Circulation et flux V. Borrelli Circulation et flux Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Vincent Borrelli Université de Lyon Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « courbe ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions d’une variable Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « courbe ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions d’une variable • au moyen d’équations implicites : on parle alors de courbes définies implicitement Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « courbe ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions d’une variable • au moyen d’équations implicites : on parle alors de courbes définies implicitement • au moyen d’un paramètre, le temps t : on parle alors de courbes paramétrées Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « courbe ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions d’une variable • au moyen d’équations implicites : on parle alors de courbes définies implicitement • au moyen d’un paramètre, le temps t : on parle alors de courbes paramétrées Dans ce chapitre, on donne la préférence aux courbes paramétrées. Circulation et flux Graphes V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski y = f (x) Circulation et flux V. Borrelli Courbes définies implicitement Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x2 + y2 = 1 Circulation et flux V. Borrelli Courbes définies implicitement Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x2 y2 + 2 =1 a2 b Circulation et flux V. Borrelli Courbes définies implicitement Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski y sin x + x cos y = 1 Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x(t) = cos t, y (t) = sin t Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x(t) = a cos t, y (t) = b sin t Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x(t) = cos t, y (t) = sin 3t Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski x(t) = cos t, y (t) = sin 3t Circulation et flux Courbes paramétrées V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Une COURBE PARAMÉTRÉE est une fonction vectorielle → − γ : I t −→ R3 7−→ (x(t), y (t), z(t)) Le SUPPORT de la courbe paramétrée est le lieu des points − C+ = { → γ (t) = x(t), y (t), z(t) t ∈ I ⊂ R }, Une courbe paramétrée est naturellement ORIENTÉE par le sens croissant du paramètre t. − On dit que la courbe → γ est FERMÉE quand I = [t0 , t1 ] et → − → − γ (t0 ) = γ (t1 ). Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Courbes paramétrées − • Sauf mention explicite du contraire, on suppose que → γ est ∞ de classe C . − • On appelle VECTEUR VITESSE la dérivée première de → γ : − d→ γ (t) → −̇ γ (t) = = ẋ(t), ẏ (t), ż(t) dt • On appelle VECTEUR ACCÉLERATION la dérivée seconde − de → γ : − d 2→ γ (t) → −̈ γ (t) = = ẍ(t), ÿ (t), z̈(t) dt 2 Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski − Définition.– Une courbe paramétrée → γ : I −→ R3 est dite RÉGULIÈRE si pour tout t ∈ I, −̇ k→ γ (t)k = 6 0 autrement dit, si son vecteur vitesse ne s’annule jamais. La − −̇ droite passant par → γ (t) et de vecteur directeur → γ (t) est → − appelée la DROITE TANGENTE en t à γ . Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Courbes paramétrées • On appelle ÉLÉMENT DE LIGNE le « vecteur » − → −̇ d` = → γ (t) dt Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Courbes paramétrées • On appelle ÉLÉMENT DE LIGNE le « vecteur » − → −̇ d` = → γ (t) dt • On appelle ABSCISSE CURVILIGNE ou PARAMÈTRE DE LA LONGUEUR D ’ ARC l’intégrale ˆ t −̇ s(t) = s(t0 ) + k→ γ (t)kdt t0 Circulation et flux Courbes paramétrées V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée • On appelle ÉLÉMENT DE LIGNE le « vecteur » − → −̇ d` = → γ (t) dt • On appelle ABSCISSE CURVILIGNE ou PARAMÈTRE DE LA LONGUEUR D ’ ARC l’intégrale ˆ t −̇ s(t) = s(t0 ) + k→ γ (t)kdt t0 • On appelle ÉLÉMENT D ’ ARC la différentielle Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski −̇ ds = k→ γ (t)k dt l’intégrale − Ltt10 (→ γ)= ˆ t1 t0 −̇ k→ γ (t)k dt = ˆ s(t1 ) ds s(t0 ) donne la longueur de la courbe paramétrée. Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Exemples − Exemple 1. Soit → γ (t) = (t, t, t 2 ) avec t ∈ [0, 1]. Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Notons que x(t) = y (t) = t et que z(t) = x 2 (t) = y 2 (t). Le support de la courbe est donc une portion de parabole contenu dans le plan {x = y } Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski − −̇ • Puisque → γ (t) = (t, t, t 2 ), on a → γ (t) = (1, 1, 2t) d’où p −̇ k→ γ (t)k = 2 + 4t 2 6= 0. − Ainsi → γ est régulière. Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski − −̇ • Puisque → γ (t) = (t, t, t 2 ), on a → γ (t) = (1, 1, 2t) d’où p −̇ k→ γ (t)k = 2 + 4t 2 6= 0. − Ainsi → γ est régulière. • L’élément de ligne vaut − → → − → − → − d` = (1, 1, 2t) dt = dt i + dt j + 2t dt k • L’élément d’arc vaut ds = p 2 + 4t 2 dt Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées − Exemple 2. Soit → γ (t) = (3 cos t, 0, 2 sin t) avec t ∈ [0, 2π]. Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski On a x(t)/3 = cos t, y (t) = 0 et z(t)/2 = sin t ainsi le support de la courbe est l’ellipse x 2 z2 + =1 9 4 contenue dans le plan {y = 0}. Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées − • Puisque → γ (t) = (3 cos t, 0, 2 sin t), on a → −̇ γ (t) = (−3 sin t, 0, 2 cos t) Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski d’où −̇ k→ γ (t)k = − Ainsi → γ est régulière. q 9 sin2 t + 4 cos2 t 6= 0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées − • Puisque → γ (t) = (3 cos t, 0, 2 sin t), on a → −̇ γ (t) = (−3 sin t, 0, 2 cos t) Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski d’où −̇ k→ γ (t)k = q 9 sin2 t + 4 cos2 t 6= 0 − Ainsi → γ est régulière. • L’élément de ligne vaut − → → − → − d` = (−3 sin t, 0, 2 cos t) dt = −3 sin t dt i + 2 cos t dt k • L’élément d’arc vaut q ds = 9 sin2 t + 4 cos2 tdt Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Exemples − Exemple 3. Soit → γ (t) = (cos t, sin t, t) avec t ∈ [0, 6π]. Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski On a x 2 (t) + y 2 (t) = 1, le support de la courbe est contenue dans un cylindre de base un cercle unité. La hauteur z(t) est le paramètre angulaire. Le support de la courbe est donc une hélice. Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski − • Puisque → γ (t) = (cos t, sin t, t), on a q √ → −̇ k γ (t)k = sin2 t + cos2 t + 1 = 2 − ainsi la courbe → γ est régulière Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski − • Puisque → γ (t) = (cos t, sin t, t), on a q √ → −̇ k γ (t)k = sin2 t + cos2 t + 1 = 2 − ainsi la courbe → γ est régulière • L’élément de ligne vaut − → → − → − → − d` = (− sin t, cos t, 1) dt = − sin t dt i + cos t dt j + dt k • La longueur entre 0 et 2π vaut → − L2π 0 (γ) = ˆ 0 2π √ √ 2 dt = 2 2π Circulation et flux Circulation d’un champ de vecteurs V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − Définition.– Soit V : D ⊂ R3 −→ R3 un champ de vecteurs de R3 , γ : [t0 , t1 ] −→ D ⊂ R3 une courbe paramétrée et → − C + = γ([t0 , t1 ]) son support. On appelle CIRCULATION DE V LE LONG DE C + l’ INTÉGRALE CURVILIGNE ˆ t1 ˆ −̇ → − − → → − → V − γ (t) · → γ (t) dt V · d` := C+ t0 → − − → − où V → γ (t) indique que le champ V est évalué sur les points de la courbe et · désigne le produit scalaire entre vecteurs. Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Circulation d’un champ de vecteurs Proposition.