Automatique: Systèmes Linéaires Continus Automatique : Systèmes linéaires Sommaire: Définitions Notion de système en BO et en BF Représentation d’un système linéaire Réponse d’un système linéaire Caractéristiques des systèmes asservis Correction des systèmes asservis Automatique : Systèmes linéaires Définitions: Un système dynamique est un procédé de nature quelconque (physique, biologique, économique, ...) qui évolue sous l’action des signaux d’entrées et dont l’évolution est caractérisée par des signaux de sorties. Signal : Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un capteur (température, vitesse, position etc.). On distingue : Signal d’entrée : indépendant du système, il se décompose en commandable (consigne) et non commandable (perturbations) . Signal de sortie : dépendant du système et du signal d’entrée. ce signal doit être observable pour évaluer les objectifs de commande. Automatique : Systèmes linéaires Définitions: Automatique : c’est une science et une technique qui permet de maîtriser le comportement d’un système (traduit par ses grandeurs de sortie), en agissant de manière adéquate sur ses grandeurs d’entrée. Il existe deux domaines d’intervention de l’automatique : Dans les systèmes à événements discrets. On parle d’automatisme (séquence d’actions dans le temps). Exemples : les distributeurs automatiques, les ascenseurs… Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs physiques de façon précise et sans aide extérieure. Exemples : la régulation de la vitesse de rotation d’un MCC, le pilotage automatique d’un avion… Automatique : Systèmes linéaires Définitions: Classification des automatismes On peut classer les automatismes selon la nature des signaux d'entrée et sortie signaux discontinus signaux continus Système à temps continu Régulations et asservissements Méthodes: équations différentielles, fonctions de transfert, étude harmonique Matérialisation de la commande: comparateurs, sommateurs, intégrateurs, réseaux correcteurs, régulateurs PID binaires plusieurs niveaux systèmes logiques systèmes combinatoires et échantillonnés séquentiels commande numérique Méthodes: des systèmes continus algèbre de Boole Méthodes: GRAFCET équations de Matérialisation de la récurrence, commande: transmittance en z logique cablée, Matérialisation de la automates commande: programmables calculateurs, PID numériques Automatique : Systèmes linéaires Notion de système en Boucle Ouverte (BO), en Boucle Fermée (BF): Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans aucune information sur les grandeurs de sortie : il n’y a pas de contre réaction (feedback). Exemple : réglage de la température d’un four en agissant sur le débit du combustible assurant la production de la chaleur. une commande en boucle ouverte ne permet pas de : régler précisément le niveau de sortie contre l'effet des perturbations Automatique : Systèmes linéaires Notion de système en Boucle Ouverte (BO), en Boucle Fermée (BF): Un système est dit en boucle fermée (système asservi) si la commande est fonction de la consigne ( la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise des capteurs. C’est l’information générée par ces capteurs qui va permettre d’élaborer la commande. Exemple : commande du niveau dans un bac: Pour régler le niveau on doit agir sur l'organe de réglage (la vanne) en fonction de l’écart entre la valeur désirée et la valeur réelle mesurée: Automatique : Systèmes linéaires Nécessité de la boucle fermée : La commande en boucle fermée (contre réaction) est capable de: stabiliser un système instable en BO; améliorer les performances d’un système; compenser les perturbations externes; compenser les incertitudes internes au processus lui-même. Un système de commande peut réaliser deux fonctions distinctes : l’asservissement c’est à dire la poursuite d’une consigne variable dans le temps (exemples: table traçante, machine-outil usinant une pièce selon un profil donné, missile poursuivant une cible…) la régulation c’est à dire la compensation de l’effet de perturbations sur la sortie (la consigne restant fixe), (exemples: régulation de la vitesse, de température…) Automatique : Systèmes linéaires Structure générale d’un système asservi : Un système asservi peut être modélisé par le schéma fonctionnel appelé schéma bloc suivant: Signal d’erreur Comparateur Sortie La loi de commande u(t) qui sera adressée au système via un organe de puissance et un actionneur, sera conditionnée par la nature du système et l’image de la sortie r(t) fournie par un capteur qui sera comparée à la consigne e(t). Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Equation Différentielle Un système est dit linéaire si l’équation liant la sortie à l’entrée est une équation différentielle à coefficients constants. Seuls les systèmes pour lesquels m ≤n, se rencontrent dans la pratique (systèmes physiques réel), n est l’ordre du système linéaire. Exemple : Modélisation d’un moteur à courant continu: Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Equation Différentielle Equation électrique: liant la tension u aux bornes de l’induit et le courant d’induit i s’´ecrit : où R est la résistance de l’induit du moteur, L son inductance et e la force électromotrice, qui est proportionnelle à la vitesse de rotation ω du rotor : Equation mécanique : rendant compte des couples agissant sur le rotor (on ne tient pas compte du couple de charge sur l’arbre du moteur) : où γ est le couple moteur, f le coefficient de frottement visqueux et J le moment d’inertie du rotor. le couple γ est proportionnel au courant d’induit i : Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Equation Différentielle les coefficients Ke et Km sont proches; on pose : on obtient: on dérive: en combinant les équations: on obtient une équation différentielle d’ordre 2 reliant la sortie ω(t) à l’entrée u(t) : Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert La réponse d’un système linéaire, est obtenue par résolution de l’équation différentielle. Pour simplifier l’étude, on utilise la Transformée de Laplace (TL) Soit une fonction f définie pour t≥ 0. On définit sa Transformée de Laplace (TL) F par : Cette transformée est une fonction de la variable complexe p appelée variable de Laplace. En pratique, les transformées de Laplace ne seront pas calculées mais on utilisera la table des transformées de Laplace. Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert Propriétés de la Transformée de Laplace linéarité Dérivation Intégration Retard Théorème de la valeur finale Théorème de la valeur initiale Translation de la variable de Laplace Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert Table de transformées de Laplace (s désigne aussi la variable de Laplace) échelon unité (t) 1 t Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert On appelle Fonction de Transfert ou Transmittance d’un système linéaire le rapport entre la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l’entrée. Rappelons la forme générale d’une équation différentielle linéaire d’ordre n : la TL de cette équation donne: Fonction de Transfert: Automatique : Systèmes linéaires Représentation d’un système linéaire : par Fonction de Transfert Autres formes d’écriture de la Fonction de Transfert: où est le gain statique du système et le nombre α d’intégrateurs purs aussi appelé type (ou classe) du système. On factorise le numérateur N(p) et le dénominateur D(p) de la Fonction de Transfert, on obtient: où les τ et τ’ sont assimilés à des constantes de temps. Soit encore sous la forme: où les zi et les pi sont respectivement les zéros et les pôles du système. Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires: le calcule de la réponse d’un système linéaire, peut être obtenue par: résolution de l’équation différentielle (systèmes d’ordre 1 et 2). inversion de la Transformée de Laplace de la sortie S(p)=G(p)E(p); pour déterminer s(t). Domaine temporel Domaine symbolique Variable : t Transformée de Laplace Variable : p Équation différentielle Fraction rationnelle e(t) → s(t) = ? E(p) → S(p) = ? Transformée inverse 3 2 Résolution : S(p) = ? 1 Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er et 2nd ordre Une bonne connaissance des systèmes du premier et du second ordre est fondamentale en Automatique. On peut en effet fréquemment assimiler un système réel à un système équivalent d’ordre un ou deux. Systèmes du premier ordre: Un système du premier ordre est décrit par: où τ et K sont des constantes réelles non nulles ; τ est la constante de temps du système et K son gain statique. La Fonction de Transfert de ces systèmes est : Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er ordre Réponse indicielle: réponse à un échelon : (t) 1 échelon unité t On applique à l’entrée un échelon d’amplitude E0 : e(t) =E0(t) La sortie du système est telle que : Décomposition en élément simple : réponse indicielle: Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er ordre Réponse indicielle: Le paramètre qui caractérise la réponse d’un système linéaire est le temps de montée tm de 10% à 90% de la valeur finale, qui vaut tm≈2,2τ Pente à l’origine: KE0/τ Temps de réponse tr5%=3τ On définit Le temps de réponse à 5% , noté tr5%, correspond au temps nécessaire à la réponse indicielle pour atteindre sa valeur finale à ±5% près Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er ordre Réponse à une rampe: L’entrée est une rampe de pente a : e(t) = at(t). Sa Transformée de Laplace est: la sortie est donnée par: e(t) s(t) K=1 K<1 K>1 a t Si K = 1, la sortie s(t) suit l’entrée avec un retard constant (τ). La différence entre la sortie et l’entrée est appelée erreur de traînage et vaut aτ. Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 1er ordre Réponse impulsionnelle: L’entrée est donnée par: e(t) =E0.δ(t); où δ(t) est l’impulsion de Dirac (impulsion unité, sa transformée de Laplace est TL[(t)]=1) (t) 0 La réponse est donnée par: t Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Système du second ordre : Forme générale: ξ est le coefficient d’amortissement du système, ωn sa pulsation naturelle ou pulsation propre et K son gain statique. Fonction de transfert: La solution de l’équation différentielle dépend des racines de l’équation caractéristique (pôles de G(p)) associée : Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle: deux cas à distinguer: , les deux pôles sont réel négatifs: les deux pôles sont complexes conjugués, à partie réel négative: Réponse indicielle: Réponse à l’échelon pour (on parle de système à fort amortissement) la sortie est donnée par: Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle: KE0 sortie temps Réponse à l’échelon pour: On a: Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle: Réponse à l’échelon pour La réponse temporelle est : (système à faible amortissement) régime pseudo-périodique Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle : Les caractéristiques de la réponse indicielle d’un système second ordre à faible amortissement sont: à l’origine, la tangente est horizontale pseudo-pulsation ou pulsation amortie: pseudo-période: le dépassement maximal D1 par rapport à la valeur finale et l’instant de ce dépassement, noté t1: le meilleur compromis amortissement-rapidité est obtenu pour ξ =√2/2≈ 0,7. Le premier dépassement est alors de 5% de la valeur finale : l’instant du premier dépassement correspond ainsi au temps de réponse à 5% du système. Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle : L’abaque suivante donne le temps de réponse réduit en fonction de l’amortissement Réponse indicielle d’un système du second ordre pour différentes valeurs du coefficient d’amortissement Automatique : Systèmes linéaires Réponse temporelle des systèmes linéaires : 2nd ordre Réponse indicielle: Correspondance entre premier dépassement (D1%) et le coefficient d’amortissement, pour un système du second ordre D1=5% tr5%=t1 Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires: La réponse harmonique d’un système est sa réponse à une sinusoïde permanente, e(t) = Um.sin(ω.t). e(t) = Em sin (.t) G(p) s(t) = Sm sin (.t + ) Dans l’analyse harmonique, l’expression de la fonction de transfert est G(p = jω) La réponse harmonique est illustrée par des diagrammes mettant en correspondance le module et l’argument de G(jω). Diagramme de Bode: Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes: le module (ou le gain) en décibels (dB), quand la pulsation ω varie : l’argument (ou la phase), généralement exprimé en degrés (deg) L’échelle en abscisse du diagramme de Bode est logarithmique Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : Diagramme de Black: Le diagramme de Black représente le gain en fonction de la phase lorsque ω varie. Diagramme de Nyquist: Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(jω) dans le plan complexe, lorsque ω varie. Systèmes du premier ordre: Fonction de Transfert: Diagramme de Bode: on a: Réponse harmonique Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre Comportement asymptotique de la réponse harmonique : Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre Diagramme de Bode: système 1er ordre : τ=0,01s et K=10 Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre Diagramme de Black: Une étude asymptotique facilite le tracé de la représentation de Black sens des croissants Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre Diagramme de Nyquist: La représentation de Nyquist consiste à tracer Im[G(jω)] en fonction de Re[G(jω)] on a: avec : On montre que: Le lieu est donc un demi-cercle de rayon K/2 et de centre (K/2;0). Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 1er ordre Diagramme de Nyquist: sens des croissants Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 2nd ordre Systèmes du second ordre: Fonction de Transfert: Réponse harmonique Diagramme de Bode: Comportement asymptotique de la réponse harmonique Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes linéaires : 2nd ordre Diagramme de Bode: (ωn=100 rad/s et K=10) Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes : 2nd ordre Diagramme de Bode si le coefficient d’amortissement ξ est inferieur à 0,7; on constate l’apparition d’un phénomène de résonance : la pulsation de résonance: inférieure à ωn le gain en dB passe par une valeur maximale supérieur au gain statique Le coefficient de surtension (ou de résonance), quotient du gain maximal sur le gain statique est: Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes : 2nd ordre Diagramme de Black : (ωn=100 rad/s et K=10) Automatique : Systèmes linéaires Réponse harmonique des systèmes : 2nd ordre Diagramme de Nyquist : (ωn=100 rad/s et K=10) Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Le schéma général d’un asservissement est: On représente les différents blocs du système par leur fonction de transfert et les signaux par leur transformée de Laplace: avec: G(p) est la FT du procédé. C(p) est la FT du correcteur. C(p)G(p) est la FT de la chaine directe (ou chaine d’action). H(p) est la FT de la chaine de retour (ou chaine de contre-réaction). Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: La Fonction de Transfert en boucle ouverte (FTBO) : c’est la transmittance entre le signal d’erreur et le signal de retour quand la chaine de retour n’est pas connectée au comparateur: FTBO(p)=C(p).G(p).H(p) La Fonction de Transfert en boucle fermée (FTBF) : On a: S(p)=G(p)C(p)ε(p)= G(p)C(p)[E(p)-H(p)S(p)] Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: cas du retour unitaire : Il s’agit d’un cas particulier que l’on rencontrera souvent puisque même dans le cas où le retour n’est pas unitaire, on peut se ramener au cas d’un retour unitaire H(p)=1; la Fonction de Transfert en boucle fermée (FTBF) est: Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Transformation d’un cas général en retour unitaire : cas général même système avec retour unitaire Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Définition: Un système est stable si et seulement si à tout signal borné en entrée, correspond un signal borné en sortie. En automatique, on définit la stabilité par une des propositions suivantes : Un système linéaire est stable lorsque : sa réponse à un échelon prend une valeur finie en régime permanent, sa réponse à une impulsion tend vers 0, sa réponse à une sinusoïde est une sinusoïde d'amplitude finie. Critère algébrique de stabilité (pôles): Un système linéaire (en boucle ouverte ou fermée) est stable si et seulement si les pôles de sa Fonction de Transfert sont à partie réelles strictement négatives. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère de Routh-Hurwitz: soit le polynôme dénominateur de la Fonction de Transfert du système. Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer si les racines de l’équation caractéristique D(p)=0 sont à partie réelles négatives ou non, sans calculer explicitement ces racines. Critère de Routh-Hurwitz) : Le système est stable si les coefficients ai, ∀i= 1,…n sont de même signe et du même signe que les éléments de la première colonne du tableau suivant (dit tableau de Routh) : Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère de Routh-Hurwitz: tableau de Routh) : Le tableau a au plus n+1 ligne (n: ordre de D(p)). Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère de Routh-Hurwitz: Exemple 1: Etudier la stabilité du système suivant en boucle fermée Il ya deux changements de signe dans la première colonne de ce tableau (deux pôles instables); le système en boucle fermée à retour unitaire est instable. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère de Routh-Hurwitz: Exemple 2: Etudier la stabilité du système en boucle fermée D’après le critère de Routh, la condition de stabilité impose: Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère géométrique de stabilité: permet de conclure sur la stabilité d’un système en BF à partir de la représentation graphique du gain et du déphasage en BO. FTBO(p)=C(p).G(p).H(p) Point critique: Supposons que pour une pulsation ω, on a: FTBO(j ω)= -1; le dénominateur le la FT en BF est: FTBO(j ω)+1=0; Ce point -1, correspond en BO au gain nul (0dB) et un déphasage de -180°, c’est le point critique (qui correspond à la limite de stabilité). Le critère graphique consiste à étudier la position de la courbe de réponse harmonique en BO par rapport ou point critique (-180°,0dB). Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Critère du revers: • Critère du revers dans le plan de Nyquist: Un système est stable en BF, si en parcourant le lieu de Nyquist en BO dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique -1 à sa gauche Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité • Critère du revers dans le plan de Black : Un système est stable en BF, si en parcourant la courbe de Black en BO dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique -1 à droite Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité • Critère du revers dans le plan de Bode : Soit ω0, la pulsation au gain unité pour laquelle la courbe de gain en BO coupe l’axe 0dB soit ωc, la pulsation critique pour laquelle la courbe de phase en BO passe par (-180˚) Le système est stable en boucle fermée si : ω0 < ωc, c’est-à-dire si la courbe de gain de FTBO passe en dessous du 0dB pour la pulsation critique ωc Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité • Critère du revers dans le plan de Bode : Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Marges de stabilité: Pour que la stabilité d’un système asservi soit assurée en toutes circonstances (dérive des paramètres, perturbations,…), il faut que sa courbe de réponse harmonique en BO passe suffisamment loin du point critique. on définit la marge de gain par: on définit la marge de phase par: Le système est stable en boucle fermée si la marge de phase ou la marge de gain du système en boucle ouverte est positive. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Marges de stabilité: Marges de stabilité dans le plan de Black et dans le diagramme de Bode d’un système stable en BF. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Stabilité Marges de stabilité: Amortissement et marge de phase Pour les systèmes dont le comportement en BF est comparable à celui d’un second ordre oscillant bien amorti, on peut estimer le coefficient d’amortissement du système en BF par: Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Précision la précision d’un système asservi est déterminée par l’écart entre la consigne et l’image de la sortie (mesure) pour une consigne donnée. Pendant le régime transitoire, on parlera de précision dynamique Pendant le régime permanent, on parlera de précision statique. Précision statique La précision statique est donnée par: Expression générale de l’erreur: La FTBO peut se mettre sous la forme: Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Précision Précision statique Un système qui possède au moins un intégrateur (α ≥ 1) en BO a une erreur de position nulle. Un système qui possède au moins deux intégrateurs (α ≥ 2) en BO a une erreur de traînage nulle. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Précision Précision statique due à une perturbation: soit un système linéaire mis sous la forme suivante: l’effet de la perturbation sur la sortie peut être calculé en étudiant le schéma bloc en considérant que l’entrée de consigne nulle E(p) = 0. on a: Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Précision Précision statique due à une perturbation on suppose que: on déduit l’erreur due à une perturbation en échelon P(p)=P0 La dernière colonne du tableau montre que l’erreur statique engendrée par une perturbation assimilable à un échelon est nulle s’il existe au moins une intégration en amont de la perturbation. Automatique : Systèmes linéaires Caractéristiques des systèmes asservis: Précision Précision dynamique (rapidité): La précision dynamique, est évaluée par la rapidité avec laquelle la sortie arrive au régime permanent. On parle d’une bonne précision dynamique, Si c’est rapide et sans ou avec peu d’oscillations. Pour quantifier la précision dynamique, on cherche à évaluer le temps de réponse à 5%. D’une façon générale : l’amélioration de la rapidité (propriété temporelle) d’un système passe par l’élargissement de sa bande passante (propriété fréquentielle). Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Problématique de l’asservissement: Caractéristiques du système à commander: système mal amorti; u système lent; Actionneur système peu précis; système présentant une tendance à la dérive Capteur r (vers l’instabilité); Système s Objectif de l’asservissement: amener le système à suivre un comportement fixé par un cahier de charges comment faire? Utiliser un dispositif supplémentaire: le correcteur en boucle fermée. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Problématique de l’asservissement: Un correcteur est un système qui élabore la commande u(t) d’un système en fonction de l’erreur mesurée entre sortie et consigne Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Problématique de l’asservissement: réponse oscillatoire mal amortie, écart entre la consigne et la sortie en régime établi. réponse oscillatoire bien amortie, écart statique nulle. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Exigences de l’asservissement: Cahier des charges: Les exigences sont exprimées sous formes d’un cahier de charges. La synthèse d’un correcteur doit satisfaire au mieux ces exigences. Eléments du cahier de charges: Stabilité: on analyse la stabilité par les critères de Routh et Revers Marges de stabilité: Si les marges de stabilité sont faibles; alors le système en BF est proche de l’instabilité; réponse oscillatoire mal amortie, fort dépassement. On règle les marges de stabilité aux valeurs satisfaisantes: Forme de la réponse indicielle en BF: Apériodique (FTBF, doit avoir des pôles réels), Oscillatoire (FTBF, doit avoir des pôles complexes