Déf 1

,DENOMBREMENT. LOIS DE PROBABILITE.
1°) Loi équirépartie.
Rappels :
Déf 1: Soit Ω un univers fini.
On dit qu'il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
1
Si Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , … ωn} alors P ({ωi }) = pour tout i de l'intervalle [1 ; n].
n
Exemple : On lance un dé non truqué.
On note P({ i }) = pi ;
par exemple p2 = P({2})
1
On a p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = .
6
1 1 1
P({1 ; 2}) = P({1}) + P({2}) = p1 + p2 = + = .
6 6 3
3 1
P(un nombre pair) = P({2 ; 4 ; 6}) = p2 + p4 + p6 = = .
6 2
Exemple lors du tirage d'une carte dans un jeu de 32 cartes:
1
1
1
1
8
1
P({roi de trèfle}) =
P(un trèfle) = +
+ …. =
= .
32
32 32
32 32
4
Prop 1: Soit A un événement de Ω dans le cas d'équiprobabilité
nombre d'éléments de A
nombre de cas favorables
P(A) =
=
.
nombre de cas possibles
nombre d'éléments de Ω
exemple : dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles.
On considère l'expérience : on choisit au hasard une personne dans la classe.
nombre de filles 18
Soit F l'événement : " la personne choisie est une fille ".
P(F) =
= = 0,6.
nombre d'élèves 30
exemple : l'écriture au hasard d'un mot de trois lettres ayant un sens ou non peut se modéliser par une loi équirépartie sur
1
Ω = {(a,a,a), (a,a,b), …. , (z,z,z)} , chaque triplet ayant la probabilité
de se produire.
26 3
exemple : l'écriture au hasard d'un mot de trois lettres distinctes ayant un sens ou non peut se modéliser par une loi
1
équirépartie sur Ω = {(a,b,c), (a,b,d), …. , (z,,y,x)} , chaque triplet ayant la probabilité
de se produire.
26 x 25 x 24
Validité du modèle.
Pour savoir si la modélisation d'une expérience E à k issues par une loi équirépartie est pertinente, on peut répéter n fois
l'expérience et chercher à comparer la distribution expérimentale (f1 , f2 , f3 , … .fk ) des fréquences des issues de E avec la
1 1 1
1
distribution théorique ( , , , …. , ) du modèle équiréparti.
k k k
k
k
1
On mesure leur écart par le nombre d tel que d² = ∑ ( f i – ) ² et on apprécie cette distance grâce à une table ou une
k
i=1
simulation d'un nombre important de répétitions par un ordinateur ou une calculette de l'expérience équirépartie que l'on
veut prendre pour modèle, chaque répétition aboutissant chacune à un échantillon de taille n.
k
Dans le cas de la simulation, on calcule pour chaque répétition d²simulé = ∑ ( f 'i –
i=1
1
) ² où f 'i est la fréquence d'apparition
k
de la modalité i dans la répétition.
On peut alors calculer les déciles, les centiles …. de la distribution des valeurs des d²simulé.
On émet l'hypothèse d'équirépartition des k modalités sur l'échantillon expérimental.
On étudie alors la série des d²simulé , on obtient, par exemple le 9 ième décile D9. Cela signifie que d² dépasse D9 dans
seulement 10% des cas dans le cadre d'une équirépartition des k modalités et que d² est inférieur ou égal à D9 dans 90%
des cas .
On décide alors :
si d²observé > D9 , alors on peut rejeter, avec un risque d'erreur de 10 % (en réalité
inférieur ou égal à 10 %), l'hypothèse d'équirépartition des k modalités.
si d²observé ≤ D9 , alors alors on ne peut pas rejeter, avec un risque d'erreur de 10 %, (en
réalité inférieur ou égal à 10 %) ,l'hypothèse d'équirépartition des k modalités.
Le risque d'erreur est le risque de rejeter à tort l'hypothèse d"équirépartition.
si on considère un risque de 1%, on étudie le 99 ième centile ….
2°) Dénombrement.
a) situations de référence.
De nombreuses expériences aléatoires peuvent s'assimiler à des tirages de boules dans une urne et se modéliser par une loi
équirépartie.
déf 2 : Soit n et p deux entiers naturels non nuls, et E un ensemble fini de n éléments.
Une suite finie ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts, est appelée une liste de p éléments ou
p-liste de E.
Tirages successifs avec remise.
On tire une boule de l'urne contenant n boules indiscernables au toucher, on note son numéro, puis on la remet dans
l'urne. On effectue p tirages successifs de cette façon.
n1
n2
np
n choix
……
n choix
n choix
Th 1 : Soit n et p deux entiers naturels non nuls, et E un ensemble fini de n éléments.
Le nombre de listes de p éléments de E est égal à n p.
Tirages successifs sans remise
On tire une boule de l'urne contenant n boules indiscernables au toucher, on note son numéro, on ne la remet pas dans
l'urne. On effectue p tirages ( avec p ≤ n) successifs sans remise de cette façon.
n1
n choix
n2
……
n – 1 choix
np
n – p + 1 choix
Th 2 : Soit n et p deux entiers naturels non nuls, avec p ≤ n et E un ensemble fini de n éléments.
Le nombre de listes de p éléments distincts de E est égal à n (n – 1) (n – 2) …. (n – p + 1).
Déf 3 : Soit n un entier naturel non nul, et E un ensemble fini de n éléments.
Une liste de n éléments distincts de E est appelée une permutation de E.
Th 3 : Soit n un entier naturel non nul, et E un ensemble fini de n éléments.
Le nombre de permutations de E est l'entier naturel noté n ! tel que n ! = n (n – 1) (n – 2) ….
Par convention, 0 ! = 1.
x
2 x 1.
Le nombre de tirages sans remises des n boules de l'urne est n !
Remarque : dans le th 2 , n (n – 1) (n – 2) …. (n – p + 1). =
n!
(n – p ) !
Tirages simultanés.
On tire simultanément p boules de l'urne. On obtient alors un ensemble (l'ordre n'a pas d'importance) de p numéros pris
parmi n, que l'on appelle combinaison.
Déf 4 : Soit n et p deux entiers naturels, avec 0 ≤ p ≤ n et E un ensemble fini de n éléments.
Une partie de E constituée de p éléments de E est appelée une combinaison de p éléments de E.
Th 4 : Soit n et p deux entiers naturels, avec 0 ≤ p ≤ n et E un ensemble fini de n éléments.
n
n
n!
Le nombre de combinaisons de p éléments de E est l'entier naturel noté  p  tel que  p  =
.
p ! (n –p) !
Il est parfois noté C pn .
Exemples :
ex 1: dans une course réunissant 23 chevaux, combien de tiercés faut-il jouer pour être sûr de gagner au moins
dans le désordre ?
23
23 !
Il suffit de jouer toutes les combinaisons de 3 chevaux parmi 23, il y en a :  3  =
= 1771
3 ! 20 !
ex 2: On tire au hasard et simultanément, 8 cartes parmi un jeu de 32.
Quelle est la probabilité d'avoir 2 as. ?
Une issue est une main de 8 cartes.
32
32 !
= 10 518 300.
Toutes les issues sont équiprobables et il en existe  8  =
8 ! 24 !
L'événement " la main contient 2 as" est réalisé en choisissant 2 as parmi 4 et 6 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des as.
4
28
Il existe donc  2  x  6  = 6 x 376 740 = 2 260 440 cas favorables.
2 260 440 966
On a donc p =
=
≈ 0,2149
10 518 300 4495
n
b) Propriétés des  .
p
n
n
Prop 2 : Pour tout entier naturel n,  0  = 1 ;  n  = 1
n
Pour tout entier naturel non nul n,  1  = n.
n
n
Pour tous entiers naturels n et p tels que p ≤ n ,  p  =  n – p 
n
n–1
n–1
Pour tous entiers naturels n et p tels que 1 ≤ p ≤ n – 1,  p  =  p – 1  +  p 
Triangle de Pascal.
n – 1 + n – 1 =
p – 1  p 
n
p
3
2
2
ex  2  =  1  +  2 
3
donc  2  = 2 + 1 = 3
p 0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
7
8
1
2
1
8
28 56 70 56 28 8
1
Formule du binôme de Newton
Th 5 : Pour a et b réels ou complexes et n un entier naturel non nul :
n n
n n
( a + b) n = ∑  k  a k b n – k
on a aussi : ( a + b) n = ∑  k  a n – k b k
k=0
k=0
ex (2 + i )
(2 – i ) 3 =
4
=
3
4
5
6
3°) Loi de Bernouilli et loi binomiale.
Lorsqu'une variable aléatoire réelle prend des valeurs entières ou des valeurs réelles en nombre fini, on dit que la loi de
probabilité de la variable aléatoire est discrète.
a) Loi de Bernouilli.
Déf 5 : Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée
succès, avec une probabilité p et l'autre appelée échec, avec une probabilité q ( p + q = 1).
La loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant la valeur 1 si l'issue est "succès" et la valeur 0 si
l'issue est "échec" est appelée loi de Bernouilli de paramètre p (on dit aussi que X suit la loi de Bernouilli de
paramètre p) .
k
1
0
P(X = k)
p
q=1–p
Prop 3 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernouilli de paramètre p :
E(X) = p et V(X) = p (1 – p) = p q.
b) Loi binomiale.
Déf 6 : L'expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une épreuve de Bernouilli de paramètre p de façon
indépendante est appelée schéma de n épreuves de Bernouilli.
Un résultat est une liste de n issues , par exemple (S, E, E,S, … , E).
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus lors des n épreuves de ce
Schéma de Bernouilli est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B (n ; p) . On dit aussi que X suit
B (n ; p).
Remarque : les n épreuves identiques doivent être indépendantes et peuvent être réalisées successivement ou
simultanément.
Th 6 : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B (n ; p).
a)X prend ses valeurs dans { 0 ; 1 ; 2 ; …. n}
b) Pour tout entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n,
n
P( X = k) =   p k ( 1 – p)
k
n – k.
.
c) E(X) = n p ; V(X) = n p (1 – p).
exercice: On joue 10 fois en suivant aux dés
a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui, à chaque jeu de 10 lancers, associe le nombre de 6
sortis.
b) Calculer l'espérance et l'écart type de X.
1
5
a) Pour chaque lancer, soit on fait un 6 avec une probabilité de , soit on ne fait pas un 6, avec une probabilité de .
6
6
1
Nous sommes donc dans un schéma de Bernouilli de paramètre .
6
1
On répète cette expérience 10 fois, de façon indépendante. Nous sommes donc dans le cas d'une loi binomiale B(10 , ).
6
10 1 k 5 10 - k
Pour tout entier naturel k, P (X = k) =  k     
6 6
ki
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
pi
0,1615 0,3230 0,2907 0,155 0,0543 0,013 0,0021 0,0002 2 x 10-5 8 x 10-7 2 x 10-8
1 5
= .
6 3
1 5 25
V(X) = n x p ( n – p) = 10 x x =
6 6 18
25
σ (X) =
≈ 1,179
18
Cela signifie que si l'on fait un grand nombre de parties, en moyenne, on aura sorti 1,67 fois le 6 par partie de 10 lancers.
b) P(X) = n x p = 10 x