NOM : Devoir surveillé n° 2 Terminale ES/L Exercice 1 : (8 points

NOM :
Devoir surveillé n° 2
Exercice 1 :
(8 points)
2
Soit f la fonction définie sur [1 ; 10] par f (x) = 2 x – 30 x+ 200+
Terminale ES/L
5
.
x
4 x ³ – 30 x 2 – 50
.
2
x
2. On considère la fonction g définie par g (x) = 4 x ³ – 30 x 2−50 .
a. Étudier le sens de variation de g sur [1 ; 10].
b. Démontrer que l'équation g (x) = 0 admet une unique solution  sur [1 ; 10], et donner l'arrondi de  à 0,1
près.
c. En déduire le tableau de signes de g (x) sur [1 ; 10].
3. Établir le tableau de variations de f sur [1 ; 10].
1. Montrer que f '(x) =
Exercice 2 :
(12 points)
La suite ( u n ) est définie pour tout nombre entier naturel n par :
{
u0 = 5
1
u n +1= un +1
2
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la
suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
1
Affecter à U la valeur
×U+1
2
Fin Pour
Afficher U
Fin
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
Pour i de 0 à N faire
U prend la valeur 5
Afficher U
Afficher U
Affecter à U la valeur
1
×U+1
2
Affecter à U la valeur
Fin Pour
Fin
Fin Pour
Fin
Algorithme 1
Algorithme 2
2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
5
3,5
2,75
2,375
2,185
2,0938
1
×U+1
2
Algorithme 3
2,0469
2,0234
2,0117
Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
Partie B
On introduit une suite auxiliaire ( v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n – 2.
1. Montrer que ( v n ) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme v0 .
n
1
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a u n = 2+3×
.
2
3. Étudier les variations de la suite ( u n ).
4. Déterminer la limite de la suite ( u n ).
−6
5. A la calculatrice, déterminer à partir de quel rang on a u n – 2  10 .
()
Bonus (+ 1 point) :
Calculer la valeur exacte et l'arrondi à 0,01 près de u 0 + u 1 + u 2 + …. + u 12 .
2,0059