Modélisation et Commande des Robots Manipulateurs

Wisama KHALIL, Etienne DOMBRE
Date de création : 08 mai 2012
Bases de
la modélisation et
des robots
Wisama KHALIL, Etienne DOMBRE
la modélisation et
de
la
des robots
-manipulateurs
de type série
la
commande
de type série

Bases de la modélisation et de la commande des
robots-manipulateurs de type série
Wisama KHALIL
1
et Etienne DOMBRE
2
Ce document constitue un support de cours (une vingtaine d'heures) pour des étudiants en Master ou en Ecole
d'Ingénieurs qui cherchent à acquérir les bases de la modélisation, de la génération de mouvement et de la
commande des robots manipulateurs de type série. Ils trouveront dans [Khalil 02] une présentation plus complète
de ces domaines, notamment pour traiter les robots à chaîne complexe et les robots parallèles, pour identifier les
paramètres de ces modèles ou pour introduire des schémas de commande en position et en effort avancés.
1. Modélisation
1.1 Introduction
La conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques, tels que :
– les modèles de transformation entre l'espace opérationnel (dans lequel est définie la situation de l'organe
terminal) et l'espace articulaire (dans lequel est définie la configuration du robot). On distingue :
- les modèles géométriques direct et inverse qui expriment la situation de l'organe terminal en fonction des
variables articulaires du mécanisme et inversement ;
- les modèles cinématiques direct et inverse qui expriment la vitesse de l'organe terminal en fonction des
vitesses articulaires et inversement ;
– les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot, qui permettent d'établir les relations
entre les couples ou forces exercés par les actionneurs et les positions, vitesses et accélérations des
articulations.
On présente dans ce chapitre quelques méthodes permettant d'établir ces modèles. On se limitera au cas des
robots à structure ouverte simple. Pour les robots à structure complexe, arborescente ou fermée, on renvoie le
lecteur à [Khalil 02].
Le formalisme mathématique fait appel aux matrices de transformation homogènes de dimension (4x4). La
matrice homogène
i
T
j
représente la transformation permettant de passer du repère R
i
au repère R
j
:
i
T
j
=
i
A
j
i
P
j
0 0 0 1 =
i
s
ji
n
ji
a
ji
P
j
0 0 0 1 [1]
où
i
s
j
,
i
n
j
et
i
a
j
désignent respectivement les vecteurs unitaires suivant les axes x
j
, y
j
et z
j
du repère R
j
exprimés
dans le repère R
i
, et où
i
P
j
est le vecteur exprimant l'origine du repère R
j
dans le repère R
i
. Les vecteurs
i
s
j
,
i
n
j
,
i
a
j
de la matrice d'orientation
i
A
j
sont les cosinus directeurs.
1.2. Modélisation géométrique
1.2.1. Description géométrique
La modélisation des robots de façon systématique et automatique exige une méthode adéquate pour la
description de leur morphologie. Plusieurs méthodes et notations ont été proposées [Denavit 55], [Sheth 71],
[Renaud 75], [Khalil 76], [Borrel 79], [Craig 86]. La plus répandue est celle de Denavit-Hartenberg [Denavit
55]. Mais cette méthode, développée pour des structures ouvertes simples, présente des ambiguïtés lorsqu'elle est
appliquée sur des robots ayant des structures fermées ou arborescentes. C'est pourquoi, nous préconisons la
1
IRCCyN, UMR 6597 CNRS - Ecole Centrale de Nantes
2
LIRMM, UMR 5506 CNRS - Université Montpellier 2

2 Université Numérique Ingénierie & Technologie – Robotique
notation de Khalil et Kleinfinger qui permet la description homogène, et avec un nombre minimum de
paramètres, des architectures ouvertes simples et complexes de systèmes mécaniques articulés [Khalil 86].
Une structure ouverte simple est composée de n+1 corps notés C
0
, …, C
n
et de n articulations. Le corps C
0
désigne la base du robot et le corps C
n
le corps qui porte l'organe terminal. L'articulation j connecte le corps C
j
au corps C
j-1
(figure 1). La méthode de description est fondée sur les règles et conventions suivantes :
–
les corps sont supposés parfaitement rigides. Ils sont connectés par des articulations considérées comme idéales
(pas de jeu mécanique, pas d'élasticité), soit rotoïdes, soit prismatiques ;
– le repère R
j
est lié au corps C
j
;
– l'axe z
j
est porté par l'axe de l'articulation j ;
– l'axe x
j
est porté par la perpendiculaire commune aux axes z
j
et z
j+1
. Si les axes z
j
et z
j+1
sont parallèles ou
colinéaires, le choix de x
j
n'est pas unique : des considérations de symétrie ou de simplicité permettent alors un
choix rationnel.
Le passage du repère R
j-1
au repère R
j
s'exprime en fonction des quatre paramètres géométriques suivants
(figure 2) :
• α
j
: angle entre les axes z
j-1
et z
j
correspondant à une rotation autour de x
j-1
;
• d
j :
distance entre z
j-1
et z
j
le long de x
j-1
;
• θ
j
: angle entre les axes x
j-1
et x
j
correspondant à une rotation autour de z
j
;
• r
j
: distance entre x
j-1
et x
j
le long de z
j
.
C
1
C
2
C
3
C
n
C
0
Figure 1. Robot à structure ouverte simple
z
j-1
x
j-1
z
j
x
j
d
j
r
j
θ
j
α
j
O
j
O
j-1
Figure 2. Paramètres géométriques dans le cas d'une structure ouverte simple

