I) La flexion

LES MEANDRES DU MIEL
Lorsqu'on fait couler du miel sur une surface plane on observe que celui-ci forme des méandres. Ce
type d'écoulement est inhabituel et résulte de l'instabilité de flambage hélicoïdal. Le miel étant très
visqueux, son écoulement se différencie des fluides en général. On cherche à étudier les conditions
d'équilibre de la structure de l'écoulement afin qu'elle puisse supporter les forces auxquelles elle est
soumise. On souhaite également déterminer les causes expliquant la formation des méandres du
miel ainsi que les paramètres qui la régisse.
Dans un premier temps on s'intéressera au phénomène de flexion qui permet de courber la colonne
d'écoulement en assimilant l'écoulement à une corde. Puis nous étudierons les régimes de forces qui
régissent cet écoulement et aboutissent à la formation des méandres. Enfin nous présenterons les
expériences qui nous permettent de mettre en évidence ce phénomène et en particulier de
déterminer les paramètres influant sur l'écoulement.
I) La flexion
Dans cette partie nous assimilerons l'écoulement de miel à un matériau homogène(même
constitution physique et chimique en tout point) et isotrope (même propriétés mécaniques en
tout point et dans toutes les directions): une poutre.
Une poutre est un solide engendré par la translation d'une surface plane, dont le centre de gravité
décrit une ligne à grand rayon de courbure.
On soumettra celle-ci à une compression qui provoquera une flexion.
On isole la poutre et on applique le principe fondamental de la statique (PFS) sur ce système pour
trouver la réaction de l'encastrement
PFS: tout corps au repos est soit soumis à aucune force, soit la résultante et le moment résultant des
forces extérieures qui lui sont appliquées sont égaux à zéros.
a) On isole la poutre et on applique le PFS au système étudié pour trouver l réaction au niveau de
l'encastrement (point A)
∑ F = N  F =0
On en déduit: N=F
On cherche à exprimer maintenant le moment en A:
M A=
CA
AB∧ 
F =
0

 =
CA
AB '
B' B∧ F
0

 =
AB ' ∧ F
0

 =
CA
B' B∧ F
0
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C A ez 
eF
e =
0
2 z
−eF
2
b) Maintenant on coupe la poutre et on isole la partie en bas, pour déduire l'expression des
composantes du torseur de cohésion.
=> C A=
 =M A
M fz = M A
AM ∧ N
−eF
=> M fz =
2
c) On calcule maintenant la flèche
EI f ' '  y=M fz
=> f ' '  y =
=> f '  y =
=>
f  y =
M fz −eF
=
IE
2IE
−eF
ya
2IE
−eF
y²ayb
4IE
Les déplacements de la structure engendrés, engendrés par les forces qui lui sont appliquées,
sont petits devant les dimensions de la structure. Ceci permet de calculer les forces dans les
conditions initiales (en supposant les solides rigides)
f(0)=0
=> b=0
f(h)=0
=>
d' où a=
−eF
h²ah=0
4IE
(a et b sont des constantes de ℜ )
−eF
h
4IE
On en déduit la formule de la flèche:
f  y =
eF
y  y−h
4IE
La déformation est maximale en
f  h /2  =
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−eFh²
16IE
y=
h
2
II) Les forces
L'instabilité à l'origine du phénomène des méandres du miel découle
de la compétition entre les forces gravitationnelle, inertielle, et de
viscosité.
On considère une colonnes de fluide tombant sur une surface plane.
La force gravitationnelle est l'effet de la gravité sur les masses. La
force de viscosité est due aux frottements qui s'opposent au glissement
des couches fluides les unes sur les autres. La force inertielle est une
force apparente agissant sur les masses, due à l'accélération du fluide à
la sortie du contenant.
On distingue trois modes:
le régime visqueux: les forces gravitationnelle et d'inertie peuvent être négligées car la hauteur et
l'accélération sont faibles.
La condition pour se placer en régime visqueux est:
H
g 13
 0.08
v²
avec H: hauteur de chute
g: constante de gravité
v: viscosité
v =
Q
H × a1  ²
avec
v : vitesse angulaire dans le régime visqueux
Q: débit
a 1 : rayon de la colonne
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le régime gravitationnel: on néglige la force inertielle car l'accélération est faible.
1
0.08 H ×
g 3
 0.4
v²
g ×Q3 14
g =
 
v × a1 8
avec
g : vitesse angulaire dans le régime gravitationnel
le régime inertiel: les forces de viscosité et d'inertie sont prédominantes.
0.4H ×
i=
g 13
 1.2
2
v
Q 4 13

v×a 10
1
avec
i : vitesse angulaire dans le régime inertiel
III) Expériences à réaliser
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