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1 electro optique cours

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Electro-optique & Acousto-optique
Des principes physiques
au contrôle
des faisceaux lumineux :
modulation et déflexion
1
Objectifs du cours
Electro &
Acousto
optique
Comment utiliser un signal électrique pour
contrôler
Objectifs
du cours
– Phase
– État de polarisation
– Amplitude
– Direction de propagation
d’un faisceau lumineux ?
2
Exemples
Electro &
Acousto
optique
Objectifs
du cours
• Modulation de la phase
2𝜋
𝜑=
𝑛𝐿
𝜆
‒ Modulation de la longueur 𝑳 du milieu (effet piézo-électrique
inverse)
‒ Modulation de l’indice de réfraction 𝒏, par effet électrooptique ou par effet d’orientation (cristaux liquides)
Exemples
• Modulation de l’état de polarisation
‒ Modulation de la biréfringence 𝜟𝒏 = 𝑛𝑒 − 𝑛𝑜 , par effet
électro-optique ou par effet d’orientation (cristaux liquides)
‒ Modulation d’amplitude
3
‒ Modulation de la puissance d’une diode laser 𝑃 = 𝑓(𝐼𝑑 )
‒ Modulation de l’état d’interférence à la sortie d’un
interféromètre 𝐼 = 𝐼0 (1 + cos Δ𝜙)
‒ Modulation de l’état de polarisation, suivie d’un polariseur
Exemples
Electro &
Acousto
optique
Objectifs
du cours
Exemples
4
• Déflexion de faisceaux
‒ Par miroir galvanométrique (ex: matrices de micro-miroirs)
‒ Par prismes électro-optiques (cf. TD1)
‒ Par diffraction sur un réseau d’indice induit par une onde
acoustique se propageant dans un cristal (effet acoustooptique)
Cours 1 : les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
• Principe
• Anisotropie optique (rappels)
‒ La permittivité diélectrique [𝜀𝑟 ]
‒ L’ellipsoïde des indices
‒ L’imperméabilité diélectrique [𝜂]
• Effets d’orientation dans les cristaux liquides
• Les effets électro-optiques
‒ Définitions et coefficients
‒ Symétries thermodynamiques
‒ Symétries cristallines
5
Principe
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
6
Un champ électrique modifie l’indice de
réfraction ou la biréfringence du milieu de
propagation
• Modulation de la phase ou de la polarisation de l’onde
• Si des polariseurs sont utilisés, modulation de
l’amplitude de l’onde
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
7
Anisotropie optique
Le Tenseur Permittivité Diélectrique
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
• Le tenseur permittivité diélectrique
Induction électrique
D  0r E
Champ excitateur
[𝜀𝑟 ] est réel et symétrique, donc diagonalisable
 xx
 r   yx
 zx
 xy  xz 
 yy  yz 
 zy  zz 
0
0 
 x ' x '
P 1  r P   0  y ' y ' 0 


0  z ' z ' 
 0
P : matrice de passage de {x,y,z} vers {x’,y’,z’} (axes principaux)
Milieu isotrope :
𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ = 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Milieu uniaxe (axe z’) : 𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝜀𝑦′ 𝑦′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Milieu biaxe :
8
𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ ≠ 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Bibliographie sur les tenseurs : S. Huard, “Polarisation de la
lumière”, ed. Masson (1994), annexe 1, p. 303
Le Tenseur Permittivité Diélectrique
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
• Le tenseur permittivité diélectrique
Di   0   ij E j
D  0r E
j  x, y, z
[𝜀𝑟 ] est réel et symétrique, donc diagonalisable
 xx
 r   yx
 zx
 xy  xz 
 yy  yz 
 zy  zz 
0
0 
 x ' x '
P 1  r P   0  y ' y ' 0 