– Si C − est parcourue dans le sens opposé à celui de C + , on a ˆ ˆ → − − → → − − → V · d`. V · d` = − C− C+ Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Circulation d’un champ de vecteurs Proposition.– Si C − est parcourue dans le sens opposé à celui de C + , on a ˆ ˆ → − − → → − − → V · d`. V · d` = − C− C+ • Si C + est le support d’une courbe fermée, la circulation → − de V le long de C + s’écrit ˛ → − − → V · d` C+ Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple 1.– Calcul de la circulation du champ de vecteurs → − → − → − → − V (x, y , z) = z i − y j + x k le long de l’arc d’élice → − γ (t) = (cos t, sin t, t) avec t ∈ [0, 2π] est ˆ ˆ 2π → − − → d(sin t) d(cos t) V · d` = t − sin t − → dt dt γ 0 dt + cos t dt dt ˆ 2π = − t sin t − sin t cos t + cos t dt 0 i2π h = t cos t ˆ 0 ˆ ˆ 2π − cos t dt − 0 cos t dt 0 = 2π − h1 2 sin2 t i2π 0 sin t cos t dt 0 2π + = 2π 2π Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple 2.– Calcul de la circulation du champ de vecteurs → − → − → − → − V (x, y , z) = z i − y j + x k le long de la courbe fermée C + = C1+ ∪ C2+ ∪ C3+ représentée ci-dessous Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − → − → − → − V (x, y , z) = z i − y j + x k y =x + le long de la parabole C1 est : z = x2 x :0→1 ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → x dz V · d` = z dx − y dy + • La circulation du champ C1+ C1+ x:0→1 z=x 2 ˆ 1 = C1+ y :0→1 ˆ 0 = h1 ˆ 1 x 2 dx − i1 − 1√ y dy + 0 x3 C1+ z:0→1 √ x= z h1 y2 3 2 0 1 1 1 2 = − + = . 3 2 3 2 z dz 0 i1 0 + h2 3 z 3/2 i1 0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • La circulation du même champ de vecteurs → − → − → − → − V (x, y , z) = z i − y j + x k le long du segment y =x + z=1 C2 est : x :1→0 ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → V · d` = z dx − y dy + x dz C2+ C2+ x:1→0 z=1 ˆ 0 C2+ y :1→0 ˆ 0 dx − = 1 ˆ =− y dy + 0 1 ˆ 1 dx + 0 C2+ z=1 dz=0 1 y dy 0 h i1 h 1 i1 1 1 y 2 = −1 + = − . =− x + 2 2 2 0 0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − → − → − → − • Enfin, la circulation de V = z i − y j + x k le long du x =0 + y =0 segment C3 est : z:1→0 ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → V · d` = z dx − y dy + x dz C3+ C3+ x=0 dx=0 ˆ =0+0+ C3+ y =0 dy =0 0 0 dz = 0. 1 C3+ z:1→0 x=0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − • En conclusion, la circulation de V le long de la courbe fermée C + = C1+ ∪ C2+ ∪ C3+ vaut : ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → → − − → → − − → → − − → V · d` = V · d` + V · d` + V · d` C1+ C+ = C2+ 1 1 − + 0 = 0. 2 2 C3+ Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemples Exemple 3.– Calcul de la circulation du champ → − → − → − − → V (ρ, ϕ, z) = ϕ eρ + z eφ + ρ k 2 x + y2 = 4 le long du cercle C + d’équation et orienté z=3 comme dans la figure : • Notons que cette courbe se décrit simplement en ρ=2 ϕ : 0 → 2π coordonnées cylindriques : z=3 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − → − → − − → • Puisque V (ρ, ϕ, z) = ϕ eρ + z eφ + ρ k , on a : ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → V · d` = ϕ dρ + z ρ dϕ + C+ C+ ρ=1 dρ=0 ˆ =0+6 C+ ϕ:0→2π ρ=2, z=3 2π dϕ + 0 = 12π. 0 C+ z=3 dz=0 ρ dz Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Exemples Exemple 4.– Calcul de la circulation du champ → − → − − → → − V (r , ϕ, θ) =ϕ er + sin θ eφ + ρ eθ le long du cercle C + x 2 + y 2 + z2 = 4 d’équation orienté comme dans la y =x figure Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski s’écrit de façon relativement simple en coordonnées sphériques comme union de deux demi-cercles d’équations r = 2 r =2 + + ϕ = π/4 et C2 ϕ = 5π/4 C1 θ:0→π θ:π→0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs → − → − − → → − • Puisque V (r , ϕ, θ) = ϕ er + sin θ eφ + ρ eθ , on a : ˆ ˆ ˆ ˆ → − − → 2 V · d` = ϕ dr + r sin θ dϕ + r 2 dz C1+ Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées C1+ r =2 dr =0 C1+ ϕ=π/4 dϕ=0 ˆ π dθ = 4π =0+0+4 Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski C1+ r =2 θ:0→π 0 ˆ C2+ → − − → V · d` = ˆ ˆ ϕ dr + C2+ r =2 dr =0 ˆ 2 r sin θ dϕ + C2+ ϕ=5π/4 dϕ=0 ˆ 0 dθ = −4π =0+0+4 π r 2 dz C2+ r =2 θ:π→0 Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Au bilan ˆ C+ → − − → V · d` = ˆ C1+ → − − → V · d` + ˆ C2+ → − − → V · d` = 0 Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Circulation d’un champ gradient → − −−→ Théorème.– Soit V = grad φ un champ de gradient de domaine Dφ , alors −−→ • La circulation de grad φ le long d’une courbe C + ⊂ Dφ joignant deux points A et B ne dépend pas de la courbe mais seulement des valeurs de φ aux deux points ˆ −−→ − → grad φ · d` = φ(B) − φ(A). C+ −−→ • La circulation de grad φ le long d’une courbe fermée C + est nulle ˛ −−→ − → grad φ · d` = 0. C+ Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées → − −−→ Exemple.– Soit V = grad φ où 1 φ(x, y , z) = p y (z 2 − x 2 ) Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple avec D= (x, y , z) ∈ R3 | y > 0, z > x > 0 Soit C + une hélice de D joignant les points A = (0, 1, 2) et −−→ B = (3, 4, 5). La circulation de grad φ le long de C + vaut : ˆ −−→ − → grad φ · d` = φ(3, 4, 5) − φ(0, 1, 2) C+ 1 1 p −p 4(25 − 9) 4 − 0) 1 1 = − 2·4 2 3 = − . 8 = Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « surface ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions deux variables Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « surface ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions deux variables • au moyen d’équations implicites : on parle alors de surfaces définies implicitement Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « surface ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions deux variables • au moyen d’équations implicites : on parle alors de surfaces définies implicitement • au moyen de deux paramètres, souvent notés u et v : on parle alors de surfaces paramétrées Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Il existe plusieurs façons mathématiques de décrire formellement la notion de « surface ». En voilà trois : • au moyen des graphes de fonctions deux variables • au moyen d’équations implicites : on parle alors de surfaces définies implicitement • au moyen de deux paramètres, souvent notés u et v : on parle alors de surfaces paramétrées Dans ce chapitre, on donne la préférence aux surfaces paramétrées. Circulation et flux V. Borrelli Graphes Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Un plan ; z = f (x, y ) = x Circulation et flux Graphes V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski z = f (x, y ) Circulation et flux V. Borrelli Surfaces définies implicitement Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Un ellipsoïde ; F (x, y , z) = 0 avec F (x, y , z) = 2z 2 + x 2 + y 2 − 1 Circulation et flux V. Borrelli Surfaces définies implicitement Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Un paraboloïde hyperbolique ; F (x, y , z) = 0 avec F (x, y , z) = z − x 2 − y 2 Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Un tore ; x(u, v ) = cos u (2 + cos v ), y (u, v ) = sin u (2 + cos v ), z(u, v ) = sin v Circulation et flux V. Borrelli Surfaces paramétrées Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Un hélicoïde ; x(u, v ) = u cos v , y (u, v ) = u sin v , z(u, v ) = u Circulation et flux Surfaces paramétrées V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Une SURFACE PARAMÉTRÉE est une fonction vectorielle f : U ×V (u, v ) −→ R3 7−→ (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )) Le SUPPORT de la surface paramétrée est le lieu des points S = { f (u, v ) = x(u, v ), y (u, v ), z(u, v ) (u, v ) ∈ U×V ⊂ R2 } Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Exemple 1.– Soit f : [0, 1] × [0, 1] −→ R3 (u, v ) 7−→ (u, v , v 2 ) Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Le support S est un cylindre d’axe (Oy ) et de base une portion de parabole. Circulation et flux Surfaces paramétrées régulières V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– On dit qu’une surface paramétrée f : U ×V (u, v ) −→ R3 7−→ (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )) est RÉGULIÈRE en un point (u, v ) ∈ U × V si les dérivées partielles ∂f ∂f (u, v ) et (u, v ) ∂u ∂v sont linéairement indépendantes. Le plan passant par ∂f ∂f f (u, v ) et de base ∂u (u, v ), ∂v (u, v ) est dit PLAN TANGENT en (u, v ) à la surface paramétrée. Circulation et flux V. Borrelli Vecteur normal Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Propriété.– Un point (u, v ) ∈ U × V est régulier si et seulement si ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) 6= 0 ∂u ∂v Circulation et flux V. Borrelli Vecteur normal Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Propriété.– Un point (u, v ) ∈ U × V est régulier si et seulement si ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) 6= 0 ∂u ∂v Propriété.– Soit f une surface paramétrée régulière. Le vecteur ∂f ∂f → − n (u, v ) := (u, v ) ∧ (u, v ) ∂u ∂v est un vecteur non nul normal au plan tangent en (u, v ) de la surface paramétrée f . Circulation et flux Vecteur normal V. Borrelli Courbes paramétrées Exemple 1 (suite).– Soit Circulation d’un champ de vecteurs f : [0, 1] × [0, 1] −→ R3 (u, v ) 7−→ (u, v , v 2 ) Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski On a ∂f ∂u (u, v ) = (1, 0, 0) et ∂f ∂v (u, v ) = (0, 1, 2v ) ainsi 1 0 2v ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) = 0 ∧ 1 = 0 ∂u ∂v 0 2v −1 Par conséquent la surface est régulière en tout point de [0, 1] × [0, 1] et un vecteur non nul normal à la surface est donné par → − n (u, v ) = (2v , 0, −1) Circulation et flux Orientation V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Soit f une surface paramétrée régulière, le choix d’un champ de vecteurs normaux unitaires → − n : U × V −→ R3 s’appelle une ORIENTATION de f . Circulation et flux Orientation V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Soit f une surface paramétrée régulière, le choix d’un champ de vecteurs normaux unitaires → − n : U × V −→ R3 s’appelle une ORIENTATION de f . • Il n’y a que deux choix possibles → − n = ∂f ∂u ∂f ∂u ∧ ∧ ∂f ∂v ∂f ∂v ou → − n =− ∂f ∂u ∂f ∂u ∧ ∧ ∂f ∂v ∂f ∂v Circulation et flux Orientation V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Soit f une surface paramétrée régulière, le choix d’un champ de vecteurs normaux unitaires → − n : U × V −→ R3 s’appelle une ORIENTATION de f . • Il n’y a que deux choix possibles → − n = ∂f ∂u ∂f ∂u ∧ ∧ ∂f ∂v ∂f ∂v ou → − n =− ∂f ∂u ∂f ∂u ∧ ∧ ∂f ∂v ∂f ∂v • Un choix ayant été effectué, on note S + la surface orientée par ce choix et S − par le choix opposé. Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Bord d’un support • On suppose que f est régulière sur U × V et injective sur l’intérieur de U × V . Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Définition.– Un point P ∈ S est dit POINT DU BORD si pour toute boule ouverte suffisamment petite B ⊂ R3 centrée en P, l’intersection S ∩ B « ressemble » au demi-disque fermé {(x, y ) ∈ R2 | x ≥ 0, x 2 + y 2 < 1}. L’ensemble des points du bord de S est noté ∂S. Circulation et flux Bord d’un support V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Exemple 1 (suite).