Espacios Vectoriales: Definiciones y Propiedades

Universit´e Ibn Zohr Ann´ee universitaire 2017/2018
FSJES Ait Melloul Semestre 2
Fili`ere : ´ Economie & Gestion Pr. M. BASSOUR
Module : Alg`ebre et Math´ematiques Financi`eres
Chapitre 1: ESPACES VECTORIELS
1 Espaces vectoriels sur R
1.1 D´efinition et propri´et´es
D´efinition 1.1
Un ensemble Eest un espace vectoriel sur Rsi Eest muni
•d’une op´eration interne, not´ee +, ayant les propri´et´es suivantes, pour tous X, Y, Z ∈E:
a) associativit´e : X+ (Y+Z) = (X+Y) + Z=X+Y+Z
b) commutativit´e : X+Y=Y+X
c) ´el´ement neutre : Il existe 0E∈Etel que X+ 0E= 0E+X=X
d) ´el´ement sym´etrique, on notera par −Xtel que X+ (−X)=0E
•d’une multiplication par les r´eels, not´e ., ou parfois sans signe, ayant les propri´et´es suivantes,
pour tous X, Y ∈Eet tous α, β ∈R:
a) 1.X =X
b) (α+β).X =α.X +β.X
c) α.(X+Y) = α.X +α.Y
d) (αβ).X =α.(β.X)
Les ´el´ements de Esont appel´es vecteurs. Ceux de Rsont appel´es scalaires.
Exemple 1.1
L’ensemble Rn, muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur R. On le note (Rn,+, .)
1. loi interne : ∀X∈Rn,X= (x1, x2, ..., xn) et ∀Y∈Rn,Y= (y1, y2, ..., yn) :
X+Y= (x1, x2, ..., xn)+(y1, y2, ..., yn)=(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)
0Rn= (0,0, ..., 0) est l’´el´ement neutre de Rn;∀X∈Rn,X+ 0Rn= 0Rn+X=X
Tout ´el´ement Xde Rna un oppos´e not´e : −X= (−x1,−x2, ..., −xn) tel que X+(−X) = 0Rn
2. loi externe : ∀X∈Rn,∀α∈R:α.X = (αx1, αx2, ..., αxn)
Propri´et´es 1.1
Si (E, +, .) est un espace vectoriel r´eel, alors ∀X, Y ∈E,∀α∈R, on a :
1. α.0E= 0E(0El’´el´ement neutre de E)
2. α.X = 0E⇐⇒ α= 0 ou X= 0E.
3. (−α).X =−(α.X) = α.(−X)
4. α.(X−Y)=(α.X)−(α.Y )
1

Chapitre 1: Espaces vectoriels
1.2 Sous-espaces vectoriels
D´efinition 1.2
Un sous ensemble Fd’un espace vectoriel Eest dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de Esi et
seulement si :
1) F6=∅
2) ∀x, y ∈F;x+y∈F
3) ∀(α, x)∈R×F;αx ∈F
Lemme 1.1
Les conditions 2) et 3) pr´ec´edentes sont ´equivalentes `a la condition suivante :
∀x, y ∈Fet ∀α, β ∈R;αx +βy ∈F
La preuve est imm´ediate.
Exemple 1.2
Soit F={(x, y, z)∈R3/5x−2y=z}. Montrons que Fest un sous espace vectoriel de R3.
Solution. 1) F6=∅car 0R3∈F; 0R3= (0,0,0)
2) Soient (x, y, z) et (x0, y0, z0) deux ´el´ements de F.
On a donc 5x−2y=zet 5x0−2y0=z0. Donc 5(x+x0)−2(y+y0) = (z+z0),
d’o`u (x+x0, y +y0, z +z0)∈Fc’est-`a-dire (x, y, z)+(x0, y0, z0)∈F.
3) Soient α∈Ret (x, y, z)∈F. Alors la relation 5x−2y=zimplique que 5(αx)−2(αy) = αz
donc α(x, y, z)=(αx, αy, αz) appartient `a F.
d’o`u Fest un sous espace vectoriel de R3.
Exemple 1.3
Soit Hle sous ensemble de R2d´efini par H={(x, y)∈R2/8x+ 3y= 15}.
Hn’est pas un sous espace vectoriel de R2car (0,0) /∈H.
Exercice 1.1
Soit Gle sous ensemble de R2d´efini par G={(x, y)∈R2/9x+ 4y= 0}.
Montrer que Gest un sous espace vectoriel de R2.
Propri´et´es 1.2
1. 0Eappartient `a tous les sous espaces vectoriels de E.
2. L’intersection de deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel r´eel Eest un sous espace
vectoriel de E.
3. L’intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel r´eel Eest un sous
espace vectoriel de E.
Exercice 1.2
Soit Eun espace vectoriel sur Ret soient F1et F2deux sous espaces vectoriels de E.
Montrer que F1∩F2est un sous espace vectoriel de E.
Remarque 1.1
La r´eunion de deux sous espaces vectoriels n’est pas en g´en´eral un sous espace vectoriel.
1.3 Somme de sous espaces vectoriels
D´efinition 1.3
Soit Eun espace vectoriel et soient E1et E2deux sous espaces vectoriels de E.
•La somme des sous espaces vectoriels E1et E2, not´ee par E1+E2est ´egale `a :
E1+E2={x∈E/∃(x1, x2)∈(E1, E2); x=x1+x2}
2 Pr. M. BASSOUR

Chapitre 1: Espaces vectoriels
•La somme directe des sous espaces vectoriels E1et E2, not´ee par E1⊕E2est ´egale `a :
E1⊕E2={x∈E/∃!(x1, x2)∈(E1, E2); x=x1+x2}
•Si E=E1⊕E2, alors les sous espaces vectoriels E1et E2sont dits sous espaces suppl´ementaires
dans E. On dit aussi que E1est un suppl´ementaire de E2, ou que E2est un suppl´ementaire
de E1dans E.
Th´eor`eme 1.1
Si E1et E2sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, alors les propositions
suivantes sont ´equivalentes :
a) E=E1⊕E2
b) E=E1+E2et E1∩E2={0E}
Exemple 1.4
Dans l’espace E=R2Soit F={(x, y)∈R2/x = 0}et G={(x, y)∈R2/y = 0}.
Montrer que E=F⊕G
Solution. Pour montrer que E=F⊕G, il suffit de v´erifier que E=F+Get F∩G={0R2}
a) E=F+G:
Soit (x, y)∈R2, on a (x, y) = (0, y)+(x, 0), (0, y)∈Fet (x, 0) ∈G
Donc : ∀(x, y)∈R2,∃(0, y)∈F,∃(x, 0) ∈G / (x, y) = (0, y)+(x, 0)
D’o`u : R2=F+G
b) F∩G={0R2}:
Si (x, y)∈F∩Galors (x, y)∈Fet (x, y)∈G
⇒x= 0 et y= 0
⇒(x, y) = (0,0) = 0R2
⇒F∩G={0R2}
Puisque R2=F+Get F∩G={0R2}alors R2=F⊕G
2 Syst`eme g´en´erateur - Syst`eme libre
2.1 Combinaison lin´eaire
D´efinition 2.1
Soit un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}d’un espace vectoriel E. Tout vecteur de la forme
u=α1u1+α2u2+... +αnunest appel´e combinaison lin´eaire des vecteurs u1,u2, . . . , un.
Les scalaires α1,α2, . . . , αnsont appel´es coefficients de la combinaison lin´eaire.
Exemple 2.1
Soient e1= (1,0,0), e2= (0,1,0) et e3= (0,0,1) dans R3.
Alors, tout vecteur (x, y, z) de R3est une combinaison lin´eaire de e1,e2et e3.
En effet, (x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) = xe1+ye2+ze3
2.2 syst`eme g´en´erateur
D´efinition 2.2
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}est un syst`eme
g´en´erateur de Esi tout vecteur ude Epeut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire des vecteurs
{u1, u2, ..., un}sous la forme :
(∀u∈E) (∃α1, α2, ..., αn∈R)u=α1u1+α2u2+. . . +αnun=
n
X
i=1
αiui
3 Pr. M. BASSOUR

