Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Dénition 2 (Régularité par morceaux d'une fonction périodique). Chapitre 10 Séries de Fourier Notation : Dans tout le chapitre, on xe un réel T > 0 et on note ω = Une fonction T -périodique f : R → R est dite continue par morceaux (respectivement de classe C 1 par morceaux) si elle est continue par morceaux (respectivement de classe C 1 par morceaux) sur une période. 2π . T Remarque 2 1. Fonctions dénies par morceaux L'ensemble des fonctions f : R → R continues par morceaux et T -périodique est un espace vectoriel. Dénition 1 (Régularité par morceaux d'une fonction sur un segment). Une fonction f : [a, b] → R est dite continue par morceaux (respectivement de Dénition 3 (Intégrale d'une fonction continue par morceaux). Soit f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux. En reprenant les classe C 1 par morceaux) sur [a, b] s'il existe une subdivision notations de la dénition 1, l'intégrale de f sur [a, b] est dénie par a = a0 < · · · < an = b b Z telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ai , ai+1 [ soit prolongeable comme fonction continue (respectivement de classe C 1 ) sur [ai , ai+1 ]. f (t)dt = a n−1 X Z ai+1 i=0 f (t)dt. ai Exemple 1 La fonction du premier graphe ci-dessous est continue par morceaux, mais elle Illustration 1 n'est pas de classe C 1 par morceaux, car sa restriction à [a1 , a2 ] admet une L'intégrale de la première fonction de l'exemple 1 est l'aire algébrique de la tangente verticale en x = a1 . La fonction du second graphe ci-dessous est de partie colorée ci-dessous. classe C 1 par morceaux. y y y • • • • • • x x x • • a a1 Remarque 1 a2 b a a1 a2 a b L'ensemble des fonctions f : [a, b] → R continues par morceaux est un espace vectoriel. Remarque 3 a1 a2 b La dénition de l'intégrale ne dépend pas de la subdivision que l'on utilise pour calculer les intégrales. 1/5 Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr 2. Coecients et série de Fourier Proposition 1 (Relation de Chasles). Si f : [a, c] → R est continue par morceaux et si a < b < c, alors c Z Z b f (t)dt = a Z f (t)dt + a Dénition 4 (Coecients de Fourier trigonométriques). f (t)dt. Les coecients de Fourier trigonométriques d'une fonction T -périodique et continue par morceaux f : R → R sont les réels pour n ∈ N∗ b Proposition 2 (Propriétés de l'intégrale). Soient f, g : [a, b] → R continues par morceaux et (λ, µ) ∈ (i) L'intégrale est linéaire Z b b Z Z (λf + µg)(t)dt = λ f (t)dt + µ a a (ii) Si f est positive sur [a, b], alors 2.1. Coecients de Fourier c Z b Z 1 T f (t)dt, T 0 Z 2 T an (f ) = f (t) cos(nωt)dt, T 0 R2 . a0 (f ) = b Z Z f (t)dt 6 a f (t) sin(nωt)dt. 0 a) Quand il n'y a pas de confusion possible, on note simplement an et bn . b) Comme les fonctions sont T -périodiques, on peut calculer les intégrales sur n'importe quel intervalle de longueur T . c) Le coecient a0 est la valeur moyenne de f sur une période. b g(t)dt. a grale nulle, on ne peut pas conclure que f est la fonction nulle. On peut par exemple considérer la fonction dénie par le graphique ci-dessous. Exemple 2 Les coecients de Fourier de la fonction 2π -périodique f : R → R donnée par f (t) = t pour t ∈ [−π, π[ sont y a0 = 0, Proposition 3 • an = 0, bn = (−1)n+1 2 n pour n ∈ N∗ . Soit f : R → R une fonction T -périodique et continue par morceaux. (i) Si f est paire, alors pour tout n ∈ N∗ , bn = 0. (ii) Si f est impaire, alors pour tout n ∈ N, an = 0. (iii) Si f vérie pour tout x ∈ R la relation f (x + T2 ) = −f (x), alors pour tout n ∈ N∗ , a0 = a2n = b2n = 0. x a T Remarque 4 Attention : Si f : [a, b] → R est continue par morceaux, positive et d'inté- • Z g(t)dt. f (t)dt > 0. b 2 T a a (iii) Si f 6 g sur [a, b], alors bn (f ) = b 2/5 Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Attention Exemple 3 : La série de Fourier n'est pas nécessairement convergente ! Une fonction vériant l'hypothèse du point (iii) est appelée une symétrie de glissement. Voici les graphes de deux telles fonctions. Exemple 5 y y La série de Fourier de la fonction de l'exemple 2 est T T S(f )(t) = • • • x x T /2 T /2 2.2. Série de Fourier Dénition 5 (Somme partielle de Fourier). +∞ X (−1)n+1 n=1 2 sin(nt). n 3. Structure préhilbertienne Notation : On désigne par CT (R, R) l'espace vectoriel des fonctions de R dans R continues et T -périodiques. La somme partielle de Fourier à l'ordre n ∈ N d'une fonction T -périodique et Proposition 4 continue par morceaux f : R → R est L'application (· | ·) : CT (R, R) × CT (R, R) → R donnée par Sn (f )(t) = a0 + n X ∀(f, g) ∈ CT (R, R)2 , (ak cos(kωt) + bk sin(kωt)) . (f | g) 7→ k=1 1 T Z T f (t)g(t)dt 0 est un produit scalaire sur CT (R, R). Exemple 4 En reprenant la fonction de l'exemple 2, on a 2 S3 (f )(t) = 2 sin(t) − sin(2t) + sin(3t). 3 Corollaire 1 Le couple (CT (R, R), (· | ·)) est un espace préhilbertien. Remarque 5 a) L'expression de la norme associée est pour f ∈ CT (R, R) Dénition 6 (Série de Fourier). s La série de Fourier d'une fonction T -périodique et continue par morceaux f : R → R est la série S(f )(t) = a0 + +∞ X n=1 (an cos(nωt) + bn sin(nωt)) . kf k = 1 T Z T f (t)2 dt. 0 b) Si les fonctions n'étaient que continues par morceaux, l'application (· | ·) n'est pas un produit scalaire : elle ne serait pas dénie positive, mais seulement positive. 3/5 Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours Proposition 5 √ La famille t 7→ 1, t 7→ est orthonormée. Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr √ 2 cos (ωkt) , t 7→ 2 sin (ωkt) k ∈ N∗ de CT (R, R) Exemple 6 En appliquant le théorème de Parseval à la fonction de l'exemple 2, on obtient +∞ X 1 π2 =2 , 3 n2 Corollaire 2 Si f ∈ CT (R, R), alors la fonction Sn (f ) est la projection orthogonale de f sur le sous-espace vectoriel Pn,T = Vect{t 7→ 1, t 7→ cos(kωt), t 7→ sin(kωt) | k ∈ J1, nK}. donc n=1 +∞ X 1 π2 = . n2 6 n=1 4.2. Le théorème de Dirichlet Dénition 7 (Régularisée d'une fonction). La régularisée d'une fonction continue par morceaux f : R → R est la fonction Corollaire 3 f˜ : R → R donnée par Si f ∈ CT (R, R), on a l'égalité f˜(t) = lim n kSn (f )k2 = a20 + 1X 2 ak + b2k . 2 h→0 f (t + h) + f (t − h) 2 . k=1 Remarque 6 Si f est continue, on a f = f˜. 4. Théorèmes de convergence Illustration 2 4.1. Le théorème de Parseval Voici un exemple de fonction f et de sa régularisée f˜. Théorème 1 (Théorème de Parseval). 1 T Z 0 T |f (t)|2 dt = a20 + 1 2 +∞ X y y Si f : R → R est fonction P une P 2 T -périodique et continue par morceaux sur R, 2 alors les séries an et bn convergent et • • a2n + b2n . x • n=1 • Graphe d'une fonction 4/5 f Graphe de f˜ x Chapitre 10 - Séries de Fourier - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Illustration 3 Théorème 2 (Théorème de Dirichlet). Si f : R → R est une fonction T -périodique et de classe C 1 par morceaux sur Si on reprend la fonction f de l'exemple 2, on obtient les graphiques suivants. y y R, alors la série de Fourier de f converge en tout point vers f˜, i.e. ∀t ∈ R, S(f )(t) = lim Sn (f )(t) = f˜(t). π π n→+∞ Remarque 7 On ne peut pas se passer de l'hypothèse de classe C 1 par morceaux. Il existe des fonctions f : R → R continues et T -périodiques dont la série de Fourier diverge. • x π −π −π • −π • Graphe de f Graphe de y Exemple 7 En appliquant le théorème à la fonction de l'exemple 2, on obtient f˜(t) = 2 +∞ X (−1)n+1 n=1 n π x π −π −π Graphe de 5/5 f˜ y π sin(nt). x • π −π x π −π −π S3 (f ) Graphe de S8 (f )