Département de Physique Filière Science de la Matière Physique SMP Module ; Projet de fin d’étude de la licence SMP Polarisation de la lumière Détermination de la biréfringence et du dichroïsme linéaire par une méthode polarimétrique Année universitaire 2009/2010 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Mémoire n’aurait certainement vu le jour sans l’aide précieux de l’encadrement de Monsieur H.SAHSAH, professeur à l’Université Ibn Zohr .nous exprimons notre profonde gratitude pour son aide, son soutien et ses explications tout au long de ce travail. Nous remercions également tous les membres du jury pour leurs pertinentes remarques inhérentes à une compréhension plus élaborée du sujet de notre travail. Nous ne pouvons pas oublier l’aide et les encouragements de nos familles. Nous tenons à leurs exprimer ici notre profonde reconnaissance. En fin, nous remercions également toute personne qui nous a aidé de loin ou de près par la création des conditions favorables pour effectuer ce travail. Année universitaire 2009/2010 Page 2 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes A cœur ouvert nous dédions ce projet : A mes parents, symbole d’affection et du soutien éternel. A mes frères et sœurs qui nous ont soutenus durant toutes ces périodes de formation. A tous mes professeurs, ainsi que notre encadrant A mes amis (e) En témoignage de leur soutien et de leurs encouragements Année universitaire 2009/2010 Page 3 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Sommaire I. II. III. IV. V. VI. Remerciements…………………………………………………………………………………2 Dédicace………………………………………………………………………………………. 3 Sommaire…………………………………………………………………………………...... 4 Introduction………………………………………………………………………...…………5 Polarisation de la lumière…………………………………………………………………..…7 A. Définition de la polarisation……………………………………………………....…7 B. Différents états de polarisation d’une OPPM…………………………………....…8 a) Equation polarisation…………………………………………………......…8 b) Polarisation elliptique ……………………………………………….......…11 c) Polarisation linéaire (rectiligne) ………………......…………………...…12 d) Polarisation circulaire……………………………………………….......…13 C. Lumière naturelle………………………………………………..........................…14 Représentation des différents états de polarisation par le formalisme de JONE …………..14 A. Formalisme de Jones…………………………………………………………………...15 B. Vecteur de Jones des différents états de polarisation……………………...………….15 C. Matrice de Jones des composants optique …………………………………………....16 D. Calcule de Jones ……………………………………………………………………....18 Définition de la biréfringence et du dichroïsme linéaire……………………………….....…20 A. Définition de la biréfringence………………………………………………………....20 B. Définition du dichroïsme linéaire……………………………...………………………22 Méthode de mesure…………………………………………………...………………………23 a) Description du dispositif de mesure………………………………………………23 b) Modulateur a effet Faraday………………………………………………………24 c) Calcule de l’intensité………………………………………………………………25 d) Masure de l’angle γ…………………………….…………………………………28 e) Mesure des angles ψ et Δ…………………………………………………………28 Conclusion…………………………………………………………...………………………30 Référence…………………………………………………………………………………….31 Année universitaire 2009/2010 Page 4 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Introduction La polarisation est l’une des propriétés fondamentales de la lumière, les autres étant la longueur d’onde, l’intensité et la cohérence. , nous nous intéressons à la polarisation des ondes lumineuses et plus particulièrement à la représentation des états de polarisation de la lumière. La lumière polarisée est utilisée dans tous les montages optiques destinés à la mesure des propriétés optiques linéaires et non linéaires des cristaux. Lorsqu’un faisceau de lumière polarisée se propage à travers une suite d’éléments optiques, tels que polariseur, lame biréfringente ou lame douée de pouvoir rotatoire, chacun de ces éléments modifie l’état de polarisation du faisceau qui le traverse de façon particulière. La lumière transmise par le montage optique possède une polarisation et une intensité différentes de celles du faisceau polarisé incident. Pour être en mesure de calculer ces deux caractéristiques fondamentales du faisceau lumineux transmis, il est nécessaire de disposer d’un outil mathématique. C’est-à-dire, d’une représentation générale des états de polarisation de la lumière, qui permette de décrire le plus facilement possible, l’état de polarisation de la lumière transmise par le montage optique étudié, connaissant l’état de polarisation de la lumière incidente et l’action de chacun des éléments optiques constituant le montage que la lumière traverse. De tels outils permettant de représenter les états de polarisation de la lumière, et de calculer l’intensité de la lumière transmise par un montage optique, ont été développés depuis le milieu du dix-neuvième siècle. La première représentation des états de polarisation de la lumière par quatre paramètres réels, a été introduite par G.G. Stokes en 1852. Une représentation géométrique des états de polarisation par un point d’une sphère, a été introduite en 1892 par H. Poincaré. Plus récemment, au cours des années 1940, deux méthodes de calcul matriciel ont été introduites : les matrices de Muller et le calcul matriciel de Jones. Ces outils mathématiques sont parfaitement adaptés à la détermination des états de polarisation de la lumière transmise par les montages optiques, ainsi qu’au calcul de l’intensité de la lumière qu’ils transmettent. Année universitaire 2009/2010 Page 5 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Nous présentons dans se rapport les méthodes de calcul matriciel de Jones, Dans ce calcul matriciel, l’état de polarisation d’un faisceau lumineux, son amplitude et sa phase, sont représentés par une matrice colonne, appelée vecteur de Jones, et chaque élément optique par une matrice 2x2, appelée matrice de Jones. Ces matrices sont constituées de quantités complexes. Nous établirons les matrices de Jones pour le polariseur linéaire, la lame biréfringente et la lame douée de pouvoir rotatoire. L’état de polarisation de la lumière transmise par un élément optique, est décrit par le vecteur de Jones obtenu par le produit matriciel du vecteur de Jones de la lumière incidente, par la matrice de Jones de l’élément optique qu’elle traverse. Enfin, nous développons une méthode polarimétrique qui permet de déterminer la biréfringence et le dichroïsme d’une lame anisotrope. Année universitaire 2009/2010 Page 6 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes I. Polarisation de la lumière A. Définition de la polarisation La polarisation est une propriété fondamentale de la lumière au même titre que l'intensité, la phase, la cohérence ou la longueur d'onde. Comme toute onde électromagnétique, la lumière admet une représentation vectorielle. Cette représentation porte sans équivoque l'empreinte des processus d'interaction ondematière, interaction qui, en fonction des caractéristiques physiques et géométriques de la cible, peut produire un changement de l'état de polarisation de l'onde incidente : une onde électromagnétique se propage dans l'espace-temps ; dans ce parcours, elle peut rencontrer une cible particulière, interagir avec cette cible. Suite à cette interaction, une partie de l'énergie portée par l'onde incidente est absorbée, le reste est diffuse comme étant une nouvelle onde électromagnétique. Les propriétés de cette onde diffusée peuvent être différentes de celles de l'onde incidente : son état de polarisation peut avoir été modifié et la caractérisation du changement de ces états de polarisation est à la base de la polarimétrie. L'intérêt d'une représentation vectorielle de la polarisation est que les éléments optiques polarisants peuvent être représentes par des matrices : de Mueller, qui agissent sur les paramètresvecteurs de Stokes, ou de Jones, qui agissent sur les vecteurs de Jones. Un choix parmi les outils mathématiques peut être établi pour décrire la polarisation : formalisme de Jones, matrice de cohérence/covariance ou formalisme de Stokes-Mueller. Ces outils possèdent tous des avantages et des inconvénients. Le formalisme de Jones donne accès à l'information sur la phase de l'onde et peut être utilisé dans les études traitant de la combinaison d'ondes cohérentes comme dans les systèmes interférentiels. Année universitaire 2009/2010 Page 7 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Différents états de polarisation d’une onde plane progressive B. monochromatique (OPPM) La polarisation d’une onde électromagnétique est toujours définie par les propriétés ou évolutions, du vecteur champ électrique E de l’onde dans un plan d’onde donné. Considérons une onde électromagnétique plan progressive monochromatique (O.E.M.P.P.M) de pulsation ω se propageant dans un milieu