Electro-optique & Acousto-optique Des principes physiques au contrôle des faisceaux lumineux : modulation et déflexion 1 Objectifs du cours Electro & Acousto optique Comment utiliser un signal électrique pour contrôler Objectifs du cours – Phase – État de polarisation – Amplitude – Direction de propagation d’un faisceau lumineux ? 2 Exemples Electro & Acousto optique Objectifs du cours • Modulation de la phase 2𝜋 𝜑= 𝑛𝐿 𝜆 ‒ Modulation de la longueur 𝑳 du milieu (effet piézo-électrique inverse) ‒ Modulation de l’indice de réfraction 𝒏, par effet électrooptique ou par effet d’orientation (cristaux liquides) Exemples • Modulation de l’état de polarisation ‒ Modulation de la biréfringence 𝜟𝒏 = 𝑛𝑒 − 𝑛𝑜 , par effet électro-optique ou par effet d’orientation (cristaux liquides) ‒ Modulation d’amplitude 3 ‒ Modulation de la puissance d’une diode laser 𝑃 = 𝑓(𝐼𝑑 ) ‒ Modulation de l’état d’interférence à la sortie d’un interféromètre 𝐼 = 𝐼0 (1 + cos Δ𝜙) ‒ Modulation de l’état de polarisation, suivie d’un polariseur Exemples Electro & Acousto optique Objectifs du cours Exemples 4 • Déflexion de faisceaux ‒ Par miroir galvanométrique (ex: matrices de micro-miroirs) ‒ Par prismes électro-optiques (cf. TD1) ‒ Par diffraction sur un réseau d’indice induit par une onde acoustique se propageant dans un cristal (effet acoustooptique) Cours 1 : les effets électro-optiques Effets électrooptiques • Principe • Anisotropie optique (rappels) ‒ La permittivité diélectrique [𝜀𝑟 ] ‒ L’ellipsoïde des indices ‒ L’imperméabilité diélectrique [𝜂] • Effets d’orientation dans les cristaux liquides • Les effets électro-optiques ‒ Définitions et coefficients ‒ Symétries thermodynamiques ‒ Symétries cristallines 5 Principe Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations 6 Un champ électrique modifie l’indice de réfraction ou la biréfringence du milieu de propagation • Modulation de la phase ou de la polarisation de l’onde • Si des polariseurs sont utilisés, modulation de l’amplitude de l’onde Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations 7 Anisotropie optique Le Tenseur Permittivité Diélectrique Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations • Le tenseur permittivité diélectrique Induction électrique D 0r E Champ excitateur [𝜀𝑟 ] est réel et symétrique, donc diagonalisable xx r yx zx xy xz yy yz zy zz 0 0 x ' x ' P 1 r P 0 y ' y ' 0 0 z ' z ' 0 P : matrice de passage de {x,y,z} vers {x’,y’,z’} (axes principaux) Milieu isotrope : 𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ = 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Milieu uniaxe (axe z’) : 𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝜀𝑦′ 𝑦′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Milieu biaxe : 8 𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ ≠ 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Bibliographie sur les tenseurs : S. Huard, “Polarisation de la lumière”, ed. Masson (1994), annexe 1, p. 303 Le Tenseur Permittivité Diélectrique Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations • Le tenseur permittivité diélectrique Di 0 ij E j D 0r E j x, y, z [𝜀𝑟 ] est réel et symétrique, donc diagonalisable xx r yx zx xy xz yy yz zy zz 0 0 x ' x ' P 1 r P 0 y ' y ' 0 0 z ' z ' 0 P : matrice de passage de {x,y,z} vers {x’,y’,z’} (axes principaux) Milieu isotrope : 𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ = 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Milieu uniaxe (axe z’) : 𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝜀𝑦′ 𝑦′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Milieu biaxe : 9 𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ ≠ 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ ≠ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ Bibliographie sur les tenseurs : S. Huard, “Polarisation de la lumière”, ed. Masson (1994), annexe 1, p. 303 L’ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Bibliographie : S. Huard, “Polarisation de la lumière”, ed. Masson (1994), p. 52 Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations z’ na A y’ O 10 x’ 𝑘 B nb L’ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Pour toute onde plane 𝑘, 𝐷, 𝐻 se propageant selon 𝑘, le lieu des points M tels que 𝑂𝑀 = 𝒏 𝐷/ 𝐷 est un ellipsoïde : l’ellipsoïde des indices Principe Anisotropie La section par le plan d’onde (𝛱𝑘 ) est une ellipse, dont les axes définissent • les directions de polarisation des deux ondes propres, 𝐷𝑎 et 𝐷𝑏 • les indices de réfraction pour ces ondes propres, 𝑛𝑎 et 𝑛𝑏 Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations z’ na A y’ O 11 x’ 𝑘 B nb L’ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Pour toute onde plane 𝑘, 𝐷, 𝐻 se propageant selon 𝑘, le lieu des points M tels que 𝑂𝑀 = 𝒏 𝐷/ 𝐷 est un ellipsoïde : l’ellipsoïde des indices Principe Anisotropie Le vecteur 𝑁 normal au plan tangent en M à l’ellipsoïde, définit la direction du champ électrique 𝐸. En général, 𝐷 et 𝐸 ne sont pas parallèles, sauf dans les directions des axes principaux {x’,y’,z’}. Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations nz’ na A x’ 𝑘 y’ nx’ 12 z’ B nb O ny’ Equation de l’ellipsoïde des indices Effets électrooptiques z Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations y x 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz Trièdre {x,y,z} 2 2 2 2 2 1 2 orthonormé quelconque nx ny nz nxy n xz nyz 13 Equation de l’ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Principe Anisotropie x2 y2 z2 2 2 1 2 n x n y nz Trièdre {x’,y’,z’} orthonormé dans les axes principaux de l’ellipsoïde z nz’ z’ Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations y’ nx’ ny’ y x’ x 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz Trièdre {x,y,z} 2 2 2 2 2 1 2 orthonormé quelconque nx ny nz nxy n xz nyz 14 Exemples Effets électrooptiques • Milieu isotrope x 2 y 2 z2 1 2 n • Milieu uniaxe x 2 y 2 z2 2 1 2 no ne • Milieu biaxe x 2 y 2 z2 2 2 1 2 n1 n2 n3 Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations 15 Permittivité & ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Principe Anisotropie Dans le système d’axes {x,y,z} orthonormé quelconque 𝜀𝑥𝑥 [𝜀𝑟 ] = 𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧 𝜀𝑧𝑧 z Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations y x x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz 2 2 2 2 2 1 2 nx ny nz n xy n xz n yz 16 Permittivité & ellipsoïde des indices Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations Dans le système d’axes principaux {x’,y’,z’} 𝜀𝑥 ′ 𝑥 ′ [𝜀𝑟′ ] = 0 0 0 𝜀𝑦 ′ 𝑦 ′ 0 𝜀𝑥′ 𝑥′ = 𝑛𝑥2′ 𝜀𝑦′ 𝑦′ = 𝑛𝑦2 ′ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ = 𝑛𝑧2′ x2 y2 z2 2 2 1 2 n x n y nz 17 0 0 z ’ nz’ 𝜀𝑧 ′ 𝑧 ′ y’ x’ nx’ ny’ 𝜂𝑖𝑖′ 𝑥𝑖′2 = 1 avec 𝜂𝑖𝑖′ = 𝑖=𝑥 ′ ,𝑦 ′ ,𝑧 ′ 𝜂′ ∙ 𝜀𝑟′ = [𝐼] 1 𝑛𝑖𝑖2 Le Tenseur Imperméabilité Diélectrique Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations r I , le tenseur inverse de r est appelé Tenseur imperméabilité diélectrique 1 D 0 r E E D 0 Par définition : 1 Di ij 0 E j et 𝜕𝐸𝑖 1 𝜂𝑖𝑗 = 𝜀0 ≜ 2 𝜕𝐷𝑗 𝑛𝑖𝑗 Propriété : est symétrique dans tout système d’axes orthonormés, comme r Attention ! 1 𝜀𝑖𝑗 ≠ 𝜂𝑖𝑗 en général, sauf dans le système d’axes principaux {x’,y’,z’} 18 Ellipsoïde des indices & Imperméabilité diélectrique Effets électrooptiques Principe Anisotropie Permittivité Ellipsoïde des indices Imperméabilité Relations La transformation géométrique qui permet de passer des axes principaux {x’,y’,z’} au système d’axes quelconques {x,y,z}, transforme 𝜂 ′ (diagonal) en 𝜂 = l’ellipsoïde en : , et l’équation de x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz 2 2 2 2 2 1 2 nx ny nz n xy n xz n yz x x ij i 1 2 𝑛𝑖𝑗 j 1 i, j La réduction de l’ellipsoïde à des termes quadratiques est équivalente à la diagonalisation du tenseur imperméabilité 19 Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation dans les cristaux liquides 20 Effets d’orientation dans les cristaux liquides Les cristaux liquides Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation dans les cristaux liquides • Cristal : structure périodique 3D (réseau) . Les atomes ne peuvent pas se déplacer d’un site à l’autre. Ordre à longue portée (position, orientation). • Liquide : milieu désordonné où les molécules sont libres de se déplacer & de s’orienter. Ordre à courte portée, qui s’estompe exponentiellement. • Cristaux liquides : phase intermédiaire. Il existe un ordre à longue portée en position ou orientation, mais désordre de type liquide dans au moins une des directions de l’espace. Nématique : ordre d’orientation 21 Smectique : ordre d’orientation & position (couches) A C Action d’un champ E sur un cristal liquide nématique Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation dans les cristaux liquides • Les molécules d’un CL nématique sont électriquement anisotropes et uniaxes • Dans le systèmes d’axes principaux : 𝜀⊥ 0 0 𝜀𝑟 = 0 𝜀⊥ 0 0 0 𝜀∥ • Un champ 𝐸0 externe induit dans le milieu une densité de polarisation 𝑃 = 𝜀0 𝜀𝑟 − 1 𝐸0 • 𝑃 et 𝐸0 ne sont pas parallèles (𝜀∥ ≠ 𝜀⊥ ) un couple s’exerce sur chaque molécule : Γ = 𝑃 × 𝐸0 les molécules s’alignent avec leur axe optique (axe directeur) // à 𝐸0 (si 𝜀∥ > 𝜀⊥ ), ou ⊥ à 𝐸0 (si 𝜀∥ < 𝜀⊥ ) 22 Action d’un champ E sur un cristal liquide nématique Effets électrooptiques • Effet d’orientation d’une molécule (cas 𝜀∥ > 𝜀⊥ ) Principe Anisotropie Effets d’orientation dans les cristaux liquides 23 Γ 𝐸0 = 0 𝜀∥ 𝜀⊥ 𝐸0 ≠ 0 + 𝑃 𝑃 − Avant rotation Après rotation • L’application d’un champ électrique 𝐸0 permet de modifier l’indice (ou la biréfringence) vu(e) par une onde optique incidente Modulateurs de phase, de l’état de polarisation, d’amplitude … Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 24 Les effets électro-optiques Les effets électro-optiques Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 25 • Aux fréquences optiques w • Dans un milieu linéaire et isotrope: Dw,k 0 r Ew,k 0 Ew,k Pw,k avec Pw,k 0 (w) Ew,k L’application d’un champ électrique E0 , statique ou lentement variable (de fréquence << w), modifie la susceptibilité r 1 2 r 2 E0 2 E0 ... r E0 1 ( E0 ) r 0 E0 0 2 E0 0 1 2 2 E0 2 E0 ... E0 0 2 E0 0 E0 0 Les effets électro-optiques Effets électrooptiques En généralisant à des tenseurs: ij ij E0 ij 0 k x ,y ,z Ek Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 26 rijk ij Ek E0 0 Tenseur de rang 3 Effet linéaire, Effet Pockels 2 1 ij Ek EkEl ... k ,l x ,y ,z 2 Ek El E0 0 E0 0 sijkl 2 1 ij 2 Ek El E0 0 Tenseur de rang 4 Effet quadratique, Effet Kerr Les effets électro-optiques Effets électrooptiques En généralisant à des tenseurs: ij ij E0 ij 0 k x ,y ,z Ek Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 27 rijk ij Ek 2 1 ij Ek EkEl ... k ,l x ,y ,z 2 Ek El E0 0 E0 0 E0 0 Tenseur de rang 3 Effet linéaire, Effet Pockels sijkl 2 1 ij 2 Ek El E0 0 Tenseur de rang 4 Effet quadratique, Effet Kerr Ordres de grandeurs: 𝑟𝑖𝑗𝑘 ≈ 10−12 à 10−10 𝑚. 𝑉 −1 𝑠𝑖𝑗 𝑘𝑙 ≈ 10−20 à 10−15 𝑚2 . 𝑉 −2 Les effets électro-optiques Effets électrooptiques En généralisant à des tenseurs: ij ij E0 ij 0 k x ,y ,z Ek Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 28 rijk ij Ek 2 1 ij Ek EkEl ... k ,l x ,y ,z 2 Ek El E0 0 E0 0 E0 0 sijkl E0 0 Tenseur de rang 4 Effet quadratique, Effet Kerr Tenseur de rang 3 Effet linéaire, Effet Pockels ij E0 ij 0 2 1 ij 2 Ek El r E ijk k k x ,y , z s E E ... ijkl k l k ,l x ,y ,z Les effets électro-optiques Effets électrooptiques En généralisant à des tenseurs: ij ij E0 ij 0 k x ,y ,z Ek Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 29 rijk ij Ek E0 0 Tenseur de rang 3 Effet linéaire, Effet Pockels 2 1 ij Ek EkEl ... k ,l x ,y ,z 2 Ek El E0 0 E0 0 sijkl 2 1 ij 2 Ek El E0 0 Tenseur de rang 4 Effet quadratique, Effet Kerr ij E0 ij 0 rijkEk sijklEkEl ... Notation allégée : sommation implicite d’Einstein Les effets électro-optiques Effets électrooptiques En généralisant à des tenseurs: ij ij E0 ij 0 k x ,y ,z Ek Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 30 rijk ij Ek E0 0 Tenseur de rang 3 Effet linéaire, Effet Pockels 2 1 ij Ek EkEl ... k ,l x ,y ,z 2 Ek El E0 0 E0 0 sijkl 2 1 ij 2 Ek El E0 0 Tenseur de rang 4 Effet quadratique, Effet Kerr ij E0 ij 0 rijkEk sijklEkEl ... Notation allégée : sommation implicite d’Einstein Notation tensorielle : E0 0 r E s E E ... Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 31 Représentation réduite des tenseurs Tenseurs de rang 2 Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 32 est symétrique, comme r 𝜂𝑖𝑗 = 𝜂𝑗𝑖 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖 Les couples (i,j) et (j,i) sont équivalents On les représente par un indice unique : ij i , j 1,2,3 11 22 33 23 32 13 31 12 21 1 2 3 4 5 6 m m1,...,6 Notation contractée de Voigt : i j 1 2 3 1 1 6 5 2 2 4 3 3 Représentation vectorielle d’un tenseur de rang 2 Tenseurs de rang 3 Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 33 ij est symétrique en i & j : rijk rjik rijk Ek E0 0 Notation contractée : rijk rm,k i , j ,k 1,2,3 r11k r1k r22 k r2 k r33 k r3k r23 k r32 k r4 k r13 k r31k r5 k r12 k r21k r6 k m1,...,6 k 1,2,3 r11 r 21 r31 r 41 r51 r61 r12 r22 r32 r42 r52 r62 r13 r23 r33 r43 r53 r63 Représentation matricielle d’un tenseur de rang 3 Application à l’effet Pockels Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 34 Notation tensorielle : ij E0 ij 0 rijkEk Notation contractée : m E0 m 0 rmkEk m1,...,6 m1,...,6 Sous forme matricielle : 1 E0 1 0 r11 2 E0 2 0 r21 3 E0 3 0 r31 4 E0 4 0 r41 5 E0 5 0 r51 6 E0 6 0 r61 r12 r22 r32 r42 r52 r62 r13 r23 E1 r33 E2 r43 E3 r53 r63 Tenseurs de rang 4 Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 35 sijkl 2 1 ij est symétrique en (i,j) & (k,l) : sij kl s ji kl 2 Ek El sij kl sij lk E0 0 Notation contractée : sijkl i , j ,k ,l 1,2,3 s11 s21 s31 s 41 s51 s61 sm,n m,n1,...,6 s12 s13 s14 s15 s22 s23 s24 s25 s32 s33 s34 s35 s 42 s 43 s 44 s 45 s52 s53 s54 s55 s62 s63 s64 s65 s16 s26 s36 s 46 s56 s66 Représentation matricielle d’un tenseur de rang 4 Application à l’effet Kerr Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 36 Notation tensorielle : ij E0 ij 0 sij kl EkEl Contraction de (i,j) : m E0 m 0 sm kl EkEl m1,...,6 m1,...,6 La contraction de (k,l) conduit à la forme