Bases de la modélisation et de la commande des robots-manipulateurs de type série 3
La variable articulaire q
j
associée à la j
ème
articulation est soit θ
j
, soit r
j
, selon que cette articulation est de
type rotoïde ou prismatique, ce qui se traduit par la relation :
q
j
= σ
−
j
θ
j
+ σ
j
r
j
[2]
avec :
• σ
j
= 0 si l'articulation j est rotoïde ;
• σ
j
= 1 si l'articulation j est prismatique ;
• σ
−
j
= 1 – σ
j
.
La matrice de transformation définissant le repère R
j
dans le repère R
j-1
est donnée par (figure 2) :
j-1
T
j
= Rot(x, α
j
) Trans(x, d
j
) Rot(z, θ
j
) Trans(z, r
j
)
=
Cθ
j
–Sθ
j
0 d
j
Cα
j
Sθ
j
Cα
j
Cθ
j
–Sα
j
–r
j
Sα
j
Sα
j
Sθ
j
Sα
j
Cθ
j
Cα
j
r
j
Cα
j
0 0 0 1
[3]
où Rot(u, α) et Trans(u, d) sont des matrices de transformation homogène (4x4) représentant respectivement
une rotation α autour de l'axe u et une translation d le long de u.
REMARQUES –
– pour la définition du repère de référence R
0
, le choix le plus simple consiste à prendre R
0
confondu avec le
repère R
1
quand q
1
= 0, ce qui signifie que z
0
est confondu avec z
1
et O
0
= O
1
lorsque l'articulation 1 est
rotoïde, et z
0
est confondu avec z
1
et x
0
est parallèle à x
1
lorsque l'articulation 1 est prismatique. Ce choix rend
les paramètres α
1
et d
1
nuls ;
– de même, on définit l'axe x
n
du repère R
n
comme étant colinéaire à x
n-1
lorsque q
n
= 0 ;
– pour une articulation j prismatique, l'axe z
j
est parallèle à l'axe de l'articulation mais la position de cet axe dans
l'espace peut être quelconque : on le place donc de telle sorte que d
j
ou d
j+1
soit nul ;
– lorsque z
j
est parallèle à z
j+1
, on place x
j
de telle sorte que r
j
ou r
j+1
soit nul ;
– en pratique, le vecteur des variables articulaires q est donné par :
q = q
c
+ q
0
où q
0
représente un décalage ("offset") et q
c
sont les variables codeurs.
E XEMPLE 1. – Description de la géométrie du robot Stäubli RX-90 (figure 3). La cinématique du porteur est de
type anthropomorphe RRR et le poignet comporte trois rotations d'axes concourants, équivalentes à une rotule.
D'un point de vue méthodologique, on place d'abord les axes z
j
sur les axes articulaires, puis les axes x
j
selon les
règles énoncées précédemment. On détermine ensuite les paramètres géométriques du robot. Le placement des
repères est indiqué sur la figure 3 et les paramètres géométriques sont donnés dans le tableau 1.

4 Université Numérique Ingénierie & Technologie – Robotique
x
3
x
4
, x
5
, x
6
z
4
, z
6
z
3
z
2
z
0
, z
1
z
5
x
0
, x
1
, x
2
D3
RL4
Figure 3. Placement des repères et notations pour le robot Stäubli RX-90
j σ
j α j d j θ j
r
j
1 0 0 0 θ
1
0
2 0 π/2 0 θ
2 0
3 0 0 D3 θ
3
0
4 0 –π/2 0 θ
4 RL4
5 0 π/2 0 θ
5 0
6 0 –π/2 0 θ
6 0
Tableau 1. Paramètres géométriques du robot Stäubli RX-90
1.2.2. Modèle géométrique direct
Le modèle géométrique direct (MGD) est l'ensemble des relations qui permettent d'exprimer la situation de
l'organe terminal, c'est-à-dire les coordonnées opérationnelles du robot, en fonction de ses coordonnées
articulaires. Dans le cas d'une chaîne ouverte simple, il peut être représenté par la matrice de transformation
0
T
n
:
0
T
n
=
0
T
1
(q
1
)
1
T
2
(q
2
) …
n-1
T
n
(q
n
) [4]
Le modèle géométrique direct du robot peut aussi être représenté par la relation :
X = f(q) [5]
q étant le vecteur des variables articulaires tel que :
q = [q
1
q
2
… q
n
]
T [6]
Les coordonnées opérationnelles sont définies par :
X = [x
1
x
2
… x
m
]
T [7]
Plusieurs possibilités existent pour la définition du vecteur X. Par exemple, avec les éléments de la matrice
0
T
n
: