas selon la nature de
l’onde transmise.
– Cas d’une onde transmise progressive
Y. E L A ZHARI
130
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
Les expressions (6.68b), (6.78b) et (6.85b) de ki y , kr y et kt y d’une part et celles (6.123)
′
de r//
et t′// d’autre part, permettent alors d’obtenir à partir de (6.129) :
T//
2
n2 cos i1 − n1 cos i2
n2 cos i1 + n1 cos i2
4 n1 n2 cos i1 cos i2
=
(n2 cos i1 + n1 cos i2 )2
R// =
(6.130)
(6.131)
Comme dans le cas précédent, ces expressions respectent le principe conservation de
l’énergie puisque R// + T// = 1.
– Cas d’une onde transmise évanescente
De la même manière, les expressions (6.68b), (6.78b) et (6.83) de ki y , kr y et kt y d’une
′
part et celles (6.125) de |r//
| et |t′// | d’autre part, permettent alors d’obtenir à partir de
(6.129) :
3.4.2.3.
R// = 1
(6.132)
T// = 0
(6.133)
Cas de l’incidence brewstérienne
La figure 6.4 montre que le coefficient de réflexion en intensité R// pour une polarisation
de l’onde incidente contenue dans le plan d’incidence, s’annule pour une valeur particulière iB
de l’angle d’incidence. Cet angle dit angle de B REWSTER est tel que :
n2 cos iB = n1 cos i2,B
(6.134)
où i2,B est l’angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence i1 = iB . La deuxième
sin iB
loi de D ESCARTES – S NELL pour la réfraction permet alors de remplacer nn21 par sin
i2,B pour
aboutir à :
sin iB cos iB = sin i2,B cos i2,B
(6.135)
sin 2 i1,B = sin 2 i2,B
(6.136)
ou encore :
dont la seule solution compatible avec la deuxième loi de D ESCARTES – S NELL pour la réfraction, est telle que :
i1,B + i2,B =
π
2
(6.137)
En remplaçant dans la deuxième loi de D ESCARTES – S NELL pour la réfraction, on obtient
l’expression de l’angle de B REWSTER iB = i1,B :
tan iB =
CRMEF / AGP-1
n2
n1
131
(6.138)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 6. BASES DE LA THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE
Remarques
L’incidence de B REWSTER offre deux applications pratiques intéressantes :
– Connaissant l’un des deux indices de réfraction, on peut par pointage et mesure de
l’angle de B REWSTER, en déduire la valeur de l’autre indice de réfraction.
– Sous incidence brewtérienne, le dioptre en question agit comme un polariseur par réflexion puisque le champ électrique de l’onde réfléchie est orthogonal au plan d’incidence : la composante du champ électrique parallèle au plan d’incidence étant nulle. Y. E L A ZHARI
132
CRMEF / AGP-1
3.. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION
Exercices du chapitre 6
Ex. 6.1 — Base
M
Ex. 6.2 — A
O
•
•
U
1. C.
2. R.
CRMEF / AGP-1
133
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
7
POLARISATION DE LA LUMIÈRE
Loin des sources, l’OEM associée à la lumière est transversale. Une lumière est dite polarisée si l’OEM qui lui est associée est dans l’un des états de polarisation décrits dans le cours sur
la propagation des OEM (cf. annexe B). C’est-à-dire rectiligne, circulaire ou elliptique. Sinon
la lumière est dite non polarisée.
Par superposition d’une lumière polarisée et d’une lumière non polarisée on obtient une
lumière partiellement polarisée.
1.
Polariseur et analyseur – loi de M ALUS
1.1.
Polariseur
Un polariseur est un système optique permettant d’obtenir une lumière polarisée rectilignement à partir d’une lumière de polarisation quelconque (éventuellement non polarisée).
Dans la pratique, les polariseurs sont des lames « polaroïds » : ce sont des feuilles de plastique transparent fortement étirées dans une direction donnée et traité par une solution iodée.
Les chaînes de macromolécules sont ainsi orientées dans la direction de l’étirement et, à cause
des atomes d’iode fixés sur ces chaînes, le matériau présente une conductivité importante dans
cette direction. La composante de E parallèle aux chaînes met en mouvement les électrons
libres et leur cède son énergie : elle est donc absorbée. La composante de E perpendiculaire
aux chaînes, au contraire, n’est quasiment pas affectée par la traversée de la lame. On appelle
axe du polaroïd l’axe perpendiculaire aux chaînes.
Étant donnée une lumière incidente caractérisée par son champ électrique E, la composante de E parallèle à l’axe du polariseur est transmise sans atténuation, la composante de E
perpendiculaire à l’axe du polariseur est totalement absorbée.
En pratique, les lames polaroïds sont montées sur des supports et un index repère la direction
de transmission maximale de la lame.
135
CHAPITRE 7. POLARISATION DE LA LUMIÈRE
Direction de
transmission
Sens de
z propagation
Source
Lumière
non polarisée
(P)
Polariseur
Lumière
polarisée rectilignement
F IGURE 7.1 – Action d’un polariseur sur une lumière non polarisée.
1.2.
Loi de M ALUS
Disposons, l’un après l’autre, deux polariseurs dont les axes font entre eux un angle α. Le
deuxième polariseur est appelé analyseur (figure 7.2).
E1
α
E2
Source
z
Lumière
non polarisée
(P1 )
Polariseur
Observateur
(P2 )
Analyseur
F IGURE 7.2 – Analyse de la lumière transmise par un polariseur.
La loi de M ALUS donne l’intensité lumineuse I transmise par l’analyseur en fonction de
l’angle α.
Par la suite on supposera que la composante du champ électrique parallèle à l’axe du polariseur est intégralement transmise et celle perpendiculaire à cet axe totalement absorbée :
polariseur parfait.
L’intensité lumineuse I transmise par l’analyseur est proportionnelle à la valeur moyenne
du module au carré du champ électrique E2 transmis par l’analyseur
I ∝ ||E2 ||2
Y. E L A ZHARI
136
(7.1)
CRMEF / AGP-1
2.. LAMES À RETARD
(P1 )
u1
(P2 )
E1
u2
E2
α
z
F IGURE 7.3 – Projection sur l’axe de l’analyseur du champ électrique transmis par le polariseur.
Or l’analyseur ne laisse passer que la composante du champ électrique parallèle à son axe u2 ,
donc
E2 = (E1 · u2 ) u2
(7.2)
soit, puisque E1 est polarisé rectilignement suivant u1 (figure 7.3)
E2
= E1 (u1 · u2 ) u2
= E1 cos α u2
(7.3)
(7.4)
Aussi l’intensité transmise par l’analyseur s’écrit-elle
I = I0 cos2 α
(7.5)
où I0 est une constante indépendante de α. C’est la loi de M ALUS. On peut remarquer qu’il y a
extinction (I = 0) lorsque le polariseur et l’analyseur sont croisés (α = ±π/2).
2.
Lames à retard
2.1.
Généralités
On appelle ainsi une lame mince à faces parallèles taillée dans un cristal anisotrope uniaxe.
Un tel milieu possède, du point de vue des propriétés optiques, la symétrie de révolution autour
d’un axe appelé axe optique.
Par construction, l’axe optique est parallèle à la face d’entrée de la lame. D’autre part, les
lames à retard sont utilisées en général sous incidence normale ; ce que nous allons supposé par
la suite.
L’étude de la propagation d’une onde électromagnétiqueplane progressive monochromatique (OEMPPM) dans de telles lames montre que 1 :
1. Voir chapitre sur les milieux uniaxes.
CRMEF / AGP-1
137
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 7. POLARISATION DE LA LUMIÈRE
– Si l’OEMPPM est polarisée rectilignement perpendiculairement à l’axe optique alors elle
se propage sans changement de polarisation et la lame présente un indice de réfraction
no (indice ordinaire).
– Si l’OEMPPM est polarisée rectilignement parallèlement à l’axe optique alors elle se
propage sans changement de polarisation et la lame présente un indice de réfraction nE
(indice extraordinaire).
Suivant les cas on peut avoir soit nE > no , soit nE < no . L’axe correspondant à l’indice
le plus élevé est appelé axe lent (indice nℓ ) tandis que celui correspondant à l’indice le plus
petit est appelé axe rapide (indice nr ). En général l’axe lent est repéré par un index monté sur
le support de la lame 2 .
Dans toute la suite on notera par convention Ox l’axe lent et Oy l’axe rapide de la lame à
retard.
2.2.
Action d’une lame uniaxe sur une lumière monochromatique polarisée
Considérons une lumière monochromatique polarisée se propageant suivant Oz et arrivant
sous incidence normale sur la face d’entrée d’une lame à retard d’axe lent Ox (indice nℓ ) et
d’axe rapide Oy (indice nr ).
x (nℓ )
z+∆z
z
z
y (nr )
e
F IGURE 7.4 – Lame à retard.
Avant la traversée de la lame le champ électrique de la lumière incidente peut être décomposé sur les axes de la lame selon :
Eix (z, t) = E0x cos(k z − ω t)
E(M, t) = Ei (z, t) Eiy (z, t) = E0y cos(k z − ω t + ϕ)
Eiz (z, t) = 0
(7.6)
où k = cω0 = 2λπ ; λ étant la longueur d’onde dans le vide de la lumière incidente.
Après la traversée de la lame on peut écrire en négligeant l’absorption dans celle-ci 3 :
Etx (z, t) = Eix (z − ∆z, t − ∆tx )
E(M, t) = Et (z, t) Ety (z, t) = Eiy (z − ∆z, t − ∆ty )
Etz (z, t) = 0
(7.7)
2. Cette convention n’est malheureusement pas toujours respectée !
3. On néglige aussi les « pertes » par réflexion aux interfaces.
Y. E L A ZHARI
138
CRMEF / AGP-1
2.. LAMES À RETARD
avec :