– Soit f : [0, 1] × [0, 1] −→ R3 (u, v ) 7−→ (u, v , v 2 ) Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski La surface S n’est pas fermée. Son bord est l’union de quatre courbes : z = x2 x =1 z = x2 x =0 ∪ y =1 ∂S = ∪ z=1 ∪ z=0 y =0 y ∈ [0, 1] y ∈ [0, 1] x ∈ [0, 1] x ∈ [0, 1] Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Surfaces fermées Définition.– Une surface paramétrée régulière sur U × V et injective sur l’intérieur de U × V est dite FERMÉE si ∂S = ∅. Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Surfaces fermées Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Surfaces à bord non vide Circulation et flux V. Borrelli Orientation du bord Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Remarque.– Un orientation de la surface induit une orientation de son bord : un promeneur parcourt le bord ∂S dans le sens positif si la surface S se trouve dans la direction de son bras gauche tandis que la pointe du vecteur normal est à la hauteur de sa tête. Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski L’orientation de ∂S selon celle de S Circulation et flux Orientation du bord V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Exemple 1 (suite).– Soit f : [0, 1] × [0, 1] −→ R3 (u, v ) 7−→ (u, v , v 2 ) Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski L’orientation de S induit l’orientation du bord ∂S décrite dans la figure ci-dessus. Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Aire d’une surface paramétrée Définition.– Soit f : U × V −→ R3 une surface paramétrée régulière. On appelle • L’ÉLÉMENT DE SURFACE, le « vecteur » − → ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) du dv dS = ∂u ∂v • L’ÉLÉMENT D ’ AIRE, l’intégrande dA = ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) dudv ∂u ∂v • L’AIRE DE LA SURFACE, le réel ˆˆ Aire(f ) = [u0 ,u1 ]×[v0 ,v1 ] dA Circulation et flux Aire d’une surface paramétrée V. Borrelli Courbes paramétrées Exemple 1 (suite).– Soit Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées f : [0, 1] × [0, 1] −→ R3 (u, v ) 7−→ (u, v , v 2 ) On a Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski d’où 2v ∂f ∂f (u, v ) ∧ (u, v ) = 0 ∂u ∂v −1 2v − → dS = 0 dudv −1 et dA = p 1 + 4v 2 dudv Circulation et flux Aire d’une surface paramétrée V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Ainsi ˆˆ Aire(f ) = ˆ Surfaces paramétrées = Flux à travers une surface paramétrée = Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski = [0,1]×[0,1] 1p 1 + 4v 2 dv 1 2p 1 + x 2 dx 2 0 " √ #2 p 1 x 1 + x2 1 2 + ln(x + 1 + x ) 2 2 2 0 √ √ 5 1 + ln(2 + 5) 2 4 0ˆ = p 1 + 4v 2 dudv Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Flux à travers une surface paramétrée → − • Soit V un champ de vecteurs de R3 et S + une surface → − orientée contenue dans le domaine de V , paramétrée par (u, v ) 7→ f (u, v ), avec u ∈ [u0 , u1 ] et v ∈ [v0 , v1 ] et orientée par ∂f ∧ ∂f → − n = ∂u ∂v ∂f ∂f ∂u ∧ ∂v → − Définition.– On appelle FLUX DE V À TRAVERS S + l’INTÉGRALE DE SURFACE ¨ → → − − V · dS S+ c’est-à-dire le réel ¨ ∂f → − ∂f V f (u, v ) · (u, v ) ∧ (u, v ) du dv ∂u ∂v [u0 ,u1 ]×[v0 ,v1 ] Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Flux à travers une surface paramétrée → − Notation.– Si S + est une surface fermée, le flux de V à travers S + s’écrit ‹ → − − → V · d` S+ Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Flux à travers une surface paramétrée → − Notation.– Si S + est une surface fermée, le flux de V à travers S + s’écrit ‹ → − − → V · d` S+ → − Proposition. – Soit V un champ de vecteurs de R3 et S + → − une surface orientée contenue dans le domaine de V . Si S − est la même surface orientée dans le sens opposé à celui de S + , on a ¨ ¨ → → → − − → − − V · dS = − V · dS. S− S+ Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple.– Calcul du flux de → − → − → − → − V (x, y , z) = x i + z j + y k au travers de S+ z = xy 0≤z≤x ≤1 0≤z≤y ≤1 paramétrée par f (u, v ) = (u, v , uv ) avec u ∈ [0, 1] v ∈ [0, 1] → − et orientée avec n = √ 1 2 2 (−v , −u, 1). 1+u +v Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Exemple.– Calcul du flux de → − → − → − → − V (x, y , z) = x i + z j + y k au travers de S+ Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski z = xy 0≤z≤x ≤1 0≤z≤y ≤1 paramétrée par f (u, v ) = (u, v , uv ) avec u ∈ [0, 1] v ∈ [0, 1] → − et orientée avec n = √ 1 2 2 (−v , −u, 1). 1+u +v • On a ¨ ¨ u −v → → − − uv · −u du dv V · dS = S+ [0,1]×[0,1] v 1 ¨ = − uv − u 2 v + v du dv [0,1]×[0,1] Circulation et flux Exemples V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Ainsi ¨ → → − − V · dS = − ˆ S+ ˆ 1 v dv − u du 0 ˆ ˆ 1 du + 0 ˆ 1 0 1 v dv 1 1 1 1 1 − + 2 2 3 2 2 1 1 1 =− − + 4 6 2 1 = 12 =− ˆ 2 u du 0 0 1 1 v dv 0 Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Théorèmes de Stokes-Ampère et de Gauss-Ostrogradski Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − → − Théorème de Stokes-Ampère.– Soit V = rot U un champ rotationnel alors : ¨ ˛ → → − − → − − → rot U · dS = U · d` . S+ ∂S + Circulation et flux V. Borrelli Courbes paramétrées Théorèmes de Stokes-Ampère et de Gauss-Ostrogradski Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Corollaire 1.– Si S + est fermée alors ‹ → → − − rot U · dS = 0 S+ → − −−→ Corollaire 2.– Si U = grad φ est un champ gradient alors ˛ ¨ − → −−→ − → −−→ grad φ · d` = rot(grad φ) · dS = 0 ∂S + −−→ (car rot(grad φ) = 0). S+ Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple.– Calcul du flux du champ → − → − → − V (x, y , z) = xz i − yz j au travers du cylindre + S = x 2 + y 2 = R2 z ∈ [0, H] Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple.– Calcul du flux du champ → − → − → − V (x, y , z) = xz i − yz j au travers du cylindre + S = x 2 + y 2 = R2 z ∈ [0, H] → − • Le champ V est défini sur R3 (contractile) et → − div V (x, y , z) = z − z = 0 → − par conséquent V admet un potentiel vectoriel. Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple.– Calcul du flux du champ → − → − → − V (x, y , z) = xz i − yz j au travers du cylindre + S = x 2 + y 2 = R2 z ∈ [0, H] → − • Le champ V est défini sur R3 (contractile) et → − div V (x, y , z) = z − z = 0 → − par conséquent V admet un potentiel vectoriel. → − → − • Un calcul montre que U (x, y , z) = xyz k est un potentiel → − → − → − vectoriel de V i.e. rot U = V . Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • D’après le théorème de Stokes ¨ ¨ ˛ → → → − − → − − V · dS = rot U · dS = S+ S+ ∂S + → − − → U · d` = ˛ xyz dz ∂S + Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • D’après le théorème de Stokes ¨ ¨ ˛ → → → − − → − − V · dS = rot U · dS = S+ S+ → − − → U · d` = ∂S + ˛ xyz dz ∂S + • Le bord de S est composé de deux cercles 2 2 x + y 2 = R2 x + y 2 = R2 C0 = et CH = z=0 z=H le long desquels z est constant donc ˛ xyz dz = 0 ∂S + et par conséquent ¨ S+ → → − − V · dS = 0 Circulation et flux Théorème de Green-Riemann V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient • Si S ⊂ (Oxy ) est une surface plane et que le champ → − → − → − V = rot U est orthogonal à S alors U ne dépend pas de z et s’écrit sous la forme → − → − → − U (x, y ) = P(x, y ) i + Q(x, y ) j Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski et on a ∂Q ∂P → − → − − k V = ∂x ∂y Théorème de Green-Riemann.– On a alors ¨ S+ ∂Q ∂x − ∂P dx dy = ∂y ˛ ∂S + P dx + Q dy Circulation et flux V. Borrelli Exemple Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Exemple.