generalites sur les signaux

1
GENERALITES SUR LES
SIGNAUX
1.
Définition d’un signal
Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeur
observable de type
- Electrique (courant, tension, champ électrique ou magnétique)
- Mécanique (vibration)
- Acoustique (son)
- optique.
Cette notion s'oppose à celle du bruit qui peut modifier l'information ou même la masquer.
La description, la modélisation et l'analyse mathématique des signaux fait l'objet de la théorie
du signal, alors que le traitement des signaux les interprète, en extrait ou y ajoute de
l'information.
Les champs d'application de cette discipline sont très vastes tels que :
- la télécommunication
- l'instrumentation
- les radars
- le traitement et la reconnaissance de la parole
- le traitement d'image
- la reconnaissance de forme
- l'analyse des vibrations dans les machines outils.
- La médecine et la biotechnologie.
2.
Classification des signaux
2.1. Classification déterministe ou aléatoire
2.1.1. Déterministe
C’est un signal dont l’évolution en fonction du temps est prévisible par un modèle
mathématique approprié. (Prédiction qui se fait par des modèles)
Exemple :
- x (t )  a sin(t )
x (t )  a (1  e
-
t

T
)
2.1.2. Aléatoire
C’est un signal qui a un caractère non reproductible et imprévisible. Par exemple le signal issu
de capteur ou encore la parole.
2.2. Classification énergétique
On définit l’énergie d’un signal x(t) par la relation
x 


2
x (t ) dt
(1.1)

Et la puissance moyenne par la relation
T
Px  lim
T 
2
1
T
T
2
x (t ) dt
(1.2)
2
Remarques
-
Les signaux tels que 0  x   sont des signaux a énergie finie (Px=0), par exemple
les signaux transitoires.
Les signaux tels que 0  Px   sont des signaux a puissance moyenne finie (
x   ), par exemple les signaux permanents, comme les signaux périodique ou
encore les signaux aléatoires permanents.
Exemple 1
Vérifier si les signaux suivants sont à énergie finie (signaux transitoires) ou à puissance
moyenne finie (signaux permanents)
1- x 1 (t )  A sin( t )
2- x 2 (t )  e
a t
;a  0
Correction
1- x 1 (t )  A sin( t )



1  cos(2t )
A2 
1

x1   A sin (t ) dt  A 
dt 
t
sin(2t )   

2
2  2
 


2
2
2
puisque sin(2 t ) étant bornée mais t ne l’est pas
x 1   , ceci implique que le signal x1(t) n’est pas transitoire. Pour que le signal soit
permanent, il faut avoir encore la condition 0  Px 1   .
T
T
2
1
1
A2
2
Px 1  lim 
x 1 (t ) dt  lim  A 2 sin 2 (t )dt  lim
T 
T 
T  2T
T
T
T 2
T 2
2
A2
T  2T
 lim
T
2
1
A2


t

sin(2

t
)

lim
 2
 T T  2T

2
T
2
 1  cos(2t )  dt
T
2
T
2
4 
 T
t  4 sin( T t )  T

2
A  T T
4 T   T T
4 T   A 2

sin(
)



sin(
( ))   