0  z ' z ' 
 0
P : matrice de passage de {x,y,z} vers {x’,y’,z’} (axes principaux)
Milieu isotrope :
𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ = 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Milieu uniaxe (axe z’) : 𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝜀𝑦′ 𝑦′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Milieu biaxe :
9
𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ ≠ 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
Bibliographie sur les tenseurs : S. Huard, “Polarisation de la lumière”,
ed. Masson (1994), annexe 1, p. 303
L’ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Bibliographie : S. Huard, “Polarisation de la lumière”, ed. Masson
(1994), p. 52
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
z’
na
A
y’
O
10
x’
𝑘
B nb
L’ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Pour toute onde plane 𝑘, 𝐷, 𝐻 se propageant selon 𝑘,
le lieu des points M tels que 𝑂𝑀 = 𝒏 𝐷/ 𝐷 est un
ellipsoïde : l’ellipsoïde des indices
Principe
Anisotropie
La section par le plan d’onde (𝛱𝑘 ) est une ellipse, dont les axes
définissent
• les directions de polarisation des deux ondes propres, 𝐷𝑎 et 𝐷𝑏
• les indices de réfraction pour ces ondes propres, 𝑛𝑎 et 𝑛𝑏
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
z’
na
A
y’
O
11
x’
𝑘
B nb
L’ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Pour toute onde plane 𝑘, 𝐷, 𝐻 se propageant selon 𝑘,
le lieu des points M tels que 𝑂𝑀 = 𝒏 𝐷/ 𝐷 est un
ellipsoïde : l’ellipsoïde des indices
Principe
Anisotropie
Le vecteur 𝑁 normal au plan tangent en M à l’ellipsoïde, définit la
direction du champ électrique 𝐸.
En général, 𝐷 et 𝐸 ne sont pas parallèles, sauf dans les directions
des axes principaux {x’,y’,z’}.
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
nz’
na
A
x’
𝑘
y’
nx’
12
z’
B nb
O
ny’
Equation de l’ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
z
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
y
x
2
2
2
x y z 2xy 2xz 2yz
Trièdre {x,y,z}
 2  2  2  2  2 1
2
orthonormé quelconque nx ny nz nxy n xz nyz
13
Equation de l’ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
x2 y2 z2
 2  2 1
2
n x n y nz
Trièdre {x’,y’,z’} orthonormé dans
les axes principaux de l’ellipsoïde
z
nz’ z’

Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
y’
nx’
ny’
y
x’
x
2
2
2
x y z 2xy 2xz 2yz
Trièdre {x,y,z}
 2  2  2  2  2 1
2
orthonormé quelconque nx ny nz nxy n xz nyz
14
Exemples
Effets
électrooptiques
• Milieu isotrope
x 2  y 2  z2
1
2
n
• Milieu uniaxe

x 2  y 2 z2
 2 1
2
no
ne
• Milieu biaxe

x 2 y 2 z2
 2  2 1
2
n1 n2 n3
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
15
Permittivité & ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Dans le système d’axes {x,y,z} orthonormé quelconque
𝜀𝑥𝑥
[𝜀𝑟 ] = 𝜀𝑦𝑥
𝜀𝑧𝑥
𝜀𝑥𝑦
𝜀𝑦𝑦
𝜀𝑧𝑦
𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑧𝑧
z
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
y
x
x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz
 2  2  2  2  2 1
2
nx ny nz n xy n xz n yz
16
Permittivité & ellipsoïde des indices
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
Dans le système d’axes principaux {x’,y’,z’}
𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′
[𝜀𝑟′ ] = 0
0
0
𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′
0
𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝑛𝑥2′
𝜀𝑦′ 𝑦′ = 𝑛𝑦2 ′
𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ =
𝑛𝑧2′
x2 y2 z2
 2  2 1
2
n x n y nz
17
0
0
z ’ nz’
𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′
y’
x’
nx’
ny’
𝜂𝑖𝑖′ 𝑥𝑖′2 = 1 avec 𝜂𝑖𝑖′ =
𝑖=𝑥 ′ ,𝑦 ′ ,𝑧 ′
𝜂′ ∙ 𝜀𝑟′ = [𝐼]
1
𝑛𝑖𝑖2
Le Tenseur Imperméabilité Diélectrique
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
  r  I
 , le tenseur inverse de  r
est appelé
Tenseur imperméabilité diélectrique
 1
D  0  r E  E   D
0
Par définition :
1 Di
ij 
0 E j
et
𝜕𝐸𝑖
1
𝜂𝑖𝑗 = 𝜀0
≜ 2
𝜕𝐷𝑗 𝑛𝑖𝑗