 ∆tx = ∆tℓ =
∆z − e
e
+
c0 /nℓ
c0
e
∆z − e

 ∆ty = ∆tr =
+
c0 /nr
c0
donc :
(7.8)
2 π nℓ e ω e
)
−
λ
c0
E(M, t) = Et (z, t) E (z, t) = E cos(k z − ω t + 2 π nr e − ω e + ϕ)
ty
0y
λ
c0
Etz (z, t) = 0
Etx (z, t) = E0x cos(k z − ω t +
(7.9)
que l’on peut écrire avec un nouveau choix (judicieux) des origines :
Etx (z, t) = E0x cos(k z − ω t)
Et (z, t) Ety (z, t) = E0y cos(k z − ω t + ϕ − ψ)
Etz (z, t) = 0
(7.10)
Où :
ψ=
2πδ
2π
(nℓ − nr ) e =
λ
λ
(7.11)
représente le déphasage introduit par la lame entre les deux composantes du champ électrique.
Suivant les valeurs de ψ on distingue deux cas particuliers très importants dans la pratique.
2.3.
Lame demi-onde ou lame λ/2
La lame est dite demi-onde si δ = λ/2 [λ] c’est-à-dire ψ = π [2 π]. Le champ transmis à
la sortie de la lame s’écrit alors
Et (M, t) =
E0x cos(k z − ω t)
E0y cos(k z − ω t + ϕ′ )
0
(7.12)
ϕ′ = ϕ − π
(7.13)
avec :
Le tableau ci-dessous résume alors les différents cas particuliers intéressants.
Onde incidente
Rectiligne I
Rectiligne II
Elliptique gauche
Elliptique droite
Circulaire gauche (E0x = E0y )
Circulaire droite (E0x = E0y )
CRMEF / AGP-1
ϕ
ϕ=0
ϕ=π
0<ϕ<π
π < ϕ′ < 2 π
ϕ = π/2
ϕ = 3 π/2
139
ϕ′
ϕ =π
ϕ′ = 0
π < ϕ′ < 2 π
0<ϕ<π
ϕ′ = 3 π/2
ϕ = π/2
′
Onde transmise
Rectiligne symétrique II
Rectiligne symétrique I
Elliptique droite
Elliptique gauche
Circulaire droite
Circulaire gauche
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 7. POLARISATION DE LA LUMIÈRE
Rectiligne I : Direction de polarisation dans les 1er et 3e quadrants.
Rectiligne II : Direction de polarisation dans les 2e et 4e quadrants.
Cas particulier Rectiligne I de direction de polarisation à 45◦ des axes de la lame. C’està-dire : ϕ = 0 et E0x = E0y . Alors l’onde à la sortie (Rectiligne II) possède une direction de
polarisation perpendiculaire à celle de l’onde incidente.
2.4.
Lame quart d’onde ou lame λ/4
La lame est dite quart d’onde si δ = λ/4 [λ] c’est-à-dire ψ = π/2 [2 π]. Le champ
transmis à la sortie de la lame s’écrit alors :
Et (M, t) =
E0x cos(k z − ω t)
E0y cos(k z − ω t + ϕ′ )
0
(7.14)
avec :
ϕ′ = ϕ − π/2
(7.15)
Passons alors en revue les différents cas possibles.
1) L’onde incidente est polarisée rectilignement.
i – E0x 6= 0, E0y 6= 0, E0x 6= E0y et ϕ = 0 (alors ϕ′ = 3 π/2) ou ϕ = π (alors
ϕ′ = π/2). La polarisation de l’onde transmise est elliptique droite lorsque ϕ = 0
(rectiligne I) et elliptique gauche lorsque ϕ = π (rectiligne II).
ii – E0x 6= 0, E0y 6= 0, E0x = E0y (axes de la lame à 45◦ de la direction de polarisation
de l’onde incidente) et ϕ = 0 (alors ϕ′ = 3 π/2) ou ϕ = π (alors ϕ′ = π/2). La
polarisation de l’onde transmise est circulaire droite si ϕ = 0 (rectiligne I) et circulaire
gauche si ϕ = π (rectiligne II).
On en déduit une méthode pour produire de la lumière polarisée circulairement.
iii – Si E0x 6= 0 et E0y = 0 alors l’onde transmise reste polarisée rectilignement selon Ox
et si E0x = 0 et E0y 6= 0 alors l’onde transmise reste polarisée rectilignement selon
Oy.
2) L’onde incidente est polarisée circulairement.
i – Gauche : E0x = E0y et ϕ = +π/2 alors ϕ′ = 0 et l’onde transmise est polarisée
rectilignement, la direction de polarisation étant contenue dans le 1er et 3e quadrants
(rectiligne I).
ii – Droite : E0x = E0y et ϕ = −π/2 alors ϕ′ = π et l’onde transmise est polarisée
rectilignement, la direction de polarisation étant contenue dans le 2e et 4e quadrants
(rectiligne II).
Ceci est à la base d’une méthode pratique permettant de déterminer le type droit ou
gauche d’une lumière polarisée circulairement.
3) L’onde incidente est polarisée elliptiquement et les axes de l’ellipse coïncident avec ceux de
la lame quart d’onde.
Y. E L A ZHARI
140
CRMEF / AGP-1
3.. PRODUCTION D’UNE LUMIÈRE POLARISÉE
i – Gauche : ϕ = +π/2 alors ϕ′ = 0 et l’onde transmise est polarisée rectilignement, la
direction de polarisation étant contenue dans le 1er et 3e quadrants.
ii – Droite : ϕ = −π/2 alors ϕ′ = −π et l’onde transmise est polarisée rectilignement, la
direction de polarisation étant contenue dans le 2e et 4e quadrants.
Ceci est à la base d’une méthode permettant de pour déterminer le caractère gauche
ou droit d’une lumière polarisée elliptiquement.
3.
Production d’une lumière polarisée
4.
Analyse d’une lumière complètement polarisée
Le tableau ci-dessous résume les étapes permettant d’analyser une lumière non polarisée ou
complètement polarisée.
1er essai
On observe à travers un analyseur A que l’on fait tourner dans son plan
L’intensité transmise passe
L’intensité transmise passe
L’intensité transmise est
Observation
par un minimum nul
par un minimum non nul
indépendante de A
Conclusion
Rectiligne
Elliptique
Faire l’essai 2
2e essai
Observation
Conclusion
4.0.0.1.
On interpose une lame λ/4 dans une orientation quelconque et on fait tourner A
L’intensité ne varie pas
L’intensité passe par un minimum nul
Non polarisée
Circulaire
Polarisation circulaire
Dans le cas d’une polarisation circulaire on peut déterminer le sens.
4.0.0.2.
Polarisation elliptique
Dans le cas d’une polarisation elliptique on peut préciser les directions des axes, déterminer
le sens gauche ou droit et mesurer l’ellipticité.
5.
Lumière naturelle
5.1.
Étude expérimentale
L’étude expérimentale des sources de lumière conventionnelles montre que la lumière qu’elles
émettent n’est pas polarisée. Une telle lumière est dite naturelle.
Pour expliquer cette constatation il faut se rappeler que dans de telles sources, l’émission
de la lumière se fait à partir d’un très grand nombre de systèmes atomiques (atome, molécule,. . .etc.) indépendants entre eux. La direction de la polarisation rectiligne (cf. dipôle oscillant) varie aléatoirement d’une source microscopique à une autre et pour la même source
microscopique elle varie aussi aléatoirement au cours du temps. La non polarisation de la lumière naturelle est donc due à des effets purement statistiques.
CRMEF / AGP-1
141
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 7. POLARISATION DE LA LUMIÈRE
5.2.
Modèle de la lumière naturelle
Pour tenir compte de la non polarisation de la lumière naturelle on écrit le champ correspondant supposé transverse (loin des sources) sous la forme
E0x cos [k z − ω t + ϕ1 (t)]
E(M, t) E0y cos [k z − ω t + ϕ2 (t)]
0
(7.16)
où ϕ1 (t) et ϕ2 (t) sont deux phases variant rapidement et aléatoirement au cours du temps de
sorte que la valeur moyenne du déphasage ϕ(t) = ϕ2 (t) − ϕ1 (t) est nulle sur une durée de
l’ordre de grandeur du temps de réponse ∆tr des détecteurs de lumière utilisés (durée de la
persistance rétinienne pour l’œil : ∆t = r ≈ 67 ms), c’est-à-dire
hϕ(t)i∆tr = hϕ2 (t) − ϕ1 (t)i∆tr = 0
Y. E L A ZHARI
142
(7.17)
CRMEF / AGP-1
EXERCICES
Exercices du chapitre 7
Ex. 7.1 — Base des polarisations circulaires
Montrer qu’une onde polarisée rectilignement dans la direction faisant un angle θ avec l’axe
Ox est équivalent à la superposition de deux ondes de polarisations circulaires droite et gauche
avec des poids respectifs que l’on déterminera.
Ex. 7.2 — Analyseur imparfait
On considère le cas où le polariseur rectiligne n’est pas parfait. Soient :
•
T1 le coefficient de transmission en intensité selon la direction de transmission privilégiée
du polariseur ; item T2 le coefficient de transmission analogue, selon la direction perpendiculaire. On supposera T2 < T1 .
Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement, arrive normalement sur la face
d’entrée d’un polaroïd. Le vecteur champ électrique de l’onde fait un angle θ avec la direction
de transmission privilégiée du polaroïd.
1. Calculer le coefficient de transmission T de l’onde à travers ce polaroïd en fonction de
T1 , T2 et de l’angle θ.
2. Retrouver la loi de M ALUS dans le cas particulier du polariseur parfait.
Ex. 7.3 — Polariseur et analyseurs imparfaits
Une onde électromagnétique décrivant un faisceau parallèle de lumière naturelle arrive normalement sur un ensemble constitué de deux polaroïds identiques, disposés en série, parallèlement.
Les directions de transmission privilégiée des polariseurs font un angle α. Les polariseurs ne
sont pas idéaux. Ils présentent un coefficient de transmission en intensité T1 selon la direction
de transmission privilégiée et un coefficient de transmission en intensité T2 selon la direction
perpendiculaire. On supposera T2 < T1 .
1. Exprimer, en fonction de T1 et T2 , le coefficient de transmission T0 de l’ensemble des
deux polariseurs lorsque α = 0.
2. Exprimer, de même, le coefficient de transmission T90 de l’ensemble des deux polariseurs lorsque α = π2 .
3. Exprimer, pour un angle α quelconque, le coefficient Tα de l’ensemble des deux polariseurs en fonction de T1 , de T2 et de α. Montrer que dans l’approximation T2 ≪ T1 ,
on retrouve la loi de M ALUS.
CRMEF / AGP-1
143
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
8
FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Dans ce chapitre nous proposons de jeter les bases de l’optique géométrique. Pour cela
nous considérerons des milieux linéaires, isotropes, transparents (non absorbants) et non magnétiques. C’est le cas de la plupart des milieux rencontrés en optique.
1.
Approximation de l’optique géométrique
1.1.
Problème de la propagation par onde plane
Les ondes électromagnétiques planes progressives et monochromatiques (O.E.M.P.P.M.)
constituent des solutions rigoureuses des équations de M AXWELL. Mais une O.E.M.P.P.M., en
elle même, est dénuée de sens physique et ne peut représenter un phénomène physique car :
1) elle est illimitée transversalement, ce qui est en contradiction avec la notion intuitive (mais
physique) de faisceau lumineux limité latéralement ;
2) elle correspond à un transfert de puissance infinie !
Ainsi pour décrire convenablement les phénomènes de propagation par O.E.M.P.P.M. il
faudrait considérer une superposition de ces ondes (théorème de F OURIER). Mais là encore
une difficulté surgit : la combinaison linéaire permettant de limiter transversalement l’O.E.M.
contient généralement un très grand nombre de termes (paquet d’onde) ce qui rend les calculs
très laborieux par cette méthode.
il faudrait donc trouver une solution intermédiaire
La solution qu’on va adopter s’inspire du fait que très loin des sources, on peut décrire
la propagation par une onde localement plane (cf. dipôle oscillant). C’est ce qu’on appelle
propagation par onde quasiplane ou localement plane.
145
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
1.2.
Propagation par onde quasiplane
L’onde plane est obtenue quand on se place infiniment loin de la source. Le champ électromagnétique s’écrit dans ce cas :
E(M, t) = E0 exp i (n k0 r · u − ω t)
(8.1)
H(M, t) = H0 exp i (n k0 r · u − ω t)
avec :
•
•
2π
ω
=
, λ0 étant la longueur d’onde dans le vide ;
c0
λ0
u est le vecteur unitaire directeur de la direction de propagation.
k0 =
Dans toute la suite, et sauf mention explicite du contraire, on se placera dans le cas d’un
milieu inhomogène dans le quel n = n(M).
À une distance finie (mais grande) de la source, on peut espérer donner une description
physiquement satisfaisante en cherchant des solutions des équations de M AXWELL sous la
forme :
E(M, t) = E0 (r) exp i [k0 L(r) − ω t]
(8.2)
H(M, t) = H0 (r) exp i [k0 L(r) − ω t]
où L est une fonction scalaire de r = OM, réelle dans le cas d’un milieu non absorbant. Dans
le cas d’un milieu absorbant, L est complexe.
La dépendance en fonction de r du terme pré-exponentiel doit permettre la limitation transversale de l’onde.
Vocabulaire : les surfaces L = constante sont appelées surfaces équiphase ou surfaces d’onde.
E et H = B/µ0 sont solutions des équations de M AXWELL :
∂H
∂t
∂E
∇ ×H = ε
∂t
∇ · (ε E) = 0
∇ ×E = −µ0
∇ ·H = 0
(8.3)
(8.4)
(8.5)
(8.6)
En remplaçant E et H par leurs expressions dans les équation de M AXWELL (8.3–8.6) et
en utilisant les identités vectorielles
∇ × (f a) = f ∇ ×a + (∇f ) × a
∇ · (f a) = f ∇ ·a + a · ∇f
Y. E L A ZHARI
146
(8.7)
(8.8)
CRMEF / AGP-1
1.. APPROXIMATION DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
on obtient
i
∇ ×E0
k0
i
∇ L × H0 + c0 ε E0 = ∇ ×H0
k0
i
∇ε
E0 · ∇ L =
E0 ·
+ ∇ ·E0
k0
ε
i
∇ ·H0
H0 · ∇ L =
k0
(8.9)
∇ L × E 0 − µ0 c 0 H 0 =
1.3.
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Définition de l’optique géométrique
Les seconds membres des équations (8.9) et (8.10) contiennent des termes du type
λ0 ∂E 0z
1 ∂E 0z
=
k0 ∂y
2 π ∂y
(8.13)
Ceci représente la variation de E 0z dans un déplacement de longueur λ0 /2 π le long de Oy ;
c’est-à-dire la variation du champ sur une distance de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde
dans le vide λ0 .
Or, dans le domaine du visible λ0 est de l’ordre de 10−7 m (0, 4 µm 6 λ0 6 0, 8 µm).
∂E
L’approximation de l’optique géométrique consiste alors à négliger les termes du type k10 ∂y0z
devant ||E0 ||.
Remarque
Les ondes choisie pour décrire la propagation étant quasi-planes, µ0 c0 ||H0 || = c0 ||B0 || est de
l’ordre de ||E0 ||.
L’approximation de l’optique géométrique consiste donc à négliger les variations du champ
électromagnétique sur des distances de l’ordre de la longueur d’onde.
Ainsi, analytiquement :
O.G. ⇐⇒ λ0 −→ 0
1.4.
Équation eikonale
Dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique
(8.10) deviennent
1
k0
−→ 0, les équations (8.9) et
∇ L × E 0 = µ0 c 0 H 0
∇ L × H0 = −c0 ε E0
(8.14)
(8.15)
E0 · ∇ L = 0
H0 · ∇ L = 0
(8.16)
(8.17)
Ce qui donne d’abord
CRMEF / AGP-1
147
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
On obtient ensuite par élimination de H0 entre les équations (8.14) et (8.15)
∇ L × (∇L × E0 ) = −εr ε0 µ0 c20 E0
(8.18)
c’est-à-dire (puisque ε0 µ0 c20 = 1)
2
(E0 · ∇ L) ∇ L − (∇ L) E0
=
=
−εr E0
−n2 (M)E0
d’où l’équation eikonale
2
[∇M L(M)] = n2 (M)
1.5.
(8.19)
Conditions de validité de l’approximation de l’optique géométrique
L’approximation de l’optique géométrique consiste à négliger les termes du type k10 ∇ ×E.
Ceci suppose que E0 varie faiblement sur des distances de l’ordre de la longueur d’onde :
∆E0
≪ 1 sur une distance de l’ordre de λ0
E0
On est alors amené à distinguer deux cas :
1) Propagation dans l’espace libre
En général ces variations sont très faibles et l’optique géométrique constitue une très bonne
approximation pour l’étude de la propagation de la lumière.
2) Propagation au voisinage d’un obstacle opaque
Considérons la situation schématisée figure 8.1. Le faisceau lumineux se propage au voisinage d’un écran opaque muni d’une ouverture transparente. Soient deux points M1 et M2
tels que
• M1 en dehors de l’obstacle de sorte que E0 (M1 ) 6= 0 ;
• M2 derrière l’obstacle de sorte que E0 (M2 ) = 0.
Obstacle
(opaque)
M2
M1
x
x
Onde
lumineuse
Ouverture
Zone
d’effet de bord
F IGURE 8.1 – Propagation d’une onde lumineuse au voisinage d’un écran opaque.
Il s’en suit qu’au voisinage de l’obstacle (opaque) les variations de E0 (et de H0 ) ne sont
plus négligeables et l’hypothèse de l’approximation l’optique géométrique n’est plus vérifiée au voisinage des bords de l’obstacle (zone d’effet de bord). Il faut alors distinguer deux
cas :
Y. E L A ZHARI
148
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
i) l’ouverture est assez large pour pouvoir négliger la zone d’effet de bord : l’optique
géométrique reste une bonne approximation pour décrire la propagation de l’onde lumineuse ;
ii) les dimensions linéaires de l’ouverture sont très petites (fraction de mm), la zone d’effet
de bord ne peut plus être négligée et l’optique géométrique perd sa validité. Elle est
ainsi incapable de décrire le phénomène de diffraction de la lumière.
3) Remarque : propagation en présence d’une forte variation d’indice
La comparaison des équations (8.11) et (8.16) montre que dans le cadre de l’approximation
∇n
de l’optique géométrique, on est amené à négliger ∇ε
ε = 2 n . On peut donc s’attendre à
ce que les prédictions de l’optique géométrique ne restent plus valables lorsque l’indice de
réfraction subit de fortes variations spatiales : c’est la diffraction par des objets de phase (cf.
cours sur la diffraction des ondes lumineuses).
2.
Propriétés des rayons lumineux
2.1.
Notion expérimentale de rayon lumineux
L’expérience montre que dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se
propage en ligne droite (figure 8.2).
Laser
mg
F IGURE 8.2 – Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène.
Une source lumineuse S de petites dimensions émet un faisceau lumineux. Plaçons un objet
plan sur le trajet d’un tel faisceau entre la source et un écran E. Quelque soit la distance objetécran, l’ombre portée sur E est homothétique de l’objet.
Écran
Écran
Lampe
Lampe
Diaphragme
Diaphragme
(a)
(b)
F IGURE 8.3 – Ombres portées.
CRMEF / AGP-1
149
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Cette constatation expérimentale suggère que le faisceau lumineux issu de S est constitué
de rayons lumineux rectilignes.
Impossibilité d’isoler un rayon lumineux
Considérons le montage de la figure 8.4.
Écran
Lampe
Diaphragme
F IGURE 8.4 – Diffraction d’une onde lumineuse par une ouverture.
Si on essaie d’isoler un rayon lumineux en rétrécissant l’ouverture a du diaphragme, la
trace du faisceau sur l’écran donne une tache qui s’élargit à mesure que l’on diminue a : c’est
le phénomène de diffraction. Ceci montre l’impossibilité d’isoler un rayon lumineux.
Ainsi, en optique géométrique, on est amené à admettre l’existence des rayons lumineux en
considérant qu’un faisceau lumineux est constitué d’un ensemble de rayons lumineux.
2.2.
Définition théorique du rayon lumineux
Un rayon lumineux (R.L.) est une ligne de courant d’énergie lumineuse (on dit aussi parfois
trajectoire énergétique).
Les rayons lumineux sont donc les lignes de champ du vecteur de P OYNTING moyen (dans
le temps).
2.3.
Théorème de M ALUS – D UPIN
Exprimons le vecteur de P OYNTING moyen dans le cas de l’approximation de l’optique
géométrique. Dans le cas d’un champ harmonique, le vecteur de P OYNTING moyen est donné
par :
hΠ(M, t)it
=
=
1
Re [E(M, t) × H∗ (M, t)]
2
1
Re [E0 (M) × H∗0 (M)]
2
(8.20)
(8.21)
soit, d’après l’équation (8.15) :
hΠ(M, t)it
=
=
Y. E L A ZHARI
1
Re [E0 × (∇ L × E∗0 )]
2 µ0 c 0
1
Re [(E0 · E∗0 ) ∇ L − (E0 · ∇ L) E∗0 ]
2 µ0 c 0
150
(8.22)
(8.23)
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
d’où, compte tenu de l’équation (8.16) :
hΠ(M, t)it =
|E0 (M)|2
∇M L(M)
2 µ0 c 0
(8.24)
On en déduit l’énoncé du théorème de M ALUS – D UPIN : les rayons lumineux sont orthogonaux
aux surfaces d’onde (L = constante).
2.4.
Équation différentielle du rayon lumineux
L’équation eikonale (8.19) donne
(8.25)
k∇M L(M)k = n(M)
Or, ∇ L est colinéaire à hΠ(M, t)it . Donc ∇ L est porté par le vecteur directeur tangent en M
au rayon lumineux orienté dans le sens de propagation de la lumière :
∇ L = n uT = n
dM
ds
(8.26)
s étant l’abscisse curviligne de M sur le rayon lumineux orienté dans le sens de propagation de
la lumière.
∇M L(M)
uT
M
L + dL
L
R.L.
L − dL
F IGURE 8.5 – Rayon lumineux et surfaces d’onde.
L’équation différentielle du rayon lumineux s’obtient à partir du calcul de
d
dM
d
∇L =
n
ds
ds
ds
d
ds ∇
L selon :
(8.27)
soit
d
dL
=
∇
ds
ds
CRMEF / AGP-1
dM
n
ds
151
(8.28)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Or dL = dM · ∇ L, donc
dL
ds
=
=
et puisque ∇ L = n uT , il vient
d
ds
dM
· ∇L
ds
uT · ∇ L
(8.29)
(8.30)
dM
n(M)
= ∇M n(M)
ds
(8.31)
qui n’est autre que l’équation différentielle du rayon lumineux.
Quelques conséquences directes
1) Propagation rectiligne de la lumière
Dans un milieu homogène (n = constante) les R.L. vérifient
duT
d dM
=
=0
ds ds
ds
(8.32)
soit, en prenant s(M0 ) = 0
(8.33)
OM = OM0 + s(M) uT
Ce qui montre que, dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage
en ligne droite.
uN
M
uT
M
uT
CM
R(M)
M0
O
RL
R.L.
(a) Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène.
uN (M) =
MCM
R(M)
(b) Courbure d’un rayon lumineux.
F IGURE 8.6 – Quelques conséquences de l’équation différentielle du rayon lumineux.
2) Courbure d’un rayon lumineux
On a
∇n =
Y. E L A ZHARI
d
(n uT )
ds
152
(8.34)
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
donc
∇n = n
dn
duT
+
uT
ds
ds
(8.35)
or
duT
1
=
uN
ds
R(M)
(8.36)
R(M) étant le rayon de courbure du R.L. au point M ; donc
n(M)
= uN · ∇M n(M)
R(M)
(8.37)
1
= uN · ∇M [ln n(M)]
R(M)
(8.38)
d’où
Applications
1) Expérience de laboratoire
2) Phénomène de mirage
3) Fibre optique à gradient d’indice
4) Réfraction atmosphérique
2.5.
Intensité lumineuse
2.5.1. Définition
L’intensité lumineuse I est donnée par le module du vecteur de P OYNTING moyen
I(M) = khΠ(M, t)it k
(8.39)
D’après l’équation (8.24), il vient
I(M) =
n(M)
|E0 (M)|2
2 µ0 c 0
(8.40)
Dans un milieu homogène (n = constante), on peut écrire
I(M) = K |E0 (M)|
2
(8.41)
où K est une constante.
CRMEF / AGP-1
153
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
2.5.2. Équation de conservation
L’équation de conservation de l’énergie électromagnétique s’écrit en l’absence des courants
(j = 0 : milieu isolant) et en notation réelle :
∇M ·Π(M, t) +
∂eem (M, t)
=0
∂t
(8.42)
ce qui donne en valeur moyenne :
∇M · hΠ(M, t)it +
∂eem (M, t)
∂t
=0
(8.43)
t
eem est la densité volumique d’énergie électromagnétique, qui s’écrit, en notation réelle, dans
le cas d’un milieu diélectrique, non magnétique, linéaire et isotrope :
eem =
1
1
ε E 2 + µ0 H 2
2
2
(8.44)
et :
∂eem
∂E
∂H
= εE·
+ µ0 H ·
∂t
∂t
∂t
(8.45)
Ce qui permet d’écrire dans le cas des champs harmoniques :
1
∂E∗
∂H∗
∂eem
=
Re ε E ·
+ µ0 H ·
∂t t
2
∂t
∂t
1
=
Re (−i ω ε E · E∗ − i ω µ0 H · H∗ )
2
= 0
(8.46)
(8.47)
Il s’en suit que :
(8.48)
∇M · hΠ(M, t)it = 0
D’autre part, puisque hΠi est porté par
hΠ(M, t)it
dM
ds ,
on peut écrire :
= khΠ(M, t)it k
= I(M)
dM
ds
dM
ds
Ainsi l’équation de conservation de l’intensité lumineuse s’écrit-elle :
dM
=0
∇M · I(M)
ds
Y. E L A ZHARI
154
(8.49)
(8.50)
(8.51)
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
dS2
S2
S1
dS1
O
V
F IGURE 8.7 – Source ponctuelle dans un milieu isotrope et homogène.
2.5.3. Application au cas d’une source ponctuelle dans un milieu homogène
Considérons une source ponctuelle placée en un point O (pris comme origine) d’un milieu
homogène d’indice n.
Soit V le volume délimité entre deux sphères S1 et S2 concentriques de centre O et de
rayons respectifs R1 et R2 . Supposons pour fixer les idées que R1 < R2 et notons Σ la surface fermée formée par S1 et S2 et orientée vers l’extérieur de V. On a, d’après l’équation de
conservation de l’intensité lumineuse et en utilisant le théorème de G REEN -O STROGRADSKY :
ZZZ
ZZ
dM
dM
dτ = 0
(8.52)
· dΣ =
∇· I
⊂⊃ I
ds
ds
V
Σ
c’est-à-dire :
ZZ
ZZ
dM
dM
⊂⊃ I
· dS1 + ⊂⊃ I
· dS2 = 0
ds
ds
S1
(8.53)
S2
soit, puisque la symétrie sphérique du problème impose I(M) = I(r) :
4 π R12 I(R1 ) = 4 π R22 I(R2 )
(8.54)
D’où :
I(r) =
C
4 π r2
(8.55)
où C est une constante et r = kOMk.
2.6.
Lois de D ESCARTES -S NELL
Considérons un rayon lumineux (rayon incident) se propageant dans un milieu transparent
et homogène ① d’indice n1 .
Lorsqu’un tel rayon lumineux arrive sur la surface de séparation Σ (appelée dioptre) entre
le milieu ① et un autre milieu transparent et homogène ① d’indice n2 , il donne naissance à
CRMEF / AGP-1
155
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
uT1
i′1
i1
①
u′T1
Σ
n1
uT2
n2
M
②
i2
n12
z
F IGURE 8.8 – Réflexion et réfraction de la lumière à la surface de séparation entre deux milieux
optiques.
un rayon lumineux réfléchi dans le milieu ① et, dans certaines conditions, un rayon lumineux
transmis (ou réfracté) dans le milieu ②.
Vocabulaire
– le plan Π(uT1 , n12 ) s’appelle plan d’incidence ;
– i1 = (n12 , uT1 ) est angle d’incidence ;
– i′1 = (−n12 , u′T1 ) est l’angle de réflexion ;
– i2 = (n12 , uT2 ) est angle de réfraction.
On se propose de déterminer les directions de propagation des rayons réfléchi (i′1 ) et transmis
(i2 ) connaissant la direction du rayon incident (i1 ) ainsi que n1 et n2 .
Pour cela on va utiliser l’équation ∇ × (n uT ) = 0, conséquence de ∇ L = n uT , qu’on va
intégrer entre deux points M1 (du milieu ①) et M2 du milieu ② pour la réfraction ou entre M1
du milieu ① et M1′ du milieu ① pour la réflexion ; M1 , M1′ et M2 étant tous les trois infiniment
voisins de M .
2.6.1. Lois de la réfraction
Projetons : ∇ × (n uT ) = 0,
– selon ux :
∂
∂
n uTz −
n uTy = 0
∂y
∂z
intégrons alors cette relation entre M1 et M2
Z M2
Z M2
∂
∂
n uTy dz = 0
(n uTz ) dz −
M1 ∂z
M1 ∂y
(8.56)
(8.57)
et faisons tendre M1 et M2 vers M
Z M2
Z M2
∂
∂
n uTy dz = 0
lim
(n uTz ) dz −
lim
M1 ,M2 →M M
M1 ,M2 →M M
∂y
∂z
1
1
Y. E L A ZHARI
156
(8.58)
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
Or, le changement de milieu se faisant selon Oz, seules les variations par rapport à z sont
susceptibles d’introduire des discontinuités, donc
Z M2
∂
lim
(n uTz ) dz = 0
M1 ,M2 →M M
∂y
1
et
Z M2
∂
n uTy dz = n2 uT2y − n1 uT1y
lim
M1 ,M2 →M M
∂z
1
d’où
n2 uT2y − n1 uT1y = 0
(8.59)
– selon uy : de la même façon on obtient
n2 uT2x − n1 uT1x = 0
(8.60)
Les deux équations scalaires (8.59) et (8.60) peuvent regroupées en une seule équation vectorielle
n12 × (n2 uT2 − n1 uT1 ) = 0
(8.61)
∃λ ∈ R / n2 uT2 − n1 uT1 = λ n12
(8.62)
n2 uT2 = n1 uT1 + λ n12
(8.63)
On en déduit que
soit
D’où les deux lois de D ESCARTES -S NELL pour la réfraction :
– 1ère loi : le rayon réfracté est dans le plan d’incidence.
– 2ème loi : n1 sin i1 = n2 sin i2 .
En effet en projetant la relation n12 ×(n1 uT1 ) = n12 ×(n2 uT2 ) selon uy on obtient n1 sin (n12 , uT1 ) =
n2 sin (n12 , uT2 ) qui n’est autre que la relation exprimant la deuxième loi de D ESCARTES S NELL pour la réfraction compte tenu de i1 = (n12 , uT1 ) et i2 = (n12 , uT2 ).
Remarque
Le rayon réfracté n’existe que lorsque l’équation n2 sin i2 = n1 sin i1 admet une solution
réelle (cf.§2.6.3.).
2.6.2. Lois de la réflexion
De la même façon on obtient :
donc
n12 × u′T1 − uT1 = 0
∃λ′ ∈ R / u′T1 = uT1 + λ′ n12
(8.64)
(8.65)
D’où les deux lois de D ESCARTES -S NELL pour la réflexion :
CRMEF / AGP-1
157
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
uT1
n12
x n1
n2
i2
z
i′1
i1
M1
M
M2
①
②
u′T1
uT1
i1
①
②
M1
x n1
n2
M
n12
uT2
M2
z
(b) Réflexion.
(a) Réfraction.
F IGURE 8.9 – Réfraction et réflexion sur un dioptre.
– 1ère loi : le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence.
– 2ème loi : i′1 = −i1 .
Remarque
Formellement la deuxième loi de la réflexion s’obtient à partir celle concernant la réfraction
par la substitution n2 = −n1 . Ceci ne repose évidemment sur aucun fondement physique.
2.6.3. Conséquences
2.6.3.1.
Passage d’un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent
C’est le cas lorsque n1 < n2 . Le milieu ① est par exemple de l’air (n1 ≈ 1) et le milieu ② de
l’eau (n2 ≈ 1, 33) ou du verre (n2 ≈ 1, 5). Dans ce cas sin i2 < 1 puisque sin i2 = nn21 sin i1 .
On en déduit que :
– le rayon transmis existe toujours quelque soit l’angle d’incidence ;
– i2 < i1 ;
– il existe une valeur limite (maximale) de l’angle de réfraction i2,max telle quei2 = i2,max
lorsque i1 = π/2 avec
i2,max = arcsin
n1
n2
(8.66)
i2,max est appelé angle de réfraction limite (∀i1 , i2 6 i2,max ).
La construction de D ESCARTES (figure 8.10(a)) permet de tracer graphiquement le cheminement du rayon réfracté. Elle exploite la conservation de la quantité IH = n sin i et consiste
à:
1) tracer, au point d’incidence I, deux un demi-cercles de centre I et de rayons respectifs n1 et
n2 ;
2) prolonger le rayon lumineux incident jusqu’à son intersection N1 avec le demi-cercle de
rayon n1 ;
Y. E L A ZHARI
158
CRMEF / AGP-1
2.. PROPRIÉTÉS DES RAYONS LUMINEUX
3) déterminer la projection orthogonale H de N1 sur le dioptre ;
4) tracer la droite (HN1 ) et déterminer son intersection N2 avec le demi-cercle de rayon n2 ;
5) tracer le rayon réfracté IN2 .
2.6.3.2.
Passage d’un milieu plus réfringent dans un milieu moins réfringent
C’est le cas contraire au précédent. D’après sin i2 =
n1
n2
sin i1 on déduit
– pour que le rayon réfracté existe, il faut que | sin i2 | 6 1. Il existe donc un angle d’incidence i1,ℓ au delà duquel il n’y a plus de rayon réfracté. i1,ℓ est tel que sin i2 = 1,
soit
i1,ℓ = arcsin
n2
n1
(8.67)
si i1 > i1,ℓ alors le rayon incident est complètement réfléchi dans le milieu ①. On dit
qu’il y a réflexion totale et on appelle i1,ℓ angle de réflexion totale.
Par exemple, pour le passage du verre plexiglas (n1 ≈ 1, 516) dans l’air (n2 ≈ 1) on a
i1,ℓ ≈ 41, 27◦.
Applications :
- fibres optiques à saut d’indice
- fontaines lumineuses
- prisme à réflexion totale
- penta-prisme
– lorsque le rayon réfracté existe (i.e. lorsque i1 < i1,ℓ ) alors il est tel que i2 > i1 .
La construction de D ESCARTES (8.10(b)) permet de tracer graphiquement le cheminement du
rayon réfracté lorsqu’il existe.
i1
i1
n sin i
n1
n2
n sin i
n1
n2
n1
n2
i2
n2
(b) n1 > n2
(a) n1 < n2
n1
i2
F IGURE 8.10 – Construction de D ESCARTES.
CRMEF / AGP-1
159
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Remarque
En réalité, il n’est pas nécessaire que les deux milieux soient homogènes pour pouvoir utiliser les lois de D ESCARTES -S NELL. En effet, ces lois restent valables dans le cas des milieux
hétérogènes à condition de considérer les valeurs des indices des milieux au niveau de l’interface.
3.
Théorème de F ERMAT
3.1.
Chemin optique
3.1.1. Définition générale
Soit Γ une courbe continue quelconque joignant deux points A et B d’un milieu transparent
et isotrope d’indice n.
On appelle chemin optique (AB)Γ , entre les deux points A et B le long de la courbe Γ,
l’intégrale curviligne
Z
n(M) ds(M)
(8.68)
(AB)Γ =
Γ(AB)
Remarques
– Γ peut ne pas être un rayon lumineux ;
– En remplaçant n(M) = c0 /c(M), on obtient
(AB)Γ
=
c0
Z
Γ(AB)
=
ds(M)
c(M)
c0 ∆tΓ(AB)
(8.69)
(8.70)
où ∆tΓ(AB) représente le temps que met la lumière pour parcourir la portion AB de
la courbe Γ dans le milieu considéré. On en déduit la signification physique du chemin
optique : Le chemin optique (AB)Γ est égal à la distance que parcourrait la lumière dans
le vide (à la vitesse c0 ) pendant la durée ∆tΓ(AB) qu’elle met pour parcourir la portion
AB de la courbe Γ dans le milieu considéré.
– Dans le cas d’un milieu homogène
(n = constante), le chemin optique est donné par
R
(AB)Γ = n AB où AB = Γ(AB) ds(M) est la longueur de la portion de la courbe Γ
comprise entre A et B.
3.1.2. Chemin optique le long d’un rayon lumineux
Considérons le cas où Γ est un rayon lumineux (R.L.). On a toujours
Z
n(M) ds(M)
(AB)R.L. = (AB)Γ =
(8.71)
Γ(AB)
en plus le long du R.L.,
∇M L(M) = n(M)
Y. E L A ZHARI
160
dM
ds
(8.72)
CRMEF / AGP-1
3.. THÉORÈME DE FERMAT
donne
n(M) =
dL(M)
dM
· ∇M L(M) =
ds
ds
(8.73)
Ainsi
(AB)R.L. =
Z
B
A
(8.74)
dL = L(B) − L(A)
D’autre part L est relié à la phase de l’onde par ϕ(M, t) = k0 L(M) − ω t. Donc, à t donné, on
peut écrire ϕ(B) − ϕ(A) = k0 [L(B) − L(A)]. D’où
ϕ(B) − ϕ(A) =
3.2.
2π
(AB)R.L.
λ0
(8.75)
Énoncé du théorème de F ERMAT
Le trajet effectivement emprunté par la lumière pour aller d’un point A à un point B est
celui pour lequel le chemin optique est stationnaire par rapport à tout trajet fictif voisin.
Remarque
En 1657, avant que les équations de M AXWELL ne soient connues, F ERMAT avait énoncé
« Le trajet suivi par la lumière pour aller d’un point A à un point B correspond au temps de
parcours minimal » ou ce qui est équivalent en terme de chemin optique à « Le trajet suivi par
la lumière pour aller d’un point A à un point B correspond au chemin optique minimal ». Cet
énoncé, incomplet par ailleurs car ne tient pas compte de cas où le chemin optique n’est pas
minimal, constituait alors le principe de F ERMAT.
(a) Minimum
3.3.
(b) Maximum
(c) Point scelle
Démonstration du théorème de F ERMAT
Pour démontrer le théorème de F ERMAT, nous allons procéder en deux temps : on supposera
d’abord (3.3.1.) que le milieu ne présente pas de discontinuité d’indice, puis on tiendra compte
(3.3.2.) de l’existence d’éventuelle discontinuité d’indice (i.e. changement de milieu).
3.3.1. Cas d’un seul milieu inhomogène sans discontinuité d’indice
Considérons deux points A et B d’un milieu transparent et isotrope. Soit Γ un R.L. reliant
ces deux points et Γ′ un chemin infiniment voisin de Γ.
CRMEF / AGP-1
161
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
B
M′
δM
Γ′
dM
M
Γ
A
F IGURE 8.11 – Propagation dans un milieu inhomogène.
Calculons la différentielle δL = (AB)Γ′ − (AB)Γ du chemin optique
"Z
#
δL
=
=
or
n(M) ds(M)
(8.76)
δ [n(M) ds(M)]
Z
n δ(ds) +
(8.77)
= δ
Z
Z
Γ(AB)
Γ(AB)
Γ(AB)
(8.78)
δn ds
Γ(AB)
(8.79)
δn = ∇n · δM
et
2
(ds) = ||dM||2
(8.80)
ds δ(ds) = dM · δ(dM)
(8.81)
permet d’écrire successivement
soit
δ(ds) =
donc
dM
· δ(dM)
ds
Z
dM
δL =
n
· d(δM) +
ds
Γ(AB)
Z
Γ(AB)
(8.82)
(8.83)
∇n · δM ds
En intégrant par partie, on obtient
B Z
dM
dM
d
δL = n
n
· δM ds
· δM +
∇n −
ds
ds
ds
Γ(AB)
A
(8.84)
or
Y. E L A ZHARI
162
CRMEF / AGP-1
3.. THÉORÈME DE FERMAT
– A et B étant fixes δA = δB = 0 ;
– Γ étant un rayon lumineux
d
∇n −
ds
il en résulte alors que
dM
n
=0
ds
(8.85)
(8.86)
δL = 0
Ce qui démontre le théorème de F ERMAT dans le cas particulier d’un milieu isotrope, transparent et continu.
3.3.2. Cas d’une succession de milieux homogènes
Considérons une succession de milieux supposés homogènes séparés par des dioptres ou
des miroirs.
n1
n2
Γ′
I1
A
Γ
uT2
n3
np−1
I2
Ip−1
np
uTp
uT1
D1
D2
B
Dp−1
F IGURE 8.12 – Succession de milieux homogènes séparés par des dioptres.
Le chemin optique (AB) peut s’écrire
(AB) = n1 AI1 + n2 I1 I2 + · · · + np Ip−1 B
(8.87)
(AB) = n1 uT1 · AI1 + n2 uT2 · I1 I2 + · · · + np uTp · Ip−1 B
(8.88)
soit
ce qui permet d’écrire
d(AB) = n1 duT1 · AI1 + n1 uT1 · dAI1 + n2 duT2 · I1 I2 + n2 uT2 · dI1 I2 + · · · +
(8.89)
+np duTp · Ip−1 B + np uTp · dIp−1 B
Or les vecteurs uTi étant unitaires, on a, pour toute valeur de i, u2Ti = 1, donc uTi · duTi = 0
ce qui donne duTi · Ii−1 Ii = 0. D’autre part dIi−1 Ii = dIi − dIi−1 . Ainsi
d(AB) = np uTp · dB − n1 uT1 · dA + (n1 uT1 − n2 uT2 ) · dI1 +
(8.90)
+(n2 uT2 − n3 uT3 ) · dI2 + · · · + (np−1 uTp−1 − np uTp ) · dIp−1
Or
CRMEF / AGP-1
163
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
– A et B étant fixes, dA = dB = 0 ;
– (ni−1 uTi−1 − ni uTi ) · dIi−1 = 0, puisque
– d’après la loi de D ESCARTES -S NELL, (ni−1 uTi−1 − ni uTi ) est parallèle au vecteur
ni−1→i normal au dioptre Di−1 ;
– alors que dIi−1 est orthogonal à ni−1→i étant donné que le point Ii−1 est un point
du dioptre Di−1 .
Il en résulte alors que
(8.91)
d(AB) = 0
Ce qui démontre bien le théorème de F ERMAT dans le cas particulier d’une succession de
milieux homogènes séparés par des dioptres et/où des miroirs.
3.3.3. Remarque
En admettant le principe de F ERMAT, on peut établir à l’aide de démarches inverses de
celles utilisées dans ce cours :
– l’équation du rayon lumineux ;
– la loi de propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène ;
– la loi du retour inverse de la lumière ;
– les lois de D ESCARTES -S NELL.
Y. E L A ZHARI
164
CRMEF / AGP-1
EXERCICES
Exercices du chapitre 8
Ex. 8.1 — Cube rétro-réflecteur
Un « coin de cube » Cc ou « cataphote » est constitué de trois miroirs plans (Mx ,My ,Mz )
formant un trièdre trirectangle, les faces réfléchissantes étant tournées vers l’intérieur. Le centre
du coin de cube Cc coïncide avec l’origine O du trièdre (figure).
1. Montrer qu’un rayon lumineux quelconque pénétrant dans le coin de cube en ressort
parallèle à lui même après trois réflexions.
2. Quel intérêt peut-il y avoir à utiliser un tel coin de cube plutôt qu’un miroir plan unique ?
Ex. 8.2 — Réfraction atmosphérique
On considère un milieu à symétrie sphérique de centre O. L’indice n au point M ne dépend
donc que de la distance r = kOMk.
1. Montrer que le vecteur OM×(n u) est constant le long des rayons lumineux, en déduire
que les rayons lumineux sont des courbes planes et que l’on a n r sin i = co nstante, où i
est l’angle d’incidence du rayon lumineux au point M, sur la surface équiindice passant
par ce point.
L’atmosphère terrestre est assimilée à un milieu de symétrie sphérique compris entre les
sphères de rayons R et R + H avec H ≪ R.
2. Déterminer la relation entre l’angle i0 sous lequel on voit une étoile à la surface de la
Terre, où r = R et n = n0 , et l’angle i sous lequel on la verrait s’il n’y avait pas
d’atmosphère (n = 1), (figure 8.13).
i0
i
b
∆
b
H
R
O
F IGURE 8.13
On note ∆, déviation du rayon lumineux, l’angle des vecteurs unitaires ui et uf ; ui
étant le vecteur unitaire du rayon incident avant son entrée dans l’atmosphère et uf
celui du même rayon lumineux au niveau du la Terre.
3. En remarquant que la déviation ∆ du rayon incident est faible, montrer que l’on a approximativement ∆ = (n0 − 1) tan i0 à condition que i0 ne soit pas voisin de π/2.
Ex. 8.3 — Transmission par fibre optique
On envisage de transmettre un signal optique sur des distances de l’ordre du kilomètre. Pour
cela, on utilise une fibre optique constituée d’un milieu transparent d’indice de réfraction n. La
fibre optique est assimilée à un cylindre de révolution d’axe Oz et chaque point M de la fibre est
CRMEF / AGP-1
165
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 8. FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
repéré à l’aide de ses coordonnées cylindriques (r, θ, z). Soit s l’abscisse curviligne du point
M sur le rayon lumineux et u le vecteur unitaire tangent au rayon lumineux au point M orienté
dans le sens de propagation de la lumière.
1. Rappeler l’équation du rayon lumineux et en déduire les relations d’E ULER :
d
ds
2
dr
dθ
n
− nr
=
ds
ds
d
dθ
n r2
=
ds
ds
dz
d
n
=
ds
ds
∂n
∂r
∂n
∂θ
∂n
∂z
2. Montrer que n(M) ne dépend que de r et simplifier les équations d’E ULER en conséquence.
3. Soit un rayon incident en O satisfaisant aux conditions :
dθ
dr
r=z=0
=0
= tan γ
dz O
dz O
a) Montrer que le rayon lumineux reste dans le plan méridien. On suppose que la
tangente au rayon est parallèle à l’axe Oz au point de coordonnées (rm , θ0 , z0 ).
b) Montrer que l’indice de réfraction satisfait à la relation :
Z r
dr
q 2
=z
n (r)
0
−
1
2
n (rm )
c) On suppose que l’indice de réfraction obéit à la loi :
n(r) =
n(0)
πr
ch 2 L
En déduire l’équation des rayons lumineux 1 :
r(z, γ) =
L
2πz
arg sh(tan γ sin
)
2π
L
En déduire les positions des images du point source O.
4. En réalité, on sait seulement réaliser des milieux d’indice n = n(0)(1 − A r2 ) où A est
une constante positive, qu’on peut considérer comme un développement limitée à deux
termes de l’expression précédente de l’indice.
1. On donne :
Y. E L A ZHARI
Z
√
dx
a2 − x2
= arcsin
166
x
|a|
CRMEF / AGP-1
EXERCICES
a) Montrer que l’équation d’un rayon lumineux incident parallèle à l’axe Oz en (rm , θ0 , z0 )
obéit à l’équation approchée :
!
√
2 Az
r(z) = rm cos
2
1 − A rm
b) En déduire que ces rayons particuliers ne sont pas focalisés en un point, mais sur
π2 r2
une longueur ∆f = 2 Lm . Quelle est l’aberration longitudinale relative ? Quelle
serait-elle au foyer suivant ?
∆n
|max = 10−4 . Conclure
c) Calculer ∆f pour rm = 0, 1 mm (rayon de la fibre), | n(0)
quant à l’utilisation d’un tel système de fibres optiques sur des distances de l’ordre
du kilomètre. Comment arrive-t-on à améliorer ces performances ?
Ex. 8.4 — Lentille à gradient d’indice
O
1. R
Ex. 8.5 — Modèle simple de mirage
O
1. R
CRMEF / AGP-1
167
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
9
FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Dans ce chapitre nous nous proposons d’aborder un problème très important optique. Il
s’agit de celui de la formation des images par les systèmes optiques (S.O.). Nous tenterons donc
d’apporter une réponse à la question suivante : dans quelles conditions un système optique est-il
capable de fournir une image « fidèle » d’un objet donné ?
1.
Stigmatisme rigoureux
1.1.
Système optique
On appelle Système Optique (S.O.) un ensemble de milieux transparents séparés par des
dioptres ; des miroirs pouvant être interposés.
Un S.O. est dit dioptrique s’il ne contient que des dioptres, il est dit catoptrique quand il ne
contient que des miroirs et catadioptrique lorsqu’il contient à la fois des dioptres et des miroirs.
1.2.
Notion de stigmatisme rigoureux
Un S.O. est dit stigmatique pour un couple de points (Ao , Ai ) si, et seulement si, tout rayon
lumineux passant par Ao avant la traversée du S.O. passe par Ai après la traversée du S.O.
S.O.
Ai est dite image stigmatique (ou idéale) de Ao par le S.O. et on note : Ao −−→ Ai
Si l’on inverse le sens de propagation de la lumière alors, d’après la loi du retour inverse,
tout rayon lumineux qui passe par Ai avant le S.O. passera par Ao après avoir traversé le S.O.
Ao est ainsi l’image stigmatique de Ai . On dit alors que Ao et Ai sont conjugués stigmatiques
par le S.O.
169
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
S.O.
A0
Ai
F IGURE 9.1 – Deux points conjugués stigmatiques par le S.O.
1.3.
Différents types d’objet et d’image
Considérons un S.O. et choisissons comme sens positif celui de la propagation de la lumière.
Notons Fe et Fs respectivement les faces d’entrée et de sortie du S.O.
E.O.R.
E.O.V.
Fe
S.O.
E.O.R.
E.I.R.
E.O.V.
E.I.V.
Fs
E.I.V.
:
:
:
:
Espace objet réel
Espace image réel
Espace objet virtuel
Espace image virtuel
E.I.R.
F IGURE 9.2 – Espaces objets et images.
1.3.1. Images réelle et virtuelle
Lorsque, après passage par le S.O., les rayons lumineux convergent effectivement en un
point Ai alors l’image Ai peut être recueillie sur un écran. Pour cela elle est dite image réelle
(figure 9.3(a)). Ai se trouve forcément après la face de sortie Fs et l’ensemble des points images
réelles (figure 9.2) constitue l’espace image réel (EIR).
L’image Ai est dite virtuelle si les rayons lumineux ne proviennent pas effectivement de Ai
mais semblent diverger à partir de Ai qui ne peut plus être recueillie sur un écran (figure 9.3(b)).
Ai se trouve avant Fs . L’ensemble des points images virtuelles (figure 9.2) constitue l’espace
image virtuel (EIV).
1.3.2. Objets réel et virtuel
Lorsque les rayons lumineux proviennent effectivement de Ao (figure 9.4(a)), l’objet Ao est
dit réel et se trouve forcément avant Fe . L’ensemble des points objets réels (figure 9.2) constitue
l’espace objet réel (EOR).
Y. E L A ZHARI
170
CRMEF / AGP-1
1.. STIGMATISME RIGOUREUX
S.O.
S.O.
Ai
Ai
Fs
Fs
(a) Image réelle
(b) Image virtuelle
F IGURE 9.3 – Images réelle et virtuelle.
S.O.
S.O.
Ao
Ao
Fe
Fe
(a) Objet réel
(b) Objet virtuel
F IGURE 9.4 – Objets réel et virtuel.
L’objet Ao est dit virtuel si les rayons lumineux ne passent pas réellement par Ao mais
semblent converger en Ao (figure 9.4(b)). L’objet Ao se trouve alors après la Fe et l’ensemble
des points objets virtuels (figure 9.2) constitue l’espace objet virtuel (EOV).
1.4.
Foyers d’un système optique – Système afocal
1.4.1. Foyer objet
Un point Fo de l’espace objet d’un S.O. est dit foyer objet si son image par le S.O. est
rejetée à l’infini :
S.O.
Fo −−→ ∞
(9.1)
Fo peut être réel ou virtuel.
CRMEF / AGP-1
171
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Fo
S.O.
Ai(∞)
F IGURE 9.5 – Foyer objet.
Ao(∞)
S.O.
Fi
F IGURE 9.6 – Foyer image.
1.4.2. Foyer image
Un point Fi de l’espace image d’un S.O. est dit foyer image s’il est l’image par le S.O. d’un
point objet rejeté à l’infini :
S.O.
(9.2)
∞ −−→ Fi
Fi peut être réel ou virtuel.
1.4.3. Système optique afocal
Lorsque les foyers objet et image d’un S.O. sont rejetés à l’infini, le S.O. est dit afocal. Dans
ce cas particulier Fo et Fi sont conjugués par le S.O.
Fo(∞)
S.O.
afocal
Fi(∞)
F IGURE 9.7 – Système optique afocal.
Y. E L A ZHARI
172
CRMEF / AGP-1
1.. STIGMATISME RIGOUREUX
1.5.
Propriété fondamentale
1.5.1. Cas d’un objet et d’une image réels
Si Ao et Ai sont conjugués stigmatiques par un S.O. alors (Ao Ai ) = constante.
En effet, si (Ao Ai ) variait d’un rayon à un autre il ne pourrait pas être stationnaire ; ce qui
serait en contradiction avec le théorème de F ERMAT.
I
J
S.O.
Ao
no
Ai
ni
J'
I'
F IGURE 9.8 – Relation fondamentale dans le cas d’un objet et d’une image réels.
Plus simplement, d’après le théorème de M ALUS -D UPIN, quelque soit le rayon lumineux
reliant Ao et Ai :
(Ao Ai ) =
λ
[ϕ(Ai ) − ϕ(Ao )] = constante
2π
(9.3)
1.5.2. Cas d’un objet réel et d’une image virtuelle
Les rayons émergents semblent provenir de Ai , la portion Ai J est virtuelle.
Σi
I
Σo
Qi
S.O.
J
Ai
Ao
J'
no
n
ni
I'
F IGURE 9.9 – Relation fondamentale dans le cas d’un objet réel et d’une image virtuelle.
D’après le théorème de M ALUS -D UPIN, (Ao Qi ) = constante, donc
(Ao J) + ni JQi = constante
CRMEF / AGP-1
173
(9.4)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
D’autre part ni Ai J + ni JQi = constante, donc
(Ao J) − ni Ai J = constante
(9.5)
ce que l’on peut écrire sous la forme
(Ao J) + (JAi ) = (Ao Ai ) = constante
en convenant de poser le long du rayon virtuel Ai J
JAi = ni JAi = −ni JAi
(9.6)
(9.7)
Il faut noter que l’indice de réfraction qui intervient dans le calcul du chemin optique JAi
le long de la portion virtuelle est ni même si le trajet Ai J se trouve dans un milieu d’indice n
différent.
1.5.3. Généralisation
On peut donc généraliser la propriété caractéristique du stigmatisme rigoureux pour deux
points Ao et Ai de natures quelconques (réelle ou virtuelle) conjugués stigmatiques par un S.O. :
(9.8)
Ao Ai = constante
à condition de respecter les conventions de calcul de chemin optique le long d’un trajet virtuel :
1) le chemin optique le long d’un trajet virtuel est compté négativement ;
2) l’indice qui intervient dans le calcul du chemin optique le long d’un trajet virtuel est celui
du milieu dans lequel se propage le rayon réel dont le trajet virtuel est le prolongement.
1.6.
Exemples de stigmatisme rigoureux
1.6.1. Cas des surfaces réfléchissantes
La condition de stigmatisme rigoureux s’écrit dans ce cas : n Ao I + IAi = constante ;
trois cas sont alors à distinguer.
1er cas : Ao et Ai sont de même nature
Ao et Ai sont tous les deux réels ou virtuels. Dans ce cas, la condition de stigmatisme
rigoureux s’écrit
Ao I + IAi = constante
(9.9)
Les surfaces réfléchissantes permettant de réaliser le stigmatisme rigoureux entre Ao et
Ai de même nature sont des ellipsoïdes de révolution autour de la droite (Ao , Ai ) et de
foyers Ao et Ai .
Application : certaines sources puissantes utilisent ce résultat ; les rayons lumineux issus de la source placée en Ao passent par Ai après réflexion sur une portion de miroir
elliptique.
Y. E L A ZHARI
174
CRMEF / AGP-1
1.. STIGMATISME RIGOUREUX
I
Ai
Ao
F IGURE 9.10 – Miroir elliptique.
2ème cas : Ao et Ai sont de natures différentes
Si Ao et Ai sont de natures différentes, la condition de stigmatisme rigoureux s’écrit
Ao I − IAi = constante
(9.10)
Les surfaces réfléchissantes permettant de réaliser le stigmatisme rigoureux entre Ao et
Ai de natures différentes sont des hyperboloïdes de révolution autour de la droite (Ao , Ai )
et de foyers Ao et Ai (figure 9.11).
M
Ao
I
Ai
H
Ao
F IGURE 9.11 – Miroir hyperbolique.
Ai
F IGURE 9.12 – Miroir plan.
Cas particulier : le cas où la constante est nulle correspond au plan médian du segment
Ao Ai (figure 9.12) ; le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique pour tous les
points de l’espace. Le point objet Ao et son image stigmatique Ai sont alors symétriques
par rapport au miroir plan (M).
3ème cas : l’un des deux points est rejeté à l’infini
Considérons le cas où Ao est rejeté à l’infini. D’après le théorème de M ALUS -D UPIN
(Ao Q) = constante puisque les rayons lumineux issus de Ao sont parallèles. La condition
de stigmatisme rigoureux s’exprime alors
(QAi ) = C = constante
(9.11)
que l’on peut écrire en faisant intervenir le point I de la surface réfléchissante
n QI + n IAi = C = n C ′
(9.12)
ou encore
CRMEF / AGP-1
QI − C ′ + IAi = 0
175
(9.13)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Posons alors Q′ I − C ′ = Q′ I , ceci revient à considérer une autre surface d’onde Σ′
parallèle à Σ. Il vient alors
(9.14)
Q′ I + IAi = 0
Si on suppose Ai réelle (cas de la figure), Σ′ est alors virtuelle et on obtient
−Q′ I + IAi = 0
(9.15)
L’ensemble des points I, se trouvant à égale distance entre un point Ai et un plan Σ′ est
un paraboloïde de révolution de foyer Ai .
Q'
I
Q
Ai
Σ '
Σ
F IGURE 9.13 – Miroir parabolique.
Le miroir parabolique est donc rigoureusement stigmatique pour le couple (∞,foyer).
Applications :
– en astronomie, on utilise souvent un miroir parabolique comme miroir principal de
l’objectif des télescopes ;
– en émission-réception radioélectrique on utilise des miroirs paraboliques (radar, antenne parabolique, . . .etc.) ;
– dans les centrales solaires, on utilise un miroir parabolique pour concentrer l’énergie solaire au foyer du miroir où est disposé le capteur ;
– dans l’éclairage, on utilise un miroir parabolique pour augmenter la portée des projecteurs.
1.6.2. Cas des surfaces réfractantes
1.6.2.1.
Cas général
La condition de stigmatisme rigoureux s’écrit dans ce cas
Ao Ai = no Ao I + ni IAi = constante
Y. E L A ZHARI
176
(9.16)
CRMEF / AGP-1
1.. STIGMATISME RIGOUREUX
Si l’on cherche Ao et Ai de même nature (réelle par exemple), la relation ci-dessus devient
no Ao I + ni IAi = constante
(9.17)
Les surfaces réfractantes satisfaisant cette condition sont appelées ovoïdes de D ESCARTES. La
réalisation pratique de ces surfaces est très délicate ce qui fait que de telles surfaces ne sont pas
utilisées dans les instruments d’optique.
1.6.2.2.
Cas particulier
Seul le cas correspondant à une constante nulle est utilisé car facilement réalisable, la surface réfractante est alors une sphère. En effet, dans ce cas, la condition de stigmatisme rigoureux
ci-dessus s’écrit
Ao Ai = no Ao I + ni IAi = 0
(9.18)
les deux points Ao et Ai sont donc de natures différentes, ce qui permet d’écrire
no Ao I − ni IAi = 0
(9.19)
no
IAi
=
=k
IAo
ni
(9.20)
soit
On montre que l’ensemble des points I est la sphère qui divise harmoniquement le segment
Ao Ai = a. Son rayon R et la distance OC du milieu O de Ao Ai au centre C de la sphère
valent respectivement (figure 9.14)
R=
ka
2
|k − 1|
Ai
et
S'
OC =
Ao
C
a k2 + 1
2 |k 2 − 1|
(9.21)
S
no ni
F IGURE 9.14 – Points de W EIERSTRASS -YOUNG du dioptre sphérique.
Les points Ao et Ai sont appelés points de W EIERSTRASS -YOUNG du dioptre sphérique de
centre C et de rayon R (figure 9.14).
CRMEF / AGP-1
177
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
1.6.2.3.
Application
Les points de W EIERSTRASS -YOUNG sont utilisés dans certains objectifs de microscopes.
Leur première lentille se présente alors comme un dioptre sphérique travaillant avec le couple
(Ao , Ai ) des points de W EIERSTRASS -YOUNG. Ceci permet de travailler avec des faisceaux
lumineux très ouverts.
2.
Stigmatisme approché
2.1.
Retour sur le stigmatisme rigoureux
2.1.1. Le stigmatisme rigoureux est rare
À l’exception du miroir plan, tous les cas de stigmatisme rigoureux rencontrés dans le §1.6.
concernent un couple particulier de points. Le stigmatisme rigoureux est donc très rare.
2.1.2. Le stigmatisme rigoureux a peu d’intérêt - théorème de M AXWELL
Le théorème de M AXWELL, que l’on admettra dans le cadre de ce cours, s’énonce comme
suit :
Lorsqu’un instrument d’optique est absolu (rigoureusement stigmatique pour tout couple de
points Ao et Ai ) alors la longueur optique de toute courbe située dans l’espace objet est égale à
la longueur optique de sa courbe image.
Le miroir plan constitue un exemple d’instrument d’optique absolu.
Le théorème de M AXWELL limite sérieusement l’intérêt des instruments d’optiques absolus
puisque les grandissements offerts par de tels instruments sont forcément limités.
2.1.3. Le stigmatisme rigoureux est « inutile »
En effet, même si l’image géométrique Ai d’un point Ao par un système optique était rigoureusement ponctuelle, les récepteurs usuels (œil, plaque photographique, barrette ou matrice
CCD. . .etc.), du fait de leur structure granulaire, perçoivent Ai comme une petite tache (≈ 4 µm
pour les cellules de la rétine de l’œil humain).
D’autre part, même si du point de vue de l’optique géométrique un système optique est
stigmatique, la diffraction (toujours présente) fait que l’image d’un point n’est jamais rigoureusement ponctuelle.
2.2.
Notion de stigmatisme approché
Il suffit de construire des S.O. qui, d’un objet ponctuel Ao , donnent une image sous forme
d’une tache de petite dimension qui serait perçue par le détecteur comme le serait un point. De
tels S.O. sont dits approximativement stigmatiques.
Les limites du stigmatisme approché sont fixées par le dispositif de perception de l’image
(œil, plaque photographique, barrette ou matrice CCD. . .etc.) : tant que les dimensions de la
tache image sont inférieures à celle des cellules de la rétine, des grains de l’émulsion photosensible de la plaque photographique ou des cellules de la barrette CCD. . .etc., la tache sera
Y. E L A ZHARI
178
CRMEF / AGP-1
2.. STIGMATISME APPROCHÉ
considérée comme si elle était ponctuelle et le récepteur ne pourra pas faire la différence entre
stigmatisme approché et stigmatisme rigoureux.
La condition de stigmatisme approché s’écrira alors
(9.22)
Ao Ai ≈ constante
Par la suite, nous étudierons la possibilité de réaliser le stigmatisme approché dans deux cas
particuliers très intéressants et souvent complémentaires :
– près des positions de stigmatisme rigoureux ;
– dans les conditions de G AUSS.
2.3.
Stigmatisme approché des systèmes optiques centrés utilisés dans les conditions de G AUSS
2.3.1. Système optique centré
Un système optique est dit centré lorsqu’il présente une symétrie de révolution autour d’un
axe appelé axe optique principal du système. Le foyer objet (respectivement image) principal
d’un tel système est le foyer objet (respectivement image) situé sur l’axe optique principal.
En général de tels systèmes sont constitués de dioptres et de miroirs séparés par des milieux
transparents, homogènes et isotropes. Les surfaces utiles des dioptres et des miroirs sont limitées par des diaphragmes circulaires de même axe que le système. Les points d’intersection des
dioptres et des miroirs avec l’axe optique principal sont appelées sommets.
S.O.C.
Se
Ss
Fe
Fs
F IGURE 9.15 – Système optique centré.
2.3.2. Conditions de G AUSS
Un système optique centré est utilisé dans les conditions de G AUSS lorsque les rayons qui
le traversent vérifient les deux conditions suivantes :
1) ils sont faiblement inclinés par rapport à l’axe optique du système ;
2) ils rencontrent les dioptres et les miroirs constituant le système optique centré, au voisinage
de leur sommet.
De tels rayons sont dits paraxiaux. Dans la pratique, on utilise des diaphragmes dont les ouvertures sont choisies de façon à satisfaire ces conditions.
CRMEF / AGP-1
179
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
2.3.3. Condition mathématique de stigmatisme approché des S.O.C. utilisés dans les conditions de G AUSS
Tout rayon paraxial issu d’un point Ao émerge en passant au voisinage de Ai après avoir
traversé le S.O.C. Dans le cadre de l’approximation de G AUSS on peut confondre la surface
d’onde Σi (normale aux rayons lumineux émergents) avec sa sphère surosculatrice (tangente)
dont le centre Ai est l’image de Ao par le S.O.C.
S.O.C.
Σo
Ao
Σi
Ai
F IGURE 9.16 – Système optique centré utilisé dans les conditions de G AUSS.
On peut chercher à quel ordre d’approximation correspond cette hypothèse. Pour celaconsidérons un point objet Ao de l’axe optique et exprimons le chemin optique L = Ao Ai . Pour
un système centré Ai est aussi sur l’axe optique et L ne dépend que d’un seul paramètre θ :
L = L(θ).
S.O.C.
θ
Ao
Ai
F IGURE 9.17 – Paramétrage d’un système optique centré utilisé dans les conditions de G AUSS.
Lorsque le système est utilisé dans le cadre les conditions de G AUSS, θ est faible et peut
être considéré comme un infiniment petit d’ordre un. Faisons alors un développement limité de
L(θ) au voisinage de 0.
dL
θ3 d3 L
θ4 d4 L
θ2 d2 L
(0) +
(0) +
(0) + · · ·
(9.23)
(0) +
2
3
dθ
2! dθ
3! dθ
4! dθ4
Comme le système est centré, il possède la symétrie de révolution autour de l’axe optique
principal, ceci se traduit par
L(θ) = L(0) + θ
L(−θ) = L(θ)
Y. E L A ZHARI
180
(9.24)
CRMEF / AGP-1
3.. CONSERVATION DU STIGMATISME DANS L’ESPACE
Tous les termes d’ordre impair du développement limité sont alors nuls et il reste
L(θ) = L(0) +
θ2 d2 L
θ4 d4 L
(0)
+
(0) + · · ·
2! dθ2
4! dθ4
(9.25)
La condition de stigmatisme approché d’un S.O.C. utilisé dans les conditions de G AUSS s’écrit
alors : L(θ) = L(0) au 4è ordre près, c’est-à-dire :
d2 L
(0) = 0
dθ2
(9.26)
Cette condition permet de déterminer la position de Ai connaissant celle de Ao , on l’appelle
relation de conjugaison du système optique.
3.
Conservation du stigmatisme dans l’espace
Dans le paragraphe précédent nous nous sommes intéressés au stigmatisme approché pour
des points de l’axe optique. Dans la pratique les instruments d’optique sont amenés à former
des images d’objets étendus.
Pour étudier la capacité d’un S.O. à donner des images satisfaisantes de tels objets considérons un couple de points (Ao , Ai ) conjugués situés sur l’axe optique principal d’un S.O.C. et
cherchons à quelle(s) conditions un couple de points (Mo , Mi ) voisins sera lui aussi conjugué
par le même S.O.C.
I
Mo
Bo
u1
I1
J
uo
θi
θo
Ao
ui
Co
no
n1
S.O.C.
ni
Ai
Ci
Bi
Mi
F IGURE 9.18 – Conservation du stigmatisme dans l’espace.
Par hypothèse (Ao Ai ) = constante et on cherche à avoir (Mo Mi ) = constante, c’est-à-dire
(Mo Mi ) − (Ao Ai ) = constante
(9.27)
ce que l’on peut écrire, puisque Mo et Mi sont supposés infiniment voisins respectivement de
Ao et Ai
∆ Ao Ai = constante
(9.28)
Or
Ao Ai = no Ao I + (IJ) + ni JAi = no Ao I · uo + n1 II1 · u1 + · · · + ni JAi · ui(9.29)
CRMEF / AGP-1
181
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
donc
∆ Ao Ai = no (∆I − ∆Ao ) · uo + n1 (∆I1 − ∆I) · u1 + · · · + ni (∆Ai − ∆J) · u(9.30)
i
soit
∆ Ao Ai = −no uo · ∆Ao + ni ui · ∆Ai + (n1 u1 − no uo ) · ∆I + · · ·
(9.31)
Or, tous les termes du type (n1 u1 − no uo ) · ∆I sont nuls d’après les lois de D ESCARTES S NELL. Il reste donc
(9.32)
∆ Ao Ai = ni ui · ∆Ai − no uo · ∆Ao
La condition de conservation du stigmatisme dans l’espace ∆ Ao Ai = constante s’écrit donc,
compte tenu de ∆Ao = Ao Mo et ∆Ai = Ai Mi
ni ui · Ai Mi − no uo · Ao Mo = constante
3.1.
(9.33)
Condition d’A BBE ou d’aplanétisme
C’est la condition de conservation du stigmatisme dans un plan de front perpendiculaire à
l’axe optique principal du système ; Mo est alors en Bo et Mi en Bi .
La relation générale s’écrit alors
ni ui · Ai Bi − no uo · Ao Bo = ni Ai Bi sin θi − no Ao Bo sin θo = constante
(9.34)
Pour déterminer la constante on considère le rayon incident pour lequel qo = 0, le rayon
émergent correspondant est alors tel que qi = 0 ce qui donne une constante nulle. D’où la
condition d’A BBE ou d’aplanétisme
(9.35)
no Ao Bo sin θo = ni Ai Bi sin θi
3.2.
Condition d’H ERSCHEL
C’est la condition de conservation du stigmatisme le long de l’axe optique principal du
système ; Mo est alors en Co et Mi en Ci .
La relation générale donne dans ce cas
ni ui · Ai Ci − no uo · Ao Co = ni Ai Ci cos θi − no Ao Co cos θo = constante
(9.36)
D’autre part, pour qo = 0, on a encore qi = 0 et alors
constante = ni Ai Ci − no Ao Co
(9.37)
Ce qui donne la condition de conservation du stigmatisme le long de l’axe optique principal du
système ou condition d’H ERSCHEL
θo
θi
= ni Ai Ci sin2
(9.38)
no Ao Co sin2
2
2
Y. E L A ZHARI
182
CRMEF / AGP-1
3.. CONSERVATION DU STIGMATISME DANS L’ESPACE
3.3.
Stigmatisme tridimensionnel
3.3.1. Grandissements
La notion de grandissement est souvent utilisée pour caractériser l’action des instruments
optiques. On définit alors trois grandissements :
– le grandissement transversal
Gt =
Ai Bi
Ao Bo
(9.39)
Gℓ =
Ai Ci
Ao Co
(9.40)
θi
θo
(9.41)
– le grandissement longitudinal
– le grandissement angulaire
Ga =
3.3.2. Condition de stigmatisme tridimensionnel
Pour que le stigmatisme soit conservé dans des volumes entourant Ao et Ai il faut que les
deux conditions d’A BBE et d’H ERSCHEL soient vérifiées simultanément ; soit
2
sin2 θ2o
ni
ni
sin2 θ0
2
=
=
Gℓ
Gt
et
2 θi
no
n
sin2 θi
sin 2
o
c’est-à-dire
cos2
cos2
θo
2
θi
2
=
ni G2t
no Gℓ
(9.42)
Cette relation doit être vérifiée pour tous les rayons lumineux. C’est-à-dire pour toutes les valeurs de θo et donc de θi . En particulier pour θo = 0, θi = 0 et l’on obtient
ni G2t
=1
no Gℓ
(9.43)
les grandissements Gt et Gℓ (ainsi que Ga ) étant indépendants, dans l’hypothèse de stigmatisme, des valeurs prises par θo et θi .
On en déduit alors la condition de stigmatisme tridimensionnel
θi
θo
= cos2
(9.44)
cos2
2
2
CRMEF / AGP-1
183
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
3.3.3. Discussion
Nous avons vu ci-dessus que la conservation du stigmatisme dans l’espace impose
cos2 θ2o
ni G2t
=1
(9.45)
=
no Gℓ
cos2 θ2i
Différents cas se présentent alors
① Cas général
En général, c’est-à-dire pour des points quelconques et des rayons lumineux quelconques,
la condition de conservation de stigmatisme n’est pas satisfaite. On parle alors d’incompatibilité entre les conditions d’A BBE et d’H ERSCHEL.
② Cas particuliers
a) θi = ±θo 1 , la condition de stigmatisme est satisfaite mais les grandissements transversal et longitudinal valent respectivement :
Ai Bi
no
=±
ni
Ao Bo
Ai Ci
no
Gℓ =
=±
ni
Ao Co
Gt =
(9.46)
(9.47)
on retrouve donc le théorème de M AXWELL (instrument absolu).
b) Système centré dans les conditions de G AUSS : θo ≪ 1 et θi ≪ 1
La condition de conservation du stigmatisme dans l’espace est réalisée approximativement et on a :
• d’après la condition d’H ERSCHEL
no Ao Co θo2 ≈ ni Ai Ci θi2
(9.48)
on en déduit
Gℓ G2a ≈
•
no
ni
(9.49)
et d’après la condition d’A BBE
no Ao Bo θo ≈ ni Ai Bi θi
(9.50)
cette relation est appelée relation de L AGRANGE -H ELMHOLTZ. On en déduit
Ga Gt ≈
no
ni
(9.51)
D’où la relation entre les grandissements d’un système optique centré utilisé dans
les conditions de G AUSS
Gt = Ga Gℓ
(9.52)
1. cos(θi /2) = cos(θo /2) donne θi = ±θo et cos(θi /2) = − cos(θo /2) donne θi = ±(θo + 2 π), c’est-à-dire
θi = ±θo .
Y. E L A ZHARI
184
CRMEF / AGP-1
3.. CONSERVATION DU STIGMATISME DANS L’ESPACE
Les systèmes optiques centrés sont donc approximativement stigmatiques et aplanétiques pour tous les points de l’espace lorsqu’ils sont utilisés dans les conditions de G AUSS.
c) Relation de L AGRANGE -H ELMHOLTZ pour un objet ou/et une image à l’infini
• L’objet est à l’infini et le système centré focal
L’image est alors située au foyer image. Dans ce cas il est commode d’écrire la
relation de L AGRANGE -H ELMHOLTZ en faisant intervenir le diamètre apparent
εo de l’objet défini comme étant l’angle sous lequel on voit l’objet à partir d’un
point O quelconque de l’axe optique. εo est bien évidemment indépendant de O
si l’objet est à l’infini.
Bo
I
θo
Ao
εo
O
F IGURE 9.19 – Objet à l’infini.
Supposons tout d’abord l’objet Ao Bo à distance finie. Dans les conditions de
G AUSS et avec les notations de la figure 9.19, on a
θo =
OI
Ao O
et
εo =
Ao Bo
Ao O
(9.53)
de sorte que no θo Ao Bo = no εo OI. Quand Ao → ∞, OI → ho et la relation
de L AGRANGE -H ELMHOLTZ s’écrit
(9.54)
no εo ho = ni θi Ai Bi
•
L’image Ai Bi est dans le plan focal image du système optique centré.
L’image est à l’infini et le système centré focal
On a de même avec les notations de la figure 9.20
no θo Ao Bo = ni εi hi
(9.55)
avec hi = lim O′ I ′ . O′ est un point quelconque de l’axe optique. Ao Bo est
Ai →∞
•
dans le plan focal objet du système optique.
L’objet est à l’infini et le système dioptrique afocal
Dans ces conditions l’image Ai Bi de l’objet Ao Bo est à l’infini. Soit (O, O′ ) un
couple de points conjugués de l’axe optique.
La relation de L AGRANGE -H ELMHOLTZ s’écrit dans ce cas avec les notations de
la figure 9.21
no ε o ho = ni ε i hi
(9.56)
où ho = lim OI et hi = lim O′ I ′ .
Ao →∞
CRMEF / AGP-1
Ai →∞
185
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Bi
I'
εi
θi
Ai
O'
F IGURE 9.20 – Image à l’infini.
Bo
Bi
I
I'
O
O'
εi
εo
θo
Ao
θi
Ai
F IGURE 9.21 – Objet et image à l’infini.
4.
Application à l’étude du dioptre sphérique
Souvent, on utilise le dioptre sphérique pour modéliser les surfaces réfractantes de certains
instruments optiques. On se propose dans cette section d’appliquer les résultats établis dans les
paragraphes précédents à l’étude du dioptre sphérique.
4.1.
Dioptre sphérique
C’est une portion de surface sphérique séparant deux milieux transparents, linéaires, isotropes et homogènes d’indices de réfraction n1 et n2 . On note R le rayon du dioptre et C son
centre.
En adoptant comme sens positif d’orientation celui de propagation de la lumière on distingue deux types de dioptres sphériques :
n1
n2
n1 n2
+
+
R
S
R
C
C
(a) Dioptre sphérique convexe
S
(b) Dioptre sphérique concave
F IGURE 9.22 – Dioptres sphériques convexe (SC = R = R > 0) et concave (SC = R =
−R < 0).
Y. E L A ZHARI
186
CRMEF / AGP-1
4.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE
4.2.
Invariant fondamental du dioptre
Soit un dioptre sphérique de centre C et de rayon R séparant deux milieux d’indices n1 et
n2 . Pour le schéma, considérons le cas d’un dioptre convexe et supposons n1 > n2 .
Un rayon lumineux issu d’un point A1 semble provenir, après réfraction sur le dioptre, du
point A2 .
I
i1
i2
+
ω
A1
A2
S
C
n1 n2
F IGURE 9.23 – Dioptre sphérique et notations.
En exprimant les relations entre les angles des triangles A1 IC d’une part et A2 IC d’autre
part on obtient
A1 C
A1 I
– triangle A1 IC :
=
;
sin(π − i1 )
sin(−ω)
A2 I
A2 C
=
.
– triangle A2 IC :
sin(π − i2 )
sin(−ω)
On en déduit en éliminant sin ω :
CA2
CA1
=
IA1 sin i1
IA2 sin i2
(9.57)
D’où finalement, en utilisant la deuxième loi de D ESCARTES -S NELL pour la réfraction et en
algèbrisant les distances :
n1
4.3.
CA1
CA2
= n2
IA1
IA2
(9.58)
Stigmatisme rigoureux
A2 est image stigmatique de A1 et alors (A1 , A2 ) ≡ (Ao , Ai ) et (n1 , n2 ) ≡ (no , ni ) si, et
seulement si
CAi =
no IAi
CAo
ni IAo
(9.59)
est indépendant de I c’est-à-dire du rayon lumineux. En général, c’est-à-dire pour des points
quelconques et des rayons lumineux quelconques, cette condition n’est pas vérifiée. Mais il
existe des cas particuliers pour lesquels elle peut être satisfaite.
CRMEF / AGP-1
187
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
4.3.1. Pour le centre du dioptre
Si Ao ≡ C alors Ai ≡ C. Le centre du dioptre est sa propre image stigmatique. Ceci
vient du fait que tout rayon lumineux passant par le centre arrive sous incidence normale sur le
dioptre et ne subit alors pas de réfraction.
Remarque
La condition de stigmatisme rigoureux est vérifiée aussi pour tous les points de la surface
du dioptre puisque dans ce cas IAo = IAi = 0 ; mais ce cas n’est d’aucun intérêt pratique.
4.3.2. Pour les points de W EIRSTRASS -YOUNG
Les autres points stigmatiques vérifient
IAi
= constante
IAo
(9.60)
Les points Ao et Ai sont alors les points de W EIRSTRASS -YOUNG du dioptre sphérique situés
sur l’axe optique principal. On a (cf. §1.6.2.2., page 177)
IAi
no
=k
=
ni
IAo
(9.61)
En considérant I en S puis en S ′ on peut écrire
SAi
S ′ Ai
no
=− ′
=
ni
SAo
S Ao
(9.62)
SC + CAi
S ′ C + CAi
no
=− ′
=
ni
SC + CAo
S C + CAo
(9.63)
c’est-à-dire
d’où l’on déduit les positions des deux points de W EIRSTRASS -YOUNG du dioptre sphérique
ni
CS
no
no
CAi = − CS
ni
CAo = −
4.4.
(9.64)
(9.65)
Stigmatisme approché
Le stigmatisme approché est réalisé dans deux cas de figure :
– près des positions de stigmatisme rigoureux. Dans ce cas les rayons lumineux sont quelconques ;
– dans les conditions de G AUSS mais pour des points quelconques.
Y. E L A ZHARI
188
CRMEF / AGP-1
4.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE
4.4.1. Près des positions de stigmatisme rigoureux
4.4.1.1.
Près du centre C
En effet dans ce cas IAo ≈ IAi et θo ≈ θi de sorte que
CAi ≈
no
CAo
ni
(9.66)
est indépendamment de I et les conditions d’A BBE et d’H ERSCHEL sont satisfaites.
I
θo
Ao
θo
C
Ai
no
S
ni
F IGURE 9.24 – Stigmatisme approché près du centre du dioptre.
Le grandissement transversal vaut alors
Gt =
Ai Bi
no sin θo
no
=
≈
ni sin θi
ni
Ao Bo
(9.67)
qui est forcément limité conformément au théorème de M AXWELL.
Le dioptre sphérique est donc approximativement stigmatique au voisinage de son centre
qui est sa propre image.
4.4.1.2.
Près des points de W EIRSTRASS -YOUNG
On peut écrire sin θo =
HI
Ao I
et sin θi =
HI
.
Ai I
La condition d’A BBE s’écrit alors
Ai Bi
no sin θo
no Ai I
=
=
=
ni sin θi
ni Ao I
Ao Bo
no
ni
2
(9.68)
On en déduit le grandissement transversal
Ai Bi
=
Gt =
Ao Bo
no
ni
2
(9.69)
Remarque
Il faut noter que le stigmatisme approché réalisé au voisinage des positions de stigmatisme
rigoureux est indépendant de l’inclinaison des rayons lumineux.
CRMEF / AGP-1
189
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
I
Ai
θi
θo
H S
C
Ao
no ni
F IGURE 9.25 – Stigmatisme approché près des points de W EIRSTRASS -YOUNG du dioptre
sphérique.
4.4.2. Dans les conditions de Gauss
Les rayons lumineux sont paraxiaux et on peut écrire IAo ≈ SAo et IAi ≈ SAi . On en
déduit
CAi ≈
no SAi
CAo
ni SAo
(9.70)
indépendamment de I. D’autre part le dioptre sphérique obéit approximativement aux conditions d’A BBE et d’H ERSCHEL.
4.5.
Étude du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss
Dans les conditions de G AUSS les dioptres sont utilisés au voisinage de leur sommet de sorte
que l’on puisse les confondre avec leur plan tangent. On a alors les représentations suivantes :
+
+
S
n1
C
C
S
n1 n2
n2
(a) Dioptre convexe
(b) Dioptre concave
F IGURE 9.26 – Représentation schématique du dioptre sphérique utilisé dans les conditions de
G AUSS.
Y. E L A ZHARI
190
CRMEF / AGP-1
4.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE
4.5.1. Équation de conjugaison avec origine au sommet
Les angles étant petits (rayons paraxiaux), la deuxième loi de D ESCARTES -S NELL pour la
réfraction s’écrit en I
(9.71)
no i o ≈ ni i i
ii
I
θo
θi
Ai
Ao
io
θ
H S
C
no ni
F IGURE 9.27 – Dioptre sphérique dans les conditions de G AUSS, notations.
Exprimons alors les relations entre les angles des triangles
– CAo I : θo + (π − θ) + (−io ) = π ce qui donne io = θo − θ
– CAi I : θi + (π − θ) + (−ii ) = π ce qui donne ii = θi − θ
l’équation (9.71) devient alors
no (θo − θ) ≈ ni (θi − θ)
(9.72)
Or (figure 9.27)
θo
≈
θi
≈
θ
≈
HI
HI
≈
Ao H
Ao S
HI
HI
tan θi =
≈
Ai H
Ai S
HI
HI
tan θ =
≈
CH
CS
tan θo =
(9.73)
(9.74)
(9.75)
D’où, après simplification
no
ni − no
ni
−
=
SAi
SAo
SC
(9.76)
Remarque
On peut retrouver l’équation de conjugaison (9.76) à partir de la condition mathématique de
stigmatisme approché pour les systèmes centrés utilisés dans les conditions de G AUSS (§2.3.3.).
Pour cela calculons le chemin optique
(9.77)
L(θ) = Ao IAi = no Ao I + ni IAi
CRMEF / AGP-1
191
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Exprimons d’abord Ao I. On peut écrire
2
2
Ao I = Ao I2 = (Ao S + SC + CI)
donc
2
2
2
2
Ao I = SAo + SC + IC − 2 SAo · SC + 2 SAo · IC − 2 SC · IC
(9.78)
Or SC = IC = R (rayon de courbure algébrique du dioptre), et θ = (CS, CI), on obtient
alors
2
2
(9.79)
Ao I = SAo + 2 SC SC − SAo (1 − cos θ)
soit, au deuxième ordre
Ao I = −SAo −
SC SC − SAo
2 SAo
θ2
(9.80)
De la même façon on obtient
IAi = SAi +
SC SC + SAi
2 SAi
θ2
(9.81)
On en déduit
L(θ) = Ao IAi = Ao SAi − SC
"
no SC − SAo
SAo
−
ni SC + SAi
SAi
La condition de stigmatisme approché d2 L/dθ2 = 0 donne alors
no SC − SAo
ni SC + SAi
−
=0
SAo
SAi
#
θ2
(9.82)
2
(9.83)
d’où l’on obtient après simplification
ni
no
ni − no
−
=
SAi
SAo
SC
On retrouve ainsi l’équation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au sommet.
4.5.2. Équation de conjugaison avec origine au centre
En remplaçant SAo = SC + CAo et SAi = SC + CAi dans l’équation de conjugaison
(9.76) avec origine au sommet, on obtient après simplification
ni
no − ni
no
−
=
CAi
CAo
CS
(9.84)
C’est l’équation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au centre du dioptre. Cette
équation est moins utilisée que l’équation de conjugaison avec origine au sommet car le centre
du dioptre n’est pas matérialisé.
Y. E L A ZHARI
192
CRMEF / AGP-1
4.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE
4.5.3. Foyers d’un dioptre sphérique
foyer objet : le foyer objet (principal) Fo a pour image un point Ai de l’axe optique principal
rejeté à l’infini, alors
fo = SFo =
−no
SC
ni − no
(9.85)
fo est appelée distance focale (algébrique) objet du dioptre sphérique.
foyer image : le foyer image (principal) Fi est l’image un point Ao o de l’axe optique principal
situé à l’infini, alors
fi = SFi =
ni
SC
ni − no
(9.86)
fi est appelée distance focale (algébrique) image du dioptre sphérique.
Remarques
fi
ni
•
=−
< 0, fo et fi ont donc des signes opposés ;
fo
no
no
i
SC = −SFo et CFo = n−n
SC = −SFi , donc CFi = SFo et
• CFi =
i −no
ni − no
CFo = SFi ;
•
fo + fi = SC, les foyers sont donc de part et d’autre de S et C.
4.5.4. Équation de conjugaison avec origines aux foyers
On peut obtenir l’équation de conjugaison avec origines aux foyers en partant de l’équation
de conjugaison avec origine au sommet écrite sous la forme
fo
fi
+
=1
SAo
SAi
et en utilisant SAo = SFo + Fo Ao et SAi = SFi + Fi Ai . On obtient alors
Fo Ao Fi Ai = fo fi
(9.87)
4.5.5. Grandissements
Considérons un objet Ao Bo . Le dioptre sphérique en donne, dans les conditions de G AUSS,
une image Ai Bi . On peut caractériser l’action du dioptre à l’aide des grandissements.
Remarque : Le rayon lumineux passant par le centre C traverse le dioptre sans déviation.
4.5.5.1.
Grandissement transversal
\
– Origine au centre : Les deux angles au sommet CA\
o , CBo et CAo , CBo étant
égaux alors
Ao Bo
Ai Bi
=
CAo
CAi
CRMEF / AGP-1
193
(9.88)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
+
Bo
J
io
Ao
C
Fo
S
Fi
ii
I
ni
no
Ai
Bi
F IGURE 9.28 – Cheminement de différents rayons lumineux réfractés dans un dioptre sphérique.
ce qui donne
Gt =
Ai Bi
CAi
=
Ao Bo
CAo
(9.89)
– Origine au sommet : les triangles Ao Bo S et Ai Bi S donnent
(9.90)
Ao Bo = SAo tan io ≈ SAo io
(9.91)
Ai Bi = SAo tan ii ≈ SAi ii
Il s’en suit, compte tenu de la loi de D ESCARTES -S NELL écrite pour les petits angles
(conditions de Gauss) no io ≈ ni ii
Ai Bi
no SAi
=
ni SAo
Ao Bo
Gt =
(9.92)
– Origines aux foyers : les triangles semblables Fo Ao Bo et Fo SI donnent
Ao Bo
SI
=
Fo Ao
Fo S
(9.93)
d’où
Gt =
Ai Bi
fo
=−
Ao Bo
Fo Ao
(9.94)
De la même façon les triangles semblables Fi Ai Bi et Fi SJ donnent
Ai Bi
SJ
=
Fi Ai
Fi S
(9.95)
d’où
Gt =
Y. E L A ZHARI
Ai Bi
Fi Ai
=−
fi
Ao Bo
194
(9.96)
CRMEF / AGP-1
4.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU DIOPTRE SPHÉRIQUE
Remarque
En égalisant les deux expressions (9.94) et (9.96) du grandissement transversal avec
origines aux foyers, on retrouve la relation de conjugaison avec origines aux foyers
Fo Ao Fi Ai = fo fi .
4.5.5.2.
Grandissement longitudinal
On obtient l’expression du grandissement longitudinal en différentiant par exemple la relation de conjugaison avec origine au sommet
−ni
dSAi
SAi
2
+ no
dSAo
SAo
(9.97)
=0
2
où sSAo et sSAi désignent les déplacements élémentaires de l’objet Ao et de son image Ai
respectivement le long de l’axe optique principal. On en déduit
Ai Ci
dSAi
no
=
=
Gℓ =
ni
Ao Co
dSAo
SAi
SAo
2
(9.98)
On peut remarquer que Gℓ est toujours positif. L’objet et l’image se déplacent toujours dans le
même sens.
4.5.5.3.
Grandissement angulaire
On peut déduire le grandissement angulaire à partir de la relation générale qui relie les trois
grandissements dans les conditions de G AUSS Ga = Gt /Gℓ .
4.6.
Cas particulier du dioptre plan
Le cas particulier du dioptre plan correspond à un rayon de courbure infini
1
SC
→ 0. Les
no ni
Ao
Ai
S
F IGURE 9.29 – Dioptre plan.
foyers objet Fo et image Fi sont tous les deux rejetés à l’infini : le système est donc afocal.
L’équation de conjugaison s’écrit alors
ni
no
=
SAi
SAo
CRMEF / AGP-1
195
(9.99)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Les grandissements valent dans ce cas Gt = 1, Gℓ = nnoi et Ga =
Remarque : la figure 9.29 correspond au cas no > ni .
no
ni .
L’expérience dite « du bâton brisé » permet d’illustrer ce qui précède. Dans une cuve d’eau
au repos est placée un bâton droit. L’image des points de la partie du bâton immergée dans l’eau
semblent plus près de la surface ce qui donne à l’observateur l’impression que le bâton est brisé
au niveau de la surface de l’eau.
Ao
Bo
S
Ci
Co
F IGURE 9.30 – Expérience du bâton brisé.
La relation de conjugaison ci dessus explique aussi pourquoi un poisson dans l’eau semble
plus près de la surface qu’il ne l’est réellement (d’où la difficulté de pouvoir l’attraper !).
Application : lame à faces parallèles
Une lame à faces parallèles est constituée d’un milieu d’indice N séparé du milieu extérieur
d’indice n par deux dioptres plans.
n
Ao
N
n
S1
S2
D1
D2
F IGURE 9.31 – Lame à faces parallèles.
Soit Ao un point objet et Ai son image par la lame à faces parallèles. Pour déterminer la
position de Ai en fonction de celle de Ao on utilise la relation de conjugaison pour les dioptres
(n, N ) et (N, n) en notant A1 l’image intermédiaire de Ao par le premier dioptre (n, N ).
D1 (n,N )
D2 (N,n)
Ao −−−−−−→ A1 −−−−−→ Ai
Y. E L A ZHARI
196
CRMEF / AGP-1
5.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU MIROIR SPHÉRIQUE
On a alors S1 A1 =
N
n
Ao Ai
S1 Ao et S2 Ai =
n
N
S2 A1 . On obtient alors successivement
= Ao S1 + S1 S2 + S2 Ai
n
= Ao S1 + S1 S2 +
S2 S1 + S1 A1
N n
N
= Ao S1 + S1 S2 +
S2 S1 + S1 Ao
N
n
D’où l’on déduit la position de Ai
n
Ao Ai = 1 −
S1 S2
N
5.
(9.100)
Application à l’étude du miroir sphérique
Comme le dioptre sphérique, le miroir sphérique peut modéliser plus ou moins fidèlement
les surfaces réfléchissantes de plusieurs instruments optiques.
5.1.
Miroir sphérique
C’est une portion de surface sphérique rendue réfléchissante. On note R le rayon de la
sphère, S son sommet et C son centre.
En adoptant comme sens positif d’orientation celui de propagation de la lumière incidente
on distingue deux types de miroirs sphériques (figure 9.32).
+
+
R
S
C
C
(a) Miroir sphérique convexe
R
S
(b) Miroir sphérique concave
F IGURE 9.32 – Miroirs sphériques convexe (SC = R = R > 0) et concave (SC = R =
−R < 0).
5.2.
Stigmatisme rigoureux
Tout rayon lumineux passant par le centre C arrive normalement sur le miroir. Il se réfléchit
alors sur lui même et repasse par le centre. Le centre C du miroir est donc sa propre image
stigmatique.
Soit A1 un point quelconque. Si le miroir en donne une image A2 , cette image est située
sur l’axe secondaire A1 C, puisque A1 C est réfléchi sur lui même. Soit A1 I un rayon incident
CRMEF / AGP-1
197
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
quelconque. Le plan d’incidence est défini par le rayon A1 I et la normale IC, il contient donc
le rayon A1 C. Le rayon réfléchi qui se trouve aussi dans ce plan rencontre A1 C en A2 qui, s’il
y a stigmatisme, est l’image de A1 .
I
i
A1
C
ω
A2
S
T
F IGURE 9.33 – Réflexion d’un rayon lumineux sur un miroir sphérique.
La tangente en I au miroir dans le plan d’incidence rencontre A1 C en T . IT est la bissectrice extérieure de l’angle A\
1 IA2 . A1 , C, A2 et T sont conjugués harmoniques. Les positions
de A1 et C sont fixes. La position de T varie avec I, donc A2 n’est pas fixe.
Il en résulte qu’en général le miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique.
Les points A1 , C, A2 et T étant conjugués harmoniques, on peut écrire
1
1
2
+
=
CA1
CA2
CT
(9.101)
Si ω désigne l’angle de la normale CI avec AC alors CI = CT cos ω, ce qui donne
CT =
CI
CS
=
cos ω
cos ω
(9.102)
et alors
1
2 cos ω
1
+
=
CA1
CA2
CS
(9.103)
On en déduit
CA2 =
CA1
CA1
2
cos ω − 1
CS
(9.104)
Ceci montre que la position de l’objet A1 étant fixée, c’est-à-dire CA1 étant donné (constant),
CA2 dépend de ω donc du rayon lumineux A1 I.
Il y a stigmatisme si CA1 = 0 et alors CA2 = 0. L’objet et l’image se trouvent alors
confondue au centre du miroir.
On voit également que si A1 est sur le miroir alors ω = 0 et CA1 = CS d’où CA2 = CA1 .
A1 et A2 sont confondus, le miroir sphérique est stigmatique pour tout point de sa surface (mais
cela ne présente pas d’intérêt pratique).
Y. E L A ZHARI
198
CRMEF / AGP-1
5.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU MIROIR SPHÉRIQUE
5.3.
Stigmatisme approché
Il est réalisé dans deux cas :
5.3.1. Au voisinage de la position de stigmatisme rigoureux
Il s’agit de considérer des points voisins du centre du miroir sphérique (position de stigmatisme rigoureux). Ces points pouvant émettre des rayons lumineux quelconques. Dans ce
cas
CA1
≪1
CS
(9.105)
CA2 ≈ −CA1
(9.106)
et alors
indépendamment du rayon lumineux. A2 est alors conjugué de A1 par le miroir sphérique.
Il y a donc stigmatisme approché pour un point voisin du centre C et pour son symétrique par
rapport à C et ceci sans restriction d’inclinaison des rayons sur l’axe.
5.3.2. Dans les conditions de G AUSS
On considère dans ce cas un point quelconque A1 mais on suppose que les rayons qu’il
émet sont paraxiaux (conditions de G AUSS). L’angle ω est alors forcément très petit de façon à
que l’on puisse prendre cos ω ≈ 1 et alors
CA2 ≈
CA1
CA1
−1
2
CS
(9.107)
Ainsi à chaque position de A1 correspond une position de A2 indépendamment des rayons
lumineux (supposés paraxiaux toutefois).
Il y a donc stigmatisme approché pour tout point de l’espace n’émettant que des rayons paraxiaux.
5.4.
Miroir sphérique dans les conditions de G AUSS
Dans les conditions de G AUSS les miroirs sont utilisés au voisinage de leur sommet de sorte
que l’on puisse les confondre avec leur plan tangent. On a alors les représentations suivantes :
5.4.1. Équation de conjugaison avec origine au sommet
La deuxième loi de D ESCARTES -S NELL pour la réflexion s’écrit en I
ii ≈ −io
(9.108)
Exprimons alors les relations entre les angles des triangles
CRMEF / AGP-1
199
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
+
+
C
C
S
S
(b) Miroir sphérique concave
(a) Miroir sphérique convexe
F IGURE 9.34 – Schémas représentatifs d’un miroir sphérique utilisé dans les conditions de
G AUSS.
– CAo I : θo + (π − θ) + (−io ) = π ce qui donne io = θo − θ
– CAi I : θ + (π − θi ) + ii = π ce qui donne ii = qi − q
On a alors
(9.109)
θo + θi ≈ 2 θ
I
+
io
θo
Ao
C
θ
Ai
ii
θi
H
S
F IGURE 9.35 – Miroir sphérique dans les conditions de G AUSS, notations.
Or
θo
≈
θi
≈
θ
≈
HI
HI
≈
Ao H
Ao S
HI
HI
≈
tan θi =
Ai H
Ai S
HI
HI
≈
tan θ =
CH
CS
tan θo =
(9.110)
(9.111)
(9.112)
D’où, après simplification
1
1
2
+
=
SAi
SAo
SC
Y. E L A ZHARI
200
(9.113)
CRMEF / AGP-1
5.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU MIROIR SPHÉRIQUE
5.4.2. Équation de conjugaison avec origine au centre
On utilise SAo = SC + CAo et SAi = SC + CAi et on obtient après simplification
l’équation de conjugaison du dioptre sphérique avec origine au centre du dioptre.
1
2
1
+
=
CAi
CAo
CS
(9.114)
On retrouve l’équation déjà établie en au §5.3.2.
5.4.3. Foyers d’un miroir sphérique
– foyer objet : le foyer objet Fo a pour image un point Ai de l’axe optique principal rejeté
à l’infini, alors
fo = SFo =
SC
2
(9.115)
fo est appelée distance focale (algébrique) objet du miroir sphérique.
– foyer image : le foyer image Fi est l’image un point Ao de l’axe optique principal situé à
l’infini, alors
fi = SFi =
SC
2
(9.116)
fi est appelée distance focale (algébrique) image du miroir sphérique.
Les foyers objet Fo et image Fi du miroir sphérique sont donc tous les deux confondus avec
le milieu du segment [S, C].
5.4.4. Équation de conjugaison avec origines aux foyers
On peut obtenir l’équation de conjugaison avec origines aux foyers en partant de l’équation
de conjugaison avec origine au sommet écrite sous la forme
fo
fi
+
=1
SAo
SAi
(9.117)
et en utilisant SAo = SFo + Fo Ao et SAi = SFi + Fi Ai . On obtient alors
Fo Ao Fi Ai = fo fi
(9.118)
5.4.5. Grandissements
Considérons un objet Ao Bo . Le miroir sphérique en donne, dans les conditions de G AUSS,
une image Ai Bi . On peut caractériser l’action du miroir à l’aide des grandissements.
Remarque : Le rayon lumineux passant par C est réfléchi sur lui même.
CRMEF / AGP-1
201
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
+
Bo
I
J
S
io
Ao
ii
Bi
Ai Fo ≡ Fi
C
F IGURE 9.36 – Cheminement de différents rayons lumineux réfléchis par un miroir sphérique.
5.4.5.1.
Grandissement transversal
\
– Origine au centre : Les deux angles au sommet CA\
o , CBo et CAi , CBi étant égaux
alors
Ao Bo
Ai Bi
=
CAo
CAi
(9.119)
ce qui donne
Gt =
Ai Bi
CAi
=
Ao Bo
CAo
(9.120)
\
– Origine au sommet : Les angles SA\
o , SBo et SAi , SBi étant égaux en valeur absolue
et de signes opposés, on peut écrire
Ao Bo
Ai Bi
=−
SAo
SAi
(9.121)
d’où l’expression du grandissement transversal
Gt =
Ai Bi
SAi
=−
Ao Bo
SAo
(9.122)
– Origines aux foyers : Les triangles semblables Fo Ao Bo et Fo SI donnent
Ao Bo
SI
=
Fo Ao
Fo S
(9.123)
d’où, puisque SI = Ai Bi
Gt =
Y. E L A ZHARI
Ai Bi
fo
=−
Ao Bo
Fo Ao
202
(9.124)
CRMEF / AGP-1
5.. APPLICATION À L’ÉTUDE DU MIROIR SPHÉRIQUE
De la même façon les triangles semblables Fi Ai Bi et Fi SJ donnent
Ai Bi
SJ
=
Fi Ai
Fi S
(9.125)
d’où, puisque SJ = Ao Bo
Gt =
Ai Bi
Fi Ai
=−
fi
Ao Bo
(9.126)
Remarque
En égalisant les deux expressions du grandissement transversal avec origines aux foyers,
on retrouve la relation de conjugaison avec origines aux foyers Fo Ao Fi Ai = fo fi .
5.4.5.2.
Grandissement longitudinal
On obtient l’expression du grandissement longitudinal en différentiant par exemple la relation de conjugaison avec origine au sommet
−
dSAi
SAi
2
−
dSAo
SAo
2
(9.127)
=0
où dSAo et dSAi désignent les déplacements élémentaires de l’objet Ao et de son image Ai
respectivement le long de l’axe optique principal. On en déduit
Gℓ =
Ai Ci
dSAi
=
=−
Ao Co
dSAo
SAi
SAo
2
(9.128)
On peut remarquer que Gℓ est toujours négatif. L’objet et l’image se déplacent toujours dans
des sens opposés.
5.4.5.3.
Grandissement angulaire
On peut déduire le grandissement angulaire à partir de la relation générale qui relie les trois
grandissements dans les conditions de G AUSS : Ga = Gt /Gℓ .
5.5.
Cas particulier du miroir plan
Le cas particulier du miroir (figure 9.12) plan correspond à un rayon de courbure infini
1
−→ 0
SC
(9.129)
SAi = −SAo
(9.130)
L’équation de conjugaison s’écrit alors
Les deux foyers objet Fo et image Fi sont tous les deux rejetés à l’infini : le système est afocal.
Rappelons que le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tout point de l’espace.
CRMEF / AGP-1
203
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 9. FORMATION DES IMAGES EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Exercices du chapitre 9
Ex. 9.1 — P
U
1. E
Y. E L A ZHARI
204
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
10
ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES
CENTRÉS DANS LES CONDITIONS DE GAUSS
On se propose de caractériser l’action d’un Système Optique Centré (S.O.C.) sur un Rayon
Lumineux (R.L.) obéissant aux conditions de G AUSS. Pour cela il faut pouvoir tracer le R.L.
émergent de la face de sortie du S.O.C. correspondant à un R.L. incident donné arrivant sur la
face d’entrée.
Un S.O.C. étant souvent constitué d’un ensemble de dioptres et de miroirs (généralement
sphériques), on commence par caractériser l’action de ces constituants de base sur un R.L.
Dans toute la suite on supposera que les R.L. sont paraxiaux (conditions de G AUSS).
1.
Matrices caractéristiques d’un système optique centré
1.1.
Introduction sur deux exemples
1.1.1. Cas du dioptre sphérique
Le but est de tracer le cheminement des R.L. à la traversée d’un Dioptre Sphérique (D.S.)
de rayon R séparant deux milieux isotropes et homogènes d’indices de réfraction n1 et n2 .
Considérons alors un R.L. incident se propageant dans le milieu homogène d’entrée d’indice n1 dans la direction du vecteur directeur u1 et atteignant la surface d’entrée du D.S. au
point I(x, y, z). Il donne lieu, après traversée du D.S., à un R.L. émergent que nous nous proposons de caractériser. Pour cela il suffit de déterminer le vecteur directeur u2 caractéristique
de la direction de propagation dans le milieu d’indice n2 ainsi que le point de sortie. La forme
vectorielle de la loi de D ESCARTES -S NELL s’écrit en I
n1 u1 − n2 u2 = λN,
205
λ∈R
(10.1)
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
x
n1
n2
I
u1
θ1
u2
θ2
N
A1
S
C
A2
z
D.S.
y
F IGURE 10.1 – Dioptre sphérique.
On peut déterminer λ par projection l’équation (10.1) sur le vecteur N normal au dioptre au
point I
(10.2)
n1 cos i1 − n2 cos i2 = λ
Ceci permet d’écrire l’équation (10.1) sous la forme
n 2 u2 − n 1 u1
avec
n2 sin i2
=
=
(n2 cos i2 − n1 cos i1 ) N
n1 sin i1
(10.3)
(10.4)
On peut remarquer que l’équation donnant les coordonnées de u2 en fonction de celles de u1
n’est pas linéaire.
Plaçons-nous maintenant dans le cadre des conditions de G AUSS ; on a alors
(10.5)
n2 u2 − n1 u1 = (n2 − n1 ) N
IC
et R = SC
avec N =
R
R = SC est le rayon algébrique du dioptre, il est compté positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente. Posons
u1
α1
β1
γ1
u2
α2
β2
γ2
IC
−x
−y
γR
(10.6)
L’équation (10.5) peut s’écrire alors
n2
Y. E L A ZHARI
α2
β2 = n 1
γ2
α1
β1 + (n2 − n1 )
γ1
206
x
−R
y
−R
γ
CRMEF / AGP-1
1.. MATRICES CARACTÉRISTIQUES D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
Les rayons considérés étant paraxiaux, γ1 ≈ 1, γ2 ≈ 1 et γ ≈ 1 de sorte que l’on obtient
n2 α2
n 2 β2
n2 − n1
x
R
n2 − n1
= n 1 β1 −
y
R
= n1 α1 −
(10.7)
(10.8)
Posons
x = x + iy
(10.9)
α = α + iβ
(10.10)
i étant le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.
Les équations caractérisant l’action du dioptre sphérique sur un rayon lumineux paraxial
(ou équations de franchissement du D.S.) s’écrivent alors
x2
=
x1
n2 − n1
(nα)2 = (nα)1 −
x1
R
Ce que l’on peut écrire sous forme matricielle
1
0
x1
x2
=
−n1
1
− n2 R
n2 α 2
n1 α1
(10.11)
(10.12)
(10.13)
Soit
X 2 = Rd (S)X 1
avec
(10.14)
xi
matrice unicolonne caractéristique du rayon avant le franchissement
ni αi
du dioptre sphérique
(i = 1)et après le franchissement du dioptre sphérique (i = 2) ;
1
0
• Rd (S) =
matrice de réfraction du dioptre sphérique écrite en son
1
− n2 −n
1
R
sommet S.
On peut remarquer que le déterminent de la matrice de réfraction du dioptre sphérique vaut
l’unité :
•
Xi =
det [Rd ( S)] = 1
(10.15)
Ainsi dans le cadre des Conditions de G AUSS (C.G.), on peut caractériser l’action du D.S.
sur un R.L. par une matrice 2 × 2 appelée matrice de réfraction du R.L.
Pour terminer, essayons de dégager la signification physique des grandeurs α et β caractéristiques du rayon lumineux.
α
On a posé u β avec γ ≈ 1 (rayon peu incliné par rapport à l’axe Oz).
γ
On en déduit alors que u · ux = α et ainsi
u · ux
≈α
soit
θx ≈ α
(10.16)
tan θx =
u · uz
CRMEF / AGP-1
207
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
x
x
Projection du R.L. sur le plan zOx
θx
Rayon lumineux
u
z
θy
Projection du R.L. sur le plan yOz
y
y
F IGURE 10.2 – Interprétation géométrique de quelques caractéristiques du rayon lumineux.
α représente donc l’angle entre l’axe optique principal Oz et la projection du rayon lumineux
sur le plan zOx.
De la même façon on peut montrer que β représente l’angle entre l’axe optique principal Oz et
la projection du rayon lumineux sur le plan xOy.
1.1.2. Cas du miroir sphérique
Considérons un miroir sphérique (M.S.) de rayon R, de centre C et de sommet S. Le R.L.
incident dirigé par le vecteur directeur unitaire u1 se réfléchit au point I(x, y, 0) pour donner
un R.L. réfléchi dans la direction dirigée par le vecteur unitaire u2 .
La loi de D ESCARTES -S NELL s’écrit sous forme vectorielle au point I
u2 − u1 = λN,
λ∈R
(10.17)
Projetons cette équation (10.17) sur N pour déterminer λ, on obtient
− cos i′ − cos i = λ
(10.18)
L’équation (10.17) devient alors, compte tenu de la relation i′ = −i
u2 = u1 − 2 cos iN
Y. E L A ZHARI
208
(10.19)
CRMEF / AGP-1
1.. MATRICES CARACTÉRISTIQUES D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
x
n
i′
u2
I
i
u1
N
θ2
θ1
S
A1
C
A2
z
M.S.
F IGURE 10.3 – Miroir sphérique.
Plaçons-nous alors dans le cadre des conditions de G AUSS (R.L. paraxiaux), il reste
u2
=
avec N
=
u1 − 2N
IC
et R = SC
R
(10.20)
R = SC est le rayon algébrique du dioptre, il est compté positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente. Posons
u1
α1
β1
γ1
α2
β2
γ2
u2
IC
−x
−y
γR
(10.21)
L’équation (10.20) peut s’écrire alors
α2
β2 =
γ2
x
−R
α1
y
β1 − 2 − R
γ1
γ
Les rayons considérés étant paraxiaux, γ1 ≈ 1, γ2 ≈ 1 et γ ≈ 1 de sorte que l’on obtient
2x
R
2y
= β1 +
R
α2
= α1 +
β2
(10.22)
(10.23)
Posons x = x + iy et α = α + iβ ; i étant le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.
Les équations caractérisant l’action du miroir sphérique sur un rayon lumineux paraxial (ou
équations de franchissement du M.S.) s’écrivent alors
x2
(nα)2
CRMEF / AGP-1
=
x1
(10.24)
=
−2nx1
(nα)1 −
R
(10.25)
209
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
Où n1 = n2 = n. Ce que l’on peut écrire sous forme matricielle
(10.26)
X 2 = Rm (S)X 1
avec
xi
• Xi =
matrice unicolonne caractéristique du rayon avant le franchissement
ni αi
du miroir sphérique
(i = 1)
et après le franchissement du miroir sphérique (i = 2) ;
1
0
matrice de réflexion du miroir sphérique écrite en son som• Rm (S) =
1
− −2n
R
met S.
Comme dans le cas du dioptre sphérique, le déterminent de la matrice de réflexion du miroir
sphérique vaut 1 :
(10.27)
det [Rm ( S)] = 1
Ainsi dans le cadre des Conditions de G AUSS (C.G.), on peut caractériser l’action du M.S.
sur un R.L. par une matrice 2 × 2 appelée matrice de réflexion du M.S.
1.2.
Généralisation
1.2.1. Matrice de translation
Avant de pouvoir généraliser les résultats précédents, nous avons besoin de définir la matrice
de translation d’un R.L. dans un milieu donné.
En effet, dans l’étude générale des systèmes centrés, il s’avère nécessaire de connaître les
matrices caractéristiques (des D.S. ou des M.S.) dans deux plans de front différents. La matrice
de translation permet de répondre à une telle question.
C’est la matrice de transformation de la matrice caractéristique X du R.L. entre deux plans
de front xA1 y et xA2 y situés tous les deux dans le même milieu homogène d’indice n.
x
x1
x
x2
x
Rayon lumineux
u
x1
A1
A2
y1
y
Projection du R.L.
α
x2
z
y2
y
(a)
x
A1
A2
z
(b)
F IGURE 10.4 – Rayon lumineux.
On peut écrire
Y. E L A ZHARI
x2
(nα)2
= x1 + α1 A1 A2
= (nα)1
210
(10.28)
CRMEF / AGP-1
1.. MATRICES CARACTÉRISTIQUES D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
no
no
E
n1
S1
n2
S2
nk−2
S3
...
nk−1
Sk−1
ni
Sk
ni
S
z
Σ1
Σ2
Σk−1
Σ3
Σk
F IGURE 10.5 – Système optique centré.
ou, ce qui revient en même
x2
(nα)2
= x1 + A1nA2 (nα)1
= (nα)1
(10.29)
Ce que l’on peut écrire sous forme matricielle
X 2 = T A1 A2 X 1
(10.30)
T A1 A2 est appelée matrice de translation entre les plans de front xA1 y et xA2 y ; elle donnée
par
1 A1nA2
(10.31)
T A1 A2 =
0
1
A1 A2 est compté positivement dans le sens de propagation de la lumière.
On peut remarquer que le déterminent de la matrice de translation vaut 1.
1.2.2. Matrice de transfert
Considérons un système optique centré constitué de k dioptres et miroirs sphériques séparant des milieux transparents, isotropes et homogènes.
Nous supposons connaître les matrices de réfraction des dioptres et les matrices de réflexion
des miroirs. Nous compterons les distances algébriques positivement lorsque elles sont orientées dans le sens de propagation de la lumière.
On a
(10.32)
X s = T Sk S X + (Sk )
X + (Sk ) représente la matrice unicolonne caractéristique du R.L. juste après la dioptre ou le
miroir Σk ; elle est donnée par
X + (Sk ) = R (Sk ) X − (Sk )
(10.33)
X − (Sk ) représente la matrice unicolonne caractéristique du R.L. juste avant la dioptre ou le
miroir Σk ; elle est donnée par
X − (Sk ) = T Sk−1 Sk X + (Sk−1 )
(10.34)
CRMEF / AGP-1
211
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
d’où, de proche en proche
X s = T Sk S R (Sk ) . . . T S1 S2 R (S1 ) T ES1 X e ;
de la forme
(10.35)
X s = T ES X e
avec
(10.36)
T ES = T Sk S R (Sk ) . . . T S1 S2 R (S1 ) T ES1
(10.37)
représentant le matrice de transfert du système optique centré entre l’entrée E et la sortie S.
Remarque
A priori la matrice de transfert s’écrit
T ES =
de sorte que
xs
(nα)s
=
=
a
c
b
d
(10.38)
(10.39)
(10.40)
axe + b (nα)e
cxe + d (nα)e
T ES étant un produit de matrices de déterminants tous égaux à 1, son déterminant est
aussi égal à 1, donc
(10.41)
ad − bc = 1
1.3.
Vergence d’un système optique centré
Soit T A1 A2 la matrice de transfert du système optique centré entre les deux plans de
front xA1 y et xA2 y.
x
x
z1 = EA1
z2 = SA2
S.O.C.
y
A1
E
y
A2
S
no
z
ni
F IGURE 10.6 – Relation entre les matrices de transfert T ES et T A1 A2 .
Y. E L A ZHARI
212
CRMEF / AGP-1
1.. MATRICES CARACTÉRISTIQUES D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
On peut écrire successivement
de la forme
avec
X A2 = T SA2 X s
X A2 = T SA2 T ES X e
X A2 = T SA2 T ES T A1 E X A1
X A2 = T A1 A2 X A1
T A1 A2 = T SA2 T ES T A1 E
(10.42)
(10.43)
(10.44)
Posons alors
• EA1 = z1
• SA2 = z2 a b
• T ES =
c d
T11 T12
• T A1 A2 =
T21 T22
On obtient après calcul
z2
ni
z2
z1
z1
+
d−c
=b−a
no
ni
no
=c
z1
=d−c
no
T11 = a + c
(10.45)
T12
(10.46)
T21
T22
(10.47)
(10.48)
On peut remarquer que l’élément de matrice T21 est indépendant du couple de points (A1 , A2 )
utilisé. C’est donc une caractéristique intrinsèque du système optique centré considéré. On
définit la vergence V du système optique centré par
V = −c
(10.49)
Exemples :
•
Pour le dioptre sphérique V =
•
Pour le miroir sphérique V =
n2 −n1
R
−2n
.
R
;
Considérons un R.L. incident parallèle à l’axe optique principal et cherchons à caractériser
le R.L. émergent correspondant. Les matrices unicolonnes caractéristiques de ces deux R.L.
s’écrivent respectivement
xe
xs
et
Xs =
(10.50)
Xe =
0
(nα)s
CRMEF / AGP-1
213
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
Elle sont reliées par la relation
X s = T ES X e
donc
xs
(nα)s
=
a
−V
b
d
(10.51)
xe
0
(10.52)
On en déduit, en particulier
(10.53)
ns αs = −V xe
Ainsi :
— si V > 0 alors le rayon émergent s’approche de l’axe optique principal et le S.O.C. est
dit convergent ;
αe = 0
xe
E
xs
S
S.O.C.
αs
z
F IGURE 10.7 – SOC convergent.
— si V < 0 alors le rayon émergent s’éloigne de l’axe optique principal et le S.O.C. est
dit divergent ;
αe = 0
xe
E
xs
z
S
S.O.C.
αs
F IGURE 10.8 – SOC divergent.
— si V = 0 alors les R.L. parallèles à l’axe optique principal émergent en restant parallèles
à cet axe. Le S.O.C. est dit afocal dans ce cas.
αe = 0
αs = 0
xe
E
xs
S.O.C.
S
z
F IGURE 10.9 – SOC afocal.
Y. E L A ZHARI
214
CRMEF / AGP-1
1.. MATRICES CARACTÉRISTIQUES D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
1.4.
Matrice de conjugaison
On appelle matrice de conjugaison d’un S.O.C. sa matrice de transfert entre deux plans de
front xAo y et xAi y conjugués par le S.O.C.
x
no
x ni
zi = SAi
S.O.C.
Bo (xo )
Ao
E
zo = EAo
S
Ai
z
Bi (xi )
F IGURE 10.10 – Paire de plans conjugués par le SOC
Si T ES est la matrice de transfert du S.O.C. entre l’entrée E et la sortie S, donnée par
l’équation (10.38), alors la matrice de conjugaison T Ao Ai = (Tij )16i,j62 est donnée par
T Ao Ai = T SAi T ES T Ao E
ce qui donne
T11 = a − V
zi
ni
T21 = −V
; T12 = b − a
; T22
zo
zi
+
no
ni
zo
=d+V
no
zo
d+V
no
(10.54)
(10.55)
et alors
xi
(nα)i
= T11 xo + T12 (nα)o
= −V xo + T22 (nα)o
(10.56)
(10.57)
Or les plans de front xAo y et xAi y étant conjugués par le S.O.C., tous les R.L. issus de Bo
(correspondants à différentes valeurs de αo ) doivent donner des émergents qui passent tous
par Bi (même valeur de xi ) quelque soit leur inclinaison αo . Ce qui impose la condition de
conjugaison
(10.58)
T12 = 0
soit
zo
zi
b−a
+
no
ni
zo
d+V
=0
no
(10.59)
D’autre part
ni αi = −V xo + T22 no αo
CRMEF / AGP-1
215
(10.60)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
donc 1
T22
ni
=
no
αi
αo
=
xo =0
ni
Ga
no
(10.61)
De la même façon la relation xi = T11 xo donne
T11 =
xi
= Gt
xo
(10.62)
La matrice de transfert d’un S.O.C. s’écrit alors entre deux plans de front conjugués
Gt
0
T Ao Ai =
(10.63)
ni
−V no Ga
Remarques
La matrice de conjugaison a, comme toutes les matrices de transfert, un déterminent qui
vaut 1. On en déduit une relation entre le grandissement angulaire Ga et le grandissement
transversal Gt
•
ni
Ga Gt = 1
no
(10.64)
ni αi xi
=1
no αo xo
(10.65)
ni αi xi = no αo xo
(10.66)
Il en résulte alors que
soit
qui n’est autre que la relation des sinus d’A BBE pour les petits angles ou relation de
L AGRANGE –H ELMHOLTZ traduisant la conservation du stigmatisme perpendiculairement
à l’axe optique principal Oz ;
La conservation du stigmatisme le long de l’axe Oz impose la relation d’H ERSCHELL
•
ni ∆zi sin2
θo
θi
= no ∆zo sin2
2
2
(10.67)
soit dans le cas des petits angles (conditions de G AUSS)
ni ∆zi α2i = no ∆zo α2o ;
(10.68)
1. En réalité la relation (10.60) est une relation double qui, lorsque xo = 0, donne ni αi = T22no αo (égalité
αi
ni
=
n
α
des parties réelles) et ni βi = T22 no βo (égalité des parties imaginaires). On obtient alors T22 =
βi
ni
ni
Ga .
= n
n
β
o
o
xo =0
Y. E L A ZHARI
o
o
xo =0
o
216
CRMEF / AGP-1
2.. ÉLÉMENTS CARDINAUX D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
ce qui se traduit par la relation entre le grandissement longitudinal Gl et le grandissement
angulaire Ga
Gl G2a =
no
ni
(10.69)
Par élimination du rapport des indices des milieux objet (no ) et image (ni ) entre les deux
équations (10.64) et (10.69) on déduit une relation intrinsèque entre les trois grandissements, valable pour tout S.O.C. utilisé dans les conditions de G AUSS
(10.70)
Gl Ga = Gt
La matrice de conjugaison peut alors être écrite sous une forme facile à retenir
Gt
0
;
T Ao Ai =
−V G1t
•
2.
Dans le cas d’un S.O.C. afocal V = 0 et la matrice de conjugaison s’écrit
Gt 0
T Ao Ai =
0 G1t
(10.71)
(10.72)
Éléments cardinaux d’un système optique centré
On appelle éléments cardinaux d’un S.O.C. certaines caractéristiques qu’il faut connaître
pour pouvoir déterminer la position et la taille de l’image, dans les conditions de G AUSS, d’un
objet quelconque.
2.1.
Plans principaux
On appelle plans principaux ou plans unitaires deux plans de front conjugués par le S.O.C.
considéré et tels que le grandissement transversal Gt y est égal à 1.
Par la suite on notera Ho l’intersection du plan principal objet xHo y avec l’axe optique
principal du SOC et Hi l’intersection du plan principal image xHi y avec l’axe optique principal
du SOCLa matrice de transfert du SOC entre les plans principaux s’écrit alors
1
0
T Ho Hi =
(10.73)
−V 1
On peut aussi exprimer les éléments de T Ho Hi en fonction de ceux de la matrice de transfert
du SOC
a
b
T ES =
(10.74)
−V d
entre l’entrée E et la sortie S.
CRMEF / AGP-1
217
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
S.O.C.
E
Ho
Hi
S
z
F IGURE 10.11 – Plans principaux.
En effet, par un raisonnement identique à celui qui a emmené aux équations (10.55), on
obtient
!
EHo
EHo
i
b
−
a
+
d
+
V
SH
a − V SH
i
ni
no
no
(10.75)
T Ho H i =
o
−V
d + V EH
no
On en déduit alors les positions des points Ho et Hi
EHo
SHi
2.2.
no
(d − 1) ;
V
ni
= + (a − 1)
V
(10.76)
= −
(10.77)
Plans focaux
Les plans focaux sont deux plans de front xFo y (de l’espace objet) et xFi y (de l’espace
image) tels que :
• tout R.L. issu de Fo , appelé foyer objet principal, émerge du SOC parallèlement à l’axe
optique principal ;
• tout R.L. incident parallèle à l’axe optique principal émerge en passant par Fi appelé
foyer image principal.
Fo et Fi sont situés sur l’axe optique principal du SOC considéré.
2.2.1. Plan focal objet
αs = 0
αe xe
E
Fo
no
xs
S.O.C.
z
S
ni
F IGURE 10.12 – Foyer objet.
Considérons un R.L. issu du foyer objet principal Fo et caractérisé, à l’entrée du SOC, par
la matrice unicolonne
xe
,
(10.78)
Xe =
no αe
Y. E L A ZHARI
218
CRMEF / AGP-1
2.. ÉLÉMENTS CARDINAUX D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
il donne, à la sortie du SOC, un R.L. émergent caractérisé par la matrice unicolonne
xs
(10.79)
Xs =
0
La matrice de transfert du SOC entre l’entrée E et la sortie S permet de relier X e et X s selon
X s = T ES X e ,
(10.80)
ce qui donne
xs
0
=
a
−V
b
d
xe
no αe
(10.81)
On en déduit en particulier
0 = −V xe + dno αo
(10.82)
Or, d’après la figure 10.12
αe =
xe ,
Fo E
(10.83)
donc
no
d
V
(10.84)
EFo − EHo
no
−
;
V
(10.85)
EFo = −
D’autre part, on peut écrire
Ho Fo
=
=
On définit la distance 2 focale objet du SOC par
no ,
V
(10.86)
Ho Fo = fo
(10.87)
fo = −
et alors
2.2.2. Plan focal image
Considérons maintenant un R.L. incident parallèle à l’axe optique principal caractérisé par
la matrice unicolonne
xe
Xe =
(10.88)
0
2. Il s’agit en réalité d’une grandeur algébrique
CRMEF / AGP-1
219
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
αe = 0
xe
xs
E
S
S.O.C.
no
αs
Fi
z
ni
F IGURE 10.13 – Foyer image.
il donne, à la sortie du SOC, un R.L. émergent passant par le foyer image principal Fi et
caractérisé par la matrice unicolonne
xs
Xs =
(10.89)
(ni αi )
avec, d’après la figure 10.13
(10.90)
xs = Fi Sαs
La matrice de transfert T ES permet de relier X s à X e par
X s = T ES X e ,
soit
On en déduit alors
xs
ni αs
=
a
−V
b
d
xe
0
(10.91)
(10.92)
ni αs = −V xe ,
(10.93)
xs = axe
(10.94)
et
D’où, compte tenu de l’équation (10.90)
SFi = +
ni
a
V
(10.95)
SFi − SHi
ni
+
V
(10.96)
D’autre part, on peut écrire
Hi Fi
=
=
On définit la distance 3 focale image du SOC par
ni
fi = +
V
et alors
(10.97)
Hi Fi = fi
(10.98)
3. Il s’agit en réalité d’une grandeur algébrique
Y. E L A ZHARI
220
CRMEF / AGP-1
2.. ÉLÉMENTS CARDINAUX D’UN SYSTÈME OPTIQUE CENTRÉ
2.3.
Plans nodaux
Les plans nodaux sont deux plans de front xNo y et xNi y conjugués par le SOC et tels que
tout R.L. incident passant par le point No de l’axe optique principal émerge parallèlement à la
direction incidente en passant par le point Ni de l’axe optique principal.
S.O.C.
αo
E
No
Ni
S
no
αi = αo
z
ni
F IGURE 10.14 – Plans nodaux.
Le grandissement angulaire est donc unitaire entre ces deux plans
αi
=1
Ga =
αo x =0
(10.99)
o
Or, d’après l’équation (10.64)
Gt Ga =
no
;
ni
on obtient
Gt =
no
ni
(10.100)
On en déduit alors la matrice de transfert T No Ni du SOC entre les deux plans nodaux
no
0
ni
T No Ni =
;
(10.101)
−V nnoi
puisque
1. No et Ni sont conjugués par le SOC ;
2. le déterminent de T No Ni , comme celui de toute matrice de transfert, doit être égal à
1.
D’autre part, T No Ni peut s’exprimer en fonction des éléments de la matrice de transfert du
SOC entre l’entrée E et la sortie S par
!
ENo
ENo
i
d
+
V
SN
a − V SN
b
−
a
+
i
ni
no
no
(10.102)
T No Ni =
o
−V
d + V EN
no
On en déduit alors par identification
CRMEF / AGP-1
ENo
=
SNi
=
ni ,
fo d −
no
no
fi a −
ni
221
(10.103)
(10.104)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
Remarques
•
•
•
on peut remarquer tout d’abord que Hi Ni = Ho No = fi + fo ;
mais aussi Ho Hi = No Ni ;
enfin, dans le cas où les milieux extrêmes sont identiques (no = ni ) alors No ≡ Ho et
N i ≡ Hi .
2.4.
Exemples de détermination
2.4.1. Dioptre sphérique
2.4.2. Miroir sphérique
2.4.3. Lentille boule