matricielle : 1 E0 1 0 s11 2 E0 2 0 s21 3 E0 3 0 s31 4 E0 4 0 s 41 5 E0 5 0 s51 6 E0 6 0 s61 s12 s13 s14 s15 s22 s23 s24 s25 s32 s33 s34 s35 s 42 s 43 s 44 s 45 s52 s53 s54 s55 s62 s63 s64 s65 s16 E12 s26 E22 s36 E23 s 46 2E2E3 s56 2E1E3 s66 2E1E2 Effets des symétries cristallines sur les tenseurs Effets électrooptiques • Soit 𝑎𝑙𝑘 une transformation géométrique entre 𝑢𝑙′ deux bases de vecteurs : 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑢1′ 𝑎𝑙𝑘 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑢2′ 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑢′ 3 Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP • {𝑢𝑘 } Transformation d’un tenseur – Rang 1 ri ' aip rp rang 1 r 'ij aip a jq rpq rang 2 p – Rang 2 p ,q – Rang 3 37 𝑎𝑙𝑘 r 'ijk a p ,q,r ip a jqakr rpqr rang 3 Effets des symétries cristallines sur les tenseurs Effets électrooptiques Principe Anisotropie • Toute transformation spatiale d’un matériau, conforme à ses symétries, laisse invariante les propriétés de ce matériau et donc les tenseurs qui les décrivent. – Les symétries d’un cristal accroissent le nombre de relations entre les coefficients des tenseurs. Elles en annulent certains. Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 38 • Exemple : KH2 PO4 (nom connu : – Symétrie tétragonale, de classe 42𝑚 0 KDP) 0 0 r r41 0 0 Bibliographie sur les groupes de symétries cristallines : • C. Kittel, “Physique de l’état solide”, ed. Dunod (1983) • http://en.wikipedia.org : Hermann-Mauguin notation 0 0 0 0 r41 0 0 0 0 0 0 r63 39 Effets des symétries cristallines sur les tenseurs Effets électrooptiques • Matériau centro-symétrique : invariant par symétrie d’inversion 𝑎𝑖𝑝 = −[𝛿𝑖𝑝 ] Principe Anisotropie • Exemples : liquides, gaz, solides amorphes (verres), cristaux cubiques de classe 432… Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP x x y Symétrie y z d'inversion z aipajqakr rpqr 1 rijk rijk 3 p ,q,r Dans les matériaux centro-symétriques, l’effet Pockels est nul il reste l’effet Kerr • Démonstration alternative : ij rijk rijk rijk 0 Symétrie E d'inversion E Ek E 0 0 40 r 'ijk rijk Effets des symétries cristallines sur les tenseurs Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 41 • Matériau isotrope : invariant par rotation dans l’espace • Exemples : liquides, gaz • Les matériaux isotropes présentent de l’effet Kerr s11 s 12 s12 s 0 0 0 s12 s12 0 0 s11 s12 0 0 s12 s11 0 0 0 0 s11 s12 2 0 0 0 s11 s12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s11 s12 2 0 Exercice : effet Pockels dans le KDP Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP 42 KDP : optiquement uniaxe axe optique // z • Ellipsoïde des indices & tenseur imperméabilité en champ nul (E0=0) ? • Tenseur imperméabilité modifié en présence E x de champ E0 ? E0 E y • Ellipsoïde modifié ? E z Cas 𝐸0 // axe (z) • Axes principaux de l’ellipsoïde modifié ? • Indices principaux associés ? Exercice : effet Kerr dans un milieu isotrope Effets électrooptiques Principe Anisotropie Effets d’orientation Effets ElectroOptiques Effet Pockels Effet Kerr Tenseurs Symétries Exemple du KDP Exemple d’un milieu isotrope 43 • Ellipsoïde des indices en l’absence de champ? • Existe-t-il un effet Pockels dans ce milieu ? • Effet Kerr : 0 0 0 s11 s12 s12 s 12 s12 s 0 0 0 s11 s12 0 0 s12 s11 0 0 0 0 s11 s12 2 0 0 0 s11 s12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 s11 s12 2 0 • Ellipsoïde en présence d’un champ 𝐸0 = 𝐸𝑢𝑧 ? • Orientation des axes principaux ? Indices de réfraction associés ? • Biréfringence induite 𝑛𝑒 − 𝑛𝑜 = 𝐾𝜆0 𝐸 2 ?