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cours1

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ENSA Tétouan
Filière GC, semestre S6
Module: Mécanique des Fluides
Mécanique des fluides
Chapitre 1
Propriétés mécaniques des fluides
El Khannoussi Fadoua
1
Plan
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Etats de la matière
Qu’est-ce qu’un fluide?
L’effet d’échelle de temps
Classes de fluides
Fluides multiphasiques
Fluides complexes
Propriétés des Fluides
Viscosité
Tension superficielle
2
1 Etats de la matière
Pour un corps simple, il y a trois états:
(a) solide : matériau à faible température;
(b) liquide : matériau à faible température et pression élevée;
(c) gazeux : matériau à température suffisamment élevée et pression faible.
3
2 Qu’est-ce qu’un fluide?
 Un fluide n’a pas de forme propre
 Il s’écoule si on lui applique une force
 Il prend la forme du récipient
 Dans un gaz, les molécules interagissent peu et gardent une certaine
mobilité les unes par rapport aux autres.
 Il n’y a pas d’ordre comme dans un solide, ou un certain ordre local
comme pour un liquide.
 La limite solide/fluide est parfois floue:
- elle dépend de la dynamique de la sollicitation: sable mouillé, pâtes
- elle dépend de l’échelle de temps considérée: glacier
- Il existe des états semi-ordonnés (ou « indécis »): liquides vitreux, cristaux
liquides, colloïdes
4
3 L’effet d’échelle de temps
Tous les matériaux sont déformables et peuvent être considérés comme
fluide si l’on attend suffisamment longtemps. C’est donc l’échelle de
temps qui est importante. On introduit à cet effet un nombre sans
dimension dit de Déborah.
Tout s’écoule même les montagnes!!!
5
3 L’effet d’échelle de temps
Nombre de Déborah
tr
De 
te
te
durée d'observation (ou le temps de l’éxpérience),
tr
temps de relaxation du matériau.
Deux comportements asymptotiques :
- De
1 le matériau s’écoule comme un fluide,
- De
1 le matériau se comporte comme un solide.
Par exemple, un glacier est un fluide à l’échelle géologique,
6
4 Classes de fluides
 Monophasiques: eau, air, huile, métaux fondus, ...
 Multiphasiques
- émulsions = L dans L: lait, vinaigrette, shampoing
- suspensions = S dans L, particules grossières dans un liquide: pâtes, boues
- dispersion = S dans L: particules fines d’argile dans un solvant
- liquides à bulles = G dans L: sodas, cavitation, distillation, mousses
 Complexes
- magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)
- polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)
- milieux granulaires (sable, poudres)
7
5 Fluides multiphasiques
L’émulsion
Il existe deux sortes d’émulsion.
Emulsion liquide-liquide: dispersion de gouttes d’un liquide dans un autre,
non miscible avec le premier (si on les mélange et qu’on les laisse reposer,
on pourra observer deux phases)
Exemple: l’huile et l’eau ne se mélangent pas, on peut distinguer :
- Les émulsions huile/eau notées H/E caractérisées par des gouttelettes
d’huile dispersées dans l’eau: la mayonnaise, la crème fraiche, le lait
- Les émulsions eau/huile notées E/H caractérisées par des gouttelettes
d’eau qui sont en suspension dans la phase contenant des graisses:
le beurre
Emulsion liquide-gaz: (liquide à bulles) dispersion de petites bulles d’air
dans un liquide lipidique par exemple comme la crème chantilly: mousse.
La graisse refroidie entoure les bulles d’air et les emprisonner.
8
5 Fluides complexes
Cristaux liquides
Les cristaux liquides sont des matériaux tenant par leurs propriétés
physiques à la fois des solides et des liquides.
Une des caractéristiques les plus intéressantes (principe des LCD) est leur
pouvoir de s’orienter en fonction des tensions qui leurs sont appliquées.
http://affichagenumerique.e-monsite.com/pages/2d/liquid-cristal-display.html
9
7 Propriétés des Fluides
La masse volumique (densité) d’un corps homogène de masse m
et de volume V est définie par:
m

V
Unité SI:
[g/cm³] ou [kg/m³]
10
7 Masse volumique
Corps hétérogène
dm
dV0 dV
 lim
Volume élémentaire
dm
dV
Variation microscopique
Variation macroscopique
dV
9
dV 10 mm 1m
*
Volume de fluide
considéré
3
3
dV
Pression atmosphérique
Air: 310
7
molécules
11
7 Propriétés des Fluides
La densité d est sans dimension et elle est définie comme la masse volumique
du fluide étudié rapportée à la masse volumique de l’eau:
d

e
L’inverse de la masse volumique par unité de masse est appelé volume
spécifique (ou volume massique) et est défini par:
1 3
  m . kg 1 

Le poids spécifique est défini comme le produit de la masse volumique par
l’accélération de la pesanteur :
  g  N. m3 
12
8 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide du principe d’Archimède
Force d’Archimède:
Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit de la part du fluide
une force verticale, dirigée vers le haut. L’intensité de la poussée
d’Archimède est égale au poids du volume de liquide déplacé.
m s Vs  P s Vsg
g
f
A
s
P  mg
A f Vfd g
Vs
volume du corps
Vfd
volume du liquide déplacé;
c’est aussi le volume de la partie
immergée du corps
13
8 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide du principe d’Archimède
Résultante:
g
f
A
R  s Vs f Vfd  g
s
P  mg
Corps complètement immergé:
Vfd  Vs  R  s f  Vs g
s f  le corps coule
s f  le corps remonte
Corps flottant en équilibre:
Vfd 
s Vs
f
14
8 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide du principe d’Archimède (Cas d’un solide)
m
ma
g
s
s
Masse apparente:
ma  s f  Vs
Masse réelle:
f
m s Vs
ma  m
Corps complètement
immergé et ne touchant pas le fond
Reliée à une balance hydrostatique, un corps plongé dans le fluide aura une
masse apparente plus petite que sa masse réelle.
15
8 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide du principe d’Archimède (Cas d’un solide)
La mesure de m, ma et la connaissance de f permet de déterminer la masse
volumique du corps.
s 
m
f
m  ma
16
8 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide du principe d’Archimède (Cas d’un liquide)
ma
m
Masse en laiton
Eau, ρ
ma
Liquide x , ρx ?
m  ma
x 

m  ma
Corps complètement immergé et ne touchant pas le fond.
La densité de l’eau dépend de la température.
17
9 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide d’un pycnomètre (Cas d’un liquide)
Le pycnomètre permet une mesure précise de la masse volumique.
Ici le volume est fixe.
A vide
Eau, ρ
m
m0
x 
Liquide x , ρx ?
Pycnomètre en verre
5 - 100 cm³
m 
m  m 0

m  m 0
18
9 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide d’un pycnomètre (Cas d’un solide)
Le pycnomètre à gaz permet de déterminer de façon précise le volume d'un échantillon
solide (massif, divisé ou poreux) de masse connue, permettant d'accéder à sa masse
volumique. Le principe de la mesure est d'injecter un gaz à une pression donnée dans
une enceinte de référence, puis à détendre ce gaz dans l'enceinte de mesure
contenant l'échantillon en mesurant la nouvelle pression du gaz dans cette enceinte.
Pycnomètre à Gaz (AccuPyc 1340 Folio Instruments)
19
9 Masse volumique: mesure de la masse volumique d’un
corps à l’aide d’un pycnomètre (Cas d’un solide)
Le pycnomètre à gaz permet de déterminer de façon précise le volume d'un échantillon
solide (massif, divisé ou poreux) de masse connue, permettant d'accéder à sa masse
volumique. Le principe de la mesure est d'injecter un gaz à une pression donnée dans
une enceinte de référence, puis à détendre ce gaz dans l'enceinte de mesure
contenant l'échantillon en mesurant la nouvelle pression du gaz dans cette enceinte.
L'application de la loi de Mariotte permet alors d'établir
la relation suivante:
 P1 
Vs  V0  V1  1
 P2 
V1 est le volume de l'enceinte de référence
V0 est le volume de l'enceinte de mesure
Vs est le volume de l'échantillon
P1 est la pression du gaz dans l'enceinte de référence
P2 est la pression du gaz après détente dans
l'enceinte de mesure.
Pycnomètre à gaz (hélium)
20
10 Viscosité
Définition de la viscosité
•
L’eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des
tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière.
•
La viscosité peut être définie comme la résistance à l'écoulement uniforme et
sans turbulence se produisant dans la masse d'une matière.
•
La viscosité se manifeste chaque fois que les couches voisines d’un même
fluide sont en mouvement relatif, c’est à dire lorsqu’il s’établit un gradient de
vitesse.
On peut donc dire de la viscosité qu’elle est la mesure
du frottement fluide
21
10 Viscosité
Loi des fluides newtoniens
F
v
h
ey
ex
Avec son expérience (1687), Newton observe deux choses :
- il se produit une force de résistance du fluide contre cette action de
cisaillement ;
- cette force est proportionnelle au taux de cisaillement, ici v/h [1/s].
F A
v
h

avec  la contrainte de cisaillement,  le taux de cisaillement (gradient
de vitesse) et  la viscosité dynamique .
F

A
v du
 
h dy
A: aire de la surface de contact avec le fluide
22
10 Viscosité
Viscosité newtonienne
 L’unité de la viscosité dynamique est le Pa.s. Auparavant on
employait le poiseuille (1 Poiseuille = 1 Pa.s) ou le poise (le plus
souvent le centipoise): 1 Po = 0.1 Pa.s; 1 cPo = 1 mPa.s.
 La viscosité dynamique de l’eau à 20° est 1 cPo.
 On définit également la viscosité cinématique par:



On emploie le m2/s ; certains ont recours au stokes (St) 1 St = 1 cm2/s
= 10-4 m2/s et 1 cSt = 1mm2/s = 10-6 m2/s.
 La viscosité dépend beaucoup de la température.
23
10 Viscosité
Valeurs usuelles de viscosité
Température ambiante
24
10 Viscosité
Rhéogramme: loi contrainte-gradient de vitesse
Fluide newtonien: viscosité constante;
Fluide non newtonien: viscosité non constante.
25
11 Tension de surface
Les liquides ont des caractéristiques remarquables:
- ils ont une surface libre nette;
- ils forment un volume bien défini comme si une force de cohésion
maintenait les molécules entre elles.
A l'interface entre deux fluides, il existe des interactions moléculaires
(en général de répulsion): les milieux n’étant pas miscibles, il existe
une force à la surface de contact qui permet de séparer les deux fluides
et éviter leur mélange. On appelle tension de surface ou tension
capillaire cette force surfacique permettant de maintenir deux fluides
en contact le long d'une interface commune.
On la note  ;  a la dimension [Pa.m]. On l'exprime parfois aussi
comme une énergie par unité de surface [J/m2].
26
11 Tension de surface
Un trombone peut flotter à la surface de l’eau, même s’il est en acier.
Certains insectes sont capables de se déplacer sur l’eau.
Une force supplémentaire est apparue pour compenser le poids: une force
superficielle qui a lieu à la surface de l’eau.
Cette force dépend de la composition de la solution ou plus généralement
du fluide.
Trombone en acier flottant à
la surface de l’eau
punaise de l’eau
27
11 Tension de surface
Les forces qui sont à l'origine de la tension superficielle
Parmi les forces intervenants aux interfaces de deux liquides, il y a les forces
de Van Der Walls. D'origines électriques, elles découlent des interactions
entre les dipôles, provenant eux-mêmes des phénomènes de polarisation.
Une molécule est polarisée lorsque les charges négatives et positives ne
sont pas réparties de manière homogène. Le barycentre des charges
positives n'est pas égal au barycentre des charges négatives.
Cette explication est typique de la molécule d'eau.
28
11 Tension de surface
Les forces qui sont à l'origine de la tension superficielle
Air
Vapeur d’eau
Surface libre du liquide
On distingue deux types de population:
les molécules qui se trouvent dans le
volume et les molécules qui se trouvent
à la surface.
29
11 Tension de surface
Les forces qui sont à l'origine de la tension superficielle
Au sein d’un liquide au repos, chaque molécule est soumise à l’attraction
des proches voisines. La résultante de ces forces, dirigées dans toutes les
directions, est nulle en moyenne.
A la surface de séparation entre le liquide et le gaz qui le surmonte,
les forces de cohésion ne présentent plus cette symétrie moyenne :
chaque molécule subit de la part des molécules placées à l’intérieur du
liquide, des forces d’attraction dont la résultante, normale à la surface est
dirigée vers l’intérieur du fluide, n’est compensée par aucune autre force.
L’ensemble de ces actions tend à contracter le liquide.
La surface du liquide se comporte comme une membrane tendue.
Si on tire une molécule d’eau vers le haut ou si on la pousse vers le bas,
ses voisines ont tendance à suivre entrainées par les forces de Van Der
Waals.
30
11 Tension de surface
Force de tension superficielle
A la surface d’un fluide, il existe une force, d’intensité f, qui a tendance à
contracter le liquide.
Imaginons qu’on veuille créer à la surface libre d’un liquide une ouverture
en forme de fente, de longueur L et de largeur Δx très petite: il faut pour cela
exercer en plusieurs points de l’ouverture des forces dT, qui doivent être des
forces de traction: en effet, le liquide tend à s’opposer à cette opération en
développant une force de norme f qui s’oppose aux forces dT.
L
f   dT  0
L
0
dT
31
11 Tension de surface
Définition
La tension superficielle  est mesurée par le quotient de l’intensité de
la force f par la longueur L sur laquelle elle s’exerce.
1
 f
L
Unité: N/m
32
11 Tension de surface
Résistance à l’augmentation de l’interface
La tension superficielle mesure la résistance à l’augmentation de
l’interface.
Un fil de coton est placé sur un anneau que l’on plonge dans de l’eau
savonneuse. Si le film de savon remplit tout l’anneau, le fil reste détendu.
Si on perce l’un des deux côtés, le film de savon minimise sa surface et le
fil se tend.
La tension superficielle est la même en tout point de la surface du film; la
force F est normale en tout point du fil de coton : c’est elle qui tend le fil.
https://www.youtube.com/watch?v=DZOB5GVAxJg
33
11 Tension de surface
Résistance à l’augmentation de l’interface
Soit un cadre filaire ABCD dont le côté AB, de longueur L, peut glisser sur
DA et CB. Plongé initialement dans de l'eau savonneuse, ce cadre est
rempli d'une lame mince liquide.
On maintient le fil mobile en équilibre en exerçant sur lui une force F.
Le liquide tire AB vers DC avec une force  sur chaque face de la lame
A
D

L
F
C
F  2L  0

AB
(il y a un petit piège
ne pas oublier 2)
34
11 Tension de surface
Conséquences à l’interface liquide-gaz
La tension superficielle a tendance à contracter la surface d’un liquide.
Conséquence, en l’absence de pesanteur et de récipient un liquide prend
une forme sphérique, c’est la forme pour laquelle la surface est minimale
pour un volume donné.
http://www.maxisciences.com/astronaute/quand-un-astronaute-joue-au-pingpong-avec-de-l-039-eau-a-bord-de-l-039-iss_art37049.html
35
11 Tension de surface: interface triple mouillage
Déposons une goutte de liquide sur un support plan. En général, le liquide
adopte la forme décrite sur la figure ci-dessous, résultat d’un compromis
entre le poids qui tend à diminuer la position du centre de gravité de
la goutte et des forces capillaires qui tendent à minimiser l’aire de la surface
libre. À l’équilibre, on obtient la relation de Young (1805).

   LV
SL
 SV
R 3
1 cos 2  2  cos 
V
3
E r 2  SL SV   2Rh R 2 sin 2   SL SV   2R 2 1 cos  
dE
dR
Vcste
 0   cos   SV  SL
36
11 Tension de surface: interface triple mouillage
 cos  SV SL
Lorsque SV   SL , le liquide tend à s’étaler sur la surface. On parle dans ce
cas de surface mouillante ou hydrophile et l’angle de contact est inférieur à 90°.
Lorsque SL  SV  , le liquide tend à former des petites gouttelettes dont les
angles de contact sont beaucoup plus grands et supérieurs à 90° .
L’équation de Young n’est pas très efficace et ne permet pas facilement de prévoir
la valeur de l’angle de contact d’équilibre en raison du faite que les tensions
interfaciales sl et sv sont difficiles à mesurer directement (mesurées à l’aide
d’un goniomètre) et que les surfaces réelles présentent des imperfections.
37
11 Tension de surface
Interface triple mouillage liquide-solide-gaz
Si l’on dépose une goutte d’eau sur une surface plane, elle tend à s’étaler.
Si on dépose sur ce même support une goutte de mercure, celle-ci conserve
une forme pratiquement sphérique.
En général, on distingue deux cas :
Si θ < 90°: on dit alors que
le liquide mouille la surface (solide)
Si θ > 90°: On dit alors que
le liquide ne mouille pas la surface.
38
11 Tension de surface: mouillage
Interface triple mouillage liquide-solide-gaz
 Selon la valeur de l’angle de contact θ, on distingue trois cas de figure:
- θ>π/2: le liquide est peu mouillant (exemple: verre-mercure-air)
- θ∈[0,π/2]: il y a mouillage partiel (exemple: verre-eau-air)
- lorsque l’angle de contact n’est pas défini, il y a mouillage complet
du liquide sur le substrat solide.
39
11 Tension de surface
Interface triple mouillage liquide-solide-gaz
Goutte d'huile sur une plaque de verre
Goutte d'eau pure sur une plaque
de verre propre
Une goutte d'eau sur une plaque de
paraffine solidifiée
40
11 Tension de surface
Interface triple mouillage liquide-solide-gaz
La tension de surface dépend directement de l'importance de l'énergie
de cohésion au sein du liquide, qui dépend elle-même de la nature du liquide.
41
11 Tension de surface
Interface triple mouillage liquide-solide-gaz
Les molécules d’eau dans un verre sont attirées plus fortement par le verre
que par elles mêmes. Pour le mercure c’est le contraire.


θ est appelé angle de raccordement: angle formé par l’interface S/L et L/G
par rapport au côté intérieur au liquide.
42
11 Tension de surface
Quelques valeurs de la tension superficielle
Interface
 en N.m-1
Température (°C)
Eau-air
0.076
0
Eau-air
0.073
20
Eau savonneuse-air
0.025
20
Eau-air
0.059
100
Sang-air
0.058
37
Mercure-air
0.465
20
Alcool-air
0.022
20
La tension superficielle varie avec la température ;  diminue quand
la température augmente jusqu’à s’annuler à la température critique.
43
11 Tension de surface
Mesure de la tension superficielle
Méthode de l’anneau
Il existe plusieurs méthodes de mesure de la tension superficielle, mais historiquement
la méthode de l’anneau a été la première à être développée. Il s’agit de plonger un
anneau (en platine en général ou platine-iridium) dans le liquide à étudier puis de le
remonter délicatement de façon à étirer un film au-dessous de l’anneau.
44
11 Tension de surface
Mesure de la tension superficielle
Méthode de l’anneau
2r1
2r2
Principe du tensiomètre de l’anneau (Noüy)
45
11 Tension de surface
Mesure de la tension superficielle
Méthode de l’anneau
Au cours de l’étirement du film de liquide
la force exercée sur l’anneau est mesurée
à l’aide d’un dynamomètre et le système
passe par un seuil où la force est maximale:
dans ce cas les forces capillaires sont verticales.
Si l’on note r1 le rayon intérieur de l’anneau
et r2 son rayon extérieur, on a la relation.
Fmax  2 r1  r2  
Fmax

2 r1  r2 
Les dimensions du montage en mm (Règlement (CE)
no 440/2008 de la commission européenne - 30 mai 2008.
46
11 Tension de surface: théorème de Laplace
Un petit contour circulaire pris dans la surface libre plane d’un liquide en équilibre
est soumis à des forces de tension superficielle situées dans son plan et dont la
résultante est nulle. Par contre, pour une surface sphérique, les forces exercées sur
ce même contour ont une résultante orientée vers l’intérieur de la sphère. La
résultante de toutes les forces de tension superficielle a pour effet d’exercer une
compression de façon à réduire la surface de la sphère. Il existe donc une
surpression à l’intérieur de la sphère pour maintenir l’équilibre.
47
11 Tension de surface: théorème de Laplace
On peut obtenir l’expression de la différence de pression à l’aide d’un
raisonnement énergétique. Considérons une bulle de gaz contenue
dans un liquide et supposons que l’on fasse subir à la bulle une
transformation quasi-statique en augmentant son rayon de dR. L’aire
de l’interface augmente donc de dS=8πRdR et le volume de la bulle de
dV=4πR2dR.
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique en choisissant comme système
l’interface :
dEc=0=dWext+dWint
Les forces extérieures sont les forces de pression pint et pext de sorte que
dWext=−pextdV+pintdV
48
11 Tension de surface: théorème de Laplace
• Les forces internes sont les forces de tension superficielles qui dérivent
d’une énergie potentielle : dWint=−dS=−8πRdR
On a donc
2
p4R dR 8RdR  0  p  pint  p ext 
R
2
• De la même manière, à l’intérieur d’une bulle
de savon, il règne une surpression
p  pint  pext 
4
R
où le facteur 4 est dû au fait que la bulle de savon présente deux interfaces
liquide-gaz.
La surpression intérieure est donc d'autant plus grande que le rayon de la
bulle est petit..
49
11 Tension de surface: loi de Laplace-Young
La généralisation de la loi de Laplace à une géométrie quelconque est
donnée par la loi de Laplace-Young :
La différence de pression entre deux milieux non miscibles séparés
par une interface de tension superficielle , est donnée par
 1 1 
p1  p 2    

R
R
 1
2
où R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux de la membrane
au point considéré. Dans le cas d'une interface sphérique, ces deux
rayons de courbure s'identifient au rayon de la sphère.
50
11 Tension de surface
Capillarité
Air saturé
R
Liquide



Solide plan


angle de raccordement (contact)
r

Tube
capillaire
angle de mouillage
Mouillage parfait:
Liquide
 0 et 180
Ménisque hémisphérique
en cas de mouillage parfait
51
11 Tension de surface: loi de Jurin
Surface libre plane
52
11 Tension de surface: loi de Jurin
53
11 Tension de surface: loi de Jurin
Ménisque
de Jurin
Deux plaques en verre rapprochées l’une de l’autre:
Ascension capillaire
54
11 Tension de surface: loi de Jurin
2r
g

h


Paramètres du problème: r, s, , 
55
11 Tension de surface: loi de Jurin
56
11 Tension de surface: loi de Jurin
La pression sous
l'interface au point A est:
p A  patm  
2
R
Le rayon de courbure de la surface
libre est tel que:
r  Rcos 
Au point B, la pression vaut donc:
h
pB  pA gh  patm
2  cos 
gr
57
11 Tension de surface: loi de Jurin
h

 h0
2


 h 0
2

2  cos 
gr
r
 h

 h
Le fluide descend (dépression)
Le fluide remonte (ascension)
58
11 Tension de surface: loi de Jurin
Si l’angle θ dépasse 90°, la loi de Jurin donne h négatif. On parle alors de dépression
capillaire. C’est le cas du mercure au contact du verre et de tous les liquides non
mouillants.
Cette fois les forces de cohésion sont supérieures aux
forces d’adhésion, le liquide ne mouille pas les parois
du tube.
Le niveau du liquide s’abaisse dans le tube au
dessous du niveau de la surface libre du récipient. Le
ménisque est convexe et forme l’angle θ> 90° avec la
paroi du tube. Les forces de tension superficielle
tirent le liquide vers le bas
59
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