3B0607dm

3B
MATHÉMATIQUES I
1.1
03.10.2006
Exercice 1
Soit l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0 avec ∆ > 0
1. Donner l’expression et le nom de ∆
2. Donner les expressions des deux solutions α et β
3. Donner la formule de factorisation du trinôme ax2 + bx + c
4. Sachant que a < 0 et α < β, donner le signe du trinôme ax2 + bx + c
5. Sachant que a = 1 et b = 2b0 , donner une expression simple des deux solutions α et β de l’équation donnée.
Exercice 2
Résoudre dans R, les équations suivantes en ne manquant pas d’utiliser la méthode la plus rapide :
1. x2 − 9 = 0
2. x2 + 4 = 0
3. x2 + 2x − 8 = 0
4. x2 + 4x + 4 = 0
5. 11x2 + 44x = 0
Exercice 3
Simplifier en indiquant les conditions d’existence :
2x2 + x − 6
6x2 − 7x − 3
Exercice 4
Résoudre dans R l’équation bicarrée suivante :
15x4 + 16 − x8 = 0
Exercice 5
Résoudre dans R l’équation suivante sans oublier au préalable les conditions d’existence :
−9
−x − 1 2x + 7
−
= 2
x−2
x+1
x −x−2
Exercice 6
Résoudre dans R l’inéquation suivante :
(−x2 + 2x + 15)(5x2 − 7x + 2) > 0
guy greisen
points :10+10+10+10+10+10=60
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3B
CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.1
03.10.2006
Exercice 1
Soit l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0 avec ∆ > 0
1. ∆ = b2 − 4ac et on l’appelle discriminant
2. α =
√
−b+ ∆
2a
et β =
√
−b− ∆
2a
3. ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β)
x
α
4. Sachant que a < 0 et α < β donner le signe du trinôme
2
ax + bx + c − 0
√
√
0
0
0
0
5. α = −b + ∆ et β = −b − ∆ .
β
+ 0
−
Exercice 2
1. x2 − 9 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ S = {−3, 3}
2. x2 + 4 = 0 ⇔ S = ∅
3. x2 + 2x − 8 = 0
∆0 = b02 − ac = 12 − 1 · (−8) = 9
S = {−1 + 3, −1 − 3} = {−4, 2}
4. x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = −2 ⇔ S = {−2}
5. 11x2 + 44x = 0 ⇔ x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x + 4 = 0 ⇔ S = {−4, 0}
Exercice 3
2x2 + x − 6
6x2 − 7x − 3
condition d’existence 6x2 − 7x − 3 6= 0 dénominateur non nul.
∆ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 6 · (−3) = 121 = 112
racines du trinôme α =
√
−b+ ∆
2a
=
7+11
12
18
12
=
=
3
2
et β =
√
−b− ∆
2a
=
7−11 −4
12 12
= − 31
domaine d’existence : D = R\{ 32 , − 13 }
factorisation du numérateur :
∆ = b2 − 4ac = 12 − 4 · 2 · (−6) = 49 = 72
racines du trinôme α =
√
−b+ ∆
2a
=
−1+7
4
=
6
4
=
3
2
et β =
√
−b− ∆
2a
=
−1−7 −8
4
4
= −2
2(x − 32 )(x + 2)
2x2 + x − 6
(2x − 3)(x + 2)
x+2
=
=
=
6x2 − 7x − 3
(2x − 3)(3x + 1)
3x + 1
6(x − 32 )(x + 31 )
∀x ∈ D,
Exercice 4
15x4 + 16 − x8 = 0
Posons x4 = y ∈ R+ et résolvons dans R+ l’équation :
15y + 16 − y 2 = 0 ⇔ −y 2 + 15y + 16 = 0
∆ = b2 − 4ac = 152 − 4 · (−1) · 16 = 289 = 172
racines du trinôme y =
√
−b+ ∆
2a
=
−15+17
−2
= −1 ou y =
√
−b− ∆
2a
=
−15−17
−2
= 16
l’équation 15y + 16 − y 2 = 0 a une solution y = 16 dans R+
ainsi on obtient :
x4 = 16 ⇔ x4 − 16 = 0 ⇔ (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) = 0
guy greisen
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3B
CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.1
03.10.2006