– Calcul de l’aire enclose par la courbe paramétrée γ : [−1, 1] −→ R2 t 7−→ (x(t), y (t)) = (t 3 − t, 1 − t 2 ) Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Si on choisit P(x, y ) = 0 et Q(x, y ) = x dans la formule de Grenn-Riemann on constate que ¨ ˛ 1 dx dy = xdy S+ ∂S + Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Si on choisit P(x, y ) = 0 et Q(x, y ) = x dans la formule de Grenn-Riemann on constate que ¨ ˛ 1 dx dy = xdy S+ • Or Aire(S) = ˜ S+ ∂S + dx dy donc ˆ 1 Aire(S) = −1 x(t)y 0 (t)dt Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Si on choisit P(x, y ) = 0 et Q(x, y ) = x dans la formule de Grenn-Riemann on constate que ¨ ˛ 1 dx dy = xdy S+ • Or Aire(S) = ˜ S+ ∂S + dx dy donc ˆ 1 Aire(S) = x(t)y 0 (t)dt −1 • On a x(t)y 0 (t) = (t 3 − t)(1 − t 2 ) = 2t 2 − 2t 4 et 2 3 2 5 t − t Aire(S) = 3 5 1 = −1 8 15 Circulation et flux Théorème de Gauss-Ostrogradski V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − Théorème de Gauss-Ostrogradski.– Soient V un champ de vecteurs, S une surface fermée, Ω l’espace borné délimitée par S (en particulier ∂Ω = S) alors : ‹ S+ → → − − V · dS = ˚ → − div V dx dy dz . Ω Dans cette égalité, l’orientation choisie pour S + est celle de la normale sortante. Circulation et flux Exemple V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski → − Exemple.– Soit V un champ de vecteurs à divergence → − constante div V = a et S une surface fermée englobant un → − volume V. Alors le flux de V à travers de S + vaut ˚ ‹ → → − − → − V · dS = div V dx dy dz S+ Ω ˚ = a dx dy dz Ω = aVol(Ω) = aV Circulation et flux Exercice V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Énoncé.– Calculer le flux du champ de vecteurs → − → − → − → − V (x, y , z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k à travers de la surface fermée constituée du cône tronqué 2 z = x2 + y2 + S1 = z ∈ [0, 3] et du disque S2+ = x2 + y2 ≤ 9 z=3 et orientée par les vecteurs normaux sortants. Circulation et flux Exercice V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski Énoncé.– Calculer le flux du champ de vecteurs → − → − → − → − V (x, y , z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k à travers de la surface fermée constituée du cône tronqué 2 z = x2 + y2 + S1 = z ∈ [0, 3] et du disque S2+ = x2 + y2 ≤ 9 z=3 et orientée par les vecteurs normaux sortants. Réponse.– Soit Ω = (x, y , z) ∈ R3 | x 2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 3 on a ∂Ω = S Circulation et flux Exercice V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Puisque S est fermée, on peut appliquer le théorème de Gauss-Ostrogradsky ˚ ‹ → → − − → − V · dS = div V dx dy dz S+ → − avec ici div V = 2(x + y + z). Ω Circulation et flux Exercice V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Puisque S est fermée, on peut appliquer le théorème de Gauss-Ostrogradsky ˚ ‹ → → − − → − V · dS = div V dx dy dz S+ Ω → − avec ici div V = 2(x + y + z). • Pour déterminer l’intégrale triple, on passe en coordonnées cylindriques. On a x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z et dx dy dz = |det Jh (ρ, ϕ, z)|dρdϕdz = ρ dρdϕdz Circulation et flux Exercice V. Borrelli Courbes paramétrées Circulation d’un champ de vecteurs Circulation d’un champ gradient Surfaces paramétrées Flux à travers une surface paramétrée Théorèmes de StokesAmpère et de GaussOstrogradski • Ainsi ˚ ‹ → → − − V · dS = 2 (x + y + z) dx dy dz S+ ˆ Ω 3 =2 ˆ dz 0 ˆ ˆ 2π dϕ 0 ˆ 3 z ρ2 (cos ϕ + sin ϕ) + ρz dρ 0 2π iρ=z 1 dϕ ρ3 (cos ϕ + sin ϕ) + ρ2 z 3 2 ρ=0 0 0 ˆ 3 ˆ 2π 1 3 1 =2 dz z (cos ϕ + sin ϕ) + z 3 dϕ 3 2 0 0 ˆ 3 h i 2π 1 1 =2 dz z 3 (sin ϕ − cos ϕ) + z 3 ϕ dϕ 3 2 0 0 ˆ 3 1 3 =2 z 2π dz 0 2 1 81π = 2π 34 = 4 2 =2 dz h1