Calcul formel EXAMEN L1 Maths - Info - GSI Philippe Ryckelynck et Denis Vekemans ∗ – Il est obligatoire d’être présent au début de l’épreuve. – Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l’épreuve. – La durée de l’épreuve est de 2 heures. – Aucun document n’est autorisé, la calculatrice n’est pas autorisée. – Sur l’ordinateur mis à service, seul le logiciel "maple" est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l’accès aux documents personnel sont également exclus. – Le téléphone portable est évidemment interdit aussi. – Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante, pas d’enregistrement de fichier. Exercice 1 Questions de cours. 1. Donner des coefficients a, b, c et d réels tels que cos(7x) = a cos(x)7 + b cos(x)5 + c cos(x)3 + d cos(x). 2 points 2. Donner le polynôme p tel que x9 − x6 + x3 − 1 = (x2 + 1)p(x). 2 points 3. Trouver u et v deux entiers relatifs tels que 9625u + 840v = 1. 2 points Exercice 2 Géométrie affine. Soit (O,~i, ~j) un repère orthonormé direct. ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 L1 Maths - Info - GSI Calcul formel 2007 Soient A le point de coordonnées (0, 0), E le point de coordonnées (1, 0), ABCD un carré direct et BEF G un carré direct également. Quel est le lieu géométrique du milieu I du segment [DF ] lorsque le point B varie dans le plan ? Démarche proposée : on considère que le point B a pour coordonnées (x, y), donner les coordonnées du point D en fonction de x et y, donner les coordonnées du point F en fonction de x et y, donner les coordonnées du point I en fonction de x et y et conclure. 3 points Exercice 3 Fonctions de chiffres. Chercher un nombre naturel de la forme abbcca (en base 10, a est chiffre des centaines de milliers et des unités supposé non nul, b est chiffre des dizaines de millers et des miliers, c est chiffre des dizaines et des centaines) qui soit un carré parfait (i.e. le carré d’un nombre naturel). Combien existe-t-il de nombres de la fome abbcca qui soient des carrés parfaits ? 3 points –2/3– Mathématiques L1 Maths - Info - GSI Exercice 4 2007 Calcul formel Algèbre linéaire. a est un paramètre réel. 1 10 100 Soit A = 10 100 a 100 a 10 . x 111 = 111 . Pour x, y et z réels, on considère l’équation (E) : A y 111 z 1. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la matrice A est-elle inversible ? 2. Lorsque A est inversible, donner la matrice inverse de M . 1 point 3. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’image et le noyau de M . 1 point 4. Lorsque A est inversible, donner x, y et z. 1 point 5. Lorsque A n’est pas inversible, selon la valeur de a, donner l’ensemble des triplets (x, y, z) de R3 . 1 point Exercice 5 Minimisation d’une aire. √ Soit (O,~i, ~j) un repère orthonormé. On considère l’ensemble Γ des points M (x, 1 − x2 ) pour x variant entre 0 et 1. 1. Soit TM la tangente en M à l’ensemble Γ. Donner l’équation de la tangente TM . 1 point 2. La tangente TM coupe l’axe (O~i) en un point A et l’axe (O~j) en un point B. Donner les coordonnées des points A et B. 1 point 3. Donner l’aire du triangle OAB en fonction de x. 1 point 4. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire extrémale. 5. Donner la valeur (ou les valeurs) de x pour que le triangle OAB ait une aire minimale. 1 point –3/3– Mathématiques