 
T  2T  2
4
T 2   2 4
T
2  2

 lim
2
Donc le signal x1(t) est permanent.
2- x 2 (t )  e
x 
2
a t



x 22 (t ) dt 


;a  0


e
a t
2

dt 
e
2 a t
dt 

0


0
2 a (  t )
dt   e 2 a (t ) dt
e

1 2 at 0
1
1  1
 1
 
e  
e 2 at     0    0 


0
2a
2a
2a  a
 2a
 
x    Px  0 , le signal x2(t) est transitoire.
1
2
2.3. Classification continu ou discret
Un signal discret n'est défini qu'à des instants réguliers dits instants d'échantillonnage.
Malgré que la plupart des signaux rencontrés et mesurés dans la nature sont des signaux
continus, on retrouve souvent ces signaux dans les systèmes numériques.
2.4. Classification morphologique
Selon que le signal x(t) où la variable t est continue ou discret , on distingue quatre types de
signaux :
-
Le signal à amplitude et temps continus appelé couramment signal analogique
-
Le signal à amplitude discret et temps continu appelé signal quantifié
-
Le signal à amplitude continue et temps discret appelé signal échantillonné
-
Le signal à amplitude discret et temps discret appelé signal numérique
Amplitude
continue
discrète
x(t)
xq(t)
continu
Signal analogique
Signal quantifié
temps
t
xn
Signal échantillonné
Signal numérique
discret
x*(t)
échantillonnage
t
t
quantification
3.
Signaux particuliers
n
3.1. La fonction signe
1 si t > 0
sgn (t) =
sgn(t)
1
-1 si t < 0
t
-1
sgn(t ) 
t
t
si t  0
3.2. La fonction saut unité ou échelon
u(t)
1 si t  0
1
u (t) =
t
0 si t < 0
u(t) =
1
1
+
sgn (t)
2
2
3.3. La fonction échelon de vitesse ou rampe
a t si t  0
v(t)
0
a
v (t) = a t u(t) =
si t < 0
t
1
L’échelon de vitesse unitaire est obtenu pour a = 1.
3.4. La fonction échelon d’accélération
2
t
A(t) = a
u(t)
2
A(t)
t
la multiplication par u(t) exprime la causalité du signal.
3.5. La fonction rectangle, porte ou fenêtre
Rect (t)
1
si
 t  <
1
2
1
Rect(t) =
0
Rect(t) = u ( t +
1
2
si
 t  >
)- u(t-
1
2
1
2

1
2
1
2
t
)
Dans ce cas, le signal rectangle est centré à zéro, d’amplitude l’unité et de longueur l’unité.
Dans le cas général le centre, l’amplitude et la longueur peuvent être variable, ainsi un
rectangle centré à la valeur τ, d’amplitude A et de longueur T, s’écrit :
A Rect [(t- τ)/T]
A
t 
A Rect (
)
T
τ
T

2
τ est le centre, T est la largeur.
t
T

2
3.6. La fonction Triangle
Tri (t/T)
1 -  t /T
si
 t  < T
Tri(t/T) =
0
1
ailleurs
-T
t
T
Identiquement au cas du signal rectangle, le centre, l’amplitude et la longueur peuvent être
variable et un triangle centré à la valeur τ, d’amplitude A et de demi-longueur T, s’écrit :
Tri (t)
A Tri (
t 
)
T
A
τ-T
τ
τ+T
t
3.7. Impulsion (Distribution) de Dirac
L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont
l'aire est égale à 1.

(t)  
0
si
t0
si
t0
L’impulsion de Dirac (t), aussi appelé impulsion unité ou distribution delta, est définie par le

produit scalaire : x(0)  x,  


x(t) (t)d t .


D’une manière générale : x(t 0 ) 
x(t) (t  t 0 )d t


En particulier, en posant x(t)=1, on obtient

(t) d t  1 .

(t)
0
4.
(t - t0)
t
t0
t
Fonction de corrélation
La fonction de corrélation peut être définie pour le même signal et on parle de fonction
d’autocorrélation ou bien pour deux signaux et on parle de fonction d’intercorrélation.
4.1. Fonction d'intercorrélation
Pour deus signaux à énergie finie x(t) et y(t), on peut associer une fonction d’intercorrélation
Cxy() qui définie la dépendance entre les événements de chacun et la mesure de similarité entre
eux. Elle est donnée par l’expression suivante:
C xy () 



x(t) y * (t  ) d t 



x * (t) y(t  ) d t
Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d’intercorrélation Cxy() est
donnée par l’expression suivante :
C xy ( )  Lim
T 
1
T

T
x(t) y * (t  ) d t
0
4.2. Fonction d'autocorrélation
Pour un signal à énergie finie x(t), on peut associer une fonction d’autocorrélation Cxx() qui
définie la similarité entre un signal et une version décalée de celui-ci. Elle est donnée par
l’expression suivante:
C xx () 



x(t) x * (t  ) d t
Cette expression peut être obtenue de Cxy() en prenant x(t)=y(t).
Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d’autocorrélation Cxx()
s’écrit :
1
C xx ()  Lim
T  T

T
x(t) x * (t  ) d t
0
Propriétés des fonctions de corrélation.
-
Symétrie hermitienne



C xx () 

C yx ( )  C*xy ( )
C yx () 




x(t) x * (t  ) d t =
y(t) x * (t  ) d t
En posant t' = t - 
C yx () 

Pour  = 0,


y(t ' ) x * (t ') d t '



x * (t ') x(t ' ) d t '  C*xx ()
Cas des signaux à énergie finie : C xx (0) 





x(t) x * (t) d t 


2
x(t) d t
c'est l'énergie du signal
Cas des signaux périodiques à énergie infinie : C xx (0)  Lim

T 
1
T

T
x(t)
2
dt :
0
c’est la puissance moyenne du signal.
c'est l'énergie d'interaction.
-
Cx + y() = Cxx() + Cyy() + Cxy() + Cyx()
4.3. Exemples
i. Exemple N°1
t 
Fonction d’autocorrélation du signal fenêtre x (t )  rect  
 
C xx () 




Si   
t
t
rect   rect 
 dt

  
rect(t/τ)
Si   
alors
t
θ
θ -τ /2

 t 
0
  
puisque rect   rect 
rect[(t-θ)/τ]
τ /2
-τ /2
t

C xx ( )  0
alors
θ +τ /2
C xx ( )    
En effet :
- Si 0    
rect[(t-θ)/τ]
rect(t/τ)
-τ /2
θ
τ /2
θ -τ /2
rect(t/τ) . rect[(t-θ)/τ]
t
θ +τ /2
τ /2
θ -τ /2
t
C xx () 


2


2

2


2
d t  t

C xx () 
- Si     0




2

2

d t  t


2

2

En définitif, l’expression générale de la fonction d’autocorrélation est :
C xx ( )    
 
Cxx(θ)
τ
-τ
τ
θ
ii. Exemple N°2
t 
Fonction d’intercorrélation des signaux échelon de position u(t) et fenêtre rect  
 
C xy () 




Si   
Si  


2

2
t
u  t  rect 
 dt
  
C xy ( )  0
alors

alors
C xy ( ) 
2
 dt  

u(t)

2
rect[(t-θ)/τ]
τ /2
t
θ
θ -τ /2
θ +τ /2
Si  



C xy ( ) 
alors
2


2
 dt    2
0
En définitif, la courbe de la fonction d’autocorrélation est la suivante :
Cxy(θ)
τ
-τ/2
5.
τ/2
θ
Produit Scalaire de deux signaux
Le produit scalaire de deux signaux x(t) et y(t) est donné par :
< x(t), y(t) > =



x(t) y * (t) d t
C'est l'énergie d'interaction entre les deux signaux x(t) et y(t).
Le produit scalaire d'un signal x(t) par lui même définit son 'énergie, il est donné par :
x(t), y(t) 



2
x(t) d t  x(t)
2
 Propriétés
Produit
Soit x(t) une fonction continue en t=0 ou en t=t0
1- x(t) (t) = x (0) (t)
2- x(t) (t – t0) = x (t0) (t – t0)
Démonstration 1- x(t) (t) = x (0) (t)



(t) x(t) (t) d t  (0) x(0)


(t)  x(0) (t) d t  x(0)



(t) (t) d t  x(0)(0)

D’où le résultat.
Démonstration 2- x(t) (t – t0) = x (t0) (t – t0)



(t) x(t) (t  t 0 ) d t  (t 0 ) x(t 0 )


(t)  x(t 0 ) (t  t 0 ) d t  x(t 0 )



(t) (t  t 0 ) d t  x(t 0 )(t 0 )

D’où le résultat.
Changement de variable
 (at ) 
 (w ) 
1
 (t ) avec en particulier si   2 f
a
1
 (f )
2
Si a=-1  (t )   (t )
1
 (t )
a
Démonstration :  (at ) 
Soit l’intégrale I 


(t) (at) d t

On pose t’=at d’où t 
1
Si a  0 on a: I 
a
t'
a



 1
Si a  0 on a: I    
 a
t'
( ) (t ')d t '
a



t'
( ) (t ')d t '
a
1
I
a
Donc  a






(t)

t'
1
( ) (t ') d t '  (0)
a
a
1
(t) d t
a
d’où le résultat.
Identité
x(t) *(t) = x (t)
avec * est le produit de convolution définie comme suit :
y(t) * g(t) 


y()g(t  )d

Démonstration : x(t) *(t) = x (t)
x(t) * (t) 


x()(t  )d 



x()  (  t) d 



x()  (  t) d  x(t)

Translation
x(t) *(t-t0) = x (t-t0)
x(t-t1) *(t-t2) = x (t-t1-t2)
 (t-t1) *(t-t2) =  (t-t1-t2)
3.7. Suite périodique d’impulsion de Dirac : (peigne de Dirac)
k  
T (t) 
  (t  k T)
k  
k  
x(t) T (t) 
 x(t)  (t  k T)
k  
où T est la période
 T (t)
-3T
-2T
-T
T
2T
3T
t