Propriété
:  est symétrique dans tout système
d’axes orthonormés, comme r

Attention !

1
𝜀𝑖𝑗 ≠
𝜂𝑖𝑗
en général, sauf dans le
système d’axes principaux {x’,y’,z’}
18

Ellipsoïde des indices &
Imperméabilité diélectrique
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Permittivité
Ellipsoïde des
indices
Imperméabilité
Relations
La transformation géométrique qui permet de passer des axes
principaux {x’,y’,z’} au système d’axes quelconques {x,y,z},
transforme 𝜂 ′ (diagonal) en 𝜂 =
l’ellipsoïde en :
, et l’équation de
x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz
 2  2  2  2  2 1
2
nx ny nz n xy n xz n yz
 x x
ij i

1
2
𝑛𝑖𝑗
j
1
i, j
La réduction de l’ellipsoïde
à des termes quadratiques

est équivalente à la
diagonalisation du tenseur imperméabilité
19
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
dans les
cristaux
liquides
20
Effets d’orientation dans
les cristaux liquides
Les cristaux liquides
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
dans les
cristaux
liquides
• Cristal : structure périodique 3D (réseau) . Les
atomes ne peuvent pas se déplacer d’un site à
l’autre. Ordre à longue portée (position, orientation).
• Liquide : milieu désordonné où les molécules sont
libres de se déplacer & de s’orienter. Ordre à courte
portée, qui s’estompe exponentiellement.
• Cristaux liquides : phase intermédiaire. Il existe un
ordre à longue portée en position ou orientation,
mais désordre de type liquide dans au moins une
des directions de l’espace.
Nématique :
ordre
d’orientation
21
Smectique :
ordre
d’orientation
& position
(couches)
A
C
Action d’un champ E
sur un cristal liquide nématique
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
dans les
cristaux
liquides
• Les molécules d’un CL nématique sont
électriquement anisotropes et uniaxes
• Dans le systèmes d’axes principaux :
𝜀⊥ 0 0
𝜀𝑟 = 0 𝜀⊥ 0
0 0 𝜀∥
• Un champ 𝐸0 externe induit dans le milieu une
densité de polarisation 𝑃 = 𝜀0 𝜀𝑟 − 1 𝐸0
• 𝑃 et 𝐸0 ne sont pas parallèles (𝜀∥ ≠ 𝜀⊥ )
 un couple s’exerce sur chaque molécule : Γ = 𝑃 × 𝐸0
 les molécules s’alignent avec leur axe optique (axe
directeur) // à 𝐸0 (si 𝜀∥ > 𝜀⊥ ), ou ⊥ à 𝐸0 (si 𝜀∥ < 𝜀⊥ )
22
Action d’un champ E
sur un cristal liquide nématique
Effets
électrooptiques
• Effet d’orientation d’une molécule (cas 𝜀∥ > 𝜀⊥ )
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
dans les
cristaux
liquides
23
Γ
𝐸0 = 0
𝜀∥
𝜀⊥
𝐸0 ≠ 0
+
𝑃
𝑃
−
Avant rotation
Après rotation
• L’application d’un champ électrique 𝐸0 permet de
modifier l’indice (ou la biréfringence) vu(e) par une
onde optique incidente
 Modulateurs de phase, de l’état de polarisation,
d’amplitude …
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
24
Les effets électro-optiques
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
25
• Aux fréquences optiques w
• Dans un milieu linéaire et isotrope:
Dw,k    0  r Ew,k    0 Ew,k   Pw,k 
avec
Pw,k    0 (w) Ew,k 
L’application d’un champ électrique E0 , statique ou
lentement variable (de fréquence << w), modifie
la susceptibilité 
  r 
1   2 r  2
 E0   2  E0  ...
 r E0   1   ( E0 )   r 0  
 E0 0
2  E0 0
  
1   2  2
 E0   2  E0  ...
 E0    0  
2  E0  0
 E0  0
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
En généralisant à des tenseurs:
 ij
ij E0   ij 0    
k  x ,y ,z  Ek
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
26
rijk
 ij
 
 Ek


 E0 0 
Tenseur de rang 3
Effet linéaire,
Effet Pockels
2

1   ij 

Ek  
EkEl  ...


k ,l  x ,y ,z 2  Ek El 
 E0 0 
E0  0 
sijkl
2
1   ij 

2  Ek El 
E0  0 
Tenseur de rang 4
Effet quadratique,
Effet Kerr
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
En généralisant à des tenseurs:
 ij
ij E0   ij 0    
k  x ,y ,z  Ek
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
27
rijk
 ij
 
 Ek
2

1   ij 

Ek  
EkEl  ...


k ,l  x ,y ,z 2  Ek El 
 E0 0 
E0  0 


 E0 0 
Tenseur de rang 3
Effet linéaire,
Effet Pockels
sijkl
2
1   ij 

2  Ek El 
E0  0 
Tenseur de rang 4
Effet quadratique,
Effet Kerr
Ordres de grandeurs:
𝑟𝑖𝑗𝑘 ≈ 10−12 à 10−10 𝑚. 𝑉 −1
𝑠𝑖𝑗 𝑘𝑙 ≈ 10−20 à 10−15 𝑚2 . 𝑉 −2
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
En généralisant à des tenseurs:
 ij
ij E0   ij 0    
k  x ,y ,z  Ek
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
28
rijk
 ij
 
 Ek
2

1   ij 

Ek  
EkEl  ...


k ,l  x ,y ,z 2  Ek El 
 E0 0 
E0  0 


 E0 0 
sijkl
E0  0 
Tenseur de rang 4
Effet quadratique,
Effet Kerr
Tenseur de rang 3
Effet linéaire,
Effet Pockels
ij E0   ij 0  
2
1   ij 

2  Ek El 
r
E 
ijk k
k  x ,y , z
s
E E  ...
ijkl k l
k ,l  x ,y ,z
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
En généralisant à des tenseurs:
 ij
ij E0   ij 0    
k  x ,y ,z  Ek
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
29
rijk
 ij
 
 Ek


 E0 0 
Tenseur de rang 3
Effet linéaire,
Effet Pockels
2

1   ij 

Ek  
EkEl  ...


k ,l  x ,y ,z 2  Ek El 
 E0 0 
E0  0 
sijkl
2
1   ij 

2  Ek El 
E0  0 
Tenseur de rang 4
Effet quadratique,
Effet Kerr
ij E0   ij 0   rijkEk  sijklEkEl  ...
Notation allégée : sommation implicite d’Einstein
Les effets électro-optiques
Effets
électrooptiques
En généralisant à des tenseurs:
 ij
ij E0   ij 0    
k  x ,y ,z  Ek
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
30
rijk
 ij
 
 Ek


 E0 0 
Tenseur de rang 3
Effet linéaire,
Effet Pockels
2

1   ij 

Ek  
EkEl  ...


k ,l  x ,y ,z 2  Ek El 
 E0 0 
E0  0 
sijkl
2
1   ij 

2  Ek El 
E0  0 
Tenseur de rang 4
Effet quadratique,
Effet Kerr
ij E0   ij 0   rijkEk  sijklEkEl  ...
Notation allégée : sommation implicite d’Einstein
Notation tensorielle : E0   0   r  E   s  E   E  ...
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
31
Représentation réduite
des tenseurs
Tenseurs de rang 2
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
32
 est symétrique, comme  r
𝜂𝑖𝑗 = 𝜂𝑗𝑖
𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖
Les couples (i,j) et (j,i) sont équivalents
On les représente par un indice unique : ij
i , j 1,2,3
11
 22
33
 23  32
13  31
12   21
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 m
m1,...,6
Notation contractée de Voigt :
i
j 1 2 3
1 1 6 5
2  2 4


3 
3
Représentation vectorielle d’un tenseur de rang 2
Tenseurs de rang 3
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
33
 ij 
 est symétrique en i & j : rijk  rjik
rijk  
 Ek  E0 0 
Notation contractée : rijk  rm,k
i , j ,k 1,2,3
r11k
 r1k
r22 k
 r2 k
r33 k
 r3k
r23 k  r32 k
 r4 k
r13 k  r31k
 r5 k
r12 k  r21k
 r6 k
m1,...,6
k 1,2,3
 r11
r
 21
r31
r
 41
r51

r61
r12
r22
r32
r42
r52
r62
r13 
r23 

r33 
r43 

r53 

r63 
Représentation matricielle d’un tenseur de rang 3
Application à l’effet Pockels
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
34
Notation tensorielle : ij E0   ij 0   rijkEk
Notation contractée : m E0   m 0   rmkEk
m1,...,6
m1,...,6
Sous forme matricielle :
 1 E0   1 0   r11
      
 2 E0   2 0  r21
 3 E0   3 0  r31



4 E0  4 0  r41
5 E0  5 0  r51

 
 
6 E0  6 0  r61
r12
r22
r32
r42
r52
r62
r13 

r23 
E1 
r33   
  E2 
r43 
E3 
r53 

r63 
Tenseurs de rang 4
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
35
sijkl
2


1  ij  est symétrique en (i,j) & (k,l) : sij kl  s ji kl

2  Ek El 
sij kl  sij lk
E0  0 
Notation contractée :
sijkl
i , j ,k ,l 1,2,3
 s11

s21
s31

s 41
s51

s61
 sm,n
m,n1,...,6
s12
s13
s14
s15
s22
s23
s24
s25
s32
s33
s34
s35
s 42 s 43 s 44 s 45
s52
s53 s54
s55
s62 s63 s64
s65
s16 

s26 
s36 

s 46 
s56 

s66 
Représentation matricielle d’un tenseur de rang 4
Application à l’effet Kerr
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
36
Notation tensorielle : ij E0   ij 0   sij kl EkEl
Contraction de (i,j) : m E0   m 0   sm kl EkEl
m1,...,6
m1,...,6
La contraction de (k,l) conduit à la forme matricielle :
 1 E0   1 0   s11
      
 2 E0   2 0  s21
 3 E0   3 0  s31



4 E0  4 0  s 41
5 E0  5 0  s51

 
 
6 E0  6 0  s61
s12
s13
s14
s15
s22
s23
s24
s25
s32
s33
s34
s35
s 42 s 43 s 44 s 45
s52
s53 s54
s55
s62 s63 s64
s65
s16   E12 

 
s26   E22 
s36   E23 


s 46  2E2E3 
s56  2E1E3 

 
s66  2E1E2 
Effets des symétries cristallines
sur les tenseurs
Effets
électrooptiques
• Soit 𝑎𝑙𝑘 une transformation géométrique entre
𝑢𝑙′
deux bases de vecteurs :
𝑢1
𝑢2 𝑢3
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑢1′
𝑎𝑙𝑘 =
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑢2′
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑢′
3
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
•
{𝑢𝑘 }
Transformation d’un tenseur
– Rang 1
ri '   aip rp
rang 1
r 'ij   aip a jq rpq
rang 2
p
– Rang 2
p ,q
– Rang 3
37
𝑎𝑙𝑘
r 'ijk 
a
p ,q,r
ip
a jqakr rpqr
rang 3
Effets des symétries cristallines
sur les tenseurs
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
• Toute transformation spatiale d’un matériau,
conforme à ses symétries, laisse invariante les
propriétés de ce matériau et donc les tenseurs qui
les décrivent.
– Les symétries d’un cristal accroissent le nombre de
relations entre les coefficients des tenseurs. Elles en
annulent certains.
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
38
•
Exemple : KH2 PO4 (nom connu :
– Symétrie tétragonale, de classe 42𝑚
0
KDP)  0
0
r   
r41
0

 0
Bibliographie sur les groupes de symétries cristallines :
• C. Kittel, “Physique de l’état solide”, ed. Dunod (1983)
• http://en.wikipedia.org : Hermann-Mauguin notation
0
0
0
0
r41
0
0

0
0

0
0

r63 
39
Effets des symétries cristallines
sur les tenseurs
Effets
électrooptiques
• Matériau centro-symétrique : invariant par symétrie
d’inversion 𝑎𝑖𝑝 = −[𝛿𝑖𝑝 ]
Principe
Anisotropie
• Exemples : liquides, gaz, solides amorphes
(verres), cristaux cubiques de classe 432…
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
x 
 x 
 
 
y

  Symétrie  y 
 z  d'inversion   z 
 aipajqakr rpqr   1 rijk  rijk
3
p ,q,r
Dans les matériaux centro-symétriques, l’effet Pockels
est nul  il reste l’effet Kerr
• Démonstration alternative :


 ij 


rijk  
rijk  rijk  0
Symétrie
E d'inversion  E
 Ek  E 0 
0
40
r 'ijk  rijk 
Effets des symétries cristallines
sur les tenseurs
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
41
• Matériau isotrope : invariant par rotation dans
l’espace
• Exemples : liquides, gaz
• Les matériaux isotropes présentent de l’effet Kerr
 s11
s
 12
 s12

s    0

0

0

s12
s12
0
0
s11
s12
0
0
s12
s11
0
0
0
0
s11  s12
2
0
0
0
s11  s12
2
0
0
0
0
0

0 

0 

0 

0 

s11  s12 
2 
0
Exercice : effet Pockels dans le KDP
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
42
KDP : optiquement uniaxe  axe optique // z
• Ellipsoïde des indices & tenseur imperméabilité en
champ nul (E0=0) ?
• Tenseur imperméabilité modifié en présence E x 
 
de champ E0 ?
E0  E y 
• Ellipsoïde modifié ?
E z 
Cas 𝐸0 // axe (z)
• Axes principaux de l’ellipsoïde modifié ?
• Indices principaux associés ?
Exercice : effet Kerr dans un milieu isotrope
Effets
électrooptiques
Principe
Anisotropie
Effets
d’orientation
Effets ElectroOptiques
Effet Pockels
Effet Kerr
Tenseurs
Symétries
Exemple du
KDP
Exemple d’un
milieu isotrope
43
• Ellipsoïde des indices en l’absence de champ?
• Existe-t-il un effet Pockels dans ce milieu ?
• Effet Kerr :
0
0
0 
 s11 s12 s12
s
 12
 s12

s    0

0

0

s11
s12
0
0
s12
s11
0
0
0
0
s11  s12
2
0
0
0
s11  s12
2
0
0
0
0
0


0 

0 

0 

s11  s12 
2 
0
• Ellipsoïde en présence d’un champ 𝐸0 = 𝐸𝑢𝑧 ?
• Orientation des axes principaux ? Indices de
réfraction associés ?
• Biréfringence induite 𝑛𝑒 − 𝑛𝑜 = 𝐾𝜆0 𝐸 2 ?
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