algébre CH1

Telechargé par Ahmed Chbani
Universit´e Ibn Zohr Ann´ee universitaire 2017/2018
FSJES Ait Melloul Semestre 2
Fili`ere : ´
Economie & Gestion Pr. M. BASSOUR
Module : Alg`ebre et Math´ematiques Financi`eres
Chapitre 1: ESPACES VECTORIELS
1 Espaces vectoriels sur R
1.1 D´efinition et propri´et´es
efinition 1.1
Un ensemble Eest un espace vectoriel sur Rsi Eest muni
d’une op´eration interne, not´ee +, ayant les propri´et´es suivantes, pour tous X, Y, Z E:
a) associativit´e : X+ (Y+Z) = (X+Y) + Z=X+Y+Z
b) commutativit´e : X+Y=Y+X
c) ´el´ement neutre : Il existe 0EEtel que X+ 0E= 0E+X=X
d) ´el´ement sym´etrique, on notera par Xtel que X+ (X)=0E
d’une multiplication par les r´eels, not´e ., ou parfois sans signe, ayant les propri´et´es suivantes,
pour tous X, Y Eet tous α, β R:
a) 1.X =X
b) (α+β).X =α.X +β.X
c) α.(X+Y) = α.X +α.Y
d) (αβ).X =α.(β.X)
Les ´el´ements de Esont appel´es vecteurs. Ceux de Rsont appel´es scalaires.
Exemple 1.1
L’ensemble Rn, muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur R. On le note (Rn,+, .)
1. loi interne : XRn,X= (x1, x2, ..., xn) et YRn,Y= (y1, y2, ..., yn) :
X+Y= (x1, x2, ..., xn)+(y1, y2, ..., yn)=(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)
0Rn= (0,0, ..., 0) est l’´el´ement neutre de Rn;XRn,X+ 0Rn= 0Rn+X=X
Tout ´el´ement Xde Rna un oppos´e not´e : X= (x1,x2, ..., xn) tel que X+(X) = 0Rn
2. loi externe : XRn,αR:α.X = (αx1, αx2, ..., αxn)
Propri´et´es 1.1
Si (E, +, .) est un espace vectoriel r´eel, alors X, Y E,αR, on a :
1. α.0E= 0E(0El’´el´ement neutre de E)
2. α.X = 0Eα= 0 ou X= 0E.
3. (α).X =(α.X) = α.(X)
4. α.(XY)=(α.X)(α.Y )
1
Chapitre 1: Espaces vectoriels
1.2 Sous-espaces vectoriels
efinition 1.2
Un sous ensemble Fd’un espace vectoriel Eest dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de Esi et
seulement si :
1) F6=
2) x, y F;x+yF
3) (α, x)R×F;αx F
Lemme 1.1
Les conditions 2) et 3) pr´ec´edentes sont ´equivalentes `a la condition suivante :
x, y Fet α, β R;αx +βy F
La preuve est imm´ediate.
Exemple 1.2
Soit F={(x, y, z)R3/5x2y=z}. Montrons que Fest un sous espace vectoriel de R3.
Solution. 1) F6=car 0R3F; 0R3= (0,0,0)
2) Soient (x, y, z) et (x0, y0, z0) deux ´el´ements de F.
On a donc 5x2y=zet 5x02y0=z0. Donc 5(x+x0)2(y+y0) = (z+z0),
d’o`u (x+x0, y +y0, z +z0)Fc’est-`a-dire (x, y, z)+(x0, y0, z0)F.
3) Soient αRet (x, y, z)F. Alors la relation 5x2y=zimplique que 5(αx)2(αy) = αz
donc α(x, y, z)=(αx, αy, αz) appartient `a F.
d’o`u Fest un sous espace vectoriel de R3.
Exemple 1.3
Soit Hle sous ensemble de R2d´efini par H={(x, y)R2/8x+ 3y= 15}.
Hn’est pas un sous espace vectoriel de R2car (0,0) /H.
Exercice 1.1
Soit Gle sous ensemble de R2d´efini par G={(x, y)R2/9x+ 4y= 0}.
Montrer que Gest un sous espace vectoriel de R2.
Propri´et´es 1.2
1. 0Eappartient `a tous les sous espaces vectoriels de E.
2. L’intersection de deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel r´eel Eest un sous espace
vectoriel de E.