transparent, linéaire, homogène et isotrope d’indice n suivant l’axe Oz dans la direction des z croissants, de vecteur d’onde , On s’intéresse à l’évolution du champ électrique E(z,t) dans le plan d’onde (x,y) au cours du temps. Par définition, le champ électrique est de la forme : ω ω E0x et E0y sont des constantes positives. On appelle état de polarisation de l’onde toute relation entre les composantes Ex(z, t) et Ey(z,t). On a choisi l’origine des temps de manière à prendre nulle une des phases à l’origine, est le retard de phase de Ey par rapport à Ex. Si ] – π, 0[, Ey est en retard sur Ex et si - Si ]0, π [,, Ey est en avance sur Ex. varie de façon aléatoire dans le temps, les deux composantes Ex et Ey sont indépendantes et la lumière est dite non polarisée. - Si garde une valeur constante dans le temps, il existe une relation particulière entre E x et Ey on dit que l’onde est polarisée. a) Equation de la polarisation Le lieu géométrique décrit par E(z, t) peut être décrit par une équation. Pour décrire ce champ, il est commode de se placer dans le plan d’onde (x,y) et de décrire l’évolution du vecteur E(z,t) dans ce plan. ω Année universitaire 2009/2010 et ω Page 8 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes En point donné de ce plan, l’extrémité du vecteur E(z,t) décrit une courbe comprise dans un rectangle de côtés 2E0x et 2E0y , courbe que nous allons maintenant préciser. Dans le cas général où 2 – 1 n’est pas un multiple de π. Avec une nouvelle origine des temps, nous pouvons écrire : ω et ω avec ( = 2 – 1) Soit en développant : ω ω Ou encore : ω ω En faisant la somme des carrés de l’équation précédente, Ce qui en simplifiant, permet d’éliminer le temps et conduit à l’équation de l’ellipse que décrit l’extrémité du vecteur E dans le plan (xoy) : L’état de polarisation le plus général d’une onde plane monochromatique dans un milieu homogène est donc un état elliptique. Année universitaire 2009/2010 Page 9 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Figure1 : Ellipse de polarisation définie par une orientation γ une ellipticité ε et une amplitude A Cette figure fait apparaitre les différents paramètres caractéristique un état de polarisation. et ε sont appelée respectivement « angle d’orientation » et « ellipticité » ; Les angles de l’ellipse, (a et b étant les demi axes de l’ellipse). Par convention on peut traiter les cas suivant : si 0< <π, (ε >0) le sens de parcours de l’ellipse est gauche et si π< <0 (ε<0) le sens de parcours de l’ellipse est droite .le sens de parcours de l’ellipse est définie pour un observateur recevant la lumière .il est gauche dans le sens trigonométrique et droit dans le sens horaire (trièdre oxyz direct). Si =0 (b/a=0, c’est-à-dire ε=0), l’ellipse se réduit a un segment de droite , on parle alors de polarisation rectiligne .si =π/2 (b/a=1,c'est-à-dire ε=π/4) et si les amplitude Ax et Ay sont égale , on obtient un cercle et l’état de polarisation est dit circulaire (gauche pour ε=π/4 et droite pour ε=-π/4). Les axes principaux de l'ellipse forment un système d'axes tourné d'un angle ψ par rapport au système xy : γ γ γ γ γ γ γ γ On introduit cette transformation dans (1) ; la nouvelle équation se diagonalise quand le terme avec EaEb en facteur s'annule, c.-à-d. γ γ γ γ γ γ Cette équation permet de déterminer l’angle γ : γ Année universitaire 2009/2010 Page 10 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes b) Polarisation elliptique C’est une équation qui représente une ellipse dans le cas où = 2 – 1 n’est pas un multiple de π. L’extrémité de E décrit donc une ellipse dans le plan x = 0. On dit que l’onde présente une polarisation elliptique. Suivant la valeur de , cette ellipse est décrite dans un sens ou dans l’autre. Plaçons-nous dans le plan x=0 et reprenons l’expression du champ et observons l’évolution de la position du champ électrique lorsque l’onde vient vers nous : Pour 0< <π, la polarisation est elliptique gauche (figure 1). En effet : à t=0 Figure 1 Pour Figure 2 =π/2, la polarisation est elliptique gauche et les axes Oy et Oz sont les axes de l’ellipse. En effet : Année universitaire 2009/2010 à t=0 Page 11 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Pour π< <2π la polarisation est elliptique gauche. En effet : à t=0 Figure 1 Figure 2 c) Polarisation linéaire (rectiligne) Si ϕ =ϕ2 –ϕ1=0 alors E y/Ez =E0y /E0z, autrement dit, le champ E garde une direction fixe ; on dit que l’onde électromagnétique présente une polarisation rectiligne, la direction de polarisation étant celle du vecteur E (figure1). Si ϕ =ϕ2 –ϕ1 =π alors Ey/Ez =−E0y /E0z, ici encore le champ E garde une direction fixe et l’onde est polarisée rectilignement (figure2). Figure 1 Figure 2 Au cours du temps l’extrémité du vecteur champ électrique E décrit un segment de droite de direction fixe dans le plan d’onde ; Les composantes Ex et Ey sont proportionnelles. Une onde plane de polarisation rectiligne peut être décrite comme la superposition de deux vibrations : De polarisation rectiligne suivant deux directions perpendiculaires; En phase ou en opposition de phase. Année universitaire 2009/2010 Page 12 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes d) Polarisation circulaire Une onde plane monochromatique est polarisée circulairement si l’extrémité du vecteur champ électrique E décrit dans le plan d’onde un cercle de rayon E0. Suivant le sens de parcours du cercle, en regardant le vecteur de propagation, ici uz, la vibration est dite gauche (sens trigonométrique) ou droite (sens horaire). Φ=π/2 Pour une onde polarisée circulaire, Φ= -π/2 =±π/2 : Si =π/2, la polarisation est circulaire droite : Si =-π/2, la polarisation est circulaire gauche Année universitaire 2009/2010 Page 13 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes e) Lumière naturelle Ce que nous venons de dire sur la polarisation d’une onde électromagnétique s’applique en particulier à un faisceau parallèle. La notion de lumière totalement polarisée s’oppose à la notion de la lumière naturelle ou lumière naturelle non polarisée. La lumière totalement polarisée correspond à l’un des états de polarisation décrits précédemment, c'est-à-dire à l’un des états de polarisation possibles pour une onde plane monochromatique. La lumière naturelle peut être décrite comme résultat de la superposition de deux ondes polarisées rectilignement dans les deux directions perpendiculaires entre elles, ces deux ondes ayant même amplitude, mais n’ayant entre elles aucune relation de phase fixe : varie aléatoirement au cours du temps. II. Représentation des différents états de polarisation par le formalisme de JONES A. Formalisme de Jones Dans cette représentation proposée par le physicien R. Jones en 1941, on caractérise l’onde polarisée par une matrice colonne dont les lignes sont proportionnelles des deux champs perpendiculaires Ey et Ez. Le formalisme de vecteurs de Jones est un autre moyen de la description de l'état de polarisation des ondes planes polarisées. Une onde plane est dans cette représentation exprimée en termes des amplitudes complexes qui définissent le vecteur de Jones : Il s'agit d'un vecteur complexe dans un espace abstrait qui n'est pas directement relié à notre espace réel. Pour obtenir par exemple la composante x du champ électrique il est nécessaire d'effectuer l'opération : Année universitaire 2009/2010 Page 14 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Si on ne s'intéresse qu'à l'état de polarisation de l'onde il convient d'utiliser les vecteurs de Jones normalisés à l'unité: Notez que la multiplication par l'unité complexe d'un vecteur de Jones change la phase initiale de l'onde électromagnétique mais ne change par l'état de polarisation: le vecteur J décrit le même état que le vecteur. B. Vecteur de Jones des différents états de polarisation La polarisation linéaire suivant x ou y est exprimée par La polarisation linéaire suivant une direction générale formant l'angle θ avec l'axe x s'écrit: Les polarisations circulaires sont données par: Enfin, la polarisation elliptique exprimée dans le système d'axes propres de l'ellipse s'écrit : Où le signe de χdétermine le sens de la rotation ("+" pour la rotation gauche, "" pour la Année universitaire 2009/2010 Page 15 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes rotation droite). La polarisation elliptique exprimée dans le système d'axes général et Caractérisée par les paramètres θ et χest ensuite donnée par: C. Matrice de Jones des composants optique Les éléments optiques sont caractérisés par des matrices 2×2 et le passage de la lumière par un tel élément est pris en compte par une multiplication du vecteur de Jones de l'état de polarisation initial par la matrice de l'élément optique : (G-1) A titre indicatif nous donnerons ici les matrices de quelques éléments optiques de base, le principe et la réalisation de ces éléments seront traités en détail plus tard. Polariseur (polarisant suivant x ou y): Remarque : la matrice de transfert d’un composant rotateur d’angle θ sera définie par la matrice de transfert : On notera que lors d’une rotation des axes de coordonnées d’angle θ, la matrice de Jones se transforme suivant la loi habituelle de transformation des matrices : Polariseur général (direction de polarisation forme un angle θ avec l'axe x): θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Lame retardatrice de phase (permet d'introduire un déphasage φ entre les composantes x et y); Compensateur = lame retardatrice de phase ajustable (φ est variable): Année universitaire 2009/2010 Page 16 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Lame demi-onde (lame retardatrice de phase avec φ π): Considérons son influence à l'état de polarisation d'un faisceau polarisé rectilignement à 45° par rapport à l'axe x. A la sortie on obtient une polarisation rectiligne orthogonale (tourné de 90°) : Lame quart-d'onde (lame retardatrice de phase avec φ π/2): Permet de préparer la polarisation circulaire à partir de la polarisation linéaire à 45°: Loi de malus Si on voie un faisceau présentant une polarisation rectiligne sur un analyseur le faisceau émerge aura une intensité donné par la loi de malus. On peut facilement le démontrer avec les matrices de Jones. Soit en effet privilégié orienté suivant l’axe le faisceau incident et J1 la matrice de Jones de l’analyseur d’axe .le faisceau émergent sera alors : L’intensité lumineuse est le carré du module du vecteur lumineux émergent L’intensité émergente sera donc pour une intensité incidente égale à l’unité. En générale pour une intensité incidente Année universitaire 2009/2010 Page 17 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes E. Calcule de Jones Le formalisme de Jones permet d’étudier facilement la propagation d’ondes totalement polarisées à travers un dispositif constitue de plusieurs composent optique. En effet, dans tout problème de calcul d’un dispositif optique, nous avons recours à la plusieurs composants optique mis les uns à la suit des autres dans la direction de propagation oz (figure 1). A ces n composants sont associées les matrices de transferts M1, M2, …..Mn (l’onde optique se propageant dans le sens croissant des indices). L’état de polarisation à chaque étape du dispositif est caractérise par un vecteur de Jones E1, E2, ….En. Figure 1 : dispositif optique pour un calcule de Jones. On peut déduire l’évolution du vecteur de Jones représentant l’état de polarisation d’onde En en En+1, ayant traversé un composant de matrice de transfert Mn+1, grâce à la relation (G-1). Ainsi, connaissant les matrices de transfert des éléments optique de dispositif, on peut déterminer directement l’état de polarisation de l’onde en sortie du dispositif par la relation suivant : Le calcul doit tenir compte, bien évidemment, des angles que font, entre eux, les axes principaux des différents composants. Les matrices de rotations correspondantes ne sont pas représentées ici. La formalisme de Jones, permet ainsi d’avoir une approche simple, mais complète de l’étude de la propagation d’ondes lumineuse totalement polarisées à travers un ensemble complexe d’élément optiques. Année universitaire 2009/2010 Page 18 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Conclusion : d’une façon générale pour déterminer la nature d’une lumière quelconque on peut suivre les étapes suivant : Année universitaire 2009/2010 Page 19 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes III. Définition de la biréfringence et du dichroïsme linéaire A- Définition de la biréfringence Beaucoup de cristaux transparents et anisotropes tels que la calcite (CaCO3) ou le quartz (SiO2) divisent un faisceau incident en deux faisceaux séparés de polarisations rectilignes orthogonales, le faisceau ordinaire (O) et le faisceau extraordinaire (E). On dit qu’ils sont biréfringents (doublement réfringents). Ce phénomène a été découvert par le Danois E. Bartolin vers 1665 sur du spath d’Islande qui est du carbonate de calcium cristallisé. On attribue ces propriétés d’anisotropie à la structure dissymétrique de l’édifice cristallin : le cristal de calcite est un rhomboèdre, i.e. un cube étiré le long de sa diagonale. Ces matériaux sont utilisés pour la réalisation de polariseurs biréfringents rectilignes. La biréfringence (noté ∆n) est une propriété de certains cristaux transparents anisotropes qui ont la propriété de décomposer la lumière en deux rayons de polarisation croisée. Ces cristaux anisotropes , dans un premier temps, dédoublent le faisceau incident en deux faisceaux parallèles, d’intensités égales, de polarisations rectilignes orthogonales puis, dans un deuxième temps, par réflexion interne un des deux faisceaux est éliminé (réflexion totale) alors que le second faisceau est transmis, en peut dire que le faisceau ordinaire suit les lois de Descartes mais pas le faisceau extraordinaire Cette double réfraction est due au fait qu'il existe dans le cristal une direction particulière (axe de biréfringence) où l'indice perpendiculaires dit indice ordinaire est différent de l'indice dans les directions dit indice extraordinaire. Année universitaire 2009/2010 Page 20 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Le rayon extraordinaire est polarisé dans le plan contenant l'axe de biréfringence et le rayon ordinaire perpendiculairement à l'axe. est supérieur à zéro, le matériau est dit positif est inférieur à zéro, le matériau est dit négatif A chacune des valeurs de l’indice de réfraction est attachée une onde plane caractérisée par une vitesse de phase vφ, reliée à l’indice de réfraction par la relation : On constate que deux ondes polarisé selon ox et oy, orthogonales a la direction de propagation, se propagation donc a des vitesses différents Vφ.x et Vφ.y. Les deux ondes qui était en phase à l’entrer de ce matériaux, se retrouveront déphasées a la sortie On peut exprimer la différent de phase entre les deux ondes a la sortie du matériau, en fonction de l’épaisseur e, de la longueur d’onde λ et des indice no et ne du matériau considéré : La biréfringence Année universitaire 2009/2010 est donc égale a : Page 21 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes B- Définition du dichroïsme linéaire Le dichroïsme est l’absorption sélective par certains matériaux d’une direction de polarisation de l’onde lumineuse qui le traverse. Le plus simple des systèmes dichroïques est constitué d’une grille métallique dont la période est de l’ordre de la longueur d’onde. La composante du champ électrique transmise est perpendiculaire la direction de la grille : suivant la direction parallèle les électrons de la grille sont mis en mouvement et l’énergie qu’ils reçoivent de l’onde est dissipée par effet Joule. Par conséquent, la lumière transmise est fortement polarisée dans la direction perpendiculaire aux fils. Ce dichroïsme se traduit par une différence d’absorption des ondes polarisé rectilignement selon ox et oy. Soit une onde E, de pulsation ω, se propageant selon oz .Ecrivons les équations représentatives de cette onde après la traversée d’un matériau d’épaisseur e, selon les axes ox et oy, respectivement : Avec ne et n0, les indices de réfraction ; ke et k0 les indices d’extinction. Définissons les deux coefficients de transmissions complexes, tx et ty, d’une lame d’épaisseur e, pour des vibrations parallèles à ox et oy, respectivement. On peut écrire : En effectuant le rapport des deux équations ci-dessus, on obtient : Année universitaire 2009/2010 Page 22 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes L’équation ci-dessus peut être écrite sous la forme : On obtient par identification : Et IV. Méthode de mesure A) Description du dispositif de mesure L’expérimental est illustré sur la figure [VI-A.1]. Il est composé d'une source lumineuse qui peut être un laser He-Ne ou une diode laser, d'un polariseur et d'un analyseur montés sur des supports tournants actionnés par de moteurs pas-à-pas, d'un modulateur à effet Faraday et d'un détecteur relié à un filtre par détection synchrone. La méthode de mesure que nous décrivons dans ce chapitre est une méthode entièrement polarimétrique PLMA (polariseur-lame-modulateur-analyseur). Elle n’utilise ni lame quart d’onde, ni autre compensateur optique. On sait que ces composants peuvent introduire des erreurs dans tout montage polarimétrique : d’une part les produits standards sont souvent calibrés avec une faible précision (par exemple la tolérance sur les lames quartes d’onde peut varier, selon les constructeurs, de λ/100 à λ/300), d’autre part, le phénomène de réflexions multiples dans une lame anisotrope peut altérer les mesures et cela d’autant plus que la lumière est cohérente (raie laser). De plus, ces composants ne sont pas achromatiques, d’où une complication pour un appareil devant travailler à différents longueurs d’onde (étude spectroscopique). Année universitaire 2009/2010 Page 23 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Figure [VI-A.1] _Dispositif expérimental utilisant le modulateur à effet Faraday. B) Modulateur a effet Faraday l'effet Faraday décrit l'interaction entre la lumière et un champ magnétique dans un matériau : la polarisation de la lumière effectue une rotation proportionnelle à la composante du champ magnétique sur la direction de propagation de la lumière. L'effet Faraday est un effet magnéto-optique découvert par Michael Faraday en 1845. Il apparaît dans la plupart des matériaux diélectriques transparents lorsqu'ils sont soumis à des champs magnétiques. Ce fut la première mise en évidence du lien entre magnétisme et lumière : le fait que la lumière contienne un champ magnétique fait maintenant partie de la théorie du rayonnement électromagnétique, développé par James Clark Maxwell dans les années 1860 et 1870. La rotation Faraday θF est décrite par la rotation du plan de polarisation de la lumière initialement rectiligne lors de sa propagation dans un milieu soumis à un champ magnétique parallèle à la direction de propagation de la lumière ( parallèle à ) où est le vecteur d'onde de norme L'origine physique de la rotation Faraday vient de l'interaction entre un électron en mouvement sur son orbite au sein d'un atome d'un matériau magnéto-optique quelconque soumis à un champ magnétique statique z et une onde électromagnétique (la lumière) qui s'y propage ( ). La rotation Faraday est ainsi proportionnelle à H et à la longueur du matériau traversé de sorte que l'on a : Année universitaire 2009/2010 Page 24 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Avec V est la constante de verdet spécifique exprimé en ° /cm.A.m−1. Si , la rotation Faraday l’est aussi (quand le est sinusoïdal, champ est faible est linéaire) : , avec : Remarque : Le modulateur utilisé est constitué spectral d’un matériau transparent qui ne representer pas d’anisotropie résiduelle, et une constante de Verdet assez élevée. Le matériau est entouré par une bobine branchée en série avec une capacité pour créer un circuit résonnant dont la fréquence de résonance est d'environ 650 Hz. C) Calcule de l’intensité Considérons le montage optique représenté pas la figure (VI-A.2). Soit une onde plane monochromatique émise par la source laser. On peut représenter le champ électrique de cette onde par le vecteur de Jones E0 : Après avoir traversé le polariseur, le champ électrique devient : Avec P étant la matrice de transfert du polariseur dont la direction de polarisation est prise comme azimut 0. Par rapport aux lignes neutres de la lame de phase ox et oy (ox pris comme référence), l’azimute du polariseur fait un angle θ avec ox. Le champ électrique devient donc, rapporté aux axe ox et oy : Avec : R étant la matrice de rotation d’angle –θ. Après transmission par la lame, le champ électrique s’écrit (sur les axes ox et oy) : Avec Année universitaire 2009/2010 Page 25 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Figure (VI-A.2) _Montage optique pour la détermination de l’inclinaison γ. F est la matrice de transfert de la lame de phase, tx et ty étant les coefficients de transmission complexes parallèles, respectivement, à ox et oy. Elle est caractérisée par les angles ellipsométriques ψ et Δ, tels que : Donc l’onde transmise par la lame de phase est elliptique, et son inclinaison γ par rapport à ox est donnée par la relation : Si l’on appelle a et b les demi axes de l’ellipse électrique représentant cette vibration peut aussi s’écrire (par rapport aux axes de l’ellipse oX et oY) : La direction de polarisation de l’analyseur fait un angle avec l’axe propre, oX, de l’ellipse. Le champ électrique représentant la vibration reçue par le détecteur est donné par : Avec R(x) est la matrice de rotation d’angle x = β – γ. R(α) est la matrice de la rotation Faraday . est la matrice de transfert de l’analyseur. Année universitaire 2009/2010 Page 26 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes On s’intéresse a étudier le champ D’où l’expression de l’intensité : On a : La rotation Faraday est . En introduisant les fonctions de Bessel du premier ordre on obtient la décomposition spectrale de I sous la forme : D’une façon générale, on peut écrire : Avec : If étant l’amplitude de la composante fondamentale de fréquence égale à la fréquence modulante (du modulateur de faraday). Remarque : La détection synchrone référencée à la fréquence du modulateur photo-élastique ff =50 KHz permet l'acquisition de intensité If. Année universitaire 2009/2010 Page 27 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes D) Masure de l’angle γ Le principe de la mesure consiste à extraire la composante fondamentale du signal électrique composite fourni par la photodiode, c’est à dire le signal de même fréquence que celle du modulateur de polarisation , et à rechercher son annulation par rotation de l’analyseur. Lorsque cette annulation est obtenue, c'est-à-dire pour x = β – γ = 0 ou π/2, la direction de polarisation de l’analyseur sera confondue avec un des axes de l’ellipse représentant la vibration transmise. L’azimut de polarisation de l’analyseur nous donne l’angle d’inclinaison de l’ellipse γ, ou l’angle γ + π/2. E) Mesure des angles ψ et Δ Pour déterminer ces paramètres il suffit, de connaitre les coordonnées de deux pions (θ1, γ1) et (θ2, γ2) de la courbe (figure VI-e). Tout d’abord, il est nécessaire après avoir croisé le polariseur et l’analyseur, de faire coïncider leurs azimuts respectifs avec les lignes neutres de la lame par rotation de cette dernière jusqu'à ce que If = 0. On détermine ainsi la direction des lignes neutres. Puis on fixe successivement l’azimut de l’analyseur aux valeurs complémentaires β1 = γ1 et β2 =π/2 – β1 = γ2 (avec 20° < β1 < 40°, en pratique) et, pour chaque de ces valeurs, on fait varier θ jusqu’à l’annulation de If. On obtient ainsi θ1 et θ2 (figure VI- e ). Figure VI- e : γ = f(θ) pour Δ = 60° et ψ = 30°. Année universitaire 2009/2010 Page 28 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes Des points de mesure (β1=γ1, θ1) et (β2=γ2,θ2), et a l’aide de l’équation , on tire : Alors, On sait que : Avec e l’épaisseur de la lame, λ la longueur d’onde La valeur de la biréfringence est: D’autre part : La valeur du dichroïsme est : D’où : Année universitaire 2009/2010 Page 29 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes V. CONCLUSION : La polarisation d’une onde électromagnétique est toujours définie par les propriétés ou évolutions, du vecteur champ électrique E de l’onde dans un plan d’onde donné. Dans le cas général, le champ électrique E d’une O.E.M.P.P.H (onde électromagnétique plane progressive monochromatique), décrit en un point donné dans le plan d’onde au cours du temps une ellipse avec une période égale à celle de l’onde ; l’onde est dite polarisée elliptiquement. Dans un autre cas si l’onde dont le champ électrique E garde une orientation constante de vecteur unitaire u dite polarisée rectilignement suivant u. L’extrémité du vecteur champ électrique E décrit dans le plan d’onde un cercle de rayon E0, l’onde est dite polarisée circulairement Suivant le sens de parcours du cercle, en regardant le vecteur de propagation, la vibration est dite gauche (sens trigonométrique) ou droite (sens horaire). L'objectif global de cette étude consiste à montrer que Le formalisme développé par Jones qui est un cas particulier de notre description du comportement des systèmes optiques par des matrices de réponse impulsionnelle, permet de dissocier l’information vectorielle de polarisation et de décrire de façon satisfaisant tous réseaux optique. En fin, La mesure de biréfringence et de dichroïsme de ces cristaux transparents et anisotropes accidentelle par des méthodes polarimétrique, nous a conduits à résoudre le problème plus général de la détermination complète des termes des matrices de Jones qui décrivent le comportement de ces éléments optique. Ce projet nous permettons de compléter notre connaissance et enrichir notre information dans le domaine optique Année universitaire 2009/2010 Page 30 Polarisation de la lumière et Méthode de mesure de la biréfringence et du dichroïsme linéaire dans les milieux anisotropes VI. REFERENCES ; Polarisation, S. Huard Optique, Pérez et Optics, Hecht Optical waves in crystals (Yariv), Principles of Optics(Born&Wolf) http://www.cpge-brizeux.fr/pc/physique/carnet0910/ http://hal-sfo.ccsd.cnrs.fr/sfo-00292572/en/ http://www.optics.org/ www.charis-ancha.blogspot.com http://www.e-scio.net/ondes/ Année universitaire 2009/2010 Page 31