Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) → Séries de Fourier

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)
Æ Séries de Fourier
Préambule
Pour des soucis évidents de clarté, la lettre « i » désignera dans ce document le complexe
vérifiant i 2 + 1 = 0 .
Le cadre de ce chapitre est l’espace vectoriel CM2π sur le corps des fonctions complexes
de la variable réelle, 2π − périodiques et continues par morceaux.
On note
C 2π l’espace vectoriel sur le corps
des fonctions complexes de la variable réelle,
2π − périodiques et continues. On a bien sûr :
C 2π ⊂ CM2π .
Coefficients de Fourier
Notations et rappels
Pour tout entier n, on note cn , sn et en les fonctions de la variable réelle définies par :
cn : t
cn ( t ) = cos ( nt )
sn : t
sn ( t ) = sin ( nt )
en : t
en ( t ) = eint
Remarque : ∀t ∈ , eint = cos ( nt ) + i ( sin nt ) = cn ( t ) + isn ( t ) . Soit : en = cn + isn . Par ailleurs,
s0 est la fonction nulle.
On note Pn l’ensemble Vect ( ( ek )− n≤ k ≤ n ) . C’est un sous-espace vectoriel de CM2π de
dimension 2n + 1 .
Remarque :
On note :
Pn = Vect ( ( ek )− n≤k ≤n ) = Vect ( c0 , c1 , ..., cn , s1 , s2 , ..., sn ) .
P = ∪ Pn = Vect ( ( ek )k∈
n∈
).
Une fonction f définie sur le segment [ a, b ] ( a < b ) de
est dite «
C k par morceaux » s’il
existe une famille finie strictement croissante a = a0 < a1 < a2 < ... < an = b telle que pour tout
entier j dans 0 ; n − 1 la restriction de f à ⎤⎦ a j , a j +1 ⎡⎣ est prolongeable en une fonction de
classe C k sur ⎡⎣ a j , a j +1 ⎤⎦ .
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Séries de Fourier
Une fonction f définie sur un intervalle de
morceaux sur tout segment inclus dans I.
est dite «
C k par morceaux » si elle est C k par
Polynômes trigonométriques
On appelle « polynôme trigonométrique » tout élément de l’ensemble P.
L’ensemble P est appelé « espace des polynômes trigonométriques ».
Un polynôme trigonométrique P est donc de la forme :
P=
n
∑α e
k =− n
k k
=
n
∑ α (c
k =− n
k
k
+ isk ) =
n
∑ α (c
k =− n
k
k
n
n
k =1
k =1
+ isk ) = α 0 + ∑ (α k + α − k ) ck + i ∑ (α k − α − k ) sk
Coefficients de Fourier
Définition
Soit f ∈ CM2π . Pour tout entier n, on appelle « coefficient de Fourier de f d’indice n » le
complexe Cn ( f ) défini par :
Cn ( f ) =
1
2π
π
∫π f ( t ) e
− int
dt
−
Les Cn sont appelés « coefficients de Fourier de la fonction f ».
On note fˆ la suite des coefficients de Fourier de f : ( Cn ( f ) )n∈ , c'est-à-dire l’application :
fˆ :
n
→
Cn ( f )
Remarques :
■ La fonction f étant 2π − périodique, le calcul peut être mené sur tout intervalle de
longueur 2π ;
π
1
■ On a : C0 ( f ) =
f ( t ) dt . Il s’agit donc de la valeur moyenne de la fonction f sur une
2π −∫π
période.
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Séries de Fourier
Propriétés
Dans les propriétés ci-dessous, les fonctions considérées sont, sauf mention contraire, des
éléments de CM2π .
■ L’application f
fˆ est linéaire :
∀ (α , β ) ∈
2
2
, α f + β g = α fˆ + β gˆ
C'est-à-dire :
∀ (α , β ) ∈
2
■
∀n ∈ , Cn ( f ) = C− n ( f
);
2
, ∀n ∈ , cn (α f + β g ) = α cn ( f ) + β cn ( g )
■ Si f est une fonction paire alors ∀n ∈ , C− n ( f ) = Cn ( f ) ;
Si f est une fonction impaire alors ∀n ∈ , C− n ( f ) = −Cn ( f ) .
■ La suite ( Cn ( f ) )n∈ est bornée : ∀n ∈ , Cn ( f ) ≤ sup f ( t ) .
t∈
■ Si f est 2π − périodique, continue et de classe
C par morceaux sur
1
alors :
∀n ∈ , Cn ( f ' ) = inCn ( f )
Plus généralement : si la fonction f est de classe C
( )
k −1
et de classe
C k par morceaux alors :
∀n ∈ , Cn f ( k ) = ( in ) Cn ( f )
k
Coefficients trigonométriques
Définition
Soit f ∈ CM2π . On appelle « coefficients trigonométriques de f » les complexes, définis par
(n∈ ) :
an ( f ) =
1
π
π
∫
f ( t ) cos ( nt ) dt et bn ( f ) =
−π
1
π
π
∫ f ( t ) sin ( nt ) dt
−π
Remarque : on a b0 ( f ) = 0 . Ainsi, on peut définir les bn pour n ∈
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*
.
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Séries de Fourier
Relations entre les coefficients de Fourier et les coefficients
trigonométriques
Pour tout entier naturel n, on a :
an ( f ) = Cn ( f ) + C− n ( f ) et bn ( f ) = i ⎡⎣Cn ( f ) − C− n ( f ) ⎤⎦
Cn ( f ) =
Remarque :
1
1
⎡⎣ an ( f ) − ibn ( f ) ⎤⎦ et C− n ( f ) = ⎡⎣ an ( f ) + ibn ( f ) ⎤⎦
2
2
a0 ( f )
2
■
C0 ( f ) =
■
C n ( f ) + C− n ( f ) =
2
2
(
2
2
1
an ( f ) + bn ( f )
2
)
Propriétés
Dans les propriétés ci-dessous, les fonctions considérées sont, sauf mention contraire, des
éléments de CM2π .
■ Si f est paire alors ∀n ∈ , bn ( f ) = 0 .
Si f est impaire alors ∀n ∈ , an ( f ) = 0 .
■ Si f est 2π − périodique, continue et de classe
C 1 par morceaux sur
alors :
∀n ∈ , an ( f ' ) = nbn ( f ) et bn ( f ') = − nan ( f )
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Séries de Fourier
Séries de Fourier
Définition
Soit f ∈ CM2π . On appelle « série de Fourier de f » la série de fonctions :
∑C ( f )e
n
n
=
a0 ( f )
+ ∑ {an ( f ) cn + bn ( f ) sn }
2
ATTENTION ! La série du membre de gauche sous-entend une indexation dans tandis que
pour celle de droite l’indexation se fait dans * . Ainsi, la somme partielle S n ( f ) sera définie
pour tout t réel par :
( Sn ( f ) ) ( x ) =
=
n
∑ Ck ( f ) ek ( x ) =
k =− n
n
∑ C ( f )e
k =− n
k
ikx
a0 ( f ) n
+ ∑ {ak ( f ) ck ( x ) + bk ( f ) sk ( x )}
2
k =1
a0 ( f ) n
=
+ ∑ {ak ( f ) cos ( kx ) + bk ( f ) sin ( kx )}
2
k =1
Si la série de Fourier de la fonction f converge simplement vers la fonction f (c'est-à-dire si la
suite ( S n ( f ) )n∈ converge simplement vers la fonction f) alors on dit que « la fonction f est
développable en série de Fourier ».
Dans la partie suivante nous donnons des résultats fondamentaux relatifs à la série de Fourier
d’une fonction d’un certain espace, résultats qui seront étendus aux fonctions
2π − périodiques et continues par morceaux.
ATTENTION !
La série de Fourier associée à f ne converge pas nécessairement pour tout x. En outre, si, pour
un réel x donné, lim ⎡⎣( Sn ( f ) ) ( x ) ⎤⎦ existe, cette limite peut être différente de f ( x ) .
n →+∞
Ainsi, on se demande sous quelles hypothèses la série de Fourier d’une fonction donnée f
converge et, le cas échéant, si la fonction limite de cette série peut être la fonction f elle-même
ou une fonction proche.
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Séries de Fourier
L’espace préhilbertien D2π
L’espace D2π
Fonction régularisée, fonction régulière
Soit f ∈ CM2π . On appelle « fonction régularisée de f » la fonction f r de
fr ( x ) =
CM2π définie par :
f ( x− ) + f ( x+ )
2
où : f ( x − ) = lim f ( t ) et f ( x + ) = lim f ( t ) .
t→x
t<x
Si une fonction f de
est « régulière ».
t→x
t>x
CM2π est égale à sa fonction régularisée ( f = f r ), on dit que la fonction f
L’espace D2π
L’ensemble des fonctions régulières de
Remarque :
CM2π est noté D2π .
C 2π ⊂ D2π ⊂ CM2π .
D2π est un sous-espace vectoriel de CM2π .
Structure d’espace préhilbertien complexe de D2π
L’espace D2π peut être muni d’une structure d’espace préhilbertien complexe à l’aide du
produit scalaire complexe suivant :
∀ ( f , g ) ∈ (D2π )
2
1
,( f | g ) =
2π
π
∫ f ( t ) g ( t ) dt
−π
Rappelons que la norme associée, traditionnellement notée
2
, est appelée « norme
hermitienne » :
∀f ∈D2π ,
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f
2
=
1
2π
[6-11]
π
∫π f ( t )
2
dt
−
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Séries de Fourier
Dans l’espace préhilbertien complexe D2π , la famille ( en )n∈ est orthonormale :
∀ ( i, j ) ∈
2
, ( ei | e j ) = δ ij
.
Remarque : on fera, ici encore, attention à l’indexation dans
On en déduit :
Soit f une fonction de D2π et ( S n ( f ) )n∈ sa série de Fourier.
On a :
Sn ( f ) 2 =
2
2
n
∑ C ( f )e
k =− n
k
=
k
2
n
∑ C (f)
k
k =− n
n
a (f)
2
2
= 0
+ ∑ ⎡ ak ( f ) + bk ( f ) ⎤
⎣
⎦
2
k =1
2
2
Pour tout élément f de D2π , on a :
Cn ( f ) =
1
2π
π
∫π f ( t ) e
− int
dt = ( f | en )
−
Projection orthogonale sur Pn
Pn = Vect ( ( ek )− n≤k ≤n ) est un sous-espace vectoriel de dimension finie ( 2n + 1 ) de D2π . On a
donc Pn ⊕ P ⊥ = D2π et pour tout élément f de D2π , on peut introduire le projeté orthogonal
pn ( f ) de f sur Pn .
Soit f une fonction de D2π et ( S n ( f ) )n∈ sa série de Fourier.
On a :
pn ( f ) =
n
∑ ( f | e )e
k =− n
k
k
n
∑ C ( f )e
=
k
k =− n
La fonction S n ( f ) est ainsi, au sens de la norme
2
k
= Sn ( f )
, la meilleure approximation de la
fonction f par un élément de Pn et on a (théorème de Pythagore) :
f
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2
2
= pn ( f ) 2 + ⎡⎣ d ( f , Pn ) ⎤⎦ = S n ( f ) 2 + ⎡⎣ d ( f , Pn ) ⎤⎦
2
2
[7-11]
2
2
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Séries de Fourier
L’inégalité de Bessel
A partir de pn ( f ) 2 = Sn ( f ) 2 ≤ f
2
valable pour tout entier naturel n, on obtient
l’inégalité de Bessel :
Soit f une fonction de D2π et ( S n ( f ) )n∈ sa série de Fourier.
On a :
n
∑ C (f)
k =− n
n
a (f)
2
2
= 0
+ ∑ ⎡ ak ( f ) + bk ( f ) ⎤ ≤ f
⎣
⎦
2
k =1
2
2
k
2
2
On en tire :
2⎞
⎛ n
converge.
■ La suite ⎜ ∑ Ck ( f ) ⎟
⎝ k =− n
⎠ n∈
■ lim Cn ( f ) = lim C− n ( f ) = 0 .
n →+∞
■ Les séries
■
n →+∞
∑a (f)
n
2
et
∑b (f)
2
n
convergent.
lim an ( f ) = lim bn ( f ) = 0 .
n →+∞
n →+∞
Convergence en moyenne quadratique
Le théorème de Parseval
Soit f une fonction de D2π et ( S n ( f ) )n∈ sa série de Fourier.
On a :
lim f − S n ( f ) 2 = 0
n →+∞
On dit que « ( S n ( f ) )n∈ converge en moyenne quadratique vers f ».
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Séries de Fourier
Le théorème de Pythagore nous donne, pour tout entier naturel n :
f
2
= f − Sn ( f ) 2 + Sn ( f )
2
On passe à la limite et le théorème de Parseval nous donne alors l’égalité du même nom :
L’égalité de Parseval
Soit f une fonction de D2π et ( S n ( f ) )n∈ sa série de Fourier.
On a :
f
2
2
=
∑ C (f)
n =−∞
∞
a0 ( f )
2
2
=
+ ∑ ⎡ an ( f ) + bn ( f ) ⎤
⎣
⎦
2
n =1
2
∞
2
n
On a alors le corollaire fondamental suivant :
L’application :
D2π →
f
fˆ = ( Cn ( f ) )n∈
est injective.
En d’autres termes, deux fonctions de D2π ayant les mêmes coefficients de Fourier sont
égales.
Extension à l’espace CM2π
Les résultats ci-dessus (dans la partie « L’espace préhilbertien D2π ») restent valables dans
l’espace CM2π sauf le dernier. Ainsi, deux fonctions 2π − périodiques et continues par
morceaux peuvent avoir les mêmes coefficients de Fourier sans être égales.
Il convient désormais de préciser la convergence et la fonction limite éventuelles de la série
de Fourier d’une fonction 2π − périodique et continue par morceaux.
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Séries de Fourier
Convergence des séries de Fourier
Fonction de classe
C 1 par morceaux
Soit f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un segment [ a ; b ] ( a < b ).
On dit que « f est de classe
( xk )k∈ 0 ; n
C
1
par morceaux sur [ a ; b ] » s’il existe une subdivision
du segment [ a ; b ] telle que pour tout k dans 0 ; n − 1 la restriction de f à
l’intervalle ] xk ; xk +1 [ soit prolongeable en une fonction de classe
[ xk ; xk +1 ] .
C
1
sur le segment
Un théorème de convergence simple (théorème de Dirichlet)
Si f est une fonction 2π − périodique et de classe C 1 par morceaux alors la série de Fourier
de f converge simplement vers la fonction régularisée f r de la fonction f :
+∞
∑ c ( f )e
n =−∞
n
inx
=
a0 ( f ) +∞
+ ∑ ⎡⎣ an ( f ) cos ( nx ) + bn ( f ) sin ( nx ) ⎤⎦ = f r ( x )
2
n =1
Un théorème de convergence normale
Si f est une fonction continue, 2π − périodique et de classe C 1 par morceaux alors la série de
Fourier de f converge normalement vers la fonction f :
+∞
a0 ( f ) +∞
inx
=
+ ∑ ⎡⎣ an ( f ) cos ( nx ) + bn ( f ) sin ( nx ) ⎤⎦ = f ( x )
c
f
e
(
)
∑ n
2
n =−∞
n =1
Cas des fonctions T-périodiques
On note :
■ CMT l’ensemble des fonctions définies sur , T − périodiques et continues par
morceaux.
■ DT l’ensemble des fonctions définies sur , T − périodiques, continues par morceaux et
régulières.
■ C 2π l’ensemble des fonctions définies sur , T − périodiques et continues.
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Séries de Fourier
On a :
et T − périodique si, et seulement si, il existe une fonction g
⎛ 2π ⎞
x⎟ .
et 2π − périodique telle que : ∀x ∈ , f ( x ) = g ⎜
⎝ T ⎠
La fonction f est définie sur
définie sur
On va ainsi retrouver dans les espaces mentionnés ci-dessus, les définitions et propriétés
présentées dans les espaces C 2π , D2π et CM2π à condition d’effectuer les transformations
formelles suivantes :
■ Pour les fonctions cn , sn et en les variables « x » et « t » doivent être remplacées par
2π
2π
«
x » et «
t » respectivement.
T
T
■ La période « 2π » doit être remplacée par « T ».
On obtient ainsi :
■ Le produit scalaire dans DT
∀ ( f , g ) ∈ (DT )
■ Le coefficient de Fourier : Cn ( f )
2
T
1
, ( f | g ) = ∫ f ( t ) g ( t ) dt
T0
2π
t
− in
1
Cn ( f ) = ∫ f ( t ) e T dt
T0
T
■ Les coefficients trigonométriques : an ( f ) et bn ( f )
an ( f ) =
2
⎛ 2π
f ( t ) cos ⎜ n
∫
T0
⎝ T
T
2
⎞
⎛ 2π
t ⎟ dt et bn ( f ) = ∫ f ( t ) sin ⎜ n
T0
⎠
⎝ T
T
⎞
t ⎟ dt
⎠
■ La somme partielle
a (f)
( S ( f ) ) ( x ) = ∑ C ( f ) e ( x ) = 2 + ∑ {a ( f ) c ( x ) + b ( f ) s ( x )}
n
n
k =− n
=
k
k
n
∑ Ck ( f ) e
ik
k =1
2π
x
T
k =− n
■ La norme
2
n
0
=
k
k
k
a0 ( f ) n ⎧
⎛ 2π
+ ∑ ⎨ ak ( f ) cos ⎜ k
2
⎝ T
k =1 ⎩
de la fonction f : f
k
⎞
⎛ 2π
x ⎟ + bk ( f ) sin ⎜ k
⎠
⎝ T
⎞⎫
x ⎟⎬
⎠⎭
2
T
2
1
∀f ∈DT , f 2 =
f ( t ) dt
∫
T0
■ L’inégalité de Bessel et l’égalité de Parseval
n
∑ C (f)
k =− n
k
∞
∑ C (f)
n =−∞
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n
n
a (f)
2
2
= 0
+ ∑ ⎡ ak ( f ) + bk ( f ) ⎤ ≤ f
⎣
⎦
2
k =1
2
2
∞
a (f)
2
2
= 0
+ ∑ ⎡ an ( f ) + bn ( f ) ⎤ = f
⎣
⎦
2
n =1
2
2
2
2
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2
2
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