Chapitre 1: Espaces vectoriels
– Le syst`eme {u1, u2, . . . , un}s’appelle aussi partie ou famille g´en´eratrice de E.
Exemple 2.2
Soient e1= (1,0) et e2= (0,1) dans R2. Tout vecteur v= (x, y) de R2peut alors s’´ecrire comme
combinaison lin´eaire de e1et e2. En effet, v=xe1+ye2.
On dit que {e1, e2}est une famille g´en´eratrice ou un syst`eme g´en´erateur de R2.
On dit aussi que le syst`eme {e1, e2}engendre R2.
2.3 Sous espace vectoriel engendr´e
D´efinition 2.3
Soit Eun espace vectoriel sur Ret u1,u2, . . . , undes vecteurs de de E.
L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires de ces vecteurs s’appelle le sous-espace vectoriel
engendr´e par ces vecteurs et se note V ect(u1, u2, . . . , un) :
V ect(u1, u2, . . . , un) = {α1u1+α2u2+. . . +αnun/α1, . . . , αn∈R}
Exemple 2.3
Soit Pl’ensemble d´efini par : P={(x, y, z)∈R3/x +y+z= 0}
On a : x+y+z= 0 ⇐⇒ z=−x−y
et (x, y, z)=(x, y, −x−y)=(x, 0,−x) + (0, y, −y) = x(1,0,−1) + y(0,1,−1)
Donc P={x(1,0,−1) + y(0,1,−1)/(x, y)∈R2}
En posant : u= (1,0,−1) et v= (0,1,−1) On trouve P={xu +yv/(x, y)∈R2}=V ect(u, v)
Donc Pest le sous espace vectoriel engendr´e par les vecteurs uet vde R3.
2.4 Syst`eme libre
D´efinition 2.4
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, . . . , un}est un syst`eme
libre de E(les vecteurs u1, u2, . . . , unde Esont lin´eairement ind´ependants) si :
α1u1+α2u2+. . . +αnun= 0E=⇒α1=α2=... =αn= 0
Exemple 2.4
1. Les vecteurs u1= (1,0,1), u2= (1,1,1), u3= (0,1,0) forment un syst`eme libre dans R3.
2. Les trois vecteurs (1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0) forment un syst`eme libre dans l’espace R4.
Propri´et´es 2.1
a) Le vecteur 0En’appartient `a aucun syst`eme libre de E.
b) ∀u∈E / u 6= 0E, le syst`eme {u}est libre.
c) Tout syst`eme de vecteurs extrait d’un syst`eme libre est libre.
2.5 Syst`eme li´e
D´efinition 2.5
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un syst`eme de nvecteurs {u1, u2, ..., un}est un syst`eme li´e
de E(les vecteurs u1, u2, . . . , unde Esont lin´eairement d´ependants) si :
∃(α1, α2, . . . , αn)6= (0,0,...,0) tel que α1u1+α2u2+. . . +αnun= 0E
Exemple 2.5
On consid`ere dans R3les vecteurs u1= (1,1,0), u2= (4,1,4) et u3= (2,−1,4).
Montrer que le syst`eme {u1, u2, u3}est li´e.
Solution. On remarque que u3=u2−2u1: il y a une combinaison lin´eaire des trois vecteurs avec
des coefficients non tous nuls qui donne le vecteur nul. Donc le syst`eme {u1, u2, u3}est li´e.
Si on n’a pas remarquer que u3=u2−2u1, on peut ´ecrire une relation de liaison
4 Pr. M. BASSOUR

Chapitre 1: Espaces vectoriels
au1+bu2+cu3= 0, on obtient un syst`eme de trois ´equations dont les inconnues sont a,bet c.
La r´esolution de ce syst`eme montre qu’il admet une solution non nulle. 
Th´eor`eme 2.1
Un syst`eme de vecteurs est li´e si et seulement si un des vecteurs du syst`eme est combinaison
lin´eaire des autres vecteurs du syst`eme.
2.6 Rang d’un syst`eme de vecteurs
D´efinition 2.6
•Le cardinal d’un syst`eme est le nombre de vecteurs du syst`eme.
•Le rang d’un syst`eme est ´egal au plus grand nombre de vecteurs lin´eairement ind´ependants
que l’on peut extraire de ce syst`eme.
Exemple 2.6
Calculer le cardinal et le rang des syst`emes suivants dans R3:
1. S1={u, v}o`u u= (1,2,3) et v= (−1,4,6).
2. S2={u, v, w}o`u u= (1,2,−1) , v= (1,0,1) et w= (−1,2,−3).
Solution.
1. Le cardinal de S1est ´egal `a 2. On note cardS1= 2
Les deux vecteurs uet vsont ind´ependants, donc le rang de S1est 2.
2. Le cardinal de S2est ´egal `a 3. On note cardS2= 3
Les vecteurs u,vet wsont lin´eairement d´ependants : w=u−2v,
ce qui implique que rang(S2)<3.
Les vecteurs uet vsont lin´eairement ind´ependants, ce qui implique que rang(S2) = 2.
3 Base d’un espace vectoriel - Espace vectoriel de
dimension finie
3.1 Base d’un espace vectoriel
D´efinition 3.1
Un syst`eme de vecteurs {u1, u2, ..., un}est dit base de Es’il est `a la fois libre et g´en´erateur de E.
Remarque 3.1
Le syst`eme {e1, e2, ..., en}avec e1= (1,0, ..., 0), e2= (0,1, ..., 0), ...,en= (0,0, ..., 1) constitue la
base canonique de Rn.
Exemple 3.1
Soient e1= (1,0) et e2= (0,1) dans R2. Le syst`eme {e1, e2}est une base de R2.
5 Pr. M. BASSOUR