d’ou la solution de l’équation bicarrée donnée :
S = {−2, 2}
Exercice 5
−x − 1 2x + 7
−9
−
= 2
x−2
x+1
x −x−2
Conditions d’existence :

x−2 =
6
0

x−2 =
6
x + 1 6= 0 ⇐⇒
x+1 =
6
 2
x − x − 2 6= 0
∀x ∈ D
0
0
car x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) donc : D = R\{−1, 2}
−9
−x − 1 2x + 7
−
= 2
⇐⇒ (−x − 1)(x + 1) − (2x + 7)(x − 2) = −9 ⇐⇒ −3x2 − 5x + 22 = 0
x−2
x+1
x −x−2
∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · (−3) · 22 = 289 = 172
racines du trinôme α =
√
−b+ ∆
2a
=
5+17
−6
= − 11
3 et β =
√
−b− ∆
2a
S = {−
=
5−17
−6
=2∈
/D
11
}
3
Exercice 6
(−x2 + 2x + 15)(5x2 − 7x + 2) > 0
racines du trinôme −x2 + 2x + 15 :
∆0 = b02 − ac = 12 − (−1) · 15 = 16 = 42
α=
√
−b0 + ∆0
a
=
−1+4
−1
= −3 et β =
√
−b− ∆
2a
=
−1−4
−1
=5
racines du trinôme 5x2 − 7x + 2 :
∆ = b2 − 4ac = (−7)12 − 4 · 5 · 2 = 9 = 32
α=
√
−b+ ∆
2a
=
7+3
10
= 1 et β =
√
−b− ∆
2a
=
7−3
10
=
4
10
=
2
5
tableau des signes :
x
−x2 + 2x + 15
5x2 − 7x + 2
(−x2 + 2x + 15)(5x2 − 7x + 2)
−
+
−
−3
0, 4
1
5
0 +
+
+ 0 −
+ 0 − 0 +
+
0 + 0 − 0 + 0 −
S = [−3; 0, 4] ∪ [1, 5]
guy greisen
points :10+10+10+10+10+10=60
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3B
MATHÉMATIQUES
1.2
24.10.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
On donne les équations suivantes :
1.
x2 + y 2 − 6x + 8y = 0
2.
y = x2 + x − 6
3.
x2 + y 2 − 2x − 2y + 3 = 0
Déterminez les ensembles de points M (x, y) vérifiant ces équations et précisez, s’il-y-en a, les éléments caractéristiques (Pas de figure).
Exercice 2
1. Écrivez la définition d’une parabole de foyer F et de directrice d.
2. Construisez point par point la parabole de foyer F (0, 2) et de directrice d ≡ y = −2 .
3. Déterminez une équation de cette parabole.
Exercice 3
Représentez graphiquement la fonction
f : R −→ R : x −→
1 2
x − 2x − 2
2
à l’aide de trois manipulations à partir de la fonction
g : R −→ R : x −→ x2
Exercice 4
Représentez graphiquement la fonction
f : R −→ R : x −→ |2x2 − 8x + 6|
Exercice 5
On donne la famille de paraboles :
Pm ≡ y = x2 + mx + m
1. Déterminez le paramètre m pour que l’axe de symétrie de Pm ait x = −3 comme équation.
2. Déterminez le paramètre m pour que l’ordonnée à l’origine du sommet de Pm soit 0.
guy greisen
points :12+12+12+12+12=60
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CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.2
24.10.2006
Exercice 1
1.
x2 + y 2 − 6x + 8y = 0 ⇔ x2 − 6x + 9 + y 2 + 8y + 16 = 25 ⇔ (x − 3)2 + (y + 4)2 = 55
L’ensemble des points M (x, y) vérifiant x2 + y 2 − 6x + 8y = 0 est un cercle de centre Ω(3, 4) et de rayon 5.
2.
y = x2 + x − 6
−b
−1
−∆
4 · 1 · (−6) − (−1)2
−25
=
et
=
=
2a
2
4a
4·1
4
−25
L’ensemble des points M (x, y) vérifiant y = x2 + x − 6 est une parabole de sommet S( −1
2 , 4 ) et d’axe de
−1
symétrie x = 2
3.
x2 + y 2 − 2x − 2y + 3 = 0


1
 a = −2
 α =
b = −2 ⇔
β =
1

 2
c = 3
r = 12 + 12 − 3
L’ensemble des points M (x, y) vérifiant x2 + y 2 − 2x − 2y + 3 = 0 est l’ensemble vide.
Exercice 2
1. Une parabole de foyer F et de directrice d est l’ensemble des points M tels que la distance de M au foyer F
est égale à la distance du point M à la directrice d.
2. figure
3. Déterminez une équation de cette parabole.
– méthode directe
2
M F = d(M, d) ⇔ F M = d(M, d)2 ⇔ (x − 0)2 + (y − 2)2 = |y − (−2)|2 ⇔ x2 + y 2 − 4y + 4 = y 2 + 4y + 4
⇔ x2 − 4y = 4y ⇔ y =
1 2
x
8
– méthode générale
Une parabole de foyer F (0, p2 ) et de directrice d ≡ y = − p2 à pour équation :
y=
Dans notre cas :
1 2
x
2p
p
= 2 ⇔ 2p = 8
2
et l’équation de la parabole est
y=
1 2
x
8
Exercice 3
1 2
2x
− 2x − 2
=
=
1
2
2 (x
− 2 · 2x + 4 − 4) − 2
1
2
2 (x − 2) − 4
soient :
g : R −→ R : x −→ x2
g1 : R −→ R : x −→ (x − 2)2
g2 : R −→ R : x −→
f : R −→ R : x −→
guy greisen
1
(x − 2)2
2
1
(x − 2)2 − 4
2
translation de vecteur ~h(2, 0)
affinité de rapport
1
2
translation de vecteur ~v (0, −4)
points :12+12+12+12+12=60
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3B
CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.2
24.10.2006
Exercice 4
Représentez graphiquement la fonction
f : R −→ R : x −→ |2x2 − 8x + 6|
Exercice 5
On donne la famille de paraboles :
Pm ≡ y = x2 + mx + m
1. Déterminez le paramètre m pour que l’axe de symétrie de Pm ait x = −3 comme équation.
2. Déterminez le paramètre m pour que l’ordonnée à l’origine du sommet de Pm soit 0.
guy greisen
points :12+12+12+12+12=60
3B0607dm12.tex
3B
MATHÉMATIQUES
1.2
24.10.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
On donne les équations suivantes :
1.
x2 + y 2 − 10x + 6y + 18 = 0
2.
y = −x2 + 10x − 22
3.
x2 + y 2 − 4x + 2y + 9 = 0
Déterminez les ensembles de points M (x, y) vérifiant ces équations et précisez, s’il-y-en a, les éléments caractéristiques (Pas de figure).
Exercice 2
1. Écrivez la définition d’une parabole de foyer F et de directrice d.
2. Construisez point par point la parabole de foyer F (0, −3) et de directrice d ≡ y = 3 .
3. Déterminez une équation de cette parabole.
Exercice 3
Représentez graphiquement la fonction
1
13
f : R −→ R : x −→ − x2 + 3x −
2
5
à l’aide de trois manipulations à partir de la fonction
g : R −→ R : x −→ x2
Exercice 4
Représentez graphiquement la fonction
f : R −→ R : x −→ |x2 − 4x| + 3
Exercice 5
On donne la famille de paraboles :
Pm ≡ y = 3x2 − (m + 1)x − 2m
1. Déterminez le paramètre m pour que l’axe de symétrie de Pm ait x = −5 comme équation.
2. Déterminez le paramètre m pour que l’ordonnée du sommet de Pm soit -2.
guy greisen
points :12+12+12+12+12=60
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3B
MATHÉMATIQUES
1.3
21.11.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
Déterminez les conditions d’existence et vérifiez les identités suivantes :
1.
2
1 + sin a
1
+ tan a =
cos a
1 − sin a
2.
1
= 1 + tan2 a
cos2 a
Exercice 2
Exprimez en fonction des nombres trigonométriques de α et simplifier l’expression obtenue. (Les dénominateurs
sont supposés non nuls)
1.
sin(α − π)cot ( 3π
2 − α) cos(2π − α)
3π
tan(5π + α) tan( 3π
2 + α) cos(α + 2 )
2.
sin(270◦ − α) cos(α − 90◦ )cot (α − 720◦ )
tan(540◦ + α)cot (−α) cos(−α + 360◦ )
Exercice 3
On donne α = 3, 75 rad
1. Déterminez à la calculatrice cos α et sin α.
2. Placez sur le cercle trigonométrique le point R(3, 75).
3. Représentez en 4 couleurs les 4 nombres cos α, sin α, tan α et cot α.
4. Existe-il sur le cercle trigonométrique un point S différent de R de même ordonnée que R ? Si oui déterminez
toujours en radians la mesure principale (arrondir à 2 décimales) de l’angle correspondant à S.
Exercice 4
Sans utiliser de calculatrice
2. si α ∈ [π, 3π
2 ] et si cos α =
√
2
2 , calculez sin α, tan α et donnez la valeur exacte de α.
− 12 , calculez sin α, tan α et donnez la valeur exacte de α.
1. si α ∈ [ π2 , π] et si cos α = −
Exercice 5
Résolvez dans R (en mode radians) les équations suivantes :
1.
2 sin x = 1
2.
√
cos 2x = −
3.
3 tan x =
guy greisen
3
2
√
3
points :12+12+12+12+12=60
3B0607dm13.tex
3B
MATHÉMATIQUES
1.4
12.12.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
Résolvez en degrés le triangle ABC sachant que :
BC = a = 25,
AC = b = 35 et
AB = c = 40
\ = α, ABC
\ = β, et ACB
\=γ
Notations : BAC
Exercice 2
1. Écrivez la marche à suivre pour calculer les distances AC et BC si on connaît AB ainsi que les mesures des
\ = α et DBC
\ = β 0 (Figure de la grue ci-dessus).
angles BAC
\ = α = 7◦ et DBC
\ = β 0 = 21◦ .
2. Application numérique avec AB = 20 m, BAC
Exercice 3
Pour les fonctions f suivantes déterminez les sous-ensembles A et B de R (aussi grands que possibles) pourque ces
fonctions soient des bijections et esquissez la courbe Cf .
1. f : A −→ B : x −→ cos x
2. f : A −→ B : x −→ tan x
3. f : A −→ B : x −→ x2
Exercice 4
Déterminez domf et imf et esquissez la courbe Cf pour les fonctions suivantes :
1. f : R −→ R : x −→
x
|x|
2. f : R −→ R : x −→
(x−4)2
x−4
3. f : R −→ R : x −→
√
x2 + 4
Exercice 5
La figure se traduit par une relation entre A = {1, 2, 3} et B = {on, of f } dont le
graphe est
G = {(1, on), (2, of f ), (3, of f )}
Déterminez toutes les relations possibles sur ce commutateur (DIP switch en anglais)
par leur graphe et leur diagramme sagittal en disant chaque fois si c’est une application, injection, surjection ou bijection (Un des quatre suffit).
guy greisen
points :15+15+12+12+6=60
3B0607dm13.tex
3B
CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.4
12.12.2006
Exercice 1
C
A
B
Fig. 1 – dreieck.jpg
La relation du cosinus dans le triangle ABC donne :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α ⇔ 2bc cos α = b2 + c2 − a2 ⇔ cos α =
b2 + c2 − a2
2bc
Donc :
2200
11
352 + 402 − 252
⇔ cos α =
=
⇔ α ≈ 38, 21◦
2 · 35 · 40
2800
14
La relation du sinus dans le triangle ABC donne :
cos α =
sin β
sin α
=
b
a
Donc :
b sin α
35 sin α
⇔ sin β =
≈ 0, 866025 ⇔ β ≈ 60◦
a
25
q
11 2
En prenant la valeur exacte de sin α = 1 − ( 14
) on obtient :
√
3
sin β =
⇔ β = 60◦
2
Comme la somme des mesures des trois angles d’un triangle vaut 180◦ le troisième angle mesure :
sin β =
γ = 180 − 60 − 38, 21 = 81, 79◦
Les trois angles cherchés sont : α ≈ 38, 21◦ , β = 60◦ et γ ≈ 81, 79◦
Exercice 2
1. Marche à suivre
\ = β (β et β 0 sont supplémentaires )
– l’angle ABC
\ = γ (somme des angles d’un triangle)
– l’angle ACB
– dans le triangle ABC la relation des sinus permet le calcul de AC :
AC
AB
sin β
=
⇔ AC = AB
sin β
sin γ
sin γ
– dans le triangle ABC la relation des sinus permet le calcul de BC :
BC
AB
sin α
=
⇔ BC = AB
sin α
sin γ
sin γ
2. Application numérique :
– β = 180 − β 0 = 180 − 21 = 159◦
– γ = 180 − 159 − 7 = 14◦
159
– AC = 20 sin
sin 14 = 29, 63 . . .
sin 7
– BC = 20 sin 14 = 10, 07 . . .
Exercice 3
guy greisen
points :15+15+12+12+6=60
3B0607dm14.tex
3B
CORRIGÉ MATHÉMATIQUES
1.4
12.12.2006
Fig. 2 – kran.jpg
guy greisen
points :15+15+12+12+6=60
3B0607dm14.tex
3B
MATHÉMATIQUES
1.4
14.12.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
Résolvez en degrés le triangle ABC sachant que :
BC = a = 25,
AC = b = 35 et
AB = c = 40
\ = α, ABC
\ = β, et ACB
\=γ
Notations : BAC
Exercice 2
1. Écrivez la marche à suivre pour calculer les distances AC et BC si on connaît AB ainsi que les mesures des
\ = α et DBC
\ = β 0 (Figure de la grue ci-dessus).
angles BAC
\ = α = 7◦ et DBC
\ = β 0 = 21◦ .
2. Application numérique avec AB = 20 m, BAC
Exercice 3
Pour les fonctions f suivantes déterminez les sous-ensembles A et B de R (aussi grands que possibles) pourque ces
fonctions soient des bijections et esquissez la courbe Cf .
1. f : A −→ B : x −→ sin x
2. f : A −→ B : x −→ cot x
3. f : A −→ B : x −→ |x|
Exercice 4
Déterminez domf et imf et esquissez la courbe Cf pour les fonctions suivantes :
1. f : R −→ R : x −→
|x−2|
x−2
2. f : R −→ R : x −→
x2 −4
x−4
3. f : R −→ R : x −→
√
4 − x2
Exercice 5
On donne les deux ensembles A = {−2, 0, 2} et B = {−1, 0, 1} Déterminez par leur graphe et leur diagramme
sagittal :
1. une relation qui n’est pas une fonction
2. une fonction qui n’est pas une application
3. une application qui n’est ni injective ni surjective
4. une injection qui n’est pas surjective
5. une injection qui est surjective
guy greisen
points :13+13+12+12+10=60
3B0607dm13.tex
3B
MATHÉMATIQUES
2.1
30.01.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
Soit :
f : R −→ R : x −→
p
2x2 − 5x + 3
Déterminez le domaine de définition de f
Exercice 2
Soit :
f : R −→ R : x −→
2x − 1
x−1
b
x−1
2. Représentez graphiquement la fonction f à l’aide de trois manipulations à partir de la fonction
1. Montrer que f (x) se met sous la forme a +
g : R −→ R : x −→
1
x
Exercice 3
Soient :
h : R −→ R : x −→ (2x + 1)2 − 1 et k : R −→ R : x −→ 2(x2 − 1) + 1
Trouvez deux fonctions f et g telles que h = g ◦ f et k = f ◦ g
Exercice 4
Soient :
f : R −→ R : x −→ 16 − x2 et g : R −→ R : x −→
√
x
1. Déterminez les domaines de définitions de f ,g, g ◦ f et f ◦ g
2. Calculer (g ◦ f )(x) et (f ◦ g)(x)
Exercice 5
Soit :
2x − 1
x−2
1. Déterminez le domaine de définition et l’image de f et de f ◦ f
f : R −→ R : x −→
2. Calculez (f ◦ f )(x)
3. Donnez le nom particulier de cette fonction f ◦ f
Exercice 6
Soit :
f : R −→ R : x −→ 2x − 1
1. Montrez que f est une injection
2. Déterminez la réciproque f −1
3. Représentez graphiquement f et f −1
Exercice 7
Soit
f : A −→ B : x −→
4x − 3
x−2
1. Déterminez les sous-ensembles A et B de R (aussi grands que possibles) pourque f soit une bijection
2. Déterminez la bijection réciproque f −1
guy greisen
points :6+16+4+8+6+10+10=60
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MATHÉMATIQUES
2.1
08.02.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
Soit :
r
f : R −→ R : x −→
2x − 3
x−1
f : R −→ R : x −→
−2x − 1
x+1
Déterminez le domaine de définition de f
Exercice 2
Soit :
b
x+1
2. Représentez graphiquement la fonction f à l’aide de trois manipulations à partir de la fonction
1. Montrer que f (x) se met sous la forme a +
g : R −→ R : x −→
1
x
Exercice 3
Soient :
h : R −→ R : x −→
√
√
2x + 1 − 1 et k : R −→ R : x −→ 2( x − 1) + 1
Trouvez deux fonctions f et g telles que h = g ◦ f et k = f ◦ g
Exercice 4
Soient :
f : R −→ R : x −→ x2 + x + 1 et g : R −→ R : x −→ x + 1
1. Déterminez les domaines de définitions de f ,g, g ◦ f et f ◦ g
2. Calculer (g ◦ f )(x) et (f ◦ g)(x)
Exercice 5
Soit :
−2x − 1
x+2
1. Déterminez le domaine de définition et l’image de f et de f ◦ f
f : R −→ R : x −→
2. Calculez (f ◦ f )(x)
3. Donnez le nom particulier de cette fonction f ◦ f
Exercice 6
Soit :
f : R− −→ R+ : x −→ x2
1. Montrez que f est une injection
2. Déterminez la réciproque f −1
3. Représentez graphiquement f et f −1
Exercice 7
Soit
f : A −→ B : x −→
−x + 2
3x − 4
1. Déterminez les sous-ensembles A et B de R (aussi grands que possibles) pourque f soit une bijection
2. Déterminez la bijection réciproque f −1
guy greisen
points :6+16+4+8+6+10+10=60
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MATHÉMATIQUES
2.2
27.02.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
0 x
x
Soit ~u
et u~0
dans une base orthonormée (~ı, ~)
y
y0
Démontrez que :
~u⊥u~0 ⇔ xx0 + yy 0 = 0
Exercice 2
On donne une famille de droites (∆m )m∈R par :
(m − 1)x + (m + 2)y + m − 3 = 0
dans un repère orthonormé (O,~ı, ~).
Trouver m et une équation de ∆m sachant que
1. ∆m ||a avec a ≡ 4x + y = 0,
2. ∆m ||Oy,
3. ∆m a pour coefficient angulaire 2,
−1
4. ∆m a pour vecteur normal ~n
,
2
5. ∆m ||Ox,
6. ∆m passe par A(−3, 1),
7. ∆m passe par l’origine du repère.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (O,~ı, ~) on donne les trois droites :
3
AB passant par R(−1, 5) de vecteur directeur ~u
−2
4
BC passant par S(0, −3) de vecteur directeur ~v
1
6
1
AC passant par T (−1, − 2 ) de vecteur directeur w
~
7
1. Construire les trois droites a partir des données (point et vecteur directeur),
2. déterminez des équations des trois droites,
3. calculer les coordonnées des points d’intersections A, B et C,
4. déterminez des équations des trois médiatrices k,l et m du triangle ABC,
5. déterminer la coordonnée de Ω avec {Ω} = k ∩ l,
6. vérifier que Ω ∈ m,
−→
−→
−→
7. comparer || ΩA ||, || ΩB ||, || ΩC || et conclure.
guy greisen
points :10+20+30=60
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MATHÉMATIQUES
2.3
20.03.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction
et la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie. L’usage de la V200 est fortement recommandé mais la
rédaction ne doit pas contenir des commandes V200.
Exercice 1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,~ı, ~), soient un vecteur ~n(α, β) et un point A(a, b).
1. Sachant que M (x, y) est un point quelconque de la droite d de vecteur normal ~n et passant par le point A,
−→
écrivez la condition de perpendicularité des vecteurs AM et ~n.
2. Ecrivez un module eqnopo(α, β, a, b) qui donne une équation de la droite d.
3. Déterminez des équations des trois hauteurs du triangle A(3, 6)B(1, 1)C(8, 1).
Exercice 2
Soit la fonction
f : R −→ R : x −→ x3 + ax2 + bx + c
.
1. Déterminez les réels a, b et c pour avoir -2, -5 et 6 comme racines de f .
2. Représentez graphiquement.
3. f présente un maximum en α et un minimum en β. Déterminez graphiquement une valeur approchée à 10−1
près de α et β.
4. Précisez les variations de f sur les intervalles ] − ∞, α] , [α, β] et [β, +∞[.
Exercice 3
Soient les fonctions
f : R −→ R : x −→ x2
et
g : R −→ R : x −→
x
2
2
−2
On propose les trois manipulations suivantes :
– f1 (x) = f ( 21 x) et f2 (x) = f1 (x − 4)
– f3 (x) = f ( 21 x) et f4 (x) = f3 (x − 2)
– f5 (x) = f (x − 2) et f6 (x) = f5 ( 12 x)
1. Laquelle ou lesquelles des fonctions f2 , f4 ou f6 est ou sont égales à g ?
2. Vérifiez par le calcul.
3. Quelles sont les transformations géométriques qui transforment la courbe de f en la courbe de f1 et ensuite
la courbe de f1 en la courbe de f2 ?
4. Même question pour les deux autres manipulations ?
Exercice 4
On considère les deux droites
d1 ≡ y = −2x − 1 et d2 ≡ y = 4x + 2
Déterminez a et b sachant que la parabole P ≡ y = x2 + ax + b est tangente aux deux droites.
guy greisen
points :15+15+15+15=60
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MATHÉMATIQUES Corrigé
2.3
20.03.2007
Exercice 1
−→
1. Si A = (a, b) et M = (x, y) alors le AM a pour composantes (x − a, y − b) Condition de perpendicularité dans
une base orthonormée :
−→
AM (x − a, y − b)⊥~n(α, β) ⇐⇒ α(x − a) + β(y − a) = 0
2. Enregistrer l’équation α(x − a) + β(y − a) = 0 sous le nom eqnopo(α, β, a, b). Le module eqnopo(α, β, a, b)
donne une équation de la droite d de vecteur normal ~n(α, β) et passant par le point A(a, b).
−→
3. La hauteur passant par A(3, 6) est perpendiculaire au côté BC. Le vecteur BC a pour composantes (7, 0) et
on obtient une équation de cette hauteur en appelant eqnopo(7, 0, 3, 6) :
hA ≡ 7(x − 3) = 0 ≡ x = 3
−→
La hauteur passant par B(1, 1) est perpendiculaire au côté AC. Le vecteur AC a pour composantes (5, −5)
et on obtient une équation de cette hauteur en appelant eqnopo(5, −5, 1, 1) :
hB ≡ 5x − 5y = 0 ≡ y = x
−→
La hauteur passant par C(8, 1) est perpendiculaire au côté AB. Le vecteur BA a pour composantes (2, 5) et
on obtient une équation de cette hauteur en appelant eqnopo(2, 5, 8, 1) :
hC ≡ 2x + 5y − 21 = 0
Exercice 2
Soit la fonction
f : R −→ R : x −→ x3 + ax2 + bx + c
.
1. Comme -2, -5 et 6 sont les racines de f , on a le système de trois équations à trois inconnues a, b et c suivant :

 f (−5) = 0
f (−2) = 0

f (6) = 0
qui donne une solution unique a = 1, b = −32 et c = −60.
2. Représentation graphique de
f : R −→ R : x −→ x3 + x2 − 32x − 60
3. α ≈ −3, 6 et β ≈ 2, 9.
4. Sur ] − ∞, α] et sur [β, +∞[ la fonction f est croissante. et sur [α, β] la fonction f est décroissante.
guy greisen
points :15+15+15+15=60
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MATHÉMATIQUES Corrigé
2.3
20.03.2007
Exercice 3
Soient les fonctions
f : R −→ R : x −→ x2
g : R −→ R : x −→
et
x
2
2
−2
f ( 21 x)
f ( 21 x)
– f1 (x) =
et f2 (x) = f1 (x − 4)
– f3 (x) =
et f4 (x) = f3 (x − 2)
– f5 (x) = f (x − 2) et f6 (x) = f5 ( 12 x)
1.
Les fonctions f2 et f6 sont égales à g
2. f2 (x) = f1 (x − 4) = f ( 12 (x − 4)) = f ( 12 x − 2)) =
2
f6 (x) = f5 ( 21 x) = f ( 12 x − 2) = x2 − 2 = g(x)
x
2
−2
2
= g(x)
3. – On obtient Cf2 par une affinité d’axe oy , de direction ox et de rapport 2, suivi d’une translation de vecteur
~v (4, 0)
– On obtient Cf4 par une affinité d’axe oy , de direction ox et de rapport 2, suivi d’une translation de vecteur
~v (2, 0)
– On obtient Cf6 une translation de vecteur ~v (2, 0) suivi par une affinité d’axe oy , de direction ox et de
rapport 2.
Exercice 4
d1 ≡ y = −2x − 1 et d2 ≡ y = 4x + 2
d1 ∩ P
y
y
= x2 + ax + b
= −2x − 1
Les abscisses des points d’intersection sont données par l’équation :
x2 + (a + 2)x + b + 1 = 0
Une condition nécessaire de tangence est d’avoir une racine double c’est à dire un discriminant nul.
∆1 = a2 + 4a − 4b
d2 ∩ P
y
y
= x2 + ax + b
= 4x + 2
Les abscisses des points d’intersection sont données par l’équation :
x2 + (a − 4)x + b − 2 = 0
guy greisen
points :15+15+15+15=60
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MATHÉMATIQUES Corrigé
2.3
20.03.2007
Une condition nécessaire de tangence est d’avoir une racine double c’est à dire un discriminant nul.
∆2 = a2 − 8a − 4(b − 6)
Le système
∆1
∆2
= 0
= 0
donne a = 2 et b = 3 et l’unique parabole tangente aux deux droites données a pour équation :
y = x2 + 2x + 3
guy greisen
points :15+15+15+15=60
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MATHÉMATIQUES
3.1
03.05.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction
et la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie. L’usage de la V200 est fortement recommandé mais la
rédaction ne doit pas contenir des commandes V200.
Exercice 1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,~ı, ~), soit le cercle C de centre Ω(3, 0) et de rayon 4. On demande le
lieu L des milieux des cordes découpées par le cercle C sur les droites isues de O.
1. Tracez une corde du cercle passant par l’origine O du repère et non parallèle aux axes et soit M le milieu
de cette corde. Découvrez une propriété géométrique du triangle OM Ω, écrivez une condition nécessaire et
suffisante pour que M soit milieu d’une corde de C passant par O et donnez le nom de cette méthode.
2. Construisez une dixaine de couples de droites non parallèles aux axes telle que la première droite passe par
O et la seconde droite de manière que son intersection avec la première donne un point M du lieu L. Précisez
de manière générale la position de la seconde droite et donnez le nom de cette méthode.
3. Traduisez en équation la propriété géométrique mise en évidence ci-dessus et qui lie les trois points O(0, 0),
M (x, y) et Ω(3, 0) et donnez le nom de cette méthode.
Exercice 2
Voici l’équation d’une famille F de paraboles :
y = x2 − 2mx + 5
On demande le lieu L des sommets des paraboles de cette famille.
1. Représentez dans un repère orthonormé (O,~ı, ~) du plan cartésien la séquence des trois paraboles Pm pour
m ∈ {−1, 0, 2}
2. Exprimez l’abscisse x et l’ordonnée y du sommet de ces paraboles en fonction du paramètre m.
3. Éliminez le paramètre m pour obtenir une équation cartésienne du lieu L.
Exercice 3
Dans le tétraèdre ABCD, soit
M le milieu de [DA]
N le milieu de [DC]
P le milieu de [BC]
Q le milieu de [AB]
1. Figure.
2. Quelle est la nature du quadrilatère M N P Q
3. Démontrer.
Exercice 4
Copiez la figure, déterminez en justifiant et hachurez l’intersection du plan ABC avec le cube M N P QRST U
sachant que :
A ∈ MQ
B ∈ PQ
C ∈ PT
Exercice 5
Copiez la figure, déterminez en justifiant et hachurez l’intersection du plan XY Z avec le tétraèdre ABCD sachant
que :
X ∈ AB
Y ∈ AC
Z ∈ BD
guy greisen
points :15+15+10+10+10=60
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3B
MATHÉMATIQUES
3.2
05.06.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction
et la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie. L’usage de la V200 est fortement recommandé mais la
rédaction ne doit pas contenir des commandes V200.
Exercice 1
Calculez la probabilité de lancer avec deux dés ou bien un double ou bien la somme 5. (Description de Ω avec
marquage de l’événement demandé et calcul de la probabilité)
Exercice 2
1. Calculez la probabilité d’obtenir exactement 3 fois face dans quatre parties consécutives de pile ou face.
2. Calculez la probabilité d’obtenir exactement 3 fois face dans cinq parties consécutives de pile ou face.
Exercice 3
Un sac contient 4 boules rouges et trois boules vertes. On tire simultanément sans remise deux boules :
1. Calculez la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
2. Calculez la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
Exercice 4
Un sac contient 3 boules noires et 4 boules rouges. On tire succesivement et avec remise deux boules :
1. Calculez la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
2. Calculez la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
Exercice 5
Lors de la remise des devoirs le professeur de mathématiques ne se rappelle plus les noms de quatre élèves. Voila
pourquoi il distribue les quatre copies au hasard parmi ces quatre élèves. Quelle est la probabilité pour que chacun
reçoive sa copie.
Exercice 6
Démontrez pour une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q que la somme des n premiers termes est
Sn = u 1
1 − qn
1−q
Exercice 7
On donne les suites suivantes :
pour
1.
2.
3.
4.
5.
3 5 7
, , ...
4 4 4
3, 6, 12, 24 . . .
chacune déterminez :
la nature de la suite
le terme u13
le terme général un
la somme S13
la somme générale Sn
Exercice 8
Calculez :
1.
1000
X
i
i=1
2.
10
X
3i
i=1
guy greisen
points :6+8+8+8+6+10+12+8=60
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MATHÉMATIQUES
3.3
25.06.2007
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction
et la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie. L’usage de la V200 est fortement recommandé mais la
rédaction ne doit pas contenir des commandes V200.
Exercice 1
a) Représentez graphiquement les fonctions associées aux suites suivantes pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A l’aide d’un tableau à deux ou trois lignes (suivant le cas) donnant des valeurs écrites sous forme d’écriture
décimale étudier le comportement de chacune de ces suites lorsque n augmente sans cesse. (première ligne
obligatoire : n ∈ {1, 10, 100, 1000, 104 , 105 , 106 })
c) Conclure pour chaque suite en termes de limite avec justification.
1. un = n2 − 8n + 14
2. un =
3. un =
4. un =
−n2
n+1
4n−1
3n+1
n
1−n2
Exercice 2
1. On juxtapose n carrés de côté cn =
1 (n−1)
3
avec n ∈ N :
1) Figure.
2) Calculez lim
n→+∞
n
X
ci .
i=1
3) Interprétation graphique de ce résultat.
2. On juxtapose n carrés de coté dn = an−1 avec n ∈ N :
1) Quelle est la nature de la suite (dn ) ?
n
X
di .
2) Calculez lim
n→+∞
i=1
3) En déduire la valeur de a pour que la longueur cumulée devienne 2 lorsque n augmente sans cesse.
Exercice 3
1. –
–
–
2. –
–
–
n−1
X
i
1
Calculez sans aucune calculatrice lim
.
n→+∞
10
i=0
7
1
1
1
En déduire une écriture fractionnaire de a =
1+
+
+
+ ... .
10
10 100 1000
Donnez une écriture décimale de a.
n−1
X 1 i
.
Calculez sans aucune calculatrice lim
n→+∞
100
i=0
21
1
1
1
En déduire une écriture fractionnaire de b =
1+
+
+
+ ... .
100
100 10000 1000000
Donnez une écriture décimale de b.
Exercice 4
Pour les parties P suivantes de (R, 6), cherchez le minimum,l’ensemble des minorants, l’infimum, le maximum,
l’ensemble des majorants, le suprémum ; dites si ces parties sont majorées, minorées, bornées :
1. {x ∈ R|1 > 2x}
2. {x ∈ Q|4x2 < 4x}
1 − 2x
3. {x ∈ R|
> 1}
4 − x2
Présentez les résultats dans un tableau !
guy greisen
points : 24+12+12+12=60
3B0607dm33.tex