conjugués) Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Exigences de l’asservissement: Eléments du cahier de charges: Précision en régime permanent: Pour avoir une bonne précision, deux solutions: Augmenter le gain en basse fréquences du système non bouclé, Introduire des intégrateurs (si nécessaire), Mais, risque de rendre le système instable en BF Rapidité: Pour augmenter la rapidité du système en BF, il faut élargir la bande passante en BF, Augmenter la bande passanten BF, c’est augmenter la pulsation de coupure à 0dB ω0 de la fonction de transfert en boucle ouverte: FTBO(p)=C(p)G(p)H(p) Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs usuels: Il y’a des correcteurs qui modifient le gain du système en BO (précision, rapidité), d’autres qui agissent sur la marge de phase (stabilité, rapidité). Correcteurs qui modifient le gain: Correcteur proportionnel (P), Correcteur proportionnel intégral (PI), Correcteurs qui modifient la marge de phase: Correcteur proportionnel dérivé (PD), Correcteur à avance de phase, Correcteurs qui modifient le gain et la marge de phase: Correcteur proportionnel intégrateur, dérivateur (PID) Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteur proportionnel P: Le correcteur est un gain: La commande est proportionnelle à l’erreur : Une augmentation du gain entraine: amélioration de la précision en BF; augmentation de la bande passante (augmentation de la rapidité) en BF; diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité) en BF. Dilemme stabilité-précision: un gain faible donne un système stable mais peu précis un gain fort donne un système plus précis mais moins stable Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteur proportionnel P: Réalisation électronique: Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteur intégral I: FT du correcteur: La commande : ; ; Ti est la constante de temps d’intégration un correcteur intégrateur permet: d’améliorer la précision; mais: diminution de la bande passante; et réduction de la marge de phase. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteur PI: Correcteur utilisé en industrie: où Ti est la constante de temps d’intégration et Kp est le gain du correcteur. Le signal de commande est fonction de l’erreur et de son intégrale: Un correcteur PI: augmentation importante du gain en basses fréquences (amélioration de la précision), la phase du système corrigé n’est modifiée qu’en basses fréquences, la marge de phase n’est pas modifiée si ωi<< ω0, avec ωi=1/Ti. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Placement Si le système ne possède pas trop de réserve de marge de phase (M ≈ 45°), on place le correcteur PI à une décade en avant de la pulsation de coupure ω0 à 0dB de la FTBO, pour ne pas trop réduire M : ωi ≈ ω0 /10. Si le système possède une marge de phase suffisante (M >45°), on peut placer le correcteur plus près de ω0 (jusqu’à ω0 /4). Exemple: calculer les paramètres d’un correcteur PI, afin de remplir le cahier des charges: erreur statique de position nulle, bande passante à 0dB: ω0 =0,4rad/s, marge de phase M >45°. Lieu de Bode du système: G(p)=1/(1+5p)(1+5p) Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Placement à la pulsation de coupure ω0 désirée, la marge de phase est : M=53°>45°, pour ne pas détruire la marge de phase, on impose: ωi =1/Ti≈ ω0 /10. Ti=25s On trace le diagramme de Bode de: Le gain correspondant à la pulsation ω0 est -14dB, il faut augmenter le gain de +14dB, c’est le rôle du gain Kp du correcteur PI: Lieu de Bode de: C(p)G(p); pour Kp=1 Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Placement Diagramme de Bode complet de la boucle ouverte corrigée: C(p)G(p) On obtient une marge de phase: M=48° en ω0=0,4rad/s, ce qui satisfait deux points du cahier des charges. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Autre méthode de réglage (compensation) On suppose que le système est de -1 classe zéro et possède deux pôles réels associes aux constantes de temps τ1 et τ2, avec τ1>> τ2, On choisit de compenser le pole 20logKp dominant par le zéro du correcteur PI, soit: Ti = τ1, Spécifier les contraintes du cahier des charges en terme de marge de phase désirée M (typiquement 45°), Repérer la pulsation ω0 à laquelle 0 le système a pour phase -180+M, Ajuster le gain Kp pour que le gain en dB de la boucle ouverte soit nul à -90° la pulsation ω0, -180° CGH(dB) CGH(dB), pour Kp=1 GH(dB) ω -2 1/ τ1 ω0 M désirée 1/ τ2 ω Arg[CGH] Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Autre méthode de réglage (compensation) Exemple: G(p)=15/(1+0,01p)*(1+0,1p) avant correction M=59°, Ti = 0.1s, marge de phase désirée M =45°, sans correcteur 20logKp=3,17dB avec correcteur, pour Kp=1 Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PI: Réalisation électronique: Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs proportionnel dérivé (PD): Fonction de Transfert du correcteur: où Td est la constante de temps de dérivation et Kp est le gain du correcteur. La commande est : Effets du correcteur PD: ajoute une phase maximale de 90° en hautes fréquences (amélioration de la stabilité par avance de phase), amplification en hautes fréquences, donc augmentation de la bande passante (amélioration de la rapidité), Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs proportionnel dérivé (PD): Un correcteur PD permet: De stabiliser un système ne possédant pas assez de marge de phase ; D’augmenter le gain en HF (donc la rapidité) sans déstabiliser le système; Mais: ne permet pas d’améliorer la précision, amplifie les bruits de mesure Le correcteur PD n’est pas réalisable physiquement deg[num]>deg[den]. En pratique on coupe la bande passante HF en limitant le gain, c’est le correcteur à avance de phase. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Fonction de Transfert du correcteur: Caractéristiques du correcteur: l’avance de phase maximale: à la pulsation correspondante: à cette pulsation, le gain est: Action proportionnelle Action dérivée Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Algorithme de réglage: Repérer la bande passante désirée ω0 à 0dB du système corrigé; Calculer a pour avoir l’avance de phase désirée: Calculer Td pour que la zone de fréquences concernée par l’avance de phase maximale se situe autour de la pulsation de coupure ω0 à 0dB de la FTBO à corriger, c.à.d: Calculer le gain Kp, en imposant un 0dB pour la BO corrigé en ω0. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Exemple: faire le réglage d’un correcteur à avance de phase, afin de remplir le cahier des charges: erreur statique de position nulle, bande passante à 0dB: ω0 =0,8rad/s, marge de phase M =45°. Fonction de transfert du système à régler le système est caractérisé par: pulsation de coupure à 0dB est =0,37rad/s; marge de phase est=33°; Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Etapes de réglage: Pulsation de coupure désirée: ω0=0,8rad/s ; Marge de phase initiale: Mi=180°+Arg[G(jω0 )]=-7°; Avance de phase nécessaire pour avoir la marge de phase finale (désirée): m= Mf- Mi=45°-(-7°)=52°; Paramètre a du correcteur: a=0,12 Paramètre Td en imposant ω0=ωm (avance de phase maximale): Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Tracé de Bode de: Gain Kp en imposant un gain 0dB en ω0: Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Vérification sur le lieu de Bode de la boucle ouverte corrigée: C(p)G(p); Bande passant de 0,8rand/s; Marge de phase de 45° Réponse indicielle Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs à avance de phase: Réalisation électronique: Réponse indicielle Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs proportionnel intégrateur dérivateur (PID): Le correcteur PID combine les trois actions de base et permet de bénéficier des avantages du correcteur PD et PI. Fonction de Transfert: Signal de commande: Si: Ti>4Td; le correcteur possède deux zéros réels: avec: Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs proportionnel intégrateur dérivateur (PID): Effets du correcteur PID: avance de phase en hautes fréquences, amplification en hautes fréquences, Effet du correcteur PD en hautes fréquences gain infini en bases fréquences, retard de phase en basses fréquences, Effet du correcteur PI en basses fréquences fréquences moyennes: peu d'influence du correcteur PID, Remarque: le correcteur PID théorique est physiquement irréalisable, en plus il a l’inconvénient du correcteur PD qui amplifie les hautes fréquences (sensibilité aux bruits). En pratique, on introduit un filtre passe-bas en hautes fréquences (c.à.d.: on filtre l’action dérivée). C’est le correcteur PID réel. Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PID réel : Correcteur PID réel: a=1/N Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PID réel : Placement-dimensionnement: Une méthode de placement simple consiste à dimensionner d’abord la cellule P.I. puis la cellule P.D. On fixe la pulsation wi dans le domaine des basses fréquences par rapport à wd (wi<<wd). On évalue le comportement du système en boucle ouverte avec la cellule P.I. puis on dimensionne la cellule P.D. adéquate. 1. Fixer wm = w0 et wi = wm /10 Ti 2. Evaluer la phase et le module du système en boucle ouverte avec la cellule P.I. 3. Calculer l’avance de phase m à apporter pour respecter la marge de phase du cahier des charges. + 20 dB/dec - 20 dB/dec |K|dB w +90° wi -90° wd wm N.wd w Automatique : Systèmes linéaires Correction des systèmes asservis: Correcteurs PID réel : Placement-dimensionnement: 4. Calculer a: N=1/a 4. Td Calculer Kp pour avoir le gain de la boucle ouverte corrigée à w0 égale à 0dB. Réalisation:
