technique numérique cours

1
Chapitre I : Les systèmes de numération
I.1 La représentation polynomiale
Nous manipulons les nombres la plupart du temps dans la base décimale, naturelle et universelle. Mais
cela ne doit pas masquer la nature même de la numération qui peut prendre plusieurs formes, parmi
lesquelles on trouve la représentation polynomiale.
La représentation polynomiale d’un nombre est sa représentation sous la forme suivante :
an−1bn−1+an−2bn−2+an−3bn−3+···+a2b2+a1b+a0+a−1b−1+ a−2b−2 +···+a−mb−m
i=n
N= ∑ ai × bi où ai ϵ {0, 1, 2, 3,4,………., (b-1)}
i= 0
Le système de numération se définit par deux éléments :
- La base du système ;
- Les symboles du système : Le nombre de symboles utilisés caractérise le numéro de la base.
Si la base 10 nous est familière, d’autres bases existent en informatique sont les bases 10, 2, 8 et 16
appelées respectivement « décimale », « binaire », « octale » et « hexadécimale ».
Système
Base
Symboles
Nombre de
symboles
décimale
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9
10
binaire
2
0, 1
2
octale
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7
8
hexadécimale
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
16
I.2 Rang et poids d’un chiffre
Soit le nombre N exprimé dans une base b comme suit : N= (an an-1………….a0)b
On appelle rang d’un chiffre sa position i dans le nombre à partir de la droite.
Ainsi :
- Le rang du chiffre an est n
- Le rang du chiffre a1 est 1
- Le rang du chiffre a0 est 0
On appelle poids d’un chiffre le nombre bi tel que b b est la base et i le rang du chiffre, ainsi :
- Le poids du chiffre an est bn ;
- Le poids du chiffre a1 est b1 ;
- Le poids du chiffre a0 est b0.
I.3 Valeur décimale d’un nombre N de base b quelconque :
La valeur décimale d’un nombre N de base b s’obtient par sa forme polynomiale
Exemple :
1- Déterminer la valeur décimale de N= 101101
Nous aurons :
(101101)2 =1×25+ 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20
= 1× 32 + 0×16 +1×8 +1×4+ 0×2 + 1×1
= 32 + 8 + 4 + 1 = (45)10
2- Déterminer la valeur décimale du nombre octal (base 8) : N=(6734)8

2
Nous aurons :
(6734)8 = 6× 83 + 7×82 + 3×81 + 4×80 = 6×512 + 7×64 + 3×8 + 4×1
= 3072 + 448 + 24 + 4 = (3458)10
3- Déterminer la valeur décimale du nombre hexadécimale (base 16) N = (A732)16
Nous aurons :
(A732)16 = A×163 + 7×162 + 3×161 + 2×160 = 10× 4096 + 7× 256 + 3×16 + 2×1
= 40960 + 1792 + 48 + 2 = (42802)10
I.4 Changement de base :
Pour le passage de la base 10 vers une base quelconque, on dispose de deux méthodes :
- Par soustractions successives ;
- Par divisions successives.
I.4.1 Premier procédé de conversion
Dans ce premier algorithme on applique directement la formule :
i=n
N= ∑ ai × bi où ai ϵ {0, 1, 2, 3,4,………., (b-1)}, i entier ≥ 0 : l’exposant de b du chiffre de poids fort
i= 0
On dresse une table donnant les différentes puissances entières de la base b du système de numération
dans lequel on veut convertir le nombre décimal.
Au nombre décimal donné, on retranche la plus grande puissance entière de b possible. Cette
puissance définit le rang du chiffre dans la représentation en base b du nombre. Le nombre de fois
(< b) qu’on retranche cette puissance définit le chiffre de ce rang. ( en binaire, on ne peut avoir que 0
ou 1, la valeur du chiffre à écrire est donc immédiate).
Exemple :
1- Convertir le nombre N =(39487)10 en nombre octal
39487
- 32768 85
06719
- 4096 84
2623
- 512 83
2111
- 512 83
1599
512 83
1087
512 83
575
512 83
063
56 7×81
07 7×80
Donc :
N =(39487)10 = 1× 85 + 1×84 + 5×83+ 7×81 + 7×80
On voit donc que le terme 82 est absent, d’où a2=0 d’après notre relation
On a donc ; N =(39487)10 = (115077)8
i
8i
0
1
2
3
4
5
1
8
64
512
4096
32768