3. L’intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel r´eel Eest un sous
espace vectoriel de E.
Exercice 1.2
Soit Eun espace vectoriel sur Ret soient F1et F2deux sous espaces vectoriels de E.
Montrer que F1F2est un sous espace vectoriel de E.
Remarque 1.1
La r´eunion de deux sous espaces vectoriels n’est pas en g´en´eral un sous espace vectoriel.
1.3 Somme de sous espaces vectoriels
efinition 1.3
Soit Eun espace vectoriel et soient E1et E2deux sous espaces vectoriels de E.
La somme des sous espaces vectoriels E1et E2, not´ee par E1+E2est ´egale `a :
E1+E2={xE/(x1, x2)(E1, E2); x=x1+x2}
2 Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
La somme directe des sous espaces vectoriels E1et E2, not´ee par E1E2est ´egale `a :
E1E2={xE/!(x1, x2)(E1, E2); x=x1+x2}
Si E=E1E2, alors les sous espaces vectoriels E1et E2sont dits sous espaces suppl´ementaires
dans E. On dit aussi que E1est un suppl´ementaire de E2, ou que E2est un suppl´ementaire
de E1dans E.
Th´eor`eme 1.1
Si E1et E2sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, alors les propositions
suivantes sont ´equivalentes :
a) E=E1E2
b) E=E1+E2et E1E2={0E}
Exemple 1.4
Dans l’espace E=R2Soit F={(x, y)R2/x = 0}et G={(x, y)R2/y = 0}.
Montrer que E=FG
Solution. Pour montrer que E=FG, il suffit de v´erifier que E=F+Get FG={0R2}
a) E=F+G:
Soit (x, y)R2, on a (x, y) = (0, y)+(x, 0), (0, y)Fet (x, 0) G
Donc : (x, y)R2,(0, y)F,(x, 0) G / (x, y) = (0, y)+(x, 0)
D’o`u : R2=F+G
b) FG={0R2}:
Si (x, y)FGalors (x, y)Fet (x, y)G
x= 0 et y= 0
(x, y) = (0,0) = 0R2
FG={0R2}
Puisque R2=F+Get FG={0R2}alors R2=FG
2 Syst`eme g´en´erateur - Syst`eme libre
2.1 Combinaison lin´eaire
efinition 2.1
Soit un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}d’un espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme
u=α1u1+α2u2+... +αnunest appel´e combinaison lin´eaire des vecteurs u1,u2, . . . , un.
Les scalaires α1,α2, . . . , αnsont appel´es coefficients de la combinaison lin´eaire.
Exemple 2.1
Soient e1= (1,0,0), e2= (0,1,0) et e3= (0,0,1) dans R3.
Alors, tout vecteur (x, y, z) de R3est une combinaison lin´eaire de e1,e2et e3.
En effet, (x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) = xe1+ye2+ze3
2.2 syst`eme g´en´erateur
efinition 2.2
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}est un syst`eme
en´erateur de Esi tout vecteur ude Epeut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire des vecteurs
{u1, u2, ..., un}sous la forme :
(uE) (α1, α2, ..., αnR)u=α1u1+α2u2+. . . +αnun=
n
X
i=1
αiui
3 Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
Le syst`eme {u1, u2, . . . , un}s’appelle aussi partie ou famille g´en´eratrice de E.
Exemple 2.2
Soient e1= (1,0) et e2= (0,1) dans R2. Tout vecteur v= (x, y) de R2peut alors s’´ecrire comme
combinaison lin´eaire de e1et e2. En effet, v=xe1+ye2.
On dit que {e1, e2}est une famille g´en´eratrice ou un syst`eme g´en´erateur de R2.
On dit aussi que le syst`eme {e1, e2}engendre R2.
2.3 Sous espace vectoriel engendr´e
efinition 2.3
Soit Eun espace vectoriel sur Ret u1,u2, . . . , undes vecteurs de de E.