2−n

T (ES) =  1n− n
2
nR
3.

2R
n 
2−n 
n
(10.105)
Relations de conjugaison et grandissements
Les relations de conjugaison donnent la position de l’image, par le SOC, en fonction de celle
de l’objet. Selon les origines adopteés pour repérer les objets et images, on distingue différentes
relations de conjugaison.
Dans le suite de ce paragraphe, nous considérons un SOC utilisé dans les conditions de
G AUSS et caractérisé entre son entrée E et sa sortie S par sa matrice de transfert
a
b
T ES =
(10.106)
−V d
3.1.
Relation de conjugaison homographique
La relation de conjugaison homographique donne la position de l’image Ai (repérée par
rapport à la sortie S du SOC) en fonction de celle de l’objet Ao (repéré par rapport à l’entrée
E du SOC). On l’obtient en imposant à l’élément T12 de la matrice de conjugaison T Ao Ai
d’être nul (cf. §1.4., page 215). Ce qui donne
a zo − b
zi
= nzoo
ni
V no + d
(10.107)
Remarque
Dans le cas d’un SOC afocal V = 0 et la relation de conjugaison homographique devient
zi
a zo
b
=
−
ni
d no
d
Y. E L A ZHARI
222
(10.108)
CRMEF / AGP-1
3.. RELATIONS DE CONJUGAISON ET GRANDISSEMENTS
3.2.
Formules de D ESCARTES
Les formules de D ESCARTES donnent la relation de conjugaison et les différents grandissements lorsque l’on place les origines aux points principaux Ho et Hi .
3.2.1. Relation de conjugaison
soit
T Ho Hi =
a′
−V
b′
d′
(10.109)
la matrice de transfert du SOC entre les plans principaux xHo y et xHi y.
Les points principaux Ho et Hi étant conjugués par le SOC, alors
 ′
 a = Gt = 1
b′ = 0
 ′
d = 1/a′ = 1
(10.110)
D’autre part, le grandissement transversal étant égal à 1 aux plans principaux, alors
′
a
b′
1
0
=
(10.111)
T Ho H i =
−V d′
−V 1
Considérons alors un couple de points conjugués par le SOC (Ao , Ai ) et posons
po = Ho Ao
pi = Hi Ai
La matrice de conjugaison T Ao Ai est donnée par
T Ao Ai = T Hi Ai T Ho Hi T Ao Ho
Par un calcul identique à celui qui a conduit à la l’équation (10.55), on obtient
!
a′ − nVi pi b′ − a′ npoo + npii d′ + V npoo
T Ao Ai =
−V
d′ + V npoo
(10.112)
(10.113)
(10.114)
La relation de conjugaison de D ESCARTES s’en déduit alors par annulation de l’élément de
matrice T12 et s’écrit alors après simplification
ni no
−
=V
(10.115)
pi
po
3.2.2. Grandissements
En utilisant les formules (10.63), (10.110) et (10.114), on peut écrire la double égalité
Gt
0
(10.116)
T Ao Ai
=
−V nnoi Ga
1 − nVi pi
0
=
(10.117)
−V
1 + V npoo
CRMEF / AGP-1
223
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
on en déduit alors le grandissement transversal Gt , compte tenu de la relation de conjugaison
de D ESCARTES (10.115)
no pi
(10.118)
Gt =
ni po
La formule de L AGRANGE -H ELHOLTZ ni αi xi = no αo xo impose alors
Ga =
no 1 ,
ni Gt
(10.119)
d’où l’on déduit l’expression du grandissement angulaire
po
Ga =
pi
(10.120)
Le grandissement longitudinal Gl se déduit à partir de la relation générale (10.70) qui donne
Gl =
Gt ,
Ga
d’où
no
Gl =
ni
pi
po
2
(10.121)
Il est à noter que contrairement aux grandissements transversal Gt et angulaire Ga , le grandissement longitudinal Gl est toujours positif.
3.3.
Formules de N EWTON
Les formules de N EWTON donnent la relation de conjugaison et les expressions des grandissements avec origines aux foyers Fo et Fi .
Pour établir ces différentes
formules, nous commençons tout d’abord par déterminer la
matrice de transfert T Fo Fi du SOC entre les plans principaux xFo y et xFi y.
3.3.1. Matrice de transfert entre foyers
Considérons alors un SOC et supposons connaître la position des points principaux Ho et
Hi ainsi que les foyers objet Fo et image Fi
Ho Fo = fo = − nVo
Hi Fi = fi = + nVi
La matrice de transfert entre foyers est donnée par
T Fo Fi = T Hi Fi T Ho Hi T Fo Ho
soit
T Fo Fi
Y. E L A ZHARI
=
=
1
0
0
−V
1
V
1
1
V
0
224
1
−V
0
1
1
0
(10.122)
1
V
1
(10.123)
(10.124)
CRMEF / AGP-1
3.. RELATIONS DE CONJUGAISON ET GRANDISSEMENTS
que l’on peut écrire sous la forme
T Fo Fi =
avec
a′′ = 0
b′′ =
a′′
−V
b′′
d′′
1
V
d′′ = 0
(10.125)
3.3.2. Relation de conjugaison avec origines aux foyers
Exprimons la matrice de conjugaison T Ao Ai entre deux plans conjugués quelconques
xAo y et xAi y
(10.126)
T Ao Ai = T Fi Ai T Fo Fi T Ao Fo
ce qui donne
T Ao Ai =
a′′ − nVi σi
−V
b′′ − a′′ nσoo + nσii d′′ + V
d′′ + V nσoo
σo
no
!
(10.127)
où l’on a posé
σo = Fo Ao
σi = Fi Ai
Il reste alors, compte tenu des valeurs de a′′ , b′′ et d′′
−V nσii V1 + V nσii nσoo
T Ao Ai =
−V
V nσoo
(10.128)
(10.129)
En imposant d’être nul à l’élément T12 de cette matrice (de conjugaison), on obtient après
simplification
σi σo = fi fo
(10.130)
3.3.3. Grandissements
D’après l’équation (10.63), la matrice de conjugaison peut s’écrire
Gt
0
T Ao Ai =
−V nnoi Ga
Par identification avec (10.129), on déduit alors
Gt = −V
CRMEF / AGP-1
σi ,
ni
225
(10.131)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
soit, compte tenu de des équations (10.97) et (10.130)
fo
σi
=−
fi
σo
Gt = −
(10.132)
De la même façon, on obtient comme expressions du grandissement angulaire
fo
σo
=
fi
σi
Ga =
(10.133)
et à partir de la relation entre les grandissements (10.70), on obtient
Gl =
4.
no
ni
fi
σo
2
=
no
ni
σi
fo
2
(10.134)
Constructions géométriques
Connaissant les éléments cardinaux d’un SOC utilisé dans les conditions de G AUSS, on doit
pouvoir être capable de retrouver graphiquement le cheminement de tout R.L. à travers le SOC
et de construire l’image d’un objet quelconque.
Nous commençons alors par dégager quelques règles de construction pratiques avant de les
appliquer à des cas concrets.
4.1.
Règles fondamentales
Compte tenu des propriétés des éléments cardinaux des SOC, on peut énoncer quelques
règles pratiques que l’on peut utiliser dans les constructions géométriques. Les règles les plus
utilisées sont au nombre de cinq et s’énoncent comme suit.
Règle 1 :
Tout rayon incident parallèle à l’axe optique principal donne un rayon émergent passant par
le foyer image principal.
Règle 2 :
Tout rayon incident passant par le foyer objet principal donne un rayon émergent parallèle
à l’axe optique principal.
Règle 3 :
Tout rayon incident passant par No émerge parallèlement à lui même en passant par Ni .
Règle 4 :
Deux rayons parallèles entre eux émergent en passant par le même point φi du plan focal
image xFi y ; φi est appelé foyer image secondaire.
Règle 5 :
Deux rayons lumineux issus d’un même point φo du plan focal objet xFo y émergent parallèlement entre eux ; φo est appelé foyer objet secondaire.
Y. E L A ZHARI
226
CRMEF / AGP-1
5.. ASSOCIATION DE SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS
4.2.
Applications
4.2.1. Image d’un objet situé dans un plan de front
4.2.2. Rayon émergent correspondant à un rayon incident donné
4.2.3. Rayon incident correspondant à un rayon émergent donné
5.
Association de systèmes optiques centrés
La plupart des SOC peuvent être considérés comme associations de SOC plus élémentaires.
Il convient alors de pouvoir déterminer les caractéristiques du SOC composé en fonction de
celles des SOC qui le composent.
no
S.O.C. 1
Fo,1
Ho,1
ni
n
∆
Hi,1
Fi,1
S.O.C. 2
Fo,2
Ho,2
Hi,2
Fi,2
e
F IGURE 10.15 – Association de deux SOC
5.1.
Vergence du système équivalent
Pour déterminer la vergence V du SOC composé commençons par exprimer sa matrice de
transfert entre Ho,1 et Hi,2 . La relation habituelle
T Ho,1 Hi,2 = T2 Ho,2 Hi,2 T Hi,1 Ho,2 T1 Ho,1 Hi,1
(10.135)
donne successivement
T Ho,1 Hi,2
=
=
=
1
−V2
1
−V2
0
1
0
1
1
0
e
n
1
1 − ne V1
−V1
1 − ne V1
−V1 − V2 + ne V1 V2
1
1
−V1
e
0
1
n
1
e
n
− ne V2
(10.136)
On en déduit, en particulier, la formule de G ULSTRAND donnant la vergence V du SOC composé en fonction des vergences V1 et V2 des SOC qui le composent ainsi que de la distance
optique e = Hi,1 Ho,2
V = V1 + V2 −
CRMEF / AGP-1
227
e
V1 V2
n
(10.137)
Y. E L A ZHARI
z
CHAPITRE 10. ÉTUDE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS DANS
LES CONDITIONS DE GAUSS
5.2.
Distance focale image
D’après l’équation (10.97) reliant la distance focale image à la vergence, on peut écrire
fi
=
=
ni fi,1 fi,2
nfi,2 + ni fi,1 − eni
fi,1 fi,2
n
f
ni i,2 + fi,1 − e
Or
= Vn2 = −fo,2 = −Ho,2 Fo,2 ;
fi,1 = Hi,1 Fi,1 ;
e = Hi,1 Ho,2 .
n
• n fi,2
i
•
•
donc
n
fi,2 + fi,1 − e =
ni
=
=
Hi,1 Fi,1 − Ho,2 Fo,2 − Hi,1 Ho,2
Fo,2 Ho,2 + Ho,2 Hi,1 + Hi,1 Fi,1
−∆ ;
(10.138)
où
∆ = Fi,1 Fo,2
(10.139)
représente l’intervalle optique du SOC On en déduit alors
fi = −
5.3.
fi,1 fi,2
∆
(10.140)
Exemple de construction géométrique
Y. E L A ZHARI
228
CRMEF / AGP-1
5.. ASSOCIATION DE SYSTÈMES OPTIQUES CENTRÉS
Exercices du chapitre 10
Ex. 10.1 — P
U
1. E
CRMEF / AGP-1
229
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
11
LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
Les lentilles sont des composants des systèmes optiques très utilisés dans la pratique. Elles
sont constituées de deux dioptres sphériques délimitant un milieu homogène et transparent
d’indice n. En général l’ensemble plonge dans l’air.
1.
Lentilles épaisses
1.1.
Matrice de transfert entre l’entrée et la sortie
Considérons une lentille L constituée de deux dioptres sphériques :
– un dioptre d’entrée De , de centre Ce , de sommet Se ≡ E et de rayon (algébrique)
Re = Se Ce ;
– et un dioptre de sortie Ds , de centre Cs , de sommet Ss ≡ S et de rayon (algébrique)
Rs = Ss Cs .
1
n
Se
E
1
Ss
S
De
z
Ds
F IGURE 11.1 – Lentille optique constituée de deux dioptres sphériques.
231
CHAPITRE 11. LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
La matrice de transfert T ES entre l’entrée E et la sortie S d’une lentille quelconque est
donnée par :
T ES = Rd (S) T ES Rd (E)
(11.1)
Ce qui donne successivement :
T ES
=
=
avec :
•
•
•
1.2.



1
−Vs
1−
0
1
e
Ve
n
−V
n−1
Re
1−n
Vs =
Rs
e !
1
n
−V
e
0 1

e

n

e
1 − Vs
n
1
Ve =
V = Ve + Vs −
0
1
(11.2)
où
Re = Se Ce
(11.3)
où
Rs = Ss Cs
(11.4)
e
Ve Vs
n
(11.5)
Éléments cardinaux
1.2.1. Vergence et distances focales
D’après ce qui précède, la vergence de la lentille est donnée en fonction de ses caractéristiques géométriques, par :
1
1
n−1 e
(11.6)
V = (n − 1)
−
+
n Re Re
Re
Rs
Les distances focales objet fo et image fi sont telles que :
1
1
−1
1
n−1 e
=
= V = (n − 1)
−
+
fo
fi
n Re Re
Re
Rs
(11.7)
1.2.2. Plans principaux et plans nodaux
– Plan principal objet :
EHo = fo (d − 1) =
e Vs
n V
(11.8)
e Ve
n V
(11.9)
– Plan principal image :
SHi = fi (a − 1) = −
Y. E L A ZHARI
232
CRMEF / AGP-1
1.. LENTILLES ÉPAISSES
– Plan nodal objet :
ni
ENo = fo d −
= fo (d − 1) = EHo
no
(11.10)
no
SNi = fi a −
= fi (a − 1) = SHi
ni
(11.11)
– Plan nodal image :
Remarque
On peut remarquer que No ≡ Ho et Ni ≡ Hi . Cette propriété est en fait valable chaque fois
que les milieux extrêmes ont le même indice no = ni .
1.2.3. Centre optique
On appelle centre optique le point O d’intersection d’un R.L. avec l’axe optique principal
tel que le rayon émergent soit parallèle au rayon incident. Il en découle, d’après les propriétés
des points nodaux :
D
D
(11.12)
s
e
Ni
O −−→
No −−→
De et Ds étant respectivement les dioptres d’entrée et de sortie de la lentille.
1
n
αo
xe
O Ni
E No
α
De
1
S
xs
z
αs
Ds
F IGURE 11.2 – Centre optique d’une lentille.
On peut écrire :
tan α =
xe
xs
=
OS
OE
(11.13)
ce qui donne :
OS
xs
=
xe
OE
(11.14)
D’autre part :
CRMEF / AGP-1
xs
αs

Ve
 1−e n
=
−V

e
 xe
n

Vs
αe
1−e
n
233
(11.15)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 11. LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
donne :
soit :
e
Ve
xe + αe
xs = 1 − e
n
n
(11.16)
xs
Ve
e αe
=1−e
+
xe
n
n xe
(11.17)
or :
αe ≈ tan αe =
xe
No E
(11.18)
donc :
e Vs
xe
= −ENo = −
αe
n V
(11.19)
on obtient alors :
OS
OE
=
1−e
=
−
Ve
V
−
n
Vs
Ve
Vs
(11.20)
OS
Rs
=
OE
Re
(11.21)
D’où :
On peut écrire aussi :
OS
OE
OS − OE
ES
=
=
=
Rs
Re
Rs − Re
Rs − Re
d’où l’on déduit finalement :
EO = ES
1.3.
(11.22)
Re
Re − Rs
(11.23)
Formules de conjugaison
D’après la théorie générale des systèmes optiques centrés utilisés dans les conditions de
G AUSS, les positions Ao de l’objet et Ai de son image conjuguée par la lentille sont reliées par
les formules de conjugaison avec origines aux points principaux ou aux foyers.
– Origines aux points principaux ou formule de D ESCARTES :
1
1
1
−
=
pi po
fi
avec
po = Ho Ao
et pi = Hi Ai
(11.24)
Ho et Hi sont respectivement les points principaux objet et image.
– Origines aux points principaux ou formule de N EWTON :
σi σo = −fi2
avec
σo = Fo Ao
et σi = Fi Ai
(11.25)
Fo et Fi sont respectivement foyers objet et image.
Y. E L A ZHARI
234
CRMEF / AGP-1
2.. LENTILLES MINCES
2.
Lentilles minces
2.1.
Condition de minceur
L’approximation des lentilles minces consiste à négliger l’épaisseur e = ES devant |Re |,
|Rs | et |Rs − Re |. Soit, formellement :
e −→ 0
(11.26)
Les formules (11.8) à (11.11) montrent que dans le cas d’une lentille mince (e = 0), le
centre optique est en même temps point principal objet, point principal image, point nodal
objet et point nodal image :
Ho ≡ Hi ≡ No ≡ Ni ≡ E ≡ S ≡ O
2.2.
(11.27)
Vergence et distances focales
La vergence et les distances focales des lentilles minces s’obtiennent directement à partir
des expressions générales relatives aux lentilles épaisses dans lesquelles on injecte la condition
de minceur. On obtient alors :
−1
1
1
1
=
= V = (n − 1)
(11.28)
−
fi
fo
Re
Rs
Selon le signe de la vergence V d’une part et ceux des rayons de courbure Re et Rs d’autre
part, on distingue différents types de lentilles minces.
2.2.1. Lentilles minces convergentes
Les lentilles minces convergentes ont une vergence positive (V > 0). C’est-à-dire une
distance focale image positive (fi > 0) et une distance focale objet négative (fo < 0). Selon les
signes des rayons de courbure Re du dioptre d’entrée et Rs du dioptre de sortie, on distingue
trois types de lentilles minces convergentes.
•
•
•
Re > 0 et Rs < 0, la lentille est biconvexe (figure 11.3(a)) ;
Re > 0 et Rs = ∞ ou Re = ∞ et Rs < 0, la lentille est dite plan-convexe (figure
11.3(b)) ;
Re > 0 et Rs > 0 avec Re < Rs ou Re < 0 et Rs < 0 avec Re > Rs , la lentille est un
ménisque convergent (figure 11.3(c)).
Les lentilles minces convergentes sont donc toutes à bords minces. Leur schéma représentatif est reporté figure 11.3(d).
2.2.2. Lentilles minces divergentes
Les lentilles minces divergentes ont une vergence positive (V > 0). C’est-à-dire une distance focale image négative (fi < 0) et une distance focale objet positive (fo > 0). Selon les
signes des rayons de courbure Re du dioptre d’entrée et Rs du dioptre de sortie, on distingue
trois types de lentilles minces convergentes.
CRMEF / AGP-1
235
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 11. LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
(a) Biconvexe.
(c) Ménisque convergent.
(b) Plan-convexe.
(d) Schéma représentatif.
F IGURE 11.3 – Lentilles minces convergentes.
•
•
•
Re < 0 et Rs > 0, la lentille est biconcave (figure 11.4(a)) ;
Re < 0 et Rs = ∞ ou Re = ∞ et Rs > 0, la lentille est dite plan-concave (figure
11.4(b)) ;
Re < 0 et Rs < 0 avec Re < Rs ou Re > 0 et Rs > 0 avec Re > Rs , la lentille est un
ménisque divergent (figure 11.4(c)).
(a) Biconcave.
(c) Ménisque divergent.
(b) Plan-concave.
(d) Schéma représentatif.
F IGURE 11.4 – Lentilles minces divergentes.
Les lentilles minces divergentes sont donc toutes à bords épais. On les représente par le
schéma reporté figure 11.4(d).
2.3.
Formules de conjugaison
Les formules de conjugaison des lentilles minces se déduisent directement de celles des
lentilles épaisses dans lesquelles on tient compte de la condition de minceur (e −→ 0).
– Origine au centre optique O ou formule de D ESCARTES :
1
1
1
−
=
pi
po
fi
avec
po = OAo
et pi = OAi
(11.29)
– Origines aux points principaux ou formule de N EWTON :
σi σo = −fi2
avec
σo = Fo Ao
et σi = Fi Ai
(11.30)
Fo et Fi sont respectivement les foyers objet et image.
Y. E L A ZHARI
236
CRMEF / AGP-1
2.. LENTILLES MINCES
La distance focale image étant donnée par :
1
= (n − 1)
fi
1
1
−
Re
Rs
(11.31)
Remarque : formules de conjugaison à partir du dioptre sphérique
On peut retrouver l’équation de conjugaison de D ESCARTES et l’expression de la distance
focale image à partir de l’étude du dioptre sphérique. En effet, une lentille mince est composée
de deux dioptres sphériques : un dioptre d’entrée De et un dioptre de sortie Ds . Soit Ao un
point de l’axe optique principal de la lentille et notons A1 son image par le dioptre d’entrée. On
a alors :
n
1
n−1
n−1
−
=
=
Se A1
Se Ao
Se Ce
Re
(11.32)
L’image définitive Ai de Ao par la lentille n’est autre que l’image de A1 par le dioptre de sortie
Ds . Elle est donnée par :
1
n
1−n
n−1
−
=
=−
Ss Ai
Ss A1
Ss Cs
Rs
(11.33)
Compte tenu de e −→ 0 (condition de minceur), on peut écrire Se ≡ Ss ≡ O de sorte qu’en
additionnant membre à membre les équations (11.32) et (11.33), on retrouve la relation de
conjugaison des lentilles minces avec origine au centre (formule de D ESCARTES) :
1
1
1
1
1
1
avec
= (n − 1)
−
=
−
(11.34)
fi
fi
OAi
OAo
Re
Rs
2.4.
Constructions géométriques
2.4.1. Lentille convergente
La figure 11.5 donne un exemple de construction géométrique de l’image d’un objet réel
par une lentille mince convergente.
Bo
I
α
Ao
Fo
Fi
β
θ
α
O
θ
J
Ai
β
z
Bi
F IGURE 11.5 – Exemple de construction géométrique de l’image d’un objet par une lentille
mince convergente.
Pour ce faire, il suffit d’utiliser deux des trois rayons particuliers suivants issus de Bo :
CRMEF / AGP-1
237
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 11. LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
– Bo I parallèle à l’axe optique principal et donnant à la sortie de la lentille un rayon passant
par le foyer image Fi ;
– Bo O passant par le centre optique de la lentille et qui la traverse sans subir de déviation ;
– Bo J passant par le foyer objet Fo de la lentille et donnant à la sortie de la lentille un rayon
parallèle à l’axe optique principal.
L’image obtenue dans ce cas particulier 1 est réelle.
Pour déterminer l’expression du grandissement transversal de la lentille, il suffit d’exprimer
la tangente de l’angle θ de deux manières différentes. En effet, on peut écrire :
tan θ =
Ai Bi
Ao Bo
=
OAi
OAo
(11.35)
Ce qui donne :
Gt =
Ai Bi
OAi
=
Ao Bo
OAo
(11.36)
2.4.2. Lentille divergente
La figure 11.6 donne un exemple de construction géométrique de l’image d’un objet réel
par une lentille mince divergente.
Bo
I
Bi
Ao
Fi Ai
J
O
Fo
z
F IGURE 11.6 – Exemple de construction géométrique de l’image d’un objet par une lentille
mince divergente.
Pour cela, il suffit d’utiliser deux des trois rayons particuliers suivants issus de Bo :
– Bo I parallèle à l’axe optique principal et donnant à la sortie de la lentille un rayon passant
par le foyer image Fi ;
– Bo O passant par le centre optique de la lentille et qui la traverse sans subir de déviation ;
– Bo J passant par le foyer objet Fo de la lentille et donnant à la sortie de la lentille un rayon
parallèle à l’axe optique principal.
L’image obtenue dans ce cas particulier 2 est virtuelle.
1. Objet réel disposé avant le plan focal objet de la lentille.
2. Objet réel disposé avant la lentille.
Y. E L A ZHARI
238
CRMEF / AGP-1
3.. DOUBLET DE LENTILLES MINCES
2.4.3. Formules de conjugaison à partir des constructions géométriques
On peut retrouver l’équation de conjugaison de N EWTON en admettant l’existence des
foyers et du centre optique de la lentille. En effet, à partir de la figure 11.5 on peut déduire
deux expressions du grandissement transversal.
– d’une part, tan α =
Ao Bo
OJ
Ai Bi
=
=
donne :
−fo
Fo Ao
Fo O
Gt =
– d’autre part, tan β =
−fo
Fo Ao
(11.37)
Ai Bi
OI
Ao Bo
=
=
donne :
−fi
Fi Ai
Fi O
Gt =
Fi Ai
−fi
(11.38)
On en déduit alors :
Fi Ai Fo Ao = fo fi = −fi2
(11.39)
qui n’est autre que la formule de conjugaison avec origines aux foyers (formule de N EWTON).
En utilisant les relations de C HASLES :
Fo Ao = OAo + fi
(11.40)
Fi Ai = OAi − fi
on obtient l’équation de conjugaison avec origine au sommet (formules de D ESCARTES) :
1
1
1
−
=
fi
OAi
OAo
3.
(11.41)
Doublet de lentilles minces
3.1.
Définition
Un doublet est un ensemble de deux lentilles minces L1 (O1 , f1 ) et L2 (O2 , f2 ) de même
axe optique plongées dans l’air d’indice na = 1 et séparées par O1 O2 = e. On caractérise un
doublet parla donnée de trois entiers relatifs p, q et r tels que :
e
f2
f1
= =
=u
p
q
r
(11.42)
u est appelée unité de longueur du doublet. Le doublet est alors noté (p, q, r).
CRMEF / AGP-1
239
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 11. LENTILLES OPTIQUES SPHÉRIQUES
3.2.
Éléments cardinaux
La matrice de transfert entre O1 et O2 s’écrit :
a
1 − e V1
e
=
T (O1 O2 ) =
−V
−(V1 + V2 − e V1 V2 ) 1 − e V2
b
d
(11.43)
On en déduit la vergence V selon :
V = V1 + V2 − e V1 V2
=
=
1
1
e
+
−
f1
f2
f1 f2
p−q+r
pru
(11.44)
(11.45)
Puis la distance focale image :
fi =
pr
u
p−q+r
(11.46)
Les positions des plans des plans principaux sont respectivement par :
EHo = O1 Ho = fo (d − 1) =
pq
u
p−q+r
(11.47)
qr
u
p−q+r
(11.48)
et :
SHi = O2 Hi = fi (a − 1) = −
Conformément à la théorie générale des systèmes optiques centrés, les points nodaux objet
No et image Ni sont confondus respectivement avec les points principaux objet Ho et Hi car
les milieux extrêmes sont identiques.
3.3.
Exemples
– Doublet de R AMSDEN ou doublet (3, 2, 3).
– Doublet de H UYGHENS ou doublet (3, 2, 1).
Y. E L A ZHARI
240
CRMEF / AGP-1
3.. DOUBLET DE LENTILLES MINCES
Exercices du chapitre 11
Ex. 11.1 — Étudier et représenter graphiquement les variations du grandissement transversal
d’une lentille mince CV :
–en fonction de do à fi constante ;
–en fonction de fi à do constante ;
–en fonction de do à D (distance objet-image) constante.
Ex. 11.2 — E
1. E
CRMEF / AGP-1
241
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
12
ABERRATIONS CHROMATIQUES
Les
243
CHAPITRE 12. ABERRATIONS CHROMATIQUES
Exercices du chapitre 12
Ex. 12.1 — E
1. E
Y. E L A ZHARI
244
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
13
ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
On appelle aberration géométrique tout écart, dans le cadre de l’approximation de l’optique
géométrique et en lumière incidente monochromatique, par rapport à l’optique paraxiale ou
optique de G AUSS.
Les conditions de G AUSS, ou approximation linéaire ou encore approximation de premier
ordre, supposent les rayons lumineux paraxiaux. On verra dans ce chapitre que ces conditions
ne sont pas remplies, c’est-à-dire si les rayons lumineux sont relativement éloignés de l’axe
optique et/ou fortement incliné par rapport à celui-ci, la qualité des images données par les
systèmes optiques se dégrade à cause d’aberrations géométriques. À l’ordre de correction le
plus bas non nul 1 , cela fait apparaître cinq aberrations géométriques 2 :
– l’aberration de sphéricité ;
– l’aberration de coma ;
– l’astigmatisme ;
– la courbure de champ ;
– et la distorsion de l’image.
1.
Description générale
Nous limitons le SOC par sa pupille d’entrée Pe et sa pupille de sortie Ps 3 . Ce choix trouve
sa justification dans le fait que c’est la pupille d’entrée Pe qui définit les angles d’inclinaison
des rayons lumineux qui pénètrent dans le SOC.
1. On verra qu’il s’agit de l’ordre 3.
2. À ces aberrations peuvent s’ajouter d’autres défauts dus aux inhomogénéités des milieux réfringents et au mauvais polissage des surfaces optiques. Ces défauts ne seront pas abordés dans ce chapitre.
3. La pupille de sortie Ps n’est autre que l’image de la pupille d’entrée Pe par le SOC lui même.
245
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
1.1.
Aberrations dans le plan conjugué
Considérons (figure 13.1) un point objet Ao sur l’axe optique du SOC et Ai son image paraxiale. Si Bo (xo , yo ) est un point objet du plan de front objet xo Ao yo alors son image paraxiale
Bi (xi , yi ) appartient au plan de front image xi Ai yi .
SOC
(13.1)
Ao Bo −−→ Ai Bi
Le grandissement transversal Gt entre les plans de front conjugués paraxiaux xo Ao yo et
xi Ai yi , est défini par :
Gt =
xi
yi
=
xo
yo
(13.2)
Ce que l’on peut écrire de manière condensée :
xi = Gt xo
(13.3)
xo = xo + i yo
(13.4)
avec :
xo
Bo
xi
(αo ,βo )
b
(αi ,β
i)
Bi
b
Ao
E
Ai
S
yo
z
yi
Pe
Ps
F IGURE 13.1 – Limitation d’un SOC par ses pupilles d’entrée Pe et de sortie Ps .
En dehors de l’approximation paraxiale, xi dépend non seulement de xo et yo mais aussi de
αo et βo :
xi = xi (xo , yo , αo , βo )
(13.5)
xi = xi (xo , x∗o , αo , α∗o )
(13.6)
ou, ce qui revient au même :
puisque :
1
(x − x∗o )
2 o
1
βo = (αo − α∗o )
2
1
(x + x∗o )
2 o
1
αo = (αo + α∗o )
2
yo =
xo =
Y. E L A ZHARI
246
(13.7)
(13.8)
CRMEF / AGP-1
1.. DESCRIPTION GÉNÉRALE
avec :
(13.9)
αo = αo + i βo
Faisons un développement limité de (13.6) au voisinage de l’origine 4 :
xi = Cµνtv xµo x∗o ν αto α∗o v
(13.10)
Les coefficients Cµνtv sont des nombres a priori complexes et les indices µ, ν, t et v prennent
toutes les valeurs entières positives ou nulles.
Le SOC étant de révolution autour de son axe optique, effectuons une rotation d’un angle
quelconque θ, de l’ensemble du système autour son axe optique de sorte que xo devient xo exp i θ
et αo devient αo exp i θ. Le SOC étant invariant par rotation d’un angle quelconque atour de
son axe optique, xi devient xi exp i θ. Le remplacement de ces relations dans le développement
limité (13.10) donne alors :
xi exp i θ = Cµνtv xµo x∗o ν αto α∗o v exp[i θ (µ − ν + t − v)]
(13.11)
xi = Cµνtv xµo x∗o ν αto α∗o v exp[i θ (µ − ν + t − v − 1)]
(13.12)
ce qui donne :
Ceci impose, compte tenu de (13.10) :
µ−ν +t−v−1 =0
(13.13)
µ+t=ν +v+1
(13.14)
C’est-à-dire :
On en déduit que le degré m = µ + ν + t + v du développement polynomial est impair
puisque :
(13.15)
m = 2 (ν + v) + 1
Les seules valeurs possibles pour m sont :
(13.16)
m = 1, 3, 5, · · · , 2 p + 1, · · ·
Le premier ordre (m = 1) correspond à l’approximation linéaire ou approximation de
G AUSS, ou encore approximation paraxiale. Dans ce cas, d’une part ν + v = 0, c’est-à-dire
ν = 0 et v = 0, d’autre part µ + t = 1 c’est-à-dire µ = 1 et t = 0 ou µ = 0 et t = 1. Ainsi à
l’ordre 1 :
(1)
xi
(13.17)
= C1000 xo + C0010 αo
4. Selon la convention de sommation d’E INSTEIN, le signe sommation
X
sur toutes les valeurs permises de µ,
µ,ν t,v
ν, t et v est sous-entendu.
CRMEF / AGP-1
247
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
Or, à l’ordre 1, les plans de front xo Ao yo et xi Ai yi sont conjugués de sorte que forcément :
et
C0010 = 0
(13.18)
C1000 = Gt
Ceci donne :
(1)
xi
(13.19)
= Gt xo
L’ordre 3 (m = 3) correspond à ν + v = 1 et µ + t = 2. Le tableau 13.1 donne valeurs
possibles des indices µ, ν, t et v.
µ
ν
t
v
2
1
0
0
2
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
2
0
0
0
2
1
TABLE 13.1
On en déduit l’expression de xi :
xi = Gt x0 + C2100 x2o x∗o + C2001 x2o α∗o + C1110 |xo |2 αo + C1011 xo |αo |2 + C0120 x∗o α2o + C0021 α2o (13.20)
α∗o
On définit l’aberration géométrique par l’écart ∆xi tel que :
(13.21)
∆xi = xi − Gt xo
Ainsi, à l’ordre 3, l’aberration géométrique est donnée par :
∆xi = C0021 |αo |2 αo + C1011 xo |αo |2 + C0120 x∗o α2o + C2001 x2o α∗o + C1110 |xo |2 αo + C2100 |xo |2 (13.22)
x0
Introduisons la notation polaire des nombres complexes :
xo = ro exp i θo
et
(13.23)
αo = ρo exp i φo
Cela permet d’écrire l’aberration géométrique à l’ordre trois, sous la forme
(13.24)
∆xi = C0021 ρ3o exp i φo + C1011 ro ρ2o exp i θo + C0120 ro ρ2o exp i (2 φo − θo ) + C2001 ro2 ρo exp i (2 θ − φo )+
∆xi =C0021 ρ3o exp i φo +
C1011 ro ρ2o exp i θo + C0120 ro ρ2o exp i (2 φo − θo )+
C2001 ro2 ρo exp i (2 θ − φo ) + C1110 ro2 ρo exp i φo +
C2100 ro3 exp i θo
(13.25)
Le tableau 13.2 résume les différents termes de ∆xi au troisième ordre et donne le type
d’aberration géométrique correspondant à chaque terme.
Y. E L A ZHARI
248
CRMEF / AGP-1
1.. DESCRIPTION GÉNÉRALE
Terme de ∆xi
C0021 ρ3o exp i φo
C1011 ro ρ2o exp i θo + C0120 ro ρ2o exp i (2 φo − θo )
C2001 ro2 ρo exp i (2 θo − φo )
C1110 ro2 ρo exp i φo
C2100 ro3 exp i θo
Type d’aberration correspondant
Sphéricité
Coma
Astigmatisme
Courbure de champ
Distorsion
TABLE 13.2 – Différents types d’aberration géométrique de troisième ordre.
1.2.
Aberrations hors plan conjugué
Les aberrations géométriques ont, bien évidemment, un effet dans les autres plans autres de
que le plan conjugué au sens de l’optique paraxiale. Pour étudier les aberrations géométriques
hors du plan image de G AUSS, considérons (figure 13.2) un point objet Bo hors axe optique
mais appartenant au plan de front xo Ao yo . L’image paraxiale Ai de Ao définit le plan conjugué
xi Ai yi . L’image paraxiale Bi de Bo appartient à ce plan. Considérons aussi un autre plan de
front xA∗ y passant par A∗ proche de Ai tel que :
(13.26)
Ai A∗ = ∆z
Le rayon paraxial issu de Bo et passant par le sommet E de la pupille d’entrée Pe sort par le
sommet S de la pupille de sortie Ps et passe par le point image paraxiale Bi du plan xi Ai yi . Il
rencontre le plan xA∗ y en P∗ .
De même, le rayon paraxial issu de Bo et passant par I, sort du point J, passe par Bi et
rencontre le plan xA∗ y au point M∗ .
Le rayon réel correspondant au rayon Bo I, sort par J, passe par B′i et rencontre le plan xA∗ y
au point M.
x
xo
xi
I
Bo
Ao
J
xE
αo
E
zo
b
xS
M
Bi
P∗
M∗
b
Ai
A∗
b
αi
S
Pe
B′i
Ps
zi
z
∆z
F IGURE 13.2 – Schéma de principe et notations pour l’étude des aberrations géométriques hors
du plan conjugué.
D’après la figure 13.2, on peut écrire :
xB′i − xJ
xM − xJ
=
zi + ∆z
zi
(13.27)
ce qui donne, compte tenu de xB′i = xi + ∆xi et xJ = xs :
xM = −
CRMEF / AGP-1
∆z
∆z
xs + (1 +
)(xi + ∆xi )
zi
zi
249
(13.28)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
D’autre part :
xi
xP∗
=
zi + ∆z
zi
(13.29)
permet de déduire :
xP∗ = (1 +
∆z
) xi
zi
(13.30)
En définissant :
X = xM − xP∗
(13.31)
∆z
∆z
xs + (1 +
) ∆xi
zi
zi
(13.32)
On obtient :
X=−
Dans la mesure où l’on peut considérer que |∆z| ≪ |zi |, il reste 5 :
X=−
2.
∆z
x + ∆xi
zi s
(13.33)
Aberrations de S EIDEL
2.1.
Aberration de sphéricité
L’aberration de sphéricité, ou aberration sphérique, affecte les rayons lumineux issus d’un
point source situé sur l’axe optique du système centré.
Pour étudier l’aberration de sphéricité, on considère un point objet Ao unique situé sur
l’axe optique du SOC. Dans ce cas ro = 0 de sorte que l’écart X S hors du plan conjugué
correspondant à l’aberration de sphéricité est donné par :
XS = −
∆z
x + ∆xi,S
zi s
(13.34)
avec :
∆xi,S = C0021 ρ3o exp i φo
(13.35)
xs
1
ρo
= αi =
αo =
exp i φo
−zi
Gt
Gt
(13.36)
∆z
+ C0021 ρ2o ) exp i φo
Gt
(13.37)
Par ailleurs (figure 13.2) :
Ainsi :
X S = ρo (
5. Cette relation est écrite en représentation complexe car une relation similaire à 13.32 peut être établie selon l’axe
Oy.
Y. E L A ZHARI
250
CRMEF / AGP-1
2.. ABERRATIONS DE SEIDEL
Dans le plan conjugué paraxial ∆z = 0 et alors :
X S (∆z = 0) = C0021 ρ3o exp i φo
(13.38)
L’aberration transversale est définie par ∆ri = |X S (∆z = 0)|max . Elle est donnée par :
∆ri = |C0021 | ρ3o, max
(13.39)
L’aberration longitudinale ℓ est définie par le point où s’annule l’écart X S hors plan conjugué paraxial. C’est-à-dire :
tel que
ℓ = |∆z|max
(13.40)
X S (∆z) = 0
soit :
∆z = −C0021 Gt ρ2o
(13.41)
ℓ = |C0021 Gt | ρ2o, max
(13.42)
et :
Remarque
Les aberrations de sphéricité longitudinale ℓ et transversale ∆ri sont reliées par (figure ) :
αi ≈ tan αi =
∆ri
ℓ
(13.43)
2.1.1. Mise en évidence
Pour mettre en évidence les notions précédentes, considérons le cas concret d’un SOC
constitué d’une seule lentille convergente 6 . La figure 13.3 montre le tracé rigoureux du cheminement des rayons lumineux dans un tel cas.
2 ∆ri
Ao
Am
i
b
b
Ai
ℓ
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
F IGURE 13.3 – Aberration de sphéricité dans une lentille sphérique biconvexe.
6. R1 = 3 cm, R2 = −2 cm, n = 1, 685 et ES = 1, 1 cm.
CRMEF / AGP-1
251
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
Les rayons paraxiaux convergent en Ai qui est l’image géométrique paraxiale de Ao par le
SOC.
Les rayons marginaux correspondant à un même angle d’inclinaison θ par rapport à l’axe
optique principal du SOC, convergent en un même point Ai (θ) de l’axe optique entre Am
i et Ai .
Il y a accumulation de lumière sur une surface appelée caustique 7 du SOC. Une telle caustique
est constituée de deux nappes (figure ??) :
– une nappe axiale ou sagittale Am
i Ai , de longueur égale à l’aberration axiale ℓ, due à la
convergence des rayons marginaux entre Am
i et Ai ;
– une nappe tangentielle qui n’est autre que l’enveloppe des rayons lumineux émergents
du SOC. La figure ?? donne une représentation graphiques de la caustique d’une lentille
sphérique biconvexe. L’interception des rayons émergents par un écran . . .
Remarque
Les rayons marginaux extrêmes n’émergent pas de la lentille car ils subissent une réflexion
totale sur le dioptre de sortie de la lentille du fait de leur forte inclinaison.
2.1.2. Caustique
F IGURE 13.4 – Caustique d’une lentille plan-convexe.
2.1.3. Réduction de l’aberration sphérique
– La méthode la plus élémentaire pour réduire l’aberration de sphéricité est de limiter l’ouverture du SOC. Elle consiste à placer un diaphragme à l’entrée du SOC. La simplicité
de cette méthode est contrariée par la perte de luminosité qu’elle provoque car
– Accolement d’une lentille divergente et d’une lentille convergente
– Réduction du coefficient d’aberration sphérique
7. Du grec « Kaustikos » qui signifie « brûler » . . . par la lumière pour ce qui concerne les caustiques des systèmes
optiques.
Y. E L A ZHARI
252
CRMEF / AGP-1
2.. ABERRATIONS DE SEIDEL
1
0
-1
1 0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
0
-1
0
F IGURE 13.5 – Aberration de sphéricité dans une lentille plan-convexe selon le sens de
son utilisation.
– Utilisation d’une lentille asphérique. L’exemple suivant donne le cheminement des rayons
lumineux dans la lentille asphérique 8 .
F IGURE 13.6
8. Référence ACL25416U de THORLABS (http://www.thorlabs.de/thorproduct.cfm?partnumber=ACL25416U)
CRMEF / AGP-1
253
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
2.2.
Aberration de coma
Considérons un objet ponctuel Bo (xo , yo ) tel que ro 6= 0 émettant un faisceau suffisamment
divergent pour éclairer la totalité de la pupille d’entrée Pe du système optique à étudier. L’écart
dans le plan conjugué paraxial ∆xi,C correspondant à l’aberration de coma est donné par :
∆xi,C = C1011 ro ρ2o exp i θo + C0120 ro ρ2o exp i (2 φo − θo )
(13.44)
Pour donner une interprétation géométrique à cette expression, considérons (figure 13.7(a)) les
points : Ai image paraxiale de Ao , Bi image paraxiale de Bo , C et M tels que :
(
xi = Gt xo = Gt ro cos θo
Ai Bi =
(13.45)
yi = Gt yo = Gt ro sin θo
(
C1011 ro ρ2o cos θo
Bi C =
(13.46)
C1011 ro ρ2o sin θo
(
C0120 ro ρ2o cos(2 φo − θo )
CM =
(13.47)
C0120 ro ρ2o sin(2 φo − θo )
yi
M
)
B
r i=
Ai
Gt
θo
ro
(∆
M
i
x
C
i,
2 φo −θo
C
Bi
b
xi
(a) Notations pour l’étude de l’aberration de
coma.
2θ
Bi
(b) Forme de la figure d’aberration
de coma.
F IGURE 13.7 – Notations pour l’étude de l’aberration de coma et construction progressive de
l’image correspondante.
Y. E L A ZHARI
254
CRMEF / AGP-1
3.. ABERRATIONS DE ZERNIKE
Pour décrire l’ensemble des rayons lumineux issus de Bo et éclairant la pupille d’entrée Pe ,
ρo doit prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et ρmax
et φo toutes les valeurs comprises
o
entre 0 et 2 π.
Pour une valeur donnée de ρo , lorsque φo varie de 0 à 2 π, le point courant M décrit un
cercle de centre C et de rayon |C0120 | ro ρ2
Le rapport entre le rayon CM = |C0120 ] ro ρ2 du cercle décrit par M et la distance Bi C =
|C1011 | ro ρ2o est constant et vaut 9 :
CM
|C0120 |
1
=
=
Bi C
|C1011 |
2
(13.48)
Lorsque ρo décroit de ρmax
à 0, le rayon du cercle décrit par M décroit mais son centre C
o
s’approche d’autant de l’image paraxiale Bi (figure 13.7(b)). De ce fait, le cercle se déplace à
l’intérieur du cône de sommet Bi et de demi-angle au sommet θ tel que :
sin θ =
|C0120 |
1
CM
=
=
Bi C
|C1011 |
2
(13.49)
la figure d’aberration se présente alors comme un cône de sommet Bi , image paraxiale de
Bo , et d’angle total au sommet 2 θ = 60◦ . La forme de la figure d’aberration rappelle celle
d’une comète. Aussi l’appelle-t-on aberration de coma.
3.
2.3.
Astigmatisme
2.4.
Courbure de champ
2.5.
Distorsion
Aberrations de Z ERNIKE
9. Un calcul supplémentaire montre que
CRMEF / AGP-1
|C0120 |
|C1011 |
=
1
.
2
255
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 13. ABERRATIONS GÉOMÉTRIQUES
Exercices du chapitre 13
Ex. 13.1 — E
1. E
Ex. 13.2 — Étude d’une lentille plan-convexe
1. Tracé des rayons émergents y compris les non paraxiaux
2. Détermination de l’équation de la caustique. tracé de la caustique.
Y. E L A ZHARI
256
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
14
SOURCES LUMINEUSES
Dans ce chapitre, on se propose de passer en revue le principe de fonctionnement de quelques
sources conventionnelles 1 de lumière. On abordera aussi la modélisation théorique du rayonnement de telles sources en prévision de l’explication des phénomènes d’interférences lumineuses.
1.
Principe de l’émission de lumière
Ce paragraphe est dédié à la description phénoménologique de quelques sources de lumière
conventionnelles les plus utilisées en optique.
1.1.
Intensité spectrale
L’intensité lumineuse I =
D−
→E
Π
émise par une source peut se mettre sous la forme :
I=
Z
νmax
Iν (ν) dν
(14.1)
νmin
Iν (ν) dν représente l’intensité émise dans la bande de fréquence [ν, ν + dν]. Iν(ν) est appelée intensité spectrale de la source. L’intégrale ci-dessus est étendue au domaine spectrale
[νmin , νmax ] auquel on s’intéresse. Par exemple pour le domaine visible :
3, 75×1014 Hz
/ν/
0, 4 µm / λ /
7, 5×1014 Hz
(14.2)
0, 75 µm
(14.3)
1. Par opposition aux sources Laser, les sources classiques seront appelées sources conventionnelles.
257
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
On peut aussi utiliser la longueur d’onde λ comme variable, on écrit alors l’intensité lumineuse sous la forme :
Z λmax
Iλ (λ) dλ
(14.4)
I=
λmin
On appelle spectre de la source considérée, la représentation graphique de Iν (ν) en fonction
de la fréquence ν (ou Iλ (λ) en fonction de la longueur d’onde λ). Selon la nature de Iν on
distingue deux types de sources :
1) Iν (ν) varie de façon continue et prend des valeurs non négligeables dans un large intervalle
du domaine considéré : la source est alors dite à spectre continu,
2) Iν (ν) ne prend des valeurs non négligeables que dans certains intervalles très étroits du
domaine considéré : la source est dite à spectre de raies ou lampe spectrale.
1.2.
Sources à spectre continu
1.2.1. Principe de fonctionnement
Leur principe de fonctionnement repose sur le fait que tout corps porté à une température T
émet une onde électromagnétique (cf. théorie du corps noir). La loi de P LANCK permet d’écrire
l’intensité spectrale Iλ en fonction de la longueur d’onde λ selon :
Iλ (λ) =
8 π h c20
λ5
exp
1
h c0
−1
λ kB T
(14.5)
où h ≈ 6, 62×10−34 J.s est la constante de P LANCK et kB ≈ 1, 38×10−23 J.K−1 la constante
de B OLTZMANN.
Iλ (λ) (u.a.)
①
2
Isotherme
①
②
③
θ (◦ C)
2500
2000
1500
1
②
③
1
2
3
4
5
6
λ
µm
F IGURE 14.1 – Intensité spectrale d’une source thermique à différentes températures.
Y. E L A ZHARI
258
CRMEF / AGP-1
1.. PRINCIPE DE L’ÉMISSION DE LUMIÈRE
On peut remarquer que jusqu’à des températures avoisinant 1500 ◦C, l’émission se fait essentiellement dans l’infra-rouge. La fraction émise dans le domaine visible ne devient importante que pour des températures plus élevées.
La loi de déplacement de W IEN donne la position du maximum en fonction de la température de la source :
h c0
T λmax ≈
= kW
(14.6)
5 kB
numériquement kW ≈ 2 900 µm.K. Par exemple pour le Soleil, T ≈ 6 000 K donne λmax ≈
0, 5 µm (jaune).
1.2.2. Exemple de sources à spectre continu
• Lampe à filament de tungstène
Un filament en tungstène (θf◦ = 3 410 ◦ C) est placé dans une ampoule en verre remplie
d’un gaz inerte dont le rôle est d’éviter un échauffement trop important du filament et
de limiter sa sublimation. Le filament de tungstène est porté à incandescence par effet
J OULE. Sa température est alors comprise entre 2 000 ◦ C et 2 800 ◦ C.
Par exemple, pour une lampe de puissance électrique 100 W, la température du filament
est d’environ 2 400 ◦ C alors que celle de l’enveloppe en verre ne dépasse pas 100 ◦ C.
Le gaz inerte utilisé peut être de l’argon, du krypton ou un mélange d’azote (20 %) et
d’argon (80 %).
Ce type de sources lumineuses souffre de deux inconvénients majeurs :
– d’une part, une durée de vie limitée à cause de la sublimation du filament de tungstène ;
– d’autre part, un rendement énergétique médiocre. En effet, pour une lampe de puissance électrique 100 W dont la température du filament peut atteindre 2 400 ◦ C, le
rendement énergétique est d’environ 15 lm.W−1 (lumen par watt).
• Lampe quartz-iode (QI)
Il s’agit aussi d’une lampe à filament de tungstène. En plus du gaz inerte, on introduit
des traces d’iode. Dans les régions les plus froides de la lampe, c’est-à-dire ses parois,
l’iode se combine avec le tungstène sublimé pour former un composé de formule WI4 .
Ce composé, très volatil aux températures supérieures à 300 ◦ C, se dissocie au contact
du filament plus chaud pour donner du tungstène. Ceci permet de régénérer le filament.
On peut alors travailler à température plus élevée. Dans la pratique la température du
filament est comprise entre 3 000 ◦ C et 3 200 ◦ C. Il en résulte un meilleur rendement
énergétique qui peut atteindre 23 lm.W−1 mais nécessite l’emploi d’ampoule en quartz.
1.3.
Source à spectre de raies ou lampes spectrales
1.3.1. Principe de fonctionnement
Dans un tube à vide rempli d’un gaz (hydrogène, hélium,. . .) ou d’une vapeur métallique
(sodium, mercure, cadmium, zinc,. . .), on provoque une décharge électrique entre deux électrodes alimentées par le circuit secondaire d’un transformateur utilisé en élévateur de tension
(HT ≈ 500 V).
CRMEF / AGP-1
259
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
E2
Décharge
E2
excitation
OEM de
fréquence ν0
désexcitation
E1
E1
F IGURE 14.2 – Émission d’une onde électromagnétique par un système à deux niveaux.
Suite à un choc avec les électrons accélérés de la décharge, le système atomique en question (molécules ou atomes du gaz ou de la vapeur métallique), occupant initialement le niveau
fondamental E1 , est excité et passe à un niveau énergétique E2 (état excité).
Le système est instable dans cet état et peut se désexciter en émettant une onde électromagnétique de fréquence :
ν0 =
E2 − E1
h
(14.7)
La figure 14.3 représente une partie des diagrammes énergétiques du sodium (Na) et du
mercure (Hg) montrant les transitions radiatives à l’origine des doublets jaunes du sodium et
du mercure.
Na
2
P3/2
2
Hg
P1/2
3
3
577, 0 nm
D2 : 589, 0 nm
579, 1 nm
D1 : 589, 6 nm
2
S1/2
D2
P1
1
État fondamental
P1
État excité
F IGURE 14.3 – Extraits des diagrammes énergétiques des systèmes Na et Hg montrant les
transitions radiatives à l’origine des deux doublets jaunes.
Remarque : tubes fluorescents
Les tubes fluorescents sont constitués d’un tube à décharge dans une vapeur de mercure. Les
raies U.V., essentiellement la raie de résonance à 254 nm excitent les transitions d’une couche
fluorescente formée d’un mélange assez complexe de composés (aluminates, silicates comme
CaSiO3 activés par des ions antimoine, manganèse ou de terres rares). Cette couches déposée
sur la surface intérieure du tube, émet ainsi par fluorescence un spectre très riche quasi-continu
Y. E L A ZHARI
260
CRMEF / AGP-1
1.. PRINCIPE DE L’ÉMISSION DE LUMIÈRE
auquel se superposent les raies visibles du mercure. Le même principe est exploité dans les
ampoules dites « basse consommation ».
1.3.2. Largeur de raie
Les raies d’émission ne sont jamais infiniment étroites mais présentent une largeur ∆ν non
nulle. Dans ce paragraphe, on se propose d’aborder la notion de largeur naturelle d’une raie
et d’évoquer deux principaux causes d’élargissement des raies d’émission : les collisions et
l’effet D OPPLER. Nous n’aborderons pas ici d’autres causes d’élargissement telles que : l’effet
S TARCK, l’effet isotopique, effet des dislocations dans un cristal, . . . etc. Leurs effets sont en
général négligeables, mais peuvent devenir importants dans certains cas particuliers de sources.
1.3.2.1.
Largeur naturelle
En mécanique quantique, on montre que l’énergie E de tout niveau énergétique est définie
avec une incertitude théorique ∆E reliée à la durée de vie ∆t = τ du niveau au moyen de la
relation d’incertitude de H EISENBERG :
~
∆E ∆t >
(14.8)
2
Seul le niveau fondamental est connu avec précision puisque ∆t = ∞ (niveau stable) et
∆E = 0.
Il en résulte que la transition radiative entre les deux niveaux énergétiques E1 et E2 s’ac1
de largeur ∆ν donnée
compagne de l’émission d’une raie de fréquence centrale ν0 = E2 −E
h
par :
∆ν =
∆E1 + ∆E2
h
(14.9)
La valeur minimale 2 ∆ν0 de ∆ν est appelée largeur naturelle de la raie. Elle est reliée aux
durées de vie des niveaux énergétiques mis en jeu par :
∆ν0
1
1
1
(14.10)
=
+
ν0
π ν0 τ1
τ2
Typiquement :
∆ν0
≈ 10−8
ν0
1.3.2.2.
à
10−7
(14.11)
Élargissement par collision
Les collisions entre atomes du gaz ou de la vapeur atomique favorisent les désexcitations.
Elles diminuent donc la durée de vie des états excités. Il en résulte alors d’après l’équation
(14.10) un élargissement de la raie d’émission. Cet élargissement par collision est d’autant plus
important que la pression est élevée. Typiquement :
∆νc
≈ 10−6
ν0
à
10−5
2. Obtenue pour la valeur minimale du produit ∆E ∆t, c’est-à-dire ∆E ∆t =
CRMEF / AGP-1
261
(14.12)
~
.
2
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
1.3.2.3.
Élargissement par effet D OPPLER
Les centres émetteurs sont animés d’une vitesse due pour l’essentiel à l’agitation thermique.
Soit ν0 la fréquence de la radiation émise mesurée dans le référentiel propre du centre émetteur.
Un observateur qui voit les centres émetteurs se mouvoir d’une vitesse v mesure une fréquence
ν différente de ν0 . C’est l’effet D OPPLER. Dans la limite non relativiste (|v| ≪ c0 ), la fréquence
mesurée par le l’observateur est donnée par :
v
(14.13)
ν = ν0 1 −
c0
D’autre part la distribution des vitesses des centres émetteurs obéit à la statistique de M AXWELL B OLTZMANN. Il en résulte une distribution des fréquences reçues selon une loi gaussienne de
largeur ∆νD donnée par :
r
2 ν0 2 kB T ln 2
(14.14)
∆νD ≈
c0
m
m étant la masse des centres émetteurs, kB la constante de B OLTZMANN et T la température
thermodynamique. Typiquement :
∆νD
≈ 10−6
ν0
1.3.2.4.
à
10−5
(14.15)
Élargissement par effet S TARK
Les centres émetteurs sont soumis à l’action du champ électrique interélectrodes qui perturbe les niveaux énergétiques produisant une levée partielle de dégénérescence. Il en résulte
un élargissement de raie d’autant plus important que le champ est intense.
1.3.2.5.
Conclusion
L’élargissement naturel ∆ν0 est toujours présent mais généralement négligeable devant les
autres. Souvent, l’élargissement D OPPLER est prépondérant sauf dans les lampes haute pression 3 où l’élargissement par collision devient prépondérant.
1.3.3. Profil de raie
L’intensité spectrale d’une raie définit son profil.
1.3.3.1.
Raie à profil lorentzien
Une raie est dite à profil lorentzien lorsqu’elle est décrite par une intensité spectrale pouvant
se mettre sous la forme :
Iν (ν) =
Iν0
2
1 + γ 2 (ν − ν0 )
(14.16)
3. Dans la pratique on distingue les lampes spectrales basse pression (≈ 1 Pa), les lampes spectrales moyenne
pression et les lampes spectrale haute pression (≈ 104 Pa).
Y. E L A ZHARI
262
CRMEF / AGP-1
1.. PRINCIPE DE L’ÉMISSION DE LUMIÈRE
S CHAWLOW et T OWNES ont montré (), dans le cadre de la théorie quantique, que la
pression dans les lampes spectrales a pour effet de produire des raies de profil lorentzien. Un tel
profil est donc obtenu lorsque l’effet des collisions prédomine. La largeur totale à mi-hauteur
(FWHM 4 en anglais) ∆ν1/2 vaut alors :
∆ν1/2 =
1.3.3.2.
2
γ
(14.17)
Raie à profil gaussien
Une raie est dite à profil gaussien lorsque son intensité spectrale peut se mettre sous la
forme :
Iν (ν) = Iν0 exp −γ 2 (ν − ν0 )2
(14.18)
C’est le cas lorsque l’effet D OPPLER prédomine. La largeur totale à mi-hauteur ∆ν1/2 est
donnée par :
√
2 ln 2
(14.19)
∆ν1/2 =
γ
La figure 14.4(a) donne une représentation graphique de deux raies de même largeur à mihauteur, l’une ayant un profil gaussien et l’autre un profil lorentzien.
1
Iν (ν)
Iν0
Iν (ν)
∆ν1/2
0,5
Iν0
∆ν
①
②
−3
−2
−1
1
2
3
ν − ν0
1
2 ∆ν1/2
(a) Comparaison d’un profil lorentzien ① et d’un profil ② gaussien de
même largeur à mi- hauteur.
ν0
ν
(b) Modèle rectangulaire d’un profil de
raie.
F IGURE 14.4 – Différents profils de raie spectrale.
4. Full Width at Half Maximum.
CRMEF / AGP-1
263
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
1.3.3.3.
Modèle simpliste
Souvent, les profils de raies ne sont ni lorentziens ni gaussiens du fait notamment de la
coexistence de plusieurs causes d’élargissement.
Pour simplifier les calculs on modélise la raie par un profil rectangulaire tel que :

∆ν
∆ν

 Iν0 pour
ν0 −
< ν < ν0 +
2
2
Iν (ν) =
(14.20)


0 ailleurs
La figure 14.4(b) donne un schéma représentatif d’un tel profil de raie.
Par exemple, la raie rouge du cadmium de longueur d’onde λ0 = 643, 8 nm et de fréquence
ν0 = 465, 7 THz correspondant à la transition 1 D2 −→ 1 P1 a une largeur ∆ν = 1 GHz.
1.4.
Notion de train d’ondes
L’émission de la lumière par les systèmes atomiques est le résultat de la désexcitation du
système à partir d’un état excité vers un état d’énergie plus faible. L’émission de lumière est
donc lancée, interrompue puis relancée notamment par les collisions entre atomes. Elle est
alors représentée (figure 14.5) par un ensemble de trains d’ondes (TO) successifs émis de façon
aléatoire.
Le nombre d’oscillations Nosc. contenues dans un TO est donné par le rapport entre la durée
∆tTO du TO et la période T0 de l’oscillation :
Nosc. =
∆tTO
= ν0 ∆tTO
T0
(14.21)
∆tTO étant de l’ordre de 10−8 s et, dans le visible, ν0 ≈ 1014 s−1 . Le nombre d’oscillations
contenues dans un TO est donc de l’ordre de 106 . Il est alors légitime de négliger les régimes
transitoires d’établissement et de disparition des oscillations ce qui donne lieu à des TO rectangulaires (figure ??).
F IGURE 14.5 – Suite de trains d’ondes réalistes.
D’autres hypothèses simplificatrices sont également utilisées, c’est ainsi que dans le modèle
de TO que nous allons utiliser par la suite nous supposerons les TO :
– de même amplitude a0 ;
– de même fréquence centrale ν0 ;
Y. E L A ZHARI
264
CRMEF / AGP-1
1.. PRINCIPE DE L’ÉMISSION DE LUMIÈRE
– de même durée égale à la durée moyenne τ0 ≈ 10−8 s d’un TO ;
– de phase à l’origine variant aléatoirement d’un train d’ondes à un autre.
En outre on néglige la durée séparant deux trains d’ondes successifs. Ces hypothèses sont justifiées notamment par le très grand nombre de TO mis en jeu. Ce qui permet d’adopter une
description statistique.
a(t)
t
①
ϕa
+π
t
②
−π
F IGURE 14.6 – Modélisation des trains d’ondes émis par une source. L’amplitude instantanée
a(t) subit des discontinuités ① dues aux variations aléatoires de la phase ϕa à l’origine ②.
La figure 14.6 représente l’évolution de l’amplitude 5 du champ émis en fonction du temps
dont l’expression peut s’écrire :
a(t) = a0 cos(2 π ν0 t + ϕa )
(14.22)
où ϕa est une phase à l’origine, variant d’un TO à un autre de manière totalement imprévisible.
ϕa varie donc aléatoirement et rapidement 6 en fonction du temps. Le temps caractéristique de
variation de ϕa est le même que la durée moyenne τ0 des TO. La source lumineuse émettant
une telle onde sera dite incohérente.
Le spectre (moyen) d’une telle source se calcule à partir de :
he
a(ν)i =
Z
+∞
a(t) p(t) exp i 2 π ν t dt
(14.23)
0
5. On peut dans un premier temps considérer a(t) comme étant l’une des composantes du champ électromagnétique
associé à l’onde lumineuse. Dans le premier chapitre sur les interférences lumineuses, on reviendra sur cette hypothèse
pour introduire le modèle scalaire de la vibration lumineuse.
6. Le temps de réponse ∆tR des récepteurs usuels étant en général très grand devant τ0 .
CRMEF / AGP-1
265
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
où p(t) est la densité de probabilité de distribution du temps de vol entre deux émissions, donnée
par 7 :
p(t) =
t
1
exp −
τ0
τ0
(14.24)
Sachant que a(t) = a0 exp −i(2 π ν0 t + ϕa ), un calcul simple donne :
he
a(ν)i =
a0
exp −i ϕa
−1 + i 2 π (ν − ν0 ) τ0
(14.25)
L’intensité spectrale correspondante Iν (ν) = K | he
a(ν)i |2 peut alors se mettre sous la forme :
Iν (ν) =
1.5.
Iν0
1 + 4 π 2 τ02 (ν − ν0 )2
(14.26)
Notion de cohérence d’une source
1.5.1. Description qualitative
Considérons une source conventionnelle S et un point d’observation M. Pendant l’intervalle
de temps ∆t d’observation (∆t > ∆tR ), en un même point M d’observation arrive un grand
nombre de trains d’ondes issus d’un point P de la source. Ces trains d’ondes étant tous décorrélés les uns par rapport aux autres, la phase à l’origine ϕa varie aléatoirement et rapidement
au cours du temps de sorte que :
hcos ϕa i∆tR = 0
(14.27)
hsin ϕa i∆tR = 0
La source S est alors dite temporelement incohérente.
D’autre part, les trains d’ondes issus de deux points différents P1 et P2 de la source sont
indépendants entre eux de sorte qu’en un même point M d’observation :
hcos [ϕa (P1 ) − ϕa (P2 )]i∆tR = 0
(14.28)
hsin [ϕa (P1 ) − ϕa (P2 )]i∆tR = 0
La source utilisée S est alors dite spatialement incohérente
1.5.2. Fonction de corrélation temporelle
Pour les sources lumineuses conventionnelles, la phase de la vibration lumineuse ne reste
constante que pendant un intervalle temps moyen τ0 . Cet intervalle de temps caractérise la
cohérence temporelle de la source considérée.
Pour savoir si la vibration lumineuse à l’instant t + τ est plus ou moins identique à la
vibration lumineuse à l’instant t, on introduit la fonction de corrélation temporelle Ψ définie
par :
Ψ(τ ) =
ha(t + τ ) a∗ (t)i
ha(t) a∗ (t)i
(14.29)
7. Voir annexe.
Y. E L A ZHARI
266
CRMEF / AGP-1
2.. MODÉLISATION THÉORIQUE - PAQUET D’ONDES
h· · · i désigne la valeur moyenne calculée sur une durée de l’ordre du temps de réponse ∆tR du
détecteur utilisé. Pour une source stationnaire Ψ(τ ) est indépendante de t et de ∆tR .
Nous verrons plus loin dans ce cours comment les montages interférentiels permettent-ils
de déterminer expérimentalement Ψ(τ ).
Pour une source idéale émettant une vibration parfaitement harmonique d’amplitude a0 et
de pulsation ω0 , la fonction de corrélation temporelle vaut :
Ψ(τ ) = exp −i ω0 τ
(14.30)
1.5.3. Fonction de corrélation spatiotemporelle
La fonction de corrélation spatiotemporelle permet de comparer la vibration lumineuse en
deux points repérés par r1 et r2 à deux instants t et t + τ . Elle est définie par :
Γ(r1 , r2 , τ ) =
ha(r1 , t + τ ) a∗ (r2 , t)i
ha(r1 , t) a∗ (r1 , t)i + ha(r2 , t) a∗ (r2 , t)i
(14.31)
où h· · · i désigne la valeur moyenne calculée sur une durée de l’ordre du temps de réponse ∆tR
du détecteur.
2.
Modélisation théorique - Paquet d’ondes
2.1.
Position du problème
Il s’agit de traduire formellement l’existence de train d’ondes. Nous allons pouvoir montrer
que l’amplitude du champ d’un train d’onde peut être décrite convenablement par un paquet
d’ondes quasi-monochromatique. Pour ce faire, nous allons construire un paquet d’ondes en
superposant un très grand nombre d’ondes planes progressives de fréquences voisines.
2.2.
Amplitude résultante
L’amplitude en un point M peut s’écrire, à l’instant t, sous la forme d’une superposition
d’ondes planes progressives monochromatiques 8 :
Z +∞
a(M, t) =
A(ν) exp i [k(ν) · r − 2 πν t] dν
(14.32)
−∞
Une telle superposition s’appelle un paquet d’ondes planes progressives monochromatiques.
Supposons, pour simplifier, que toutes les ondes ont la même direction de propagation. Le
vecteur d’onde k garde alors une direction fixe. Prenons k = k uz . Il vient :
Z +∞
a(M, t) =
A(ν) exp i [k(ν) z − 2 πν t] dν
(14.33)
−∞
Un cas particulièrement important est celui pour lequel la fonction A(ν) ne prend des valeurs non négligeables que dans un intervalle de faible largeur ∆ν centré en ν = ν0 (figure
14.7(a)).
8. L’intégration est étendue de −∞ à +∞ pour les besoins de la transformée de F OURIER. Ceci ne constitue pas
une limitation car on peut toujours prendre A(ν) = 0 pour ν < 0.
CRMEF / AGP-1
267
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
|A(ν)|
ν0
ν
(a)
(b)
F IGURE 14.7 – Profil étroit centré en ν = ν0 (a) et paquet d’onde quasi-monochromatique
correspondant (b).
Développons dans ce cas k(ν) au voisinage de ν = ν0 :
dk
+ ···
k(ν) ≈ k(ν0 ) + (ν − ν0 )
dν ν0
(14.34)
Si de plus, le milieu est peu dispersif, on peut restreindre le développement limité aux premiers
termes de sorte que l’on puisse écrire l’amplitude a(M, t) sous la forme :
(14.35)
a(M, t) ≈ a0 (z, t) exp i(k0 z − 2 πν0 t)
où :
a0 (z, t) =
Z
+∞
−∞
A(ν) exp i(ν − ν0 )
dk
z −2πt
dν
dν
(14.36)
La figure 14.7(b) donne une représentation schématique du paquet d’ondes ainsi obtenu.
Elle montre qu’un paquet d’ondes convenablement construit peut servir de modèle théorique
pour décrire un train d’ondes.
2.3.
Étalement temporel
En un point M fixé pris comme origine, l’amplitude du champ s’écrit :
a(t) =
Z
+∞
−∞
A(ν) exp −i 2π ν t dν
(14.37)
D’après le théorème de F OURIER :
A(ν) =
Z
+∞
a(t) exp +i 2π ν t dt
(14.38)
−∞
Y. E L A ZHARI
268
CRMEF / AGP-1
2.. MODÉLISATION THÉORIQUE - PAQUET D’ONDES
L’égalité de PARSEVAL donne, quant à elle :
Z
Z +∞
|a(t)|2 dt =
+∞
−∞
−∞
|A(ν)|2 dν
(14.39)
D’autre part, le paquet d’onde a un étalement ∆t relié à la largeur ∆ν de A par :
1
2
∆ω ∆t >
(14.40)
où ∆ω = 2 π ∆ν. Cette relation, très importante, montre que la radiation lumineuse est d’autant
plus monochromatique (∆ν petit) que la durée moyenne ∆t des trains d’onde qui la composent
est longue.
2.4.
Intensité spectrale
L’intensité lumineuse reçue en un point M est proportionnelle à la moyenne de |a(M, t)|2 ,
sur une durée de l’ordre du temps de réponse ∆tR du détecteur. Souvent, on confond la constante
de proportionnalité avec l’unité, ce qui permet d’écrire :
I=
1
∆tR
Z
+∆tR /2
−∆tR /2
|a(M, t)|2 dt
(14.41)
L’amplitude reçu au point M fixé, pris comme origine de l’espace, est donnée par la somme des
N paquets d’ondes reçus pendant l’intervalle de temps ∆tR , soit :
a(t) =
N Z
X
n=1
+∞
−∞
A(ν) exp −i(2 π ν t + ϕn ) dν
(14.42)
ϕn étant la phase aléatoire caractéristique du TO d’indice n. Il vient alors :
"Z
#
Z +∞ Z +∞
N
N
+∆tR /2
1 XX
∗ ′
I=
exp −i(ϕn − ϕm )
A(ν)A (ν )
exp −i 2 π(ν − ν ′ )t dt dν dν ′
∆tR n=1 m=1
−∞
−∞
−∆tR /2
Le temps de réponse ∆tR étant toujours très grand devant la période ν1 , l’intégrale sur t peut
être approchée par une distribution de D IRAC :
Z
+∆tR /2
−∆tR /2
exp −i 2 π(ν − ν ′ )t dt ≈
Z
+∞
−∞
exp −i 2 π(ν − ν ′ )t dt = δ(ν − ν ′ ) (14.43)
L’expression de l’intensité I devient alors, compte tenu des propriétés de la distribution δ de
D IRAC :
" N N
#
Z +∞
XX
1
2
|A(ν)|
exp −i(ϕn − ϕm ) dν
(14.44)
I=
∆tR −∞
n=1 m=1
CRMEF / AGP-1
269
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
or :
N X
N
X
n=1 m=1
N
X
exp −i(ϕn − ϕm ) =
n=1
=
N
1+
N N,m6
X=n
X
n=1 m=1
exp −i(ϕn − ϕm )
(14.45)
(14.46)
La seconde somme (double) est nulle du fait que la phase à l’origine des différents TO varie
aléatoirement d’un TO à un autre. Ainsi :
Z +∞
N
|A(ν)|2 dν
I=
(14.47)
∆tR −∞
de la forme :
I=
Z
+∞
Iν (ν) dν
(14.48)
−∞
On en déduit la relation entre l’intensité spectrale Iν (ν) et A(ν) :
Iν (ν) =
1
|A(ν)|2
τ0
(14.49)
τ0 étant la durée moyenne des TO émis par la source considérée.
Y. E L A ZHARI
270
CRMEF / AGP-1
2.. MODÉLISATION THÉORIQUE - PAQUET D’ONDES
Exercices du chapitre 14
Ex. 14.1 — Établir la relation qui existe entre les intensités spectrales Iν (ν) et Iλ (λ).
Answer (Ex. 14.1) — La définition I =
−Iν (ν(λ))
dν(λ)
dλ
=
c0
λ2
Iν (ν(λ)) =
c0
λ2
R λmax
λmin
Iλ (λ) dλ =
Iν ( cλ0 )
R νmax
νmin
Iν (ν) dν donne Iλ (λ) =
Ex. 14.2 — On considère un train d’onde sinusoïdal de fréquence ν0 et de durée τ0 . Son amplitude complexe a peut être écrite, en un point donné, sous la forme :
a0 exp −i 2 π ν0 t pour |t| 6 τ0 /2
a(t) =
0
pour |t| > τ0 /2
1. Déterminer l’amplitude spectrale A(ν) correspondante et l’ordre de grandeur de la largeur en fréquence de cette onde. Quelle est l’intensité spectrale correspondante ?
2. Calculer et représenter graphiquement la fonction de corrélation temporelle pour ce train
d’onde.
Ex. 14.3 — On considère un paquet d’ondes ayant pour amplitude spectrale A(ν) = A0 pour
|ν − ν0 | 6 γ/2 et A(ν) = 0 pour |ν − ν0 | > γ/2. Déterminer l’amplitude de ce paquet d’ondes
en un point donné. Donner un ordre de grandeur de sa durée de cohérence. À quel type de profil
de raie ce paquet d’ondes correspond-il ?
Ex. 14.4 — On considère une vibration lumineuse d’amplitude a(t) :
0
pour t < 0
a(t) =
a0 exp −γ t exp −i 2 π ν0 t pour t > 0
a0 , γ et ν0 étant des constantes réelles positives.
1. Calculer l’amplitude spectrale A(ν) correspondante.
2. En déduire l’intensité spectrale Iν (ν). À quel profil de raie ceci correspond-il ?
3. Vérifier sur ce cas particulier la condition de conservation de l’énergie ainsi que la
relation entre les largeurs à mi-hauteur.
4. Reprendre l’étude pour a(t) = a0 exp −γ |t| exp −i 2 π ν0 t
Ex. 14.5 — Longueur de cohérence
1. Un filtre de bande passante de largeur ∆λ = 0, 3 nm centrée sur une radiation λ =
0, 5 µm est éclairé en lumière blanche. Quelle est la durée de cohérence de la lumière à
la sortie du filtre ?
2. La première mesure directe () de la largeur du spectre de fréquences d’un laser
a conduit pour ce laser à une valeur de 54 kHz. Quelle est la longueur de cohérence
correspondante ?
Ex. 14.6 — Fonction de corrélation temporelle
CRMEF / AGP-1
271
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
On considère les paquets d’ondes représentés, en point donné fixe, par les amplitudes :
a0 exp −iω0 t pour |t| 6 τ /2
a0 exp − γ2 t exp −iω0 t
a1 (t) =
et
a2 (t) =
0
0
ailleurs
1. Dessiner le graphe des fonctions ℜ(a1 ) et ℜ(a2 ). Calculer l’intégrale
Que représente-t-elle physiquement ?
2. Calculer les transformées de F OURIER e
a1 et e
a2 telles que e
a(ν) =
Z
Z
+∞
pour t > 0
ailleurs
a(t) a∗ (t) dt.
−∞
+∞
a(t) exp(i 2 π ν t) dt.
−∞
a2 |2 et interpréter physiquement.
Dessiner les graphes de |e
a1 |2 et |e
3. Calculer et représenter graphiquement les fonctions de corrélation temporelle Γ1 et Γ2 .
Définir et calculer un intervalle temporel de cohérence. Comparer cet intervalle à la
durée du paquet d’onde.
e et comparer aux fonctions |e
e et Γ
a1 |2 et |e
a 2 |2 .
4. Calculer les transformées de F OURIER Γ
1
2
Généraliser le résultat trouvé à un paquet d’ondes quelconque.
Ex. 14.7 — Étalement d’un paquet d’ondes dans un milieu dispersif
On considère le paquet d’ondes :
a(x, t) =
α
2
Z
k0 +∆k
k0 −∆k
exp i[k x − ω(k) t] dk
et on pose :
ω0
= vϕ
k0
;
dω
= vg
dk
;
d2 ω
dk 2
=A
k=k0
1. Calculer a(x, 0). Quelle est l’étendue approximative ∆x(0) du paquet d’ondes à l’instant initial t = 0 ?
2. Calculer a(x, t) à tout instant en développant la fonction ω(k) jusqu’à l’ordre un en
k − k0 . Commenter.
3. En développant la fonction ω(k) à l’ordre deux en k − k0 , mettre la fonction a(x, t)
sous la forme :
Z +∆k
α
i
a(x, t) = exp i k0 (x − vϕ t)
exp i k(x − vg t) exp − A k 2 t dk
2
2
−∆k
4. Montrer que dès que |t| est plus grand qu’un certain temps caractéristique τ = A−1 (∆k)−2 ,
l’étendue du paquet d’ondes est égale, à un facteur multiplicatif près, à A ∆k t. Un raisonnement qualitatif pourrait remplacer le calcul de l’intégrale ci-dessus. Quelle distance le paquet d’ondes a-t-il parcouru durant le temps τ ? Comparer cette distance à
l’étendue ∆x(0) à l’instant initial.
Y. E L A ZHARI
272
CRMEF / AGP-1
2.. MODÉLISATION THÉORIQUE - PAQUET D’ONDES
5. Montrer que pour un verre d’indice moyen n = 1, 5 la constante A est de l’ordre de
l’unité en u.S.I. sachant que pour un tel verre :
dn
dn
λ
= 0, 05
et
λ
= 0, 02
dλ λ=0,4 µm
dλ λ=0,8 µm
L’étalement du paquet d’ondes est-il observable ? On considérera un paquet d’ondes
pour lequel ∆ω/ω ≈ 10−4 .
Ex. 14.8 — L’agitation thermique provoque une dispersion des fréquences par effet D OP PLER.
v
α
O
D
1. Le détecteur, supposé immobile dans le référentiel d’étude, est situé au point D. Le
centre O de l’atome émetteur se déplace avec une vitesse v supposée constante. Sa
norme v = ||v|| étant très faible devant c0 , nous pouvons utiliser sans dommage les
relations de la cinématique non relativiste. En ne tenant pas compte de l’atténuation
du signal avec la distance, un signal monochromatique émis en O et reçu en D a pour
expression :
OD
soit
s(D, t) = so cos[ϕ(t)] (14.50)
s(D, t) = s0 cos ω0 t −
c0
– Déterminer la pulsation instantanée ω du signal perçu par le détecteur à partir de la
dépendance temporelle de la fonction ϕ(t).
– Exprimer en fonction du paramètre v et de l’angle α, la dérivée dOD
dt . En déduire
l’expression de la pulsation instantanée ω en fonction des paramètres ω0 , v, c0 et
α.
2. Une vapeur métallique est enfermée dans une cellule de verre.
CRMEF / AGP-1
273
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 14. SOURCES LUMINEUSES
y
cellule de gaz
(a)
D
x
f (vx )
(b)
0
∆vx
vx
Chacun des atomes contenus dans la vapeur est excité et émet une radiation quasimonochromatique vers un détecteur disposé comme indiqué en (a). Les atomes ont une
vitesse d’agitation thermique aléatoire v = vx ux + vy uy + vz uz . La loi de distribution
de la composante selon l’axe x des vitesses est une loi « en cloche » comme celle qui
est représentée en (b), avec une largeur caractéristique ∆vx . La probabilité élémentaire
que la composante selon l’axe x de la vitesse d’un atome soit comprise entre les valeurs
vx et vx + dvx est dP = f (vx ) dvx .
Estimer la largeur spectrale ∆ν de la radiation perçue par le détecteur en fonction de ν0
(fréquence dans le référentiel où l’atome est au repos), c0 et ∆vx .
3. On considère un gaz parfait monoatomique à l’équilibre thermique à la température T .
– Quelle est la valeur de la vitesse quadratique moyenne u ?
p
– En déduire celle de ux = hvx2 i.
– En déduire un ordre de grandeur de l’élargissement par effet D OPPLER ∆νDop pour
une raie visible émise par une lampe à vapeur de mercure portée à une température
de 1 000 K. Estimer la longueur de cohérence Lcoh correspondante et commenter.
On donne la masse molaire du mercure : MHg = 0, 200 kg.mol−1 .
Ex. 14.9 — Pour tenir compte des interactions entre les atomes d’un gaz, on adopte le modèle
suivante :
–l’interaction est nulle si la distance d entre les centres des deux atomes est supérieure à
une distance caractéristique d0 ;
–il y a collision si cette distance d devient égale à d0 ; dans ce cas, le rayonnement émis par
chacun des atomes est perturbé et acquiert un déphasage aléatoire par rapport au rayonnement émis avant la collision.
On définit la section efficace de collision par σ = π d20 et on note ℓ le libre parcours moyen
défini comme la distance moyenne parcourue par un atome entre deux collisions.
1. Justifier brièvement le nom donné à σ.
Y. E L A ZHARI
274
CRMEF / AGP-1
2.. MODÉLISATION THÉORIQUE - PAQUET D’ONDES
2. Le libre parcours moyen est de la forme ℓ ≃ nα σ β où n est la densité particulaire définie
comme le nombre d’atomes par unité de volume. Déterminer au moyen d’arguments
simples le signe et la valeur des paramètres α et β.
3. Pour une vapeur monoatomique, estimer la durée moyenne τcoll entre deux collisions
successives. Pour obtenir cette estimation, on assimilera la vitesse des atomes à leur vitesse quadratique moyenne u. On exprimera le résultat en fonction de la section efficace
de collision σ, de la masse atomique M , de la pression p de la vapeur, de sa température
T , ainsi que des constantes fondamentales R et NA . Estimer l’élargissement spectral
∆νcoll correspondant.
4. Estimer selon ce modèle ∆νcoll et la longueur de cohérence Lcoh pour une lampe à
vapeur de mercure haute pression en fonctionnement (pression p = 3 bar, température
T = 1 000 K). Commenter le résultat. Pour déterminer σ, on prendra d0 ≃ 5×10−10 m.
CRMEF / AGP-1
275
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE
15
INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX
ONDES COHÉRENTES ENTRE ELLES
On parle d’interférence lorsque par superposition de deux ou plusieurs ondes, l’intensité
résultante est différente de la somme des intensités.
1.
Présentation de quelques dispositifs
1.1.
Miroir de L LOYD
Un miroir plan (M) est éclairé par la lumière issue d’une source ponctuelle S quasi-monochromatique.
M
S
S′
(M)
(E)
F IGURE 15.1 – Miroir de L LOYD.
Sur la partie de l’écran interceptant le champ d’interférence on obtient une figure d’interférence constituée d’une suite de franges claires et sombres (figure 15.2).
Il y a interférence entre l’onde directe provenant de S et l’onde réfléchie par (M) et qui
semble provenir de l’image S′ de S par (M). On notera pour la suite a = S1 S2 = SS′ = 2 b.
277
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
F IGURE 15.2 – Franges d’interférences.
1.2.
Miroirs de F RESNEL
Le dispositif se compose de deux
miroirs plan (M1 ) et (M2 ) d’arête commune ∆ faisant
=
θ
≪ 1.
entre elles un angle ∆M\
,
∆M
1
2
S
M1
S1
S2
O
M2
(E)
F IGURE 15.3 – Miroirs de F RESNEL.
Sur la partie de l’écran (E) interceptant le champ d’interférence, on obtient une figure d’interférence composée d’une suite de franges claires et sombres.
Il y a interférence entre l’onde réfléchie par (M1 ) et qui semble provenir de l’image S1 de S
par (M1 ) et l’onde réfléchie par (M2 ) et qui semble provenir de l’image S2 de S par (M2 ).
Exercice
Montrer que a = S1 S2 ≈ 2 b θ où b = SO ; pour cela on montrera que OS\
1 , OS2 = 2θ
et que S1 , S2 et S sont sur un même cercle de centre O.
1.3.
Biprisme de F RESNEL
Le dispositif du biprisme de F RESNEL est constitué de deux prismes P1 et P2 de petit angle
(A ≪ 1) de même indice n accolés par leur base commune.
Sur la partie de l’écran interceptant le champ d’interférence on obtient une figure d’interférence constituée d’une suite de franges claires et sombres.
Il y a interférence entre l’onde déviée par P1 et qui semble provenir de S1 (image de S par
P1 ) et l’onde déviée par P2 et qui semble provenir de S2 (image de S par P2 ).
Exercice
Montrer que a = S1 S2 ≈ 2 b (n − 1) A où b = SO.
Y. E L A ZHARI
278
CRMEF / AGP-1
1.. PRÉSENTATION DE QUELQUES DISPOSITIFS
A
n
S1
S
O
S2
A
E
F IGURE 15.4 – Biprisme de F RESNEL.
1.4.
Bilentille de B ILLET
Le dispositif de la bilentille de B ILLET est constitué de deux demi-lentilles de même distance focale image f .
1.4.1. Observation transversale
En observation transversale les deux demi-lentilles sont décalées perpendiculairement à leur
axe optique d’une distance O1 O2 = e. Étant donné une source lumineuse S supposée ponctuelle
et monochromatique, les deux demi-lentilles L1 et S2 en donnent deux images ponctuelles
respectives S1 S2 telles que :
a = S1 S2 = e
OS
OS − f
(15.1)
O étant le milieu du segment [O1 , O2 ], OS représente la distance séparant la source S du plan
des deux demi-lentilles.
En chaque point M du champ d’interférence se superposent deux ondes qui semblent provenir de S1 et S2 . Sur l’écran E placé parallèlement à la droite S1 S2 , on obtient une succession
de franges rectilignes claires et sombres.
L1
S1
O1
S
O2
S2
(E)
L2
F IGURE 15.5 – Bilentille de B ILLET en observation transversale.
CRMEF / AGP-1
279
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
1.4.2. Observation longitudinale – Franges de M ESLIN
Les franges de M ESLIN sont obtenues en observation longitudinale. Les deux demi-lentilles
L1 et L2 sont décalées parallèlement à leur axe optique commun. D’autre part, l’écran d’observation est disposé perpendiculairement à la droite (S1 S2 ) (figure 15.6).
L1
S
O2
O1
S2
C
S1
(E)
L2
F IGURE 15.6 – Bilentille de B ILLET en observation longitudinale.
Sur l’écran E placé entre S1 et S2 perpendiculairement à la droit S1 S2 , on obtient une
succession de demi-anneaux concentriques de même centre C situé sur l’axe S1 S2 .
1.5.
Dispositif de M ICHELSON
Le dispositif interférentiel de M ICHELSON est représenté schématiquement par deux miroirs plans M1 et M2 et une lame semi-réfléchissante Sp appelée lame séparatrice. Une description plus détaillée de ce dispositif, qui joue un rôle important, sera donnée ultérieurement.
Nous distinguons deux utilisations particulières de ce dispositif. Ces deux utilisations correspondent à deux réglages extrêmes du dispositif.
1.5.1. Observation longitudinale
Les deux miroirs M1 et M2 sont perpendiculaires entre eux. Soient ℓ1 et ℓ2 leurs distances
respectives de la séparatrice Sp . Lorsqu’un tel dispositif est éclairé par une source ponctuelle
alors il en fabrique deux images :
– S1 image de S successivement par Sp puis M1 ;
– S2 image de S successivement par M2 puis Sp .
On montre dans ce cas, que la distance a entre les deux source secondaires est donnée par :
a = S1 S2 = 2 |ℓ2 − ℓ1 |
(15.2)
1.5.2. Observation transversale
Les deux miroirs M1 et M2 sont à égale distance ℓ de la séparatrice. Ils sont inclinés chacun
d’un très faible angle α/2 de telle sorte que l’image M′2 de M2 par la séparatrice Sp fait un
angle α le miroir M1 .
Y. E L A ZHARI
280
CRMEF / AGP-1
2.. CONDITIONS D’ÉTUDE
La séparatrice Sp donne de la source ponctuelle S une image So . Les source secondaires S1
et S2 peuvent être considérées comme étant les images de So respectivement par M1 et M′2 . On
montre dans ce cas, que la distance a entre les deux source secondaires est donnée par :
(15.3)
a = S1 S2 = 2 α (ℓ0 + ℓ)
S2
S1
S1
S2
2α
ℓ1 + ℓ0
M′2
M1
M1
Sp
ℓ1
S
ℓ0
ℓ2
ℓ0
Sp
ℓ
ℓ2 + ℓ0
S20
S
ℓ0
ℓ
M2
M2
S10
So
( E)
( E)
(a) observation longitudinale
(b) observation transversale
F IGURE 15.7 – Schéma de principe du dispositif interférentiel de M ICHELSON.
1.6.
Trous de YOUNG
Dans un écran opaque D sont aménagées deux trous T1 et T2 de faible diamètre. Ce dispositif est éclairé par une source ponctuelle et monochromatique S. Sur un écran convenablement
disposé parallèlement à T1 T2 , la diffraction de la lumière au niveau de T1 et T2 fait apparaître
un champ d’interférence où apparaît une succession de franges claires et sombres.
2.
Conditions d’étude
2.1.
Intensité lumineuse
Considérons une onde lumineuse monochromatique et quasi plane 1 décrite par le champ
électrique :
E(M, t) = E0 (r) exp i [k0 L (r) − ω t + ϕal ] = E0 (r) exp i φ (r, t)
(15.4)
1. L’étude du dispositif des trous de Y OUNG sort du cadre de cette étude. Il sera bordé dans le chapitre sur la
diffraction des ondes lumineuses.
CRMEF / AGP-1
281
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
T1
S
T2
D
( E)
F IGURE 15.8 – Trous de YOUNG.
avec φ (r, t) = k0 L (r) − ω t + ϕal ; ϕal est une phase aléatoire introduite pour tenir compte
de l’incohérence de la source. Le vecteur de P OYNTING correspondant s’écrit alors :
Π=
1
[E × H∗0 + E∗0 × H0 + E0 × H0 exp 2i φ (r, t) + E∗0 × H∗0 exp −2i φ (r, t)](15.5)
4 0
Or :
• la période T des ondes lumineuses est de l’ordre de 10−15 s dans le domaine visible ;
• le temps de réponse ∆tR des différents détecteurs utilisés dans la pratique est très grand
devant T :
– pour l’œil ∆tR est de l’ordre de 0, 01 s à 0, 1 s ;
– pour les photodiodes usuelles ∆tR ≈ 1 µs ;
– pour les photodiodes les plus rapides et les tubes photomultiplicateurs ∆tR peut
descendre jusqu’à environ 1 ns.
Dans tous les cas :
T ≪ ∆tR
(15.6)
Ainsi Π (M, t) varie un très grand nombre de fois pendant une durée de l’ordre de ∆tR . Les
récepteurs de lumière ne sont alors sensibles qu’à la valeur moyenne de Π (M, t). L’intensité
lumineuse I(M) en un point M sera alors définie par :
Z t0 +∆t
1
||Π (M, t) || dt
avec
∆t & ∆tR (15.7)
I (M) = h||Π (M, t) ||i∆t =
∆t t0
c’est-à-dire :
n ε 0 c0
|E0 (M)|2 = K |E0 (M)|2
2
où K est une constante réelle positive. On retiendra :
I(M) =
I(M) = K E(M, t) · E∗ (M, t)
(15.8)
(15.9)
et on se rappellera qu’il s’agit d’une valeur moyenne dans le temps sur une durée supérieure ou
égale au temps de réponse du récepteur de lumière utilisé.
Les récepteurs de lumière sont dits quadratiques car ils sont sensibles au module au carré
du champ électrique.
Y. E L A ZHARI
282
CRMEF / AGP-1
2.. CONDITIONS D’ÉTUDE
2.2.
Approximation scalaire
Les dispositifs interférentiels décrits au §1. peuvent être tous ramenés à un système de deux
sources secondaires S1 et S2 émettant, vers le champ d’interférence, des ondes décrites par les
champs électriques E1 et E2 (figure 15.9).
x
E1
S1
E2
M
α
y
z
S2
F IGURE 15.9
Dans la pratique la distance S1 S2 est de l’ordre du millimètre alors que les distances S1 M
et S2 M sont de l’ordre du mètre. Il en résulte que l’angle α entre les directions de propagation
des deux ondes est très faible (α ≪ 1). Nous confondons alors dans la suite de ce paragraphe
ces deux directions S1 M et S2 M avec l’axe Oz (figure 15.9). La transversalité des champs
électriques 2 impose alors :
E 1 · uz = 0
et
E 2 · uz = 0
(15.10)
L’intensité lumineuse résultante en un point M quelconque du champ d’interférence est
donnée par la valeur moyenne du module au carré du champ électrique résultant au point M et
s’écrit :
I = K ||E||2
(15.11)
où h· · · i désigne la valeur moyenne temporelle calculée sur une durée de l’ordre du temps de
réponse du détecteur utilisé. E étant le champ résultant au point M donné, d’après le principe
de superposition, par :
E = E1 + E2
(15.12)
Nous nous proposons dans ce paragraphe de montrer que, dans le cas d’une lumière non polarisée 3 , nous pouvons nous contenter d’une description scalaire de l’onde lumineuse.
Commençons alors tout d’abord par décomposer le champs électrique de chacune des deux
ondes en deux composantes selon les deux axes Ox et Oy :
E1 = E1x ux + E1y uy
(15.13)
E2 = E2x ux + E2y uy
(15.14)
et
2. Les ondes étant encore supposées quasi-planes.
3. Les interférences en lumière polarisée seront traitées au §4.
CRMEF / AGP-1
283
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
Dans le cas d’une onde lumineuse non polarisée, le déphasage entre chacune des composantes du champ électrique varie rapidement et aléatoirement au cours du temps.
L’intensité lumineuse résultante s’écrit alors :
I(M) = K [E1x (M, t) + E2x (M, t)]2 + K [E1y (M, t) + E2y (M, t)]2
(15.15)
L’onde lumineuse étant non polarisée, les deux directions Ox et Oy sont équivalentes de sorte
que :
(E1x + E2x )2 = (E1y + E2y )2
(15.16)
I(M) = K [a1 (M, t) + a2 (M, t)]2
(15.17)
On peut alors écrire :
a(M, t) est une grandeur scalaire décrivant l’onde lumineuse. Elle peut être approchée à l’une
quelconque des composantes du champ électrique de l’onde lumineuse. Il faut noter que, comme
le champ électrique E(M, t), la grandeur scalaire a(M, t) obéit au principe de superposition.
2.3.
Conditions d’interférence
Considérons, en un point M donné, les deux vibrations lumineuses :
a1 (M, t) =
a2 (M, t) =
a01 cos(ω1 t − ϕ1 )
a02 cos(ω2 t − ϕ2 )
(15.18)
(15.19)
Aux points M où se superposent ces deux vibrations, l’onde résultante a pour amplitude :
a(M, t) = a01 cos(ω1 t − ϕ1 ) + a02 cos(ω2 t − ϕ2 )
L’intensité lumineuse correspondante est donnée par :
Z t0 +∆t
1
K a2 (M, t) dt
I=
∆t t0
(15.20)
(15.21)
où ∆t est de l’ordre du temps de réponse ∆tR du détecteur et K une constante réelle positive.
Un calcul simple donne :
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 {hcos [(ω1 + ω2 ) t − (ϕ1 + ϕ2 )]i∆t + hcos [(ω2 − ω1 ) t − (ϕ2 − ϕ1 )]i∆t
(15.22)
}
où l’on a posé :
1
1
K a201
et
I2 = K a202
(15.23)
2
2
Dans le domaine optique (UV-VIS-IR), les temps de réponse des détecteurs sont beaucoup
plus grands que les périodes des vibrations :
I1 =
(ω1 + ω2 ) ∆t ≫ 1
(15.24)
hcos [(ω1 + ω2 ) t − (ϕ1 + ϕ2 )]i∆t = 0
(15.25)
de sorte que :
il reste alors :
I = I1 + I2 + 2
Y. E L A ZHARI
p
I1 I2 hcos [(ω2 − ω1 ) t − (ϕ2 − ϕ1 )]i∆t
284
(15.26)
CRMEF / AGP-1
2.. CONDITIONS D’ÉTUDE
2.3.1. Expériences conventionnelles
Pour qu’il y ait interférence entre les deux vibrations lumineuses, il est indispensable que le
terme
hcos [(ω1 − ω2 ) t − (ϕ1 − ϕ2 )]i∆t ne soit pas identiquement nul.
Peut-on alors avoir des interférences entre deux vibrations de fréquences différentes ? Pour
ce faire, il faut que :
2π
> ∆tR
∆ω
où
∆ω = |ω1 − ω2 |
(15.27)
c’est-à-dire :
∆ω 6
2π
∆tR
(15.28)
∆ω =
2π
∆tR
(15.29)
à la limite, on peut tolérer :
soit :
ν0
= ν0 ∆tR
∆ν
(15.30)
Numériquement, dans le domaine optique (UV-VIS-PIR 4 ), ν0 ≈ 1014 Hz et, pour les détecteurs usuels (photodiode) ∆tR ≈ 10−6 s de sorte que :
ν0
λ0
=
= 108
∆ν
∆λ
(15.31)
Il faut noter que dans ce cas, même les spectroscopes optiques les plus performants sont incapables de séparer de telles radiations. Ainsi pour pouvoir réaliser des interférences lumineuses,
il faut disposer de vibrations de même fréquence. Cette condition est appelée condition d’isochronisme. Elle implique :
p
(15.32)
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 hcos(ϕ1 − ϕ2 )i∆t
Cette expression de l’intensité résultante de la superposition des deux vibrations permet
de dégager une autre condition d’interférence. En effet, pour qu’il puisse y avoir interférence
entre ces deux vibrations, il faut que le déphasage ϕ1 − ϕ2 soit stationnaire sur une durée de
l’ordre de ∆tR . Cette conditions explique pourquoi deux sources conventionnelles distinctes
ne permettent pas d’obtenir des interférences lumineuses.
Des sources permettant d’obtenir des vibrations lumineuses telle que leur différence de
phase soit stationnaire sont dites cohérentes entre elles. Dans ce cas :
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
avec
ϕ = ϕ1 − ϕ2
(15.33)
4. Ultra-violet – visible – proche Infra-rouge.
CRMEF / AGP-1
285
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
2.3.2. Battements optiques
Si ω1 est proche de ω2 de telle sorte que ∆ν soit de l’ordre du mégahertz (domaine radiofréquence) et si ϕ1 − ϕ2 est stationnaire sur une durée de l’ordre de ∆tR alors un détecteur rapide
(∆tR ≈ 10 ns) et une électronique adéquate permettent de suivre les variations temporelles
de :
p
I(t) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos [(ω1 − ω2 ) t − (ϕ1 − ϕ2 )]
(15.34)
On obtient alors des battements optiques entre les deux sources. Dans la pratique, de telles
expériences (non conventionnelles) sont réalisées à l’aide de lasers stabilisés.
2.4.
Production de deux vibrations lumineuses cohérentes entre
elles
Les dispositifs expérimentaux décrits au §1. permettent de produire de telles vibrations. On
peut les classer en deux catégories :
1. les dispositifs à division du front d’onde :
– Miroir de L LOYD ;
– Miroirs de F RESNEL ;
– Biprisme de F RESNEL ;
– Bilentille de B ILLET (observations transversale et longitudinale) ;
2. les dispositifs à division d’amplitude :
– Lame de L UMMER ;
– Dispositif de M ICHELSON ;
– Dispositif de M ACH -Z EHNDER.
3.
Figure d’interférence
Nous pouvons à présent nous attaquer au calcul théorique de la figure d’interférence. Pour
cela nous allons considérer la source primaire comme étant ponctuelle et monochromatique.
La figure ?? représente un modèle simplifié d’un dispositif interférentiel à deux ondes. Nous
aurons ainsi à superposer les ondes sphériques issues des deux sources secondaires obtenues
par dédoublement de la source primaire (S).
3.1.
Intensité en un point du champ d’interférence
On se propose de déterminer l’expression de l’intensité lumineuse I en un point M du
champ d’interférence. Pour cela, on utilise le modèle représenté figure 15.10.
Y. E L A ZHARI
286
CRMEF / AGP-1
3.. FIGURE D’INTERFÉRENCE
S
r01
M
r1
S1
r02
r2
S2
F IGURE 15.10 – Modèle simplifié d’un dispositif interférentiel à deux ondes.
3.1.1. Expression de base
Au niveau de la source S, l’amplitude de la vibration lumineuse peut s’écrire sous la forme :
(15.35)
a(S, t) = a0 exp −i (ω t + ϕa )
Pour décrire la propagation, considérons le modèle d’onde sphérique. Cela permet d’obtenir
l’amplitude de la vibration lumineuse au niveau de S1 à partir de :
a(S1 , t) =
α1
a (t − r01 /c)
r01 S
où
(15.36)
c = c0 /n
ce qui donne :
a(S1 , t) =
α1 a0
exp −i (ω t + ϕa − ϕ01 )
r01
avec
ϕ01 =
n ω r01
c0
(15.37)
n ω r02
c0
(15.38)
De même, la vibration lumineuse au niveau de S2 peut être écrite :
a(S2 , t) =
α2 a0
exp −i (ω t + ϕa − ϕ02 )
r02
avec
ϕ02 =
La même technique permet de déterminer l’amplitude au point d’observation M de l’onde passant par S1 selon :
β1
a(S1 , t − r1 /c)
r1
(15.39)
α1 β1
a0 exp −i (ω t + ϕa − ϕ01 − ϕ1 )
r01 r1
(15.40)
aS1 (M, t) =
ce qui donne :
aS1 (M, t) =
et que l’on peut écrire sous la forme :
aS1 (M, t) = a01 exp −i (ω t + ϕa − ϕ01 − ϕ1 )
avec
ϕ1 =
n ω r1
c0
(15.41)
De la même manière, l’amplitude au point d’observation M de l’onde passant par S2 peut
s’écrire :
n ω r2
aS2 (M, t) = a02 exp −i (ω t + ϕa − ϕ02 − ϕ2 )
avec
ϕ2 =
(15.42)
c0
CRMEF / AGP-1
287
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
Dans la pratique, les distances r1 et r2 varient très peu d’un point d’observation à un autre,
de sorte que l’on puisse négliger les variations de a01 et a02 en fonction de r1 et r2 .
L’amplitude résultante au point d’observation M est alors donnée par (principe de superposition) :
a(M, t) = [a01 + a02 exp i ϕ(M)] exp −i (ω t + ϕa − ϕ01 − ϕ1 )
(15.43)
nω
[(r2 − r1 ) + (r02 − r01 )]
c0
(15.44)
avec :
ϕ(M) = ϕ2 − ϕ1 + ϕ02 − ϕ01 =
L’intensité lumineuse résultante au point M est, quant à elle donnée par :
I(M) = K a(M, t) a∗ (M, t)
(15.45)
et peut se mettre sans difficulté sous la forme :
I(M) = I1 + I2 + 2
p
I1 I2 cos ϕ(M)
(15.46)
3.1.2. Lien avec la fonction de corrélation temporelle
Considérons un dispositif interférentiel permettant de superposer deux ondes issues d’une
même source primaire ponctuelle S. En un point M du champ d’interférence se superposent
deux ondes décrites par les amplitudes a1 (t) et a2 (t) de sorte que l’amplitude résultante s’écrit :
(15.47)
a(t) = a1 (t) + a2 (t)
L’amplitude a2 (t) peut s’exprimer à partir de a1 (t) si l’on tient compte du retard temporel
algébrique :
τ (M) =
(SS2 M ) − (SS1 M )
c0
(15.48)
ainsi que de l’éventuelle différence d’intensité entre les sources secondaires S1 et S2 :
a2 (t) = βa1 (t + τ )
(15.49)
L’intensité résultante en M est alors donnée par la valeur moyenne du module au carré de a,
soit :
I(M) = |a(t)|2
∆t
(15.50)
ce qui donne, compte tenu de l’expression de a et a2 (t) :
I(M) = h[a1 (t) + β a1 (t + τ )][a∗1 (t) + β a∗1 (t + τ )]i∆t
(15.51)
soit après développement :
I(M) = ha1 (t)a∗1 (t)i∆t + ha2 (t)a∗2 (t)i∆t + β ha1 (t)a∗1 (t + τ )i∆t + β ha∗1 (t)a1 (t + τ )i(15.52)
∆t
Y. E L A ZHARI
288
CRMEF / AGP-1
3.. FIGURE D’INTERFÉRENCE
Or la fonction de corrélation temporelle est définie par :
Ψ(τ ) =
ha(t + τ ) a∗ (t)i∆t
ha(t) a∗ (t)i∆t
(15.53)
donc :
ha1 (t)a∗1 (t + τ )i∆t + ha∗1 (t)a1 (t + τ )i∆t = 2 ha1 (t) a∗1 (t)i∆t ℜ [Ψ( τ )]
(15.54)
D’autre part I1 = ha1 (t)a∗1 (t)i∆t et I2 = ha2 (t)a∗2 (t)i∆t = β 2 I1 de sorte que :
p
I(τ ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 ℜ [Ψ(τ )]
(15.55)
Cette expression montre que les expériences d’interférences lumineuses peuvent servir pour
accéder à la fonction de corrélation temporelle de la source utilisée pour éclairer le dispositif
interférentiel.
3.2.
Description de la figure d’interférence
3.2.1. Ordre d’interférence
Nous avons vu, qu’en tout point du champ d’interférence, l’intensité lumineuse I(M) est
donnée par la relation :
p
I(M) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ(M)
(15.56)
La figure 15.11 donne les variations de l’intensité lumineuse en fonction du déphasage entre
les deux ondes qui interfèrent.
I(ϕ)
IMAX
I1 + I2
IMIN
−5 π −4 π −3 π −2 π
−π
ϕ
0
π
2π
3π
4π
5π
F IGURE 15.11 – Variations de l’intensité lumineuse en fonction du déphasage ϕ.
√L’intensité est maximale lorsque ϕ = k 2 π, où k ∈ Z. Elle vaut alors IMAX = I1 + I2 +
I1 I2 .
√
De même l’intensité est minimale, et vaut IMIN = I1 + I2 − 2 I1 I2 , lorsque ϕ = (k +
1
2 ) 2 π, où k ∈ Z.
2
CRMEF / AGP-1
289
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
Dans le cas général, nous définissons l’ordre d’interférence p(M) au point M tel que :
ϕ(M) = p(M) 2 π
(15.57)
L’intensité lumineuse est alors maximale lorsque l’ordre d’interférence est entier et minimale lorsque l’ordre d’interférence est demi-entier.
3.2.2. Expression pratique du déphasage
Le déphasage géométrique entre les deux ondes qui interfèrent au point M est donné par :
ϕ(M) =
nω
[(r02 + r2 ) − (r01 + r1 )]
c0
(15.58)
En introduisant la longueur d’onde λ0 de la radiation telle que :
2π
ω
= k0 =
λ0
c0
(15.59)
on peut écrire :
ϕ(M) =
2π
[n (r02 + r2 ) − n (r01 + r1 )]
λ0
(15.60)
Soit, en fonction des chemins optiques :
ϕ(M) =
2π
[(SS2 M ) − (SS1 M )]
λ0
(15.61)
Cette expression suppose que les rayons lumineux qui interfèrent au point M passent effectivement par S1 et S2 . Il arrive parfois que les rayons lumineux soient interceptés par l’écran
avant de passer par ces points comme dans le cas de l’expérience des franges de M ESLIN. Dans
ce cas, on peut continuer à utiliser l’expression précédente du déphasage à condition de compter
le chemins optiques algébriquement 5 :
ϕ(M) =
2π (SS2 M ) − (SS1 M )
λ0
(15.62)
On définit la différence de marche δ au point M par :
δ(M) = (SS2 M ) − (SS1 M )
(15.63)
de sorte que :
ϕ(M) =
2 π δ(M)
λ0
(15.64)
5. Un chemin optique le long d’un trajet virtuel sera compté négativement.
Y. E L A ZHARI
290
CRMEF / AGP-1
3.. FIGURE D’INTERFÉRENCE
3.2.3. Déphasage supplémentaire
En plus du déphasage géométrique exprimé ci-dessus, il est parfois nécessaire d’ajouter un
déphasage supplémentaire de π. Ceci est dû au fait que la phase d’une onde est rallongée de π
lorsque :
– l’onde subit une réflexion métallique ;
– l’onde subit une réflexion vitreuse sur un dioptre séparant un milieu moins réfringent
d’un milieu plus réfringent ;
– l’onde passe par un point de convergence.
C’est le cas notamment :
– du miroir de L LOYD où il y a interférence entre directe issue de source primaire et de
l’onde qui subit une réflexion sur le miroir ;
– des bilentilles de B ILLET en observation longitudinale puisque dans ce cas l’une des deux
ondes passe par son point de convergence alors que l’autre est interceptée par l’écran
avant de passer par le point de convergence correspondant ;
– de l’interféromètre de M ICHELSON.
Par contre, il n’est pas nécessaire, en général, de prendre en compte de déphasage supplémentaire dans le cas des autres dispositifs.
3.2.4. Facteur de contraste
Le facteur de contraste C est défini par :
IMAX − IMIN
(15.65)
IMAX + IMIN
√
√
= I1 + I2 + 2 I1 I2 et IMIN = I1 + I2 − 2 I1 I2 de sorte que
C=
D’après ce qui précède IMAX
l’on obtient :
C=
√
2 I1 I2
I1 + I2
(15.66)
L’expression de l’intensité en un point M du champ d’interférence peut alors s’écrire en fonction de C :
I(M) = I0 [1 + C cos ϕ(M)]
(15.67)
où l’on a posé I0 = I1 + I2 .
La formule (15.66) montre qu’en réalité, le facteur de contraste C ne dépend que du rapport
des intensités I1 et I2 . La figure 15.12 donne une représentation de C en fonction de ce rapport
I1
I2 .
On peut remarquer en particulier que le meilleur contraste (C = 1) est obtenu lorsque
I1 = I2 et se dégrade dès que l’on s’écarte suffisamment de cette situation. On en déduit que,
dans la pratique il faut veiller à se que les intensités relatives aux deux sources secondaires
soient approximativement égale pour avoir un bon contraste de la figure d’interférence.
CRMEF / AGP-1
291
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
C
1
0
I1
I2
1
F IGURE 15.12 – Variation du facteur de contraste en fonction du rapport des intensités des deux
sources secondaires.
3.2.5. Surfaces d’égale intensité et franges d’interférence
En tout point M du champ d’interférence, l’intensité est donnée par :
I(M) = I0 [1 + C cos ϕ(M)]
(15.68)
Une surface iso-intensité est l’ensemble des points M vérifiant :
I(M) = constante
(15.69)
ϕ(M) = constante
(15.70)
soit :
On passe d’une surface à une autre par changement de la valeur de la constante. Compte tenu de
l’expression (15.62) de ϕ(M) et du fait que les chemins optiques (SS1 ) et (SS2 ) ne dépendent
pas de M, on déduit l’équation des surfaces iso-intensité :
(S2 M ) − (S1 M ) = constante
(15.71)
Dans le cas fréquent où les ondes qui interfèrent effectivement par S1 et S2 avant d’atteindre
M et où l’indice de réfraction du milieu de propagation est constant, l’équation des surfaces isointensité devient :
S2 M − S1 M = constante
(15.72)
Les surfaces iso-intensité sont alors des hyperboloïdes de révolution autour de la droite joignant
leurs foyers S1 et S2 . La figure 15.13 donne une représentation graphique de telles surfaces.
L’intersection des surfaces iso-intensité et un écran d’observation donne des franges d’interférence. La forme des franges d’interférence dépend de la disposition de l’écran d’observation.
Deux situations particulières sont très utilisées dans la pratiques.
– En observation transversale, l’écran est disposé parallèlement à la droite S1 S2 . Les
franges sont alors des hyperboles de révolution autour de la projection orthogonale de
la droite S1 S2 sur l’écran. Comme l’observation est limitée au voisinage du centre C de
la figure d’interférence, les franges apparaissent rectilignes.
Y. E L A ZHARI
292
CRMEF / AGP-1
3.. FIGURE D’INTERFÉRENCE
x
S1
z
S2
y
F IGURE 15.13 – Représentation schématique de quelques surfaces iso-intensité.
– En observation longitudinale, l’écran est disposé perpendiculairement à la droite S1 S2 .
Les franges sont alors des anneaux concentriques. Leur centre commun C′ est l’intersection de la droite S1 S2 avec l’écran.
Remarque
Dans le cas du dispositif de la bilentille de B ILLET en observation longitudinale (figure 15.6),
le chemin optique (S1 M ) doit être compté négativement. L’équation des surfaces iso-intensité
s’écrit alors :
S2 M + S1 M = constante
(15.73)
Ce sont des ellipsoïdes de révolution autour de l’axe S1 S2 joignant leurs deux foyers S1 et
S2 . Leur intersection avec l’écran disposé perpendiculairement à la droite S1 S2 (observation
longitudinale) donne des franges circulaires sous forme d’anneaux concentriques.
3.2.6. Observation transversale – Interfrange
En observation transversale, l’écran est disposé parallèlement à la droite S1 S2 . Les coordonnées des différents points intervenant dans cette étude (figure 15.14) sont données par :
S1 (a/2, 0, 0), S2 (−a/2, 0, 0), C(0, 0, D) et M(x, y, D) de sorte que :
r12
=
r22
=
a
(x − )2 + y 2 + z 2
2
a
(x + )2 + y 2 + z 2
2
(15.74)
(15.75)
Dans la pratique, on se limite 6 à l’observation au voisinage du centre C de la figure d’interférence. Les coordonnées x et y du point M(x, y, D) sont alors telles que |x| ≪ D et |y| ≪ D.
6. Les principaux causes de la limitation seront étudiées dans le chapitre suivant.
CRMEF / AGP-1
293
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
x
M
r1
S1
r2
C
z
S2
D
y
F IGURE 15.14 – Observation transversale.
On peut alors écrire successivement :
r2 − r1
r22 − r12
r1 + r2
r22 − r12
2D
a
a i
1 h
(x + )2 − (x − )2
2D
2
2
=
≈
≈
d’où :
ax
D
L’ordre d’interférence au point M s’écrit alors :
nax
p(M) = p0 +
λ0 D
r2 − r1 ≈
(15.76)
(15.77)
(15.78)
(15.79)
(15.80)
où p0 est l’ordre d’interférence en C donné par :
p0 =
n (r02 − r01 )
λ0
(15.81)
Les franges d’interférence sont donc des segments de droites parallèles à l’axe Oy c’est-à-dire
perpendiculaires à la droite S1 S2 .
Les franges claires correspondent à un ordre d’interférence entier p = k, entier (k ∈ Z).
Leurs positions xc,k sont données par :
λ0 D
(15.82)
na
Les franges claires sont donc équidistantes. L’interfrange i est la distance entre deux franges
claires consécutives. Elle est donnée par :
xc,k = (k − p0 )
i=
Y. E L A ZHARI
λD
a
(15.83)
294
CRMEF / AGP-1
3.. FIGURE D’INTERFÉRENCE
où l’on a posé λ = λ0 /n.
Les franges sombres correspondent, quant à elles, à un ordre d’interférence p = k + 1/2
demi-entier (k ∈ Z). Leurs positions xc,k sont données par :
xs,k = (k +
λ0 D
1
− p0 )
2
na
(15.84)
Deux franges sombres consécutives sont donc séparées par la même distance interfrange i.
On définit la frange centrale telle que :
(15.85)
p(M) = 0
c’est-à-dire :
x0 = −
D
(r02 − r01 )
a
(15.86)
On peut remarquer, en particulier, que la position de la frange centrale ne dépend pas de la
longueur d’onde. On dit que la frange centrale est achromatique.
3.2.7. Observation longitudinale – Rayon des anneaux
En observation longitudinale, l’écran est placé perpendiculairement à la droite S1 S2 (figure
15.15). La différence de marche optique δ s’exprime en fonction de r1 et r2 . On peut écrire :
r1 = ||r1 ||
avec
r1 = S1 M = OM − OS1
(15.87)
r2 = ||r2 ||
avec
r2 = S2 M = OM − OS2
La distance d étant en général très grande devant la distance a qui sépare les deux sources, les
distances r1 et r2 sont données, à l’ordre un, par :

a
 r1 ≈ r − cos θ
2
(15.88)
 r2 ≈ r + a cos θ
2
où r = ||OM|| et θ est l’angle que fait OM avec Ox. Il vient alors :
(15.89)
r2 − r1 ≈ a cos θ
On se limite à l’observation au voisinage du centre C′ de la figure d’interférence. L’angle θ
est alors petit et les coordonnées y et z du point d’observation M (0, y, z) sont alors telles que
|y| ≪ d et |z| ≪ d. On a alors :
D’où l’on obtient :
cos θ = p
d
d2 + y 2 + z 2
≈1−
y2 + z 2
2 d2
y2 + z 2
r2 − r1 ≈ a 1 −
2 d2
CRMEF / AGP-1
295
(15.90)
(15.91)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
y
M
r2
r1
O
S2
C′
S1
d
x
z
F IGURE 15.15 – Observation longitudinale.
L’ordre d’interférence p(M) s’écrit alors au point M :
p(M)
n (r2 − r1 )
λ
0
na
y2 + z 2
≈ p0 +
1−
λ0
2 d2
= p0 +
(15.92)
où :
p0 =
n (r02 − r01 )
λ0
(15.93)
En notant p(C′ ) = p0 + n a/λ0 l’ordre d’interférence au centre C′ , on peut écrire :
p(M) ≈ p(C′ ) −
na
y2 + z 2
2λ0 d2
(15.94)
On peut remarquer tout d’abord que l’ordre d’interférence est maximum au centre C′ . Les
franges d’interférence sont telles que p(M) = constante, elles ont comme équation cartésienne :
r
2 λ0
2
2
2
y +z =R
avec
R=d
[p(C′ ) − p(M)]
(15.95)
na
Ce sont donc des anneaux concentriques de centre C′ et de rayon R.
Les anneaux clairs sont tels que p(M) = k, k ∈ Z, ils ont pour rayons :
r
2 λ0
[p(C′ ) − k]
Rc,k = d
na
(15.96)
Posons :
p(C′ ) = E[p(C′ )] + ǫ
Y. E L A ZHARI
296
(15.97)
CRMEF / AGP-1
4.. RETOUR SUR L’HYPOTHÈSE SCALAIRE – INTERFÉRENCES EN LUMIÈRE
POLARISÉE
où E[p(C′ )] = k0 est la partie entière de l’ordre d’interférence au centre C′ et ǫ ∈ [0, 1[ est
l’ordre fractionnaire au centre. On obtient alors, en posant m = k0 − k :
r
2 λ0
Rc,m = d
(m + ǫ)
(15.98)
na
Les rayons des anneaux claires varient comme la racine carrée de l’entier m. Ce qui explique
que les rayons sont de plus en plus serrés lorsque l’on s’éloigne du centre (figure 15.16).
F IGURE 15.16 – Aspect de l’écran en observation longitudinale. Les anneaux se resserrent
lorsque l’on s’éloigne du centre.
Les anneaux sombres sont tels que p(M) = k + 12 , k ∈ Z. Leurs rayons sont donnés par :
s
2 λ0
1
p(C′ ) − k −
(15.99)
Rs,k = d
na
2
Remarque : défilement des anneaux par variation de a
q
Le rayon de l’anneau clair d’ordre k (élevé) est donné par Rc,k = d 2 − 2nλa0 k ; lorsque a
diminue, Rc,k diminue jusqu’à ce que k λ0 /n a devienne égal à 1, l’anneau disparaît alors
au centre C′ de la figure d’interférence.
4.
Retour sur l’hypothèse scalaire – Interférences en
lumière polarisée
L’étude précédente a été menée en supposant les ondes non polarisées. Cette hypothèse
est justifiée lorsque l’on utilise des sources à spectre continu ou de raies, les trains d’ondes
primaires ayant une polarisation aléatoires.
Il est cependant possible de polariser les trains d’ondes secondaires et dans ce cas l’addition
des champs en M doit être menée vectoriellement.
Considérons en M la superposition de deux ondes monochromatiques définies par :
E1 (r, t) = a1 exp −iα1 ux + a2 exp −iα2 uy + a3 exp −iα3 uz
CRMEF / AGP-1
297
(15.100)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
et :
E2 (r, t) = b1 exp −iβ1 ux + b2 exp −iβ2 uy + b3 exp −iβ3 uz
(15.101)
L’intensité résultante au point M s’écrit alors :
I
=
=
=
K |E1 + E2 |2
K |E1 |2 + |E2 |2 + hE1 · E∗2 + E∗1 · E2 i
I1 + I2 + K hE1 · E∗2 + E∗1 · E2 i
K étant une constante réelle positive. On peut introduire les intensités I1 et I2 correspondant à
chacune des deux ondes :
I1 = K
3
X
i=1
|ai |2
et
I2 = K
3
X
i=1
|bi |2
(15.102)
Par ailleurs :
hE1 · E∗2 + E∗1 · E2 i = 2
X
i
ai bi cos (βi − αi )
(15.103)
Si le milieu de propagation est isotrope, alors :
βi − αi = k0 δ =
2π
δ
λ0
(15.104)
de sorte que :
I = I1 + I2 + 2 K (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) cos
2π δ
λ0
(15.105)
On retrouve ainsi une expression analogue à celle obtenue avec des ondes non polarisées. Supposons que les ondes se propagent selon la direction moyenne de uz , alors a3 = b3 = 0.
– Si E1 est polarisé selon ux (a2 = 0) et E2 polarisé selon uy (b1 = 0) le terme d’interférence est nul et l’on n’observe pas d’interférences en M. C’est la situation de l’expérience
de F RESNEL – A RAGO qui a permis de montrer qu’il ne peut y avoir interférence entre
deux ondes polarisées dans deux directions perpendiculaires.
\
– Plus généralement, si les deux ondes sont polarisées rectilignement et si (E
1 , E2 = θ)
alors l’intensité lumineuse au point M est donnée par :
I = I1 + I2 + 2
p
2πδ
I1 I2 cos θ cos
λ0
(15.106)
On remarque alors que le contraste des franges d’interférence dépend de la polarisation
des ondes considérées.
Y. E L A ZHARI
298
CRMEF / AGP-1
4.. RETOUR SUR L’HYPOTHÈSE SCALAIRE – INTERFÉRENCES EN LUMIÈRE
POLARISÉE
– Dans le cas de paquets d’ondes émis avec une polarisation aléatoire, ai et bi varient
aléatoirement et rapidement dans le temps et l’expression de I devient :
+
+
* 2
+
* 2
* 2
X
X
X
2πδ
2
2
ai bi cos
bi + 2 K
(15.107)
ai + K
I =K
λ0
i=1
i=1
i=1
or, en prenant des ondes se propageant au voisinage de uz , a21 = a22 = a2 , b21 =
b22 = b2 et ha1 b1 i = ha2 b2 i ≈ ab (nombre de trains d’ondes arrivant en M pendant
une durée correspondant au temps de réponse du récepteur très élevé). D’où :
2πδ
I = 2 K a2 + b2 + 2 a b cos
(15.108)
λ0
soit :
I = I1 + I2 + 2
p
2πδ
I1 I2 cos
λ0
(15.109)
On retrouve donc bien ainsi l’expression de l’intensité établie dans le cadre du modèle
scalaire.
CRMEF / AGP-1
299
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 15. INTERFÉRENCES NON LOCALISÉES ENTRE DEUX ONDES
COHÉRENTES ENTRE ELLES
Exercices du chapitre 15
Ex. 15.1 — E
1. E
Ex. 15.2 — Étude de différent cas
1. interférences entre deux ondes polarisées circulairement
2. interférences entre deux ondes planes
3. utilisation des lentilles dans un montages à trous de YOUNG
4. Démontrer la généralisation de δ = (SS2 M ) − (SS1 M ) dans le cas du dispositif de
M ESLIN.
5. D
Y. E L A ZHARI
300
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
16
COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié les interférences lumineuses produites à l’aide
de dispositifs adéquats éclairés par une source supposée être ponctuelle et monochromatique.
Dans le présent chapitre, nous allons revenir sur ces deux hypothèses pour étudier successivement l’influence sur la figure d’interférence de :
– la non monochromaticité de la source ou sa cohérence temporelle ;
– l’étendue spatiale de la source et sa cohérence spatiale.
1.
Limitation due à la cohérence temporelle
1.1.
Interprétation en terme de trains d’ondes – Longueur de
cohérence
Considérons un dispositif interférentiel à deux ondes. Les ondes qui interfèrent semblent
provenir des deux sources secondaires S1 et S2 obtenues par dédoublement à l’aide du dispositif
interférentiel de la source primaire S.
Pour qu’il y ait interférence en un point M du champ d’interférence il faut qu’il y ait superposition de deux trains d’ondes fils issus d’un même train d’ondes père. La source primaire
n’étant pas rigoureusement monochromatique, les trains d’ondes ont une longueur finie et il
faut alors distinguer deux cas :
– la différence de marche δ(M) au point M est inférieur à la longueur moyenne des trains
d’ondes. Dans ce cas, il y effectivement superposition des trains d’ondes issus d’un même
train d’onde initial, la différence de phase est stationnaire et on observe des interférences
en ce point ;
– si par contre la différence de marche δ(M) au point M est supérieure à la longueur
moyenne des trains d’onde, alors les trains d’ondes qui se superposent au point M proviennent de trains d’ondes initiaux différents. La différence de phase présente alors un
terme non stationnaire, ou aléatoire, il n’y a plus interférence au point considéré.
301
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Le champ d’interférence est en fait limité à cause de la durée finie des trains d’onde émis
par la source S. En effet, le calcul précédent suppose qu’à chaque instant t, se superposent au
point d’observation M deux trains d’onde issus d’un même train d’onde initial. Or ces trains
d’ondes arrivent décalés dans le temps à cause de la différence des temps de propagation :
•
(r01 + r1 )/c pour le train d’ondes passant par S1 ;
•
(r02 + r2 )/c pour le train d’ondes passant par S2 .
Si τ0 désigne la durée moyenne des trains d’ondes, alors le champ d’interférence sera limité
aux régions de l’espace telles que :
|(r02 + r2 ) − (r01 + r1 )|
6 τ0
c
(16.1)
δ 6 ℓc
(16.2)
ℓc = c0 τ0
(16.3)
C’est-à-dire :
où :
est appelée longueur de cohérence de la source.
Cette limitation peut être exprimée en terme d’ordre d’interférence p = δ/λ0 , selon :
p6
ν0
τ0
(16.4)
p6
ν0
∆ν
(16.5)
soit, compte tenu de τ0 ∆ν ≈ 1 :
1.2.
Interprétation à l’aide de la fonction de corrélation temporelle
1.2.1. Interférences obtenues avec un doublet
Considérons un dispositif interférentiel à deux ondes éclairé par une source ponctuelle S.
On suppose que la source émet un doublet de longueurs d’onde très voisines λ1 = λ0 + ∆λ
2 et
λ2 = λ0 − ∆λ
avec
∆λ
≪
λ
.
0
2
Chaque longueur d’onde produit une figure d’interférence décrite par l’intensité :
2πδ
(16.6)
Ii = 2 I0i 1 + cos
λi
Dans cette expression, nous avons supposé que les intensités correspondant aux deux sources
secondaires étaient égale. Nous avons aussi négligé la dépendance de la différence de marche δ
vis-à-vis de la longueur d’onde. Ceci revient à négliger la dispersion du milieu de propagation,
ce qui constitue une très bonne approximation. Nous supposerons aussi que les intensités des
deux raies sont égales I01 = I02 = I0 .
Y. E L A ZHARI
302
CRMEF / AGP-1
1.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE TEMPORELLE
L’intensité résultante est la somme des deux intensité produite chacune par une radiation :
2πδ
2πδ
I = 4 I0 + 2 I0 cos
(16.7)
+ cos
λ1
λ2
ce qui donne :
I = 4 I0 1 + cos π δ
1
1
+
λ1
λ2
cos π δ
1
1
−
λ2
λ1
(16.8)
or, compte de ∆λ ≪ λ0 :
1
2
1
+
≈
λ1
λ2
λ0
et
1
1
λ1 − λ2
∆λ
−
=
≈ 2
λ2
λ1
λ1 λ2
λ0
(16.9)
de sorte que l’on obtienne :
π δ ∆λ
2πδ
I = 4 I0 1 + cos
cos
λ20
λ0
(16.10)
La figure 16.1 montre les variations de l’intensité résultante I en fonction de la différence
de marche δ.
2
−3 λ20
2 ∆λ
−λ20
∆λ
I
4I0
−λ20
2 ∆λ
λ20
2 ∆λ
λ20
∆λ
3 λ20
2 ∆λ
δ
F IGURE 16.1 – Variation de l’intensité en fonction de la différence de marche optique.
On remarque que les franges d’interférence se brouillent périodiquement pour :
δk = (2 k + 1)
λ20
2 ∆λ
avec
k∈Z
(16.11)
On en déduit une méthode de détermination de ∆λ puisque la séparation ∆δ de deux brouillages
successifs est donnée par :
∆δ =
CRMEF / AGP-1
λ20
∆λ
(16.12)
303
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
1.2.2. Théorème de W IENER – K INTCHINE
Considérons un dispositif interférentiel quelconque à deux ondes éclairé à l’aide d’une
source (S) supposée ponctuelle mais émettant une raie d’intensité spectrale Iν (ν) centrée sur
la fréquence ν0 (figure 16.2).
Iν (ν)
∆ν
ν0
ν
ν
F IGURE 16.2 – Intensité spectrale d’un raie centrée sur la fréquence ν = ν0 .
Pour calculer l’intensité résultante en un point M du champ d’interférence, on commence
par isoler une bande de fréquence de largeur dν centrée sur la fréquence ν. Elle produit en M
une figure d’interférence dont l’intensité est donnée par :
dI = 2 Iν (ν) dν (1 + cos ϕ)
(16.13)
Dans cette expression nous avons supposé que les deux ondes qui interfèrent au point M ont
la même amplitude. L’intensité résultante s’obtient par sommation sur toutes les fréquences
apparaissant dans le spectre de S selon :
Z +∞
I=
2 Iν (ν) (1 + cos ϕ) dν
(16.14)
0
ϕ représente le déphasage au point M entre les deux ondes qui interfèrent. Il est donné par :
ϕ=
2 πν δ
2πδ
= 2πν τ
=
λ
c0
(16.15)
τ représente ici la différence des temps des parcours SS1 M et SS2 M. On peut aussi étendre
l’intégration de −∞ à +∞ à condition de prendre Iν (ν) = 0 pour ν < 0. On obtient alors :
I=
Z
+∞
2 Iν (ν) (1 + cos 2 π ν τ ) dν
(16.16)
−∞
En posant I0 =
R +∞
−∞
Iν dν et en faisant le changement de variable ν ′ = ν − ν0 , on obtient :
I = 2 I0 +
Z
+∞
−∞
Y. E L A ZHARI
2 Iν (ν ′ + ν0 ) ℜ [exp i 2 π (ν ′ + ν0 ) τ ] dν
304
(16.17)
CRMEF / AGP-1
1.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE TEMPORELLE
n
ℜ désignant la partie réelle. On définit l’intensité spectrale centrée et normalisée Iν,c
par 1 :
n
Iν,c
(ν ′ ) =
Iν (ν ′ + ν0 )
I0
(16.18)
En première approximation, τ est indépendant de ν. Ce qui permet d’écrire :
Z +∞
n
Iν,c
(ν ′ ) exp(i 2 π ν ′ τ ) dν ′
I = 2 I0 1 + ℜ exp(i 2 π ν0 τ )
(16.19)
−∞
On définit alors le degré (complexe) de cohérence temporelle γt (τ ) par :
γt (τ ) =
Z
+∞
−∞
n
Iν,c
(ν ′ ) exp(i 2 π ν ′ τ ) dν ′
(16.20)
γt (τ ) apparaît comme la transformée de F OURIER de l’intensité spectrale centrée et normalisée
n
Iν,c
. En posant γt (τ ) = |γt (τ ) | exp −i αt , on obtient le théorème de W IENER – K INTCHINE :
(16.21)
I = 2 I0 [1 + |γt (τ ) | cos (2 π ν0 τ − αt )]
Le facteur de visibilité des franges est donc donné par le module du degré de cohérence temporelle :
(16.22)
Vt (τ ) = |γt (τ ) |
1.3.
Applications
1.3.1. Doublet
Considérons une source ponctuelle émettant un doublet de raies supposées infiniment fines
et de même intensité.
n
Iν,c
(ν ′ )
Iν (ν)
ν0 −
∆ν
2
ν0 +
∆ν
2
ν
− ∆ν
2
∆ν
2
ν′
n
F IGURE 16.3 – Intensité spectrale Iν et intensité spectrale centrée et normalisée Iν,c
pour un
doublet.
1. On peut remarquer que
CRMEF / AGP-1
Z
+∞
−∞
n
Iν,c
(ν ′ ) dν ′ = 1.
305
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Dans un tel cas, l’intensité spectrale centrée et normalisée s’exprime au moyen de la distribution delta de D IRAC 2 :
∆ν
∆ν
1
n
δ ν′ +
+ δ ν′ −
(16.23)
Iν,c
(ν ′ ) =
2
2
2
Il en résulte alors compte tenu des propriétés de la distribution de D IRAC :
(16.24)
γt (τ ) = cos πτ ∆ν
Le facteur de visibilité ou de contraste vaut alors :
(16.25)
Vt (τ ) = | cos πτ ∆ν|
L’intensité en tout point M de l’écran est alors donnée par :
(16.26)
I(τ ) = 2 I0 [1 + cos(π τ ∆ν) cos(2 π ν0 τ )]
Les figures 16.4(a) et 16.4(b) reprennent les représentations graphiques respectives du contraste
Vt et de l’intensité lumineuse I en fonction de τ .
Vt (τ )
4 I0
I(τ )
1
−2
−1
1
2
τ ∆ν
(a) Contraste des franges d’interférence pour un doublet
symétrique.
−2
−1
1
2
τ ∆ν
(b) Représentation graphique de l’intensité en fonction du
décalage temporel τ .
F IGURE 16.4 – Représentations graphiques de l’intensité lumineuse I et du facteur contraste Vt
pour un doublet symétrique.
Expérimentalement, c’est ainsi que M ICHELSON a réussi à mettre en évidence et mesurer
l’écart ∆λ = 14 pm du doublet rouge de l’hydrogène.
1.3.2. Raie à profil rectangulaire
Considérons maintenant une source ponctuelle qui émet une raie de profil rectangulaire de
largeur ∆ν et d’intensité spectrale Iν0 . L’intensité spectrale centrée et normalisée s’écrit dans ce
cas :

1
∆ν
n

si
|ν ′ | <

 Iν,c = ∆ν
2
(16.27)


∆ν
 In = 0
si
|ν ′ | >
ν,c
2
2. Le coefficient multiplicatif
Y. E L A ZHARI
1
2
en facteur permet d’assurer
306
Z
+∞
−∞
n
Iν,c
(ν ′ ) dν ′ = 1.
CRMEF / AGP-1
1.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE TEMPORELLE
On en déduit le degré de cohérence temporelle :
γt (τ )
Z
=
∆ν
2
exp i2πν ′ τ
dν ′
∆ν
− ∆ν
2
sinc (πτ ∆ν)
=
(16.28)
Le facteur de visibilité des franges vaut alors :
(16.29)
V (τ ) = |sinc (πτ ∆ν) |
Vt (τ )
4 I0
I(τ )
1
−2
−1
1
τ ∆ν
2
(a) Contraste des franges d’interférence pour une raie de
profil rectangulaire.
−2
−1
1
2
τ ∆ν
(b) Représentation graphique de l’intensité en fonction du
décalage temporel τ .
F IGURE 16.5 – Représentations graphiques de l’intensité lumineuse I et du facteur contraste Vt
pour une raie de profil rectangulaire.
Le facteur de visibilité s’annule la première fois pour τ = ±1/∆ν. Le nombre de franges
d’interférence contenues dans le lobe central est donné par la variation ∆p de l’ordre d’interférence p = ν0 τ selon :
∆p = ν0 ∆τ = 2
ν0
∆ν
(16.30)
Expérimentalement, c’est ainsi que M ICHELSON a réussi à mesurer la largeur de la raie
rouge du Cadmium 3 Cd pour laquelle λ0 = 643, 8 nm et ∆ν = 1 GHz, pour cela il avait
mesuré ∆δ = 30 cm pour atteindre le premier brouillage complet des franges.
1.4.
Interférences en lumière blanche
La lumière blanche est la partie du spectre électromagnétique visible par l’œil humain. Cela
correspond approximativement au domaine des longueurs d’onde dans le vide allant de 400 nm
à 800 nm.
Considérons donc un dispositif interférentiel à deux ondes éclairé à l’aide d’une source
ponctuelle (S). Cette source émet une lumière blanche caractérisée par l’intensité spectrale
Iλ (λ) de support [λ1 , λ2 ].
3. Correspondant à la transition 1 D2 −→
CRMEF / AGP-1
1P
1.
307
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Les différentes radiations composant la lumière émise par une telle source étant incohérentes entre elles, et ne peuvent donc pas interférer entre elles, l’intensité résultante est donnée
par :
I(δ) =
Z
λ2
2 Iλ (λ)(1 + cos 2 π
λ1
δ
) dλ
λ
(16.31)
En toute rigueur, la différence de marche δ dépend de la longueur d’onde λ au moyen de
l’indice de réfraction n du milieu de propagation. Toutefois, même pour les verres les plus
dispersifs, la variation relative de l’indice de réfraction sur l’ensemble du spectre visible, ne
dépasse pas 1%. Ceci nous permet de négliger, dans la suite, la dépendance de δ vis-à-vis de la
longueur d’onde λ.
En réalité, les bornes de l’intervalle d’intégration de (16.31) ne sont pas définies uniquement pas le spectre de la lumière émise par la source qui éclaire le dispositif expérimental.
Elles dépendent aussi du détecteur utilisé pour « observer » la figure d’interférence. Nous distinguerons dans la suite deux types de détecteurs : les détecteurs non sensibles à la « couleur »
des radiations ou monochromes et les détecteurs « couleurs » tels que l’œil humain.
1.4.1. Enregistrement à l’aide d’un détecteur monochrome
Supposons tout d’abord que le détecteur utilisé 4 présente la même sensibilité pour l’ensemble des radiations du spectre visible supposé s’étendre de λ1 = 0, 4 µm à λ2 = 0, 8 µm.
Pour simplifier, nous modélisons le spectre visible par un profil rectangulaire de largeur ∆λ =
λ2 − λ1 = 0, 4 µm centrée sur la longueur d’onde λm = 0, 6 µm. Dans ce cas, le facteur de
visibilité des franges est donné par la relation (16.29), et le nombre de franges observables par
16.30 :
∆p = 2
ν0
2 λ1 λ2
=
∆ν
λm λ2 − λ1
(16.32)
Numériquement, cela donne : ∆p ≈ 3.
En réalité, les deux hypothèses adoptés ci-dessus pour le spectre de la lumière blanche d’une
part, et pour la réponse du détecteur d’autre part, sont trop approximatives. D’abord parce que
le spectre de la lumière blanche n’est pas de profil rectangulaire. D’autre part, la réponse du
détecteur est loin d’être plate. Ceci revient à limiter λ2 − λ1 . Il en résulte que l’on observe
un plus grand nombre de franges d’interférence. Expérimentalement, le nombre de franges
observées à l’aide d’un détecteur monochrome 5 est de 5 à 7 franges.
1.4.2. Observation visuelle
En observation visuelle, l’étude précédente est insuffisante. En effet, l’œil humain est sensible à l’énergie lumineuse mais aussi à la couleur. D’autre part, la sensibilité de l’œil humain
à la lumière est loin d’être uniforme. Il présente un maximum bien marqué dans :
– le jaune à environ 550 nm, en vision photopique ou diurne (jour) ;
4. Une barrette CCD par exemple.
5. Non sensible à la couleur
Y. E L A ZHARI
308
CRMEF / AGP-1
1.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE TEMPORELLE
– le vert à environ 500 nm, en vision scotopique ou nocturne (nuit).
Il en résulte un allongement de la longueur de cohérence et une détection d’un plus grand
nombre de franges d’interférence.
La figure 16.6 donne une simulation 6 de l’aspect de l’écran d’observation. La figure 16.7,
quant à elle, donne une représentation de l’intensité lumineuse en différents points de l’écran et
pour différentes longueurs d’onde. Elle permet de mieux interpréter l’aspect de l’écran :
– En x = 0 les radiations correspondant à différentes longueurs d’onde, passent toutes par
un maximum 7 . La frange centrale est alors blanche, ou plus précisément de même aspect
que la source 8 .
– L’interfrange i = λaD étant proportionnelle à la longueur d’onde, le rouge s’atténue plus
lentement que les autres couleurs. Il en résulte de la frange centrale est irisée de rouge.
– Deux franges sombres, d’intensité très faible, sont situées de part et d’autre de la frange
centrale.
– Au-delà de ces deux franges sombres, la superposition de différentes franges de longueurs
d’onde et intensités différentes, fait apparaître différentes nuances de couleur par synthèse
additive. On parle de lignes ou de franges isochromatiques.
– Lorsque l’on s’écarte suffisamment du centre de la figure d’interférence, un nombre important de longueurs d’onde non éteintes se superpose. Lorsque ce nombre est suffisamment grand, cela donne une impression visuelle de lumière blanche : c’est le blanc d’ordre
supérieur.
F IGURE 16.6 – Franges obtenues en lumière blanche.
F IGURE 16.7 – Représentation de l’intensité en différents points de l’écran pour différentes
longueurs d’onde.
6. Sans tenir compte des limitations due à la cohérence temporelle (train d’ondes illimités).
7. Ou un minimum si le dispositif interférentiel présente un déphasage supplémentaire de π.
8. Noire si le dispositif interférentiel présente un déphasage supplémentaire de π.
CRMEF / AGP-1
309
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
1.4.3. Spectre cannelé
L’analyse à l’aide d’un spectrophotomètre, du blanc d’ordre supérieur obtenu en un point
d’abscisse x0 fixée de l’écran, donne un spectre cannelé tel que celui représenté figure 16.8. Les
cannelures correspondent à des longueurs d’onde éteintes par interférence destructive. C’est-àdire vérifiant :
pk =
a x0
1
x0
=
=k+
ik
λk D
2
où
k∈Z
(16.33)
Exercice
On place la fente d’un spectroscope en x0 = 8 mm de la frange centrale. Quel est le
nombre cannelures observé et quelles sont les longueurs d’onde éteintes lorsque D = 1 m et
a = 0, 5 mm ?
F IGURE 16.8 – Spectre cannelé obtenu par analyse spectrale du blanc d’ordre supérieur.
2.
Limitation due à la cohérence spatiale
2.1.
Largeur de cohérence
Considérons un dispositif interférentiel du type trous de YOUNG éclairé par une source
Σ monochromatique mais non ponctuelle. Pour déterminer la figure d’interférence produite
par un tel système, on décompose la source Σ en éléments de surface dΣ infiniment petits
qu’on considère comme des sources ponctuelles. Un élément de surface produit une figure
d’interférence dont l’intensité en un point M du champ d’interférence s’écrit :
dI(M) = IΣ (S) [1 + cos ϕS (M)] dΣ(S)
(16.34)
Les différentes sources élémentaires dΣ(S) constituant Σ étant incohérentes entre elles,
l’intensité résultante I(M) s’obtient par sommation des différentes intensités dI(M), ce qui
Y. E L A ZHARI
310
CRMEF / AGP-1
2.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE SPATIALE
donne :
I=
Z
(16.35)
2 IΣ (S) [1 + cos ϕS (M)] dΣ(S)
Σ
Pour qu’il n’y ait pas brouillage des franges, il faut que la différence de phase ϕS (M) ne
varie pas « beaucoup » lorsque le point courant S décrit la source Σ. Il faut donc :
(16.36)
[∆ϕS (M)]max ≪ 2 π
S1
M
∆S
u1
α
S
u2
S2
F IGURE 16.9 – Déplacement de la source ponctuelle S.
Avant de pousser plus loin ce raisonnement, calculons tout d’abord la variation ∆ϕS (M) du
déphasage ϕS (M) entre les deux ondes qui interfèrent au point M lorsque S décrit la source Σ.
Lorsque S est translaté de ∆S (figure 16.9), ϕS (M) varie de ∆ϕS (M) tel que :
∆ϕS (M ) =
2π
∆ [(SS2 M ) − (SS1 M )]
λ0
(16.37)
2π
∆S · (u1 − u2 )
λ0
(16.38)
ce qui donne après calcul :
∆ϕS (M) =
On peut distinguer deux cas extrêmes 9 :
• si ∆S est orthogonal à (u1 − u2 ) alors ϕS (M) est stationnaire au second ordre près en
∆S ; on exploite cette propriété lorsque, pour augmenter le confort lumineux, on éclaire
les dispositifs à l’aide d’une fente orientée convenablement au lieu d’une source ponctuelle ;
• si ∆S contenu dans le plan engendré par les vecteurs u1 et u2 alors :
∆ϕS (M) = 2
2π
α
∆S sin
λ
2
(16.39)
Soit, puisque en général u1 et u2 sont quasi parallèles :
∆ϕS (M) =
2π
α ∆S
λ
(16.40)
9. Un troisième cas à distinguer est celui pour lequel u1 = u2 ce qui donne ∆ϕS (M) = 0 au premier ordre en
∆S. Ce cas, très intéressant par ailleurs, sera étudié dans le chapitre sur les interférences localisées.
CRMEF / AGP-1
311
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Pour qu’il n’y ait pas brouillage des franges, il faut assurer ∆ϕmax ≪ 2 π. Cette condition
dite de phase stationnaire impose alors :
∆Smax ≪
Σ
∆Smax
λ
α
(16.41)
S1
θ
a
M
α
S2
d
F IGURE 16.10 – Définition de l’angle sous lequel on voit la source Σ depuis le plan des sources
secondaires S1 et S2 .
Soit θ l’angle sous lequel on voit la source Σ depuis le plans S1 S2 . D’après la figure 16.10
on peut écrire
θ=
∆Smax
d
(16.42)
a
d
(16.43)
de même :
α=
de sorte que la condition de conservation des interférences d’écrive :
a ≪ ℓs
(16.44)
λ
θ
(16.45)
où :
ℓs =
est appelée largeur de cohérence spatiale de la source. Considérons alors différents cas de
sources :
– Pour une fente de largeur ℓ = 0, 1 mm placée à une distance d = 10 cm du plan des
sources secondaires et éclairée par une lumière supposée monochromatique de longueur
d’onde λ0 = 0, 5 µm, la largeur de cohérence spatiale vaut ℓs = 0, 5 mm.
– Le Soleil a un diamètre apparent θ = 32′ ce qui correspond à une largeur de cohérence
spatiale ℓs = 60 µm pour λ = 0, 5 µm.
– Dans le cas de la planète Venus de diamètre apparent θ = 1′ , la largeur de cohérence
spatiale vaut ℓs = 2 mm pour λ = 0, 5 µm.
Y. E L A ZHARI
312
CRMEF / AGP-1
2.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE SPATIALE
x
+ℓ/2
M (x)
F1 +a/2
x′
z
(F )
F2 −a/2
−ℓ/2
D′
D
F IGURE 16.11 – Fentes de YOUNG éclairées par une fente large.
2.2.
Dispositif interférentiel à deux ondes éclairé par une fente
source d’éclairement uniforme
Considérons un dispositif interférentiel à deux ondes du type fentes de YOUNG. Le dispositif est éclairé par une fente source (F) de largeur ℓ parallèle aux deux fentes de YOUNG (F1 )
et (F2 ).
Pour calculer l’intensité lumineuse au point M de la figure d’interférence, décomposons la
fente source (F) en bandes lumineuses élémentaires (dF) de largeur dx′ négligeable chacune.
La fente élémentaire (dF) centrée en x′ et de largeur dx′ produit l’intensité dI au point M
donnée par :
dI(M) = 2
I0
[1 + cos 2π p(M)] dx′
ℓ
(16.46)
I0 désigne l’intensité totale émise par (F) supposée uniformément répartie sur toute la fente.
L’ordre d’interférence p(M) est donné par :
p(M) =
ax
a x′
+
λ D λ D′
(16.47)
Les différentes fentes élémentaires (dF) étant incohérentes entre elles, l’intensité résultante au
point M s’obtient par sommation des différentes intensités dI selon :
I0
I(M) = 2
ℓ
Z
+ℓ/2
−ℓ/2
2πa
1 + cos
λ
x
x′
+ ′
D D
dx′
(16.48)
D’où l’on obtient après calcul :
2πax
I(x) = 2 I0 1 + γs (ℓ) cos
λD
CRMEF / AGP-1
313
(16.49)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
avec :
πaℓ
λ
D′ = sinc π a ℓ
γs (ℓ) =
πaℓ
λ D′
′
λD
Le facteur de visibilité des franges est alors donné par :
sin
V (ℓ) = sinc
(16.50)
πaℓ
λ D′
(16.51)
La figure 16.12 représente les variations de γs en fonction de la largeur ℓ de la fente source.
1
γs (ℓ)
①
V (ℓ)
1
②
0, 5
③
0, 5
④
1
2
3
4
5
aℓ
λ D′
1
2
3
4
5
aℓ
λ D′
F IGURE 16.12 – Représentations graphiques des variations du degré de cohérence spatiale γs (ℓ)
et du facteur de visibilité V (ℓ) correspondant en fonction de la largeur ℓ de la fente source.
Pour voir l’influence de la largeur non nulle de la fente source sur la figure d’interférence,
traçons l’intensité I produite en point de l’écran en fonction de x pour différentes valeurs de
ℓ. La figure 16.13 donne les variations de l’intensité lumineuse I en fonction de a x/λ D pour
différentes valeurs de la largeur ℓ de la fente source. Pour une largeur ℓ très faible devant λ D′ /a
le contraste est élevé et proche de 1 (cas ①). Lorsque que l’on augmente ℓ le contraste diminue (cas ②) et s’annule pour ℓ = λ D′ /a ; les franges d’interférence sont alors complètement
brouillées (cas ③). Si l’on continue d’augmenter ℓ, les franges réapparaissent avec un contraste
inversé : les positions des franges claires sont occupées par des franges sombres et vice versa.
Pour terminer, évaluons la largeur maximale ℓ0 que l’on puisse donner à la fente source
si l’on veut avoir un contraste de 1/3. Remarquons tout d’abord que cela correspond juste à
Imax = 2 Imin . Pour répondre à cette question, il suffit de résoudre :
πax
1
=
′
λD
3
La résolution numérique de cette équation donne :
sinc
ℓ0 ≈ 0, 73
Y. E L A ZHARI
λ D′
a
314
(16.52)
(16.53)
CRMEF / AGP-1
2.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE SPATIALE
I
2 I0
I
2 I0
①
I
2 I0
②
2
2
2
1
1
1
1
2
3
Contraste maximum
ax
λD
1
I
2 I0
2
3
ax
λD
3
ax
λD
③
1
2
3
Éclairement uniforme
④
2
1
1
2
F IGURE 16.13 – Variation de l’intensité sur l’écran d’observation pour différentes valeurs de la
largeur ℓ de la fente source.
Soit, si l’on prend λ = 0, 5 µm, D′ = 0, 1 m et a = 0, 1 mm :
ℓ0 ≈ 73 µm
(16.54)
Ceci montre que la condition sur la largeur de la fente source est très sévère !
2.3.
Théorème de VAN -C ITTERT – Z ERNIKE
Considérons un dispositif interférentiel à deux ondes du type trous de YOUNG éclairé à
l’aide d’une source étendue (Σ) centrée autour d’un point O. Soit IΣ la densité surfacique
d’intensité lumineuse ou intensité par unité de surface de la source Σ.
Un élément de surface dΣ(P) centré autour du point P de Σ produit par interférence une
intensité dI(M) en un point M du champ d’interférence donnée par 10 :
dIP = 2 IΣ (P) dΣ [1 + cos ϕP (M)]
(16.55)
ϕP (M) désigne le déphasage au point M entre les ondes issues du point P de la source, il est
donné par :
ϕP (M) = 2 π
δP (M)
λ0
(16.56)
où δP (M) est la différence de marche optique au point M entre les deux ondes issues du point
P et passant respectivement par S1 et S2 . Elle est donnée par :
δP (M) = (P S2 M ) − (P S1 M )
(16.57)
10. Dans cette expression nous avons supposé que les deux ondes qui interfèrent au point M ont la même amplitude.
CRMEF / AGP-1
315
Y. E L A ZHARI
ax
λD
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
x
x
x
S1
M
dΣ P
z
O
Σ
y
S2
y
D
y
T
E
F IGURE 16.14 – Source étendue éclairant un dispositif interférentiel du type trous de YOUNG.
ce que l’on peut écrire sous la forme :
(16.58)
δP (M) = ∆(P) + ∆(M)
où :
et
∆(P) = (P S2 ) − (P S1 )
(16.59)
∆(M) = (S2 M ) − (S1 M )
La source Σ étant spatialement incohérente, l’intensité résultante s’obtient par sommation
des intensités produites par les différents éléments de surface dΣ de Σ supposés infiniment
petits, soit :
ZZ
I = 2 IΣ (P) [1 + cos ϕP (M)] dΣ(P)
(16.60)
ce qui donne :
ZZ
2 π ∆(M)
2 π ∆(P)
I = 2 I0 + 2 ℜ exp i
dΣ(P)
IΣ (P) exp i
λ0
λ0
Σ
(16.61)
où l’on a posé :
ZZ
I0 =
IΣ (P) dΣ(P)
(16.62)
Σ
On peut mettre l’expression de I sous la forme :
2 π ∆(M)
I = 2 I0 1 + ℜ γs exp i
λ0
(16.63)
avec :
γs =
Y. E L A ZHARI
1
I0
ZZ
IΣ (P) exp i
Σ
2 π ∆(P)
dΣ(P)
λ0
316
(16.64)
CRMEF / AGP-1
2.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE SPATIALE
En posant :
(16.65)
γs = |γs | exp −i αs
on peut écrire :
I = 2 I0
1 + |γs | cos
2 π ∆(M)
− αs
λ0
(16.66)
La distribution d’intensité dans le plan d’observation est similaire à celle donnée par une source
ponctuelle monochromatique. À la différence d’une source ponctuelle, le facteur de visibilité
est donné par :
V =
Imax − Imin
= |γs |
Imax + Imin
(16.67)
Dans la suite, nous considérons le cas très important d’une source peu étendue placée à
grande distance d du plan des trous S1 et S2 . Posons alors :
x
y
0
OP =
x1
y1
d
OS1 =
et exprimons P S2 − P S1 :
P S2 − P S1 =
OS2 =
x2
y2
d
(16.68)
P S22 − P S12
P S22 − P S12
≈
P S2 + P S1
2d
(16.69)
et puisque :

2
2
2
2
 P S1 = (x1 − x) + (y1 − y) + d

il vient :
P S2 − P S1 ≈
P S22
2
2
(16.70)
2
= (x2 − x) + (y2 − y) + d
(x22 + y22 ) − (x21 + y12 ) (x2 − x1 ) x + (y2 − y1 ) y
−
2d
d
(16.71)
Si l’on choisit l’origine des coordonnées au milieu du segment [S1 , S2 ], il reste :
P S2 − P S1 ≈ −
(x2 − x1 ) x + (y2 − y1 ) y
d
(16.72)
de sorte que :
γs =
1
I0
ZZ
IΣ (x, y) exp −i 2 π
(x2 − x1 ) x + (y2 − y1 ) y
dx dy
λd
(16.73)
Ce résultat montre que si les dimensions linéaires de la source, supposée monochromatique,
ainsi que la distance entre les deux sources secondaires sont petites devant la distance entre la
source et le plan des deux sources secondaires, alors le degré complexe de cohérence spatiale
est égal à la transformée de F OURIER de l’intensité surfacique de la source, normalisée à son
intensité totale. Cet énoncé constitue le théorème de VAN -C ITTERT – Z ERNIKE.
CRMEF / AGP-1
317
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
2.4.
Applications
2.4.1. Cas d’une source circulaire
Dans ce cas :
IΣ (x, y) =


I0
π R2

0
si
x2 + y 2 6 R2
(16.74)
ailleurs
Prenons : S1 (− a2 , 0, d) et S2 (+ a2 , 0, d) de sorte que x2 − x1 = a et y2 − y1 = 0. Il reste dans
ce cas :
Z R
Z 2π
ax
1
) r dr dφ
(16.75)
exp(−i 2 π
γs =
π R2 0 0
λd
posons :
(16.76)
x = r cos φ
Il vient alors :
γs =
1
π R2
Z R
Z
1
π R2
Z R
Z
2π
a r cos φ
) r dr dφ
λd
(16.77)
exp(−i 2 π ξ r cos φ) r dr dφ
(16.78)
exp(−i 2 π
0 0
de la forme :
γs =
avec :
2π
0 0
a
λd
(16.79)
2 J1 (2 π R ξ)
2πRξ
(16.80)
ξ=
ce qui donne :
γs =
c’est-à-dire :
γs = J1c
2πaR
λd
(16.81)
où J1 est la fonction de B ESSEL de première espèce d’ordre un et :
J1c (η) =
2 J1 (η)
η
La figure d’interférence ainsi obtenue est décrite par l’intensité :
2πaR
2πax
I(x) = 2 I0 1 + J1c
cos
λd
λD
Y. E L A ZHARI
318
(16.82)
(16.83)
CRMEF / AGP-1
2.. LIMITATION DUE À LA COHÉRENCE SPATIALE
ce qui correspond à un facteur de visibilité V donné par :
2πaR
V = J1c
λd
(16.84)
Soir θ le diamètre apparent de la source primaire vu depuis le plan contenant S1 et S2 :
θ=
2R
d
(16.85)
alors :
V = J1c
πaθ
λ
(16.86)
La figure 16.15 donne une représentation graphique de V (θ).
1
J1c (2 π η)
1
2
3
4
0
η
F IGURE 16.15 – Facteur de visibilité des franges d’interférence obtenues à partir d’un dispositif
interférentiel à deux ondes éclairé à l’aide d’un disque source.
2.4.2. Interféromètre stellaire de M ICHELSON
CRMEF / AGP-1
319
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 16. COHÉRENCE SPATIALE ET COHÉRENCE TEMPORELLE
Exercices du chapitre 16
Ex. 16.1 — Étudier les interférences lumineuses en lumière blanche dans le cas où le détecteur
utilisé est une barrette CCD (sensible dans l’infrarouge, non sensible à la couleur).
1.
2.
Ex. 16.2 — Déterminer le facteur de visibilité des franges d’interférences obtenues à l’aide
d’un montage interférentiel à deux ondes éclairé par une source ponctuelle. La source émet un
doublet de largeur ∆ν0 composé de deux raies rectangulaires de fréquences centrales ν1 et ν2 ,
de largeurs respectives ∆ν1 et ∆ν2 et d’intensité spectrales I10 et I20 .
Ex. 16.3 — On réalise une expérience d’interférences lumineuses en lumière blanche. On modélise le spectre de la lumière blanche pat un profil rectangulaire d’intensité spectrale constante
Iλ0 entre λ1 = 0, 4 µm et λ2 = 0, 8 µm.
On analyse la lumière en un point M du champ d’interférence où la différence de marche vaut
δ supposée la même pour toutes les radiations.
Étudier le spectre de la lumière en M pour les valeurs suivantes de δ :
δ = 0, 4 µm
δ = 0, 6 µm
δ = 0, 8 µm
δ = 4 µm
Ex. 16.4 — La durée des trains d’ondes d’une radiation de longueur d’onde λ0 = 600 nm est
τ0 = 1×10−9 s.
1. Calculer en longueur d’onde la largeur de la radiation.
2. Comparer la période de la vibration sinusoïdale, la durée d’un train d’ondes et la durée
de la persistance des images rétiniennes.
Ex. 16.5 — Calculer, à l’aide de la notion de train d’ondes, la visibilité des franges d’ordre p
obtenues à partir des trains d’ondes de durée τ0 émis par une source. On désigne par τ le retard
en temps introduit entre les vibrations qui interfèrent en un point M et par T ′ la durée séparant
en moyenne deux trains d’onde successifs.
1. a)
b)
2.
Y. E L A ZHARI
320
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
17
INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Les interférences non localisées n’existent pratiquement pas dans la nature car la condition de cohérence spatiale est très restrictive alors que les sources naturelles sont des sources
étendues.
1.
Utilisation d’une source étendue – localisation des
franges
1.1.
Approche heuristique
Considérons une source étendue et monochromatique Σ éclairant un dispositif interférentiel
permettant de réaliser un dédoublement des rayons lumineux.
S1
M
Σ
S′
u1
α
S
u2
S2
F IGURE 17.1 – Déplacement de la source ponctuelle S.
Soit S un point source de Σ. Les rayons lumineux issus de S et interférant au point M
ont un déphasage ϕ(M ). Ceux issus d’un point S ′ voisin de S et obtenu à partir de S par une
321
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
translation de vecteur ∆S ont un déphasage ϕ(M ) + ∆ϕ tel que :
∆ϕ =
2π
∆S · (u1 − u2 )
λ
(17.1)
Nous avons vu dans le chapitre consacré à l’étude de l’influence de la cohérence que pour
que le phénomène d’interférence reste perceptible en tout point du champ d’interférence il faut
que les translations ∆S permettant de décrire toute la source Σ soient tels que ∆ϕ ≪ 2 π. Ceci
est satisfait dans les deux cas particuliers suivants :
•
•
∆S est orthogonal à (u1 − u2 ), ϕ est alors stationnaire au second ordre en ∆S. C’est le
cas lorsque l’on utilise une fente source fine allongée selon la direction perpendiculaire à
la droite S1 S2 ;
∆S a une orientation quelconque mais ∆Smax ≪ λ/α.
En général dans le cas des sources étendues, aucune de ces deux conditions n’est réalisée. Il
y a alors brouillage des franges sauf aux points M où se superposent deux ou plusieurs rayons
lumineux secondaires issus d’un même rayon primaire. En effet, dans ce cas u1 = u2 de sorte
que ∆ϕ est nul d’après l’équation (17.1). Le dispositif interférentiel est alors du type division
d’amplitude (figure 17.2).
Σ
u
M
S.O.
F IGURE 17.2 – Dispositif interférentiel à division d’amplitude, les deux rayons lumineux secondaires qui interfèrent au point M sont issus du même rayon lumineux primaire.
Les franges sont alors localisées. L’ensemble des points M constitue la surface de localisation des franges ou surface de contraste maximum (figure 17.3).
Remarque : Ce type d’interférences n’est pas sensible à la cohérence spatiale. Il constitue de
ce fait un outil intéressant pour l’étude de l’influence de la cohérence temporelle
de la source notamment en spectroscopie interférentielle.
1′
1
Σ
M1
u1
′′
1
u2
2
2′
S.O.
u3
M2
2′′
3
3′
3′′
M3
ΣL
F IGURE 17.3 – Construction schématique de la surface de localisation des franges ΣL à partir
des couples de rayons secondaires (1′ , 1′′ ), (2′ , 2′′ ), . . . issus respectivement des rayons primaires 1, 2, . . .
Y. E L A ZHARI
322
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
Notons que (17.1) donne ∆ϕ au premier ordre en ∆S. Si la source devient trop large, les
termes d’ordre supérieur risquent de ne plus rester négligeables. Il en résulte alors un brouillage
de la figure d’interférence même sur ΣL .
1.2.
2.
Théorème de localisation
Franges d’égale inclinaison
Les franges d’égale inclinaison sont données par les lames minces d’épaisseur uniforme
éclairées par une source étendue. Dans toute la suite on supposera les lames non absorbantes.
2.1.
Action d’une lame mince à faces parallèles sur une onde
incidente
En général, la description par onde quasi plane est largement suffisante. Considérons alors
une onde incidente d’amplitude complexe a0 . Par réflexions et transmissions successives sur
les deux faces de la lame (figure 17.4) on obtient un ensemble d’ondes transmises (T1 , T2 , T3 ,
T4 , . . .) et un ensemble d’ondes réfléchies (R1 , R2 , R3 , R4 , . . .).
a0
R1
R2
R3
R4 . . .
n0
t2
t1
−r1
r1
n
r1
t2
n0
T1
...
T3
T2
F IGURE 17.4 – Ondes transmises et ondes réfléchies par une lame à faces parallèles.
2.1.1. Amplitudes des ondes transmises et réfléchies
En général on travaille sous incidence quasi normale. Au niveau de l’interface (n1 , n2 ), les
coefficients de réflexion et de transmission pour l’amplitude sont donnés par :
r1→2 =
CRMEF / AGP-1
n1 − n2
n1 + n2
et
323
t1→2 =
2 n1
n1 + n2
(17.2)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Posons alors :
r1 =
n − n0
n + n0
;
t1 =
2 n0
n + n0
;
t2 =
2n
n + n0
(17.3)
Amplitudes des rayons réfléchis
Rayon réfléchi
Amplitude relative
R1
−r1
R2
t1 t2 r1
R3
t1 t2 r13
R4
t1 t2 r15
...
...
T1
t1 t2
T2
t1 t2 r12
T3
t1 t2 r14
T4
t1 t2 r16
...
...
Amplitudes des rayons transmis
Rayon transmis
Amplitude relative
Pour exploiter ces résultats, prenons des exemples numériques. Pour cela il faut distinguer
deux cas.
1er cas : lame mince de verre ordinaire
C’est le cas d’une lame mince de verre de microscope d’indice de réfraction n = 1, 55
plongée dans l’air d’indice de réfraction n0 = 1. Dans ce cas, r1 = 0, 22 et t1 t2 = 0, 95.
On obtient alors les valeurs numériques des amplitudes relatives :
Rayon réfléchi
Amplitude relative
R1
−0, 22
R2
0, 21
R3
0, 01
R4
0, 0005
...
...
Rayon transmis
Amplitude relative
T1
0, 95
T2
0, 05
T3
0, 002
T4
0, 0001
...
...
Conclusions
1) On peut se limiter aux deux premiers rayons : interférences à deux ondes.
2) Le contraste des franges sera meilleur en réflexion qu’en transmission car I (R1 ) ≈
I (R2 ) alors que I (T1 ) ≫ I (T2 ).
3) Les deux systèmes de franges d’interférence sont complémentaires puisque a (R1 ) a (R2 ) <
0 alors que a (T1 ) a (T2 ) > 0.
2e cas : lame mince de verre argentée
Par dépôt d’une fine couche mince métallique (Ag par exemple) de quelques dizaines de
nanomètres d’épaisseur, on augmente le pouvoir de réflexion de la lame. On atteint typiquement r1 = 0, 95 et t1 t2 = 0, 01. On obtient alors les valeurs numériques suivantes pour les
amplitudes relatives :
Rayon réfléchi
Amplitude relative
R1
−0, 95
R2
0, 0095
R3
0, 0086
R4
0, 0077
...
...
Rayon transmis
Amplitude relative
T1
0, 01
T2
0, 009
T3
0, 0081
T4
0, 0073
...
...
Conclusion
Dans ce cas, il faut tenir compte de tous les rayons : interférence à ondes multiples.
Y. E L A ZHARI
324
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
2.1.2. Déphasage entre deux rayons successifs réfléchis ou transmis
Avant de calculer l’intensité résultant de la superposition des ondes transmises ou réfléchies,
nous allons déterminer le déphasage entre deux ondes successives de même type, transmises ou
réfléchies. Pour cela nous utilisons le schéma de la figure 17.5 représentant un ensemble de
deux ondes transmises et de deux ondes réfléchies obtenues à partir d’une onde incidente sur la
lame sous l’angle d’incidence i. L’angle de réfraction à l’intérieur de la lame est noté r.
Ri+1
Ri
K′′
n0
i
n
K
J′
I
e
r
K′
J
n0
i
L
L′
Ti
Ti+1
F IGURE 17.5 – Déphasage entre deux ondes successives transmises ou réfléchies.
2.1.2.1.
Cas des ondes transmises
Considérons les deux ondes transmises successives Ti et Ti+1 (figure 17.5). Le déphasage
de l’onde Ti+1 par rapport à l’onde Ti est dû à la différence des chemins optiques (JKL) et
(JL′ ), L′ étant la projection orthogonale de L sur la direction de propagation de l’onde Ti . Il
peut s’écrire :
ϕt =
2 π δt
λ
(17.4)
où δr est la différence des chemins optiques (JKL) et (JL′ ), c’est-à-dire :
δt = (JKL) − (JL′ )
(17.5)
avec :
•
•
e
2ne
, soit (JKL) =
;
cos r
cos r
(JL′ ) = n0 JL′ et JL′ = JL cos(π/2 − i) = 2 JK ′ sin i avec JK ′ = e tan r, soit
(JL′ ) = 2 n0 e sin i tan r.
(JKL) = 2 (JK) = 2 n JK et JK =
CRMEF / AGP-1
325
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Il vient alors :
δt
2 n e 2 n0 e sin i sin r
−
cos r
cos r
2e
(n − n0 sin i sin r)
cos r
=
=
d’où, compte tenu de la loi de D ESCARTES -S NELL n0 sin i = n sin r :
(17.6)
δt = 2 n e cos r
on en déduit alors l’expression du déphasage entre deux ondes transmises successives :
ϕt
2.1.2.2.
=
2π
2 n e cos r
λ
(17.7)
Cas des ondes réfléchies
De la même manière, le déphasage ϕr entre les deux ondes réfléchies successives Ri et
Ri+1 est donné par :
ϕr =
2 π δr
λ
(17.8)
où δr est la différence des chemins optiques (IJK) et (IK ′′ ) donnée par :
δr = (IJK) − (IK ′′ )
(17.9)
avec, comme dans le cas des ondes transmises :
2ne
;
• (IJK) = 2 n JK =
cos r
′′
′
• (IK ) = n0 IK sin i et IK = 2 IJ = 2 e tan r.
D’où, après simplification et compte tenu de la loi de D ESCARTES -S NELL :
ϕr =
2π
2 n e cos r
λ
(17.10)
qui est la même expression que celle du déphasage ϕt entre deux ondes transmises successives.
2.2.
Interférences à deux ondes ou anneaux de H AIDINGER
Considérons une lame mince ordinaire 1 à faces parallèles éclairée à l’aide d’une source
étendue supposée monochromatique et étudions les interférences produites par un tel système
interférentiel.
2.2.1. Expression de l’intensité
D’après ce qui précède (§2.1.1.), nous pouvons nous restreindre dans le calcul de l’intensité
aux deux premières ondes : interférences à deux ondes. Distinguons alors dans ce calcul le cas
des ondes réfléchies du cas des ondes transmises.
1. Les surfaces de la lame mince n’ont pas subi de traitement spécial par dépôt métallique ou autre.
Y. E L A ZHARI
326
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
2.2.1.1.
Cas des ondes transmises
L’onde transmise peut être écrite sous la forme :
at (M, t) = a(M) exp −i ω t
(17.11)
a(M) = aT1 (M) + aT2 (M)
(17.12)
avec :
où :
aT2 = t1 t2 r12 a0 exp i ϕt
et
aT1 = t1 t2 a0
(17.13)
L’amplitude résultante transmise est donc :
at (M) = t1 t2 a0 1 + r12 exp i ϕt
(17.14)
L’intensité au point M de la surface de localisation est donnée par 2 :
It (M) = K a(M) a∗ (M)
Un calcul simple permet d’écrire l’intensité transmise sous la forme :
It = t21 t22 K |a0 |2 1 + r14 + 2 r12 cos ϕt
(17.15)
(17.16)
Que l’on peut mettre sous la forme :
It = It1 + It2 + 2
avec :
It1 = t21 t22 K |a0 |2
p
It1 It2 cos ϕt
It2 = t21 t22 r14 K |a0 |2
et
(17.17)
(17.18)
On retrouve ainsi la formule générale donnant l’expression de l’intensité lumineuse d’une
figure d’interférence à deux ondes avec le facteur de contraste :
Ct =
2.2.1.2.
2 r12
1 + r14
(17.19)
Cas des ondes réfléchies
De la même manière :
a(M) = aR1 (M) + aR2 (M)
(17.20)
avec :
aR1 = r1 a0
et
aR2 = −r1 t1 t2 a0 exp i ϕr
(17.21)
2. K étant une constante de proportionnalité.
CRMEF / AGP-1
327
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Ce qui donne :
(17.22)
ar (M) = r1 a0 (1 − t1 t2 exp i ϕr )
On en déduit l’intensité résultante réfléchie :
Ir (M) = r12 K |a0 |2 1 + t21 t22 − 2 t1 t2 cos ϕr
On peut retrouver ainsi la formule générale des interférences à deux ondes :
p
Ir = Ir1 + Ir2 + 2 Ir1 Ir2 cos ϕ′r
(17.23)
(17.24)
avec :
Ir1 = r12 K |a0 |2
et
Ir2 = r12 t21 t22 K |a0 |2
(17.25)
à condition d’introduire le déphasage ϕ′r donné par :
ϕ′r =
4 π n e cos r
+π
λ
(17.26)
Le déphasage supplémentaire π provient de la différence des réflexions sur les deux dioptres.
Le facteur de contraste vaut dans ce cas :
C=
2 t1 t2
1 + t21 t22
(17.27)
2.2.2. Nature des franges
L’intensité résultante dans une direction inclinée d’un angle i par rapport à la normale de la
face de sortie de la lame est donnée par :
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
(17.28)
avec
ϕ=
2π
2 n e cos r + (π)
λ
(17.29)
r étant l’angle de réfraction à l’intérieur de la lame relié à l’angle d’inclinaison i par la loi
de D ESCARTES -S NELL n0 sin i = n sin r. Le déphasage supplémentaire (π) est à prendre en
considération uniquement dans le cas des ondes réfléchies.
Les surfaces d’égale intensité définies par I = constante, sont telles que ϕ = constante,
c’est-à-dire r = constante. Elles correspondent donc à la même inclinaison i à la sortie de la
lame à faces parallèles. Ce sont des cônes concentriques de direction parallèle à la normale à la
lame mince.
Les franges d’interférence sont données par l’intersection des surfaces d’égale intensité
avec la surface de localisation. Une frange donnée correspond donc à une valeur constante de
r, donc de i. Pour cette raison, les franges sont dites d’égale inclinaison.
Sur un écran d’observation placé à très grande distance de la lame parallèlement à la face de
sortie de celle-ci, nous obtenons une figure d’interférence constituée d’anneaux concentriques
alternativement brillants et sombres (figure 17.7).
Y. E L A ZHARI
328
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
2.2.3. Rayon des anneaux
Nous pouvons aussi observer la figure d’interférence sur un écran (E) situé dans le plan
focal image d’une lentille convergente placée parallèlement à la face de sortie de la lame.
x
n
ip
Rp
z
ip
Σ
e
( L)
fi
(E)
F IGURE 17.6 – Montage de principe permettant de ramener la figure d’interférence à distance
finie dans le plan focal image d’une lentille convergente pour une observation par transmission.
La figure 17.6 montre un exemple de montage utilisé en transmission. Dans les conditions
de G AUSS, le rayon de l’anneau correspondant à une valeur p de l’ordre d’interférence est
donné par :
(17.30)
Rp = fi ip
où fi est la distance focale image de la lentille convergente de projection utilisée et ip l’angle
d’inclinaison correspondant à l’anneau d’ordre d’interférence p défini par :
p=
ϕ
2π
(17.31)
Rappelons que pour les anneaux brillants p est entier (p = 0, 1, 2, 3, · · · ) alors que pour les
anneaux sombres p est demi-entier (p = 1/2, 3/2, 5/2, · · · ). Compte tenu de l’expression du
déphasage ϕ, il vient :
2ne
1
p=
cos rp +
λ
2
et pour les petits angles :
p
≈
2ne
λ
rp2
1−
2
!
+
1
2
(17.32)
soit, compte tenu de la loi de D ESCARTES -S NELL écrite dans ce cas sous la forme n0 i ≈ n r :
! n20 i2p
2ne
1
p≈
1−
(17.33)
+
λ
2 n2
2
CRMEF / AGP-1
329
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Nous en déduisons l’angle d’inclinaison ip puis le rayon Rp de l’anneau correspondant à l’ordre
d’interférence p :
s
r
1
1
nλ 2ne
−p
(17.34)
+
ip ≈
n0
e
λ
2
s
r
fi n λ 2 n e
1
Rp ≈
−p
(17.35)
+
n0
e
λ
2
Au centre de la figure d’interférence (i = 0), l’ordre d’interférence p0 est donné par :
2ne
1
p0 =
(17.36)
+
λ
2
Nous pouvons alors exprimer Rp selon :
fi
Rp ≈
n0
r
n λ√
p0 − p
e
(17.37)
Nous voyons ainsi clairement que l’ordre d’interférence est maximum au centre de la figure
d’interférence.
D’autre part, p0 n’est pas nécessairement entier mais nous pouvons toujours écrire :
p0 = p1 + ǫ
(17.38)
où p1 est l’ordre d’interférence entier de l’anneau brillant le plus proche du centre de la figure
d’interférence et ǫ est appelé ordre fractionnaire au centre. Il est tel que 0 6 ǫ < 1. Rp devient
alors :
r
fi n λ √
p1 − p + ǫ
(17.39)
Rp ≈
n0
e
Intéressons-nous maintenant aux anneaux brillants pour lesquels p est entier. Dans ce cas
p1 − p est aussi entier et positif. Posons alors k = p1 − p + 1 pour compter les anneaux brillants
à partir de celui le plus proche du centre pour lequel p = p1 et donc k = 1. Le rayon Rk du
k ième anneau brillant est alors donné par :
r
fi n λ √
Rk ≈
k−1+ǫ
(17.40)
n0
e
1
Remarquons que le rayon des anneaux varie en √ . D’autre part, lorsque ǫ = 0, les rayons
e
des anneaux brillants varient comme la racine carré des nombres entiers successifs : 1 ; 1, 41 ;
1, 73 ; 2 ; . . . Les anneaux se resserrent donc au fur et à mesure que l’on s’écarte du centre.
La figure 17.7 montre les anneaux obtenus par transmission dans le plan focal image d’une
lentille convergente de distance focale image fi = 1 m. Cette figure montre en particulier l’état
d’éclairement du centre de la figure d’interférence en fonction de l’ordre p0 au centre. Dans le
cas (a) le centre est brillant conformément à la valeur entière p0 = 12 de l’ordre d’interférence.
Il est sombre en (c) car p0 = 11, 5 est demi-entier alors que dans le cas (b), pour lequel p0 =
11, 8, l’intensité au centre de la figure d’interférence prend une valeur intermédiaire.
Y. E L A ZHARI
330
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
(a)
(b)
(c)
F IGURE 17.7 – Anneaux de H AIDINGER donnés par une lame mince à faces parallèles d’épaisseur e = 2, 00 µm pour (a), e = 1, 97 µm pour (b) et e = 1, 92 µm pour (c). Les autres
paramètres ont pour valeurs : λ = 0, 5 µm, n0 = 1 et n = 1, 5. Les anneaux sont observés
par transmission dans le plan focal image d’une lentille convergente de distance focale image
fi = 1 m.
2.2.4. Exemple de réalisation expérimentale
Le dispositif interférentiel de M ICHELSON permet d’obtenir des anneaux de H AIDINGER
lorsqu’il est réglé en lame d’air à faces parallèles. Dans ce cas le déphasage ϕ est donné par :
ϕ = 2π
2e
cos r
λ
(17.41)
D’autre part, par construction I1 = I2 = I0 /2 de sorte que l’intensité en un point quelconque
du plan d’observation est donnée par :
I = I0 (1 + cos ϕ)
(17.42)
avec
ϕ = 2π
2e
cos r
λ
(17.43)
2.2.5. Applications
La théorie précédente permet de comprendre le principe de certaines méthodes de traitement
de surfaces optiques telles que les couches antireflet et les miroirs diélectriques. Aussi bien
dans le premier que dans le deuxième cas, il s’agit de déposer une couche mince d’indice et
d’épaisseur appropriés pour diminuer ou augmenter le facteur de réflexion du système ainsi
obtenu.
2.2.5.1.
Couche antireflet
Il s’agit de minimiser les pertes de flux lumineux incident dues à la réflexion au niveau de
la surface de séparation entre deux milieux optiques 3 .
3. Il s’agira le plus souvent de l’air et le verre, comme par exemple les lunettes de correction.
CRMEF / AGP-1
331
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Considérons par exemple une lame de verre à faces parallèles d’indice ns baignant dans
l’air d’indice ne ≈ 1. Le coefficient de réflexion en intensité est donné par R0 = r02 où r0 est
le coefficient de réflexion en amplitude au niveau de l’interface air-verre :
r0 =
ne − ns
ne + ns
(17.44)
Typiquement, ns ≈ 1, 5 et ne ≈ 1 de sorte que r0 ≈ −0, 2 et R0 ≈ 4%.
a0
a0
r0 a0
a1
a2
e
N
ns
ns
F IGURE 17.8 – Principe de la couche antireflet.
Pour minimiser la réflexion au niveau du dioptre d’entrée, on dépose une couche mince
d’épaisseur e d’un matériau optique d’indice N . Soit a0 l’amplitude complexe de l’onde incidente au niveau du premier dioptre (ne , N ). Les amplitudes des ondes réfléchies aux des
dioptres (ne , N ) et (N, ns ) valent respectivement :
a1 = r1 a0
et
a2 = t1 r2 t′1 a0 exp −i φr
(17.45)
avec :
ne − N
ne + N
2 ne
t1 =
ne + N
r1 =
N − ns
N + ns
2N
; t′1 =
ne + N
; r2 =
(17.46)
(17.47)
et :
4πN e
λ
(17.48)
ar = a1 + a2
(17.49)
φr =
L’amplitude totale réfléchie est donnée par :
Le principe de la couche antireflet consiste à annuler l’amplitude réfléchie résultante ar . Pour
cela, il suffit que les deux ondes réfléchies soient de même amplitude réelle et en opposition de
phase.
Y. E L A ZHARI
332
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
– L’égalité des amplitudes réelles se traduit par :
r1 = r2 t1 t′1
(17.50)
Faisons l’hypothèse a priori N ≈ 1 de sorte que t1 ≈ t′1 ≈ 1. Il reste alors r1 = r2 , ce
qui donne :
√
N ≈ ne ns
(17.51)
– La condition sur le déphasage φr = (2 m + 1) π, m ∈ N impose l’épaisseur de la couche
mince à déposer :
1 λ
em = (m + )
2 2N
(17.52)
L’épaisseur minimale de la couche mince à déposer vaut alors :
e0 =
λ
λ
≈ √
4N
4 ne ns
(17.53)
Typiquement ne ≈ 1, ns ≈ 1, 5 de sorte que N ≈ 1, 2. On vérifie bien que N ≈ 1. Dans
la pratique, on dépose une couche mince de fluorure de magnésium MgF2 d’indice NMgF2 ≈
1, 38 certes proche de la valeur optimale mais qui en est quand même légèrement différente. En
procédant ainsi, on arrive à abaisser le coefficient de réflexion en dessous de 1%.
Remarquons que la condition sur la phase est une relation chromatique. Lorsque cette condition est vérifiée pour une longueur d’onde donnée, elle ne l’est pas forcément pour les autres
radiations du spectre visible qui subissent alors une réflexion plus importante. D’où l’aspect coloriée des dispositifs optiques possédant une couches antireflet. Des techniques plus élaborées,
utilisant en général des dépôts multicouche permettent d’assurer la condition de phase pour
plusieurs longueurs d’onde.
2.2.5.2.
Miroir diélectrique
Il s’agit dans ce cas de renforcer la réflexion par le dépôt d’une couche mince d’épaisseur
et d’indice appropriés. Dans la pratique on utilise du sulfure de zinc ZnS d’indice d’indice
de réfraction NZnS ≈ 2, 35. L’épaisseur e de la couche mince à déposer est imposée par la
condition d’interférences constructives entre les deux ondes réfléchies, soit :
em = m
λ
2N
(17.54)
Là aussi, il s’agit d’une relation chromatique. L’amplitude résultante est ar = a1 + a2 s’exprime alors simplement en fonction de l’amplitude incidente a0 et des indices de réfraction des
différents milieux. Le coeffcient de réflexion en intensité R est donnée par la relation habituelle
R = r2 avec :
r=
N − 1 4 N (N − n)
ar
+
=
a0
N +1
(N + 1)3
(17.55)
Avec les valeurs numériques précédentes, on obtient dans le cas d’une couche mince de ZnS,
R ≈ 34, 7%.
CRMEF / AGP-1
333
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
2.3.
Interférences à ondes multiples
Considérons à présent une lame mince à faces parallèles ayant subit un traitement de surface
permettant d’augmenter son pouvoir de réflexion. Lorsqu’une telle lame est éclairée à l’aide
d’une source étendue monochromatique, elle donne naissance :
– à un système d’ondes transmises se propageant parallèlement les unes aux autres ;
– à un système d’ondes réfléchies se propageant également parallèlement les unes aux
autres.
Les ondes transmises d’une part, et réfléchies d’autres part se superposent à l’infini. La figure
d’interférence obtenue est alors localisée à l’infini. Dans la pratique, pour observer une telle
figure d’interférence, il faut placer un écran très loin de la lame à face parallèle ou dans le plan
focal image d’une lentille convergente de projection disposée parallèlement aux surfaces de la
lame.
Nous avons montré (§2.1.) que dans de tels cas il faut tenir compte de l’ensemble des ondes
transmises (respectivement réfléchies) pour calculer l’intensité totale transmise (respectivement
réfléchie).
Pour calculer l’amplitude résultante, d’une part par transmission etd’autre part par réflexion,
nous allons nous baser sur le schéma de la figure 17.9. Ce schéma définit, entre autres, les
coefficients de réflexion et de transmission en amplitude qui interviendront dans le calcul des
amplitudes transmise et réfléchie. Nous allons aussi adopter une description par onde quasiplane
en notant a0 l’amplitude complexe de l’onde incidente au niveau de la lame mince. L’intensité
correspondante est I0 = K |a0 |2 , où K est une constante de proportionnalité.
a0
ar
}|
z
{
...
n0
t2
t1
−r1
r1
n
e
r1
t2
n0
|
{z
at
...
}
F IGURE 17.9 – Réflexions et transmissions multiples par une lame mince à faces parallèles.
Y. E L A ZHARI
334
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
2.3.1. Étude par transmission
2.3.1.1.
Amplitude et intensité résultantes
L’amplitude totale at transmise par la lame mince s’obtient par sommation des amplitudes
des différentes ondes transmises selon :
(17.56)
at = t1 t2 a0 1 + r12 exp i ϕt + r14 exp 2 i ϕt + · · ·
Dans cette expression, nous avons choisi comme origine de phases celle de la première onde
transmise au point d’observation. Nous voyons apparaître entre crochets la somme des N premiers termes d’une suite géométrique de raison r12 exp i ϕt , donc :
a t = t1 t2 a 0
N
1 − r12 exp i ϕt
1 − r12 exp i ϕt
(17.57)
Le nombre N des ondes à prendre en compte étant en général très grand et |r12 exp i ϕt | < 1 ;
on peut alors négliger r12 exp i ϕt devant 1 et écrire :
a t = t1 t2 a 0
1
1 − r12 exp i ϕt
(17.58)
On reconnaît dans cette expression le coefficient de réflexion en intensité R = r12 de la première
face de la lame. L’intensité transmise, proportionnelle à |at |2 , peut alors s’écrire :
It
= K at a∗t
1
1
1 − R exp i ϕt 1 − R exp −i ϕt
1
= K t21 t22 |a0 |2
1 + R2 − 2 R cos ϕt
1
= K t21 t22 |a0 |2
ϕt
2
1 + R − 2 R + 4 R sin2
2
= K t21 t22 |a0 |2
Nous pouvons alors écrire :
It = It0 A(ϕt )
(17.59)
où A désigne la fonction d’A IRY définie par :
A(ϕt ) =
1
1 + F sin2
ϕt
2
(17.60)
avec :
F=
CRMEF / AGP-1
4R
(1 − R)2
335
(17.61)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
et :
It0
t21 t22
I0
(1 − R)2
2
T
I0
1−R
=
=
(17.62)
(17.63)
I0 = K |a0 |2 étant l’intensité de l’onde incidente.
Dans le cas où nous pouvons négliger l’absorption dans les couches réfléchissantes, les
coefficients de réflexion R et de transmission T vérifient R + T = 1 de sorte que :
It0 = I0
2.3.1.2.
(17.64)
Étude de la figure d’interférence
La figure 17.10 donne une représentation graphique de la fonction d’A IRY A en fonction du
déphasage ϕt . La fonction d’A IRY est une fonction paire et 2 π-périodique. Elle est constituée
d’une succession de pics de profil lorentzien puisque, au voisinage de ϕt = 0 :
A(ϕt ) =
1
(17.65)
ϕ2
1+F t
4
A(ϕt )
R
0, 2
0, 5
0, 8
0, 95
①
②
③
④
1
①
−4 π
−2 π
0
2π
4π
②
③ ϕt
F IGURE 17.10 – Fonction d’A IRY.
La figure 17.10 montre que les pics sont d’autant plus pointus que F a une valeur importante.
En effet, nous pouvons déterminer la largeur totale à mis hauteur ∆ϕt1/2 de l’un quelconque
des pics de A définie par :
A(k 2 π ±
∆ϕt1/2
1
)=
2
2
donc :
sin
Y. E L A ZHARI
∆ϕt1/2
4
où
1
= √
336
F
k∈Z
(17.66)
(17.67)
CRMEF / AGP-1
F
1, 25
8
80
1520
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
Dans la pratique F ≫ 1 et sin
∆ϕt
1/2
2
≪ 1 de sorte que :
2 (1 − R)
4
√
∆ϕt1/2 = √ =
F
R
(17.68)
Les pics de la fonction d’A IRY sont donc d’autant plus fins que F a une valeur importante. F
est appelée de ce fait finesse des pics.
La table 17.1 donne les valeurs de F et ∆ϕt1/2 pour quelques valeurs usuelles de R.
R
F
∆ϕt1/2
0, 8
80
0, 45
0, 9
360
0, 21
0, 95
1520
0, 10
0, 99
39600
0, 02
TABLE 17.1 – Finesse F et largeur totale à mi-hauteur ∆ϕt1/2 des pics de la fonction d’A IRY
pour différentes valeurs du coefficient de réflexion R en intensité.
Pour observer la figure d’interférence, nous utilisons le montage décrit figure 17.6. Ce montage permet de ramener la figure d’interférence dans le plan focal image de la lentille convergente de projection. Elle est constituée d’anneaux alternativement brillants et sombres comme
le montre la figure 17.11. La comparaison des franges ainsi obtenues avec les anneaux de H AI DINGER (figure 17.7) permet d’apprécier la finesse des franges obtenues par interférence à
ondes multiples.
(a) Transmission
(b) Réflexion
F IGURE 17.11 – Franges d’égale inclinaison à ondes multiples obtenues en transmission et en
réflexion.
CRMEF / AGP-1
337
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
2.3.2. Étude par réflexion
L’amplitude totale ar réfléchie par la lame mince s’obtient par sommation des amplitudes
des différentes ondes réfléchies selon :
ar = −r1 a0 + t1 t2 r1 a0 exp i ϕr 1 + r12 exp i ϕr + r14 exp 2 i ϕr + · · ·
(17.69)
L’origine des phases est choisie comme étant celle de la première onde réfléchie au point d’observation. Entre crochets apparaît la somme des N premiers termes d’une suite géométrique de
raison r12 exp i ϕr , donc
N
1 − r12 exp i ϕr
ar = −r1 a0 + t1 t2 r1 a0 exp i ϕr
1 − r12 exp i ϕr
(17.70)
Le nombre N des ondes à prendre en compte étant en général très grand et |r12 exp i ϕr | < 1 ;
nous pouvons alors négliger r12 exp i ϕr devant 1 et écrire :
ar
=
=
=
1
−r1 a0 + t1 t2 r1 a0 exp i ϕr
1 − r12 exp i ϕr
t1 t2 exp iϕr
−r1 a0 1 −
1 − r12 exp i ϕr
1 − (r12 + t1 t2 ) exp i ϕr
−r1 a0
1 − r12 exp i ϕr
(17.71)
On reconnaît dans cette expression le coefficient de réflexion en intensité R = r12 de la première
face de la lame. D’autre part, on peut montrer à partir des relations de F RESNEL que les deux
dioptres limitant la lame à faces parallèles possèdent le même coefficient de transmission en
intensité T donné par T = t1 t2 . Il vient alors :
ar
= −r1 a0
1 − (R + T ) exp i ϕr
1 − R exp i ϕr
(17.72)
En l’absence d’absorption R + T = 1 de sorte sue :
ar
= −r1 a0
1 − exp i ϕr
1 − R exp i ϕr
(17.73)
L’intensité réfléchie, proportionnelle à |ar |2 , peut alors s’écrire :
Ir
= K ar a∗r
1 − exp i ϕr 1 − exp −i ϕr
1 − R exp i ϕr 1 − R exp −i ϕr
2 − 2 cos ϕr
= R I0
1 + R2 − 2 R cos ϕt
= K r12 |a0 |2
de la d forme
Ir = I0 B(ϕr )
Y. E L A ZHARI
338
(17.74)
CRMEF / AGP-1
2.. FRANGES D’ÉGALE INCLINAISON
avec :
ϕr
2
ϕr
sin2
2
F sin2
B(ϕr ) =
1+F
(17.75)
et :
F=
4R
(1 − R)2
(17.76)
Ces expressions montrent que, dans le cas où l’absorption peut être négligée, les deux figures d’interférence obtenues par transmission et par réflexion sont complémentaires l’une de
l’autre (It + Ir = I0 ).
2.3.3. Applications
2.3.3.1.
Interféromètre de FABRY -P ÉROT
L’application la plus importante de la théorie précédente est sans doute l’interféromètre de
FABRY-P ÉROT. Un tel interféromètre est constitué. . .
2.3.3.2.
Étalon de FABRY -P ÉROT
Un étalons de FABRY-P ÉROT est une lame à faces parallèles d’épaisseur uniforme fixe
e taillée dans un matériau transparent d’indice de réfraction n et dont les faces ont subit un
traitement par dépôt métallique permettant d’augmenter leurs coefficients de réflexion. Le tout
étant en général optimisé pour une longueur d’onde de travail déterminée.
Il existe par exemple un étalon FABRY-P ÉROT optimisé pour l’étude de l’effet Z EEMAN sur
la raie rouge du cadmium de longueur d’onde λ = 643, 8 nm. Il s’agit d’une lame d’épaisseur
e = 4 mm de suprasil, d’indice de réfraction n = 1, 457. Le constructeur assure un pouvoir
résolvant λ/∆λ = 4 × 105 pour λ = 644 nm.
2.3.3.3.
Cavité laser
2.3.3.4.
Filtres interférentiels
Un filtre interférentiel est constitué d’une lame transparente à faces parallèles taillée dans un
matériau diélectrique d’indice de réfraction n. Les deux faces de la lame ont reçu un traitement
qui rend la lame partiellement réfléchissante. Éclairée par un rayonnement polychromatique,
une telle lame ne transmet que certaines radiations du rayonnement incident.
Soit à fabriquer un filtre interférentiel pour la longueur d’onde Λ. Les épaisseurs optimales
em de la lame à faces parallèles sont telles que :
ϕ=
CRMEF / AGP-1
2π
2 n e cos r = m 2 π
Λ
339
(m ∈ Z)
(17.77)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
soit, étant donné que les filtres interférentiels sont destinés à être utilisés sous incidence normale :
em = m
Λ
2n
(m ∈ N∗ )
(17.78)
La bande passante ∆λ1/2 de tels filtres s’obtient à partir de la relation (17.68) donnant la
largeur à mi-hauteur des pics de la fonction d’A IRY et l’expression (17.7) du déphasage pour
les ondes transmises. Elle est telle que :
mπ p
λ
F
=
∆λ1/2
2
(17.79)
où F est la finesse des pics d’A IRY donnée par la relation (17.61). Numériquement, pour R =
0, 95, on obtient λ/∆λ1/2 ≈ 61 pour un filtre tel que m = 1. Ceci donne, par exemple,
∆λ1/2 ≈ 9 nm pour λ = 546 nm.
L’épaisseur e de la lame à faces parallèles étant fixée à la valeur optimale (17.78) pour la
longueur d’onde Λ, le filtre interférentiel transmet également les longueurs d’onde λp données
par :
λp =
2ne
p
(p ∈ N∗ )
(17.80)
ou, en fonction de la longueur d’onde Λ pour laquelle le filtre interférentiel a été construit :
λp =
m
Λ
p
(17.81)
Le tableau ci-dessous donne les longueurs d’ondes transmises selon les valeurs de m et p.
p
1
2
3
4
...
1
Λ
Λ/2
Λ/3
Λ/4
2
2Λ
Λ
2Λ/3
Λ/2
m
3
3Λ
3Λ/2
Λ
3Λ/4
4
4Λ
2Λ
4Λ/3
Λ
...
Ceci montre l’intérêt de travailler avec l’épaisseur minimale c’est-à-dire celle obtenue pour
m = 1, soit :
e=
Λ
2n
(17.82)
Exemple
Pour Λ = 546 nm, alors λ1 = Λ = 546 nm et les autres longueurs d’ondes transmises sont
toutes dans l’UV : λ2 = Λ/2 = 273 nm, λ3 = Λ/3 = 182 nm, . . .
Y. E L A ZHARI
340
CRMEF / AGP-1
3.. FRANGES D’ÉGALE ÉPAISSEUR OU FRANGES DE FIZEAU
3.
Franges d’égale épaisseur ou franges de F IZEAU
Ce sont les franges obtenues à l’aide de lames minces ordinaires 4 d’épaisseur variable ou
non uniforme. En général, elles sont modélisées par un coin de matière ou un coin d’air éclairé
sous incidence normale ou quasi-normale. Compte tenu de ce qui a précédé, on s’intéresse en
général au système de franges obtenu par réflexion car il présente un meilleur contraste.
3.1.
Localisation des franges
Il y a interférence entre l’onde R1 réfléchie par la première face de la lame et l’onde R2
réfléchie par la deuxième face (figure). La figure 17.12 montre que la surface de contraste
maximum, ou surface de localisation des franges, est située au voisinage du coin. Les franges
sont donc localisées sur le coin.
F IGURE 17.12 – Localisation des franges d’égale épaisseur.
3.2.
Déphasage
L’angle α du coin étant faible, localement la lame se comporte comme une lame à faces
parallèles. Le déphasage entre les ondes réfléchies R1 et R2 est encore donnée par la relation :
ϕr =
3.3.
4πne
cos r
λ
(17.83)
Intensité et nature des franges
Les deux surfaces du coin n’ayant subi aucun traitement pour augmenter leur coefficient de
réflexion, on peut se restreindre aux deux premières ondes réfléchies :
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
(17.84)
4. Les surfaces de la lame mince n’ont pas subi de traitement spécial par dépôt métallique ou autre.
CRMEF / AGP-1
341
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Les surfaces d’égale intensité sont les surfaces correspondant à ϕ = constante, soit :
e(M) cos r(M) = constante
(17.85)
Très souvent, les dispositifs sont éclairés sous incidence normale fixe de sorte que les surfaces
d’égale intensité se confondent avec les surfaces correspondant à la même épaisseur de la lame.
Les franges d’interférences correspondent aux intersections des surfaces d’égale intensité
avec la surface de localisation. Ce sont des franges d’égale épaisseur :
e(M) = constante
(17.86)
Dans le cas d’un coin d’air ou d’un coin de matière, l’épaisseur est donnée par e(M) = α x.
Les franges sont rectilignes et parallèles à l’arête du coin.
3.3.1. Étude d’un coin de verre
Considérons un coin de verre d’angle α ≪ 1 taillé dans un matériau optique d’indice de réfraction n. Le coin de verre est éclairé sous incidence normale par une onde quasi-monochromatique
de longueur d’onde λ et d’amplitude complexe a0 provenant d’une source étendue Σ.
a0
(∆)
a1
a2
n
α
x
F IGURE 17.13 – Ondes réfléchies par un coin de verre.
Les ondes réfléchies 5 par les deux dioptres du coin de verre peuvent être écrites :
a1 = r1 a0
(17.87)
a2 = r2 t1 t2 a0 exp i ϕr
(17.88)
et
où les coefficients de réflexion et de transmission sont donnés approximativement (incidence
quasi-normale) par :
r1 =
1−n
1+n
;
r2 = −r1
;
t1 =
1
1+n
;
t2 =
2n
1+n
(17.89)
L’amplitude résultante réféchie est donc :
(17.90)
ar = r1 a0 (1 − t1 t2 cos ϕr )
L’intensité réfléchie Ir = K ar a∗r s’en déduit et peut être mise sous la forme :
p
Ir = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
(17.91)
5. On s’intéresse aux interférences obtenues par réflexion car elles présentent un meilleur contraste que celles
produites par les ondes transmises.
Y. E L A ZHARI
342
CRMEF / AGP-1
3.. FRANGES D’ÉGALE ÉPAISSEUR OU FRANGES DE FIZEAU
à condition de poser :
ϕ = ϕr + π =
4πne
+π
λ
(17.92)
Le contarste des franges est donné par :
C=
2 t1 t2
1 + t21 t22
(17.93)
L’angle α du coin étant petit, on peut écrire :
(17.94)
e(x) ≈ α x
Les franges d’interférence sont rectilignes et parallèles à l’arête ∆ des deux dioptres. L’interfrange i vaut :
i=
λ
2α
(17.95)
3.3.2. Étude d’un coin d’air
Deux lames de verre taillées dans un matériau optique d’indice de réfraction n sont disposées dans l’air, d’indice de réfraction n0 ≈ 1, comme indiqué figure 17.14. Ce dispositif
est éclairé sous incidence quasi-normale à l’aide d’une onde quasi-plane issue d’une source
lumineuse étendue supposée monochromatique de longueur d’onde λ. L’observation se fait par
réflexion.
a0
(∆)
n
n
a1 a2
α
F IGURE 17.14 – Ondes réfléchies par un coin d’air.
Les ondes réfléchies par les deux dioptres constituant le coin d’air s’écrivent respectivement :
a1 = t1 r2 t2 a0
(17.96)
a2 = r1 t21 t22 a0 exp i ϕr
(17.97)
et
Les coefficients de réflexion et de transmission sont donnés par les relations (17.89). Un calcul
similaire à celui du coin de verre conduit à l’epression de l’intensité totale réléchie :
p
(17.98)
Ir = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ϕ
CRMEF / AGP-1
343
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
avec :
I1 = r12 t21 t22 I0
I2 = r12 t41 t42 I0
;
(17.99)
et :
ϕ = ϕr + π =
4πne
+π
λ
(17.100)
Le contarste des franges est donné par :
C=
3.4.
2 t1 t2
1 + t21 t22
(17.101)
Exemples de réalisations expérimentales
3.4.1. Anneaux de N EWTON
Le dispositif des anneaux de N EWTON est constituée de deux surfaces ayant la symétrie
de révolution autour d’un axe commun. L’une au moins de ces deux surfaces est sphérique. La
figure 17.15 montre les trois cas possibles de dispositifs des anneaux de N EWTON.
R
n
e
n
ρ
F IGURE 17.15 – Différents types de dispositif interférentiel des anneaux de N EWTON.
Exprimons l’épaisseur e(ρ) de la lame d’air comprise entre les deux dioptres, ρ étant la
distance à l’axe du dispositif. Sachant que :
R2 = ρ2 + (R − e)2
(17.102)
Nous obtenons, au premier ordre en ρ/R :
ρ2
(17.103)
2R
Les franges d’interférence sont donc des anneaux concentriques sur l’axe du dispositif.
e(ρ) =
La figure ?. ? montre d’autres cas possibles d’anneaux de N EWTON et donne l’expression
de la fonction épaisseur correspondante.
ρ2
1
1
• e(ρ) = 2
R1 + R2
ρ2
1
1
• e(ρ) = 2
R1 − R2
Y. E L A ZHARI
344
CRMEF / AGP-1
3.. FRANGES D’ÉGALE ÉPAISSEUR OU FRANGES DE FIZEAU
3.4.2. Dispositif de M ICHELSON
3.5.
Applications
3.5.1. Méthode de TOLANSKY pour la mesure de l’épaisseur d’une couche
mince
3.5.1.1.
Principe de la méthode
On réalise un coin d’air à l’aide d’une lame semi-réfléchissante L1 et d’une lame L2 sur
une partie de laquelle a été déposée la couche mince (CM) dont on veut déterminer l’épaisseur
d (figure 17.16 (b)). Les faces en regard des deux lames font entre elles un petit angle α (figure
17.16 (a)).
z
(a)
(b)
z
y
L1
L1
CM
L2
CM
d
α
x
x
L2
y0
y
F IGURE 17.16 – Coin d’air. (a) : vue en perspective, (b) vue de face.
Le coin d’air ainsi constitué est éclairé en lumière monochromatique de longueur d’onde λ,
sous incidence normale, au moyen d’un miroir M semi-transparent de façon à ce que le faisceau
incident éclaire le bord de la couche mince (figure 17.17).
Lorsque le coin d’air est observé par réflexion, on voit des franges d’interférence d’égale
épaisseur localisées sur le coin d’air (figure 17.18).
Sur le bord de la couche mince, l’épaisseur αx du coin d’air subit une discontinuité égale à
d ce qui se traduit sur la figure d’interférence par un décalage x2 − x1 (figure 17.18).
Sachant qu’une frange d’interférence représente l’ensemble des points de l’espace pour
lesquels l’épaisseur αx du coin d’air est la même (franges d’égale épaisseur), on peut écrire
α x1 = α x2 − d
où x1 et x2 sont les abscisses des deux portions d’une même frange d’interférence de part et
d’autre de la discontinuité (figure 17.18(b)) et α l’angle du coin d’air relié à l’interfrange i par
la relation i = α λ/2. On en déduit la relation donnant l’épaisseur d de la couche mince
d=
CRMEF / AGP-1
λ x2 − x1
2
i
345
(17.104)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
M
L1
CM
L2
F IGURE 17.17 – Coin d’air éclairé par un faisceau parallèle de lumière monochromatique.
y
i
y0
x
x1 x2
(b) Schéma
(a) Photo
F IGURE 17.18 – Franges du coin d’air au niveau de la discontinuité d’épaisseur.
3.5.1.2.
Dispositif expérimental
Le dispositif expérimental est construit autour d’un microscope métallographique dans lequel l’objectif (standard) a été remplacé par une chambre de M ICHELSON (figure 17.19).
La chambre de M ICHELSON est constituée principalement d’une lame semi-réfléchissante
(Ls ) et d’un miroir plan (M1 ) orientable permettant de transformer le microscope en un interféromètre de M ICHELSON. La couche mince dont on veut mesurer l’épaisseur et son substrat
jouent le rôle du deuxième miroir (M2 ). Comme dans un interféromètre de M ICHESLON classique donnant des franges d’égale épaisseur (ou franges de F IZEAU), le coin d’air est constitué
par M2 et l’image M′1 de M donnée par Ls . La chambre de M ICHELSON dispose aussi d’une
grille micrométrique dont la projection sur le coin d’air permet de repérer des distances (interfrange, décalage des franges . . .). Le schéma du dispositif est reporté figure 17.19.
Y. E L A ZHARI
346
CRMEF / AGP-1
3.. FRANGES D’ÉGALE ÉPAISSEUR OU FRANGES DE FIZEAU
Oculaire
Source
L
F
Ls
M1
Échantillon
F IGURE 17.19 – Schéma représentatif du microscope métallographique transformé en interféromètre. F : filtre jaune, L et Ls : lames semi-réfléchissantes, M1 : miroir plan orientable.
3.5.2. Couleurs des lames minces
Une pellicule d’huile ou de carburant sur l’eau, ou une bulle de savon, éclairée par le Soleil
(atmosphère). La source étant étendue, on obtient des interférences localisées au niveau de la
lame d’épaisseur variable. Ce sont des franges d’égale épaisseur de différentes couleurs car la
source est polychromatique (lumière blanche). L’épaisseur est constante le long d’une frange.
CRMEF / AGP-1
347
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 17. INTERFÉRENCES LOCALISÉES
Exercices du chapitre 17
Ex. 17.1 — E
1. E
Y. E L A ZHARI
348
CRMEF / AGP-1
CHAPITRE
18
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Dans le cadre de la description ondulatoire de la lumière, nous avons pu dans les chapitres
précédents étudier différents phénomènes optiques tels que :
– la propagation libre de la lumière en ligne droite dans un milieu homogène et selon des
trajectoires curvilignes dans des milieux inhomogènes ;
– la réflexion sur les surfaces réfléchissantes et la réfraction au niveau des dioptres ;
– les interférences lumineuses produites par différents dispositifs interférentiels ;
– . . .etc.
Pour ce faire, nous avions fait appel à l’approximation de l’optique géométrique 1 qui
consiste à négliger les variations spatiales de l’amplitude de la vibration lumineuse 2 sur des
distances de l’ordre de la longueur d’onde de la radiation lumineuse. La formulation de cette
approximation permet aussi de prévoir ses limites de validité. En effet 3 , en présence de fortes
variations d’indice de réfraction et/ou d’écrans opaques limitant latéralement le front d’onde
de la vibration lumineuse, d’autres phénomènes apparaissent et ne peuvent être décrits dans
le cadre de l’approximation de l’optique géométrique. Ce sont les phénomènes de diffraction
lumineuse.
1.
Phénomène de diffraction
1.1.
Présentation générale
D’après ce qui précède, nous dirons d’une lumière qu’elle est diffractée quand elle subit
une déviation qui ne peut être expliquée dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique 4 .
1.
2.
3.
4.
En partant des équations de M AXWELL.
La vibration lumineuse représente l’une des composantes du champ électromagnétique associé à la lumière.
Voir le chapitre 2 intitulé « Fondements de l’optique géométrique ».
Par réflexion, réfraction, diffusion, ou courbure des rayons lumineux dans un milieu inhomogène.
349
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Pour décrire ce nouveau phénomène, nous allons faire appel à un principe supplémentaire 5 :
le principe de H UYGHENS– F RESNEL.
Comme dans cadre de l’approximation de l’optique géométrique, nous allons nous contenter
de décrire la grandeur lumineuse par une grandeur scalaire. Nous parlerons alors de théorie
scalaire de la diffraction.
De ce fait, la théorie scalaire de la diffraction constituera une meilleure approximation 6
pour décrire les phénomènes lumineux.
1.2.
Condition d’observation
En fait, le phénomène de diffraction est intimement lié à la propagation de la lumière, même
dans le cas où l’approximation de l’optique géométrique peut être considérée comme satisfaisante. Mais pour l’observer, il faudra se placer dans les conditions de violation de cette approximation. C’est le cas lorsque la lumière se propage en présence :
– de diaphragmes munis d’ouvertures dont les dimensions linéaires ne sont pas « très
grandes » 7 devant la longueur d’onde λ de la radiation lumineuse, c’est la diffraction
par les objets d’amplitude ;
– de forte variations d’indice de réfraction sur des distances de l’ordre de la longueur
d’onde, on parle alors de diffraction par les objets de phase.
La figure 18.1(a) montre une photographie montrant la diffraction de la lumière d’un lampadaire et de feux de véhicules par les traces d’essuie-glaces laissées sur le pare-brise d’une
voiture.
Remarque
En fait le phénomène de diffraction ne concerne pas uniquement les ondes lumineuses. Toutes
les ondes peuvent subir une diffraction sur les obstacles qui entravent leur propagation :
— pour les ondes sonores, la longueur d’onde λ est de l’ordre de quelques 10 cm ; ce qui
explique la diffraction de ces ondes par la bouche le l’individu qui parle, les fenêtres,
les portes, . . .etc. 8 ;
— pour les ondes radio, la longueur d’onde λ est de l’ordre de quelques cm à quelques km ;
ce qui explique la diffraction par les maisons, les arbres, les collines, les montagnes,
. . .etc. 9 ;
— ondes à la surface de l’eau (figure 18.1(b)).
5. Une autre manière d’aborder le sujet consiste à repartir des équations de M AXWELL et à utiliser des approximations appropriées moins fortes que l’approximation de l’optique géométrique : c’est l’approche de K IRCHHOFF.
6. Ou approximation d’ordre supérieur par rapport à l’approximation de l’optique géométrique.
7. Les limites dépendent fortement de la résolution de la chaine de détection. Il n’est pas rare dans domaine visible,
de pouvoir apprécier les phénomènes de diffraction par des ouvertures de dimensions caractéristiques allant au-delà
d’un millier longueurs d’onde.
8. permet d’entendre même si on n’est pas devant la personne qui parle.
9. permet la réception de ces ondes dans les vallées . . .
Y. E L A ZHARI
350
CRMEF / AGP-1
2.. PRINCIPE DE HUYGHENS – FRESNEL
(a) La photographie prise de l’intérieur d’une voiture en
stationnement illustre la diffraction de la lumière issue des
lampadaires et des phares d’autres véhicules par les traces
laissées par les balaies d’essuie-glace sur le pare-brise de
la voiture.
(b) Illustration du phénomène de diffraction des ondes à
la surface de l’eau.
F IGURE 18.1 – Illustration des phénomènes de diffraction des ondes lumineuses (a) et à la
surface de l’eau (b).
2.
Principe de H UYGHENS – F RESNEL
Le principe de H UYGHENS -F RESNEL constitue un moyen efficace pour décrire la quasi totalité des phénomènes rencontrés en optique dans le cadre de la théorie scalaire de la diffraction
dont il peut être considéré comme le principe fondamental.
2.1.
Énoncé du principe
Sous sa forme opérationnelle, le principe de H UYGHENS – F RESNEL est le résultat de deux
contributions : celle de H UYGHENS () et celle de F RESNEL ().
2.1.1. Contribution de H UYGHENS ()
La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par l’onde
lumineuse se comporte comme une source secondaire (fictive) qui émet vers l’avant des ondelettes sphériques dont l’amplitude est proportionnelle à cet élément.
Remarque
La figure 18.2 illustre le postulat de H UYGHENS. Elle montre en particulier comment la surface
d’onde est reconstituée à la date t+∆t à partir de la surface d’onde à la date t comme enveloppe
à l’instant t + ∆t des ondelettes sphériques émises par la surface d’onde à l’instant t.
CRMEF / AGP-1
351
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
ondelettes sphériques
c ∆t
surface d’onde à l’instant t
surface d’onde à l’instant t + ∆t
F IGURE 18.2 – Reconstitution de la surface d’onde à l’instant t + ∆t à partir des ondelettes
sphériques émises par les différentes sources fictives points de la surface d’onde à l’instant t.
2.1.2. Contribution de F RESNEL ()
Les sources secondaires (fictives) sont cohérentes entre elles : l’amplitude de la vibration
lumineuse en un point est la somme des amplitudes des vibrations produites par toutes les
sources secondaires.
2.2.
Formulation mathématique
Considérons une onde lumineuse monochromatique 10 incidente dont l’amplitude à l’instant
t est donnée, au point P, par :
(18.1)
ψ 0 (P, t) = ψ 0 (P) exp(−i ω t)
D’après le postulat de H UYGHENS, l’amplitude émise par la source secondaire centrée au
point P de la surface d’onde Σ vaut, au point d’observation M, à l’instant t :
dψ P (M, t) = Q(P, M)
ψ 0 (P, t − rc )
r
(18.2)
dS(P)
où :
— r = ||r|| = ||PM|| est la distance entre les points P et M ;
— Q(P, M) est un facteur d’inclinaison homogène à l’inverse d’une longueur ;
10. En fait, dans toute la suite, et sauf mention explicite du contraire, l’onde considérée sera supposée être monochromatique. Si tel n’est pas le cas, il est toujours possible de faire appel à l’analyse de F OURIER en décomposant
l’onde incidente en ondes monochromatiques et appliquer le même traitement à chacune des composantes. La linéarité
des expressions qui seront établies permettra alors d’en déduire la réponse globale.
Y. E L A ZHARI
352
CRMEF / AGP-1
2.. PRINCIPE DE HUYGHENS – FRESNEL
M
Σ
ψ0
r
ψ(M)
dS(P)
P
n
F IGURE 18.3 – Surface fictive d’intégration.
— c est la célérité de la lumière dans le milieu considéré ;
— ψ 0 (P, t − rc ) = ψ 0 (P, t) exp(+i k r) avec k = ω/c.
La présence du facteur r au dénominateur traduit le caractère sphérique de l’ondelette émise
par la source secondaire :
exp (i k r)
dS(P)
(18.3)
r
D’après le postulat de F RESNEL on peut écrire l’amplitude résultante, émise par l’ensemble
des sources secondaires de Σ, au point M, à l’instant t, sous la forme :
dψ P (M, t) = Q(P, M) ψ0 (P, t)
avec :
ψ(M, t) = ψ(M) exp(−i ω t)
(18.4)
ZZ
exp(i k r)
ψ(M) = Q(P, M) ψ0 (P)
dS(P)
r
(18.5)
Σ
Cette expression, dans laquelle ψ 0 représente l’amplitude de l’onde incidente et Q(P, M)
un facteur d’inclinaison à préciser, constitue la formulation mathématique la plus générale du
principe de H UYGHENS – F RESNEL.
2.3.
Application à la diffraction par un diaphragme plan
La notion de diaphragme est à prendre au sens le plus large possible. En effet, on caractérisera le diaphragme par sa transmittance pupillaire ou coefficient complexe de transmission
t(P) défini par :
ψ + (P)
t(P) =
ψ(P)
(18.6)
ψ + (P) et ψ(P) désignent l’amplitude complexe de l’onde lumineuse au point P respectivement
avant et après l’écran.
L’expression (18.5) de l’amplitude diffractée reste valable à condition :
CRMEF / AGP-1
353
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
— d’intégrer sur la surface Σ de l’ouverture diffractante ;
(P) = t(P) ψ 0 (P) amplitude de l’onde juste après le dia— de remplacer ψ 0 (P) par ψ +
0
phragme.
L’amplitude diffractée par un tel diaphragme d’ouverture Σ est donc donnée par :
ZZ
exp(i k r)
dS(P)
(18.7)
ψ(M) = Q(P, M) t(P) ψ0 (P)
r
Σ
En convenant de prendre t(P) = 0 en dehors de l’ouverture diffractante, on peut écrire :
ZZ
exp(i k r)
ψ(M) = Q(P, M) t(P) ψ0 (P)
dS(P)
(18.8)
r
l’intégration étant étendue à tous les points du plan du diaphragme.
3.
Diffraction de F RAUNHOFER
Considérons un objet diffractant modélisé par un diaphragme plan D de transmisttance pupillaire ou coefficient complexe de transmission t(P) supposé connu en tout point P de l’écran.
Le diaphragme est éclairé par une onde lumineuse incidente ψ 0 .
3.1.
Approximation de F RAUNHOFER
Dans le cadre de l’approximation de F RAUNHOFER, le point M d’observation de la figure
de diffraction est rejeté très loin de la pupille diffractante 11 . Dans ce cas, avec les notations de
la figure 18.4, nous pouvons écrire :
r = PM = OM − OP = R − RP
ce qui donne r2 = ||r||2 = R2 + Rp2 − 2 R · RP . Soit :
r
RP · u RP2
+ 2
r =R 1−2
R
R
avec :
u=
R
R
et
R = ||R||
(18.9)
(18.10)
(18.11)
L’approximation de F RAUNHOFER (Rp /R ≪ 1) consiste à se restreindre au premier ordre
en Rp /R du développement limité de r. Ce qui donne :
r ≈ R − RP ·u
(18.12)
de telle sorte que le terme sphérique de l’expression (18.8) devient :
exp i k R
exp i k r
≈
exp −ik·Rp
r
R
(18.13)
11. théoriquement à l’infini.
Y. E L A ZHARI
354
CRMEF / AGP-1
3.. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
x
x′
x′
dS
RP
M
r
P
u
θx
R
θy
O
O′
Σ
y′
y
y
D
z
′
OO′ = D
F IGURE 18.4 – Notations pour la diffraction à grande distance.
où l’on a posé k = k u ; qui représente le vecteur d’onde de l’onde se propageant dans la
direction (O, u).
On peut noter que dans l’expression (18.13), deux approximations différentes ont été utilisées pour la même grandeur r. Alors qu’au dénominateur, nous nous sommes limités à l’ordre
zéro en remplaçant tout simplement r par R, dans l’argument de l’exponentielle complexe, nous
avons poussé le développement limité jusqu’au premier ordre (approximation de F RAUNHO FER). Ceci s’explique par la présence dans l’argument de l’exponentielle complexe du module
k = 2 π/λ très grand 12 du vecteur d’onde, capable d’amplifier les écarts éventuels et générer
des erreurs non négligeables sur la phase.
3.1.1. Expression de l’amplitude diffractée
Dans le cadre de l’approximation de F RAUNHOFER, nous admettons que le facteur d’inclinaison Q est constant et vaut Q = i1λ de sorte que, compte tenu de (18.13), l’expression de
l’amplitude diffractée par le diaphragme de transmittance pupillaire t devienne :
ZZ
exp i k R
t(P) ψ 0 (P) exp −ik·RP dS(P)
ψ(M) =
iλR
(18.14)
3.1.2. Limite de validité de l’approximation de F RAUNHOFER
On peut montrer qu’à l’ordre deux, la distance r = ||r|| est donnée par :
"
2 #
Rp2
RP ·u
1−
r ≈ R − RP ·u +
2R
R
(18.15)
Mais, compte tenu de l’approximation paraxiale et de la modélisation de l’objet par un diaphragme plan, les vecteurs Rp et u sont quasi-orthogonaux de sorte que leur produit scalaire
12. la longueur d’onde λ étant de l’ordre de quelques dixièmes du micromètre.
CRMEF / AGP-1
355
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
est négligeable. Il reste alors :
r ≈ R − RP ·u +
Rp2
2R
(18.16)
Ainsi, pour que l’approximation de F RAUNHOFER puisse donner une description satisfaisante de la distribution d’amplitude, il faut que :
k Rp2
≈1
2R
(18.17)
Rp2
≈1
λR
(18.18)
(Rp2 )max
≪1
λR
(18.19)
(Rp2 )max
1
6
λR
1000
(18.20)
exp i
c’est-à-dire :
1 + iπ
soit :
π
Si 13 nous prenons comme limite :
π
alors, l’approximation de F RAUNHOFER est satisfaisante si l’écran d’observation est placé à
une distance R du diaphragme diffractant telle que :
R > 250 π
∅2
λ
(18.21)
où ∅ est une dimension linéaire caractéristique de l’ouverture 14 .
Ordres de grandeur
•
∅ = 0, 1 mm, λ = 633 nm donnent R > 3 m ;
•
∅ = 1 mm, λ = 633 nm donnent R > 310 m ;
•
∅ = 10 cm, λ = 0, 5 µm donnent R > 3928 km !
3.2.
Diaphragme éclairé par une onde plane
Considérons le cas où l’écran diffractant D est éclairé par une onde incidente plane monochromatique se propageant dans la direction du vecteur d’onde k0 = k0 u0 = 2π
λ u0 :
ψ 0 (P, t) = ψ 0 (P) exp (−i ω t) = ψ 0 exp i (k0 ·OP − ω t)
(18.22)
13. La limite adoptée dépend de la précision recherchée ; elle même en relation avec la résolution de la chaine de
détection utilisée.
14. Diamètre d’une ouverture circulaire par exemple.
Y. E L A ZHARI
356
CRMEF / AGP-1
3.. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
Dans ce cas, l’expression générale (18.14) donne par remplacement de l’expression de ψ 0 (P, t) :
ZZ
exp i k R
ψ(M) = ψ 0
t(P) exp [−i (k − k0 )·OP] dS(P)
(18.23)
iλR
soit :
ZZ
ψ(M) = A t(P) exp [−i (k − k0 )·OP] dS(P)
(18.24)
où A est une constante complexe et :
OP
x
y
0
(18.25)
En posant :
k0 =
on obtient :
2π
λ
α0
β0
γ0
et
k=
2π
λ
α
β
γ
(18.26)
ZZ
2π
ψ(M) = A t(x, y) exp −i
[(α − α0 ) x + (β − β0 ) y] dx dy
λ
(18.27)
ZZ
ψ(M) = A t(x, y) exp −i 2π [(u − u0 ) x + (v − v0 ) y] dx dy
(18.28)
que l’on peut écrire :
avec :
β0
α
β
α0
v0 =
u=
v=
λ
λ
λ
λ
Ainsi l’amplitude totale diffractée en M est donnée par :
u0 =
avec :
ψ(M) = ψ(u, v) = A b
t(u − u0 , v − v0 )
ZZ
b
t(u, v) = t(x, y) exp −i 2π(u x + v y) dx dy
(18.29)
(18.30)
(18.31)
Cette expression constitue la formule de base de la diffraction de F RAUNHOFER. On peut
remarquer que dans ce cadre, l’amplitude diffractée au point M est proportionnelle à la transformée de F OURIER de la transmittance pupillaire de l’objet diffractant. Le plan d’observation
de la diffraction de F RAUNHOFER s’appelle alors plan de F OURIER. Les grandeurs u0 , v0 , u et
v sont appelées fréquences spatiales.
L’intensité diffractée au point M est donnée par I(M) = K ψ(M) ψ ∗ (M), K étant une
constante de proportionnalité et ψ ∗ (M) le complexe conjugué de ψ(M).
CRMEF / AGP-1
357
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
3.3.
Diffraction dans un plan image
3.3.1. Montage à deux lentilles
Considérons le montage représenté figure 18.5 composé d’une source So supposée ponctuelle et monochromatique, de deux lentilles convergentes L1 et L2 de distances focales images
respectives fi,1 et fi,2 , d’un diaphragme plan D muni d’une ouverture Σ et d’un écran d’observation E. La source So (xo , yo , zo ) est placée dans le plan focal objet de la lentille L1 . L’écran
d’observation E est placé dans le plan focal image de la lentille L2 . Si (Xi , Yi , Zi ) est l’image
géométrique de So par l’ensemble de deux lentilles {L1 , L2 }.
Ce montage permet de se placer dans les conditions de validité de l’étude entreprise au §3.2.
car :
– d’une part, la lentille L1 transforme l’onde sphérique émise par la source ponctuelle So
en une onde plane de vecteur d’onde k0 = 2λπ u0 parallèle à (So O1 ) qui éclaire le
diaphragme diffractant D ;
– la lentille L2 ramène la figure de diffraction de F RAUNHOFER formée à l’infini, sur
l’écran d’observation E.
x0
xi
u0
So
Fo,1
P
u
M
u
O
O1
Fi,2 z
Si
O2
u0
Σ
L1
E
L2
D
F IGURE 18.5 – Montage à deux lentilles pour l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER. En
tiretés les rayons lumineux obéissant aux lois de l’optique géométrique ; leur rencontre dans
le plan de l’écran E donne l’image géométrique Si de la source So par le système de lentilles
{L1 , L2 }.
Un tel montage permet donc d’observer la figure de diffraction de F RAUNHOFER donnée
par un écran plan éclairé par une onde monochromatique plane. L’ensemble de la formulation
élaborée au §3.2. est donc valable. Mais il reste à préciser les expressions des paramètres α0 ,
β0 , α et β imposées par le montage représenté figure 18.5.
Les plans (Fo,1 , x0 , y0 ) 15 et (Fi,2 , xi , yi ) 16 étant conjugués par le système de lentilles
{L1 , L2 }, les conditions de G AUSS imposent de travailler avec des rayons paraxiaux. Ceci permet d’exprimer les paramètres recherchés dans l’approximation des petits angles. Ce qui donne
les expressions approchées suivantes :
15. plan focal objet de L1 .
16. plan focal image de L2 .
Y. E L A ZHARI
358
CRMEF / AGP-1
3.. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
xo
fi,1
yo
β0 = −
fi,1
α0 = −
u0
xi
fi,2
yi
β=
fi,2
α=
et
u
γ0 = 1
(18.32)
γ=1
xi , yi , zi étant les coordonnées du point M de l’écran d’observation.
3.3.2. Montage à une seule lentille
Dans le cas du montage reporté figure 18.5, la distance séparant les deux lentilles L1 et L2
n’intervient pas dans l’expression de l’amplitude diffractée. Elle peut donc être fixée arbitrairement sans nuire à la généralité de l’étude entreprise pour ce montage. En particulier, on peut
rapprocher :
– d’une part le système {So , L1 } du diaphragme D, en maintenant la source So dans le plan
focal objet de la lentille L1 ;
– d’autre part le système {L2 , E} du diaphragme D, en maintenant l’écran E dans le plan
focal image de L2 ;
sans changer les phénomènes dus à la diffraction par D. On obtient alors un nouveau montage
(figure 18.6) équivalent au premier, dans lequel le diaphragme diffractant D est placé dans le
plan de la lentille équivalente aux deux lentilles accolées L1 et L2 . La distance focale image fi
de la lentille équivalente est donnée par la formule classique :
1
1
1
=
+
fi
fi,1
fi,2
(18.33)
x0
xi
M
So
u
O
Ao
Ai
Si
u0
z
Σ
do
L
di
D
E
F IGURE 18.6 – Montage à une seule lentille pour l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER. En
traits tiretés les rayons lumineux obéissant aux lois de l’optique géométrique ; leur rencontre
dans le plan de l’écran E donne l’image géométrique Si de la source So par la lentille L.
CRMEF / AGP-1
359
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Les expressions de l’intensité et de l’amplitude diffractée au point M du plan d’observation
établies au §3.2. sont encore valables à condition de prendre :
xo
do
yo
β0 = −
do
α0 = −
u0
xi
di
yi
β=
di
α=
et
u
γ0 = 1
(18.34)
γ=1
La répartition d’intensité dans le plan image de la source est alors donnée par :
I(X, Y ) ∝
ZZ
xo
yi
yo
2 π xi
( + ) x + ( + ) y dx dy
t(x, y) exp −i
λ
di
do
di
do
2
(18.35)
La répartition d’intensité dans le plan image E sera donc centrée autour du point de coordonnées (− ddoi xo , − ddoi yo ), qui n’est autre que l’image géométrique Si de la source So par la
lentille L 17 .
Au-delà du caractère pratique du montage à une seule lentille 18 (figure 18.6), ce paragraphe
montre que la figure de diffraction que l’on obtient dans un plan image 19 relève de la théorie
de la diffraction de F RAUNHOFER. Nous admettrons par la suite que ce résultat peut être généralisé pour une position quelconque du diaphragme diffractant D après la lentille L. La figure
18.7 donne alors le schéma d’un montage assez général permettant d’étudier la diffraction de
F RAUNHOFER par un diaphragme D avec 20 :
xo
do
yo
β0 = −
do
α0 = −
u0
xi
D
yi
β=
D
α=
et
u
(18.36)
γ=1
γ0 = 1
Ainsi, malgré le caractère d’apparence restrictif de l’approximation de F RAUNHOFER et des
conditions utilisées au §3.2., la diffraction de F RAUNHOFER revêt un caractère plus général. En
effet, d’après ce qui précède, c’est la théorie de la diffraction de F RAUNHOFER qui permet de
décrire la répartition d’intensité dans le plan de formation des images par les systèmes optiques.
Remarque
Les expressions précédentes des composantes (α, β, γ) du vecteur directeur u ne sont valables 21 que dans le cadre de l’approximation des petits angles (||O′ M|| ≪ ||OM|| selon les
notations de la figure 18.4). Si tel n’est pas le cas, on peut toujours faire appel aux expressions
17.
18.
19.
20.
21.
i =
En effet, la relation classique donnant le grandissement transversal donne : Gt = X
xo
qu’on utilise effectivement en travaux pratiques par exemple.
c’est-à-dire autour de l’image géométrique donnée par un système optique quelconque.
Expressions approchées, valables dans le cadre de l’approximation paraxiale.
C’est le cas aussi pour u0 .
Y. E L A ZHARI
360
Yi
yo
= − ddi .
o
CRMEF / AGP-1
3.. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
xo
xi
x
M
So
O u
u0
z
Si
Σ
D
E
D
L
do
di
F IGURE 18.7 – Montage général pour l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER. La source
ponctuelle So (xo , yo ) est placée à une distance do devant la lentille convergence L. L’écran
d’observation est placé à une distance D après le diaphragme diffractant, ses points courant ont
pour coordonnées M(xi , yi , D).
plus générales suivantes :
tan θx
α= p
1 + tan2 θx + tan2 θy
tan θy
β= p
1 + tan2 θx + tan2 θy
1
γ= p
2
1 + tan θx + tan2 θy
(18.37)
(18.38)
(18.39)
Dans le cas des petits angles (|θx |, |θy | ≪ 1), on retrouve bien :
α = θx
β = θy
(18.40)
γ=1
Dans le cas unidimensionnel 22 , il reste :
(18.41)
(18.42)
α = sin θ
γ = cos θ
3.4.
Quelques propriétés de la figure de diffraction
3.4.1. Translation de la pupille diffractante
Considérons une translation de la pupille diffractante dans le plan de celle-ci d’une quantité
OO′ (figure 18.8) et notons, dans le repère (O, x, y, z) :
22. Cela revient à rester dans un même plan – vertical par exemple – et prendre θy = 0 et poser θx = θ.
CRMEF / AGP-1
361
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
OO
x0
y0
0
′
P
x
y
0
P
′
x′
y′
0
(18.43)
x
P′
O′
P
P′
O
y
P
F IGURE 18.8 – Translation de la pupille diffractante dans son plan.
′
Soient t et t′ les transmittances pupillaires de P et P . Nous avons :
t′ (P′ ) = t(P)
c’est-à-dire
t′ (x′ , y ′ ) = t(x, y)
(18.44)
Avec, pour la pupille P :
ZZ
b
t(u, v) = t(x, y) exp [−i 2π (u x + v y)] dx dy
(18.45)
et pour la pupille P′ :
ZZ
tb′ (u, v) = t′ (x′ , y ′ ) exp [−i 2π (u x′ + v y ′ )] dx′ dy ′
(18.46)
Or, nous avons :
′
x = OP′ · ux = (OP + PP′ ) · ux = (OP + OO′ ) · ux = x + x0
y ′ = OP′ · uy = (OP + PP′ ) · uy = (OP + OO′ ) · uy = y + y0
(18.47)
et :
t′ (x′ , y ′ ) = t(x, y)
donc :
ZZ
tb′ (u, v) = t(x, y) exp −i 2π [u (x + x0 ) + v (y + y0 )] dx dy
Y. E L A ZHARI
362
(18.48)
(18.49)
CRMEF / AGP-1
3.. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
soit :
tb′ (u, v) = b
t(u, v) exp −i 2π(u x0 + v y0 ).
(18.50)
′
Les amplitudes diffractées par P et P sont donc reliées par :
′
(18.51)
ψ ′ (u, v) = ψ(u, v) exp −i 2π[(u − u0 )x0 + (v − v0 )y0 ] = ψ(u, v) exp −i (k − k0 ) · OO
Quant aux intensités diffractées, elles vérifient :
I ′ (u, v) = I(u, v)
(18.52)
La figure de diffraction reste donc inchangée par translation de la pupille diffractante dans son
plan.
3.4.2. Théorème de BABINET
Ce théorème porte aussi le nom de « théorème des écrans complémentaires ». Deux écrans,
ou diaphragmes D et D′ de transmittances pupillaires respectives t et t′ sont dits complémentaires (figure 18.9) s’ils vérifient en tout point P :
t(P) + t′ (P) = 1
(18.53)
D′
D
F IGURE 18.9 – Écrans complémentaires.
Dans ce cas, les transformées de F OURIER b
t de t et tb′ de t′ vérifient :
b
t(u, v) + tb′ (u, v) = δ(u, v)
(18.54)
ψ(u, v) + ψ ′ (u, v) = A δ(u − u0 , v − v0 )
(18.55)
où δ(u, v) désigne la distribution delta de D IRAC. Les amplitudes diffractées par ces deux
diaphragmes dans la direction (u, v) vérifient alors :
CRMEF / AGP-1
363
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Les intensités diffractées par deux écrans complémentaires vérifient :
′
I (u, v) = I(u, v) pour u 6= u0 et v 6= v0
I ′ (u0 , v0 ) 6= I(u0 , v0 )
(18.56)
ainsi deux écrans complémentaires donnent partout la même figure de diffraction sauf dans la
direction de propagation de l’onde incidente.
4.
Exemples de diffraction de F RAUNHOFER
Dans ce paragraphe, nous allons aborder l’étude de quelques cas concrets de diffraction
dans le cadre de validité de l’approximation de F RAUNHOFER. Pour cela, nous allons utiliser
le montage général de la figure 18.7. Toutefois, les résultats ainsi obtenus resteront valables
dans le cas du montage 18.5 à condition de remplacer la distance D séparant le diaphragme
diffractant et l’écran d’observation par la distance focale image fi,2 de la lentille de projection.
4.1.
Ouverture rectangulaire plane parfaitement transparente
Considérons un écran plan opaque D percé d’une ouverture rectangulaire Σ, centrée sur
l’origine O, parfaitement transparente et de dimensions a selon Ox et b selon Oy. Le coefficient
de transmission complexe ou transmittance pupillaire d’un tel diaphragme s’écrit :
1
pour
|x| 6 a2 et |y| 6 2b
(18.57)
t(x, y) =
0
ailleurs
La diaphragme D est éclairé, à travers la lentille convergente L, à l’aide d’une source ponctuelle monochromatique placée en So (xo , yo ).
4.1.1. Expression de l’intensité diffractée
La transformée de F OURIER b
t de t est donnée par :
b
t(u, v) =
Z
a
2
−a
2
Z
b
2
− 2b
exp −i 2π(u x + v y) dx dy
(18.58)
ce qui donne après calcul :
où l’on a posé 23 :
b
t(u, v) = a b sinc(π a u) sinc(π b v)
sinc η =
sin η
η
(18.59)
(18.60)
23. sinc est appelée fonction sinus cardinal. La figure 18.11(a) donne les représentations graphiques des fonctions
η−
7 → sinc η et η 7−→ sinc2 η.
Y. E L A ZHARI
364
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
L’amplitude ψ(u, v) de l’onde diffractée est donnée par :
t(u − u0 , v − v0 )
ψ(u, v) = A b
(18.61)
ψ(u, v) = A a b sinc[π(u − u0 )a] sinc[π(v − v0 )b]
(18.62)
soit :
L’intensité diffractée dans le direction (α, β) est alors donnée par :
h
i
2 πa
2 πb
I(α, β) = I0 sinc
(α − α0 ) sinc
(β − β0 )
λ
λ
(18.63)
4.1.2. Étude de la fonction de diffraction
La figure 18.10 donne la répartition d’intensité sur un écran placé perpendiculairement à
l’axe Oz dans les conditions d’observation de la diffraction de F RAUNHOFER. On peut remarquer que la répartition d’intensité présente des maxima et des minima.
F IGURE 18.10 – Figure de diffraction donnée par une ouverture rectangulaire.
4.1.2.1.
Maximum principal
Le maximum principal est obtenu dans la direction α = α0 et β = β0 . C’est-à-dire dans la
direction de propagation de l’onde incidente 24 . L’intensité vaut alors I = I0 .
24. Ou, ce qui revient au même, autour de l’image géométrique Si de la source So si l’on utilise l’un des montages
décrits figures 18.5 et 18.6
CRMEF / AGP-1
365
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Pour déterminer la largeur du maximum principal, plaçons-nous tout d’abord en β = β0 .
L’intensité diffractée dans la direction α est alors de la forme :
I(η) = I0 sinc2 η
(18.64)
avec η = πλa (α − α0 ). Cette fonction (figure 18.11(a)) s’annule dans les directions α = αp
données par :
αp = α0 + p
λ
a
p ∈ Z∗
(18.65)
On en déduit la largeur angulaire 25 totale ∆α du maximum principal selon la direction Ox :
∆α = 2
λ
a
(18.66)
De même, la largeur angulaire totale ∆β du maximum principal selon la direction Oy est
donnée par :
∆β = 2
λ
b
(18.67)
Nous en déduisons, la largeur angulaire totale de la tache centrale de diffraction :
∆α ∆β = 4
λ2
ab
(18.68)
Si nous utilisons un montage du type de celui de la figure 18.6, alors la surface de la tache
centrale de diffraction centrée en Si possède une surface ∆xi ∆yi donnée par :
Si = ∆xi ∆yi = 4
λ2 d2i
ab
(18.69)
Nous pouvons remarquer que cette tache qui devait se confondre avec un point dans le cadre
de l’approximation de l’optique géométrique, a des dimensions non nulles. Elle est d’autant plus
large que les dimensions a et b de la pupille diffractante sont petites.
4.1.2.2.
Maxima secondaires
La caractérisation des maxima secondaires de la figure de diffraction passe par la détermination de la position et de l’intensité des maxima secondaires de la fonction f : η 7−→ sinc2 η.
Ces maxima sont tels que :
df (η)
=0
dη
avec
η 6= p π
p∈Z
(18.70)
25. Dans le cadre de l’approximation des petits angles : α ≈ θx et β ≈ θy (voir figure 18.4).
Y. E L A ZHARI
366
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
c’est-à-dire 26 :
2 sinc η
η cos η − sin η
=0
η2
avec
(18.71)
p∈Z
η 6= p π
soit :
(18.72)
η = tan η
f (η)
f (η)
1
− 7π
2
−3π
−2π
−π
π
2π
− 5π
2
− 3π
2
−π
2
π
2
3π
2
5π
2
7π
2
η
η
3π
(a) Représentation graphique des fonctions η 7−→ sinc η
(en tiretés) et η 7−→ sinc2 η (en trait continu).
(b) Représentation graphique des fonctions η 7−→ η (en
tiretés) et η 7−→ tan η (en trait continu).
F IGURE 18.11 – Représentations graphiques de quelques fonctions mathématiques rencontrées
dans l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER par une ouverture rectangulaire.
La figure 18.11(b) donne les représentations graphiques des fonctions η 7−→ η et η 7−→
tan η. Elle permet d’avoir une idée graphique plus précise sur les positions des maxima secondaires. En effet, cette figure montre que les intersections des deux courbes sont situées aux
points d’abscisses η = ηp dont les valeurs approximatives sont données par :
ηp ≈ ±
2p+1
π
2
p ∈ N∗
(18.73)
L’approximation est d’autant mieux vérifiée que p est grand. La résolution numérique de l’équation (18.72) permet de préciser davantage les positions des maxima secondaires. Le tableau 18.1
donne les résultats d’une telle résolution et précise les valeurs de la fonction η 7−→ sinc2 η pour
ces maxima secondaires.
À partir de ces résultats et de l’expression (18.63), nous pouvons dresser une cartographie
des intensités de la figure de diffraction. Une telle représentation (figure 18.12) montre que la
figure de diffraction est formée de taches limitées angulairement par un quadrillage « rectangulaire ». La tache centrale centrée sur la direction de propagation de l’onde incidente (α0 , β0 )
26. Le cas p = 0 correspond au maximum principal ; ceux pour lesquels p ∈ Z∗ correspondent aux minima nuls.
CRMEF / AGP-1
367
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
n◦
η/π
sinc2 η
1
±1, 4303
0, 0472
2
±2, 4590
0, 0165
3
±3, 4709
0, 0083
4
±4, 4774
0, 0050
5
±5, 4815
0, 0034
...
...
...
TABLE 18.1 – Positions et valeurs des premiers maxima secondaires de la fonction η 7−→
sinc2 η.
possède une ouverture angulaire ( 2aλ , 2bλ ). Les taches qui ne chevauchent pas les axes ont des
dimensions moitiés.
La lumière est concentrée essentiellement dans la tache centrale de diffraction. En effet,
l’intensité au milieu des taches latérales les plus brillantes ne dépasse pas 4, 7% de celle au
milieu de la tache centrale.
α − α0
4λ
a
0,0083
3λ
a
0,0165
2λ
a
0,0022
0,0472
0,0022
0,0472
I
I0 =1
0,0472
0,0022
0,0472
0,0022
λ
a
0
0,0165
− 2λ
a
0,0165
− 3λ
a
0,0083
− 4λ
a
− 3λ
b
− 2λ
b
− λb
0
λ
b
β − β0
0,0165
2λ
b
3λ
b
F IGURE 18.12 – Cartographie des intensités dans la figure de diffraction de F RAUNHOFER
donnée par une ouverture rectangulaire de dimensions a et b ; cas particulier : a = 2 b.
4.2.
Fente rectiligne transparente
Considérons la situation, très fréquente dans la pratique 27 , où l’ouverture transparente Σ
aménagée dans le diaphragme D est une fente de largeur a. Il s’agit en fait d’une ouverture
rectangulaire de hauteur b très grande devant sa largeur a. Deux cas se présentent alors, selon
27. On retrouve cette situation par exemple dans les spectroscopes, spectrophotomètres et monochromateurs. . .
Y. E L A ZHARI
368
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
que l’on éclaire le diaphragme par une source ponctuelle ou par une fente source parallèle à la
fente diffractante.
4.2.1. Éclairage à l’aide d’une source ponctuelle
Dans ce cas, l’expression (18.63) est encore applicable. La figure 18.13 donne alors la
distribution de l’intensité lumineuse sur l’écran obtenue pour b = 20 a. On peut y remarquer
que les taches de diffraction ont quasiment disparus dans la direction parallèle à la fente. La
figure de diffraction se réduit alors à une « ligne de diffraction » perpendiculaire à la fente
diffractante.
L’expression de l’intensité diffractée dans la direction (α, β) peut être obtenue à partir de la
formule générale (18.63) par passage à la limite λb −→ ∞ selon 28 :
i
h
2 πb
2 πa
(α − α0 ) sinc
(β − β0 )
(18.74)
I(α, β) = lim I0 sinc
b
λ
λ
λ →∞
Or, lorsque b/λ devient très grand, le terme sinc2 [ πλb (β − β0 )] tend vers zéro sauf dans la
direction β = β0 où il est égal à 1. On en déduit l’expression de l’intensité diffractée par une
fente de largeur a disposée parallèlement à la direction Oy :
I(α, β) = I0 sinc2
où δ est la distribution de D IRAC.
hπ a
λ
(a) Distribution d’intensité sur l’écran d’observation.
i
(α − α0 ) δ(β − β0 )
(18.75)
(b) Représentation graphique de la fonction de diffraction.
F IGURE 18.13 – Diffraction de F RAUNHOFER par une fente éclairée par une source ponctuelle.
Remarque
Si λ ≪ a et λ ≪ b alors I(α, β) −→ I0 δ(α − α0 , β − β0 ). L’éclairement de l’écran est
alors pratiquement nul en dehors de (α0 , β0 ). On retrouve ainsi l’approximation de l’optique
géométrique valable lorsque la longueur d’onde peut être négligée devant toutes les dimensions
linéaires caractéristiques du système.
28. La méthode dite « par passage à la limite » consiste à considérer la fente comme une ouverture rectangulaire
dont l’une des deux dimensions est très grande devant l’autre dimension ainsi que devant la longueur d’onde λ.
CRMEF / AGP-1
369
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
4.2.2. Éclairage à l’aide d’une fente source
Remplaçons la source ponctuelle par une fente source très fine parallèle à la fente diffractante.
4.2.2.1.
Approche heuristique
La fente source peut être considérée comme un ensemble de sources ponctuelles sqo . Chaque
point source produit une « ligne de diffraction » analogue à celle obtenue au §4.2.1. perpendiculaire à la fente diffractante et centrée en sqi image de sqo . Les différents points sources étant
incohérentes entre elles, la figure de diffraction obtenue sur l’écran d’observation E est constituée d’une succession de franges rectilignes parallèles à la fente diffractante. Aucune direction
β n’est plus particularisée, de sorte que l’intensité diffractée dans une direction α est donnée
par :
hπ a
i
I(α) = I0 sinc2
(α − α0 )
(18.76)
λ
F IGURE 18.14 – Figure de diffraction donnée par une fente horizontale éclairée par une fente
source fine parallèle à la fente diffractante.
La figure 18.14 donne une représentation de la figure de diffraction obtenue sur un écran
dans les conditions de la diffraction de F RAUNHOFER. Cette figure est composée de franges de
diffraction alternativement claires et sombres. La frange centrale de diffraction est claire. Elle
a une largeur angulaire 2aλ alors que les franges latérales ont une largeur angulaire λa . D’autre
part la frange centrale de diffraction est beaucoup plus intense que les franges latérales dont
l’intensité décroit rapidement au fur et à mesure que l’on s’éloigne du centre. Ainsi les franges
de diffraction se distinguent-elles des franges d’interférence par :
– leurs intensités relatives ; la frange centrale de diffraction étant beaucoup plus intense que
les franges latérales ;
– leurs largeurs relatives ; la frange centrale de diffraction étant deux fois plus large que les
franges latérales.
Y. E L A ZHARI
370
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
4.2.2.2.
Calcul direct
Pour des systèmes optiques invariant par translation le long d’un axe, Oy par exemple, il
peut s’avérer intéressant de disposer de l’équivalent de la formule (18.31) pour les problèmes
unidimensionnels. Une telle formulation peut être obtenue facilement par simple analogie avec
les système bidimensionnels. En effet, considérons un diaphragme plan D caractérisé par sa
transmittance pupillaire t(x) et éclairé par une fente source. L’intensité diffractée dans la direction α est donnée par :
I(M) = K ψ(M) ψ ∗ (M)
(18.77)
ψ(M) = ψ(u) = A b
t(u − u0 )
(18.78)
avec :
et :
b
t(u) =
Z
+∞
(18.79)
t(x) exp(−i 2 π u x) dx
−∞
Pour une fente rectiligne parfaitement transparente, de largeur a selon Ox et centrée sur
l’axe Oy :
1
si
|x| 6 a2
t(x) =
(18.80)
0
sinon
Un simple calcul donne alors :
b
t(u) = a sinc(π a u)
d’où l’on retrouve :
I(α) = I0 sinc2
4.3.
hπ a
λ
(18.81)
i
(α − α0 )
(18.82)
Fentes de YOUNG
On considère un diaphragme opaque D muni de deux fentes de même largeur a et d’axes parallèles distants de e. Le diaphragme D est éclairé à l’aide d’une fente source fine dont l’image
est formée sur l’écran d’observation E à l’aide de la lentille convergente L supposée corrigée
de ses aberrations (figure 18.15).
Le coefficient de transmission en amplitude d’un tel diaphragme peut s’écrire :
t(x) =
1
0
si
|x − 2e | 6
sinon
a
2
La transformée de F OURIER T de t s’écrit :
Z
Z − 2e + a2
b
exp −i 2π(u x) dx +
t(u) =
− 2e − a
2
CRMEF / AGP-1
371
ou |x + e2 | 6
a
2
e
a
2+2
a
e
2−2
exp −i 2π(u x) dx
(18.83)
(18.84)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
xi
M(xi )
F2
u
u0
F
α
O
z
F1
D
L
E
D
do
di
(a) Représentation du montage dans un plan méridien. F est la
fente source fine. F1 et F2 sont les fentes de Y OUNG parallèles à
la fente source et de même largeur a.
D
(b) Diaphragme muni de fentes de
Y OUNG.
F IGURE 18.15 – Montage de base pour l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER par les fentes
de YOUNG.
Ce qui donne après intégration :
b
t(u) = 2 a sinc(π u a) cos(π u e)
(18.85)
L’intensité diffractée au point M de l’écran, dans la direction α est alors donnée par :
I(α) = I0 sinc2
παa
αe
(1 + cos 2 π
)
λ
λ
(18.86)
Dans le cas de l’hypothèse des petits angles :
α ≈ tan α =
xi
D
(18.87)
de sorte que :
I(xi ) = I0 sinc2 (π
a xi
e xi
) (1 + cos 2 π
)
λD
λD
(18.88)
La figure 18.16 donne une représentation graphique de l’intensité I (18.16(a)) ainsi que la
distribution de l’intensité sur l’écran d’observation (18.16(b)). On y distingue clairement des
franges d’interférence régulièrement espacées (interfrange i = λeD ) mais dont l’intensité varie
en s’écartant du centre. Ceci s’explique par le fait que la fonction intensité I(xi ) est le produit
d’une fonction « interférences » 1 + cos 2 π λe xDi et d’une fonction « diffraction » sinc2 (π aλ xDi ).
Le résultat sur l’écran d’observation est alors une figure d’interférences modulées par la diffraction. Les franges d’interférence les plus « contrastées » se trouvent à l’intérieur du lobe central
de diffraction de largeur 2 λaD sur l’écran d’observation.
Y. E L A ZHARI
372
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
−3
−2
−1
0
1
2
a xi
λD
3
(a) Représentation graphique de l’intensité en un point de l’écran.
L’enveloppe en trait tireté représente le terme de diffraction
sinc2 (π aλ xDi ).
(b) Distribution de l’intensité sur
l’écran d’observation.
F IGURE 18.16 – Diffraction par les fentes de YOUNG.
4.4.
Ouverture circulaire plane
Un écran plan opaque D est muni d’une ouverture circulaire Σ, centrée en O, de rayon R
et parfaitement transparente. La transmittance pupillaire d’un tel diaphragme s’écrit :
1
pour
x2 + y 2 6 R2
t(x, y) =
(18.89)
0
ailleurs
La diaphragme D est éclairé, à travers la lentille convergente L, à l’aide d’une source ponctuelle monochromatique So placée sur l’axe optique Oz du système.
4.4.1. Expression de l’intensité diffractée
La transformée de F OURIER b
t de t est donnée par :
ZZ
b
t(u, v) =
exp −i 2π(u x + v y) dx dy
(18.90)
Σ
Passons en coordonnées polaires :
x = r cos θ
y = r sin θ
(18.91)
On obtient alors :
b
t(u, v) =
Z R
Z
0 0
2π
r exp −i 2π r (u cos θ + v sin θ) dr dθ
Faisons ensuite le changement de variables :
u = ξ cos ϕ
v = ξ sin ϕ
CRMEF / AGP-1
373
(18.92)
(18.93)
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
ceci permet d’écrire :
b
t(u, v) =
=
Z R
Z
2π
0 0
Z R
Z 2π
0 0
= πR2
r exp −i [2π r ξ cos (θ − ϕ)] dr dθ
exp −i 2π r ξ cos φ r dr dφ
2 J1 (2 π R ξ)
2πRξ
(18.94)
J1 désigne la fonction de B ESSEL d’ordre 1. L’intensité diffractée est alors donnée par :
2
2 J1 (2 π R ξ)
(18.95)
I(ξ) = I(0)
2πRξ
ce que nous écrirons par la suite sous la forme :
I(ξ) = I0 J21c (2 π R ξ)
(18.96)
avec :
J1c (η) =
2 J1 (η)
η
(18.97)
La figure 18.17(a) donne une représentation graphique de la fonction
η 7−→ J1c (2 π η).
√
Compte tenu de la symétrie de révolution assurée par la variable ξ = u2 + v 2 , les lignes isointensité sont des cercles concentriques. La figure de diffraction (18.17(b)) est donc constituée
d’une tache centrale claire entourée d’anneaux alternativement sombres et claires.
La figure 18.17(b) donne la répartition d’intensité sur un écran placé perpendiculairement
à l’axe Oz dans les conditions d’observation de la diffraction de F RAUNHOFER. L’intensité
des anneaux brillants décroit rapidement quand on s’éloigne du centre. En effet le tableau 18.2
montre que l’intensité du premier anneau brillant ne représente que 1, 75% de l’intensité au
centre de la tache centrale. Aussi, la tache d’A IRY pourra-t-elle être confondue parfois avec la
tache centrale de la figure de diffraction.
n◦
η
J21c (2 π η)
1
0, 8174
0, 0175
2
1, 3367
0, 0042
3
1, 8494
0, 0016
4
2, 3549
0, 0008
5
2, 8584
0, 0004
...
...
...
TABLE 18.2 – Positions et valeurs des premiers maxima secondaires de la fonction η 7−→
J21c (2 π η).
La tache centrale de diffraction est souvent caractérisée à l’aide de son rayon angulaire ∆δ
défini comme étant le demi-angle au sommet du cône de sommet confondu avec le centre O
de l’ouverture diffractante et s’appuyant sur le premier anneau d’intensité nulle. Pour exprimer
∆δ, il est nécessaire de déterminer la relation entre δ et ξ. Nous avons :
ξ 2 = u2 + v 2 =
Y. E L A ZHARI
α2 + β 2
λ2
374
(18.98)
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
1
J1c (2 π η)
1
2
3
0
4
η
D
(a) Représentation graphique de la fonction η
J1c (2 π η).
7−→
(b) Figure de diffraction donnée par une ouverture circulaire ou tache d’A IRY.
F IGURE 18.17 – Représentation graphique de la fonction J1c intervenant dans la diffraction de
F RAUNHOFER par une ouverture circulaire (a) et figure de diffraction obtenue sur un écran ou
tache d’A IRY (b).
or α2 + β 2 + γ 2 = 1 et γ = cos δ, donc :
ξ=
sin δ
λ
(18.99)
soit, dans le cadre de l’approximation paraxiale :
(18.100)
δ ≈ λξ
D’après le tableau 18.3 donnant les positions des premiers zéros de la fonction η 7−→ J21c (2 π η),
le premier anneau sombre est obtenu pour η ≈ 0, 61. Ce qui donne comme expression du rayon
angulaire de la tache centrale de diffraction :
∆δ ≈
n◦
η
1
0, 6098
2
1, 1166
0, 61 λ
R
3
1, 6192
(18.101)
4
2, 1205
5
2, 6214
...
...
TABLE 18.3 – Premiers zéros de la fonction η 7−→ J21c (2 π η).
4.4.2. Notion de limite de résolution angulaire
Très souvent, le rôle d’un instrument d’optique (microscope, objectif d’appareil photographique, télescope . . .) est de former des images. Dans le cadre de l’approximation de l’optique
CRMEF / AGP-1
375
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
xi
x
xi
M
u
δ
z
O
yi
Σ
y
yi
D
F IGURE 18.18 – Quelques notations utilisées pour l’étude de la diffraction de F RAUNHOFER
par une ouverture circulaire plane.
géométrique, l’image d’un point objet Ao par un instrument « parfait », c’est-à-dire exempt
d’aberrations, est un point image Ai .
En réalité, au cours de son cheminement à travers l’instrument optique, le faisceau lumineux issus d’un point objet est inévitablement diaphragmé par les montures des différents composants optiques (lentilles, . . .) constituant l’instrument. D’après ce qui précède (§3.3.), l’image
du point objet par un tel instrument n’est donc plus un point image mais une tache de diffraction
de F RAUNHOFER. Il s’agit en fait d’une tache d’A IRY compte tenu de la symétrie de révolution
autour de l’axe optique commun aux différents composants optiques et leurs montures.
Bo
Ai
D
ε
z
Ao
Bi
do
di
F IGURE 18.19 – Image d’un couple de points donnée par un instrument optique compte tenu
de la diffraction.
Considérons alors deux points objets Ao et Bo séparés d’une distance lo et un instrument
optique schématisé par une lentille mince convergente de distance focale image fi placée dans
une monture d’ouverture circulaire de diamètre D, à une distance do du plan objet. Le plan
Y. E L A ZHARI
376
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
image est situé à une distance di de la lentille telle que :
1
1
1
+
=
do
di
fi
(18.102)
En présence de diffraction, chacune des deux images Ai et Bi est une tache d’A IRY, pouvant être confondue en très bonne approximation 29 avec la tache centrale de rayon angulaire
∆δ (18.101). On conçoit que si l’extension angulaire des taches de diffraction est suffisamment
grande et/ou la séparation angulaire ε suffisamment petite, les deux taches risquent de se chevaucher suffisamment de telle sorte que l’on ne puisse plus distinguer une tache de l’autre. On
dit dans ce cas que l’instrument optique utilisé ne permet pas de résoudre le couple (Ao , Bo ).
La limite théorique de résolution angulaire est la valeur limite εℓth de la séparation angulaire ε en dessous de laquelle les deux taches sont confondues par un détecteur donné dans les
conditions suivantes :
i) l’éclairage est incohérent, c’est-à-dire que les deux points objets Ao et Bo sont incohérents
entre eux ;
ii) les deux points objets ont la même intensité ;
iii) l’instrument optique est exempt de toute aberration ;
iv) le milieu de propagation ne présente pas de turbulence.
Pour évaluer εℓth , nous faisons appel au critère de R AYLEIGH selon lequel : la limite de
résolution est obtenue lorsque le maximum de l’une des deux taches de diffraction coïncide
avec le premier minimum de l’autre tache. La figure 18.20 permet d’illustrer ce critère.
(a) Ai Bi > di ∆δ
(b) Ai Bi = di ∆δ
(c) Ai Bi < di ∆δ
F IGURE 18.20 – Illustration du critère de R AYLEIGH.
Selon le critère de R AYLEIGH, il y a résolution tant que :
Ai Bi > di ∆δ
(18.103)
Ai Bi = di ε
(18.104)
Or :
29. La tache centrale étant beaucoup plus lumineuse que les anneaux qui l’entourent, nous allons dans ce paragraphe
négliger ces anneaux et confondre la tache d’A IRY avec la tache centrale.
CRMEF / AGP-1
377
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
On en déduit l’expression de la limite théorique de résolution angulaire :
εℓth = 1, 22
4.5.
λ
D
(18.105)
Trous de YOUNG
Le diaphragme opaque D est à présent muni de deux trous circulaires de même rayon R dont
les centres sont distants de a. Le diaphragme D est éclairé à l’aide d’une source ponctuelle dont
l’image est formée sur l’écran d’observation E à l’aide de la lentille convergente L supposée
corrigée de ses aberrations (figure 18.15).
(a) Diaphragme muni des deux trous de Y OUNG.
(b) Figure de diffraction donnée par des trous de Y OUNG.
F IGURE 18.21 – Diaphragme muni de trous de YOUNG (a) et figure de diffraction correspondante (b).
Pour déterminer l’expression de l’intensité résultante I(M) en tout point M de l’écran d’observation E, nous allons procéder par étape. Supposons tout d’abord que le diaphragme D soit
muni d’un trou fictif unique T0 centré sur l’origine et de même rayon R que les trous de
YOUNG. D’après le §4.4.1., l’amplitude diffractée par un tel trou s’obtient à partir de la relation
(18.94) que nous écrivons sous la forme 30 :
Rδ
(18.106)
ψ(δ) = ψ 0 J1c 2 π
λ
Les deux trous de YOUNG T1 (− 2a , 0) et T2 (+ a2 , 0) s’obtiennent à partir du trou fictif T0 par
des translations T0 T1 = − a2 ux et T0 T2 = + a2 ux respectivement. D’après le théorème de
translation (18.51), les amplitudes ψ 1 et ψ 2 diffractées respectivement par les trous T1 et T2
sont données par :
(
ψ 1 (M) = ψ 0 J1c 2 π Rλδ exp −ik · T0 T1
(18.107)
ψ 2 (M) = ψ 0 J1c 2 π Rλδ exp −ik · T0 T2
30. J1c désignant la fonction : η 7−→ J1c (η) =
Y. E L A ZHARI
2 J1 (η)
η
; J1 étant la fonction de B ESSEL d’ordre 1.
378
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
31
où k = 2π
λ u. Les ondes émises par les deux trous T1 et T2 étant cohérentes entre elles ,
l’amplitude résultante au point M de l’écran est la somme des deux amplitudes. Elle est donnée
par :
Rδ π α a
παa
ψ(M) = ψ 0 J1c 2 π
+ exp −i
exp i
(18.108)
λ
λ
λ
soit :
Rδ
παa
cos
ψ(M) = 2 ψ 0 J1c 2 π
λ
λ
(18.109)
On en déduit l’expression de l’intensité lumineuse au point M de l’écran d’observation :
!
p
R x2i + yi2 a xi I(M) = I0 J1c 2 π
1 + cos 2 π
(18.110)
λD
λD
√ 2 2
xi +yi
où l’on a exprimé α et δ à l’aide de : α ≈ tan α = xDi et δ ≈ tan δ = rDi =
. Là
D
encore l’expression donnant l’intensité I en tout point de l’écran d’observation est le produit de
deux termes. Un terme interférence 1 + cos 2 π aλ xDi traduisant l’interférence des ondes issues
√
R x2i +yi2
) traduisant la diffraction de
des deux trous de YOUNG et un terme diffraction J1c (2 π
λD
l’onde incidente par chacune des deux trous de YOUNG. Le terme interférence est responsable
de l’apparition des franges d’interférence d’interfrange i = λaD . Quant au terme diffraction,
il est responsable de la modulation de l’intensité des franges de diffraction. La figure 18.21(b)
donne l’aspect de la figure ainsi obtenue sur l’écran d’observation.
31. Conséquence de la contribution de H UYGHENS au principe de H UYGHENS – F RESNEL.
CRMEF / AGP-1
379
Y. E L A ZHARI
CHAPITRE 18. DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
Exercices du chapitre 18
Ex. 18.1 — Transmittances pupillaires d’objets diffractant
...
Answer (Ex. 18.1) — . . .
Ex. 18.2 — Diffraction par quatre trous circulaires
On éclaire en incidence normale et en lumière monochromatique, un écran où l’on a placé
quatre ouvertures circulaires parfaitement transparentes au sommet d’un rectangle centré sur
l’origine, de longueur a selon Ox et de largeur b selon Oy. Déterminer l’intensité diffractée
dans la direction u(α, β) dans un plan image.
2
2
2
Answer (Ex. 18.2)
√ — I(α, β) = I(0, 0) cos (π a u) cos (π b v) J1c (2 π R ξ) avec u = α/λ,
v = β/λ et ξ = u2 + v 2
Ex. 18.3 — Apodisation
On considère une pupille P constituée par une fente F de largeur a et très longue dont la transmittance pupillaire est donnée par la loi : T (x) = cos πax . La source est une fente Fs monochromatique, infiniment longue et fine, parallèle à F, placée dans le plan focal objet d’une lentille
convergente L et centrée sur le foyer objet de cette lentille. L’axe optique principal de L est
normal à P et en constitue un axe de symétrie.
1. Déterminer la distribution d’intensité dans une direction u(α, β) loin de la pupille diffractante.
2. Comparer les franges obtenues avec celles observées dans les mêmes conditions, avec
une fente F parfaitement transparente.
2
cos (π a u)
Answer (Ex. 18.3) — I(u, v) = I(0) (1−4
a2 u2 )2 .
Ex. 18.4 — Le pouvoir de transmission en amplitude d’une plaque photographique t(x, y)
vaut :
(
|x|
pour − a 6 x 6 a et − L2 6 y 6 L2
1−
t(x, y) =
a
0
ailleurs
On l’éclaire, sous incidence normale, par une onde plane monochromatique de longueur d’onde
λ. On observe la figure de diffraction à l’infini (c’est-à-dire sur un écran confondu avec le plan
focal image d’une lentille convergente).
1. Calculer l’intensité de la figure de diffraction dans les directions du plan xOz faisant un
angle faible θ (θ ≪ 1) avec la direction de l’onde incidente. On exprimera l’intensité I
en fonction de a, θ et λ.
2. Tracer la courbe I(θ)/I(0) et comparer au résultat correspondant à une fente de largeur
a.
Ex. 18.5 — Une pupille diffractante plane parallèle à Oy, de largeur a (entre x = −a/2 et
x = a/2) a une longueur b très grande devant la longueur d’onde λ.
Y. E L A ZHARI
380
CRMEF / AGP-1
4.. EXEMPLES DE DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
1. L’amplitude complexe de l’onde incidente arrivant au point P de la pupille est donnée
par : ψ(P) = a0 exp(i a x). Calculer l’intensité lumineuse à l’infini dans la direction θ
du plan xOz. θ reste toujours petit.
2. La même fente est placée derrière un prisme de petit angle ε éclairé par un faisceau
monochromatique parallèle à Oz. L’indice du prisme est n.
a) Calculer l’amplitude de l’onde en tout point de la fente.
b) Calculer l’intensité lumineuse à l’infini dans la direction θ.
3. Quel est l’angle de déviation du prisme ?
Ex. 18.6 — On considère une pupille diffractante contenue dans le plan xOy (pupille rectangulaire de longueur L selon Oy et ℓ selon Ox). Elle est éclairée sous incidence normale par une
lumière monochromatique de longueur d’onde λ. La transparence en amplitude de cette pupille
est donnée par : t(x, y) = t0 [1 + m cos(2 π xp )]
1. Déterminer l’amplitude complexe pour une observation dans le plan focal d’une lentille
convergente de distance focale image fi .
2. En déduire l’intensité correspondante.
Ex. 18.7 — Une source ponctuelle et monochromatique de longueur d’onde λ est placée au
foyer objet d’une lentille convergente L1 . On observe la figure de diffraction à l’infini (dans le
plan focal image de la lentille L2 ) donnée par une pupille P. Cette pupille est constituée par
une fente de grande longueur et de largeur a. Elle est obturée par une lame de verre d’indice n
présentant un défaut centré en O , de largeur b (b < a) et d’épaisseur e. Le défaut a la même
longueur que la pupille.
1. On fait l’hypothèse, pour les petits angles θ, que tout se passe comme si l’onde était
diffractée par la pupille rectangulaire P′ , de mêmes dimensions que P, l’onde incidente
ayant traversée P sans être diffractée. Déterminer dans ces conditions l’intensité I(X)
observée dans le plan de projection.
2. Que devient cette intensité pour e suffisamment petit devant la longueur d’onde λ ?
CRMEF / AGP-1
381
Y. E L A ZHARI
ANNEXES
383
ANNEXE
A
CONDITIONS DE PASSAGE POUR LES ONDES
ACOUSTIQUES
1.
Équations générales
L’onde acoustique se propageant dans un milieu fluide est décrite par les champs des vitesses acoustiques u, de surpression acoustique π et de variation de masse volumique µ solutions des équations suivantes :
•
Équation d’E ULER
−∇π = µ0
•
∂u
∂t
Équation de conservation de la masse
∂µ
+ µ0 ∇ · u = 0
∂t
•
(A.1)
(A.2)
Coefficient de compressibilité isentropique
µ = µ0 χ s π
(A.3)
La conservation de l’énergie acoustique se traduit d’autre part par l’équation :
∂e
+ ∇ · (πu) = 0
∂t
(A.4)
où e est la densité volumique d’énergie acoustique. En intégrant les équations ci-dessus sur
un volume V limité par une surface fermée S et en utilisant les formules d’analyse vectorielle
concernant les transformations d’intégrales, on obtient les équations ci-dessous.
385
ANNEXE A. CONDITIONS DE PASSAGE POUR LES ONDES ACOUSTIQUES
•
Équation d’E ULER
ZZ
ZZZ
⊂⊃ π dS = −
S
•
Conservation de la matière
ZZ
ZZZ
⊂⊃ u · dS = −
S
•
V
V
(A.5)
1 ∂µ
dτ
µ0 ∂t
(A.6)
Conservation de l’énergie
ZZ
ZZZ
⊂⊃ π u · dS = −
S
2.
∂u
dτ
∂t
µ0
V
∂e
dτ
∂t
(A.7)
Application au cas unidimensionnel
Discontinuité de masse volumique
ε
S
µ01
µ02
F IGURE A.1 – Discontinuité de masse volumique.
En prenant pour V le volume extra-plat d’épaisseur ε, de part et d’autre de la surface de séparation, les trois intégrales de volume ci-dessus s’annulent quand ε tend vers 0 car les quantités
intégrées sont bornées. On obtient donc respectivement :
•
•
•
S(π2 − π1 ) = 0 donc π2 = π1 traduisant la continuité de la surpression acoustique ;
S(u2 − u1 ) = 0 donc u2 = u1 qui traduit la continuité de la vitesse acoustique ;
S(π2 u2 − π1 u1 ) = 0 donc π2 u2 = π1 u1 , ce qui est compatible avec les résultats
précédents.
Discontinuité de section
De la même manière que précédemment, on obtient :
π2 S2 − π1 S1 − πe (S2 − S1 ) = 0
Y. E L A ZHARI
386
(A.8)
CRMEF / AGP-1
2.. APPLICATION AU CAS UNIDIMENSIONNEL
où πe désigne la surpression acoustique au niveau de l’élargissement.
(A.9)
u 2 S2 − u 1 S1 = 0
qui traduit la continuité du débit volumique.
(A.10)
π2 u2 S2 − π1 u1 S1 = 0
En combinant les deux dernières équations on obtient :
(A.11)
π2 = π1
il y a donc continuité de la pression acoustique. On remarque alors que la première équation
impose πe = π2 = π1 .
ε
S1
S2
F IGURE A.2 – Discontinuité de section.
Il est important de se rappeler que ces relations ne sont valables que dans le cadre de l’approximation acoustique.
CRMEF / AGP-1
387
Y. E L A ZHARI
ANNEXE
B
ÉTATS DE POLARISATION D’UNE OEMPPM
On considère une OEMPPM se propageant suivant l’axe Oz, dont le champ électrique
E(M, t) peut être écrit, moyennant un choix judicieux des origines de l’espace et du temps,
sous la forme :
Ex = E0x cos(k z − ω t)
E(M, t) Ey = E0y cos(k z − ω t + ϕ)
Ez = 0
où E0x > 0, E0y > 0 et 0 6 ϕ < 2 π.
– Cas général : E0x 6= 0, E0y 6= 0 et E0x 6= E0y
y
y
x
ϕ=0
rectiligne I
y
x
0<ϕ<
π
2
y
x
x
π<ϕ<
y
3π
2
389
x
π
2
ϕ = π2
elliptique gauche
y
x
ϕ=π
rectiligne II
y
<ϕ<π
y
x
ϕ = 32π
elliptique droite
x
3π
2
< ϕ < 2π
ANNEXE B. ÉTATS DE POLARISATION D’UNE OEMPPM
– Cas particulier 1 : E0x = E0y 6= 0 (polarisation circulaire)
y
y
x
x
ϕ = π2
circulaire gauche
ϕ = 32π
circulaire droite
– Cas particulier 2 : polarisation rectiligne
y
Y. E L A ZHARI
y
x
x
E0x 6= 0 et E0y = 0
E0x = 0 et E0y 6= 0
390
CRMEF / AGP-1
ANNEXE
C
CONDITIONS DE PASSAGE POUR LES ONDES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
1.
Obtention à partir des équations de M AXWELL
2.
Cas des milieux optiques
391
ANNEXE
D
TRIÈDRE DE FRENET
Le trièdre de F RENET est composé de trois vecteurs orthonormés : le vecteur tangent uT ,
le vecteur normal uN et le vecteur directeur de la binormale uB .
(C)
M′ (s′ )
uT
M(s)
•
Vecteur tangent
MM′
dM
=
s →s s′ − s
ds
(D.1)
duT
=0
ds
(D.2)
duT
1
=
uN
ds
R
(D.3)
uT = lim
′
•
On peut remarquer que ||uT || = 1, c’est-à-dire que uT est un vecteur unitaire.
Vecteur normal, rayon de courbure
||uT || = 1 donne par dérivation
uT ·
c’est-à-dire
uT
ds
⊥uT . On pose alors
393
ANNEXE D. TRIÈDRE DE FRENET
Cette relation définit le vecteur normal uN ainsi que le rayon de courbure R de la courbe
au point considéré.
En général R peut être aussi bien positif que négatif et dépend du point M considéré de
la courbe.
•
•
La binormale
On construit une base orthonormée (uT , uN , uB ) en posant
uB = uT × uN
(D.4)
duB
=0
ds
(D.5)
Torsion
D’une part u2B = 1 donne
uB ·
c’est-à-dire
duB
⊥uB
ds
(D.6)
D’autre part
uB
ds
=
=
=
d
(uT × uN )
ds
duN
duT
× uN + uT ×
ds
ds
duN
uT ×
ds
(D.7)
duB
duB
//uN . Ainsi
⊥uT .
ds
ds
duB
duB
Le vecteur
est donc orthogonal aux deux vecteurs uT et uB , donc
est porté
ds
ds
par uN . On pose alors
puisque
duB
= Λ uN
ds
(D.8)
Λ s’appelle la torsion de la courbe C au point M . Si λ = 0 alors uB ne dépend pas du
point M et la coure est plane.
•
Matrice de dérivation
duN
Calculons enfin
. Pour cela utilisons la relation uN = uB × uT . Nous obtenons
ds
alors
duN
duB
duT
=
× uT + uB ×
ds
ds
ds
(D.9)
duN
1
= −Λ uB − uT
ds
R
(D.10)
soit
Y. E L A ZHARI
394
CRMEF / AGP-1
En résumé, on peut écrire

duT
 ds

 duN

 ds

 du
B
ds
CRMEF / AGP-1


0
 
 
 
=
1
  −
  R
 
0
395
1
R
0
Λ

uT



  uN
−Λ 


uB
0
0







(D.11)
Y. E L A ZHARI
ANNEXE
E
LIEU DES POINTS A1M/A2 M = K
On se propose de déterminer le lieu des points M(x, y, z) vérifiant :
A1 M
=k
A2 M
(E.1)
où k est une constante réelle positive.
y
M
A1
O
x
A2 C
F IGURE E.1 – Lieu des points M vérifiant A1 M/A2 M = k pour k = 2.
Remarquons tout d’abord que le cas particulier k = 1 correspond au plan médian du segment A1 A2 . Par la suite on ne considérera plus que le cas k 6= 1.
Soit O le milieu du segment A1 A2 et posons A1 A2 = a, alors :
OA1
− a2
0
0
et
397
OA2
+ a2
0
0
(E.2)
ANNEXE E. LIEU DES POINTS A1 M/A2 M = K
de sorte que :
A1 M
x−
y
z
a
2
et
x+
y
z
A2 M
a
2
(E.3)
L’équation (E.1) s’écrit alors :
(x + a2 )2 + y 2 + z 2
= k2
(x − a2 )2 + y 2 + z 2
(E.4)
Ce qui donne après développement compte tenu de k 6= 1 :
x2 −
a2
k2 + 1
ax+
+ y2 + z 2 = 0
2
k −1
4
(E.5)
Que l’on peut écrire sous la forme :
a k2 + 1
x−
2 k2 − 1
2
2
2
+y +z =
ka
2
k −1
2
(E.6)
Qui n’est autre que l’équation d’une sphère de centre C et de rayon R tels que :
ka
a k2 + 1
C
, 0, 0
et
R= 2
2 k2 − 1
|k − 1|
Y. E L A ZHARI
398
(E.7)
CRMEF / AGP-1
ANNEXE
F
TRACÉ D’ENVELOPPES DE RAYONS LUMINEUX
La caustique est l’enveloppe des rayons subissant une réflexion ou une réfraction dans un
système optique. On étudie ici les caustiques de lentilles convergentes éclairées par un faisceau
de lumière monochromatique parallèle à l’axe optique Oz. Le système ayant la symétrie de
révolution autour de l’axe optique, on fait l’étude dans un plan zOx contenant cet axe. On
utilise un repère cartésien.
Soit une lentille d’indice n. Un rayon frappe le dioptre d’entrée, de rayon de courbure Re , en
Ie (ze , xe ) et le dioptre de sortie, de rayon de courbure Rs , en Is (zs , xs ). On peut caractériser un
rayon incident par son ordonnée xe . Le rayon émergent correspondant est la droite D d’équation
x = A z + B. A et B sont des fonctions de xe .
(F.1)
D : x = f (xe ) z + g(xe )
La dérivation de D par rapport au paramètre xe donne :
D′ : 0 = f ′ (xe ) z + g ′ (xe )
(F.2)
La résolution du système {D, D′ } donne les équations paramétriques de la caustique :
z=−
g ′ (xe )
f ′ (xe )
x = g(xe ) − f (xe )
g ′ (xe )
f ′ (xe )
(F.3)
Pour la lentille plan-convexe, les fonctions f et g s’expriment simplement en fonction de
l’angle d’émergence en Is . Pour la lentille boule, les fonctions f et g s’expriment assez simplement en fonction de l’angle d’incidence en Ie . Dans ces deux cas, les fonctions f ′ et g ′ sont
calculées algébriquement. Par contre pour les lentilles convexe-plan et biconvexe, les fonctions
f et g sont complexes et les fonctions f ′ et g ′ ont été calculées numériquement par une méthode
de dérivation à trois points.
Utilisation : On trace les rayons en faisant varier le paramètre xe . Pour les lentilles planconvexe et biconvexe et les grandes valeurs de xe , on peut avoir une réflexion sur le dioptre de
sortie : ces rayons ont été éliminé du tracé.
399
ANNEXE F. TRACÉ D’ENVELOPPES DE RAYONS LUMINEUX
On trace ensuite la caustique en faisant varier le paramètre xe entre 0 et la valeur qui correspond au dernier rayon pouvant émerger.
Dans le cas de la lentille boule, il existe deux caustiques ; une interne et une externe.
Y. E L A ZHARI
400
CRMEF / AGP-1
ANNEXE
G
LOI DE DISTRIBUTION DES TEMPS DE VOL
La loi de distribution 1 des temps de vol p est telle que p(τ ) dτ représente la probabilité
pour qu’une collision ait lieu entre τ et τ + dτ sachant qu’une collision a eu lieu à t = 0.
Pour déterminer p(t) considérons les événements A, B, C et D définis ci-dessous.
A : deux collisions séparées de plus de τ dans le temps ;
B : deux collisions séparées de plus de τ + dτ dans le temps ;
C : pas de collision entre τ et τ + dτ ;
D : durée entre deux collisions comprise entre τ et τ + dτ .
Notons P0 (t) la probabilité pour que la durée séparant deux collisions soit supérieure ou
égale à t. Alors :
P(A) = P0 (τ )
et
P(B) = P0 (τ + dτ )
(G.1)
D’autre part :
dτ
τ0
P(D) = p(τ ) dτ
(G.3)
P(B) = P(A) P(C)
(G.4)
(G.2)
P(C) = 1 −
Or B = A ∩ C, donc :
de sorte que :
P0 (τ + dτ ) = P0 (τ )(1 −
1. Ou densité de probabilité.
401
dτ
)
τ0
(G.5)
ANNEXE G. LOI DE DISTRIBUTION DES TEMPS DE VOL
Sachant que P0 (0) = 1, on obtient après intégration :
P0 (τ ) = exp −
τ
τ0
(G.6)
Par ailleurs, A = B ∪ D et B ∩ D = ∅ permet d’écrire :
P(A) = P(B) + P(D)
(G.7)
P0 (τ ) = P0 (τ + dτ ) + p(τ ) dτ
(G.8)
c’est-à-dire :
soit :
p(τ ) = −
dP0 (τ )
dτ
(G.9)
D’où l’expression de la loi de distribution des temps de vol :
p(τ ) =
Y. E L A ZHARI
τ
1
exp −
τ0
τ0
402
(G.10)
CRMEF / AGP-1
INDEX
énergie électromagnétique
densité volumique, 63
vitesse de propagation, 64
énergie acoustique
équation locale de conservation, 43
densité volumique, 41, 43
épaisseur de peau, 97
D’A LEMBERT
équation d’onde
à une dimension, 7
P OYNTING
vecteur, 76
coefficient, 37
compression, 35
conditions de passage
champ électromagnétique, 99
conducteur parfait
modèle, 98
conductivité électrique, 93
continuité
équation, 37
corde
vibrante, 1
courant induit, 101
antenne
demi-onde, 84
rectligne, 82
approximation
acoustique, 35
non relativiste, 72
D’A LEMBERT
équation d’onde
à trois dimensions, 5
principe de résolution, 6
principe de superposition, 6
détente, 35
DRUDE
modèle, 91
diagramme de rayonnement, 77
diffusion
C OMPTON, 80
T HOMSON, 80
R AYLEIGH, 81
résonante, 81
dipôle
électrostatique, 76
magnétostatique, 76
oscillant, 72, 75, 76, 82
bremsstrahlung, 78
célérité, 8, 22, 26
de la lumière dans le vide, 60
des ondes acoustiques, 40
dans les liquides, 41
dans un gaz parfait, 40
cavité résonante, 105
champ électromagnétique
conditions de passage, 99
collision, 91
compressibilité
403
INDEX
EULER
équation, 37
effet
D OPPLER, 25
moment dipolaire, 72
fluide parfait, 36
formule
de L ARMOR, 78
de Max A BRAHAM, 78
frottement, 92
OHM
loi, 93
onde
définition, 5
longitudinale, 4
polarisée rectilignement, 76
transversale, 1
onde électromagnétique plane, 61
progressive, 61
progressive monochromatique
polarisation, 66
spectre, 65
structure, 64
stationnaire, 102
onde acoustique plane
coefficient de réflexion, 51
coefficient de transmission, 51
polarisation, 46
progressive monochromatique, 47
relation de dispersion, 47
spectre, 48
stationnaire, 49
onde plane
équation d’onde, 7
définition, 6
direction de propagation, 6
insuffisance du modèle, 11
localement, 76
plan d’onde, 6
onde plane progressive monochromatique
définition, 11
insuffisance du modèle, 13
notation complexe, 12
superposition, 13
onde plane stationnaire, 19
partielle, 24
onde sphérique
approximation par une onde plane, 10
définition, 9
onde-mètre, 105
niveau sonore, 44
nœuds, 21, 49, 102
HERTZ
dipôle oscilant, 71
hypothèse
dipolaire, 72
isotropie, 91
petites déformations, 3
petits mouvements, 5
intensité sonore, 44
de référence, 44
LARMOR
formule, 78
LORENTZ
jauge, 73
loi d’O HM, 93
mètre
définition, 60
MAXWELL
équations
dans le vide, 59
dans un conducteur ohmique, 95
masse volumique
équation de propagation, 38
Max A BRAHAM
formule, 78
milieu
dispersif, 16
non dispersif, 16
modèle de l’électron élastiquement lié, 78,
79
mode propre, 23
modes propres
combinaison linéaire, 23
Y. E L A ZHARI
404
CRMEF / AGP-1
INDEX
opérateur nabla, 61
ressort
à boudin, 4
POYNTING
vecteur, 63, 66, 84
complexe, 66, 76, 103
vecteur moyen, 103
paquet d’ondes
tridimentionnel, 15
unidimentionnel, 14
phase stationnaire, 16
polarisation
circulaire, 68
elliptique, 67
rectiligne, 68
polariseur, 102
potentiel
écoulement, 39
scalaire, 73
vecteur, 73
pression de radiation, 104
probabilité, 91
profil lorentzien, 81
puissance
électromagnétique, 63
diffusée, 80
rayonnée, 76
pulsations propres, 105
seconde
définition, 60
section efficace, 80
sonore
intensité, 44
de référence, 44
niveau, 44
sons, 47
hauteur, 48
musicaux, 48
timbre, 48
spectre
des ondes électromagnétiques, 65
des ondes acoustiques, 48
surpression acoustique, 35, 45
équation de propagation, 38
taux d’ondes stationnaires, 24
transformation
isentropique, 36
réversible, 36
transverse
électrique, 62
électromagnétique, 62
magnétique, 62
réception radio, 101
réseau
imperfections, 91
périodique, 91
résistance de rayonnement, 85
rayonnement
électromagnétique, 71
d’accélération, 77
de freinage, 78
diagramme, 77
dipolaire électrique, 71
dipolaire magnétique, 71
résistance, 85
synchrotron, 78
thermique, 78
zone, 75
rayons X, 80
CRMEF / AGP-1
ventres, 21, 49, 102
vitesse
de groupe, 16, 18
de phase, 12, 16, 18, 76
vitesse acoustique, 45
équation de propagation, 39
zone de rayonnement, 75
405
Y. E L A ZHARI
BIBLIOGRAPHIE
Cours
– Jean-Pierre FAROUX et Jacques R ENAULT. Mécanique des fluides et ondes mécaniques.
Dunod, Paris, .
– Jean-Pierre FAROUX et Jacques R ENAULT. Électromagnétisme 2. Dunod, Paris, .
– Stéphane O LIVIER. Physqiue des ondes. Tec&Doc, Paris, .
– G. D UBOST. Propagation libre et guidée des ondes électromagnétiques. Masson, Paris,
.
– J.-Ph. P ÉREZ, R. C ARLES et R. F LECKINGER. Électromagnétisme. Masson, Paris, .
– P. L ORRAIN et D.R. C ORSON. Champs et ondes électromagnétiques. Armand Colin,
Paris, .
– Frank S. C RAWFORD, Jr. Berkley. Cours de physique – Volume 3 – ondes. Armand Colin,
Paris .
– M. S OUTIF. Vibrations, propagation, diffusion. Dunod, Paris, .
– M. B ORN et E. W OLF. Principles of Optics, Cambridge University Press (Cambridge,
) 6e édition
– J.-Ph. P ÉREZ. Optique, Fondements et applications, Masson (Paris, ) 5e édition
– M. B ERTIN, J.-P. FAROUX et J. R ENAULT. Optique et physique ondulatoire, Dunod (Paris, )
– M. B ERTIN, J.-P. FAROUX et J. R ENAULT. Optique et physique ondulatoire, Dunod (Paris, )
– R. S UARDET. Physique ondulatoire, Tec&Doc Lavoisier (Paris, )
– A. M OUSSA et P. P ONSONNET, Cours de Physique : I. Optique, André Desvigne (Lyon,
)
– D. B LANC, A. D EGEILH et J. F ONTAN, 3. Optique, Hachette Université (Paris, )
– R. A NNEQUIN et J. B OUTIGNY. Cours de sciences physiques, Optique 2, Vuibert ()
407
INDEX
– S. O LIVIER. Physique des ondes, Tec&Doc Lavoisier (Paris, )
– J. W. G OODMAN. Introduction à l’optique de F OURIER et à l’holographie, Masson&Cie
(Paris, )
– G. B RUHAT. Optique, Masson (Paris, ) 6e édition
– J. S URREL. Optique instrumentale, Optique de F OURIER, ellipses (Paris, ).
Exercices et problèmes
– Christian G ARING. Ondes électromagnétiques. ellipses, Paris, .
– Christian G ARING. Ondes mécaniques. ellipses, Paris, .
– P. D ENÈVE. Propagation d’ondes. ellipses, Paris, .
– J.-P. L ECARDONNEL et P. T ILLOY. Exercices et problèmes résolus, Optique, Bréal, Paris,

– L. D ETTWILLER. Optique, Exercices corrigés et rappels de cours, J’intègre, Dunod
– J. R ENAULT. Exercices d’Optique, Dunod
Références d’expériences
– R. D UFFAIT. Expériences d’optique, Bréal (Paris, )
– Sextant. Optique expérimentale, Hermann (Paris, )
– P. B OTTINEAU. Expériences d’optique, dms-didalab ()
– M. H ENRY et R. J OUANISSON. La lumière du laser, Guide d’expériences, Masson ()
2e édition
Y. E L A ZHARI
408
CRMEF / AGP-1
Ce livre a été entièrement composé par l’auteur à l’aide de l’outil de formatage de texte LATEX 2ε
de la distribution TEXlive. Les schémas et figures ont été créés, pour la plupart, à l’aide de
PSTricks. La version définitive du livre a ensuite été convertie au format PostScript par Dvips.
c CRMEF, Marrakech - 
Y. E L A ZHARI
Y. E L A ZHARI
Cours de Physique
de la préparation à l’Agrégation
Propagation d’ondes et optique
Fondements et applications
Ce cours d’Optique classique est du niveau licence. Même s’il est initialement
destiné aux candidats préparant le Concours d’Agrégation de Physique, il peut
être consulté avec profit par les étudiants des Classes Préparatoires aux Grandes
Écoles ainsi que par les étudiants en DEUG.
L’ensemble du cours est organisé en onze chapitres :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bases de la théorie ondulatoire de la la lumière
Fondements de l’optique géométrique
Formation des images en optique géométrique
Étude générale des systèmes optiques centrés dans les conditions de G AUSS
Lentilles optiques minces
Sources lumineuses
Sources laser
Interférences non localisées entre deux ondes cohérentes entre elles
Cohérence spatiale et cohérence temporelle
Interférences localisées
Diffraction des ondes lumineuses
Y. E L A ZHARI est Docteur d’État-ès Sciences. Il est Professeur agrégé de Physique à l’École Normale Supérieure de Marrakech.