3
2- Convertir N=(233)2 en binaire {exp N= (47375)}
Comme précédemment dressons une table de puissances
233
128 27
105
64 26
41
32 25
09
8 23
1
1 20
0
N=(233)10 = 27 + 26 + 25 + 23 + 20 on voit que les termes 21, 22, 24 sont absents nous en concluons
donc que a1 = a2 = a4 =0
Donc
N=(233)10 = (11101001)2
I.4.2 Deuxième procédé de conversion
Cette méthode est plus simple et plus rapide que la précédente. Soit N un nombre exprimé en base 10,
pour l’exprimer dans une autre base b, il suffit d’effectuer des divisions successives sur b jusqu’à
l’obtention d’un résultat nul. On écrit ensuite tous les restes à partir de la fin et de gauche à droite, en
les convertissant en lettres s’il y a lieu.
Exemple :
1- Convertir le nombre N= (189520)10 en hexadécimal.
189520 16
29
135 11845 16
072 064 740 16
80 05 100 46 16
00 4 14 2 16
2 0
(2 E 4 5 0)16 donc, N= (189520)10 = (2 E 4 5 0)16
2- Convertrir N= (231)10 en binaire
I.4.3 Nombres fractionnaires :
Un nombre fractionnaire est composé de deux parties :
- une partie entière ;
- une partie fractionnaire ou décimale (à ne pas confondre avec le système décimal).
Exemples :
213 , 56
Peut se décomposer sous la forme : 2×102 + 1×101 + 3×100 + 5×10-1 + 6×10-2
i
2i
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
4
8
16
32
64
128
Partie entière
Partie décimale

4
a- Passage de la base b à la base 10 :
Soit le nombre N =(1101,01)2, on va l’exprimer en décimal :
La partie entière 1101 = 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = 8+4+0+1 = 13.
La partie fractionnaire 01 = 0×2-1 + 1× 2-2 = 0 + ¼ = 0,25
Conclusion :
N =(1101,01)2 = (13,25)10
b- Passage de la base 10 à une base b :
La conversion d’un nombre fractionnaire décimal à une autre base b se déroule en deux étapes :
Etape 1 : convertir la partie entière par divisions successives ;
Etape 2 : convertir la partie fractionnaire par multiplications successives.
Exemple : (20,4)10 = (?)2
Partie entière :
20 2
0 10 2
0 5 2
1
2 2
0
1 2
1 0
Prendre les chiffres dans le sens de la flèche du bas vers le haut.
Partie fractionnaire :
Pour la partie fractionnaire on multiplie par 2 (résultat nul ou selon la précision demandée)
0,4
× 2
0 0,8 0,8
× 2
1 1,6 0,6
× 2
1 1,2 0,2
× 2
0 0,4
Prendre les chiffres dans le sens de la flèche du haut vers le bas.
Le résultat est donc (20,4)10 = 10100,0110.
Exemple : 0,7(10) = ?(2) 0,7 × 2 = 1,4 partie entière = 1(10) ou 1(2)
0,4 × 2 = 0,8 partie entière = 0(2)
0,8 × 2 = 1,6 partie entière = 1(2)

5
0,6 × 2 = 1,2 partie entière = 1(2)
0,2 × 2 = 0,4 partie entière = 0(2)
d’où 0,7(10)= 0 , 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 · · · (2)
I.4.4 Passage d’une base p à une base q (p,q = 2,8, 16) :
Pour convertir un nombre octal en binaire, il faut passer par une base intermédiaire qui est la
base 10.
Exemple :
Soit N = (175)8 = (…)2
1- Passage de l’octal à la base 10 :
(175)8 = 1×82+7×81 +5×80 = (125)10
2- Passage du décimal au binaire
Par divisions successives sur 2, on aboutit au résultat suivant :
N = (1111101)2
Ainsi, le passage des bases 8 ou 16 vers la base 2 peut s’effectuer sans passer par le système décimal.
Hexadécimal
Décimal
Octal
Binaire
0
0
0
0000
1
1
1
0001
2
2
2
0010
3
3
3
0011
4
4
4
0100
5
5
5
0101
6
6
6
0110
7
7
7
0111
8
8
10
1000
9
9
11
1001
A
10
12
1010
B
11
13
1011
C
12
14
1100
D
13
15
1101
E
14
16
1110
F
15
17
1111
 Conversion entre les bases binaire et octale
Chaque groupe de trois bits d’un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre octal
correspondant.
 Conversion entre les bases binaire et hexadécimale