generalites sur les signaux

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GENERALITES SUR LES
SIGNAUX
1. Définition d’un signal
Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeur
observable de type
- Electrique (courant, tension, champ électrique ou magnétique)
- Mécanique (vibration)
- Acoustique (son)
- optique.
Cette notion s'oppose à celle du bruit qui peut modifier l'information ou même la masquer.
La description, la modélisation et l'analyse mathématique des signaux fait l'objet de la théorie
du signal, alors que le traitement des signaux les interprète, en extrait ou y ajoute de
l'information.
Les champs d'application de cette discipline sont très vastes tels que :
- la télécommunication
- l'instrumentation
- les radars
- le traitement et la reconnaissance de la parole
- le traitement d'image
- la reconnaissance de forme
- l'analyse des vibrations dans les machines outils.
- La médecine et la biotechnologie.
2. Classification des signaux
2.1. Classification déterministe ou aléatoire
2.1.1. Déterministe

C’est un signal dont l’évolution en fonction du temps est prévisible par un modèle
mathématique approprié. (Prédiction qui se fait par des modèles)
Exemple :
-
( ) sin( )
x t a t
-
( ) (1 )
t
T
x t a e 
2.1.2. Aléatoire
C’est un signal qui a un caractère non reproductible et imprévisible. Par exemple le signal issu
de capteur ou encore la parole.
2.2. Classification énergétique
On définit l’énergie d’un signal x(t) par la relation
2
( )
x
x t dt
 (1.1)
Et la puissance moyenne par la relation
2
2
2
1
lim ( )
T
T
xT
P x t dt
T
 (1.2)
Remarques
- Les signaux tels que 0 x sont des signaux a énergie finie (Px=0), par exemple
les signaux transitoires.
- Les signaux tels que 0 x P sont des signaux a puissance moyenne finie (
x
), par exemple les signaux permanents, comme les signaux périodique ou
encore les signaux aléatoires permanents.
Exemple 1
Vérifier si les signaux suivants sont à énergie finie (signaux transitoires) ou à puissance
moyenne finie (signaux permanents)
1- 1
( ) sin( )
x t A t
2- 2
( ) ; 0
a t
x t e a
Correction
1- 1
( ) sin( )
x t A t
1
2
2 2 2 1 cos(2 ) 1
sin ( ) sin(2 )
2 2 2
x
t A
A t dt A dt t t

puisque
sin(2 )
t
étant bornée mais t ne l’est pas
1
x
, ceci implique que le signal x1(t) n’est pas transitoire. Pour que le signal soit
permanent, il faut avoir encore la condition 1
0x P
.
2 2 2
1
2 2 2
2
22 2
1
1 1
lim ( ) lim sin ( ) lim 1 cos(2 )
2
T T T
T T T
xT T T
A
P x t dt A t dt t dt
T T T
2 2
2 2
2 2
1 4
lim sin(2 ) lim sin( )
2 2 2 4
T T
T T
T T
A A T
t t t t
T T T
2 2
4 4
lim sin( ) sin( ( ))
2 2 4 2 2 4 2 2
T
A T T T T T T A
T T T
Donc le signal x1(t) est permanent.
2- 2
( ) ; 0
a t
x t e a
2
0
22
2 2 ( ) 2 ( )
2
0
( ) a t a t a t a t
x
x t dt e dt e dt e dt e dt
0
2 2
0
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2
at at
e e
a a a a a
1 2
0
x x
P
, le signal x2(t) est transitoire.
2.3. Classification continu ou discret
Un signal discret n'est défini qu'à des instants réguliers dits instants d'échantillonnage.
Malgré que la plupart des signaux rencontrés et mesurés dans la nature sont des signaux
continus, on retrouve souvent ces signaux dans les systèmes numériques.
2.4. Classification morphologique

Selon que le signal x(t) où la variable t est continue ou discret , on distingue quatre types de
signaux :
- Le signal à amplitude et temps continus appelé couramment signal analogique
- Le signal à amplitude discret et temps continu appelé signal quantifié
- Le signal à amplitude continue et temps discret appelé signal échantillonné
- Le signal à amplitude discret et temps discret appelé signal numérique
quantification
3. Signaux particuliers
continue discrète
Amplitude
continu discret
temps
t
x
(t)
t
x
q
(t)
t
x*(t)
n
x
n
Signal analogique Signal quantifié
Signal échantillonné Signal numérique
échantillonnage

3.1. La fonction signe
1 si t > 0
sgn (t) =
-1 si t < 0
sgn( ) 0
t
t si t
t
3.2. La fonction saut unité ou échelon
1 si t  0
u (t) =
0 si t < 0
u(t) =
1
2
+
1
2
sgn (t)
3.3. La fonction échelon de vitesse ou rampe
a t si t  0
v (t) = a t u(t) =
0 si t < 0
L’échelon de vitesse unitaire est obtenu pour a = 1.
3.4. La fonction échelon d’accélération
A(t) = a
2
t
2
u(t)
1
u(t)
t
a
v(t)
t
1
t
A
(t)
1
sgn(t)
t
-1