3B0607dm

3B MATHÉMATIQUES I 1.1 03.10.2006
Exercice 1
Soit l’équation du second degré ax2+bx +c= 0 avec ∆>0
1. Donner l’expression et le nom de ∆
2. Donner les expressions des deux solutions αet β
3. Donner la formule de factorisation du trinôme ax2+bx +c
4. Sachant que a < 0et α < β, donner le signe du trinôme ax2+bx +c
5. Sachant que a= 1 et b= 2b0, donner une expression simple des deux solutions αet βde l’équation donnée.
Exercice 2
Résoudre dans R, les équations suivantes en ne manquant pas d’utiliser la méthode la plus rapide :
1. x2−9 = 0
2. x2+ 4 = 0
3. x2+ 2x−8 = 0
4. x2+ 4x+ 4 = 0
5. 11x2+ 44x= 0
Exercice 3
Simplifier en indiquant les conditions d’existence :
2x2+x−6
6x2−7x−3
Exercice 4
Résoudre dans Rl’équation bicarrée suivante :
15x4+ 16 −x8= 0
Exercice 5
Résoudre dans Rl’équation suivante sans oublier au préalable les conditions d’existence :
−x−1
x−2−2x+ 7 x+ 1 =−9 x2−x−2
Exercice 6
Résoudre dans Rl’inéquation suivante :
(−x2+ 2x+ 15)(5x2−7x+ 2) >0
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3B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES 1.1 03.10.2006
Exercice 1
Soit l’équation du second degré ax2+bx +c= 0 avec ∆>0
1. ∆ = b2−4ac et on l’appelle discriminant
2. α=−b+√∆
2aet β=−b−√∆ 2a
3. ax2+bx +c=a(x−α)(x−β)
4. Sachant que a < 0et α < β donner le signe du trinôme x α β
ax2+bx +c−0 + 0 −
5. α=−b0+√∆0et β=−b0−√∆0.
Exercice 2
1. x2−9 = 0 ⇔(x−3)(x+ 3) = 0 ⇔S={−3,3}
2. x2+ 4 = 0 ⇔S=∅
3. x2+ 2x−8 = 0
∆0=b02−ac = 12−1·(−8) = 9
S={−1+3,−1−3}={−4,2}
4. x2+ 4x+ 4 = 0 ⇔(x+ 2)2= 0 ⇔x+ 2 = 0 ⇔x=−2⇔S={−2}
5. 11x2+ 44x= 0 ⇔x2+ 4x= 0 ⇔x(x+ 4) = 0 ⇔x= 0 ou x+ 4 = 0 ⇔S={−4,0}
Exercice 3
2x2+x−6
6x2−7x−3
condition d’existence 6x2−7x−36= 0 dénominateur non nul.
∆ = b2−4ac = (−7)2−4·6·(−3) = 121 = 112
racines du trinôme α=−b+√∆
2a=7+11 12 =18 12 =3 2et β=−b−√∆ 2a=7−11 12 −4 12 =−1 3
domaine d’existence : D=R\{3
2,−1 3}
factorisation du numérateur :
∆ = b2−4ac = 12−4·2·(−6) = 49 = 72
racines du trinôme α=−b+√∆
2a=−1+7 4=6 4=3 2et β=−b−√∆ 2a=−1−7 4−8 4=−2
∀x∈D, 2x2+x−6
6x2−7x−3=2(x−3
2)(x+ 2)
6(x−3
2)(x+1 3)=(2x−3)(x+ 2)
(2x−3)(3x+ 1) =x+ 2 3x+ 1
Exercice 4
15x4+ 16 −x8= 0
Posons x4=y∈R+et résolvons dans R+l’équation :
15y+ 16 −y2= 0 ⇔ −y2+ 15y+ 16 = 0
∆ = b2−4ac = 152−4·(−1) ·16 = 289 = 172
racines du trinôme y=−b+√∆
2a=−15+17 −2=−1ou y=−b−√∆ 2a=−15−17 −2= 16
l’équation 15y+ 16 −y2= 0 a une solution y= 16 dans R+
ainsi on obtient :
x4= 16 ⇔x4−16 = 0 ⇔(x2+ 4)(x+ 2)(x−2) = 0
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3B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES 1.1 03.10.2006
d’ou la solution de l’équation bicarrée donnée :
S={−2,2}
Exercice 5
−x−1
x−2−2x+ 7 x+ 1 =−9 x2−x−2
Conditions d’existence :
x−26= 0
x+ 1 6= 0
x2−x−26= 0 ⇐⇒ x−26= 0
x+ 1 6= 0 car x2−x−2 = (x−2)(x+ 1) donc : D=R\{−1,2}
∀x∈D−x−1
x−2−2x+ 7 x+ 1 =−9 x2−x−2⇐⇒ (−x−1)(x+ 1) −(2x+ 7)(x−2) = −9⇐⇒ −3x2−5x+ 22 = 0
∆ = b2−4ac = (−5)2−4·(−3) ·22 = 289 = 172
racines du trinôme α=−b+√∆
2a=5+17 −6=−11 3et β=−b−√∆ 2a=5−17 −6= 2 /∈D
S={−11
3}
Exercice 6
(−x2+ 2x+ 15)(5x2−7x+ 2) >0
racines du trinôme −x2+ 2x+ 15 :
∆0=b02−ac = 12−(−1) ·15 = 16 = 42
α=−b0+√∆0
a=−1+4 −1=−3et β=−b−√∆ 2a=−1−4 −1= 5
racines du trinôme 5x2−7x+ 2 :
∆ = b2−4ac = (−7)12−4·5·2 = 9 = 32
α=−b+√∆
2a=7+3 10 = 1 et β=−b−√∆ 2a=7−3 10 =4 10 =2 5
tableau des signes :
x−3 0,4 1 5
−x2+ 2x+ 15 −0 + + + 0 −
5x2−7x+ 2 + + 0 −0 + +
(−x2+ 2x+ 15)(5x2−7x+ 2) −0 + 0 −0+0−
S= [−3; 0,4] ∪[1,5]
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3B MATHÉMATIQUES 1.2 24.10.2006
La clarté des raisonnements, la maîtrise du vocabulaire et des notions mathématiques, la qualité de la rédaction et
la propreté interviennent dans l’appréciation de la copie.
Exercice 1
On donne les équations suivantes :
1.
x2+y2−6x+ 8y= 0
2.
y=x2+x−6
3.
x2+y2−2x−2y+ 3 = 0
Déterminez les ensembles de points M(x, y)vérifiant ces équations et précisez, s’il-y-en a, les éléments caractéris-
tiques (Pas de figure).
Exercice 2
1. Écrivez la définition d’une parabole de foyer Fet de directrice d.
2. Construisez point par point la parabole de foyer F(0,2) et de directrice d≡y=−2.
3. Déterminez une équation de cette parabole.
Exercice 3
Représentez graphiquement la fonction
f:R−→ R:x−→ 1
2x2−2x−2
à l’aide de trois manipulations à partir de la fonction
g:R−→ R:x−→ x2
Exercice 4
Représentez graphiquement la fonction
f:R−→ R:x−→ |2x2−8x+ 6|
Exercice 5
On donne la famille de paraboles :
Pm≡y=x2+mx +m
1. Déterminez le paramètre mpour que l’axe de symétrie de Pmait x=−3comme équation.
2. Déterminez le paramètre mpour que l’ordonnée à l’origine du sommet de Pmsoit 0.
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3B CORRIGÉ MATHÉMATIQUES 1.2 24.10.2006
Exercice 1
1.
x2+y2−6x+ 8y= 0 ⇔x2−6x+9+y2+ 8y+ 16 = 25 ⇔(x−3)2+ (y+ 4)2= 55
L’ensemble des points M(x, y)vérifiant x2+y2−6x+ 8y= 0 est un cercle de centre Ω(3,4) et de rayon 5.
2.
y=x2+x−6
−b
2a=−1 2et −∆ 4a=4·1·(−6) −(−1)2 4·1=−25 4
L’ensemble des points M(x, y)vérifiant y=x2+x−6est une parabole de sommet S(−1
2,−25 4)et d’axe de
symétrie x=−1
2
3.
x2+y2−2x−2y+ 3 = 0
a=−2
b=−2
c= 3 ⇔
α= 1
β= 1
r2= 12+ 12−3
L’ensemble des points M(x, y)vérifiant x2+y2−2x−2y+ 3 = 0 est l’ensemble vide.
Exercice 2
1. Une parabole de foyer Fet de directrice dest l’ensemble des points Mtels que la distance de Mau foyer F
est égale à la distance du point Mà la directrice d.
2. figure
3. Déterminez une équation de cette parabole.
– méthode directe
MF =d(M, d)⇔F M 2=d(M, d)2⇔(x−0)2+ (y−2)2=|y−(−2)|2⇔x2+y2−4y+ 4 = y2+ 4y+ 4
⇔x2−4y= 4y⇔y=1
8x2
– méthode générale
Une parabole de foyer F(0,p
2)et de directrice d≡y=−p 2à pour équation :
y=1
2px2
Dans notre cas : p
2= 2 ⇔2p= 8
et l’équation de la parabole est
y=1
8x2
Exercice 3
1
2x2−2x−2 = 1 2(x2−2·2x+ 4 −4) −2
=1
2(x−2)2−4
soient :
g:R−→ R:x−→ x2
g1:R−→ R:x−→ (x−2)2translation de vecteur ~ h(2,0)
g2:R−→ R:x−→ 1
2(x−2)2affinité de rapport 1 2
f:R−→ R:x−→ 1
2(x−2)2−4translation de vecteur ~v(0,−4)
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