L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires de ces vecteurs s’appelle le sous-espace vectoriel
engendr´e par ces vecteurs et se note V ect(u1, u2, . . . , un) :
V ect(u1, u2, . . . , un) = {α1u1+α2u2+. . . +αnun1, . . . , αnR}
Exemple 2.3
Soit Pl’ensemble d´efini par : P={(x, y, z)R3/x +y+z= 0}
On a : x+y+z= 0 z=xy
et (x, y, z)=(x, y, xy)=(x, 0,x) + (0, y, y) = x(1,0,1) + y(0,1,1)
Donc P={x(1,0,1) + y(0,1,1)/(x, y)R2}
En posant : u= (1,0,1) et v= (0,1,1) On trouve P={xu +yv/(x, y)R2}=V ect(u, v)
Donc Pest le sous espace vectoriel engendr´e par les vecteurs uet vde R3.
2.4 Syst`eme libre
efinition 2.4
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}est un syst`eme
libre de E(les vecteurs u1, u2, . . . , unde Esont lin´eairement ind´ependants) si :
α1u1+α2u2+. . . +αnun= 0E=α1=α2=... =αn= 0
Exemple 2.4
1. Les vecteurs u1= (1,0,1), u2= (1,1,1), u3= (0,1,0) forment un syst`eme libre dans R3.
2. Les trois vecteurs (1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0) forment un syst`eme libre dans l’espace R4.
Propri´et´es 2.1
a) Le vecteur 0En’appartient `a aucun syst`eme libre de E.
b) uE / u 6= 0E, le syst`eme {u}est libre.
c) Tout syst`eme de vecteurs extrait d’un syst`eme libre est libre.
2.5 Syst`eme li´e
efinition 2.5
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, ..., un}est un syst`eme li´e
de E(les vecteurs u1, u2, . . . , unde Esont lin´eairement d´ependants) si :
(α1, α2, . . . , αn)6= (0,0,...,0) tel que α1u1+α2u2+. . . +αnun= 0E
Exemple 2.5
On consid`ere dans R3les vecteurs u1= (1,1,0), u2= (4,1,4) et u3= (2,1,4).
Montrer que le syst`eme {u1, u2, u3}est li´e.
Solution. On remarque que u3=u22u1: il y a une combinaison lin´eaire des trois vecteurs avec
des coefficients non tous nuls qui donne le vecteur nul. Donc le syst`eme {u1, u2, u3}est li´e.
Si on n’a pas remarquer que u3=u22u1, on peut ´ecrire une relation de liaison
4 Pr. M. BASSOUR
Chapitre 1: Espaces vectoriels
au1+bu2+cu3= 0, on obtient un syst`eme de trois ´equations dont les inconnues sont a,bet c.
La r´esolution de ce syst`eme montre qu’il admet une solution non nulle.
Th´eor`eme 2.1
Un syst`eme de vecteurs est li´e si et seulement si un des vecteurs du syst`eme est combinaison
lin´eaire des autres vecteurs du syst`eme.
2.6 Rang d’un syst`eme de vecteurs
efinition 2.6
Le cardinal d’un syst`eme est le nombre de vecteurs du syst`eme.
Le rang d’un syst`eme est ´egal au plus grand nombre de vecteurs lin´eairement ind´ependants
que l’on peut extraire de ce syst`eme.
Exemple 2.6
Calculer le cardinal et le rang des syst`emes suivants dans R3:
1. S1={u, v}o`u u= (1,2,3) et v= (1,4,6).
2. S2={u, v, w}o`u u= (1,2,1) , v= (1,0,1) et w= (1,2,3).
Solution.
1. Le cardinal de S1est ´egal `a 2. On note cardS1= 2
Les deux vecteurs uet vsont ind´ependants, donc le rang de S1est 2.
2. Le cardinal de S2est ´egal `a 3. On note cardS2= 3
Les vecteurs u,vet wsont lin´eairement d´ependants : w=u2v,
ce qui implique que rang(S2)<3.
Les vecteurs uet vsont lin´eairement ind´ependants, ce qui implique que rang(S2) = 2.
3 Base d’un espace vectoriel - Espace vectoriel de
dimension finie
3.1 Base d’un espace vectoriel
efinition 3.1
Un syst`eme de vecteurs {u1, u2, ..., un}est dit base de Es’il est `a la fois libre et en´erateur de E.
Remarque 3.1
Le syst`eme {e1, e2, ..., en}avec e1= (1,0, ..., 0), e2= (0,1, ..., 0), ...,en= (0,0, ..., 1) constitue la
base canonique de Rn.
Exemple 3.1
Soient e1= (1,0) et e2= (0,1) dans R2. Le syst`eme {e1, e2}est une base de R2.
5 Pr. M. BASSOUR
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